№1. В треугольнике ABC угол B равен 45 градусам. Могут ли биссектрисы прямых углов при основаниях высот A_1 и C_1 пересекаться на AC?
№2. Докажите, что прямая, соединяющая основание высот, выходящих из вершин стороны, противолежащей углу в 45 градусов делит площадь треугольника пополам.
№3. В треугольнике ABC отмечен ортоцентр H, AC=a.
Доказать: сумма площадей треугольников AHB и CHB равна величине a^2/2.
№4. Докажите, что центр окружности эйлера треугольника с углом 45 градусов лежит на одной из сторон его ортотреугольника.
№5. Доказать, что величина AB*BC-AH*CH—постоянна c точностью до пропоции.
№6. Пусть в том же треугольнике проведена биссектриса BD. Тогда докажите неравенство:
AD*CD+BD^2>AH*CH, где H—ортоцентр треугольника ABC.
№7. Прямая Эйлера треугольника ABC с углом B, равным 45 градусам, пересекает сторону BC вточке E, проведена высота CD. Доказать: ED:DC=1:(\sqrt{2}-1).
№8. В треугольнике ABC с углом B, равным 45 градусам, проведены высоты AA_1 и CC_1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с ортоцентром треугольника A_1BC_1.
Решения: №1. Указание: используйте то, что окружность, описанная около треугольника AC_1A_1, проходит через C, а окружность, описанная около треугольника CA_1C_1-- через A, а не в других точках стороны AC, а только в этом случае указанные биссектрисы могут пересекаться на AC.
№2. Указание: выразите данные высоты через стороны треугольника, образующие угол в 45 градусов и напишите зависимость их произведения от произведения сторон, а затем домножьте на величину sin45/2.
№3. Указание: докажите, что BH=AC, проведите высоту BD и используйте формулу площади треугольника через сторону и высоту дважды.
№4. Обозначим центр описаннокй окружности HC_1BA_1—Q, так что угол C_1QA_1—прямой, поэтому середина отрезка A_1C_1 равноудалена от A_1, C_1 и Q., значит, это центр окружности Эйлера треугольника ABC.
№5. Указание. По задаче #2, AB*AH*sin45/2+CH*BC*sin45/2=S(ABH)+S(CBH)=const (1). Поделите равенство (1) на sin45/2 и вычте его из площади ABC, также поделённой на sin45/2.
№6. Указание: воспользуйтесь предыдущей задачей и одной из формул для длины биссектрисы.
№7. Указание: воспользуйтесь одной из теорем Эйлера и тем, что OD перпендикулярен AB.
№8. Указание: воспользуйтесь указанием прежней задачи.