Еще способ построения центросимметричных магических прямоугольников 3х(2к+1)
Зачем нужен еще один общий способ построения? Ответ незамысловат.
До настоящего времени не было известно ни одного алгоритмического способа строительства таких прямоугольников.
Искомые порядки прямоугольников разбиваем на 4 подгруппы с шагом 8
1 подгруппа
3х5,3х13,3х21и так далее
2 подгруппа
3х7,3х15,3х23 и так далее
3 подгруппа
3х9,3х17,3х25 и так далее
4 подгруппа
3х11,3х19,3х27 и так далее
Рассмотрим 2 подгруппу
3х7,3х15,3х23 и так далее
3х7 Верхний ряд, начиная со второго числа, натуральный ряд, нижний ряд, продолжение верхнего чередованием через 1 промежуток справа налево, средний ряд, продолжение нижнего через промежуток слева направо.Для получения магичности сумма всех чисел верхнего ряда должна совпадать с суммой нижнего ряда, без первого числа. Для этого числа отмеченные скобками в верхнем и нижнем рядах меняются местами. Для 3х7 только крайние правые числа, для 3х15
крайние правые числа и по два числа, находящиеся в середине верхнего и нижнего ряда, для 3х23, крайние правые числа и по четыре числа, находящиеся в середине нижнего и верхнего ряда и так далее.
05,01,02,(03)
00,09,06,10
05,08,04,(07)
////////////////////////////////////
3х15
11,01,02,(03),(04),05,06,(07)
00,19,12,,20,,13,,,21,,14,22
11,18,10,(17),(09),16,,08,(15)
/////////////////////////////////////////////
3х23
17,01,02,03,(04),(05),(06),(07),08,09,10,(11)
00,29,18,30,,19,,,31,,,20,,32,,21,,33,22,,34
17,28,16,27,(15),(26),(14),(25),13,24,12,(23)
3х31
00,39,24,40,25,,41,,26,,,42,,,27,,,43,,,28,,,44,29,45,30,46
3х7
05,01,02,07
00,09,06,10
05,08,04,03
Перед каждым числом расставим знаки, левый крайний столбец , верхний знак -плюс, нижний знак -минус, и далее, верхний и нижний ряд везде плюс,средний ряд везде минус.
+05,+01,+02,+07
000,-09,,-06,,-10
-05,,+08,+04,+03
К получившимся схемам прибавляем числа, в случае 3х7 прибавляем 11...(7+(7+1)/2), в случае3х15 прибавляем 23.....(15+(15+1)/2) и так далее.
11+05,11+01,11+02,11+07
11+00,11-09,,11-06,,11-10
11-05,,11+08,11+04,11+03
16,12,13,18
11,02,05,01
06,19,15,14
Получилась половина прямоугольника, вторая половина достраивается по ассоциативности.
18,13,12,16,03,07,08
01,05,02,11,20,17,21
14,15,19,06,10,09,04
3х15
+11,+01,+02,+17,+09,+05,+06,+15
000,-19,,-12,,-20,,-13,,-21,,-14,,-22
-11,,+18,+10,+03,+04,+16,+08,+07
+23
34,24,25,40,32,28,29,38
23,04,11,03,10,02,09,01
12,41,33,26,27,39,31,30
38,29,28,32,40,25,24,34,05,13,20,19,07,15,16
01,09,02,10,03,11,04,23,42,35,43,36,44,37,45
30,31,39,27,26,33,41,12,22,21,06,14,18,17,08
3х23
Первая подгруппа
3х5,3х13,3х21 и так далее.
Первые схемы, до замен местами.
3х5
04,01,02
00,07,05
04,06,03
3х13
10,01,02,03,04,05,06
00,17,11,18,12,19,13
10,16,09,15,08,14,07
3х21
16,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10
00,27,17,28,18,29,19,30,20,31,21
16,26,15,25,14,24,13,23,12,22,11
Разница между суммами чисел верхних и нижних рядов имеет вид
3х5/////6х0+1
3х13//16х1+3
3х21//26х2+5
3х29//36х3+7
3х37..46х4+9
и так далее
В первичных схемах всегда скажем в случае 3х13, 16 постоянна как сумма разниц между числами верхних и нижних рядов, второй столбец с последним, третий с предпоследним и так далее, то есть в случае 3х13
(16-01)+(07-06)=(09-02)+(14-05)=(15-03)+(08-04)=16
В случае 3х21
Значит для получения необходимой разницы в общем случае
множители 16,26,36,46,56 и так далее имеются в нужном количестве.
Для получения добавлений 1,3 5 7,9,11 и так далее используем числа начиная с последнего столбца,перемещаясь через столбец. Разница между числами получается арифметическая прогрессия 1,4,7 10,13,16 и так далее.
В случае3х13
1=07-06,4=08-04,7=09-02
В случае 3х21
1=11-10,4=12-08,7=13-06,10=14-04
Значит всегда имеется 1,4,7,10 и так далее.
Эти добавления 1,3,5,7,9,11,13,15 разобьем на три группы. Случаи 3 и 9 будем считать вырожденными.
Первая группа
1,7,13,19,25
Вторая группа
5,11,17,23,29
Третья группа
15,21,27,33,39
Первая группа не требует дополнений.Числа из первой группы всегда присутствуют в имеющимся ряде 1,4,7,10,13,16,19,22
Вторая группа
5=1+4
11=1+10
17=1+16
Третья группа
15=1+4+10
21=1+4+16
27=1+4+22
То есть необходимые добавления всегда можно получить из имеющегося ряда1,4,7,10,13,16
4 подгруппа
3х11,3х19,3х27
Первичные схемы 3х11
08,01,02,03,04,05
00,14,09,15,10,16
08,13,07,12,06,11
3х19
14,01,02,03,04,05,06,07,08,09
00,24,15,25,16,26,17,27,18,28
14,23,13,22,12,21,11,20,10,19
Разница между суммами верхнего и нижнего рядов имеет вид
Для 3х11//////11х1+2
Для3х19///////21х2+4
Для3х27///////31х3+6
Для получения разницы
В случае 3х11 множитель11получается как сумма разниц третьего столбца и последнего,4 и предпоследнего.
11=(07-02)+(11-05)=(12-03)+(06-04)
В случае 3х19 множитель21
Для получения добавлений 2,4,6,8,10,12 используем разницу, начинающуюся с предпоследнего столбца, через столбец
Получается прогрессия 2,5,8,11,14
Также добавления, которые нужно получить разобьем на три группы
Первая группа
2,8,14,20
Вторая группа
4,10,16,22
Третья группа
6,12,18,24
Числа из первой группы сразу имеются в полученной прогрессии
Вторая группа
4 вырождено
10=8+2
16=14+2
22=20+2
Третья группа
6,12 вырождено
18=2+5+11
24=2+5+17
30=2+5+23
Вырожденные варианты имеют индивидуальные решения
Последняя 3 подгруппа
Первичные схемы
3х9
07,01,02,03,04
00,12,08,13,09
07,11,06,10,05
3х17
13,01,02,03,04,05,06,07,08
00,22,14,23,15,24,16,25,17
13,21,12,20,11,19,10,18,09
Крайнее правое число из среднего ряда меняется местом с крайним правым числом верхнего ряда. Расположение знаков плюс, минус сохраняется.
То есть после перемещения 09 в верхнем ряду будет со знаком минус, 04 в среднем ряду будет со знаком плюс.
Разница сумм чисел из верхнего и нижнего ряда будет
3х9//////14х1
3х17////24х2
3х25/////34х3
Для 3х9
14 это сумма разниц чисел из второго столбца и третьего по счету с правого конца схемы.
14=(11-01)+(06-02)
Для 3х17 сумма чисел из второго столбца и третьего по счету с правого конца схемы, третьего столбца и четвертого по счету с правого конца схемы
24=(21-01)+(10-06)=(12-02)+(19-05)
3х9
07,01,02,03,09
00,12,08,13,04
07,11,06,10,05
Меняем местами числа 01 и 11, 02 и 06,
+07,+11,+06,+03,-09
000,-12,,-08,,-13,+04
-07,+01,,+02,+10,+05
Прибавим 14 и посмотрим что получилось
21,25,20,17,05
14,02,06,01,18
07,15,16,24,19
Перевернем и дополним по ассоциативности до полного прямоугольника
05,17,20,25,21,13,12,04,09
18,01,06,02,14,26,22,27,10
19,24,16,15,07,03,08,11,23