Глава 6. Треугольник с углом 30 градусов.
№1. Условие: в треугольнике ABC с углом B, равным 30 градусам, проведены высоты AA_1 и CC_1.
Доказать: прямая A_1C_1 делит площадь треугольника ABC в отношении 1:3.
№2. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам; высоты CE и AD; высоты треугольника DBE—DF и EG. Доказать: отрезок FG пересекает по крайней мере одну из медиан AA_1 или CC_1.
№3. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Центр его окружности Эйлера—S. Высоты AA_1 и CC_1.
Доказать: а)угол ASC равен 90 градусов; б) сумма углов BC_1S и BA_1S также равна 90 градусов; в) угол C_1SA_1 равен 120 градусов.
№4. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. В нём проведены высоты AA_1, BB_1 и CC_1 и отмечен центр описанной окружности треугольника O.
Доказать: сумма расстояний от точки O до отрезков A_1B_1 и C_1B_1 равна утроенному радиусу окружности Эйлера треугольника.
№5. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Проведены высоты AA_1,BB_1,CC_1.
Доказать: B_1A_1+B_1C_1<=R, где R- радиус описанной окружности треугольника ABC.
№6. Условие: в треугольнике ABC с углом B, равным 30 градусам, проведены высоты AA_1 и CC_1.
Доказать: AC_1+C_1A_1+A_1C-AC=r, где r- радиус вписанной окружности треугольника ABC.
№7. Условие: в треугольнике ABC с углом B, равным 30 градусам, проведены высоты AA_1 и CC_1 и отмечены середины сторон AB и BC—E и F соответственно.
Доказать: отрезки A_1E и C_1F перпендикулярны.
№8. Условие: в треугольнике ABC с углом B, равным 30 градусам, проведены высоты AA_1 и CC_1 и отмечены середины сторон AB и BC—E и F соответственно. На отрезках C_1E и A_1F отмечены их середины—K и L соответственно, а на стороне AC отмечена её середина M.
Доказать: треугольник KLM—равносторонний.
№9. Условие: в треугольнике ABC с углом B, равным 30 градусам, проведены высоты AA_1 и CC_1 и отмечены середины сторон AB и BC—E и F соответственно. На отрезках C_1E и A_1F отмечены их середины—K и L соответственно. Известно, что C_1E=a, A_1F=b.
Найти: длину отрезка KL.
№10. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Центр описанной окружности треугольника ABC—O.
Доказать: отрезок AO проходит через ортоцентр треугольника C_1EA_1 и делится им пополам.
№11. Условие: в треугольнике ABC с углом B, равным 30 градусам, проведены высоты AA_1 и CC_1 и отмечены середины сторон AB и BC—E и F соответственно. Для треугольников C_1EA_1 и C_1FA_1 отмечены их ортоцентры—H_1 и H_2 соответственно. Они отражены преобразованием симметрии относительно прямой AC и получены точки H_1’ и H_2’ соответственно.
Доказать: AH_1H_2CH_2’H_1’—правильный шестиугольник.
№12. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Отмечен центр описанной окружности треугольника O, середина радиуса OC—E, середины сторон AB и AC—D и F соответственно.
Доказать: точка E лежит на окружности, описанной около четырёхугольника ADOF.
№13. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам, на сторонах AB и BC отмечены их середины—E и F соответственно. В треугольнике прведены высоты AA_1 и CC_1, ортоцентры треугольников C_1EA_1 и C_1FA_1—H_1 и H_2 соответственно, центр описанной окружности четырёхугольника C_1EFA_1—O_1.
Доказать: угол H_1O_1H_2 равен 150 градусам (т.е это угол между прямыми Эйлера данных треугольников).
№14. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Проведены высоты AA_1,BB_1,CC_1 и отмечен ортоцентр треугольника ABC—H. К стороне AB восстановлен серединный перпендикуляр, пересекающий сторону BC в точке P (сердина AB—E). Для треугольника A_1EC_1 построен ортоцентр H_1.
Доказать: отрезок AP делит отрезок HH_1 в отношении 2:1, считая от точки H.
№15. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Проведены высоты AA_1 и CC_1 и на отрезке A_1C_1 как на основании построен равносторонний треугольник A_1DC_1, у которого точка D лежит вне треугольника ABC. Она отражена преобразованием симметрии относительно AC и получена точка D’. Отрезки A_1E и C_1F пересекаются в точке Q. Центр окружности Эйлера треугольника ABC—S, центр его описанной окружности—O.
Доказать: D’O=2SQ.
№16. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Проведены высоты AA_1 и CC_1 и на отрезке A_1C_1 как на основании построен равносторонний треугольник A_1DC_1, у которого точка D лежит вне треугольника ABC. Отрезки A_1E и C_1F пересекаются в точке Q. Середины отрезков C_1E и A_1F—K и L соответственно.
Доказать: отрезки DQ и KL перпендикулярны.
№17. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам; известно, что стороны треугольника AB и BC равны a и b сответственно. Середины этих сторон-E и F соответственно. Проведены высоты AA_1 и CC_1. Отрезки A_1E и C_1F пересекаются в точке Q.
Найти: BQ.
№18. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Середины сторон AB и BC — E и А соответственно. Проведены высоты AA_1 и CC_1 и на отрезках C_1E и A_1F отмечены их середины – точки K и L соответственно. Отрезки A_1E и C_1F пересекаются в точке Q. Середина AC — точка M.
Докажите, что расстояние от M до отрезка KL в два раза меньше отрезка BQ.
№19. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 30 градусам. Центр описанной окружности треугольника—O; построен треугольник AOC. Вокруг него снова описана окружность. К ней в точке O проведена касательная, пересекающая большую окружность в точке K.
Доказать: отрезок AK в два раза больше, чем расстояние от точки K до прямой AO.
№20.
Условие: в треугольнике угол B равен 30 градусам. Высоты AA_1, BB_1, CC_1. Середина стороны AB—D. Точка B отражена симметрией относительно прямой A_1D и получена точка E.
Доказать: EC_1=BB_1/2.
№21. (и посл.) Условие: треугольник ABC с углом B, равным 30 градусам.
Построить равносторонний треугольник, такой, что одна из его вершин лежит на серединном перпендикуляре к AC, а две другие—на боковых сторонах.
Решения.
№1. Указание: действуйте так же, как и в №2 предыдущей главы.
№2. Указание: докажите, что площадь четырёхугольника AFGC равна 7/16 от площади треугольника ABC и воспользуйтесь тем, что эта величина меньше половины площади этого же треугольника.
№3. Указание: в а)воспользуйтесь тенм, что радиус описанной окружности такого треугольника равен стороне, противолежащей углу в 30 градусов; в б) и в) воспользуйтесь утверждениемс задачи а) и теоремой о вписанном угле.
№4. Продолжите данные перпендикуляры до вершин A и C (докажите, что прямые, их содержащие, действительно проходят через эти точки) и воспользуйтесь свойством прямоугольного треугольника с углом 30 градусов и тем, что AC=AO.
№5. Указание: отметьте центр описанной окружности треугольника C_1BA_1 как K и примените теорему Ван-Схотена к четырёхугольнику B_1C_1KA_1. И воспользуйткесь тем, что окружность Эйлера треугольника ABC проходит через K.
№6. Докажите, чьто AC_1+A_1C=AH+CH, а отрезок A_1C_1 равен высоте равностороннего треуголника, построенного на стороне AC как на основании и примените теорему Карно.
№7. Обозначьте точку пересечения A_1E и С_1F Q и примените к четырёхугольнику QEBF теорему о сумме внутренних углов в многоугольнике.
№8. Указание: примените к треугольнику C_1QA_1 теорему Наполеона.
№9. Указание: найдите угол KQL и примените теорему косинуса к соответствующему треугольнику.
№10. Одно из возможных решений. Проведём медиану и высоту равностороннего треугольника AA_1E—A_1K. Тогда EH=HA. Четырёхугольник AKHA_1—вписанный. Поэтому по теореме о вписанном угле, угол EAH равен углу KA_1H и равен углу AEH. Ясно также, что впрямоугольном треугольнике AEO отрезок EH—медиана из венршины прямого угла, Отсюда следует всё утверждение.