№1.
Условие: золотой треугольник ABC с углом B, равным 36 градусам. Около него описана окружность, из точки C проведена хорда CD, которая параллельна AB На отрезках AD и CE отмечены их середины K и L (AEE-биссектриса треугольника ABC). Середина стороны AB—M.
Доказать: K,L,M лежат на одной прямой
№2. Центр вписанной окружности треугольника--I. Биссектриса угла CAI пересекает сторону BC в точке F.
Доказать: CF=AI
№3.
Условие: треугольник ABC с углами A, B и C, равными 72, 36 и 72 градусам соответственно. Биссектриса BD, на стороне BC взята точка E, так что AB=BE. Из точки C проведён перпендикуляр CF на прямую, содержащую биссектрису BD. Середина AB--K. Отрезок EA пересекает отрезок FK в точке N.
Доказать: прямая ND перпендикулярна прямой EF.
№4.
Условие: в треугольнике ABC с углами A, B и C, равными соответственно 72, 36 и 72 градусам. Отмечены центр описанной окружности окружности O треугольника и его же ортоцентр H.
Доказать: H—центр описанной окружности треугольника AOC.
№5.
Условие: треугольник ABC с углами A, B, C, равными 72,36,72 градусам соответственно; I—центр вписанной окружности треугольника, O—центр его описанной окружности.
Доказать: I—ортоцентр треугольника AOC.
№6.
Условие: в треугольнике ABC углы A, B и C равны 72, 36 и 72 градусам соответственно. около треугольника ABC описана окружность, высота BD продолжена до пересечения с нею в точке E. Из точки E проведён луч, перпендикулярный прямой AB (обозачим его l). Середина дуги AB (меньшей) —F.
Доказать: прямые AC, BF и l пересекаются в одной точке.
№7.
Условие: золотой треугольник ABC с углом B, равным 36 градусам. На продолжении стороны AC за A взята точка D, так что CD=BC; AE—биссектриса треугольника ABC.
Доказать: отрезок DE делится стороной AB пополам.
№8.
Условие: золотой треугольник ABC с углом B, равным 36 градусам, центр вписанной окружности треугольника I, середина стороны AC—D, центр окружности Эйлера—E.
Доказать: прямые AI и DE перпендикулярны.
№9.
Условие: золотой треугольник ABC с углом B, равным 36 градусам. Середины сторон AB и AC—M и K соответственно; AL—перпендикуляр из A на биссектрису угла C.
Доказать: точки K,L,M лежат на одной прямой.
№10.
Условие: золотой треугольник ABC у сглом B, равным 36 градусам. Высота CE, биссектриса CD, середины AB и BC—F и K.
Доказать: прямая KD—биссектриса угла EKF .
№11.
Условие: золотой треугольник ABC с углом B, равным 36 градусам, на сторонах AC и BC взяты точки D и E, такие, что CD=AI=BE.
Доказать: точки D,I,E лежат на одной прямой.
№12.
Условие: золотой треугольник ABC с углом B, равным 36 градусам. Биссектриса CD и средняя линия EF, параллельная основанию AC. Прямые, их содержащие, пересекаются в точке P.
Доказать: PE=AD/2.
№13.
Условие: золотой треугольник ABC с меньшим углом B. На AC отмечена её середина D, также отмечены центр описанной окружности треугольника O и центр его вписанной окружности –I.
Доказать: BC^2/BI^2=OD/DI