Глава 2. Общие и специальные признаки равенства треугольников и некоторые простейшие факты.
Параграф 1. Признаки равенства треугольников.
Треугольники называются равными, если их можно совместить, в нужном случае "перевернув". Эта идея движения и может быть использована в доказательстве признаков равенства треугольников, хотя обычно их доказывают от противного. некоторые учёёные ещё сто лет назад были склонны полагать, что эти признаки нужно добавить в аксиоматику евклидовой геометрии. Как бы то ни было, признаки на практике работают. Очень часто эти признаки используются как леммы, и в этом случае равные треугольники называются вспомогательными равными треугольниками. Ещё они используются при постороении треугольника по заданным элементам. В классическом изложении даётся только три признака, но здесь их будет указано 7.
Признак 1-ый (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы между первой парой и второй парой сторон равны, то такие два треугольника равны.
Признак 2-ой (по стороне и двум прилежащим к ней углам): если одна сторона одного треугольника равна другой стороне другого треугольника, и углы, прилежащие к первой стороне, равны соответственно углам, прилежащим к второй стороне, то такие треугольники равны.
Признак 3-ий (по трём сторонам): если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники также равны.
Признак 4-ый (по двум сторонам и двум углам). Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и два угла одного треугольника равны соответственно двум другим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак 5-ый (по двум сторонам и медиане, выходящей из их общей вершины). Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и медианы треугольников, проведённые из общих вершин этих сторон равны, то такие треугольники равны.
Признак 6-ой (по трём медианам или трём высотам). Если три медианы или три высоты одного треугольника равны трём медианам или трём высотам другого треугольника, то такие треугольника равны.
Параграф 2. Специальные признаки равенства треугольника.
Специальный 1-ый признак. Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и один угол одного треугольника равен другому углу другого, образуется два случая, лишь в одном из которых треугольники равны.
Специальный 2-ой признак.Если внешний угол одного треугольника равен внешнему углу другого треугольника и две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, образуется два случая, лишь в одном из которых треугольники равны.
СКАЗКА 2. (ВЫ, НАВЕРНОЕ, ОЧЕНЬ И ОЧЕНЬ УСТАЛИ).
В стране треугольников жило много разных треугольников и людей. Те из треугольников, которые были равны друг другу, особенно хорошо дружили. В ту страну опустилась с неба старуха Шапокляк и начала в это стране "творить злы". Например, она портила срежства измерения длины и углов и всячески старалась, чтобы не было никаких "Домов дружбы". С ней хотели подружиться двоечники, не любившие геометрию. Старуха предложила им врать на экзамене, чтобы двигаь научную мысль.
"Дело о лжи двоечников. (такого-то числа такого-то года по такому-то вопросу)". Свидетель сих общественных волнений сообщает уважаемому Геометру (президент страны треугольников): во многих школах двоечники стали врать про треугольники, а ведь это полноправные граждане нашей страны, как и люди. Один сказал, что у треугольников углы обязательно кратны 3м градусам, другой--что треть суммы углов треугольника всегда равна всем трём углам треугольника, а третий вообще отличился: сказал, что на разность суммы углов двух треугольников страны всегда можно делить. В виду таких вопиющих актов лжи призываем придумать наказание и для школьников, и для чужеродных элементов, так как, по нашим сведениям, они прибыли в страну. (подпись".
Когда один двоечник соврал опять на экзамене (что треугольники ходят в треуголках), созвали совещание. На нём выступал Геометр. Он сказал: дети! Врать про геометрию не нужно. Можно просто не заниматься геометрией. Не слушайте врагов, проникших в нашу страну и заставляющих Вас врать. Поверьте, лучше ничего не знать, чем знать неправильно. Скажите теперь, нужна ли Вам злосчастная старуха? --"Нет!"
Они построили план, как её выселить из страны.Для этого отличники набрали отряд равных треугольников, которые могли стать в круг. Как только они заметили вдалеке старуху Шапокляк, они начали прислоняться друг к другу нужными сторонами. окружили (каковый могли быть их углы?). Затем посчитали периметр "ограды" (чему он мог быть равен). соорудили её. И никакие камни из рогатки не пробивали треугольники, так как они были очень крепкие. Потом прилетел вертолёт и забрал треугольников. Среди них был даже гарантийный чертёжного прибора. Ну а старуха Шапокляк так и не смогла выбраться из ограды. Но на территории были плодовые деревья, так что она могла ещё как-то жить. С тех пор её там и кормили, прилетая на вертолёте, а отличники придумали стишок: "Уважаемые школьники! Не обижайте треугольники!".
Параграф 3. Признаки равнобедренности треугольника и свойства равнобедренного треугольника.
Когда был изобретён циркуль, возможно, тогда и возникла идея равнобедренного треугольника. Действительно, равнобедренный треугольника--это такой треугольник, хотя бы две стороны которого равны.
Теорема: треугольник является ранвобедренным тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий: два угла при одной из сторон треугольника равны; любые два элемента из множества: "высота, медиана, биссектриса, проведённые к основанию" совпадают друг с другом; две высоты, или две медианы, или две биссектрисы треугольника равны друг другу.
Параграф 4. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники равны тогда и торлько тогда, когда:
1) два катета одного треугольника равны двум катетам другого.
2) Катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другогно;
3) Катет и острый угол одного треугольника равен катету и острому углу другого треугольника.
4) Гипотенуза и острый угол одного треугольника равен гипотенузе и острому углу другого.
5) Если биссектриса или высота, проведённые к гипотенузе, одного треугольника равны соответственно биссектриске или высоте, проведённым к гипотенузе, другого треугольника, и сами гипотенузы равны, то такие треугольники равны.
6) Если медианка или биссектриса, проведённые к одному катету одного треугольника равны медиане или биссектрисе, проведённые к другому катету другого треугольника, и эти катеты равны, то такие треугольники равны.
Параграф 5. Тееорема о биссектрисе угла.
Точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон.
Эта теорема используется для доказательства, связанного с выяснением равенства перпендикуляров на две данные прямые или проекций из данной точки на данной прямой на две данные прямые (например, так доказывается теорема о равенстве касательных из одной точки); для построения вписанной и внесписанных окружностей треугольника и описанных многоугольников и доказательства свойств вписанной окружности треугольника.
Параграф 6. Теорема Фалеса.
Если параллельные прямые отсекают на одной из сторон угла равные отрезки, они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Эта теорема используется в доказательстве таких теорем как: теорема о средней линии треугольника, теорема о средней линии трапеции, теорема Вариньона; в доказательстве теоремы о прямой Гаусса.
Параграф 7. Свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов.
Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Эта теорема используется в доказательстве многих свойств треугольник с углами 30, 60, 120 градусов, атакже различных задачах с равносторонними треугольниками.
СКАЗКА 3. (ОТДОХНИТЕ, ВЫ ЭТОГО ЗАСЛУЖИЛИ!)
В некоторой стране две дороги вели к озеру и поэтому были пешеходными. Как-то правитель страны захотел, выстроить улицу, от всех домов которой можно добраться до данных дорог. Один геометр предложил построить равные высоты с концами на сторонах дорог, и действительно, сработало (что он мог придумать?).
Правитель на радостях пригласил геометра и, собрав ещё 10 гостей и пригласив супругу, сделавую пирог,попросил геометра подсказать, как отрезать от него 12 равных частей так, чтобы ещё можно было дать нищим. Куски получились прямоугольные. Прилетевшая оса проетела от одного края до другого пока другой край миновало с такой же скоростью две осы. Гости отогнали ос, а нищим всё дали. Геометр же по осам определил углы прямоугольных кусков (чему они могли быть равны?).
Когда геометр ехал домой, его машина два раза останавливалась из-за неполадок, проехавши два одинаковых расстояния. На соседней дороги машина одного из гостей также останавливалась два раза, также проехзавши два одинаковых расстояния. Между двумя дорогами было два пункта ремонта. Дома геометр задал детям задачку, в каких случаях он и гость могли бы ещё раз встретиться и где могли располагаться пункты ремонта, если они встретились. Решите её и Вы.
Исследование 2. Два дополнительных факта.
1-ый дополнительный: пусть в треугольнике ABC отмечен центр вписанной окружности и на стороне AB отмечена K, так что AK=KI. Тогда треугольник равнобедренный только в том одном из случаев, когда прямая KI высекает на стороне BC отрезок, равный BK.
2-ой дополнительный: проекция вершины треугольника на любую из его внутренних биссектрис не может быть его центром описанной окружности за исключением того случая, когда этот треугольник--прямоугольный равнобедренный 9для решения не обязательно знать теорему о вписанном угле).