Бег за черепахой и другие забавы эллинов
http://www.proza.ru/2013/08/05/857
1.4 Бесконечная сумма как лучшее приближение
1.(1) = 10/9, но эллины этого не знали, и не могли, ведь невозможно напрямую посчитать бесконечную сумму чисел... Тем не менее, бесконечные суммы иногда можно корректно определять, благодаря математическим построениям. В частности, в нашем случае, мы можем составить и решить уравнение для суммы произвольного конечного числа элементов геометрической прогрессии: S =1+0.1+0.01+... + последнее слагаемое. Уравнение: 10 S = 10 + S – последнее слагаемое. Результат для суммы: 10/9 за вычетом последнего слагаемого поделенного на 9. Но это последнее слагаемое становится все меньше и меньше с ростом числа учтенных приближений. Это может выглядеть странным для древних математиков, но зачастую нам удобнее сразу пользоваться универсальным результатом 10/9, независящим от числа последовательных приближений. Есть еще одна более глубокая причина, оправдывающая подобные аналитические расчеты. Дело в том, что прямолинейное и равномерное движение как свободное движение тела является в определенном смысле устойчивым к случайным отклонениям, а систематические факторы учитываются значением средней скорости. Поэтому, значение 10/9 будет наилучшим приближением.
Ну, хорошо, не умели греки считать такие суммы. Но ведь рассчитывали объемы шара, конуса с помощью метода исчерпывания – прообраза идеи предела. Похоже дело в привязанности греков к визуальным образам. Объемы и площади фигур для них были, очевидно, конечными и измеримыми. А время и движение более неуловимыми, абстрактными. Да и не было, видимо, практических нужд в таких задачах на расчет времени, а чисто философский интерес оказался нацеленным на что-то другое. Шок от апорий Зенона губительно воздействовал на развитие эллинской математики и не дал ей возможность прийти к дифференциальному исчислению, на пороге которого она стояла.
Не был также решен ряд интересных задач, которые можно было решить и чисто геометрически в эллинском стиле. Например, замечательная задача о треугольнике минимального периметра вписанного в заданный, была изящно решена немецким математиком 19 ого столетия Германом Амандусом Шварцем. Суть идеи в том, что такой треугольник должен образовать луч света, зациклившийся в сторонах большого треугольника. Строя последовательные зазеркальные изображения этого изломанного луча относительно зеркальных сторон большого треугольника Шварц продемонстрировал элегантный вывод, которой мог бы украсить небосклон эллинской геометрии еще одной яркой звездой.
глава 5
http://www.proza.ru/2013/08/05/903