Родился 3 января 1910 года в селе Катериновка (Катеринка) Первомайского района Николаевской (Одесской) области (Украина) в семье рабочего. Еврей. Окончил 7 классов. Работал в пекарне в Березовском районе Одесской области, забойщиком в шахте в Донбассе, такелажником судоремонтного завода в Одессе.
В РККА с 15 мая 1932 года.
Окончил курсы младшего комсостава.
Служил механиком-водителем танка.
Присвоено звание лейтенанта.
Был назначен на должность командира взвода 1-го батальона 4-й отдельной механизированной бригады Белорусского военного округа.
Участвовал в национально-революционной войне в Испании с декабря 1936 года по 10 июля 1937 года в качестве командира танкового взвода.
14 марта 1937 года под Гвадалахарой водил в атаку роту пехоты и захватил 4 пушки и много пулеметов.
Во время боя 9 июля 1937 года под городом Брунете танк Т-26 Абрамовича огнем и гусеницами уничтожил два орудия, однако был подожжен прямым попаданием снаряда и взорвался. Члены экипажа боевой машины: механик-водитель А. В. Никонов и командир башни Ф. К. Ковров погибли сразу. Командир танка лейтенант Абрамович скончался от ран и ожогов на следующий день, 10 июля 1937 года.
А. Г. Абрамович и его экипаж были с воинскими почестями похоронены в братской могиле в городе Брунете (Испания).
За мужество и героизм, проявленный при выполнении воинского и интернационального долга, 3 ноября 1937 года лейтенанту Абрамовичу Абраму Григорьевичу посмертно было присвоено звание Героя Советского Союза (медаль «Золотая Звезда» № 48).
Награжден орденом Ленина (03.11.1937), орденом Красного знамени (21.06.1937).