О монотонности, изотопах и экстремумах разных функций
При решении задач в ЕГЭ (а также и в ОГЭ) часто требуется уметь определять направление монотонности разных функций (и не только в математике, но и в физике тоже. А даже и в особенности в ней)
Ну, например, такая вот задача:
На экране получаем интерференционную картину.(ИК) Расстояние до экрана увеличиваем мы. Что в итоге произойдёт с картиной интерференционной?
Варианты тут ответа: 1)расширится она; 2)она сожмётся.
(то есть в случае данном речь идёт о расстоянии между ближайшими максимумами на ИК, а точнее о направлении изменения его, этого расстоянья)
Назовём мы это направление директом данной тут величины. Поэтому задача сводится к решению чисто математической задачи: по заданному директу 1-ой величины (а также функции 2-ой величины от 1-ой, которую мы определяем на базе знания физики формул) нам определить директ тут 2-ой.
И это уж чисто математическая задача. Которая для функции 1-го аргумента решается просто:
D(-x)=-D(x)
(смысл тут такой: функция y=-x убывает (при возрастании, разумеется, x), на всей области своего определенья)
Ну а дальше будет так (разворачиваться алгебра директов для нас)
D(k*x)=[(D(x),k>=0),(-D(x),k<0)]
D(k/x)=[(-D(x),k>=0),(D(x),k<0)]
D(|x|)=[(D(x),x>=0),(-D(x),x<0)]
D(k^x)=[(D(x),k>=1),(-D(x),k<1)]
D(log(x,k))=[(D(x),k>=1),(-D(x),k<1)]
D(x^k)=[(D(x),(k>=0,x>0)),(-D(x),(k<0,x>0)]
(квадратные скобки тут означают совокупность утверждений, то есть логическую связку (меду ними )«или», а круглые – логическую связку «и» (то есть систему утверждений))
Остальные функции (из курса математики школьной) пока не буду трогать.
(И оставляю запись этих теорем читателю, заинтересованному в этом)
А поэтому пока мы перейдём на определение монотонности функций от аргументов 2-х.(то есть бинарных функций)
Ну, например, рассмотрим функцию такую:
Z=x*y
А именно, определим её тут монотонность.
А для этого найдем её мы полный дифференциал:
Dz=dz/dx*Dx+dz/dy*Dy,
Где Dx и Dy – приращения аргумента а потом функции его,
А dz/dx и dz/dy – частные производные функции нашей по заданному аргументу (x иль y), которые соответственно равны:
dz/dx=y;
dz/dy=x
А отсюда:
Dz=y*Dx+x*Dy
А далее, если вектор нашего движенья в фазовом пространстве функции данной мы тут зададим, то определим мы и Dz.
И пусть тут этот вектор будет таковым: Dy=k*Dx (где k - константа)
(отсюда, кстати, что выходит? Что y=k*x+b)
(и это мы могли бы иначе сделать, а именно так: Dy=f(Dx), где f – произвольная функция.
А мы выбрали функцию самую простую. )
И далее мы получаем, что функции нашей полный дифференциал тут таков:
Dz=y*Dx+x* k*Dx= Dx*(y+x*k) => Dz/Dx=y+k*x
Отсюда вывод:
[(Dz/Dx>0, y>-k*x),(Dz/Dx<0, y<-k*x)]
То есть при y>-k*x функция наша возрастает, а при y<-k*x – убывает.
Таким образом, при движении по фазовому пространству функции нашей, z=x*y, по вектору Dy=k*Dx, мы получаем, что прямая y=-k*x делит фазовое пространство на 2 области такие, из которых в 1-ой функция возрастает, а во 2-ой она тут убывает. Сама же прямая эта – линией является такой, на которой убывание сменяется возрастаньем, то есть линией экстремумов условных (а именно, при движении по вектору Dy=k*Dx, то есть при движении вдоль прямых такого вида y=k*x+b)
В частности, если Dx=0 => Dz=x*Dy => Dz/Dy=x.
Отсюда получается такое: при движении вдоль прямых такого вида x=a линией водораздела между областью функции убыванья и областью возрастанья – является прямая x=0.
В случае же, если Dy=0 => Dz=y*Dx.
Отсюда получается такое: при движении вдоль прямых y=b линией водораздела между областью убыванья и областью возрастанья является прямая y=0.
Возьмём теперь бинарную мы функцию другую: z=x/y.
И полный дифференциал такой тут будет для неё:
Dz=1/y*Dx-x/y^2*Dy
Теперь мы тут возьмём за вектор нашего движенья по фазовому пространству функции этой тот же самый вектор, Dy=k*Dx.
Тогда мы тут и получаем, что полный дифференциал для функции нашей равен:
Dz=1/y*Dx-x/y^2* k*Dx = Dx*(1/y- x/y^2* k) =>
=>Dz/ Dx = 1/y- x/y^2* k = 1/y*(1- x/y*k)
(а чему ж равно тут Dz/Dy?
Dz/Dy = Dz/ k*Dx = 1/k*Dz/Dx = 1/k*(1/y- x/y^2* k) = 1/(k*y)-x/y^2.
Отсюда нам понятно, кстати, что если k<0, то при возрастании функции при движении по оси x, при движении по оси y функция будет убывать.)
Теперь поставим мы условье, чтоб функция наша возрастала, то есть Dz/Dx>0. Отсюда и получится у нас, что так будет происходить при выполнении условья:
[(y>0, 1- x/y*k>0),( y<0, 1- x/y*k<0)] =>
=> [(y>0, y>k*x),( y<0, , y>k*x)]=>
=> y>k*x
Отсюда нам теперь понятно, что в целом функция наша (z=x/y) ведёт себя вот так:
[(Dz/Dx>0, y>k*x), (Dz/Dx<0, y<k*x)]
Что словами выражается так: при движении вдоль прямых такого вида y=k*x+b линией водораздела между областью функции убыванья и областью возрастания её является прямая y=k*x (на которой и лежат условные экстремумы функции этой, при заданном направлении тут движенья по фазовому её пространству)
Продолжение следует!
Далее поговорим об изотопах и экстремумах полиарныых функций.
вперёд http://www.proza.ru/2016/04/28/62