Сформулируем, не вводя определений, следующие аксиомы.
АКСИОМА 1. Любой отрезок (прямой) состоит из точек
Поскольку в соответствии с ранее доказанной теоремой [1] математическая точка обладает объёмом, графический образ отрезка может быть представлен линейной последовательностью элементарных сфер (рис. 1).
Рис. 1. Примеры отрезков
В общем случае, размер точки и величина межточечных промежутков определяются условиями конкретной задачи, например, требованиями к точности. В математических моделях большинства твёрдых тел размеры межточечных промежутков будут меньше размера атомов [2]. В частности, величину промежутков можно принять равной нулю.
АКСИОМА 2. Отрезок имеет в своём составе не менее двух точек
Поскольку отрезок прямой является частью прямой, он ограничен с двух сторон и, следовательно, имеет, по меньшей мере, две крайние точки: точку начала отрезка и точку конца отрезка.
АКСИОМА 3. Любой отрезок может быть поделён, по крайней мере, на две части
Отрезок, состоящий из двух точек (минимальный отрезок), после деления перестаёт существовать, так как вырождается в две отдельные точки.
Докажем теперь, что математическая точка неделима.
ТЕОРЕМА. Математическая точка неделима
Доказательство.
Предположим обратное, то есть будем утверждать, что точку можно поделить. В этом случае точка будет обладать свойством отрезка – делимостью на части. Следовательно, можно заключить, что точка содержит в себе отрезок.
Однако утверждение, что часть (точка) содержит в себе целое (отрезок), является абсурдом и противоречит также 8-й аксиоме Евклида: «целое больше части» [3].
Таким образом, первоначальное предположение о делимости точки неверно, то есть теорема доказана.
Литература
1. Александр Котлин. Математическая точка объёмна. – http://www.proza.ru/2014/06/05/1770
2. Кочетов А. А., Гончаров А. Л. Курс лекций «Материаловедение в теплоэнергетике»: Лекция № 1. Кристаллическое строение металлов. – М.: МЭИ, Кафедра технологии металлов, 2003. – http://twt.mpei.ru/ochkov/TM/lection1.htm
3. Начала Евклида. Книги I-VI. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. – Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, М.-Л.: 1950. – 450 с.
14 июля 2014 года