Ведущий: сейчас мы проведём с Вами конференцию. Наши учёные разработали небольшие, но важные вопросы, которые мы и обсудим. Начнём с математика, который чем-то похож на современного Фалеса—Виктора Николаевича Движенко. Дальше выступает Григорий Александрович Частнорез, который за чистое искусство в математике, порой в отрыве от практики, что, конечно, не понравилось бы Гильберту. Но зато он подготовил больше материала. И, наконец, мы предоставим слово Кириллу Владимировичу Многоугольникову, который, как и один геометр Александр Скутин, очень любит углы. Все задачи, которые представлены участниками, предлагаются на решение нашим гостям—школьникам математической школы, которые могут задавать вопросы. Их пять: Дима, Александр, Давид, Надежда, Анастасия. Но сначала наши учёные расскажут ещё, каков общий план решения предложенных задач. Итак, выступает уважаемый Виктор Движенко!
Виктор Движенко.
Здравствуйте, уважаемые коллеги и дорогие дети!
В ходе продвижения моей научной работы я составил следующую задачу.
№1. Разрезать данную прямоугольную трапецию на прямоугольник, вписанный четырёхугольник только с двумя прямыми углами и два треугольника, из которых можно составить один треугольник совмещением их сторон.
Чтобы её решить, необходимо только взглянуть внимательно на конец условия и вспомнить, какие треугольники при движении совмещаются, а остальные фигуры уже надо достроить.
Григорий Частнорез.
Уважаемый Виктор, быть может, я буду несколько резким, но скажу, что на самом деле нашим резвым школьники будет трудно решить такую задачу. Прежде чем обобщать результат, надо обратиться к частностям. Их Вам и предлагаю в двух задачах, не претендующих, конечно, на роль лучших. Я лишь указал на желательность создавать задачи в данном направлении.
№2. Всякий ли прямоугольник можно разрезать на описанный четырёхугольник и два равных треугольника?
№3. Доказать, что вписанный четырёхугольник всегда можно разрезать на любое число p трапеций и любое число q вписанных четырёхугольников только в том случае, когда все получаемые четырёхугольники будут подобны друг другу.
Чтобы решить первую задачу, надо придумать два способа разрезания произвольного прямоугольника на описанный четырёхугольник и два равных треугольника. А ко второй, признаться, всё же сложноватой, нужен следующий подход: влияние изменения соотношения сторон одной из фигур, получающихся при разрезании на оставшуюся часть фигуры.
Кирилл Многоугольников.
Благодарю Григория Александровича за столь многообещающие исследования. А вот какую задачку с многоугольником я недавно составил.
№4. Некоторый пятиугольник можно разрезать на вписанный четырёхугольник и трапецию.
Доказать, что в нём найдутся три угла, сумма которых равна 360 градусам.
Это самая простая задача из всех, но с тем преимуществом, что её можно решить или посложнее или максимально просто, то есть двумя способами. Ввиду простоты не даю других подсказок.
Ведущий: «а теперь школьники и школьницы могут задать вопросы. Только руку не забудьте поднять!»
Школьник Дима поднимает руку и спрашивает: «уважаемый Григорий Александрович, почему Вам кажется, что мы не сможем решить задачу Виктора Николаевича? Почему она более общая? Ведь и там, и там должны быть, как мне кажется, равные треугольники. А число частей даже больше, чем у Вас. Разве это связано напрямую с обобщением?»
Григой Александрович: «Отчасти Дима прав. Честно говоря, даже не ожидал подобного вопроса. Но дело в том, что я говорил об объекте задачи, а не об элементах этого объекта. Равные треугольники могут встретиться во многих задачах совершенно разной степени общности. Что касается вопроса о частях, то, поскольку эти части—разные фигуры, сами фигуры могут быть разной степени общности, и поэтому в этом Дима тоже прав. Но не стоит из этого заключать, что причина, по которой я считаю задачу общей или не общей, именно та, о которой могут подумать те или иные люди. Главное—в том, что прямоугольник—более простой объект, нежели прямоугольная трапеция».
Дима: «Спасибо Вам, уважаемый Григорий Александрович, я всё понял».
Поднимает руку Надежда: «Григорий Александрович, можно мне задать вопрос?» Он: «да!». «Мне непонятно, разные ли по степени общности такие фигуры, как прямоугольная трапеция и вписанный четырёхугольник».
Григорий Частнорез: «пожалуй, что да, но обосновать это сложно. Я постараюсь всё же это сделать. Прямоугольная трапеция есть общий случай прямоугольника, так же как и вписанный четырёхугольник с двумя противолежащими прямыми углами. Итак, именно эти фигуры имеют на два прямых угла меньше, чем прямоугольник и столько же сторон. Значит, такие фигуры в каком-то смысле одинаковой степени общности. Но что касается общего случая вписанного четырёхугольника, он более общий объект, чем прямоугольная трапеция».
Виктор Николаевич: «Григорий Александрович, интересная теория. Но что Вы подразумеваете под степенью общности?» Григорий Частнорез: именно следующее: наличие у фигур множества простейших свойств одинаковой либо разной мощности». Виктор: «то есть равенство углов, наличие пар равных сторон...понял!».
Виктор: «дорогой Дима, догадался ли ты, как решить первую задачу Григория Александровича?»
Дима: «да!»
Ведущий: «только решения пока не надо говорить, пусть другие участники подумают. Мы потом соберём тексты решений и опубликуем, а сейчас пока вопросы и ответы».
Анастасия поднимает руку с каким-то слегка грустным видом и спрашивает: «Можно мне задать вопрос самому ведущему?». Ответ: «Да!». Она: «А почему Григорий Александрович не понравился бы Гильберту?».
Ведущий: «Гильберт был за практическое использование математики, за её связь с реальностью. Конечно, не человек бы ему не понравился, а только само данное направление». «Анастасия: спасиБо Вам большое, Вы хоть меня успокоили!».
Давид поднимает руку и спрашивает: «Я хотел бы тоже спросить ведущего. Гильберта ведь звали так же, как и я?» Ответ: «Конечно!».
Александр (думая): «А меня зовут так же, как и Скутина».
Дима справшивает, поднимая руку: «А разве важно то, что у кого-то одинаковые имена в математике?». Ведущий: «Я думаю, не очень».
Кирилл Владимирович: «Безусловно, я Кирилл, а Скутин—Александр, но нас объединяет любовь к углам».
Ведущий: «есть ли у кого-то вопросы к другим учёным?».
Надежда, поднимая руку: «Да! Ведь правда, что в задаче Кирилла Владимировича разрезающая прямая не должна проходить более, чем через одну вершину?». Кирилл Владимирович: «Конечно, причём она должна проходить ровно через одну вершину!».
Ведущий: «больше ни у кого нет вопросов?». Дети хором: «нет!».
Александра одноклассники начинают спрашивать, что же он молчал. Он: а я решать пытался, и мне хотелось всё самому решить. Да и немного робел».
«Всё решил?» Александр: «Всё, кроме задачи Виктора Николаевича». Дмитрий: «ничего, я тебе объясню, как её решить!». Александр: «я тогда помогу всем решить то, что у меня получилось, если нужно». Все: «конечно!»
Конец конференции.