программа главы:
Параграф 1. Определения основных геометрических функций. Параграф 2. Теорема Пифагора. Параграф 3. Геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек постоянна и равна данному числу. Параграф 4. Критерий перпендикулярности диагоналей четырёхугольника. Параграф 5. нахождение третьей стороны треугольника по двум другим сторонам и высоте, исходящей из их общей вершины. Параграф 6. несколько примеров несоизмеримых отрезков. Параграф 7. Пифагоровы тройки чисел.
1. Синусом угла называется отношение противолежащего углу катета к гипотенузе, косинусом называется отношение прилежащего к углу катета и гипотенузы, тангенсом угла--отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенсом--прилежащего к противолежащему.
Задача 1. (авторская)
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена высота BD, и на гипотенузе отмечена отличная от D точка E. Из неё проведён луч, образующий с отрезком BE угол, синус которого равен косинусу угла EBD и этот луч имеет только одну общую точку с гипотенузой, пересекает AB в точке F.
Докажите, что ED=EF.
Задача 2. (авторская)
На стороне AD прямоугольника ABCD отмечена точка F, такая, что CF=AF (пусть она существует). Может ли синус угла DBC быть равен косинусу угла FCD?
Задача 3. В треугольнике ABC угол B равен 45 граудусам, проведены высоты AA_1 и CC_1 и отмечена середина стороны AC--D. Существует ли тангенс угла C_1EA_1?
2. Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Задача 4 (54496 с сайта www.problems.ru)
Медианы прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, относятся как \sqrt{2} : 1. Найдите острые углы треугольника. Задача 4
задача 5.(Задача 54031 с сайта www.problems.ru).
Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.
Задача 6. (Задача 54189 с сайта www.problems.ru)
Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.
Задача 7. (Задача 54428 с сайта www.problems.ru)
В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK? 2 (Задача 56828 с сайта www.problems.ru).
3. Для нахождения этого геометрического места надо: 1)разделить отрезок в отношении, равном m/n, исходя из того, чему равно m^2-n^2 (можно одну из величин задать единиц, и тогда будет возможно найти отношение). 2) Провести через эту точку прямую, перпендикулярную отрезку.
задача 8. (Задача 56828 с сайта www.problems.ru)
На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB^2 – AC^2 = MB^2 – MC^2.
Задача 9. (авторская)
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена высота BD, проведён отрезок BE с вторым концом на гипотенузе, равный BC. Докажите, что AE*AC=AC^2-2BC^2
4. Нужно, чтобы суммы квадратов противолежащих сторон были равны.
задача 10. (задача 54217 с сайта www.problems.ru)
Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся окружностей, делится их общей хордой на отрезки, равные 5 и 2. Найдите общую хорду, если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой.
Задача 11. (авторская) Можно ли с помощью идеи главы определить, пересекаются ли окружности (считаем, что линия центров недоступна кроме самих центров).
5. Решите следующую задачу, чтобы понять, как работает метод:
задача 12. (Задача 54241 с того же сайта) Две стороны треугольника равны 255. и 30, а высота, проведённая к третьей, равна 24. Найдите третью сторону.
задача 13. Можно ли найти другую высоту, если известны две стороны и высота из их общей вершины, не прибегая к методу, обратному данному?
6. например, дмагональ квадрата несоизмерима с его стороной; отрезок, соединяющие вершины квадрата и середину стороны, не содержащей эту вершину, также несоизмерим со стороной квадрата.
Задача 14. (авторская)
Докажите, что расстояние от центра описанной окружности квадрата до центра окружности, вписаннной в треугольник, образованный двумя диагоналями квадрата и стороной, несоизмеримо со средней линией этого треугольника, параллельной стороне квадрата.
Задача 15. (авторская)
Докажите, что расстояние от центра окружности квадрата до вершины несоизмеримо с расстоянием от вершины квадрата до середины дуги, стягиваемой стороной.
7. Стороны прямоугольного треугольника целые, если катеты и гипотенуза определяются формулами m^2-n^2, 2mn и m^2+n^2, где m и n--целые числа.
Задача 16. (авторская)
Каковы должны быть m и n, чтобы треугольник со сторонами 3m и 5n был целочисленным (приведите хотя бы два ответа).
Задача 17. (авторская).
Найдите минимальный целочисленный треугольник, у которого высота из вершины прямого угал тоже целая