Физика для автомобилистов. Торможение

Мир Когнито
Пока лежал в больнице, понял, что для многих моих соседей-автомобилистов (а один из них был даже водитель Камаза!) физика (почти) неведома. А жаль!
Почему и возникла идея этой статьи.

Глава 1. Торможение

1-ая ситуация, в которой автомобилисту необходимо знание физики – это срочное торможение. Ибо в этом случае необходимо знать формулу тормозного пути. Согласно которой тормозной путь (то есть путь автомобиля до полной остановки)

l=v0^2/(2*mu*g)
где v0 - скорость автомобиля в начале торможения,
mu - коэффициент трения,
g - ускорение свободного падения.

Обратите внимание, уважаемые читатели, что начальная скорость здесь в квадрате! А это – существенно увеличивает тормозной путь.(так, при увеличении скорости в 2 раза тормозной путь увеличится в 4 раза)
Обратите также внимание, что тормозной путь, вопреки бытовому «знанию» физики, не зависит от массы машины.
(и открывается этот «ларчик» просто: да, сила трения тем больше, чем больше масса машины. Но вместе с тем и кинетическая энергия машины тем больше, чем больше масса машины, и притом ровно во столько же раз. Так что так на так и выходит.)

Превратим формулу в реальные числа, чтобы её значение (для практики) стало нагляднее. Возьмём v0=30 км/ч = 8,33 м/с (это соответствует пределу скорости, устанавливаемому, как правило, в черте городов знаками дорожного движения), mu=(0,5;0,75)(так я обозначаю интервал значений данной величины: от 0,5 до 0,75) g=9,81 м/с^2. В итоге получим, что тормозной путь по сухому асфальту:
l=8,33^2/(2*(0,5;0,75)*9,81)=(4,72; 7,07) м (то есть от 4,72 до 7,07 м)

По сухой грунтовой или гравийной дороге:
l=8,33^2/(2*(0,4;0,5)*9,81)=(7,07; 8,84) м

По влажному асфальту
(до начала аквапланирования.
Это особый режим движения, который возникает при больших скоростях машины, а также – существенно снижает коэффициент трения.):
l=8,33^2/(2*(0,35;0,45)*9,81)=(7,86; 10,10) м

По влажной грунтовой или гравийной дороге (до аквапланирования):
l=8,33^2/(2*(0,3;0,4)*9,81)=(8,84; 11,79) м

По гладкому льду:
l=8,33^2/(2*(0,15;0,25)*9,81)=(14,15; 23,58) м

Таким образом, что даже уже на сухой грунтовой или гравийной дороге тормозной путь превышает предполагаемые (в соответствии с бытовым «знанием» физики) значения. И это при том, что начальная скорость машины – взята в соответствии с ПДД. Но ведь не секрет, что допустимое (правилами и знаками) значение скорости нередко превышается, и даже в 2 раза! (то есть до 60 км/ч = 16,66 м/с . Да и это не предел!) Какой же тормозной путь мы получим в итоге?

По сухому асфальту:
l=16,66^2/(2*(0,5;0,75)*9,81)=(18,88; 28,28) м (то есть от 18,88 до 28,28 м)

По сухой грунтовой или гравийной дороге:
l=16,66^2/(2*(0,4;0,5)*9,81)=(28,28; 35,36) м

По влажному асфальту
(до начала аквапланирования):
l=16,66^2/(2*(0,35;0,45)*9,81)=(31,44; 40,40) м

По влажной грунтовой или гравийной дороге (до аквапланирования):
l=16,66^2/(2*(0,3;0,4)*9,81)=(35,36; 47,16) м

По гладкому льду:
l=16,66^2/(2*(0,15;0,25)*9,81)=(56,60; 94,32) м

Что представляет для нас совсем уже невообразимые значения! Но это – реальность.

***
Теперь задумаемся: а нет ли резона усовершенствовать данную формулу тормозного пути? Не забыли ли мы учесть в ней еще какие-то важные обстоятельства? Например, время реакции водителя – не критично ли для ситуации торможения? Конечно, критично, ведь пока водитель реагирует (на увиденную им ситуацию, требующую срочного торможения) машина (пока он не нажал еще на педаль тормоза) проедет еще некоторый путь. Поэтому в реальности тормозной путь будет больше:

l=v0^2/(2*mu*g) + v0*tр,

где tр – время реакции водителя.
Понятно, что эта прибавка пути – становится тем более критичной, чем больше начальная скорость машины. Так, поскольку время реакции водителя составляет (в зависимости от психофизиологических особенностей водителя, его состояния, опыта, сложности дорожной обстановки и многих других факторов) от 0,4 до 1,6 секунды
(http://gai.ru/bilety-pdd/30/4/), то при скорости 36 км/ч = 10 м/с (это чуть больше, чем как правило устанавливается предел скорости движения по городу = 30 км/ч) эта прибавка к тормозному пути составит от  10*0,4 = 4 м до 10*1,6 =16 м.

Что, согласитесь, является весьма большой величиной.
А кроме того отсюда следует правило: держи дистанцию при движении по сухому асфальту (на скорости 30 км/ч) не менее (4;16)+(4,72;7,07=(8,88;23,07) м.
Конечно, при движении в пробке эта величина будет несколько меньше, но не думаю, что имеет смысл даже в пробке держать дистанцию менее 10 м.

(ведь нужно учитывать не только время реакции водителя, но и то, что тормозной путь даже при моментальной  реакции будет больше 0. И составит по сухому асфальту при максимальной скорости 5 км/ч (0,13; 0,20) м, а при максимальной скорости 10 км/ч - (0,53; 0,79) м.
Отсюда еще вывод: при движении в пробке наиболее критичным для тормозного пути становится время реакции водителя.)

***
Задумаемся еще раз: а нет ли резона усовершенствовать данную формулу тормозного пути? Не забыли ли мы учесть в ней еще какие-то важные обстоятельства?
Конечно, забыли. Это движение в гору и под гору. Ибо 1-ое будет явно уменьшать тормозной путь, а вот 2-ое – увеличивать его.

Разберём сначала движение под гору.  Общие (интутивные) соображения понятны, приведу теперь (без вывода, слишком он громоздок. кому интересен вывод - пишите, отвечу.) формулу тормозного пути:

l=v0^2/(2*g*cos(alfa)*(mu+tg(alfa)),
где alfa – угол наклона дороги к горизонту (если брать тот уклон, который указывается на знаках ДД, то это как раз и есть tg(alfa), но взятый в процентах)
Как видим, в отличие от предыдущей формулы, в знаменателе появляется положительное слагаемое +tg(alfa), которое и подтверждает то, что наши интуитивные соображения (об уменьшении в этом случае тормозного пути) верны. Давайте оценим, насколько. Возьмём для этого случай v0=30 км/ч = 8,33 м/с, движение по сухому асфальту, уклон 10%. (что соответствует углу alfa=arctg(0,10)=5,7 градуса => cos(alfa)= 0,995) Тогда получим:

l=8,33^2/(2*9,81*0,995*((0,5;0,75)+0,10)) = (4,18; 5,92) м
Что говорит о том, что максимальном коэффициенте трения для сухого асфальта
(реальное значение которого, понятно, зависит от состава, технологии укладки асфальтового покрытия (и срока службы, наверно, тоже) А поэтому очень неплохо было бы знать конкретное значение этой величины хотя бы для основных городских магистралей и наиболее актуальных (для данного водителя и машины) участков пути.
И которое поэтому целесообразно указывать в том числе на знаках ДД, как и уклон трассы)
влияние уклона в гору 5,7 градуса практически незначимо.
(т.к. тормозной путь уменьшается при этом всего на 0,5 м. Чего, правда, не скажешь о минимальном коэффициенте трения для сухого асфальта – уменьшение тормозного пути здесь составляет более 1 м.)

Что же нам сулит движение под гору? Вот формула для тормозного пути в этом случае:

l=v0^2/(2*g*cos(alfa)*(mu-tg(alfa)),
которая и подтверждает наши интуитивные догадки: т.к. в знаменателе появляется отрицательное слагаемое -tg(alfa), тормозной путь увеличивается, и тем больше, чем больше угол уклона под гору.
Оценим это влияние движения под гору численно. Возьмём те же самые значения начальной скорости, коэффициента трения и угла наклона. Получим

l=8,33^2/(2*9,81*0,995*((0,5;0,75)-0,10)) = (5,47; 8,89) м
как видим, для максимального значения коэффициента трения влияние уклона также незначительно. А вот для минимального значения коэффициента трения влияние уклона существенно больше: тормозной путь увеличивается почти на 2 м! (вместо уменьшения на 1 м при движении в гору)

Но на этом наши интуитивные догадки и заканчиваются. А вот точный анализ математики открывает еще одно обстоятельство: найдутся такие значения (А1-) alfa и mu, при которых mu-tg(alfa) станет <0. Как это интерпретировать? А так, что принятое изначально для создания мат.модели ситуации допущение (что равнодействующая сил, действующих на машину, совершает отрицательную работу, то есть тормозит машину) стало неверным. А потому и мат.модель (и формула тормозного пути) стала неверной.

Но и это еще не всё! Ибо и формулы-то правильной (тормозного пути) (в такой ситуации) быть не может! Потому что автомобиль в данной ситуации (когда mu-tg(alfa) <0 => tg(alfa)>mu => alfa> arctg(mu)) под гору затормозить нельзя! Т.к. равнодействующая сила такова, что работает не на торможение, а на разгон! (иными словами, работа равнодействующей положительна) И всё потому, что максимальное значение модуля силы трения – меньше так называемой скатывающей силы (которая является не самостоятельной силой, а следствием действия силы тяжести при движении под уклон), и притом – направленной (в данном случае) противоположно силе трения.

Вот вам, в заключение, уважаемые читатели, свидетельство точности самой точной науки – математики (но наряду с физикой)

вперёд http://www.proza.ru/2016/08/23/1876