Параграф 1.
Задачи 1. обозначим треугольник, образованный тремя прямыми, ABC. Проведём прямую через B, затем A, затем прямые AB и BC, затем AC и BC, затем снова B, затем C, затем внутрь треугольника.
Задача 2. n(N)<f(N)<=1+n(n-1)/2.
Заметим двойственность слов параллельно , наводящую на построение конструкции трёх прямыХ. параллельных трёх данным. Они могут быть и непараллельны, а также не все из них могут быть параллеьными каким-нибудь прямым в этой конструкции. Поэтому это верно.
Параграф 2.
Задача 1.
Указание. Воспользуйтесь тем, что угол LBD равен четвёртой части угла B и равен углу KBD.
Задача 2. Указание: это возможно, если AD--высота
Задача 3. указание: используйте осевую симметрию относительно средней линии прямоугольника (т.е. переведите три точки в такие, расстояния от которых до прямой, содержащей среднюю линию, равны расстояниям первой тройки, и прообразы, соединённые с образами, перпендикулярны этой средней линии)
Параграф 3.
задача 1. Используйте то, что средняя линия треугольников AKB и BKC, параллельные гипотенузы AC, проходят через середину отрезка BK, а затем три раза--свойство медианы из вершины прямого угла.
Задача 2. Указание. проведите биссекьтрису угла DEC и воспользоваться теоремой о сумме углов в прямокгольном треугольнике.
Параграф 4.
Задача 1 На самом деле условие неверно, и данное расстояние больше равно половины длины стороны BC. Указание: найдите в задаче прямоугольную трапецию, а также используйте то, что половины отрезков BD и CD равны.
Задача 3. Используйте симметрию, как в параграфе 2, задаче 3.
Задача 2. Из точек K и M опустите перпендикуляры на прямую, содержащую основание треугольника ABC. Пусть их основания--P и Q соответстенно, затем от точки Q отложите на этой же прямой отрезок, равный AP, --QT, так что T лежит вне отрезка AQ. Дальше легко.
Задача 3. Указание. Используйте тот факт, что 3n не кратно 2.