Глава 1. Прямые и углы.
Параграф 1. Положение точки относительно прямой.
Представьте стол и пылинки, летящие в воздухе. Они могут приземлиться на стол, а могут упасть на пол. Край стола принадлежит прямой, а прямые напоминают точки. Так вот. ТОЧКИ МОГУТ ПРИНАДЛЕЖАТЬ ПРЯМОЙ, А МОГУТ ЕЙ НЕ ПРИНАДЛЕЖАТЬ. Если среди пылинок есть волосок, то он может пересечь край стола, и тогда говорят, что концы такого волоска лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, а может и не пересечь, тогда говорят, что концы его лежат в одной полуплоскости от прямой. Итак, ЕСЛИ ДВЕ ТОЧКИ ЛЕЖАТ В РАЗНЫХ ПОЛУПЛОСКОСТЯХ ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОЙ ПРЯМОЙ, ОТРЕЗОК, ИХ СОЕДИНЯЮЩИЙ ПЕРЕСЕКАЕТ ЭТУ ПРЯМУЮ. Если бы две точки прямого волоска оказались на крае стола, все его точки были бы на прямой. Доказать это нельзя. Это аксиома, а именно: ЧЕРЕЗ ДВЕ ДАННЫЕ ТОЧКИ МОЖНО ПРОВЕСТИ ОДНУ, И ТОЛЬКО ОДНУ, ПРЯМУЮ.
Параграф 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
Края стола могут пересекаться, а могут быть параллельны. Так и прямые. ДВЕ ПРЯМЫЕ ЛИБО ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ, И ТОЛЬКО ОДНОЙ, ЛИБО НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ И В ЭТОМ СЛУЧАЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПАРАЛЛЛЕЛЬНЫМИ. При этом если на плоскость стола упала пылинка, то жучок, ползущий по столу, не пересечёт один из краёв только в двух случаях: либо точка пересечения прямой жучка и прямой края стола лежит вне стола, либо он движется по прямой, параллельной краю стола. Итак, ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПРЯМУЮ, ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ДАННОЙ ПРЯМОЙ, И ТОЛЬКО ОДНУ. Исключение составляет только тот случай, когда прямая, параллельная данной, совпадает с ней. Это просто договорённость, а именно, что ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА САМОЙ СЕБЕ. Если жук ползёт по прямой, пересекая один из краёв окна, он пересечёт и другой край, причём этот другой край может быть и параллелен первому. Поэтому ПРЯМАЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ОДНУ ИЗ ПАРАЛЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ПЕРЕСЕКАЕТ И ДРУГУЮ.
Параграф 3. Взаимное расположение прямой и треугольника.
Проведите в столе мысленно диагональ. Если провести параллеьную ей прмяую, она будет вне одного из треугольника, отсечённого диагональю. Теперь можно зафиксировать некоторую точку на ней и начать поворачивать прямую. Рано или поздно прямая пройдя через вершину треугольника, затем пересечёт треугольник в одной точке, затем опять пройдёт через вершину треугольника, а затем опять не будет пересекать треугольник. ПРЯМАЯ МОЖЕТ ЛИБО НЕ ПЕРЕСЕКАТЬ ТРЕУГОЛЬНИК И БЫТЬ ПАРАЛЛЬНОЙ ОДНОЙ ИЗ ЕГО СТОРОН ИЛИ НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ НИКАКОЙ ИЗ СТОРОН, ЛИБО ПЕРЕСЕКАТЬ ТОЛЬКО ДВЕ ЕГО СТОРОНЫ, НЕ ПРОХОДЯ ЧЕРЕЗ ВЕРШИНУ, ЛИБО ПРОХОДЯ ЧЕРЕЗ ОДНУ ВЕРГИНУ, ЛИБО ПЕРЕСЕКАТЬ ВСЕ ТРИ ЕГО СТОРОНЫ, ПРОХОДЯ ИЛИ ТОЛЬКО ЧЕРЕЗ ОДНУ, ИЛИ ЧЕРЕЗ ДВЕ ВЕРШИНЫ.
Параграф 4. Признаки параллельности прямых и свойства параллельности.
Когда мы поворачивали прямую, чтобы она пересекала различные стороны треугольника, она образовывала с ними различные углы. Они не были равны. но ЕСЛИ ПРЯМЫЕ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ И ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ, ОБА МЕНЬШИЕ 90 ГРАДУСОВ ЛИБО ОБА БОЛЬШИЕ 90 ГРАДУСОВ, РАВНЫ. Они называются накрест лежащими, если для выявления их равенства можно находится внутри полосы, образуемой паралллеьными прямыми, и соответственными, когда приходится бывать и внутри, и вне её. ВЕРНО И ОБРАТНОЕ: ЕСЛИ НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ ИЛИ СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ ПРИ СЕКУЩЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ РАВНЫ, ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. Если же углы, которые мсы определяем внутри полосы, не равны, они называются внутренними и их сумма составляет 180 градусов. Итак ЕСЛИ СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ ПРИ СЕКУЩЕЙ ПРЯМЫХ РАВНА 180 ГРАДУСОВ, ОНИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, И ОБРАТНО. Параллельность определяется парой прямых. поэтому ДВЕ ПРЯМЫЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТРЕТЬЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.
Параграф 5. Аксиома о сумме углов. Теорема о смежном угле и теорема о вертикальных углах.
Представьте, что одну из параллельных прямых стали поворачивать вокруг вершины. рано или поздно угол между ею и другой стороною, превратится в прямую. Такая прямая с точкой и назвается развёрнутым углом. далее, если из этой точки провести луч, то два образующихся угла называются смежными, и изучаемая теорема будет частным случаем, следствием из аксиомы про сумму углов, а именно: СУММА УГЛОВ, НА КОТОРЫЕ ДЕЛИТ ДАННЫЙ ЛУЧ, ПРОВЕДЁННЫЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ДАННОГО УГЛА, ПРОХОДЯЩИЙ МЕЖДУ ЕГО СТОРОНАМИ, РАВНА САМОМУ ДАННОМУ УГЛУ. Теоремы же гласят: УГОЛ, СМЕЖНЫЙ С ДАННЫМ, РАВЕН РАЗНОСТИ РАЗВЁРНУТОГО УГЛА И ДАННОГО; ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ РАВНЫ. Для доказательства второго, удобно использовать поворот.
Параграф 6. Теорема о сумме углов в треугольнике и теорема о смежном угле.
В параграфе 3 рассматривалась пряма, параллельная стороне треугольника. Прямая, проходящая через вершину треугольника, так же может быть параллельна стороне треугольника, только другой. С помощью этой конструкции и предыдущих двух теорем можно доказать, что СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНА 180 ГРАДУСОВ. а УГОЛ, СМЕЖНЫЙ С УГЛОМ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВЕН СУМММЕ ДВУХ ДРУГИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Параграф 7. Теорема о сумме углов в многоугольнике.
Теперь представьте несколько прямых, пересекающихся в таком же числе точек. Фигура, ограниченная n прямыми, называется n-угольником. Он выпуклый, если вся для любой стороны весь многоугольник будет лежать в одной плоскости относительно прямой, её содержащей, и невыпуклый в обратном случае. И для выпуклого, и невыпуклого n-угольника верно, что СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ РАВНА 180(n-2). Здесь дело в том, что стороны многоугольника треугольниками не являются. Выбрав определённую точку и проведя через неё все возможные диагонали многоугольника, и используя предыдущее утверждение, легко доказать теорему.
ТЕПЕРЬ СКАЗКА 1 ДЛЯ ОТДЫХА С ЗАДАЧЕЙ.
В некотором царстве-государстве было 3 дороги. По одной из них разрешалось ходить только волшебникам, по другой--только людям, а по третьей--только колдунам. Именно поэтому волшебники не бывали в гостях у людей, как и колдуны. Но один хитрый колдун придумал план: незаметно соединить дорогой свой дом и дом одной семьи. Тогда люди пригласили опытного волшебника, чувствуя неладное. Тогда волшебник сразу догадался, чего хотел колдун, и сделал то же, что колдун замышлял. Почти то же. А потом построил новый дом так, чтобы колдун не смог выполнить свой план (для этого он разместил дом ровно на прямой между колдунским и людским, так что колдуну пришлось бы пройти через дом волшебника). но колдун и тут перехитрил волешебника. он построил две дороги, обходящие дом волшебника. Но волшебник придумал заклинание, с помощью которого появлялся бы новый дом волшебника так, чтобы колдун не смог добраться до людей. Добро победило.
Докажите, что многоугольник в сказке, образованный домами волшебниками и дорогами между ними, лежит внутри многоугольника, образованного домами колдуна. Какова может быть сумма его внутренних углов, если колдун построил всего 8 дорог? Каково могло быть заклинание?
ИССЛЕДОВАНИЕ: "ПЛАНИМЕТРИЯ В "НУ ПОГОДИ!". Часть 1. Прямые и углы.
Вначале волк использовал верёвку, чтоб подняться к зайцу. угол, образуемый им с верёвкой, когда он полетел вниз,--развёрнутый.
Волк ездил на моторной лодке и непременно не мог находиться одновременно на море и на суше, но поскольку он всех толкал, ему приходилось пересекать остров. Во сне после солнечного удара в другой серии волку тоже пришлось пересечь границу острова, чтобы попасть к старику.
Волк не мог следовать за зайцем по прямой, меняя направление ходьбы, после " спетой песни" "очи чёрные".
Когда волк разбивал зеркала в комнате смеха он мог двигаться по двум множествам параллельных прямых, чисто теоретически.
Когда волк спасался от робота, он часто двигался по прямой. При этом в разном направлении. Но через любые две точки можно провести прямую, и поэтому робот и двигался по такой прямой.
Когда волк был в музее, ему, чтобы ничего не задеть, приходилось идти параллелльно тем прямым, где находились "опасные объекты".
Когда волк летал на метле после "миллион алых роз", он отталкивался от разных стен, меняя при этом угол своего полёта. Сумму этих углов можно было бы легко определить, если бы траектория полёта образовывала n-угольник. Кстати, сколько максимально сторон могло быть в таком n-угольнике?