ВВЕДЕНИЕ В ЖЕРГОННОВУ СИЛЛОГИСТИКУ, Ч. 1
Хотя алгебраическое "вычисление" Аристотелевых силлогизмов явно прогрессивнее их "сборки" из простых категорических суждений по классической методике, его чисто ПРАКТИЧЕСКОЕ значение, как и вообще всей АС, невелико. Оно интересно в основном с "дидактической" точки зрения, как наглядная демонстрация "классового" характера логики. Но, подчеркнем еще раз, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО "классовый подход" к логике вообще и к силлогистике в частности предполагает использование Жергонновых отношений вместо неразрывно связанных с "грамматическим" подходом простых категорических суждений. Поэтому в данной статье будет, наконец, представлена силлогистика Ж-отношений, или Жергоннова силлогистика (ЖС), которая по своим аналитическим возможностям существенно превосходит АС.
Посылками Ж-силлогизма будем называть два Ж-отношения его "среднего" класса M с обоими "крайними" классами B и C. Непосредственная задача ЖС состоит в определении всех тех Ж-отношений между "крайними" классами, которые совместимы з заданными посылками. Основным инструментом решения этой задачи является АЛГЕБРА Ж-ОТНОШЕНИЙ, представляющая собой всего лишь фрагмент АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ, предполагающей, как и "обычная" алгебра, совершение неких "действий", или ОПЕРАЦИЙ, над своими объектами. В элементарной школьной алгебре такими операциями являются простейшие арифметические действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление. По сравнению с ней алгебра Ж-отношений еще проще, так как она обходится всего ДВУМЯ операциями над своими объектами, а именно, операциями ПЕРЕСЕЧЕНИЯ (логического умножения) и ОБЪЕДИНЕНИЯ (логического суммирования) множеств.
Пересечением классов B и C называется множество BC, образованное ВСЕМИ ОБЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ классов B и C. В частности,
BB = B (5.1)
Результатом операции объединения двух классов B и C является множество B+C, образованное ВСЕМИ элементами классов B и C. В частности,
B+B = B (5.2)
Для алгебры Ж-отношений основной является операция пересечения, так как ее результат ОДНОЗНАЧНО указывает на тип Ж-отношения, в котором находятся друг к другу "пересекающиеся" классы:
Ж1: BC = B = C (5.3)
Ж2: BC = B (5.4)
Ж3: BC = b,c (5.5)
Ж4: BC = C (5.6)
Ж5: BC = 0 (5.7)
В последней формуле символ «0» обозначает т.н. ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО, т.е. "множество", в котором нет НИ ОДНОГО ЭЛЕМЕНТА. Заметим в этой связи, что непосредственно из данного выше определения операций пересечения и объединения вытекают следующие две формулы:
B0 = 0 (5.8)
B+0 = B (5.9)
Стоит также обратить внимание на то, что выражение b,c в формуле (5.5) имеет несколько иной смысл по сравнению с аналогичными выражениями в формулах алгебраизированной АС. Там под ними подразумевался «нераспределенный термин», т.е. множество с ПРОИЗВОЛЬНЫМ числом элементов, общих для классов B и C; здесь же под этим выражением подразумевается множество, включающее в себя ВСЕ общие элементы этих двух классов.
Чаще всего необходимость в операции объединения возникает тогда, когда множество B+C представляет собой т.н. «универсум», или «универсальный класс» U, включающий в себя ВСЕ объекты исследуемой области. Поскольку любое другое множество находится с «универсумом» в отношении Ж2, для произвольного множества D всегда справедливы равенства
DU = D (5.10)
D+U = U (5.11)
И, наконец, самая востребованная формула алгебры Ж-отношений:
(B = C) => (BD = CD), (5.12)
То есть, если имеет место равенство объемов множеств B и C, то из этого равенства с НЕОБХОДИМОСТЬЮ вытекает равенство пересечений этих множеств с произвольным множеством D. Обратное же утверждение в общем случае неверно: из равенства BD = CD, вообще говоря, НЕ ВЫТЕКАЕТ равенство B = C.
Итак, задача ЖС – по виду "произведений" MB и MC, где M – "средний" класс, определить, какие из формул (5.3) – (5.7) могут соответствовать "произведению" BC. Проще всего эта задача решается тогда, когда одна из посылок является отношением Ж1. В этом случае надо просто подставить в другую посылку вместо M обозначение равного ему по объему "крайнего" класса. Например, для посылок Ж1Ж3 имеем:
(MC = M = C; MB = m,b) => (CB = c,b) <=> (BC = b,c)
Кроме этих пяти случаев, ОДНОЗНАЧНЫЙ вывод о Ж-отношении между "крайними" классами B и C можно получить еще из двух пар посылок: (MC = M; MB = B), или Ж2Ж4, и (MB = B; MC = 0), или Ж4Ж5. Но для этого уже надо воспользоваться правилом (5.12), "домножив" каждую из посылок на "чужой" для нее "крайний" класс и затем приравняв друг к другу правые части полученных выражений. Так, для посылок Ж2Ж4 имеем:
(MC = M) => (MBC = MB)
(MB = B) => (MBC = BC)
BC = MB = B
То есть, в случае посылок Ж2Ж4 заключением является отношение Ж2. Проделаем теперь то же самое с парой посылок Ж4Ж5:
(MB = B) => (MBC = BC)
(MC = 0) => (MBC = 0)
BC = 0
Здесь мы имеем в заключении отношение Ж5.
Во всех же остальных случаях получить однозначное заключение из посылок Ж-силлогизма не удается. Почему это так, поясним на примере силлогизма с такими "словесными" посылками:
Все кандидаты и доктора наук умеют читать (5.13)
Некоторые кандидаты и доктора наук преподают в вузах (5.14)
В АС из этих утверждений вытекает следующее заключение:
Некоторые преподаватели вузов умеют читать (5.15)
Закономерен вопрос: почему из посылок, справедливость которых несомненна, получился столь… юмористический вывод? Ведь никаких правил АС при его получении нарушено не было. Правда, "смягчающим обстоятельством" является то, что в АС, напомним, кванторное слово «некоторые» трактуется широко, как «хотя бы некоторые, а может быь, и все». Но, тем не менее, такая расплывчатость заключения в данном случае представляется неуместной. А теперь сравним этот результат с тем, который можно получить из "Ж-аналога" силлогизма (5.13) – (5.15). Его посылки выглядят так:
(MC = M; MB = m,b), или Ж2Ж3, (5.16)
где M – класс всех кандидатов и докторов наук, B – класс всех преподавателей вузов и C – класс всех, умеющих читать.
Уже по одному виду этих посылок ясно, что применить тот же приём, что в двух предыдущих случаях, здесь не удастся, так как здесь невозможно непосредственно воспользоваться правилом (5.12) для получения из посылок (5.16) выражения типа BС = … Поэтому нам придется использовать другой и, к сожалению, более громоздкий приём. А именно, будем "домножать" на M обе части той из формул (5.3) – (5.7), которая соответствует ПРЕДПОЛАГАЕМОМУ заключению, и проверять, выполняется ли равенство полученных "произведений" с учетом посылок (5.16). Если это равенство выполняется, значит, данное Ж-отношение МОЖЕТ быть заключением из данных посылок; если же равенство ЯВНО нарушается, то это означает, что данное Ж-отношение между классами B и C НЕСОВМЕСТИМО с посылками (5.16).
Сразу же заметим, что проверять таким способом отношение Ж1 нет необходимости. Действительно, отношение Ж1, означающее справедливость равенства В = С, при данных посылках явно невозможно, так как множество M не может находиться с ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ множеством В = С в двух РАЗНЫХ Ж-отношениях. Отсюда вытекает ОБЩИЙ вывод: отношение Ж1 в заключении возможно ТОЛЬКО тогда, когда посылки "одноимённы": Ж1Ж1, Ж2Ж2 и т.д. Поскольку в нашем случае это не так, сразу же отбрасываем отношение Ж1 и начинаем проверку с отношения Ж2:
(BC = B) => (MBC = MB)
Преобразуем левую часть полученного равенства с учетом посылок (5.16):
MBC = MB = m,b (5.17)
Как видим, в данном случае левая часть "произведения" полностью СОВПАЛА с правой частью. И это означает, что отношение Ж2 между классами В и С НЕ ПРОТИВОРЕЧИТ заданным посылкам (5.16).
Далее – отношение Ж3:
(BC = b,c) => (MBC = M(b,c))
Из формулы (5.17) мы уже знаем, что MBC = m,b. Хотя правая часть полученного "произведения" на этот раз не совпала в точности с левой, как в предыдущем случае, равенство между левой и правой частями в принципе всё же возможно. Нетрудно догадаться, что для этого необходимо и достаточно, чтобы объем множества b,c полностью включал в себя объем множества m,b. Поэтому отношение Ж3 между классами В и С тоже следует признать ВОЗМОЖНЫМ.
Переходим к проверке отношения Ж4:
(BC = C) => (MBC = MC)
Напомним, что MC = M – это одна из посылок (5.16). То есть, правая часть данного "произведения" равна M, а левая, как мы уже знаем, равна m,b. Но они явно НЕ равны друг другу, так как в ЖС (в отличие, кстати, от АС) ЧАСТЬ m класса M не может быть равна ВСЕМУ этому классу. Откуда следует, что отношение Ж4 между классами В и С НЕСОВМЕСТИМО с посылками (5.16).
И, наконец, последнее Ж-отношение – Ж5:
(BC = 0) => (MBC = 0)
Ноль в правой части этого выражения вместо "эталонного" для данного силлогизма m,b свидетельствует о том, что отношение Ж5 между классами В и С при данных посылках тоже НЕВОЗМОЖНО.
Итак, наша проверка показала, что для Ж-силлогизма с посылками Ж2Ж3 возможны ДВА заключения: Ж2 и Ж3. В этом также убеждает диаграмма на рис. 5.1, смысл присутствия на которой дополнительного множества D будет разъяснен чуть ниже. Пунктирные границы множеств В1 и В2 символизируют здесь, в отличие от АС, не их «нераспределенность» (в ЖС такое понятие вообще отсутствует), а их "гипотетичность", так как оба они совместимы с посылками (5.16), но ТОЛЬКО ОДНО из них может соответствовать действительности. На данном примере хорошо видно различие между Аристотелевым и Жергонновым силлогизмом: если первый "выдал" единственное, но расплывчатое заключение, то второй – два вполне определенных, но НЕСОВМЕСТИМЫХ ДРУГ С ДРУГОМ альтернативных варианта. Это напоминает сюжет детектива, когда проверка алиби подозреваемых позволила сократить их первоначальное число (в ЖС оно всегда равно пяти) до двух, но для однозначного выявления преступника данных, которыми располагает следствие, недостаточно.
Последнее, впрочем, нас не касается, так как из двух предложенных вариантов мы без колебаний выберем тот единственно подходящий для данного случая, который в словесной форме звучит так:
Все преподаватели вузов умеют читать (5.18)
То есть, мы выберем отношение Ж2, в котором с классом С находится множество В1 (см. рис. 5.1). Но почему мы так уверены в том, что именно этот выбор – правильный? Потому что мы ЗНАЕМ: человек, не умеющий читать, может стать преподавателем вуза. Или, на языке Жергонновых отношений, мы знаем, что преподаватели вузов (B) и не умеющие читать (D) находятся друг с другом в отношении Ж5:
BD = 0 (5.19)
Но в посылках (5.16) этой информации нет. Если же ее ввести как дополнительную посылку, то второй вариант заключения с отношением Ж3 между классами В и С окажется "лишним". Что и демонстрирует диаграмма на рис. 5.1, где множество D как раз и представляет класс не умеющих читать. Из диаграммы видно, что в отношении Ж5 к множеству D находится только множество В1. Следовательно, множество В2 в данном случае действительно "лишнее".
Чтобы получить этот же вывод в алгебраической форме, для начала заметим, что отношение Ж5 между классами умеющих (С) и не умеющих (D) читать не совсем обычное, так как оно задается не одной, а двумя формулами:
CD = 0; C + D = U (5.20)
В дальнейшем эту разновидность отношения Ж5 мы будем обозначать так: Ж5*. "Домножая" вторую формулу (5.20) на В и принимая во внимание формулу (5.19), а также правила (5.8) – (5.10), получим:
(С + D = U) => (ВС + ВD = В) => (BC = B)
То есть, между классами В и С ОДНОЗНАЧНО имеет место отношение Ж2.
Но отсюда вовсе не следует, что заключение Ж3 было нами выбрано по ошибке. Заменим в нашем "словесном" силлогизме (5.13) – (5.15) посылку (5.14) следующей ФОРМАЛЬНО эквивалентной ей посылкой, поскольку она тоже представляет собой отношение Ж3:
Некоторые кандидаты и доктора наук любят смотреть мультфильмы (5.21)
И тогда вместо заключения (5.17) мы получим по форме Ж2 такой вывод:
Все любители смотреть мультфильмы умеют читать,
что, разумеется, не соответствует действительности. В отличие от заключения по форме Ж3:
НЕКОТОРЫЕ любители смотреть мультфильмы умеют читать. (5.22)
Причем в справедливости вывода (5.22) мы, опять-таки, убеждены потому, что нам известно нечто СВЕРХ той информации, которая заключена в посылках (5.16). А именно, мы ЗНАЕМ, что некоторые любители смотреть мультфильмы настолько юны, что еще просто не успели научиться читать. То есть, класс любителей смотреть мультфильмы (В) находится с классом НЕ умеющих читать (D) в отношении Ж3:
BD = b,d (5.23)
Докажем, что отсюда и из первой формулы (5.20) вытекает невозможность отношения Ж2 между классами В и С. Указанные две формулы можно рассматривать как посылки отдельного Ж-силлогизма со "средним" классом D и "крайними" классами В и С. Применим уже известную нам методику "вычисления" возможных заключений Ж-силлогизма для проверки формулы отношения Ж2 BC = B, "домножив" ее на D:
(BC = В) => (BCD = BD)
Левая часть полученного "произведения", в силу первой посылки (5.20), есть «пустое множество», тогда как правая часть, согласно формуле (5.23), равна b,d. Таким образом, налицо нарушение равенства между левой и правой частями данного "произведения", что и доказывает невозможность отношения Ж2 между классами В и С при заданных дополнительных условиях.
Это же демонстрирует и диаграмма на рис. 5.1, где в отношении Ж3 с множеством D находится ТОЛЬКО множество В2. Следовательно, "лишним" в данном случае оказывается уже множество В1.
Итак, мы видим, что неоднозначность выводов Ж-силлогизмов обусловлена неполнотой информации, содержащейся в их посылках. Выяснение того, какая конкретно дополнительная информация необходима для каждого из альтернативных вариантов заключения, чтобы именно он стал ЕДИНСТВЕННО ВОЗМОЖНЫМ, является "сверхзадачей" ЖС. Приведенный выше пример дает представление о том, как эта "сверхзадача" может быть решена в простейшем случае, когда альтернативных вариантов заключения всего два. Заметим в этой связи, что для АС подобная постановка задачи невозможна в принципе, так как неоднозначны уже сами ее суждения или, точнее, их нераспределенные термины. В следующей статье аналитические возможности АС и ЖС будут подвергнуты более детальному сравнению.