ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ «ПАРАДОКС МАТЕРИАЛЬНОЙ ИМПЛИКАЦИИ»
или
О ПОДЛИННЫХ ОСНОВАНИЯХ «ЛОГИКИ ВЕЩЕЙ», Ч. 2
В первой части данной статьи было показано, что каждая из логических связок, представленных в табл. 7.1, имеет свою индивидуальную "классовую подоплеку", которую выражает соответствующая Эйлерова диаграмма (см., например, рис. 7.1 и 7.2 в Соч. 7). Причем уже по одному только виду этих диаграмм совершенно ясно, что передать ВСЁ их содержание ОДНИМ удобоваримым предложением практически нереально. Чем лишний раз подтверждается несостоятельность "грамматического" подхода к логике, согласно одному из постулатов которого структура формул логики высказываний подобна грамматической структуре сложного предложения, где союзы якобы играют ту же роль, что и логические связки между простыми высказываниями. Однако в действительности такого подобия НЕТ, и это лучше всего видно на примере импликации. Так, предложение
Если идет дождь, то на небе [точно] есть тучи
само по себе не раскрывает смысл импликации как функции логических ПЕРЕМЕННЫХ «дождь идет / не идет» и «тучи есть / туч нет». Чтобы адекватно представить эту функцию, а вместе с ней и сложное высказывание, образованное с ее помощью, необходимо к данному предложению добавить еще три:
Если идет дождь, то НЕВЕРНО, что на небе НЕТ туч
Если дождь НЕ идет, то, ВОЗМОЖНО, на небе ЕСТЬ тучи
Если дождь НЕ идет, то, ВОЗМОЖНО, на небе НЕТ туч
Таким образом, содержание сложного высказывания, образованного из двух простых с помощью той или иной логической связки, адекватно раскрывается (если уж пользоваться "грамматической" аналогией) лишь СИСТЕМОЙ ЧЕТЫРЕХ СЛОЖНЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, образующих единое смысловое целое. Очевидно, что и феномен «парадокса материальной импликации» возник из-за непонимания этой ее принципиальной "четырехмерности". Действительно, сначала надо было искусственно расчленить единое "живое" целое сложного высказывания на четыре "мертвые" и потому "независимые" друг от друга части, чтобы уже потом "безболезненно" подменить в них потерявшие свой "живой" смысл логические переменные константами. И только после этого стал возможным абсурдный вывод об "истинности с формально-логической точки зрения" нелепых изречений типа «Если 2 х 2 = 5, то 2 х 2 = 4». При столь вопиющем непонимании САМОЙ СУТИ логики высказываний уже не приходится удивляться неспособности людей, называющих себя логиками, заметить, что ВСЯ логика классов, включая, разумеется, и Аристотелеву силлогистику, "зашифрована" в таблицах истинности. Насколько далеки от осознания этого почти тривиального факта многие логики, хорошо видно, например, по следующему утверждению Н. Кондакова:
«Исчисление высказываний достаточно лишь для выражения тех логических связей, в которых высказывания выступают как нераздельное целое. С помощью этой формы логического исчисления нельзя передать даже те простые виды умозаключений, которые в формальной логике обозначаются терминами Barbara, Celarent, Darii и т.д.» [Логический словарь-справочник, с.227].
Продемонстрируем ошибочность данного утверждения, решив самую "сложную" из названных Н. Кондаковым задач. А именно, получим с помощью таблицы истинности заключение модуса Darii, которое, напомним (см. соч. 3 и 4), в рамках алгебры АС выводится по следующей формуле:
(M,c; b,m) => (m,x<c; b,m) => b,x<c (8.1)
Учитывая, что в логике Ж-отношений ближайшими "аналогами" A- и I-суждений являются, соответственно, отношения Ж2 и Ж3, составим таблицу истинности для данного Ж-силлогизма (см. табл. 8.1). Поскольку для тройки независимых переменных М, С и В можно составить максимум 8 разных сочетаний «и» и «л», данная таблица истинности включает в себя 8 строк с информацией о 8-ми элементах, тем или иным способом "распределенных" между «универсумом» и «пустым классом». Во избежание недоразумения особо отметим, что элементы, «истинность» или «ложность» которых определяется с помощью таблиц истинности, являются не "настоящими" элементами тех или иных множеств, а только СТРУКТУРНЫМИ элементами рассматриваемых КОНФИГУРАЦИЙ двух (Ж-отношение), трех (Ж-силлогизм) или большего числа классов. То есть, это такие "элементы", наличие или отсутствие любого из которых в данной конфигурации классов может быть зафиксировано имеющимися средствами ее описания. В конкретных примерах "из жизни" каждый такой "элемент" может оказаться целым классом или подклассом "настоящих" элементов, включающим в себя сколь угодно большое (но конечное!) их число.
Далее нас будут интересовать только те структурные элементы, которые входят или, по крайней мере, МОГУТ входить в состав «универсума», т.е. присутствие которых в «универсуме» СОВМЕСТИМО с заданными посылками. Как видно из последнего столбца табл. 8.1, таковыми являются шесть из восьми ее элементов. Что же касается «пустого класса», то в данном случае он гарантированно заполнен элементами «или» и «илл», наличие которых в «универсуме» противоречило бы посылке МЖ2С.
Все элементы, потенциально входящие в искомую конфигурацию, представлены на рис. 8.1 в виде "поэлементной" Эйлеровой диаграммы. Напомним, данный Ж-силлогизм уже был у нас предметом довольно подробного исследования (см. Соч. 5, рис. 5.1). Правда, тогда он нас интересовал как "Ж-аналог" модуса Datisi, а не Darii, но это фактически одно и то же (см. Соч. 4, табл. 4.1 и 4.2). В частности, ранее было установлено, что посылки данного Ж-силлогизма, МЖ2С и МЖ3В, допускают возможность заключения из них как в виде отношения Ж3, так и в виде отношения Ж2. Теперь же, глядя на рис. 8.1, мы можем к этому добавить, что "выбор" между первым и вторым вариантами заключения зависит от наличия или отсутствия в «универсуме» элемента «лли». Кроме того, нетрудно убедиться, что указанные посылки совместимы не с четырьмя, как можно было бы решить на основании данных табл. 6.1 в Соч. 6 (этим посылкам соответствуют конфигурации под номерами 7 и 9), а с пятью содержательно или, точнее, СТРУКТУРНО разными вариантами заключения, три из которых реализуют отношение ВЖ3С и еще два – отношение ВЖ2С. Причем минимальное число элементов «универсума», необходимых для реализации данного Ж-силлогизма, равно трем (конкретно, это элементы «иии», «иил» и «лии»), а максимальное – пяти (элемент «ллл», хоть и входит в «универсум», здесь и далее не принимается в расчет, так как он "по определению" не относится ни к одному из трех классов, образующих силлогизм).
Все эти подробности, кстати, наводят на мысль, что содержание табл. 6.1 (см. Соч. 6) далеко не полностью раскрывает преимущества Жергонновой силлогистики перед Аристотелевой. Пожалуй, более информативно в этом смысле прямое сравнение только что полученных результатов с информацией, содержащейся в посылках и заключении модуса АС Darii. Его заключение, напомним еще раз, выводится по формуле (8.1), а для его анализа средствами ЖС тоже может быть использована диаграмма, представленная на рис. 8.1. Вообще нельзя не заметить, что структурные элементы Жергонновых конфигураций идеально подходят для представления распределенных и нераспределенных терминов Аристотелевых силлогизмов. Так, вся "территория" модуса Darii на рис. 8.1 совпадает с объемом класса (РАСПРЕДЕЛЕННОГО термина) М, а объему его меньшей посылки и заключения – НЕРАСПРЕДЕЛЕННОГО термина b,x<c – соответствует один только элемент «иии». Можно даже смело утверждать большее: ВСЕМ утвердительным заключениям Аристотелевых силлогизмов на диаграммах данного типа соответствует ТОЛЬКО ОДИН ЭЛЕМЕНТ. И это – элемент «иии», так как только в нем "встречаются" все три термина силлогизма. Что же касается отрицательных заключений в АС, то для них таким же "незаменимым" является элемент «или», как это видно, например, по диаграмме на рис. 8.2 для модуса Ferio, формула которого, напомним, такова:
(M.C; b,m) => (m.C; b,m) => b.C (8.2)
Соответствующие Аристотелевым модусам части диаграмм на рис. 8.1 и 8.2 специально выделены жирными линиями для более наглядного сравнения "поля зрения" АС с "кругозором" ЖС. Так, хорошо видно, что модус Darii "замечает" НЕ ВСЕ те «некоторые b», которые «суть некоторые с», поскольку содержащий их элемент «лии» остался вне его "поля зрения". То же самое можно сказать и об элементе «лли» на диаграмме для модуса Ferio.
Впрочем, если задаться конкретной целью изобразить на одной Эйлеровой диаграмме действительно ВСЁ, что "интересует" Жергоннову силлогистику, то для этого потребуется диаграмма Ж-силлогизма с посылками МЖ3С и МЖ3В. Составлять для нее отдельную таблицу истинности, как для диаграмм на рис. 8.1 и 8.2, нет смысла, ибо уже из табл. 7.1 (столбец 1) совершенно ясно, что для анализа силлогизма с такими посылками необходим «универсум» МАКСИМАЛЬНОГО объема, включающий в себя ВСЕ ВОСЕМЬ элементов. И это, заметим мимоходом, ЕДИНСТВЕННЫЙ случай в ЖС, когда «пустой класс» может оказаться действительно пустым. Соответствующая диаграмма (или, точнее, один из ее возможных вариантов) представлена на рис. 8.3. Бросающимся в глаза "недостатком" этой диаграммы является "разорванность" на две части классов В и С. Но, к сожалению, невозможно обеспечить их "целостный" вид с сохранением используемой здесь "строгой" формы их представления при столь большом количестве элементов, общих для двух или даже для всех трех классов.
Кстати, именно для сохранения "целостного" вида конфигураций, представленных в табл. 6.1 (см. Соч. 6) под номерами 13 и 14, для их изображений, в порядке исключения, было допущено отклонение от принятого здесь "негласного" правила: центры всех окружностей, изображающих на Эйлеровой диаграмме классы, термины и/или отдельные элементы множеств, должны находиться на одной горизонтальной линии. Конфигурация под номером 14 отличается от представленной на рис. 8.3 лишь отсутствием элемента «иии», которому на "левой" конфигурации под номером 13 соответствует "подкласс" Е. И как раз эту последнюю конфигурацию изображает диаграмма на рис. 8.3. Все же остальные конфигурации, представленные в табл. 6.1, могут быть получены из диаграммы на рис. 8.3 путем "изъятия" у нее тех или иных элементов. Например, "правая" конфигурация под номером 13 получается из диаграммы на рис. 8.3 путем "изъятия" элементов «илл» и «лии».
Всего же, как показывает "поэлементный" анализ с помощью таблиц истинности, максимальное число структурно разных конфигураций, которые можно "сложить" из трех классов, равно 33-м, а не 24-м, как было предположено в Соч. 6. То есть, существует 33 варианта "развернутых", однозначных заключений для Жергонновых силлогизмов, против всего 4-х вариантов (по числу типов простого категорического суждения) для силлогизмов Аристотелевых. Правда, при столь богатом выборе становится не так легко найти тот ЕДИНСТВЕННЫЙ вариант среди нескольких похожих, который В ТОЧНОСТИ соответствует данному случаю. И столь же нелегко, кстати, подобрать для этого случая подходящую «по всем статьям» аналогию. Причем, очевидно, трудность поиска аналогии, вполне адекватной данному конкретному примеру, лавинообразно растет с увеличением числа классов, образующих рассматриваемую конфигурацию. Так что известное утверждение, что «любая аналогия хромает», отнюдь не безосновательно.
Итак, можно констатировать, что ПРАВИЛЬНО ПОНИМАЕМАЯ логика высказываний или, по терминологии А. Уёмова, «логика вещей» ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ С ЛОГИКОЙ КЛАССОВ. Но, как утверждал тот же А. Уёмов, есть еще некая «логика отношений», не сводимая ни к «логике вещей», ни к «логике свойств». Далее мы попробуем разобраться, что она собой представляет на самом деле, и нельзя ли ее тоже к чему-нибудь "свести".