"УСТРОЙСТВО" ЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (Ч. 1)
Цель настоящей статьи – уточнить, обобщить и упорядочить весь предыдущий материал с тем, чтобы максимально прояснить подлинное назначение "прикладной" логики и показать, как она его выполняет.
Как уже было однажды сказано, назначение " прикладной " логики – «разложить всё по полочкам», т.е. четко, недвусмысленно и непротиворечиво КЛАССИФИЦИРОВАТЬ всю имеющуюся информацию о том или ином реальном либо воображаемом (например, гипотетическом) объекте. Именно поэтому "прикладная" логика просто НЕ МОЖЕТ НЕ БЫТЬ, по своей сути, ЛОГИКОЙ КЛАССОВ. Однако, вследствие господства "грамматического" подхода к логике, ее "классовая" сущность зачастую не принимается во внимание. Причем особенно четко это видно на примере ЯВНО ЛОЖНОЙ "общепринятой" трактовки ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО (хотя и весьма неудачно названного) логического понятия «ВЫСКАЗЫВАНИЕ», которое можно считать УТОЧНЕНИЕМ понятия «Жергонново отношение».
1. "КЛАССОВАЯ" СУЩНОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Как уже неоднократно утверждалось, содержание высказывания как БАЗИСНОЙ логической конструкции НЕ МОЖЕТ БЫТЬ АДЕКВАТНО РАСКРЫТО путем анализа грамматической структуры ПРЕДЛОЖЕНИЯ, с которым логическое высказывание обычно отождествляют. Возьмем хотя бы пример из Соч. 8:
Если идет дождь, то на небе есть тучи (9.1)
С пресловутой "общепринятой" точки зрения, ЛОГИЧЕСКАЯ структура ВЫСКАЗЫВАНИЯ (9.1) полностью совпадает с ГРАММАТИЧЕСКОЙ структурой ПРЕДЛОЖЕНИЯ (9.1). То есть, считается, что это – сложное "высказывание-предложение", образованное из двух элементарных высказываний «идет дождь» и «на небе есть тучи» с помощью логического союза «если…, то…». При этом ВЕСЬ смысл данного высказывания, с ФОРМАЛЬНО-логической точки зрения, якобы сводится к тому, что оно выражает либо истину, либо ложь. Считается, что высказывания типа (9.1) ложны лишь тогда, когда первое элементарное высказывание истинно, а второе – ложно. Во всех остальных случаях подобные (т.е. с союзом «если…, то…») высказывания считаются истинными. Вот, собственно, и всё, о чем, с "общепринятой" точки зрения, может "рассказать" логическое высказывание типа (9.1).
Совершенно по-другому трактует смысл высказывания "классовая" концепция логики. Суть ее "версии" данного понятия можно свести к следующим четырем пунктам:
1) Высказывания типа (9.1) представляют собой результат двойного «дихотомического» деления (от греч. dicha – на две части, и tome – разрез, сечение) всей ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ логики, понимаемой как множество ВСЕХ тех мыслимых (реальных и воображаемых) ОБСТОЯТЕЛЬСТВ. Если же конкретно, то высказывание (9.1) «дихотомически» делит предметную область логики а) на классы СИТУАЦИЙ «дождь есть» (А) и «дождя нет» (не-А), и б) на классы ситуаций «тучи есть» (В) и «туч нет» (не-В). Это означает, что класс А («дождь есть») включает в себя ВСЕ те и ТОЛЬКО те мыслимые СИТУАЦИИ, общим ОБСТОЯТЕЛЬСТВОМ которых является НАЛИЧИЕ дождя, а класс не-А («дождя нет») – все те и только те мыслимые ситуации, общим обстоятельством которых является ОТСУТСТВИЕ дождя. И, точно так же, классы В («тучи есть») и не-В («туч нет») включают в себя все мыслимые ситуации, общим обстоятельством которых является, соответственно, наличие и отсутствие на небе туч.
2) Простейшей логической МОДЕЛЬЮ ситуации является СОЧЕТАНИЕ («стечение») всего ДВУХ обстоятельств, то есть ПЕРЕСЕЧЕНИЕ каких-либо двух классов ситуаций, относящихся к двум РАЗНЫМ «дихотомиям». Так, из четырех обстоятельств, выделенных высказыванием (9.1) из предметной области, можно "сложить" следующие четыре модели ситуаций или, что то же самое, четыре СТРУКТУРНЫХ ЭЛЕМЕНТА высказывания (9.1):
дождь есть и тучи есть (a,b);
дождь есть и туч нет (a,не-b);
дождя нет и тучи есть (не-a,b);
дождя нет и туч нет (не-a, не-b)
3) Эти четыре модели ситуаций АЛЬТЕРНАТИВНЫ в том смысле, что В ДАННОМ МЕСТЕ В ДАННОЕ ВРЕМЯ может (и должна!) иметь место лишь какая-то ОДНА из них. Поэтому высказывание (9.1), определяющее данные четыре ВОЗМОЖНОСТИ, можно назвать МОДЕЛЬЮ ВОЗМОЖНОСТЕЙ. Чтобы "формализовать" эту альтернативность возможностей, введем для каждой из двух «дихотомий», образующих данные структурные элементы, ее "собственную" ЛОГИЧЕСКУЮ ПЕРЕМЕННУЮ. Эти две переменные будут принимать «истинностное» значение «истина», если модель ситуации (структурный элемент) содержит соответствующее данной «дихотомии» обстоятельство «есть», и «истинностное» значение «ложь», если модель ситуации содержит обстоятельство «нет». Тогда каждая из четырех альтернативных моделей ситуации будет характеризоваться "своей" парой «истинностных» значений двух логических переменных:
дождь есть и тучи есть и и И (9.2)
дождь есть и туч нет и л Л (9.3)
дождя нет и тучи есть л и И (9.4)
дождя нет и туч нет л л И (9.5)
Но в конкретном случае высказывания (9.1) та "альтернатива", которая представлена выражением (9.3), НЕ МОЖЕТ БЫТЬ РЕАЛИЗОВАНА НИКОГДА, поскольку дождь «среди ясного неба» невозможен, о чем и "говорит" буква «Л» («ЛОЖЬ»), в отличие от трех остальных выражений с буквой «И» («ИСТИНА») на этом же месте.
4) Отметим, что здесь и далее, В ОТЛИЧИЕ от "общепринятой" практики, для записи «истинностных» значений логических ПЕРЕМЕННЫХ используются строчные буквы «и» и «л», а для записи «истинностных» значений соответствующих МОДЕЛЕЙ СИТУАЦИЙ, или структурных элементов, – ПРОПИСНЫЕ буквы «И» и «Л». Это оправдано тем, что СМЫСЛ тех и других «истинностных» значений СОВЕРШЕННО РАЗЛИЧЕН. О смысле значений ПЕРЕМЕННЫХ «и» и «л» уже было сказано выше. Что же касается значений «И» и «Л», то они определяют, какому из ЕЩЕ ДВУХ классов принадлежит данная модель ситуации (структурный элемент). Этими "дополнительными" классами являются:
а) «УНИВЕРСУМ» U, включающий в себя все те мыслимые ситуации, которые считаются "физически" ВОЗМОЖНЫМИ; поэтому соответствующим структурным элементам (в данном случае – структурным элементам «ии», «ли» и «лл») присвоено «истинностное» значение «И»;
б) «АНТИУНИВЕРСУМ» не-U, включающий в себя все те мыслимые ситуации, которые считаются "физически" НЕВОЗМОЖНЫМИ; поэтому соответствующим структурным элементам (в данном случае – одному только структурному элементу «ил») присвоено «истинностное» значение «Л».
Кстати, иллюстрацией данного случая может служить рис. 7.1 (см. Соч. 7), где «антиуниверсум» обозначен символом «0», который обычно используется для обозначения т.н. ПУСТОГО КЛАССА. В этой связи отметим, что понятие «антиуниверсум» в определенном смысле сходно с понятием «пустой класс», но НЕ ТОЖДЕСТВЕННО ему. Так, обычно под пустым классом подразумевается "класс" вещей, НЕ СУЩЕСТВУЮЩИХ В РЕАЛЬНОСТИ, который поэтому РЕАЛЬНО, "физически" ПУСТ. Например, А. Уёмов утверждает в своем учебнике:
«Кентавр и русалка соответствуют одному и тому же – пустому множеству, не содержащему в себе никаких предметов».
Согласно же защищаемой здесь точке зрения, при определенных условиях даже кентавры и русалки вполне могут рассматриваться как "законные" элементы «универсума». Допустим, например, что предметом логического анализа являются поступки какого-нибудь эльфа или подобного ему персонажа некоего литературного произведения в стиле «фэнтэзи». Какие, спрашивается, логические законы запрещают такой анализ проводить? В действительности вопрос о том, какие вещи "существуют" (т.е. принадлежат «универсуму»), а какие – нет (т.е. принадлежат «антиуниверсуму»), в логике "решает" выбор МОДЕЛИ ВОЗМОЖНОСТЕЙ, которая, в принципе, может быть сколь угодно далекой от "физической" реальности, если таковы ее ОБСТОЯТЕЛЬСТВА. Сделать эту модель НЕЛОГИЧНОЙ может ТОЛЬКО наличие в ней внутренних ФОРМАЛЬНО-логических противоречий, против которых и призвана "бороться" логика. Но для этого она должна, ВО-ПЕРВЫХ, сама быть свободной от внутренних противоречий и, ВО-ВТОРЫХ, не "вторгаться" в те области, где она "некомпетентна".
Первое из двух вышеназванных требований относится ко ВСЕЙ "прикладной" логике, а второе – прежде всего к ЛОГИКЕ КЛАССОВ (высказываний), которая, как будет показано в дальнейшем (не в этой статье), составляет лишь определенную ЧАСТЬ "прикладной" логики. Но, конечно, и логика классов при НЕПРАВИЛЬНОМ к ней отношении не "застрахована" от возникновения внутренних противоречий, свидетельством чего может служить хотя бы тот же «парадокс материальной импликации». Это заставляет более тщательно разобраться в "инструментарии" логики классов, дабы убедиться в его полной "исправности".
2. НАЗНАЧЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ СВЯЗКИ
Если с точки зрения ПРЕДМЕТА логики классов (высказываний) КЛЮЧЕВЫМ для нее является, естественно, понятие «КЛАСС», то с точки зрения ее "ИНСТРУМЕНТАРИЯ" таким же ключевым является понятие «ЛОГИЧЕСКАЯ СВЯЗКА».
Обычно логическую связку трактуют как «логический союз» между составляющими частями сложного "высказывания-предложения". Так, «логический союз», используемый в высказывании (9.1), – т.н. ИМПЛИКАЦИЮ – обычно сравнивают с грамматическим союзом «если…, то…». Но на самом деле характеристика импликации как логической связки "зашифрована" в порядке расположения прописных букв «И» и «Л» в выражениях (9.2) – (9.5). Если СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ (9.2) – (9.5) ДЕЛЯТ предметную область логики высказываний на ЧЕТЫРЕ части, то ЛОГИЧЕСКАЯ СВЯЗКА (здесь – импликация) ОБЪЕДИНЯЕТ эти четыре части так, что из них образуется ДВА уже названных ранее класса: «универсум» (здесь – элементы «ии», «ли» и «лл», имеющие значение «И») и «антиуниверсум» (элемент «ил» со значением «Л»). Именно в этом РАСПРЕДЕЛЕНИИ четырех структурных элементов простейшего сложного высказывания, или простейшей модели возможностей, между «универсумом» и «антиуниверсумом» заключается НАЗНАЧЕНИЕ логической связки.
Поскольку из четырех (в сумме) букв «И» и «Л» можно составить всего 16 разных комбинаций, "теоретически" существует ровно столько же разных вариантов указанного распределения. И почти все они (кроме одного) НЕОБХОДИМЫ для полноценного выполнения логикой классов своей функции "классификатора" предметной области, ибо ТОЛЬКО ВМЕСТЕ они способны ГАРАНТИРОВАННО и КОРРЕКТНО отделить ВСЕ предполагаемые возможными модели ситуаций от ВСЕХ моделей, предполагаемых невозможными. Но, к сожалению, это понимание НЕЗАМЕНИМОСТИ почти всех из 16-ти логических связок, представленных в табл. 9.1, полностью отсутствует у логиков. Например, А. Уёмов, приведя в своем учебнике таблицу, эквивалентную табл. 9.1, тут же замечает, что знать все эти «логические отношения» нет необходимости, поскольку-де
«…и 4-х отношений, определенных нами, вполне достаточно для наших задач».
Более того, некоторые логические связки, а именно, представленные в табл. 9.1 столбцами под номерами 1, 6, 8, 9, 11 и 16, логики на тех или иных "основаниях" вообще отказываются признавать «логическими союзами». Например, утверждается, что связка под номером 11 не может использоваться в качестве «логического союза», поскольку она, якобы, не зависит от А и равносильна В. Что, разумеется, неверно, так как значения «истина» и «ложь» для переменных НЕ РАВНОСИЛЬНЫ значениям «ИСТИНА» и «ЛОЖЬ» для структурных элементов высказываний. В действительности связка под номером 11 весьма близка по своему содержанию к импликации. Ранее (см. Соч. 7) отмечалось, что импликация (связка 4 в табл. 9.1) задает отношение Ж2, а связка 11 – отношение Ж2* между классами А и В. С "метеорологической" точки зрения это означает, что безымянная связка 11 отражает ТУ ЖЕ САМУЮ "физическую" закономерность, что и импликация, НО в таких реальных или воображаемых условиях, при которых тучи НИКОГДА не исчезают.
На самом деле не находит своего применения в логике ТОЛЬКО связка 16, так как она представляет "модель" ситуации, которая НЕВОЗМОЖНА В ПРИНЦИПЕ. Действительно, сам «дихотомический» принцип определения значений логических переменных таков, что хотя бы одно из двух их "физических" значений НЕ МОЖЕТ НЕ СООТВЕТСТВОВАТЬ РЕАЛЬНОСТИ. Откуда следует, что ЛЮБАЯ "физически" содержательная логическая связка ДОЛЖНА иметь в своем "составе" ХОТЯ БЫ ОДНО значение «И». Пусть, например, переменная А делит предметную область логики на классы «русалки есть» («истина») и «русалок нет» («ложь»), а переменная В – на классы «кентавры есть» («истина») и «кентавров нет» («ложь»). Тогда, очевидно, РЕАЛЬНА только та модель ситуация, в которой ОБЕ переменные принимают значение «ложь». То есть, для ЭТИХ двух пар переменных, если исходить из "физической", т.е. соответствующей реальности модели возможностей, справедлива логическая связка, представленная в табл. 9.1 столбцом под номером 15 (т.н. АНТИДИЗЪЮНКЦИЯ). Заметим также, что, ввиду обилия в ее "составе" значений «Л», смысл соответствующего ей ВЫСКАЗЫВАНИЯ можно, в отличие от многих других случаев, выразить всего одним ПРЕДЛОЖЕНИЕМ, а именно:
Русалки и кентавры не существуют
Итак, логические связки, представленные в табл. 9.1 столбцами с 1-го по 15-й включительно, являются схемами 15-ти простейших сложных высказываний (простейших моделей возможностей), охватывающими ВСЕ возможные варианты распределения 4-х структурных элементов такого высказывания между «универсумом» и «антиуниверсумом». Благодаря этому ВМЕСТЕ они позволяют моделировать поистине «всё, что угодно». Действительно, результатом ЛЮБЫХ двух «дихотомий» предметной области являются четыре пары обстоятельств, "физические" «истинностные» значения которых НЕ МОГУТ НЕ СОВПАСТЬ с «истинностными» значениями какого-то одного из столбцов табл. 9.1. Но, с другой стороны, образованные таким способом структурные элементы будут представлять собой ПРОСТЕЙШИЕ, самые грубые МОДЕЛИ реальных ситуаций, учитывающие ВСЕГО ДВА ОБСТОЯТЕЛЬСТВА из их практически НЕИСЧИСЛИМОГО множества. Отсюда ясно, что логика классов может иметь какое-либо ПРАКТИЧЕСКОЕ значение только при одном условии. А именно, если она способна неограниченно УСЛОЖНЯТЬ свои первичные, простейшие модели реальных ситуаций, чтобы учесть в этих усложненных моделях столько обстоятельств, сколько необходимо для решения поставленной задачи. Как в ЭТОМ смысле обстоят дела у логики классов, будет выяснено во второй части данной статьи.