Тема 1. Симметрия, поворот и подобие.
№1. Условие: в прямоугольнике ABCD отмечен центр E. Через него проведены два отрезка KL и MN с концами на сторонах прямоугольника.
Может ли быть прямоугоьник, образованный серединами сторон четырёхугольника, соединяющего эти концы, и отрезками, соединяющими эти середины, быть подобен ABCD?
№2. В пряморугольник ABCD вписан четырёхугольник KLMN.
Докажите, что существует четырёхугольник, в который вписан прямоугольник ABCD с таким же соотношением сторон, как и KLMN, все из которых непараллельны сторонам первого четырёхугольника.
Тема 2. Равнобедренный треугольник превращается в равносторонний.
№3. Докажите, что существует конструкция вершин и отрезков, в которой 5 вершин, каждая пара из которых соездинены отрезком и среди этих есть две группы с одинаковым количеством равных ортрезков числом 4, причём каждый из одной группы несоизмерим с каждым из другой группы.
№4. Условие: прямоугольник ABCD, внутри него взята точка E. Она отражена симметрично относительно сторон прямоугольника AB, BC, CD и AD и получены точки A’, B’, C’, D. Известно, что четырёхугольник A’CC’D’—вписанный.
Доказать, что треугольник A’B’C’—равносторонний.
Тема 3. Медиана, проведённая из вершины тупого угла треугольника, параллельный перенос и существование заданной перпендикулярности.
№5. Условие: вне прямоугольника ABCd взят отрезок KL, равный и параллельный стороне CD. Центр прямоугольника –E. Прямая KE пересекает сторону AB в точке F.
Существует ли как частный случай конфигурация, когда AF=CF?
№6. Условие: прямоугольник ABCD и окружности 1 и 2, касающиеся троек сторон AB, BC и CD и AB, AD и CD. Окружность 1 и окружность 2 пересекаются а точах K и L, а центр описанной окружности треугольника AKL—P. Может ли угол APB быть тупым?
№7. На сторонах AB и CD взяты точки E и F соответственно, середина стороны K. Существует ли частный случай, когда проекция отрезка EK на прчмую EF равна отрезку этой прямой, высекаемому на ней стороной AB и описанной оукружностью прямоугольника ABCD?
Тема 4. Вписанная, вневписанная окружность и ещё две окружности.
№8. Дан треугольник ABC, I—центр вписанной окружности, касающейся стороны AC в точке K, вневписанная окружность. Соответствующая вершине B, касается этой же стороны в точке M. Окружности, описанные около треугольников AIK(окр.1) и IMC(окр.2), пересекаются во второй точке Q.
А)Докажите, что Q лежит внутри треугольника ABC.
Б) Если угол C—прямой, то точка касания одной из общих внешних касательных этой окружности и окр.2 лежит на прямой AC.
№9. Если из точки касания вневписанной окружности, соответствующей вершине B треугольника ABC и прямой AB—Q-- провести прямую, перпендикулярную биссектрисе угла B, и она пересечёт прямую , соединяющую центр вписанной окружности треугольника ABC—I и вершину C, в точке P, то существует одновременное выполнение двух условий: ортоцентр треугольника QBP лежит на биссектрисе угла B и отрезки QI и PI перпендикулярны.
Тема 5. Тема задачи №8 из статьи Блинковых и геометрия частных случаев треугольников
Воспользуемся обознаячениями из статьи.
№10.Если угол A—прямой, то I_aA_1+I_aA_2>BC.
№11. Если угол A равен 60 градусам и описанная окружность треугольника ABC—окр.1, а вневписанная окружность, соответствующая вершине A—окр.2, то биссектриса прямых, соединяющих по две точки касания общих внешних касательных окр.1 и окр.2, принадлежщих каждой из этих окружностей, параллельна прямой Эйлера треугольника BI_aC.
Тема 6. Теорема Ван-Схотена и соизмеримость отрезков.
№12. Вне квадрата ABCD взята точка E, такая, что угол CED равен 60 градусов; описанная окружность треугольника CED пересекает диагональ AC в точке F. Докажите, что отрезок EF несоизмерим с диагональю квадрата.
№13. Вне прямоугольника ABCD, у которого диагонали AC и BD образуют угол 60 градусов (точка пересечения—E, угол BEC равен 60 градусам) взята точка F, такая, что угол BFC равен 120 градусам, прямая EF пересекает сторону AD в точке K.
Существует ли конструкция, чтобы отрезки FK, AB, BC, BF и FC были все соизмеримы?
Тема 7. Существование подобия блиц.
№14. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E, так что угол BEC равен 45 градусам. На отрезке EC как на хорде построена окружность так, что угол CEF равен 30, где F—точка пересечения окружности и стороны CD. Из точки C построен луч, образующий со стороной CD угол в 15 градусов и пересекающий эту окружность в точке K. Определите за 1 минуту, подобен ли треугольника EKF и треугольник ABC.
Тема 8. Прямоугольная трапеция и вневписанная окружность.
№15. В прямоугольной трапеции ABCD высота AB, BC и AD—основания. Вневписанная окружность треугольника BCD 4касаетися стороны CD в точке E. Оказалось, что CE=AB; проведена высота CF
Доказать, что BE перпендикулярен EF.
№16. Прямоугольная трапеция ABCD с основаниями BC и AD и высотой CD. Вневписанная окружность треугольника ABC, касающаяся стороны BC в точке K и прямой AC в точке L. Для треугольника DKL построен центр описанной окружности O. Могут ли точки K, C, O и D лежать на олной окружности
Тема 9. Тема задачи №14 из статьи Блинковых в развитии.
№17. Воспользуемся обозначениями из статьи. Докажите, что BT>r*\sqrt{2}.
№18. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса BD.
Доказать, что прямая, соединяющая точку P с ортоцентром BQT параллельна QT.
№19. Из T опущен перпендикуляр TR на гипотенузу AB, пересекающий BC в точке P. Докажите, что CR>2r.
№20. В прямоугольной трапеции ABCD высота AB и основания BC и AD в точке L, а прямую AC в точке K, прямая AB пересекает прямую KL в точке M. Может ли KM=MC?
Тема 10. Сложный счёт углов для выяснения свойств конструкции.
№21. Условие: могут ли концы стороны AC треугольника ABC, основание высоты из вершины H и точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно высоты AH, лежать на одной окружности?
Ответ: да!
№22. В остроугольном треугольнике ABC отмечен центр описанной окружности O и проведена высота BD. Луч AO пересекает сторону BC в точке K. Ортоцентр –H.
Докажите, что если биссектриса угла C находится между стороной AC и радиусом OC, то радиус описанной окружности треугольгника HBK, проведённый из точки B, находится между радиусом BO и стороноq BC.
Тема 11. Теорема о квадрате касательной и построение, связанное с точкой пересечения диаметра описанной окружности треугольника и высоты из разных вершин.
№23. Условие: диаметр AD треугольника ABC пересечкает высоту BE в точке F, а сторону BC—в точке G. Около треугольника FGC описана окружность(окр.1)Центр окр. 1 –P. Прямая BP пересекает сторону AC в точке M.
Доказать: прямая FM является касательной к окружности, описанной около треугольника BMC.
Тема 12. Тема задачи №20 из статьи Шарыгина «Вокруг биссектрисы» и квадрат касательной.
№24. Прямая MN пересекает прямую AC в точке K, а всоту BB_1-- в точке E.
Докажите, что окружность, описанная около треугольника KEC, не может касаться стороны BC в точке C.
Тема 13. Прямоугольник и средняя линия трапеции.
№25. Доказать: если отрезки, перпендикулярные неравным сторонам по два, в сумме момтавляющие содну из двух различных сторон прямоугольника, то их концы не на сторонах прямоугольника обрузуют вершины параллелограмма, только тогда когда диагонали четырёхугольника, претендующего на роль параллелограмма, пересекаются в центре прямоугольника.
№26. На двух более длинных параллельных сторонах прямоугольника как на хордах построены две окружности, симметричны относительны средней линии прямоугольника.
Доказать, что две другие видны из точек пересечения под тем же углом, под которым пересекаются отрезки, соединяющие эти точки и вершины стороны другой длины, более длинные из двух возможных вариантов, только если эти стороны другой длины видны из точек пересечения окружностей под прямым углом.
Тема 14. Трапеции и существование вписанных в них ромбов.
№27. В прямоугольную трапецию в общем случае нельзя вписать ромб
№28. В трапецию с углом 30 градусов ромб с углом 120 градусов можно вписать, но одна из его сторон будет располагаться на боковой стороне трапеции.
№29. В трапецию с углом 60 градусов между основанием и боковой стороной нельзя вписать ромб с углом 120 градусов.