назад http://www.proza.ru/2016/08/23/1876
Физика для автомобилистов.
Часть 3. Антиопрокидывание
При повороте машины (а тем более резком) её подстерегает, как уже было сказано, и другая опасность – опрокидывание машины в сторону, противоположную повороту. Давайте разберём физику и этого процесса.
Почему машина при повороте вдруг «хочет» опрокинуться? Да потому, что в то время как на её колёса начинает действовать сила трения скольжения (появляющаяся при повороте руля), сама машина в целом по-прежнему «хочет» двигаться, как оно и было – прямо. Что же в итоге? Появляется составляющая момента импульса машины, направленная перпендикулярно плоскости её передних колёс, которая и стремится опрокинуть машину в сторону, противоположную повороту.
И она равна m*vn*h,
где vn=v*tg(alfa),
v – скорость машины,
alfa – угол поворота передних колёс машины относительно её продольной оси(соответствующий углу поворота руля),
vn - нормальная плоскости передних колёс машины составляющая скорости машины,
m - масса машины,
h – высота центра масс машины.
А значит, эта составляющая момента импульса машины тем больше, чем больше не только масса и скорость машины, но также высота её центра масс h и угол поворота руля. Поэтому в 1-ую очередь в область риска в данном случае попадают высокие машины.
Что же противодействует этой составляющей момента импульса? А то, что при повороте машины в плоскости, перпендикулярной её скорости (назовём её плоскость C), сжимаются рессоры со стороны, противоположной повороту. Поэтому сила упругости, возникающая в рессорах этих, и противодействует опрокидывающему моменту импульса.
Именно она создаёт вращательный момент Fупр*b, также в плоскости C, но направленный противоположно вышеуказанному моменту импульса. И именно действие этого момента
(которое тем больше, чем больше время его существования.
И поэтому равно Fупр*b*dt, где dt – тут время поворота )
и должно к равновесию систему привести. (пока не вступят в действие некие ограничивающие факторы для силу упругости рессор)
Поэтому условие отсутствия опрокидывания таково:
m*vn*h<=Fупрm*b*dt,
где Fупрm – максимальная сила упругости, которую способны создать рессоры
Откуда последовательно получаем:
m*v*tg(alfa)*h <=Fупрm*b*dt =>
m*v*tg(alfa)*h <= k*dlm*b*dt =>
dt> = m*v*tg(alfa)*h/(k*dlm*b) (А)
где
h – высота центра масс машины (приблизительно равная полувысоте машины),
b – полуширина колеи машины
dt –время поворота,
k – коэффициент жесткости рессор,
dlm – максимальная деформация рессор,
Это и есть условие антиопрокидывания машины.
И обратите внимание здесь: чем больше отношенье h/b, тем больше шансов у машины опрокинуться. А оно, как известно, у грузовиков и у автобусов максимально и может быть даже больше 1.
А как определить максимальную деформацию рессор? Понятно, что она происходит в результате поворота корпуса машины в плоскости С в сторону, противоположную стороне поворота. А поэтому найдётся так:
dl=b*dfi => dlm=b*dfim, (B)
Где b – полуширина колеи машины,
dfim – максимальный угол поворота корпуса машины в плоскости С.
(который, нам понятно, по любасам не может больше, чем d Pi/2.
Поэтому принимаем это fim=Pi/2)
В результате этого условие антиопрокидывания (самое мягкое) выходит:
dt> = m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi) => dtmin = m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi)
Как же найти время поворота машины? За время поворота машина проходит дугу длиной
s=R*beta,
где R - радиус дуги поворота,
beta - центральный угол дуги поворота,
отсюда само время поворота:
dt=s/v=R*beta/v
В итоге получаем следующее мы искомое условье:
R*beta/v>= m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi)
Но ведь понятно, что поворот машины (в плоскости С) на предельный угол лишь за предельное время может тут произойти. Поэтому займёмся мы его определеньем.
Вследствие того, что поворот в этой плоскости происходит равноускоренно, а начальная угловая скорость его равна 0, то угол поворота корпуса в плоскости С достигнет значения:
dfi = eps*dt^2/2 => dt=sqrt(dfi*2/eps) => dtm=sqrt(dfim*2/eps) =>
dtm=sqrt(Pi/2*2/eps)= sqrt(Pi/eps) (С),
где dtm – максимально (возможное) время поворота
eps – угловое ускорение корпуса машины в плоскости С.
Которое найдётся так:
eps=М/J,
где М – момент сил вращения машины в плоскости С
J - момент инерции машины в плоскости С.
А момент сил вращения машины в плоскости С найдется отсюда:
P=M*dt => M=P/dt
Где P – момент импульса вращения в плоскости С
dt – время поворота
Момент импульса вращения в плоскости С
(и я беру тут только опрокидывающий момент. А потому что момент сил упругости рессор лишь только противодействует ему, до момента равновесья)
P= m*v*tg(alfa)*h
И как его, момент инерции тела, тут найти? А для параллелепипеда (и это примерная форма корпуса машины) и относительно продольной тут оси, проходящей через центр масс машины, он таков:
J=1/12*m*(b^2+h^2),
где b - ширина прямоугольника,
h - высота прямоугольника.
Поэтому в наших обозначениях получается такое:
J=1/12*m*(b^2+h^2) = 1/12*m*((2*b)^2+(2*h)^2) = 1/3*m*(b^2+h^2),
где b - полуширина колеи машины (при этом принятно, что ширина колеи=ширине машины),
h - полувысота машины (при этом принято, что сечение машины в плоскости С, проходящую через центр масс машины - приблизительно прямоугольник)
В итоге, подставляя всё это в (С), получаем, что максимально (возможное) время поворота тут таково:
dtmaх =sqrt(Pi*(b^2+h^2)*dt/(3*v*tg(alfa)*h))
Но при это тут смущает то, что в условие это (относительно времени поворота) уже тут входит время поворота
(но? правда, не возможное, а допустимое:
dt> = m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi) =>
dtmin = m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi))
А отсюда, совмещая 2 этих результата, мы получим:
dtmin= m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi)
dtmaх =sqrt(Pi*(b^2+h^2)*dt/(3*v*tg(alfa)*h))
А отсюда тут понятно, что разумно нам потребовать такое:
dtmin= < dtmaх =>
m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi)=< sqrt(Pi*(b^2+h^2)*dt/(3*v*tg(alfa)*h))
А отсюда следует такое:
sqrt(Pi*(b^2+h^2)*dt/(3*v*tg(alfa)*h))>= m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi)
Следовательно:
Pi*(b^2+h^2)*dt/(3*v*tg(alfa)*h)>= (m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi))^2 =>
dt>= (m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi))^2/(Pi*(b^2+h^2))*(3*v*tg(alfa)*h) =>
dtmin= 3* m^2*v^3*tg^3(alfa)*h^5/(Pi^3*k^2* b^4*(b^2+h^2))
Это и есть минимально допустимое (с точки зрения антиопрокидыванья машины) время поворота, но с более жестких тут условий.(а именно, с учётом момента инерции машины в плоскости С))
А с более мягких оно, как видим, таково:
dtmin = m*v*tg(alfa)*h*2/(k* b^2*Pi)
(и это выведено выше)
Если же исходить из того, что максимальная деформация рессор машины (или её подвески) dlm не может быть больше некоторой части рессор исходного прогиба (иль исходной (то есть в недеформированном состоянии) длины подвески) l, то есть:
dlm=kk*l,
где kk - доля этой части (и в пределе kk=1, ну а в реальности kk=0,6..0,8),
то получается формула более простая (но самая жесткая всё же):
dtmin = m*v*tg(alfa)*h/(k*kk*l*b)
А отсюда такое вот выходит:
R*beta/v>= m*v*tg(alfa)*h/(k*kk*l*b)
Но, чтобы окончательно логичный смысл нам этой формуле придать, давайте как разделим параметры машины и параметры поворота (а также и водителя действий, по осуществлению его). И тогда получится тут такое:
R*beta/v>= m*v*tg(alfa)*h/(k*kk*l*b) =>
R*beta/v/(v*tg(alfa))>= m*h/(k*kk*l*b) =>
R*beta/v^2/tg(alfa)>= m*h/(k*kk*l*b)
И давайте здесь всё-таки сделаем прикидочный (для автобуса "ПАЗ-3205") расчёт.
Параметры этой машины таковы:
m=8*10^3 кг (при 100% загрузке (23 человека), в среднем)
h=2,9/2= 1,45 м (в среднем)
kk=0,8
b=2,53/2= 1,265 м
http://bus.uazsp.ru/models/32053/
k=4,03*10^5 Н/м http://journal.diat.edu.ua/stat/5_35_full_ru.pdf
l=0,21 м
Параметры поворота и действий водителя при повороте возьмём такие:
R=1,88 м (такой радиус поворота получается при повороте направо на 2х полосной дороге 1-ой и 2-ой категории, согласно Гост России)
beta=90 гр = 90/180*Pi =1,57 (рад)
v=10 км/ч = 10*0,278= 2,78 м/с
alfa= 10 градусов = 10/180*Pi= 0,175 (рад)
В итоге получается следующее (верное) соотношение:
2,18>0,135
(то есть машина устойчивой остаётся)
Но если увеличим мы скорость машины в 5 раз? То есть будет v=50 км/ч = 50*0,278= 13,9 м/с
А отсюда итоговое соотношенье станет тут другое:
2,18/25>0,135 => 0,0872>0,135
(то есть уже неверным. А поэтому антиопрокидывание уже не обеспечено тут будет. Как минимум, при скорости 40 км/ч ты при этом в безопасности ты будешь. Но и это даже мне кажется завышенным результат. А именно, в связи с некорректностью (хотя бы каких-то) исходных данных для рассчёта. И в 1-ую очередь тех, которые в интернете наиболее сложно тут найти: l и k.
Но, если заглянуть на предыдущую статью из этого цикла http://www.proza.ru/2015/12/02/2087, то получим и другое объяснение этому результату: в дугу поворота такого радиуса машина впишется максимум при скорости 11 км/ч)
Домашнее задание для читателей:
Но если мы снизим скорость поворота до v=30 км/ч = 30*0,278= 8,34 м/с, а угол поворота тут руля увеличим, до alfa = 20 гр = 0,35 (рад), то каков итог? Перевернёмся или нет?
P.S.
Если же центр масс машины
(вместе с пассажирами, конечно.
Или с грузом (и желательно, в кузове, закрепленном)
)
смещен от геометрического центра и при этом в сторону, противоположную направлению поворота
(и такое получается, например, если бОльшая часть автобуса пассажиров расположена на одном его «крыле»),
то возникает дополнительный опрокидывания машины при повороте риск.
А именно, тем бОльший, чем больше этот вот массы машины эксцентриситет. А также всяко это приращение риска (опрокидывания) больше, чем выше центр масс машины находится над землёй
(и такое у автобуса всякого? по сравнению с машиной легковой, конечно, есть)
PS2. Вчера ехал на рейсовом автобусе (Пазике) по городу, и реально чуть не перевернулись, на элементарном перекрёстке.(на 90 градусов тут)
А именно, когда автобуса наклон в плоскости С составил тут критический угол (и это было близко к градусам 40), я тут подумал: ну всё, пипец, перевернёся щас.
Но водитель (чудом) как-то услышал (в тот же момент) мои эти мысли
(и наверно, потому, я сейчас почти всегда (и с некоторых пор) сажусь в автобусе с водителем максимально рядом.),
и на педаль тормоза нажал. И это нас (от опрокидывания) и спасло.
А поэтому, друзья, кричите водителю автобуса "тормози!", если что.
PS3: Оказывается, уже существует система антиопрокидывания для грузовиков
Не мешало бы её установить и на рейсовых городских автобусах.
вперёд http://www.proza.ru/2015/12/02/2459