1. Введение в математический анализ. По книге Лузина «Дифференциальное исчисление». Первые 5 глав. 21 тема.
1. Число.
1.1. Поле рациональных чисел.
№1. Условие: в прямоугольнике ABCD с рациональными сторонами проведена диагональ AC. Внутри прямоугольника взята точка E, так что расстояния её до сторон AB и BC—рациональны. Докажите, что отрезок DE делит проведённую диагональ в целом отношении.
№2. Условие: в окружности проведены хорды AC и BD, пересекаюшиеся в точке E, причём BC=CD и длины отрезков AE, CE и DE рациональны. Прямые AB и AD пересекают касательную к окружности в точке C в точках E и F соответственно. Докажите, что отношение AE:AF—целое.
№3. Условие: на двух соседних сторонах параллелограмма ABCD—BC и CD-- выбрано по одной точке (A1 и B1 соотв.), делящих их в целом отношении; они соединены с двумя противолежащими им вершинами –A и B соответственно.
Доказать, что точка пересечения делит каждый из получившихся отрезков также в целом отношении.
1.2. Рациональные и иррациональные точки.
№4. Укажите рациональные числа a,b,c,d чтобы между числами a и b встретились иррациональные числа \sqrt{c} и \sqrt{d}, а между числами c и d встретились иррациональные числа \sqrt{a} и \sqrt{b}.
№5. Укажите два иррациональных числа, сумма которых находится между двумя простыми числами, соответствующими их подкоренным выражениям.
1.3. Несоизмеримые отрезки.
№6. В пятиугольнике ABCDE три прямых угла (один из которых—угол A) и три равных стороны, из которых только две являются соседними. Доказать, что если все стороны пятиугольника соизмеримы, то диагональ BE несоизмерима со всеми сторонами пятиугольника.
№7. Во всех ли правильных многоугольниках с числом сторон больше 5 наибольшие диагонали несоизмеримы с наименьшими?
1.4. Определите, к какому свойству абсолютных величин относится данный пример.
№8. А)Два человека шли по двум перпендикулярным прямым. Независимор от направления, в котором они шли, площадь воображаемого прямоугольника, построенных на дорогах как на основаниях, оставалась одной и той же. Б)Если бы можно было идти вниз по движущемуся эскалатору вверх, то пройденный путь был бы больше пути по обычной лестнице такой же длины. В) Вечером на улице зажигался и погасал свет в окнах домов, а окон столько же.
1.5. На нуль делить запрещается.
№9. Найдите ошибку в рассуждении: a+b=c|:a, при этом a не равно
№10. Найдите ошибку в рассуждении: (все числа действительные).
2. Величина.
2.1. Классификация величин.
№12. А) Что можно сказать о массе прочитанных человеком книг как величине? Б)Что можно сказать о количестве информации в тексте, написанном карандашом, как величине? В)Что можно сказать об отношении расстояния между словами в книге к расстоянию между некоторыми двумя строками как величине?
№13. А) В кувшин наливают воду. Что можно сказать о её объёме как величине? Б) Что можно сказать об отношении объёма воды, пролитой два раза при переливании из одной банки в другую, к объёму всей переливаемой воды, как величине? В) Что можно сказать о величине объёма воды в ванной после погружения в неё нескольких больших предметов?
2.2. Найдите приращение величины:
№14. Определите, в каких из примеров задач №№12-13 встречалось приращение функции.
№15. Найдите приращение величины: А)Температуры льда, ставшего кипящей водой; Б)Времени, за которое свет прошёл 3000000 км по сравнению с некоторой фиксированной точкой; в) Массы груза из одинаковых деталей, если масса первоначального груза вместе с перевозочным средством равна m_1, а деталей стало a штук и масса каждой детали равна m_2.
3. Функция.
3.1. Определите, являются ли следующие переменные зависимыми или независимыми.
№16. Число букв в слове и число слов в предложении; объём и масса предмета; плотность населения страны и её площадь.
№17. Число часов в дне и число минут в неделе; расстояние между предметами и длина пройденного ими пути; скорость тела и длина пройденного пути.
№18. Количество цифр в числах n и 2n; число арифметических операций и результат; длина, ширина и высота коробки.
3.2. Найдите область определения функции.
№19. A) y=1/(x^2-6x+5); б)y=x+1/(x-1); в)y=(x-1)/(x^2-1); г)y=1/{x^3-x^2-3x+2}.
№20. А) y=1/{{1-sin^2{x}}; б)y=1/cos^2{x}-1; в)y=sin{x}-sin{2x}.
3.3. Классификация функций.
№21. Определите, к каким видам функций относятся функции пункта 3.2.
№22. Минимальный радиус окружности, которая может покрыть квадрат, равновеликий данной совокупности квадратов, как-то зависит от их сторон. Какова эта зависимость? Что можно сказать про эту функцию?
№23. Прямая может быть описана в прямоугольной Декартовой системе координат двумя основными способами. Какой из них соответствует явной функции, а какой—неявной?
4. Предел.
4.1. Определите, каким способом данная переменная величина приближается к своему пределу.
№24. А) Площадь круга, концентричного с данным; б) количество диагоналей многоугольника, у которого увеличивается как угодно сильно количество прямых углов между сторонами; в) число точек пересечения n равных отрезков; г) sin{2t}/2t.
№25. А) Расстояние от точки , находящейся внутри окружности, до одной из касательной; б) разность суммы двух сторон треугольника и третьей его стороны; в) cos{t}/2t.
4.2. Определите, какие из данных величин бесконечно малые или могут быть таковыми, в тех случаях, когда это возможно.
№26. А)Температура в космосе; б) высота космического корабля над землёй; в) расстояние идущего человека до космического корабля.
№27. А)Скорость улитки; б) вероятность того, что нам будет в будущем меньше лет, чем сейчас; в)вероятность того, что из 1000000 шаров чёрного и белого цветов, помещённых в урну, достанут белый шар.
4.3. Задачи на основные теоремы из теории пределов.
№28. Три точки движутся равномерно по трём прямым, две из которых параллельны, а третья им перпендикулярна. Чему может быть равен предел отношений расстояний от точек на параллельных прямых, до точки на прямой, им перпендикулярной (рассмотрите все случаи!)
№29. Условие: дана прямая с некоторым множеством выколотых точек. Другая точка начинает двигаться по отрезку прямой без выколотых точек с постоянной скоростью V; после прохождения каждой выколотой точки скорость данной точки уменьшается вдвое. Может ли для данной точки существовать предельное положение?
4.4.Определите, какие из величин являются положительно бесконечными большими, какие—отрицательно бесконечно большими, а какие—просто бесконечными.
№30. А) Температура в космосе; б) расстояние до отдаляющегося предмета; в)пройденное всеми людьми расстояние.
№31. А) Отношение скорости света к скорости других тел; б) сумма значений температуры на Земле, меньших нуля за n дней; в)сумма разностей расстояний между n объектами, движущимися по одной прямой с разными скоростями в одном и том же направлении.
5. Непрерывность.
5.1. Свойства функций, непрерывных в точке.
№32. Является ли движение шахматного коня непрерывным? А движение стрелок часов?
№33. Определите, к какому из основных свойств функции, непрерывной в точке, относится данный фрагмент.
1) Все разности функций, описывающих равные окружности, дают снова окружность, равную остальным.
2) Грузоподъёмность лифта имеет пределом величину, соответствующую ситуации, когда значение массы находящихся в лифте достигает определённого значения.
3) Даже если мы напишем не sin{a}, а sin{2a}, непрерывность функции sin{x} от этого нисколько не изменится.
№34. Обоснуйте роль принципа непрерывности в ходе включённого цикла лекций по литературе на bibigon.
№35. Представьте жизнь как прямую, а важные грехи—как выколотые точки, но при этом эти точки—как некие пропасти. И вот степень падения будет соответствовать вместо прямой кривой с понижением участка; а затем—возвращением к нормальному состоянию. При этом отмечаются точки с временными и пространственными координатами, а затем через них провадится кривая линия, наиболее естественно вычерчиваемая через них рукой.
Как Вы думаете, будет ли соответствовать такая модель своей роли?
5.2. Испытать непрерывность функции, заданной описанием.
№35. А) Студент, выйдя из станции метро, шёл в институт в течение 3 минут. Является ли непрерывной на некотором отрезке отрезках функцией от времени его скорость? Б) Путешественник дошёл от одного села до другого, а после ночлега вернулся домой. Является ли функция, показывающая зависимость времени, которое он шёл, от пути, непрерывной на некотором отрезке? 3) Бегуны соревновались на олимпиаде. Является ли непрерывной функцией от скорости на некотором отрезке отношение пробеганных ими расстояний.
5.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
№36. У хозяина дачи была лампа, имевшая три кнопки: нажимая и держа одну из них, можно было делать свет всё тусклее и тусклее; нажимая на другую, аналогично можно было увеличивать яркость света; нажимая на третью, можно было включить или выключить лампу. Какие кнопки надо нажимать и в каком порядке, чтобы функция яркости от времени была непрерывной на каком-либо отрезке?
№37. На стене дома дачи был расположен термометр. Какие из следующих трёх утверждений верны: а) В любой достаточно большой период времени температура примет по крайней мере три значения; б) В любые три достаточно отдалённые друг от друга моменты времени хозяин дачи обнаружит разные значения температуры; в) чем меньше момент времени, разделяющий две проверки значений температуры на термометре, тем более близка к нулю разность третьего значения и одного из первых?
5.4. Пределы функции. Пределы в бесконечности.
№38. Определите, является ли данный предел пределом справа от данной точки или пределом слева от данной точки там, где это возможно.
А) Предел температуры льда, положенного на горячую поверхность; б)Предел высоты человека над уровнем земли, находящегося над первым этажом; в) Предел массы сжимаемого газа; г) Предел температуры жидкой ртути; д) Предел скорости падающего снаряда.
№39. Является ли данная функция непрепрывной в некоторой точке?
А) Функция погрешности измерения, где погрешность равна a; б) функция угла наклона дерева от нескольких переменных (в т.ч. силы ветра, массы и реакции опоры); в) Функция, задающая для номеров ходов , в которых ходит белый или чёрный конь обозначение поля, куда он пошёл.
5.5. Типы разрывов функций. Неустранимый и устранимый разрывы.
№40. Является ли следующий пример примером устранимого разрыва:
А) Разбитая ваза; б) Упавший снаряд; в) Груз на пружине, колеблющийся вниз и вверх.
№41. Есть ли среди примеров №36 примеры устранимого разрыва?
5.6. Кажущийся разрыв и так называемая «истинная величина» функции.
№42. Устраните разрыв в следующих функциях (если он есть) и найдите «истинную величину» функции {в а) и б)}: а) y=1/{arcsin{a}+arccos{a}}; б)y=1/(tga*cosa-sina); в)y=tg{2a}/(cos^2{a}-sin^2{a}).
№43. Чему равен предел limx->a{sin{x}/x}, где a—постоянная?
№44. Можно ли в замечательном пределе пользоваться не радианной, а градусной мерой?
5.7. Натуральные логарифмы.
№45. При каком значении x число log{x^2-5x+16}123456789 есть логарифм Бригга?
№46. Каков предел ряда: e^n-e^{n-1}+e^{n-2}…-e^2+e, где e—натуральный логарифм?
6. Дифференцирование.
6.1. Приращение.
№47. Исследуйте следующие три примера на предмет того, одинаковые или разные знаки имеют приращения функции и аргумента.
А) Яркости в помещении утром в разных областях России по сравнению с ночью. Б) Силы трения колёс поезда о рельсы, когда он приближается к остановке по сравнению с предыдущей остановкой. В) Силы реакции опоры асфальта по сравнению с каменными ступеньками у выхода в метро.
№48. Исследуйте следующие три примера на предмет того, оба ли приращения функции и аргумента бесконечно малые. 1) Приращение объёма льда и температура; 2) Длина тени дерева и скорость ходьбы человека; 3) Количество пройденных домов и вероятность того, что на 2-ом этаже включат свет.
6.2. Сравнение приращений.
№49. Исследуйте, как зависит высота дома от его числа окон и сравните приращения высоты и числа окон, равных h и n, если число подъездов q, а в каждом этаже—m окон.
№50. Крошка хлеба была выброшена из 16-ого этажа, чтобы подкормить голубей. Каково может быть приращение расстояния от голубя до крошки, если скорость голубя—V, масса крошки—m, а высота нового значения—0,5 м. Сравните приращение этого расстояния с приращением высоты.
№51. Голуби начали взлетать к окну и садиться на подоконники., причём в одних квартирах были кошки (таких квартир было a), а в других—нет (таких квартир было b). Сравните возможное приращение количества голубей на подоконниках второго типа по прошествии некоторого времени.
6.3. Производная функция одного переменного.
№52. Внутри круга единичного радиуса дана точка, не являющаяся центром этого круга, удалённая от него на расстояние a. Чему равен максимальный угол между отрезками, соединяющими эту точку и две точки на окружности, чтобы отношение отрезков было данным?
№53. В квадратном листе бумаги расположен другой квадрат, имеющий общий сним центр и стороны, паралелльные его сторонам. Из вершин малого квадрата проведены отрезки к серединам сторонам большого, и с помощью вспомогательных загибов из большого квадрата делают пирамиду, в основе которой лежит маленький квадрат. Какова сторона этого квадрата, для которой объём пирамиды наибольший?