№1. Задача Прасолова. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон. Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
№2. Доказать, что I—ортоцентр треугольника BNC.
№3. Доказать, что прямая Нагеля египетского треугольника параллельна его большему катету.
№4. Условие: египетский треугольник ABC (BC=3, AB=4, AC=5). Точка Нагеля треугольника—N.
Доказать, что NA=NB.
№5. Условие: египетский треугольник ABC с прямым углом A и меньшим катетом AС. Точка Нагеля треугольника ABC—N.
Доказать, что разность расстояний от центра описанной окружности треугольника ANC до его сторон AN и AC равна малому числу Фидия (числу «фи»).
№6. Условие: египетский треугольник ABC. Пусть P—точка касания вневписанной окружности египетского треугольника и его средней по величине стороны AB; I—центр вписаннной окружности треугольника, M—середина стороны BC.
Доказать: P,I,M лежат на одной прямой.
№7. Условие: треугольник ABC—египетский (BC=3, AB=4, AC=5). Центр его вписанной окружности—I, точки касания вневписанных окружностей треугольника и сторон AB и AC—P и Q соответственно.
Доказать: углы IPC и IQB равны.
№8. Найти: вкаком отеношении отрезок PI делит отрезок BQ.
№9. Пусть прямая Нагеля египетского треугольника ABCпересекает PQ в точке W, где P и Q—точки касания вневписанных окружностей со сторонами AB=4 и AS=5 соответстенно. На прямой BC выбрана точка U, так что CU=3 и U отлична от B.
Доказать: прямая NU перпендикулярна отрезку BW.
№2. 1) Известно, что радиус вписанной окружности египетского треугольника равен 1. Обозначим точку касания вписанной окружности и катета BC как A_0. Тогда CA_0=2.
2) По известной теореме, точка касания вневписаннйо окружности и стороны треугольника симметрична точке касания вписанной окружности треугольника и этой же стороны относительно её середины. Значит AQ=2, CQ=3. Аналогично, AP=1, BP=3.
3) Так как треугольники QBC и PBC—равнобедренные, то прямые CI и BI, содержащие их бюиссектрисы, проведённые к их основаниям, им и перпендикулярны. Поэтому I—ортоцентр треугольника BNC.
№3. Ясно, что NI||AB по признаку параллельности прямых.
№4. Обозначим С_1 середину стороны AB. Тогда BC_1NA_0—прямоугольник, поэтому BC_1=2, и отсюда C_1N—смерединный перпендикуляр к AB, и поэтому AN=BN.
№5. Обозначим центр описаннной окружности BNC как точку K. По теореме Эйлера, расстояние от O до отрезхка BN, равного \sqrt{5}, равно половине отрезка IC, а так как угол BCN составляет 45 градусов, \sqrt{5}/2. То же самое и относительно расстояния от K до стороны BC, равного ;. Поэтому разность этих чисел будет равна малому числу Фмдия.
№6. BN=\sqrt{2}, PC=3\sqrt{2}, прямая BN содержит медиану треугольника BPC, значит, I—его центр тяжести, и P, I, M лежат на одной прямой (по свойству медиан треугольника)..
№7. Углы IBP и BPN равны, поэтому BPNI—равнобедренная трапеция. А N лежит на серединном перпендикуляре к BAQ. Поэтому угол NBI равен углам NPI и IQB. Отсюда утверждение.
№8. По теореме Менелая, применённой к треугольника BAQ, находим отношение BN:NQ, а из BP=3NI и AB||NI выводится отношение BI:IN. Отсюда утверждение.
№9. Пусть прямая PQ пересекает прямую BC в точке U. По теореме Менелая, применённой к треугольника ABC, CU=3. Поэтому угол BQU—прямой и из конкуррентности высот следует, что прямая UN перпендикулярна отрезку BW, ч.т.д.