Аннотация
Подробно рассмотрены базовые математические выкладки, положенные в основу квантовой телепортации. Рассмотрены различные «телепортационные несущие» - пары кубитов, осуществляющих перенос квантового состояния, в том числе ещё три запутанных состояния Белла.
Имеющиеся в литературе математические описания квантовой телепортации приводятся в несколько упрощённом виде, без подробных промежуточных выкладок. Это хорошо для подготовленного читателя. При первом знакомстве с квантовой телепортацией возникает ложное впечатление о её сходстве с давно известной из художественной литературы научно-фантастической телепортацией, то есть, с перемещением тел, минуя промежуточные положения. Нет, реальная квантовая телепортация не имеет практически ничего общего с научно-фантастической.
Попробуем проанализировать математику квантовой телепортации более подробно, чем это есть в литературе. Рассмотрим один из вариантов схемы установки для осуществления этой телепортации. Напомню, что в отличие от традиционной телепортации, в квантовой телепортируется не физический объект, а некие сведения о его состоянии. Мгновенно и на большое расстояние передаётся так называемая «квантовая информация», то есть, состояние квантовой частицы – кубита, состояние которого не известно, например, а|0>+b|1>. В качестве кубита используется фотон.
Схема установки для телепортации представлена на рисунке. Элементы: гейт CNOT, гейт Адамара H и измерители М1, М2 находятся на стороне Алисы, а гейты X и Z - на стороне Боба. В качестве «носителя» традиционно используются запутанные частицы в одном из состояний Белла рис.2.
Одна из частиц запутанной пары остаётся у Алисы, а другая отправляется Бобу. Рассмотрим выкладки насколько возможно подробно. Для этого обозначим кубит, состояние Фс рис.1 которого телепортируется, нижним индексом C, а кубиты, принадлежащие Алисе и Бобу, соответственно, индексами A и B. Тогда состояния кубитов, участвующих в телепортации, будут записаны как рис.1, рис.3.
Состояние системы до начала процесса телепортацния описывается вектором состояния |Ф0> рис.5 – это исходное состояние частиц на входе установки до момента их взаимодействия.
Здесь и далее в тексте вместо греческой буквы Psi мы пишем русскую Ф, поскольку на некоторых сайтах греческие буквы не пропечатываются.Частица Алисы и телепортируемая частица С подаются на вход гейта CNOT. Но частица Алисы находится в запутанном состоянии с частицей Боба, поэтому состояние системы на входе может быть математически описано только как состояние трёх частиц А, В, С. Это описание представляет собой тензорное произведение (знак умножения в кружочке).
Первый тензорный сомножитель – это квантовое состояние телепортируемой частицы, второй – состояние запутанных частиц. Это запутанное состояние представляет два равновероятных исхода измерения запутанных частиц: когда обе частицы А и В будут обнаружены в состоянии |0> (первое слагаемое - |00>) и когда они будут обнаружены в состоянии |1> (второе слагаемое - |11>). Никаких иных исходов быть не может, поэтому присутствуют только эти два слагаемых: |00> и |11>. Отметим, что частица В из EPR-пары находится у Боба, но в связи с запутанностью учитывается во всех уравнениях вместе с частицей А, находящейся у Алисы.
Далее, после знака равенства на рис.5, произведено тензорное умножение с раскрытием скобок первого сомножителя наподобие обычного умножения двучленов. На схеме установки место, положение этого состояния отмечено вертикальной чертой с обозначением Ф0.
На следующем этапе кубиты Алисы пропускаются через гейт CNOT, что приводит к изменению состояний запутанной частицы Алисы на управляемом входе гейта. Совместное состояние всех трёх частиц принимает, соответственно, вид рис.6.
Действие гейта CNOT заключается в инвертировании входного кубита Алисы, если кубит, частица С, являющаяся в схеме управляющей, находится в состоянии |1>, иначе никаких изменений.4. Поэтому новое состояние рис.6, отмеченное на схеме вертикальной чертой с обозначением Ф1, содержит во втором члене в фигурных скобках, соответствующем единичному состоянию кубита С, инверсные кубиты Алисы: |10> и |01> (в круглых скобках).
На следующем этапе телепортируемый кубит С Алисы пропускается через гейт Адамара H, в котором он преобразуется по правилу рис.4:
Отсюда получаем для системы третье состояние Ф2 рис.7.
Как видно на рис.4, действие гейта Адамара заключается в пространственном повороте кубита на 45 градусов. Математически это проявляется в том, что единичное состояние кубита Алисы |1> заменяется (с соответствующими коэффициентами) на разницу |0>-|1>, а нулевое |0> – на сумму |0>+|1>, как показано в уравнении |Ф2> рис.7. Появившиеся дополнительные коэффициенты выносим за общие скобки, где получаем 1/2.
Преобразуем уравнение, для чего раскроем скобки и перегруппируем кубиты в этом уравнении по их принадлежности Алисе или Бобу (кубиты С и А оба принадлежат Алисе, поэтому индекс им оставляем общий - А) - рис.8.
Здесь выполнены простые математические преобразования. Сначала раскрываем все круглые ( ) и дираковские скобки |>, вынося каждый кубит в свои собственные дираковские скобки. Затем (уравнение после второго знака равенства) группируем принадлежащие Алисе кубиты однотипные слагаемые в общие дираковские скобки, оставляя у них общий индекс - А.
Далее ещё раз группируем однотипные слагаемые Алисы и в результате получаем (очевидные индексы опускаем и разделяем уравнения на четыре слагаемых – рис.9, каждое из которых является одним из вероятных исходов измерения на датчиках М1 и М2.
Таким образом, уравнение пряняло окончательный вид традиционного уравнения телепортации, которое описывает состояние всей системы в позиции после гейта Адамара, обозначенное на схеме установки вертикальной чертой с индексом Ф2. Это заключительный этап подготовки телепортации кубита С.
Как видим, полученное чисто математическими преобразованиями состояние имеет четыре равновероятных исхода. После измерения на M1 и M2 пары кубитов Алисы, на стороне Боба будет получено одно из состояний в круглых скобках. Если передать Бобу результаты измерения Алисы М1М2, то он сможет произвести над своим кубитом соответствующие унитарные преобразования, в результате которых получит состояние своего кубита, копирующее состояние телепортируемого кубита Алисы. Правила преобразования сведены в таблицу рис.10.
Эта таблица описывает собственно процесс телепортации с рассмотренным традиционно используемым EPR-состоянием. В таблице Ф3 – это и есть результирующее состояние, новое состояние EPR-частицы, изначально переданной Бобу. Состояние это коррелировано с состояинем исходной, телепортируемой частицы С, но не тождественно ему. Для того, чтобы получить из своей частицы в состоянии Ф3 частицу в состоянии Фс телепортируемой частицы С, Боб должен произвести некоторые унитарные преобразования. Какое именно из четырех преобразований – I, X, Z или XZ должен произвести Боб, зависит от результатов измерений Алисы.
Для этого по обычным каналам связи Алиса передаёт Бобу результаты M1M2, в соответствии с которыми Боб и выбирает необходимое унитарное преобразование. В результате этого преобразование состояние его частицы Ф3 преобразуется в результирующее состояние Ф4. Как видно в таблице – это и есть состояние Фс телепортируемой частицы С. Телепортация произведена.
Отметим важное обстоятельство. Хотя состояние частицы С было передано от Алисы к Бобу мгновенно и на большое расстояние, не существует никаких способов определить состояние Ф3 частицы на соответствие состоянию частицы С. Поэтому передать информацию таким способом невозможно. Любые измерения частицы Боба в состоянии Ф3 будут давать такие же результаты, как и измерение частицы, не находящейся в собственном состоянии. То есть, при любом направлении измерительного поляризатора Боба результат всегда будет одинаков, частица будет проходить или поглощаться поляризатором с вероятностью 0,5 на 0,5.
Это заметно по данным в колонке Ф3. Верхняя пара частиц и нижняя пара в сумме образуют две ортогональные «вилки» векторов. Поэтому на любом направлении измерительного поляризатора они будут в сумме давать 50% прохождений от общего числа частиц, выделенного направления быть не может.
Помимо описанного традиционного EPR-состояния для телепортации могут быть использованы и три другие запутанные состояний Белла, для которых могут быть составлены такие же три таблицы соответствующих результатов телепортации. Кроме того, существует ещё одно, пятое – не-белловское запутанное состояние, которое также может быть использовано для телепортации.
Математический анализ показал, что использовать для телепортации обычную пару частиц – коррелированную, но не запутанную, невозможно. Результат будет вероятностным.
10.10.2013
Адрес полного текста статьи в интернете URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/teleport.shtml
Иллюстрации и уравнения к статье (зеркала)
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/
https://cloud.mail.ru/public/8WpP/qeaUMAiGz
https://cloud.mail.ru/public/Hq7e/jZ9YZGJW9
https://yadi.sk/d/EZg36rrKmJDwk
http://fileload.info/users/putenikhin/