Глава 1. Прямые и углы.
Параграф 1. Положение точки относительно прямой.
1) Существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, ей не принадлежащие.
2) Через две различные точки можно провести прямую, и только одну.
3) Отрезок, соединяющий две точки, находящиеся в разных полоплоскостях относительно данной прямой, пересекает её.
Для логиков.
№1. Прямая и два отрезка пересекаются в одной точке. Значит ли это, что обязательно найдутся их концы, лежащие в разных полуплоскостях относительно данной прямой?
№2. Дана прямая l и точки A и B. При каком расположении этих точек из них можно всегда провести отрезки с разными концами на прямой, не пересекающие друг друга?
№3. Прямые, содержащие отрезки равной длины, с концами в одной полуплоскости относительно данной прямой, пересекаются в одной точке в другой полуплоскости относительно этой же прямой. Докажите, что их концы, не лежащие на данной прямой, вообще не лежат на прямой.
№4. Некий отрезок расположен вне прямой. Докажите, что существует такой отрезок, соединяющий некоторую точку на прямой и один из концов первого отрезка, который, будучи соединён с другим концом первого отрезка, пересечёт прямую.
Для искусственников.
№5. Вот Вы идёте в школу. Если перед Вами дорога, то можете ли Вы оказаться на другой стороне, не пересекая её?
№6. Перед Вами дано две пересекающиеся прямые и отрезок, пересекающий их в двух точках ( и дан чертёж!). Его концы соеднены с точкой пересечения прямых.
Найдите все отрезки, пересекающие две прямые в одной точке.
№7. Пусть перед Вами дано четыре точки, которые почти расположены на одной прямой. Докажите, что если художник нарисует прямую не очень хорошо, он может пройти через все точки.
№8. Вот перед Вами календарь. Представьте, что числа на нём—это точки. Какомц закону подчиняются тройки чисел-точек, через которые можно провести прямую?
Для кинестетиков.
№9. Возьмите ручку и карандаш. Можете ли Вы их так расположить, чтобы они имели концы на листе бумаги, но другие концы были такими, что отрезок, их соединяющий, пересекал бы лист?
№10. Как определить, пересечёт ли Ваша линейка две страницы раскрытой тетради, измерив ширину только одной из них?
№11. Сможете ли Вы отметиитить карандашом две точки, так, чтобы их было видно, чтобы отрезок, их соединяющий, пересекал край листа Вашей тетради?
№12. Расположите ручку, карандаш и линейку так, чтобы их концы лежали на одной прямой, всеми возможными способами.
Параграф 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
1) Прямые на плоскости могут пересекаться не более, чем в одной точке.
2) Существуют непересекающиеся прямые, которые называются параллельными.
3) Через данную точку можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
4) Прямая считается параллельной самой себе.
5) Прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.
Для логиков.
№1. Перед Вами ломаная линия ABCD. В каком случае отрезок, соединяющий её концы, параллелен одному из отрезков?
№2. Как вы думаете, все ли отрезке в фигуре, соединяющей 9 точек, могут иметь отрезок, параллельные себе?
№3. Дана прямая и некоторое число точек в одной полуплокости относительно неё. Через них проведены прямые, параллельные данной.
Докажите, что эти прямые совпадают, только если точки находятся на одной прямой.
№4. Точки прямой движутся по параллельным прямым. Докажите, что эта прямая либо совпадает с одной из них, либо пересекает всех их.
Для искусственников.
№5. Представьте дорогу и машины, едущие по ней.
Докажите, что гарантированно ни одна машина не столкнётся с другой, если они будут ехать по паралелельным полосам.
№6. Как связано то, что футболисты сталкиваются, и задача игры?
№7. Представьте 3 прямые, стремящиеся к пересечению в одной точке. Почему прямая, параллельная одной из них, может пересечь другие две «быстрее» или же «медленнее»?
№8. Как Вы думаете, почему лучи, исходящие из одного и того же источника, параллельны?
Для кинестетиков.
№9. Как расположить карандаш и линейку, чтобы, напрягая наименьшее число мышц, карандаш совместить с частью линейки?
№10. Попробуйте провести двумя пальцами по бумаги, напрягая наименьшее чсило мышц, чтобы они не столкнулись.
№11. Посмотрите на календарь. Сложите числа в первом и третьем параллельных столбцах и напишите результат.
№12, Два треугольника с параллельными сторонами расположены на плоскости так, что все их стороны принадлежат различным прямым.
Дайте эффективный способ построения прямой, пересекающей четыре стороны этих двух треугольников, среди которых есть пара непараллельных сторон.
Параграф 3. Взаимное расположение прямой и треугольника.
Прямая может либо не пересекать треугольник, либо пересекать только две его стороны, не проходя через его вершину, либо проходить через одну его вершину, либо пересекать все три стороны, проходя через одну или две его вершин.
Для логиков.
№1. Вот перед Вами треугольник. Вы делаете две его копии. В скольких точках может пересечь всех их одна и та же прямая.
№2. Пусть дана ломаная ABC внутри треугольника DEF. Может ли некоторая прямая быть параллельной каким-то двум из отрезков, соединяющих вершину треугольника DEF с вершинами ломаной ABC?
№3. Пусть дано n параллельных прямых. В скольких точках они могут пересекать треугольник.
№4. Пусть прямая отсекла от треугольника другой треугольник. Начертить прямую, содержащую наибольшее число вершин одного и другого треугольника.
Для искусственников.
№5. Обозначьте Ваш дом, два светофора и школу точками. Расскажите, скольких из них точек, соединя которые, можно получить треугольник?
№6. Вот перед Вами окно. Представьте диагональ. Жук прополз по прямой, причём Вы его видели и перестали видеть. Докажите, что он пересёк диагональ.
№7. Представьте часы и треугольник, образованный концами минутной и секундной стрелок. Докажите, что для любой прямой, не проходжящей через центр часов, через какое то время она не пересечёт какую-то из стрелок?
№8. Вот перед Вами треугольный кусок сыра. В скольких точках может пересекать его край ножа, разрезающего кусок, чтобы получился кусок возможно меньшего объёма (не объясняйте строго!).
Для кинестетиков.
№9. Расположите карандаш, ручку и линейку, чтобы они образовывали треугольник и прямую, проходящую через две точки.
№10. Стороны треугольника раскрашены в красный и жёлтый цвета. Как начертить прямую художнику, чтобы получить только точки зелёного цвета?
№11. Дан треугольник ABC. Как начертить три прямые, чтобы каждая пересекала ровно две стороны треугольника и все три делили треугольник на пять частей?
№12. Нарисуйте на бумаге треугольник так, чтобы он пересекался с линиями листа в 8 точках.
Параграф 4. Признаки параллельности прямых и свойства параллельности.
1) Если два накрест лежащих угла при секущей двух прямых равны, то такие прямые параллельны, и обратно.
2) Если два соответственныхь углу при секущей двух прямых равны, то такие прямые параллельны, и обратно;
3) Если сумма внутренних углов при секущей двух прямых равна развёрнутому углу, такие прямые параллельны, и обратно.
4) Две прямые, паралельные третьей, параллельны.
Для логиков.
№1 Докажите, что для четырёх накрест лежащих углов, образванных двумя параллельными прямыми, разность любых двух из них и двух оставгихся, вщятых в нужном порядке, равны.
№2. Дано множество прямых, из которых три паралльны и n пар—перпендикулярны. Каково может быть n?
№3. На плоскости даны три параллельные прямые: l_1и l_2. Дана точка C на одной из крайних прямых, и к ней проведён перпендикуляр CD, пересекающийся только с ней.
Докажите, что найдётся прямая, параллельная данным и пересекающая данный отрезок.
№4. Даны также две прямые и уже две различные точки на них. Как провести перпендикуляры к ним, чтобы отрезок , соединяющий их, был параллельным данным двум прямым?
Для искусственников.
№5. Представьте, что клетки Вашего тетрадного листа—большие точки. Какие типы параллельных прямых Вы можете указать?
№6. Вот Вы идёте по дороге к другу. Видите машину, едущую Вам навстречу, и Вам кажется, что, если Вы не поменяете траекторию, она с вами столкнётся. Есть края дороги.
Как Вы думаете, как связаны эти края и Ваше решение, что делать?
№7. «Еду я, еду по рельсам чугунным,//Думаю думу свою». Представьте, что с такими мыслями едут сразу два человека. Объясните теперь, почему мысль у них общая, а траектории не имеют общих элементов?
№8. «Когда нас сердце смертная тоска//Такая, что ничто её не лечит,//Тебе как бы протянется рука,//которой имя чудно—это встреча». Два человека, совершенно разных, передвигуются по двум пересекающимся дорогам. Почему они встретятся, и будут в одной точке ( в модели), а их мысли будут разными?
Для кинестетиков
№9. Используя угольник и карандаш с ручкой, сделайте так, чтобы на столе возникли внутренние накрест лежащие; соответственные; внутренние углы.
№10. Расположите карандаш и ручку параллельно, используя край стола и угольник.
№11. Возьмите четыре монеты и расположите их так, чтобы их центры лежали на параллеьных отрезках. Затем катите одну монету из одной пары по другой. Почему в этом случае отрезки, соединяющие центры пар, могут оказаться уже непараллельными?
№12. Какую сумму денег нужно взять, чтобы купить 5 карандашей двух видов разной длины p и q и стоимости 5 и 10 рублей, чтобы их можно было расположить на трёх параллельных прямых, чтобы было максимальное количество их концов, лежащих на прямой?
Параграф 5. Теорема о смежном угле теорема о вертикальных углах.
1) Угол, смежный с данным, равен разности развёрнутого угла и данного угла.
2) Вертикальные углы равны.
Для логиков.
№1. Дан треугольник ABC и точки D и E на его сторонах AB и BC соответственно.
Доказать: разность углов EDA и EDC равна разности углов EDB и DEB.
№2. Докажите, что если разность данных смежных углов равна третьему углу, то удвоенный больший угол равен сумме этого третьего угла и развёрнутого угла.
№3. Дано n прямых, образующих равные углы каждая ровно с двумя прымыми. Докажите, что они «вырезают» на плокости мноугольник.
№4. Посчитайте, каким может быть этот угол, чтобы в данном многоугольнике было n пар параллельных сторон.
Для искусственников.
№5. Даны три прямые, из которых две пары пересекаются под равными углами.
Докажите, что в этой конструкции есть ещё пара равных углов.
№6. Два человека идут на встречу с данными скоростями. Как определить третьему человеку чисто теоретически, сможет ли он пройти к ним так, чтобы встретиться с ними одновременно?
№7. Развёрнутый угол разделён тремя лучами. Сколько пар смежных углов здесь может быть?
№8. Есть ли такое время на обычных настенных часах, чтобы секундная, минутная и часовая стрелки образовывали смежные углы?
Для кинестетиков.
№9. Как два карандаша, ручку и линейку разместить так, чтобы получились смежные и вертикальные углы?
№10. Как, пользуясь калькой, имея начерченный луч на одном листе, нарисовать смежные углы на другом?
№11. Как сделать так, чтобы два точечных источника света , прикреплённые к стене, образовывали на ней смежные углы?
№12. Докажите, что двумя нитакми, образующими вертикальные углы, можно обмотать любой предмети прямоугольной формы и определённой величины.
Параграф 6. Теорема о сумме углов в треугольнике и теорема о внешнем угле.
1) Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.
2) Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним.
Для логиков.
№1. Даны два параллельные прямые a и b и три разные секущие их c,d,e, пересекающиеся вне прямых a и b в одной точке, так что d лежит между c и e. Укажите накрест лежащие углы, большие всех остальных.
№2. Два угла, имеющие величины 30 градусов и 60 градусов, с вершинами A и B, имеют три общие точки: A и B.
Через вершину B проведена прямая, пересекающая угол BCA в точке D и c ней угол в 30 градусов. Эта же прямая образует с прямой AB в 45 градусов. В какой полуплооскости относительно прямой AB может быть расположена точка D.
№3. В треугольнике углы B и C равны b и c соответственно. Через точку B проведена прямая, перпендикулярная AB. Через точку C проведена прямая, перпендикулярная стороне BC. Пусть эти прямые пересекаются в точке D.
Какими должны быть углы треугольника ABC, чтобы прямая, проходящая через D и не проходящая через A, пересекающая сторону AС и проходящая между прямыми BD и CD, обязательно пересекла бы и сторону BC?
№4. В треугольнике ABC угол B—острый, а угол ACB равен 15 градусам. Через точку A проведена прямая l, образующая со стороной AC угол, больший 75 градусов. Известно, что прямая, параллельная l и проходящая через B, проходит между AB и BC.
Докажите, что l не пересекает сторону BC треугольника.
Для искусственников.
№5. Нарисуйте на клетчатой бумаге угол, проходящий как минимум через три её узла, меньший 45 градусов.
№6. Сколько максимально углов, имеющих одну и ту же величину, могут образовывать четыре прямые, не пересекающиеся в одной точке?
№7. Дан прямоугольный треугольнике ABC с углом A, равным 90 градусам, и гипотенузой AC, на стороне AB его востпроен во внешнюю сторону равносторонний треугольник ABK. Какую из сторон треугольника ABK, отличную от AB, пересекает биссектриса угла C?
№8. Во внутренней области угольника жили три точки, а в его вершинах—три другие точки. В каком случае одна из первых трёх может встретиться с другой из второй из трёх, чтобы угол, под котором одна из первых трёх других видит две другие, не изменился?
Для кинестетиков.
№9. Начертите на бумаге четыре отрезка, сумма всех острых углов между которыми равна 210 градусам.
№10. Возьмите линейку с делениями. Расположите карандаш, ручку и линейку так, чтобы сумма всех возможных углов между отрезками равна 300 градусам.
№11. Вырежите из бумаги небольшой круг и треугольник. Расположите треугольник так, чтобы сумма двух его углов, вершины которых расположена внутри круга, меньше 180 градусов. Рассмотрите все случаи.
№12. Две вершины пятиугольника покрашены в красный цвет, а все остальные—в синий. Предложите методику для вычисления суммы углов, соединяющий красные точки как свои вершины и эти синие точки.
Параграф 7. Теорема о сумме внутренних углов в многоугольнике.
Теорема: cумма внутренних углов n- угольника равна `180(n-2).
Для логиков.
№1. Сколько пар внутренних углов n-угольника, которые в сумме могут составлять 180 градусов?
№2. В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике1?
№3. Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов2?
№4. Дан пятиугольник ABCDE с прямыми углами A.,C,E и равными углам B и D, причём AB=DE
Доказать: диагонали EC, BD и перпендикуляр из точки A на отрезок CD пересекаются в одной точке.
Для искусственников.
№5. Сколько раз поворачивает автомобиль, едущий по системе дорог, образующих многоугольник, если сумма внутренних углов его равна 720 градусов?
№6. Перед Вами календарь. Найдите на нём два числа, произведение которых даст сумму внутренних углов шестиугольника.
№7. Дан многоугольник с n сторонами. Представьте, что отрезали треугольники, содержащие все его углы. Чему равна сумма внутренних углов получившегося многоугольника, если сумма внутрених углов первого равна q?
№8. Луч света последовательно отражается от зеркал, верхние и нижние края которых образуют два равных многоугольника. В какому случае точка вернётся в своё первоначальное положение?
Для кинестетиков.
№9. Как сложить прямоугольный лист, так, чтобы получился многоугольник, у которого сумма внутренних углов равна 540 градусам?
№10. Вырежите из бумаги многоугольник, который можно было бы сложить вдвое, так чтобы сумма его внутренних углов стала на 360 градусов меньше.
№11. Пройдите пальцем по границе обложки книги, стараясь двигаться по прямой, чтобы получился многоугольник, у которого сумма внутренних углов равна 900 градусам.
№12. В семиугольнике четыре вершины раскрашены в зелёный цвет, остальные—в жёлтый. Найдите многоугольник с двумы зелёными вершинами и всеми остальными жёлтыми, чтобы сумма его внутренних углов была равна 360 градусам
(1). Profmeter.ru
(2). Profmeter. Ru