ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ «ПАРАДОКС МАТЕРИАЛЬНОЙ ИМПЛИКАЦИИ»
или
О ПОДЛИННЫХ ОСНОВАНИЯХ «ЛОГИКИ ВЕЩЕЙ», Ч. 1
С точки зрения А. Уёмова, «практическая» логика включает в себя три составные части: логику вещей, свойств и отношений. В следующих нескольких статьях будет показана несостоятельность этой "классификации", согласно которой, в частности, логика Аристотеля почти целиком относится к логике свойств. Ранее уже было доказано, что в действительности Аристотель положил начало созданию не «логики свойств», а логики КЛАССОВ. Поэтому нам осталось выяснить, что на самом деле представляют собой уёмовские «логика вещей» и «логика отношений». Данная статья будет целиком посвящена «логике вещей».
Родоначальниками «логики вещей» или, согласно общепринятой терминологии, логики высказываний («пропозициональной логики»), считаются древнегреческие философы Зенон из Китиона, Хрисипп Солский и другие представители стоицизма. Кстати, именно стоики ввели сам термин «логика» вместо аристотелевской «аналитики», подразумевая под ним науку, предмет которой включает в себя «не только суждения, понятия и умозаключения, но и слова и предложения, т.е. грамматику» [1]. Таким образом, именно стоики были, по всей видимости, первыми идеологами ошибочного "грамматического" подхода к логике. Но, несмотря на это (или, скорее, "благодаря" этому), их творческое наследие многие логики ставят выше силлогистики Аристотеля. Например, советский логик А. Субботин утверждал следующее:
«Разработка стоиками понятий пропозициональной логики объективно способствовала выяснению логических оснований силлогистики. Логика высказываний является более фундаментальной системой, нежели силлогистика, во-первых, потому, что при своем строго формализованном и систематическом изложении (чего, вообще говоря, еще не было у Аристотеля) сама силлогистика должна опираться на понятия и законы, устанавливаемые в пропозициональной логике, в то время как последняя не предполагает законов силлогистики; во-вторых, потому, что логика высказываний вообще лежит в основе всей современной математической логики в качестве ее исходной, простейшей, но неотъемлемой составной части, в то время как силлогистика занимает в ней сравнительно небольшое место» [2].
Попробуем оспорить данное утверждение и начнем с субботинского «во-первых», где всё верно, как говорится, «с точностью до наоборот». О том, что АС опирается не на пресловутые «понятия и законы, устанавливаемые в пропозициональной логике», а непосредственно на ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ, уже было достаточно сказано в предыдущих статьях. Здесь же будет показано, что и логика Стои, "как ни странно", в действительности зиждется на ТОМ ЖЕ САМОМ "классовом" фундаменте. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим ее основания – следующие пять т.н. ПРОСТЫХ АРГУМЕНТОВ, или МОДУСОВ ХРИСИППА:
1) Если есть a, то есть и b
a есть
Следовательно, есть и b
2) Если есть a, то есть и b
b нет
Следовательно, нет и a
3) Есть или a, или b
a есть
Следовательно, нет b
4) Есть или a, или b
a нет
Следовательно, есть b
5) a и b не могут быть вместе
a есть
Следовательно, нет b
Особо отметим, что в рамках логики Стои эти пять простых аргументов считаются АКСИОМАМИ, т.е. не доказуемыми, но очевидно истинными утверждениями, на основе которых доказывается справедливость или несправедливость всех прочих («не простых») аргументов. Но "парадокс" в том, что четыре из пяти модусов Хрисиппа являются… модусами АС! Покажем это на примере 1-го модуса Хрисиппа. Его первая посылка, с точки зрения АС, утверждает следующее:
Каждый элемент множества A является также элементом множества B,
или, в алгебраическом виде, A,b. Вторая, «меньшая» посылка этого же модуса («a есть») интерпретируется в АС так: некий "единичный" объект 1 заданного «универсума» является также и элементом множества A. Или, на языке алгебры АС, 1,x<A. Отсюда имеем:
(A,b; 1,x<A) => (x<A,x<b; 1,x<A) => 1,x<b, (7.1)
где заключение 1,x<b или, в "словесной" форме, «1 есть x, принадлежащий b», служит эквивалентом суждения «есть b». Но формула (7.1) представляет собой не что иное, как формулу модуса AAA с "единичным" средним термином x<A (см. формулу (4.1) в Соч. 4). Аналогичным способом можно убедиться в том, что 2-й, 3-й и 5-й модусы Хрисиппа совпадают с "алгебраическим" модусом АС EAE (AAE). И лишь 4-й модус Хрисиппа не имеет в АС прямых аналогов, так как в нем используется особое свойство (см. формулы (5.20) в Соч. 5) неизвестной для АС (но вполне "своей" для ЖС) разновидности E-суждения, обозначенной нами как Ж5*. Справедливости ради следует, впрочем, заметить, что сам Аристотель вряд ли признал бы правомерность модуса (7.1), поскольку он принципиально отвергал "множества" с одним-единственным элементом. Так что определенной заслугой стоиков можно считать, помимо всего прочего, некоторое расширение области применения АС путем включения в нее "единичных множеств".
Тем не менее, из вышеуказанных параллелей между "алгебраическими" модусами АС и аксиоматическими «аргументами» логики Стои совершенно четко видно, что, вопреки Субботину, «логические основания силлогистики» намного более "фундаментальны", чем «понятия пропозициональной логики», выработанные стоиками. Ибо, во-первых, четыре из пяти, подчеркнем еще раз, АКСИОМ логики Стои ВЫВОДЯТСЯ средствами АС из ЕЁ СОБСТВЕННЫХ оснований и, во-вторых, эти четыре аксиомы равносильны всего лишь ДВУМ из ВОСЬМИ содержательно разных модусов АС.
После такой "прелюдии" уже не должно казаться полным абсурдом утверждение, что не только логика Стои, но и современная пропозициональная логика имеет в своей основе всё ту же элементарную теорию множеств. Доказательство этого факта и есть основная цель данной статьи. Но вначале напомним, что собой представляет логика высказываний. Обычно ее трактуют как "науку" об определении значений истинности («истина» или «ложь») сложных высказываний, составленных из простейших, элементарных высказываний, значения истинности которых заданы. Образование сложных высказываний из элементарных производится с помощью логических операторов, или логических (пропозициональных) связок, "полный комплект" которых приведен в табл. 7.1. Из этих 16-ти логических связок чаще других используются т.н. ДИЗЪЮНКЦИЯ, КОНЪЮНКЦИЯ и ИМПЛИКАЦИЯ, представленные в табл. 7.1, соответственно, столбцами 2, 12 и 4.
Дизъюнкцию обычно представляют как «соединительно-разделительный» союз «или»; сложное высказывание, образованное помощью этой связки из двух простых высказываний А и В, представляется в виде «А и/или В». Из табл. 7.1 видно, что такое высказывание истинно всегда кроме случая, когда ложны оба составляющие его простые высказывания. Конъюнкцию же принято трактовать как союз «и» между двумя простыми высказываниями: «А и В». Данное сложное высказывание истинно ТОЛЬКО тогда, когда оба составляющие его простые высказывания истинны. Но самой "интересной" из этих трех связок является, безусловно, импликация. Вот что о ней сообщает, например, Н. Кондаков в своем «Логическом словаре-справочнике»:
«Импликация (лат. implicite – тесно связываю) – логическая операция, связывающая два высказывания в сложное высказывание с помощью логической связки, которой в обычном языке в значительной мере соответствует союз «если…, то…»; «если А, то В»».
Высказывание А называется антецедентом (лат. antecedens – предшествующий, предыдущий), а высказывание В – консеквентом (лат. consequens – следствие, последующий вывод) данного сложного высказывания. В статье, посвященной импликации, Н. Кондаков подробно останавливается на якобы имеющем место различии «между условным суждением, рассматриваемым в традиционной формальной логике, и импликацией, или условным высказыванием, изучаемом математической логикой». В частности, он утверждает следующее:
«Импликация рассматривается как осмысленное высказывание и в том случае, если не существует никакой содержательной связи (напр., связи причины и действия, временной последовательности и т.д.) между антецедентом и консеквентом. Истинность или ложность импликации зависит исключительно от истинности или ложности антецедента и консеквента, независимо от связи их по смыслу. Поэтому импликация считается ложной только в том случае, если антецедент истинен, а консеквент ложен. Если же антецедент и консеквент оба истинны или оба ложны, а также если антецедент ложен, а консеквент истинен, то импликация истинна… Так, из следующих четырех импликаций:
1) если 2 х 2 = 4, то снег бел;
2) если 2 х 2 = 5, то снег бел;
3) если 2 х 2 = 4, то снег черен;
4) если 2 х 2 = 5, то снег черен,
первая, вторая и четвертая импликации являются истинными, а третья импликация – ложной».
Такого рода утверждения и примеры встречаются в абсолютном большинстве учебников логики, затрагивающих тему пропозициональных связок. Например, в «Основах практической логики» А. Уёмова о них говорится следующее:
«Мы определили все сложные высказывания как функции простых, точнее, истинности простых, элементарных высказываний. Это утверждение носит название ТЕЗИСА ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТИ. Он очень удобен, ибо дает простой метод определения истинности сложных высказываний.
Однако, вполне ли этот метод соответствует нашей интуиции? Далеко не так. Яснее всего недостаточность экстенсионального подхода, т. е. подхода, основанного на тезисе экстенсиональности, видна на примере импликации. Импликация признается истинной, если истинен антецедент и истинен консеквент одновременно.
Очевидно, что это является необходимым условием того, чтобы мы признали условное выражение «Если а, то b» истинным.
Но является ли это условие достаточным? Возьмем пример, часто повторяющийся в истории логики и потому считающийся классическим: «Если 2 x 2 = 4, то Нью-Йорк — большой город». Оба высказывания истинны, и мы, в соответствии с таблицей истинности, должны считать истинной и импликацию, независимо от наличия или отсутствия содержательной связи между высказываниями.
Далее, рассмотрим высказывание «Если 2 х 2 = 5, то Нью-Йорк — большой город». Опять-таки, в соответствии с таблицей истинности для импликации, и это сложное высказывание будет истинным. Истинным будет и сложное высказывание «Если 2 х 2 = 5, то Нью-Йорк — маленький город».
Приведенные выше высказывания иллюстрируют так называемое правило Дунса Скота, согласно которому из ложного высказывания следует все, что угодно. Это так же вызывает протест, который является вполне справедливым…
Обычно говорят, что дело тут в парадоксальности импликативной связки, и называется этот парадокс ПАРАДОКСОМ ИМПЛИКАЦИИ».
Однако то, что так «обычно говорят», свидетельствует лишь о непостижимой, поистине парадоксальной СЛЕПОТЕ логиков, рассуждающих подобным образом, и тем самым ДИСКРЕДИТИРУЮЩИХ логику в глазах тех, кто, желая постичь ее азы, обнаруживает в учебниках тексты такого содержания. Их авторы каким-то "чудом" НЕ ЗАМЕЧАЮТ, что импликация (как, впрочем, и любая другая логическая связка) ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ является связкой между логическими ПЕРЕМЕННЫМИ, А НЕ КОНСТАНТАМИ. Иначе говоря, импликация применима ТОЛЬКО к таким высказываниям, которые В ОДНИХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ ПРИНИМАЮТ ЗНАЧЕНИЕ «ИСТИНА», А В ДРУГИХ – «ЛОЖЬ». Тогда как те же, например, высказывания 2 x 2 = 4 и 2 x 2 = 5 представляют собой, очевидно, "чистые" КОНСТАНТЫ (первое – "чистая" «истина», второе – "чистая" «ложь»). Поэтому если, допустим, в табл. 7.1 высказывание 2 x 2 = 4 принять за А, то последние две ее строки (кроме ячеек столбца В) пришлось бы… оставить пустыми, ибо данное высказывание НЕ МОЖЕТ БЫТЬ «ЛОЖЬЮ» НИ ПРИ КАКИХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ. Таким образом, даже сами понятия конкретных логических связок могут быть определены ТОЛЬКО для случая, когда оба простых высказывания представляют собой логические переменные, а не константы. Но если в "роли" А и В использовать только переменные, т.е. применять таблицы истинности ПРАВИЛЬНО, то, как нетрудно убедиться, никаких «парадоксов импликации» НЕ ВОЗНИКАЕТ.
Действительно, возьмем, для примера, высказывание «Если сейчас день (А), то на дворе светло (В)». Здесь, в отличие от приведенных выше "примеров" Н. Кондакова и А. Уёмова, оба простых высказывания являются, очевидно, логическими переменными. Составим для данного сложного высказывания таблицу истинности, предварительно уточнив смысл понятия «день», для которого возможны, по меньшей мере, два разных "бытовых" истолкования: 1) день как одна из четырёх частей суток (утро, день, вечер, ночь) и 2) день как ВСЯ "светлая" часть суток: «день и ночь – сутки прочь». Очевидно, что вторая трактовка понятия «день» превращает наше сложное высказывание в тавтологию; но это не мешает построить для нее такую же таблицу истинности (табл. 7.3), как и для первого, "нетавтологического" варианта данного высказывания (табл. 7.2).
Сравним содержание последних столбцов этих двух таблиц. Две верхние ячейки обоих столбцов заполнены одинаково: в первой ячейке «и», во второй «л», так как днем, конечно, светло, и не светло быть не может (всевозможные "нестандартные" ситуации вроде солнечного затмения, пылевой бури и т.п. мы здесь не учитываем). Всё различие между таблицами 7.2 и 7.3 заключено в содержании следующей, третьей ячейки: в табл 7.2 это «и», а в табл. 7.3 – «л». Именно и только здесь сказывается различие в трактовке понятия «день». Если считать, что день – одна из ЧЕТЫРЕХ частей суток, то надо учитывать, что светло может быть не только днем, но и поздним утром, а также ранним вечером, на что и указывает «и» в табл. 7.2. Если же день по определению – ВСЯ "светлая" часть суток, то тогда в отсутствие дня светло быть не может, о чем и говорит «л» в соответствующей ячейке табл. 7.3. Наконец, последние ячейки третьих столбцов в обеих таблицах заполнены одинаково; но, если «и» в табл. 7.2 означает, что в отсутствие дня МОЖЕТ быть и НЕ светло, то в табл. 7.3 – что, если НЕ день, то может быть ТОЛЬКО не светло.
Как видим, здесь всё прозрачно, обоснованно и – никаких парадоксов! – хотя табл. 7.2 является не чем иным, как таблицей истинности для якобы "парадоксальной" импликации. Впрочем, с учетом данных выше пояснений, табл. 7.2 было бы правильней назвать не просто таблицей истинности, а таблицей ИСТИННОСТИ ВОЗМОЖНОСТЕЙ. Поэтому, например, две ее последние, самые "парадоксальные" строчки, корректно читаются так:
Если не день, то, возможно, светло;
Если не день, то, возможно, не светло.
То есть, из заданной "посылки" («не день») вытекает ВОЗМОЖНОСТЬ реализации ЛЮБОГО из двух противоположных вариантов («светло» и «не светло»). В таком виде истинность данных двух высказываний (в данном, "импликативном" контексте) вряд ли может быть оспорена. И заключающаяся в них неопределенность свидетельствует лишь о недостаточности имеющейся информации для однозначного вывода о том, светло или не светло, «если не день» («не день» – это что КОНКРЕТНО: ночь, утро, вечер?). В то же время данная неопределенность вовсе не означает, что здесь имеет место некое скрытое противоречие, которое одно только и могло бы оправдать оценку данной ситуации как парадоксальной.
Главное же, с точки зрения заявленной основной цели данной статьи, заключается в том, что четыре возможных варианта сочетания значений «и» и «л» в первых двух столбцах табл. 7.2 и 7.3 служат ЭЛЕМЕНТАМИ для следующих шести КЛАССОВ: А, В, не-А, не-В, «универсум» U и «пустой класс» 0. В частности, классы А и В – это классы случаев, когда значение «и» принимает, соответственно, переменная А и переменная В. Поясним также на всякий случай, что «пустой класс» 0 включает в себя те из указанных четырех элементов, которые не входят в данный «универсум», так как для них данная логическая связка принимает значение «л».
Содержимое третьего столбца в таблицах 7.2 и 7.3 ОДНОЗНАЧНО задает все соответствующие данной логической связке Ж-отношения между вышеназванными шестью классами, что и демонстрируют диаграммы на рис. 7.1 и 7.2. Из них, в частности, видно, что импликация (табл. 7.2) задает отношение Ж2 между классами А и В, а логическая связка, представленная в табл. 7.3 (она называется ЭКВИВАЛЕНЦИЕЙ), задает между "своими" классами А и В отношение Ж1.
В "большой" табл. 7.1 эквиваленцию (и, соответственно, отношение Ж1 между классами А и В) представляет столбец 7. С помощью диаграмм, подобных представленным на рис. 7.1 и 7.2, можно было бы изобразить "классовую" сущность и всех остальных 14-ти логических связок, представленных в табл. 7.1. Так, отношения Ж3, Ж4 и Ж5 между классами А и В задаются логическими связками, представленными, соответственно, столбцами 1, 3 и 5. Ранее уже рассмотренные дизъюнкция (столбец 2) и конъюнкция (столбец 12) задают, соответственно, отношения Ж3* и Ж1*, а логические связки, представленные столбцами 6, 10, 11 – отношения Ж4*, Ж5* и Ж2* соответственно. Напомним, особенность Ж-отношений "со звездочками" состоит в том, что для них «универсум» совпадает по объему с объединением классов А и В; поэтому все задающие их логические связки принимают значение «л», когда "ложны" обе переменные А и В (последняя строка табл. 7.1). Остальные шесть столбцов табл. 7.1 представляют логические связки, которым соответствует либо лишь какой-то один из классов А и В (столбцы 8, 9, 13, 14), либо отсутствие обоих классов (столбцы 15 и 16).
Такова "классовая подоплека" т.н. логики высказываний или, по Уёмову, «логики вещей». Некоторые вытекающие отсюда следствия будут рассмотрены во второй части данной статьи.
Примечания
1. Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. – М.: Наука, 1967, с. 299.
2. А. Л. Субботин. Традиционная и современная формальная математической логика. – М.: Наука, 1969, с. 14.