1. Теоретические основы современной магнитостатики
При написании конспекта использованы материалы монографии Томилина А.К. [1]. Вместо термина «Обобщённая электродинамика» ниже используется термин «Современная электродинамика».
1.1. Постановка задачи
Основу классической магнитостатики, как известно, составляют соотношения Рис.1, (1.1) –(1.2). Соотношение (1.2) означает, что поле А является вихревым полем, т.е. все его линии замкнуты. Однако классическая магнитостатика неполна, т.к. не учитывает существование скалярного магнитного поля Н*. Австрийский профессор С. Маринов [2, 3] предложил определять Н* из равенства Рис.1, (1.3). Для определения же векторного потенциала А, кроме этого равенства, можно использовать ещё (1.1) и условие соленоидальности вектора Н: divH = 0. Очевидно, потенциал А будет существенно отличаться по своим свойствам от аналогичного классического потенциала. Вопрос только лишь в том, возможно ли определить его в принципе. Теорема Гельмгольца в альтернативной формулировке [4] отвечает на это положительно.
1.2. Теорема Гельмгольца в альтернативной формулировке
Пусть C – соленоидальное векторное поле (div C=0), а d – скалярное поле в R;, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r; на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что: Рис.1, (1.4) – (1.5). Если к тому же векторное поле F рассматривается во всем пространстве R; и исчезает при r ; ;, тогда F единственно. В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки – градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.
Другими словами, при определенных условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R;, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро).
Эта теорема очень важна для электродинамики. Например, поля как раз этого типа описывают уравнения Максвелла в электростатике.
1.3. Определение векторного потенциала А
1.1. Исходная система уравнений
Найдём А, используя систему уравнений Рис. 1, (1.6), которую Николаев Г.В. предложил положить в основу современной электродинамики [5, 6].
К ней можно прийти и путём таких «наивных» рассуждений. Ток проводимости должен, в общем случае, порождать не только вихревое векторное, но и скалярное магнитное поле. Поэтому во втором уравнении Максвелла для современной электродинамики должна появиться какая-то векторная функция от Н*, которую для начала разумно выбрать очень простой. Если в качестве такой функции в первом приближении выбрать grad H*, то после взятия ротора от первого уравнения (1.6) сократятся два члена. Значит, есть смысл поработать в этом направлении, найти потенциал А, а потом по результатам тестирования решения, в случае необходимости, вместо grad H* взять что-нибудь и посложней.
1.2. Решение системы
Подставив в (1.6) значение Н и Н*из (1.1) и (1.3), получим Рис.1, (1.7), а затем и уравнение Пуассона Рис.1, (1.8). Уравнение (1.8) записано для вакуума. Таким образом, векторный потенциал при таком подходе, как и в традиционной магнитостатике, удовлетворяет уравнению Пуассона, однако, при его выводе условие (2.2) не использовалось.
Решение (1.8) в общем случае записывается в виде Рис.1, (1.9), где r (см. Рис.1)
– модуль радиуса вектора, проведённого из объёма d; в точку расчёта векторного потенциала.
Обе компоненты магнитного поля определяются при помощи одной и той же величины – векторного потенциала А. Следовательно, его и следует считать основной характеристикой магнитостатического поля. По определению вводится индукция скалярного поля Рис.1, (1.10), где относительная магнитная проницаемость ;' имеет тот же смысл, что и аналогичная величина в соотношении между обычными В и Н. Н* измеряется в А/м, а В* – в теслах.
Источники информации
1. Томилин А.К. Основы обобщенной электродинамики. – 2009. – 129 с.
2. Marinov S., Czech.J.Phys. 24, 965 (1974).
3. Marinov S., Gen.Rel.Grav. 12, 57 (1980).
4. Теорема разложения Гельмгольца. https://ru.wikipedia.org/wiki/% B0_
D
5. Николаев Г.В. Непротиворечивая электродинамика. Теории, эксперименты, парадоксы. – Томск, 1997. – 144 с.
6 Николаев Г.В. Современная электродинамика и причины её парадоксальности.
– Томск: Твердыня, 2003. – 149 с.
28.02.2015