Пасьянс "Узник"
Падишаха звали длинным замысловатым именем - Абу Али Ахмед Иван Хасан Мухаммед. Если кто-то удивится, что в имени великого царя вклинилось русское имя "Иван", сразу же доложим данному товарищу, что как раз ничего удивительного в данном факте нет. В свое время отец падишаха, Абу Али Ахмед Хасан Хуссейн Мухаммед вместе со своим закадычным другом Захир Махиром учился в Москве, в университете имени Патриса Лумумбы, где весьма приятственно провел время в обществе прекрасных беленьких студенток, попутно нещадно поглощая спиртосодержащие жидкости в компании русских друзей, которые дали принцу кличку "Иван" (друг же получил ласковое имя "Мишка"). По возвращении домой принц был коронован, женат на гареме из семнадцати жен и от главной жены заимел первенца, героя нашего рассказа, ласково называя того Ваней. Также совершенно естественно, что Захир Махир был назначен визирем и железной рукой правил страной от имени своего повелителя. К сожалению, пагубное пристрастие к алкоголю у падишаха осталось, а посему сей добрый молодец в итоге заболел циррозом печени и скоро отдал богу душу, заклиная Ванюшу ни в коем случае не употреблять напитки крепче йогурта. Заветы отца на Востоке всегда были святым делом, а потому Абу Али Ахмад повелел закрыть все винно-водочные заводы, все магазины, торгующие подобной продукцией и издал свирепый указ, в соответствии с которым под страхом смерти запрещалось гнать в домашних условиях самогон.
Его шахиншахское величество был невероятно образован и по праву считался интеллектуалом номер один всего падишахства, простиравшегося от Гималаев до Аравийских пустынь. Падишах с отличием окончил Оксфорд, Кембридж, Гарвард, Стенфорд и Сорбонну. Как ему удалось всего за один год окончить эти прославленные заведения - никто не знал, а самого падишаха никому и в голову не пришло бы об этом спросить. Тем не менее на стенах приемной висели дипломы означенных заведений, заключенные в премилые рамочки из палисандрового дерева, с тем, чтобы всякий недоверчивый подданный смог бы воочию убедиться в полученных падишахом степенях. Абу Ахмед также владел всеми основными языками планеты - английским, французским, немецким, испанским, итальянским, португальским, китайским и русским, не говоря, конечно, о родном арабском. Падишах прекрасно владел менеджментом, финансами, бухгалтерией и лично каждый год проводил аудит казначейства. И горе было незадачливому казначею, если в казне была недосдача. Того мерзавца на следующий день выводили на площадь, привязывали к деревянному столбу и каждый желающий имел право отрезать у провинившегося кусочек тела. Поэтому казначей дрожал над каждым финансовым документом и лично следил за кассой. Кроме того, падишах любил читать. Толстого и Достоевского он читал на русском языке, Шекспира и Хемингуэя - на английском, Маркеса - на испанском, Амаду - на португальском, Дюма и Рабле - на французском, обоих Маннов - на немецком, Данте - на итальянском. А вот на китайском и на своем родном арабском падишах принципиально художественную литературу не читал. Абу Ахмед считал, что иероглифы ужасно обедняют исконные мысли автора и потому любимого Конфуция читал на английском. Что до арабского, то падишах был весьма невысокого мнения о достоинствах арабских писателей, хотя древних поэтов очень любил и даже знал наизусть многие стихи Омара ибн Абу Рабиа.
То есть, смело можно было сказать, что его величество падишах являлся выдающейся личностью, как в плане знаний, так и в политике, ибо государство процветало, народ был доволен, а чиновники каждое утро молились на своего работодателя. Но, как известно, идеальных людей не бывает. В любом случае даже у идеального человечка какой-нибудь недостаток да найдется. Не был исключением и падишах. Полностью отказавшись от алкоголя, Абу Ахмед пристрастился к картишкам и каждый вечер играл со своими подчиненными в подкидного дурака, а когда уставал от глупости подчиненных, вечно ему проигрывавшим, начинал раскладывать пасьянсы, которых знал великое множество. Более того, падишах самолично придумал несколько пасьянсов, дав им экзотические названия - "Королевский верблюжонок", "Саксаул", "Лотосик Нила" и много других. Среди прочих в списке выдуманных им пасьянсов был также один, которому падишах пока названия не придумал, дьявольски трудный пасьянс, поскольку еще ни разу он не сошелся. Вкратце описание его было таково.
Из колоды в 36 карт наудачу выкладываем 9 карт картинкой вверх. Далее из оставшейся колоды также произвольно снова выкладываем по 3 карты. Если во первом ряду есть карты, по достоинству (независимо от масти), совпадающие со средней картой из второго ряда, то они убираются. Например, если в первом ряду появились три туза, а во втором ряду средняя (то есть вторая карта) туз, то все тузы из первого ряда убираются. Пасьянс сошелся, если в первом ряду карт вообще не осталось.
В тот злосчастный вечер падишах играл в дурака с ушедшим в остставку мудрым визиром, близким другом его покойного отца.
- Ох, непрост визирь, ох, как непрост, - думал падишах, раздумывая над очередным ходом, - интересно, сколько тайн знает этот человек. Ведь он с моим отцом целых пять лет жил в одной комнате в далекой русской столице. Что они там делали? Небось, вели фривольную жизнь. А ведь ничего не расскажет, сволочь... И как это получилось, что вместе выпивали, а от пьянства погиб именно мой отец. И правильно я сделал, что сразу же снял его с этой должности.
В этот миг падишах заметил, как старик незаметно загибает уголок карты так, чтобы на ней появилась еле заметная линия сгиба.
- Интересно, интересно, - подумал Абу Ахмед, - уж не потому ли этот прохвост постоянно у меня выигрывает, в то время, как другие проигрывают?
После очередного проигрыша (как обычно, пятьсот динаров), визирь хотел было забрать с собой деньги и колоду, однако падишах не разрешил ему этого сделать.
- Не спеши, визирь, - ледяным тоном промолвил царь, - давай-ка вместе взглянем на эту колоду. Смотри, как интересно, у всех тузов углы карт загнуты. Как по-твоему, почему?
Визирь грохнулся на пол и стал биться головой о мрамор.
- Не вели казнить, великий государь, бес попутал.
- Бес, говоришь? Эй, кто там, отведите-ка этого бывшего джентльмена в темницу. Завтра я вынесу ему приговор.
Вечером падишах поругался с главным евнухом, настойчиво предлагавшим ему новую жену из далекого Люксембурга.
- Ваше падишахство, не пожалеете, такой куколки в вашем гареме еще не было.
- Отстань.
- Да вы только посмотрите на нее. Какие у нее губки, какая белая кожа, а глаза...
- Заткнись.
- Позвольте мне...
- Не позволю, - затопал ногами падишах, - проваливай в гарем, пока цел, идиот.
Евнух, кланяясь, удалился, а Абу Ахмед принялся вынашивать планы мести.
- Убить визиря нельзя, - рассуждал он сам с собой, - это означало бы оскорбить память моего отца. О! Я знаю, что надо сделать!
На следующее утро падишах отправился в камеру к визирю, захватив с собой колоду карт.
- Ты, недостойный визирь, оказался мерзским аферистом. Лишь то обстоятельство, что ты был другом моего отца, удерживает меня от вынесения тебе смертного приговора. Но я тебя накажу. Я каждое утро буду приходить сюда и раскладывать мой пасьянс, пасьянс "Узник". И в тот день, когда он сойдется, ты получишь свободу. А пока - сиди здесь и размышляй о бессмертии.
Падишах разложил пасьянс, который, конечно не сошелся и довольный своей изобретательностью, отправился царствовать.
Так и повелось. Падишах каждое утро приходил в камеру, раскладывал пасьянс, с довольной ухмылкой наблюдая за кислой миной визиря и уходил со словами.
- Да, и сегодня тебе не повезло, старый аферист.
Однако на исходе второго месяца приключилось маленькое чудо. Пасьянс сошелся! Падишах не мог поверить своим глазам, однако увы - это свершилось. Делать нечего - он освободил визиря, вернулся в палаты и уселся за свой рабочий стол.
- Так, так, так, - разговаривал Абу Ахмед сам с собой. Интересно, как это получилось, а? Выходит, пасьянс очень даже может сойтись. А давай-ка, друг Ахмед, подсчитаем вероятность его схождения. Что? Думаешь, не смогу? Посмотрим, посмотрим...Ах, да, надо бы позвать главного математика , как его там. Эй, ты, куриная голова, позови-ка мне ученого старца, ну того, одноглазого.
Абдуллах Бурхан Ваддах в свое время прославился тем, что измерил высоту королевского дворца с точностью до сантиметра. Правда, злые языки поговаривали, что Бурхан, мол, опустил с крыши на землю веревочку с привязанным на конце камнем, а затем эту веревочку измерил линейкой, однако сам академик утверждал, что измерил высоту строения, используя метод подобия треугольников, который, якобы, он изобрел в компании с неким Евклидом. Как бы то ни было, Абдуллах Бурхан стал академиком, любимцем отца действующего падишаха, и так, постепенно состарился, не выпячиваясь и стараясь не попадаться на глаза высшим сановникам.
- Садись, Бурхан
- Да будет вечно счастье с тобой, мой повелитель.
- Тут, Бурхан, такое дело.
Падишах объяснил ученому суть задачи. Бурхан был на редкость сообразителен, а потому уже с третьего раза все усек.
- Теперь слушай. Давай, во-первых, определим всевозможные типы раскладов, обозначая количество карт определенного достоинства, появившихся в верхнем ряду, в скобках. Например, (2) будет обозначать два туза, или две десятки, или две дамы. Понял?
- Понял, вашество. Двойка в скобках будет означать либо два туза, либо две дамы, либо две десятки.
- Дурак. Цифра два в скобках может означать две карты любого достоинства. Может, два короля или две шестерки. Понял?
- Да, вашество. теперь я очень хорошо все понял.
- Тогда скажи мне, Бурхан, что может означать комбинация (3)(3)(3)?
- Если я, ничтожный червяк, правильно понял ваше величество, то эти цифры могут означать, что в верхнем ряду выпали, например, три туза, три короля и три шестерки.
- Отлично, Бурхан, Ты даже умнее, чем я ожидал. Давай-ка составим все комбинации, которые возможны. Смотри.
И падишах пододвинул математику лист бумаги.
- Ты будешь писать на этом листе, а я на этом. Потом сравним написанное.
Через полчаса падишах свою работу закончил и посмотрел на старца.
- Это что ты написал, старый дурак?
Список Бурхана начинался с комбинации (9).
- Ты колоду карт видел? Ты что, думаешь, что в колоде находится девять тузов?
- Простите меня, неразумного старца, о величайший.
- Ладно, проехали. Смотри сюда.
И падишах подвинул математику свой лист бумаги, на котором крупным, красивым почерком было написано.
1. (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
2. (2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
3. (2)(2)(1)(1)(1)(1)(1)
4. (2)(2)(2)(1)(1)(1)
5. (2)(2)(2)(2)(1)
6. (3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
7. (3)(2)(1)(1)(1)(1)
8. (3)(2)(2)(1)(1)
9. (3)(2)(2)(2)
10. (3)(3)(1)(1)(1)
11. (3)(3)(2)(1)
12. (3)(3)(3)
13. (4)(1)(1)(1)(1)(1)
14. (4)(2)(1)(1)(1)
15. (4)(2)(2)(1)
16. (4)(3)(1)(1)
17. (4)(3)(2)
18. (4)(4)(1)
- Воистину ты гений всех времен и народов, о светлейший. Однако, позволь мне задать тебе вопрос. Как же ты рассчитаешь эти вероятности?
- Что за постановка вопроса, а? Кто у нас математик? Я или ты?
- О, премудрый падишах. Знания твои беспредельны и все науки на свете ты знаешь.
- Хорошо. Смотри же и учись.
И падишах начал бегло писать.
- Вот эта буква, милейший Бурхан, обозначает вероятность выпадения к- ой комбинации, то есть речь идет о первом ряде. Вторая буква обозначает вероятность того, что при выпадении к-ой комбинации пасьянс сойдется. А еще обрати внимание на то, что комбинации 1-18 образуют полную группу событий. Надеюсь, тебе не надо объяснять, что это значит?
- Увы, великий падишах. Я же специалист по дифференциальной геометрии и рядам Фурье. Комбинаторика и теория вероятностей всегда были вне поля моих интересов.
- Ах, как ты высокопарно выражешься, - презрительно заметил Абу Ахмед, - Это приблизительно то же самое, как если бы мой повар объявил мне, что он умеет готовить только яичницы и омлеты. Kстати, ты бином Ньютона знаешь?
- Помню, но смутно, великий падишах.
- Неуч! А кто такой сам Ньютон, знаешь?
- прости меня, но я очень стар...
- Эх ты, деревня. Я буду писать формулы, а ты пока поищи калькулятор. Он должен быть в том шкафу.
Падишах схватил листок бумаги стал писать следующие формулы.
- Ваше падишахство, калькулятор здесь.
- Отлично, старичок. Вот тебе лист бумаги, на котором написаны формулы по первой части.
В этот ответственный момент в дверь постучали.
- Ну, кто еще там?
- Это я, Омар Али Аббас, вашество. Делегация из Организации Объединенных Наций ожидает вас в тронном зале.
- Нашли время, - буркнул падишах, -Ладно, иди скажи, что скоро буду.
- Бурхан, ты возьми этот лист бумаги, иди к себе и начни считать. Ровно через неделю будешь здесь. понял?
- Так точно, ваше величество.
Через неделю старичок с потерянным видом вошел в кабинет падишаха.
- О, величайший, вели казнить своего глупого слугу.
- Так ты ничего не сделал? - догадался падишах.
- Увы, светлейший. Если помнишь, королевская библиотека пять лет назад сгорела, вместе с тысячами драгоценных книг и я не знаю, откуда мне взять необходимые знания, дабы решить эту задачу.
- Бурхан, ты должен был знать такие элементарные вещи. Лишь твой почтенный возраст спас тебя от неминуемой гибели. Смотри же, учись.
И падишах взял лист бумаги.
- Надеюсь, ты помнишь, что такое факториал?
Лицо старца расплылось в улыбке.
- Это я помню, о величайший.
- Ладно. Тогда посчитай мне факториал пяти.
Математик схватил лист бумаги и написал
5! = 1*2*3*4*5 = 120
- Правильно. Теперь слушай дальше.
В общем случае сочетания – это число, показывающее, сколькими способами можно выбрать элементов из множества, содержащего различных элементов.
Например, у тебя есть три элемента - a,b,c . Два элемента из трех ты можешь выбрать 3!/(2!*1!) = 3 способами. Это комбинации ab, ac, bc. Понял? Тебе больше никаких знаний не понадобится. Только написанные мной формулы. Иди и считай.
Через месяц, старичок-математик попросился на прием и плюхнувшись на колени, протянул падишаху листки бумаги.
- О, величайший, здесь мой скромные расчеты.
Падишах взял бумаги, достал из перламутровой шкатулки калькулятор и быстренько что-то посчитал, после чего швырнул бумаги старику.
- Старый дурень, твои расчеты неверны. Пойди и сделай их заново.
Бурхан зажал бумаги в зубах и на коленях выполз из приемной.
Через месяц дежурный по канцелярии велел ученому уйти.
- Я понимаю, что великий падишах должен был встретиться с тобой, но сейчас он занят.
- А что случилось?
- Скажу тебе по секрету. В гареме падишаха обнаружили молодого человека.
- И что?
- Не понимаешь, что ли? Сейчас его допрашивает начальник полиции.
- А потом?
- А потом на главном стадионе уже возводят арену, а главный псарь получил указание не кормить своих свирепых псов.
- Ты говоришь загадками. Уж не хочешь ли ты сказать, что этот молодой человек пойдет на обед псам?
- Ты удивительно догадлив, ученый. И советую тебе поскорее отправиться на стадион и занять подходящее место.
А начальник полиции из стремления выслужиться доложил падишаху, что проникновение молодого человека в гарем имело дальнейшей целью взрыв всего дворца и лишь он, главный полицейский, сумел предотватить это страшнейшее посягательство на основы государственности.
Тем не менее падишах пожелал самолично увидеть преступника.
Нарушитель спокойствия был среднего роста, голубоглаз, в оптических очках.
- Кто ты? - нахмурив брови, спросил падишах.
- Анри Мари Жозеф Люлли, - отвечал пленник
- А, так ты француз?
- Нет, я люксембуржец.
- И что ты понадобилось в моем гареме? Экзотики захотел?
- Никак нет, ваше величество. Я приехал спасти свою невесту.
- Что за дела, - изумился падишах, - эй, евнух, что мелет этот тип?
- Ваше шахиншахство, - вкрадчивым тоном сказал евнух, - в вашем гареме действительно есть девушка из Люксембурга. Несмотря на мои настойчивые просьбы, вы так и не удосужились провести с ней время. Но дело в том, что она находится здесь по своей воле.
- Это как?
- Она заключила с нами контракт, что будет находиться в вашем гареме пять лет, получая за это тысячу динаров в год.
- Не может быть, - вскрикнул француз.
- Может, может. Вот контракт, ваше величество.
На француза было жалко смотреть.
- О, Люси, как ты могла, - шептал бедняга.
- Приведи его в себя, - приказал падишах.
Удар палкой по спине живо вернул Анри Мари в чувство..
- Итак, кто ты по специальности.
- Математик, ваше величество. Специалист по теории вероятностей.
Падишах был поражен.
- А не врешь? Мементо мори, червяк!
- Никак нет, ваше величество. Я специалист в области мартингалов.
- Ладно. Скажи мне, чему равна сумма вероятностей событий, составляющих полную группу?
- Единице, ваша милость.
Падишах задумался.
- С одной стороны это же здорово, что мне попался этот математик. А с другой стороны... Эй, евнух, когда вы задержали этого молодца?
- Когда он пытался проникнуть в гарем.
- Отлично, - развил мысль дальше падишах, - значит, он там ничего натворить не успел.
- Ты, недостойный Анри Мари, понесешь должное наказание. нo сначала я должен испытать тебя. Эй, Омар, надень на него кандалы, чтоб не вздумал бежать.
После того, как кандалы были на француза надеты, был подан обед, во время которого падишах бросал на пол куски нежнейшей баранины, a проголодавшийся месье бойко подбирал мясо и с чавканьем поедал, что присутствующим очень понравилось.
- Ладно, - поглаживая живот сказал падишах, - пойдем в мой кабинет. Там я покажу тебе задачу.
В кабинете падишах дал Анри лист бумаги. Надо это рассчитать прямо сейчас. Вот тебе калькулятор.
Математик с невероятной скоростью, буквально за двадцать минут закончил вычисления.
- Так, и чему же равна сумма этих вероятностей?
- Разумеется, единице, ваше величество.
- Хорошо. А теперь слушай условие задачи.
Падишах быстренько объяснил французу условия раскладки пасьянса и в очередной раз был поражен, как быстро тот записал вероятности схождения для второго ряда.
- Хорошо, - сказал падишах, - а где данные по расчету остальных вероятностей? Ведь их же не двенадцать, а восемнадцать?
Математик упал на колени.
- Не вели казнить государь, но эти вероятности равны нулю.
- Нулю, говоришь? А, ну да. А где расчеты основной вероятности?
Анри вынул из папки и протянул лист бумаги падишаху.
На листке была всего одна запись.
Р = 0,021561627
- И что это означает, Анри? На первый взгляд это действительно малая величина, но ведь это не так. Смотри. Выходит, что если я тысячу раз разложу этот пасьянс, то в среднем он 21 раз сойдется, не так ли?
- Ученый усердно закивал.
- Ты, как всегда прав, величайший.
- Хорошо. Давай рассчитаем вероятность того, что он ни разу не сойдется в течении года, если я буду его раскладывать раз в день.
Анри записал формулу.
- Вот по этой формуле можно найти искомую вероятность.
- Как ты собираешься вычислить эту вероятность?
- Полагаю, ваше шахиншахство, надо формулу пролoгарифмировать.
- Верно мыслишь, дружок. Ну-ка, достань калькулятор и считай.
Анри углубился в вычисления.
- Воистине это очень маленькая величина, о, светлейший. Всего-то 0.00035.
- Да, - глубокомысленно произнес падишах, - а теперь посчитай эту вероятность для двух месяцев.
- Эта вероятность равна приблизительно 0.27.
- Все сходится, - подумал падишах, - так или иначе пасьянс должен был сойтись.
Француз застыл в ожидании.
- Анри, меня эти вычисления позабавили. Иди и реши эту задачу для случая, когда мы вытаскиваем из колоды не девять карт, а шесть. Понял? И перед тем, как пользоваться калькулятором, мой руки. От тебя чем-то пахнет.
- Это от бараньего жира, о светлейший.
- Не оправдывайся. Уходи и придешь сюда ровно через неделю.
Через неделю натематик преклонил колени перед падишахом.
- Светлейший гений всех времен и народов. Позволь вручить тебе мои ничтожные расчеты.
Падишах в ярости заорал.
- Запомни, ты, книжный червь. Расчеты, произведенные с помощью королевского калькулятора, не могут быть ничтожными. Понял?
- Прости своего неразумного слугу. Я имел в виду свое собственное нижтожество.
-Интересно, - размышлял падишах, - выходит, вероятность для случая шести карт или девяти практически одна и та же. А что, если...
Падишах посмотрел на ученого.
- Анри, давай решим ту же задачу, но со следующими условиями. В первом ряду будет, как обычно, девять карт, а во втором - всего три. Да, как там мой калькулятор? Часом ты его не повредил?
- Никак нет, ваше величество.
- Ладно. Так что же мы имеем?
- Да вот, ваше величество, это было очень и очень просто. Если во втором ряду будет всего три карты, то благоприятствующим случаем должен быть вариант (3)(3)(3), а во втором ряду должны выпасть те же три карты, то есть вероятность схождения будет... - Боже милостивый! Эта вероятность потрясающе мала. Она равна ноль целых двенадцать нулей тридцать пять.
- Теперь посчитай вероятность того, что пасьянс не сойдется в течении пяти миллиардов лет.
Анри лихорадочно защелкал клавишами.
- Эта вероятность, ваше величество, равна 0.5
- Надо же, подумал падишах, если со дня возникновения нашей Земли раскладывать этот пасьянс раз в день, то он когда-нибудь с одинаковой вероятностью мог бы сойтись или не сойтись. Да. Вечность. Галактики. Вселенная...
- Хорошо, Анри. Ты доказал, что на самом деле являешься прекрасным математиком. Я дарю тебе тысячу динаров, назначаю придворным математиком с зарплатой в пятьсот динаров в месяц и поручаю тебе написать книгу.
- Какую книгу, ваше величество?
- Учебник по теории вероятностей. Причем в двух вариантах. Одну популярную, вторую научную.
Милость твоя беспредельна, о, великий.
- А для полного счастья, - добавил падишах, - я дарую тебе твою неверную невесту Люси. С сегодняшнего дня она - твоя раба. Хочешь люби ее, а хочешь - сдери с нее шкуру.
Анри упал на колени.
- Как ты благороден, великий падишах.
Тем же вечером падишах обратился к начальнику полиции.
- Что слышно о неверном визире?
- Мой господин, мои люди доносят, что он уехал в свое поместье, каждый день распивает контрабадную водку и плетет против тебя заговор.
- Заговор, говоришь? Завтра же доставь его в ту же камеру, откуда он недавно вышел.
Когда визирь вновь очутился в камере, падишах обратился к нему.
Вот этот человек - падишах указал на Анри - будет каждое утро раскладывать пасьянс. И ты будешь сидеть здесь, пока пасьянс не сойдется.
Визирь невольно улыбнулся. Падишах только того и ждал.
- Однако, визирь, условия пасьянса несколько изменились...