— ...числовая ось непрерывна, но эта непрерывность — всего лишь математическая абстракция. Каждый раз в прикладных целях мы рассматриваем не всю ось, а конкретные точки. Однако сейчас мы поговорим не о непрерывности числовой оси, а о соседних точках на ней. Все мы из школьного курса математики помним, что между двумя любыми числами может располагаться бесконечное множество других, однако на ситуацию можно взглянуть и с иной стороны.
И всё дело в том, что существуют периодические дроби, о которых вы также знаете. Но нас будут интересовать не все, а лишь с периодами 9 и 0. Давайте рассмотрим два числа: 1 и 0,9999... = 0,(9). Если мы полагаем бесконечное количество девяток после запятой, отсюда вытекает, что на оси эти два числа будут соседствовать, и между ними уже никакое другое число не встанет. Для практических вычислений периодические дроби в чистом виде не используются, всегда происходит округление, но с точки зрения абстрактной логики будем исходить из того, что имеем дело с разными числами.
Если продолжить эту мысль, можно условиться, что всегда найдутся числа, непосредственно соседствующие с рассматриваемыми так, что никаких других между ними быть не может. Вопрос лишь в том, как эти числа записать.
Вернёмся к нашей периодической дроби 0,9999... = 0,(9). Запишем её чуть иначе: 0,(9)9. При этом имеем в виду, что эта запись — такая же абстракция, как и первоначальная, поскольку в обоих случаях предполагается бесконечное количество девяток. Однако теперь мы можем записать «как бы предшествующие» числа:
0,(9)8; 0,(9)7; 0,(9)6 и так далее.
Рассуждая отвлечённо, мы имеем ряд чисел, между которыми уже нет никаких интервалов.
Здесь мы рассматривали окрестность точки со значением 1 слева, но ничто не мешает применить тот же подход для окрестности той же точки справа. Разница лишь в том, что вместо периода 9 нам придётся использовать период 0:
1,(0)1; 1,(0)2; 1,(0)3 и так далее.
У таких чисел есть особенность. Мы можем при необходимости одно и то же число записывать по-разному, например:
1,(0)1 = 1,(0)01 = 1,(0)001... или
0,(9)9 = 0,(9)99 = 0,(9)999... и так далее.
Тогда мы сможем осуществлять с этими числами привычные арифметические действия.
Например, при сложении двух чисел получим:
0,(9)8 + 0,(9)7 = 1,(9)5, что эквивалентно
0,(9)98 + 0,(9)97 = 1,(9)95
Сравните:
0,(9)2 + 0,(9)3 = 1,(9)85, что эквивалентно
0,(9)992 + 0,(9)993 = 1,(9)985
Или:
0,(9)2 + 0,(9)7 = 1,(9)89, что эквивалентно
0,(9)992 + 0,(9)997 = 1,(9)989
Обратите внимание: если рассматривать числа 1,985 и 1,995, то между ними, как и между любой произвольной парой, расположено бесконечное множество чисел, в данном же случае между 1,(9)85 и 1,(9)95 таких чисел всего 9:
1,(9)86; 1,(9)87; 1,(9)88; 1,(9)89; 1,(9)0; 1,(9)1; 1,(9)2; 1,(9)3; 1,(9)4.
Вы видите: меняется значение только последних разрядов. Если, конечно, здесь вообще правомерно говорить о разрядах, ведь их бесконечное количество!
Соответственно, вычитание выглядит так:
1,(9)3 – 0,(9)6 = 0,(9)7
Другой пример:
1,(9)6 – 1,(9)3 = 0,(0)3
С умножением на целое число тоже всё довольно просто, если иметь в виду, что оно может быть заменено сложением одинаковых слагаемых, например:
0,(9)3 х 4 = 0,(9)93 + 0,(9)93 + 0,(9)93 + 0,(9)93 = 3,(9)72
(Здесь и ниже символ "х" используется в качестве знака умножения).
Не так сложно и с делением на целое число, если возможно разделить без остатка:
5,(9)76 : 3 = 1,(9)2
Правила этих действий приводить здесь не будем, они несколько отличаются от тех, которыми мы привыкли пользоваться, но тем не менее достаточны просты.
Тут пора бы отметить, что такие соседние точки можно определять не только для целых чисел на числовой оси, но и дробных. Если бы в предыдущем примере мы делили не на 3, а на 4, результат выглядел бы так:
5,(9)76 : 4 = 1,4(9)4
А если то же самое число попытаться разделить на 5, результат без остатка уже не получится:
5,(9)76 : 5 = 1,1(9)5 и 0,(0)1 в остатке.
Посмотрим теперь, что будет получаться при перемножении таких чисел. Возьмём для примера классический случай и узнаем, как будет выглядеть результат, если 2 умножить на 2.
Случай первый, очевидный:
2 х 2 = 4
Случай второй:
2 х 1,(9)9 = 3,(9)8
Случай третий:
2 х 2,(0)1 = 4,(0)2
Случай четвёртый:
2,(0)1 х 1,(9)9 = ( 2 + 0,(0)1 ) х ( 1 + 0,(9)9 ) = 2 + 0,(0)1 + 1,(9)8 + 0,(0)1 х 0,(9)9
Для вычисления последнего слагаемого привлечём логику.
Полагая, что 0,(9)9 < 1, можно заключить:
0,(0)1 х 0,(9)9 < 0,(0)1
Ближайшее число, меньшее 0,(0)1, — это 0, то есть
0,(0)1 х 0,(9)9 = 0
В итоге получим:
2,(0)1 х 1,(9)9 = 2 + 0,(0)1 + 1,(9)8 = 3,(9)9
Рассуждая аналогичным образом и полагая, что по определению 0,(9)9 х 0,(9)9 = 0,(9)8 и 0,(0)1 х 0,(0)1 = 0, можно получить ещё два результата:
1,(9)9 х 1,(9)9 = ( 1 + 0,(9)9 ) х ( 1 + 0,(9)9 ) = 1 + 0,(9)9 + 0,(9)9 + (0,(9)9 х 0,(9)9) = 3,(9)6
2,(0)1 х 2,(0)1 = ( 2 + 0,(0)1 ) х ( 2 + 0,(0)1 ) = 4 + 2 х 0,(0)1 + 2 х 0,(0)1 + (0,(0)1 х 0,(0)1) = 4,(0)4
Обычные периодические дроби также называют бесконечными периодическими дробями. Пусть профессиональные математики не возмущаются, но, проявив некоторую фантазию и логику, мы могли бы рассмотренные здесь числа назвать квазиконечными периодическими дробями. Впрочем, слово «дробь» в данном случае не следует понимать буквально, да и записывать эти числа можно иначе, например, вместо скобок использовать площадку или уголок над цифрами.
Следует, однако, иметь в виду, что всё вышесказанное является чистейшей абстракцией и служит исключительно для разминки серого вещества.
Благодарю за внимание!
III.2016
Примечание.
Вниманию любителей математической экзотики можно также предложить публикацию «О гиперстепенях» (http://proza.ru/2021/09/11/1).