ВВЕДЕНИЕ В ЖЕРГОННОВУ СИЛЛОГИСТИКУ, Ч. 2
Та цель, которую имеет в виду формальная логика
и которая достигается строгостью ее предписаний, есть
не истина, а согласие утверждений друг с другом.
Дж. Ст. Милль
Как уже не раз отмечалось, неоднозначность информации об отношении между классами, образующими термины простых категорических суждений, является основным и принципиальным недостатком последних. Радикальное избавление от этой неоднозначности путем перехода к оперированию непосредственно Ж-отношениями приводит, в частности, к существенному увеличению, по сравнению с АС, числа, условно говоря, "модусов", т.е. реально различимых конфигураций из трех классов, идентификация которых и является, как отмечалось в предыдущей статье, "сверхзадачей" ЖС. Все (или почти все) эти конфигурации представлены в табл. 6.1.
Каждая конфигурация характеризуется в первую очередь тремя цифрами, приведенными под ее диаграммой, обозначающими номера Ж-отношений между классами, которые ее образуют (без разделения Ж-отношений на отношения-"посылки" и отношения-"выводы"). То, что среди этих трех цифр нигде не встречается цифра 4, объясняется тем, что отношение Ж4 неотличимо от Ж2, если не указывается, с "позиции" какого класса – большего или меньшего по объему – это отношение определено. То есть, в данном случае этот тип отношения всюду интерпретируется, по произволу автора, с "позиции" меньшего по объему класса.
Из табл. 6.1 видно, что у некоторых явно отличающихся друг от друга конфигураций номера Ж-отношений совпадают. Особенно резко бросается в глаза различие между двумя конфигурациями 223. Поэтому для определенности таким конфигурациям дополнительно присвоены "индивидуальные" индексы, 1 или 2. Также многие конфигурации имеют, кроме своих "обычных", еще и "предельные формы", фиксирующие тот максимальный объем либо одного из классов, либо пересечения или объединения классов данной конфигурации, при котором еще сохраняются характеризующие ее Ж-отношения. В табл. 6.1 эти "предельные формы" отмечены символом *. Для их описания требуются дополнительные формулы, отличные от формул Ж-отношений (5.3) – (5.7), но тоже относящиеся к алгебре ЖС. Все эти дополнительные формулы также представлены в табл. 6.1.
Итак, в ЖС мы имеем 17 "обычных" плюс 7 "предельных" конфигураций, т.е. всего 24 конфигурации против восьми модусов АС. При этом следует отметить, что "предельные" конфигурации (а также "идейно" примыкающая к ним конфигурация 3331) представляют особый практический интерес ввиду того, что именно они служат логическим выражением т.н. законов природы. Отличительная черта последних – НЕОТВРАТИМОСТЬ их действия при наличии определенного набора материальных предпосылок и, с другой стороны, НЕВОЗМОЖНОСТЬ их действия, когда хотя бы одна составляющая из этого набора предпосылок отсутствует. Если, например, известно, что некий физический эффект p ВСЕГДА вызывается совместным действием ТРЕХ предпосылок b, c и d, то логическая формула соответствующего "закона природы" имеет вид:
P = BCD, (6.1)
т.е. между множеством P случаев проявления данного эффекта и "произведением" множеств его предпосылок B, C и D ИМЕЕТ МЕСТО ОТНОШЕНИЕ Ж1. Если же, кроме того, предпосылки b, c и d НЕЗАВИСИМЫ друг от друга, то между их множествами B, C и D имеют место отношения Ж3. В табл. 6.1 этому случаю соответствует конфигурация 3331 под номером 13. Отображением более простых, с логической точки зрения, "законов природы", когда то или иное явление есть непременное следствие всего ДВУХ необходимых, достаточных и независимых друг от друга предпосылок, служит диаграмма конфигурации 2231* под номером 8.
Интересно, что для иллюстрации вышеуказанного "естественнонаучного" смысла формулы (6.1) вполне подходит пример из основного логического труда Дж. Ст. Милля «Система логики силлогистической и индуктивной»:
«Предположим, например, следующее сочетание обстоятельств: 1) лучи света падают на отражающую поверхность; 2) эта поверхность параболическая; 3) лучи параллельны друг другу и оси поверхности. Надо доказать, что сочетание этих трех обстоятельств служит признаком того, что отраженные лучи пройдут через фокус параболической поверхности. Каждое из этих трех обстоятельств в отдельности является признаком чего-либо существенного для данного случая. Факт падения лучей света на отражающую поверхность служит признаком того, что эти лучи отразятся под углом, равным углу падения. Параболическая форма поверхности служит признаком того, что линии, проведенные от любой точки поверхности к фокусу, и линии, параллельные оси, при пересечении их с поверхностью, будут образовывать равные между собой углы. И, наконец, параллельность лучей с осью является признаком того, что углы падения этих лучей совпадут с одним из этих равных углов. Таким образом, совокупность этих трех признаков составляет признак всех этих трех вещей, вместе взятых; а эта совокупность их, очевидно, является признаком того, что угол отражения должен совпасть с другим из двух равных углов, т. е. с углом, образованным линией, проведенной через фокус. А этот, последний вывод, по основной аксиоме о прямых линиях, является признаком того, что отраженные лучи проходят через фокус» [1].
Логическую суть данного оптического эффекта Милль выразил следующим образом:
«…а есть признак d, b – признак е, с – признак f; d, е, f – признаки n; следовательно, abc – суть признаки n».
Если эту логическую конструкцию, известную как СОРИТ МИЛЛЯ, облечь в термины логики множеств, то она примет следующий вид:
«Объем пересечения множеств a, b и c неких физических обстоятельств равен объему множества n случаев некоего события, вызванного данными обстоятельствами».
Главное отличие данной формулировки от миллевской заключается, очевидно, в отсутствии каких-либо упоминаний об излишних, с "классовой" точки зрения, "промежуточных" признаках d, e и f. Но Милль, как известно (см. соч. 1), был убежденным противником "классового подхода" к логике. Поэтому, даже если он и знал о Жергонновых отношениях, прямо включить их в свою «систему индуктивной логики» он, естественно, не мог себе позволить. Тем не менее, легко видеть, что "негласно" они там всё же присутствуют.
Покажем это на примере одного из предложенных Миллем "индуктивных" методов поиска причинных связей – т.н. МЕТОДА СХОДСТВА, фактически исходящего из того, что между множеством p ВСЕХ КОГДА-ЛИБО НАБЛЮДАВШИХСЯ случаев того или иного явления и множеством x случаев возникновения его причин ВСЕГДА имело место отношение Ж1. Другими словами, ВСЯКИЙ РАЗ, когда наблюдается явление-элемент множества p, его неизменно сопровождает явление-элемент множества x, и наоборот. Опираясь на это ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ, Милль предлагает следующий способ ее выявления. Допустим, в распоряжении исследователя есть два полученных из опыта факта: явления, входящие в объем множества p, наблюдались при стечении обстоятельств, входящих в объемы множеств b, c и d, а также при стечении обстоятельств, входящих в объемы множеств b, f и g. Какие из этих пяти видов обстоятельств могут претендовать на роль причины явлений из множества p? Ответ очевиден: единственно заслуживающими внимания претендентами являются обстоятельства из множества b, так как ТОЛЬКО ОНИ фиксировались ВСЯКИЙ РАЗ, когда наблюдались явления из множества p. Иллюстрацией этого вывода может служить диаграмма конфигурации 225* в табл. 6.1, если принять такие обозначения: B = c,d; C = f,g; D = p,b. Но этот вывод справедлив ТОЛЬКО при условии справедливости сформулированного выше определения причинной связи, неполноту которого был вынужден признать и сам Милль. Так, можно представить ситуации, когда одно и то же явление вызывается в одном случае одним, а в другом – совершенно другим, независимым от первого обстоятельством. Воспользуемся для описания такой ситуации соответствующей цитатой из вышеуказанного произведения Милля, изменив в ней лишь обозначения множеств наблюдаемых явлений:
«Но если для p возможны две причины, то этими причинами могут быть, например, c и f: c может быть причиной p в первом случае, f – в последнем, так что окажется, что b не имеет влияния на следствие ни в том, ни в другом из этих случаев».
Данный вывод, как и предыдущий, можно "визуализировать" с помощью всё той же диаграммы конфигурации 225* из табл. 6.1. Но если в предыдущем случае предполагаемый закон выражался формулой P = B, то теперь – формулой P = C + F. Общее между этими формулами лишь то, что обе они представляют собой отношение Ж1, посредством которого в логике ВСЕГДА выражаются "законы природы".
Суть остальных "индуктивных" методов Милля тоже, в конечном счете, сводится к поиску таких обстоятельств, сопровождающих исследуемое явление, которые находятся (непосредственно либо в той или иной комбинации с другими обстоятельствами) в отношении Ж1 к множеству наблюдаемых случаев данного явления. Но ДОКАЗЫВАЕТ ЛИ это наличие причинной связи между исследуемым явлением и указанными обстоятельствами? Нет, не доказывает. Даже если предположить, что для p возможна только одна причина, этого всё равно НЕДОСТАТОЧНО для утверждения, что этой причиной является именно обстоятельство b. Наличие причинной связи означает, что отношение Ж1 имеет место между ПОЛНЫМИ КЛАССАМИ P и B, включающими в себя не только множества p и b когда-либо НАБЛЮДАВШИХСЯ соответствующих явлений, а вообще ВСЕ элементы данных классов. А вот этого методы Милля доказать НЕ МОГУТ, в чем легко убедиться с помощью ЖС.
Действительно, на трех множествах – P, B и p,b – можно построить Ж-силлогизм с посылками (p,b)P = p,b и (p,b)B = p,b. С помощью описанного в предыдущей статье метода "отбора" заключений, совместимых с заданными посылками, нетрудно увидеть, что в данном случае между множествами P и B возможны любые Ж-отношения, кроме отношения Ж5. Допустимо, в частности, даже отношение Ж3, согласно которому PB = p,b. Но его справедливость означала бы отсутствие каких-либо причинных связей между интересующими нас явлениями. Поэтому содержащиеся в указанных посылках данные НЕ ПОЗВОЛЯЮТ УТВЕРЖДАТЬ, что между множествами P и B имеет место именно отношение Ж1, хотя и не исключают такой возможности. Но ничего большего (разумеется, с качественной, а не количественной точки зрения), никакие наблюдения и эксперименты дать не могут. Откуда и следует, что индуктивное "вычисление" подлинного Ж-отношения между полными классами P и B невозможно в принципе.
Таким образом, теорию ИНДУКТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Миллю создать не удалось. Что и естественно, поскольку эта задача принципиально невыполнима ввиду отсутствия… самого предмета доказательства. Действительно, если уровень наших знаний о предмете исследования не позволяет даже сформулировать верную ДОГАДКУ о его подлинной сущности, то ЧТО остается доказывать индуктивному методу? А в том, что ни одна научная теория не может претендовать на ДОКАЗАННУЮ истинность своих положений, ученых убедил опыт 20-го столетия, поразительные открытия которого, прежде всего в области физики и астрономии, "безжалостно" опровергли многие "незыблемые истины" предыдущей эпохи. Те самые "истины", заметим попутно, вера в непогрешимость которых и послужила Миллю отправным пунктом для создания его «индуктивной логики». Выдающийся ученый-физик и популяризатор науки Р. Фейнман отмечал в этой связи:
«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть. В будущем вы смогли бы рассчитать более широкий круг следствий, провести более широкие экспериментальные исследования и выяснить, что ваша теория неверна» [2].
Иначе говоря, непосредственная задача науки – целенаправленный, кропотливый, упорный поиск фактов, ПРОТИВОРЕЧАЩИХ теоретическим выводам, и, после обнаружения таких фактов, создание новых теоретических конструкций, выводы которых находились бы в согласии с ними и всеми остальными известными НА ДАННЫЙ МОМЕНТ фактами. То есть, по словам того же Р. Фейнмана,
«…мы стараемся как можно скорее опровергнуть самих себя, ибо это единственный путь прогресса».
Но для этой цели, как совершенно справедливо отмечал и сам Милль, существует ДЕДУКТИВНЫЙ метод, являющийся, таким образом, ЕДИНСТВЕННЫМ методом доказательства в теоретической науке. Но, "увы", только доказательства-ОПРОВЕРЖЕНИЯ. Поэтому вынесенное в эпиграф данной статьи утверждение Милля, что «формальная», т.е. ДЕДУКТИВНАЯ логика имеет своей целью не «истину», а только «согласие утверждений друг с другом», совершенно справедливо вообще для ВСЕЙ теоретической науки. Что позволяет считать Жергонновы ПОЛИСИЛЛОГИЗМЫ, подобные рассмотренным в предыдущей статье, простейшими моделями научных теорий, сходными с ними как по своей структуре, так и по своему назначению.
Полисиллогизмом называется дедуктивное умозаключение с тремя или более посылками, представляющее собой соединение нескольких силлогизмов посредством суждений (Ж-отношений), каждое из которых для какого-то одного из этих силлогизмов является заключением, а для какого-то другого – посылкой. Если совокупность всех "первичных" посылок Жергоннова полисиллогизма обеспечивает ОДНОЗНАЧНОЕ определение всех Ж-отношений как между его "крайними", так и между его "средними" (которых в полисиллогизме не меньше двух) классами, то такой полисиллогизм подобен научной теории, в которой роль постулатов (гипотез) принадлежит посылкам, а по вытекающим из них заключениям можно судить, насколько эти "гипотезы" правдоподобны.
Проиллюстрируем вышесказанное следующим примером из области астрофизики. Построим полисиллогизм-"теорию" сил, влияющих на эволюцию нашей Вселенной, приняв за одну из его посылок суждение (Ж-отношение), справедливость которого казалась Миллю полностью доказанной:
Все небесные тела "тяготеют" друг к другу под действием сил гравитации
Однако совсем недавно результаты астрономических наблюдений заставили ученых признать, что отдаленные галактики нашей Вселенной не притягиваются, а наоборот, "ОТТАЛКИВАЮТСЯ" друг от друга. То есть, расширение Вселенной после т.н. Большого Взрыва не замедляется, как считалось раньше, а УСКОРЯЕТСЯ. И этот факт станет содержанием второй посылки нашего полисиллогизма. В качестве же третьей и последней его посылки возьмем самоочевидное утверждение:
Тела, "тяготеющие" друг к другу, не "отталкиваются" друг от друга.
Всего, таким образом, имеем не три, как в обычном силлогизме, а четыре класса предметов:
1) класс всех небесных тел;
2) класс предметов, "тяготеющих" друг к другу;
3) класс удаленных галактик;
4) класс предметов, "отталкивающихся" друг от друга.
Соглано принятым нами посылкам, между первым и вторым, а также между третьим и четвертым названными классами имеет место отношение Ж2, а между вторым и четвертым – Ж5.
Легко сообразить, что общее число m Ж-отношений между n классами может быть найдено по формуле
m = n (n - 1) / 2 (6.2)
Например, при n = 2 число Ж-отношений m = 1. Это – просто Ж-отношение между двумя классами. При n = 3, как в случае обычного силлогизма, m = 3: две посылки и одно "истинное" заключение. При n = 4, как в нашем случае, m = 6. Следовательно, из трех вышеуказанных посылок можно вывести всего три ОДНОЗНАЧНЫХ заключения, а конкретно, следующие три отношения Ж5:
1) все небесные тела не "отталкиваются" друг от друга;
2) все удаленные галактики не "тяготеют" друг к другу;
3) все удаленные галактики не суть небесные тела.
Самым "интересным" из этих трех заключений является, конечно, последнее. Оно, будучи, по выражению Милля, вполне «согласным» с остальными пятью утверждениями нашего полисиллогизма, в то же время категорически не «согласно» с очевидным фактом наличия данных объектов на небе. А это означает, что с посылками ("гипотезами") нашего полисиллогизма «что-то не так». В "утешение" можно лишь заметить, что и ученые тоже пока толком не знают, как привести свои гипотезы об устройстве мироздания в согласие с новыми данными об эволюции нашей Вселенной.
Рассмотренный пример дает общее представление о том, для чего нужна и что может логика Ж-отношений. Ее назначение – КЛАССИФИЦИРОВАНИЕ множеств тех или иных объектов по присущим им свойствам, "согласное" с самим собой и с реальностью. Другими словами, логика Ж-отношений помогает «разложить всё по полочкам» в соответствии с объективно присущими этому «всему» свойствами, чем бы оно ни было. Не больше и не меньше. Могут возразить, что логика "для народа" должна быть способна на большее. Но, во-первых, при ближайшем рассмотрении зачастую выясняется, что это «большее» сводится, в итоге, всё к тому же классифицированию; а с другой стороны, не следует "нагружать" логику задачами, для решения которых предназначены другие средства. Оба эти случая "неправильного" отношения к логике будут рассмотрены в последующих статьях.
Примечания
1. Дж. Ст. Милль. Система логики силлогистической и индуктивной: Пер. с англ. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: ЛЕНАНД, 2011, с. 196.
2. Фейнман Р. Характер физических законов: Пер. с англ. – 2-е изд., испр. – М.: Наука, 1987, с.144.