Мой неординарный и достаточно разносторонне развитый знакомый Николай Григорьев, которого я уважаю и люблю, неожиданно в письме ко мне из Колифорнии упомянул фамилию Мандельброт. О существовании его к стыду своему я ничего прежде и не подозревал. Я немедля обратился за информацией в интернет и обнаружил много познавательного и интересного об этом незнакомце. Мне захотелось поделиться сведениями об удивительном, мало упоминаемом в России великом ученом, широко известными по публикациям в литературе и Википедии.
Бенуа Мандельброт – это французский математик, отец фрактальной геометрии, незаурядная личность и гениальный ученый, обуздавший хаос математическим аппаратом. Он был профессором математических наук, почетным преподавателем Йельского Университета, научным сотрудником компании «IBM», Баттельским членом Тихоокеанской Национальной лаборатории. Лауреат премии Вольфа по физике (1993). Как гениальный физик и математик Бенуа Мандельброт проявил выдающиеся способности только в одной, узкой области, совершив переворот в геометрии и мире хаоса. Он сумел увидеть пространства иных, более чем трехмерных, измерений.
Бенуа Мандельброт родился 20-го ноября 1924 года в Варшаве в еврейской семье из Литвы, а умер 14 октября 2010 года, не дожив всего месяц до 86-ти летнего возраста. В 1936 году, когда Бенуа было 11 лет, его родители эмигрировали во Францию и поселились в Париже у дяди Франсуа Мандельброт, уехавшего туда раньше. Дядя был членом элитной группы французских математиков, известной под собирательным псевдонимом “Никола Бурбаки”. Он подметил и развил в племяннике нестандартное математическое видение и мышление. С началом второй Мировой войны семья Мандельбротов переехала в маленький городок Тюль на юге Франции.
Бенуа пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе, и в результате к шестнадцати годам он толком не знал даже алфавита, а таблицу умножения усвоил только до пяти, но проявившийся необычный математический дар позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Талант Бенуа радикально отличался от обычных математических способностей, прежде всего потрясающим пространственным мышлением. Все задачи он решал не по привычным для математического анализа алгоритмам, а с помощью острейшей геометрической интуиции. На вступительном экзамене он сначала не мог решить алгебраические задания, но внезапно в его сознании установилась связь алгебры с представляемыми в воображении геометрическими образами. Преподаватели были поражены оригинальностью и красотой его решения и поставили абитуриенту отличную оценку.
По окончании университета Бенуа Мандельброт стал “чистым математиком”. В 1952 году получил степень доктора математических наук, но от официальной академической науки постарался уйти как можно дальше и предпочел свой путь. В 1958 году он переезжает в США работать в научно-исследовательском центре IBM в г. Иорктауне. Место службы он выбрал по зову сердца, так как IBM занималась теми областями математики, которые были Мандельброту интересны. Из-за своих увлечений Бенуа ушел в сторону от чисто прикладных проблем компании и стал мэтром “нетрадиционной математики”. Коллеги поражались его разработками в областях лингвистики, теории игр, аэронавтики, экономики, физиологии, географии, астрономии и физики. Молодой Бенуа был первым математиком, который (не без помощи IBM) получил доступ к высоким компьютерным технологиям, что помогало ему математически осваивать пространства все новых и новых областей знания.
Мандельброт признавался: ”Иногда меня охватывает внезапный порыв, и я бросаю исследования на середине, чтобы снова погрузиться в новую область, которая внезапно стала для меня интересной и в которой я не знаю ничего. Я следовал моим инстинктам…”. Инстинктивный способ поиска знаний водил исследователя из стороны в сторону. В столетие, когда синонимом научных исследований фактически стала узкая специализация, “широкозахватный” Мандельброт был непопулярен в кругах коллег. Но его нестандартный ум находил для себя работу в самых разнообразных областях. Исследуя экономику, Мандельброт, например, обнаруживает, что произвольные на первый взгляд колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми, обычно изображаемыми статистиками. На весь мир прославился “обсчет” Мандельбротом цен на хлопок. По этим ценам имелись надежные данные более чем за сто лет. Колебания их в течение дня казались непредсказуемыми, но, благодаря проведенному компьютерному анализу, Мандельброт смог выявил тенденцию ценового изменения. В результате этого он вывел график, на котором колебания цен за один конкретный день были наложены на более длительный отрезок времени. Кму удалось проследить симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось полной неожиданностью для экономистов, пользовавшихся математикой только для вычислений. Да и сам Мандельброт удивился собственным же открытиям. Он не вполне понимал их тайный смысл, но чувствовал, что нащупал нечто очень важное. Позже выяснилось, что он интуитивно начал разрабатывать рекурсивный (фрактальный) метод в экономике.
Бенуа открыл и доказал математически существование фракталов, и когда мы говорим: “Мандельброт, то подразумеваем фракталы”. Обратное утверждение тоже верно. Понятие “фрактал”, разумеется, придумал сам Бенуа Мандельброт. Слово происходит от латинского “fractus”, означающее “сломанный, разбитый”. Для математических объектов, к которым оно относится, характерны чрезвычайно интересные свойства. В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность - два измерения, а пространственная фигура трехмерна. Фракталы же - это не линии и не поверхности, а, если можно это себе представить, нечто среднее. Квадрат со стороной L (фигура на двухмерной плоскости) имеет площадь L, объем трехмерного куба с ребром L также равен L, а в общем случае объем n-мерного гиперкуба тоже равен L. Размерность объекта (показатель степени) указывает, по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом с ростом размеров возрастает и объем фрактала, но его размерность (показатель степени) - величина не целая, а дробная, а потому граница фрактальной фигуры не линия. При большом увеличении становится видно, что она размыта и состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или самоподобием. Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур. Очевидна красота цветных картинок в виде отдельных проекций, взятых наугад для иллюстрации “множества Мандельброта” из его фрактальной геометрии.
До появления фрактальной геометрии наука имела дело с системами, заключенными в трех пространственных измерениях. Благодаря Эйнштейну стало понятно, что трехмерное пространство – это только модель действительности, а не сама действительность. Фактически наш мир расположен в четырехмерном пространственно-временном континууме. Благодаря Мандельброту стало понятно, как выглядит четырехмерное пространство, или фрактальное лицо Хаоса. Бенуа Мандельброт обнаружил, что четвертое измерение включает в себя не только первые три измерения, но и это очень важно! - интервалы между ними.
Рекурсивная, или фрактальная геометрия приходит на смену Эвклидовой. Новая наука способна описать истинную природу тел и явлений. Эвклидова геометрия имела дело только с искусственными, воображаемыми объектами, принадлежащими трем измерениям. В реальность их способно превратить только четвертое измерение. При привычных физических состояниях жидкость, газ, твердое тело – это вещества, существующие в трехмерном мире. Но какова размерность клуба дыма, облака, точнее, их границ, непрерывно размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех, и представляет собой дробную величину. Аналогичным образом можно посчитать и размерность других реальных природных объектов, например, береговой линии, размываемой прибоем, или кроны дерева, шелестящей под ветром. Живая пульсирующая кровеносная система человека имеет размерность 2,7. Выясняется, что все объекты с нечеткой, хаотичной, неупорядоченной структурой, а таких в природе подавляющее большинство, оказались состоящими из фракталов. Связь между хаосом и фракталами далеко не случайна, ибо она выражает их глубинную сущность. Фрактальную геометрию Мандельброта можно назвать геометрией хаоса. Для изучения реальных процессов применяется именно теория хаоса.
Юрий Эглескалн 5 ноября 2015 г.