1
В работе «Диалектика природы» Ф. Энгельс поставил задачу диалектического обоснования математических
аксиом. В данном тексте эта проблема, по мнению автора, решена для арифметики.
Преподавателю математики средней школы № 603 г. Москва
Людмиле Львовне Дынькиной ( Макаке Львовне ) , и
преподавателю обществоведения той же школы
Бернадинер Марии Моисеевне, посвящается.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 2
Элементы логики 2
Элементы теории множеств 4
Множество натуральных чисел 6
Метод математической индукции 7
Операция сложения ( суммирование ) 8
Операция умножения ( произведение ) 10
Неравенства (сравнение) 12
Операция возведения в степень 14
Операция деления 14
Основная теорема теории чисел 14
Множество целых чисел 15
Выводы 15
Литература 16
2
ВВЕДЕНИЕ
Земля стоит на трёх слонах. Слоны стоят на черепахе. В математике такой черепахой является арифметика.
Элементарные арифметические факты присутствуют в явном или неявном виде во всех теоретических
построениях авторы которых пытаются разъяснить основы математики. Ниже, в разделе «элементы теории
множеств», будет показано, что для построения логики необходимо использовать смысловую (логическую)
конструкцию эквивалентную дилемме (одно из двух, и третьего не дано). В силу этого, суждения о «наивном
характере» математических теорий существовавших до формального определения аксиоматического
подхода к построению математических теорий носят очевидно наивный характер.
Способность мыслить логически появилась до первой логической теории, и существовала как не отражённое
в сознании явление общественного и индивидуального сознания. При этом любая плодотворная попытка
отражения в сознание явлений общественного и индивидуального сознания носит эвристический характер, и как
следствие порождают новые формы сознания, еще не отраженные в нём в вербальной форме
(не сформулированы)..
Начальной формой существования арифметики были системы практически полезных правил основанных на
ПРАКТИКЕ счёта материальных или воображаемых предметов Постепенно эти системы усложнялись и
углублялись. Постепенно выявлялись понятия и логические связи между ними. Математика на основе эвристики
(озарения) и логики, и логика развивались и продолжают развиваться одновременно. Этот процесс носит постоянно
не завершённый характер. Но при этом неизбежно и неизменно, в явной или неявной форме, математические
теории сохраняют корневые связи с «наивной», а вернее сказать эмпирической, то есть построенной на
опыте (практике), арифметикой, и для этого существуют объективные причины.
Читателям интересующемся ранней историей математики будет полезно и интересно ознакомится с книгой
Карла Меннингера «История цифр».
В данном тексте ранее не использованные здесь математические термины напечатаны заглавными буквами.
Термины с ОПРЕДЕЛЕНИЯМИ соответствуют ОПРЕДЕЛЯЕМЫМ ПОНЯТИЯМ, без определения ОСНОВНЫМ
ПОНЯТИЯМ. Такой подход даёт возможность существенно сократить объём текста. Кроме того облегчается
задача выявления круга основных понятий по отношению к данному тексту.
Прочитать и понять данный текст на одном дыхание практически невозможно. Поэтому автор рекомендует
читать текст до момента утери нити повествования, и на следующей день начинать чтение текста с начала.
Повышение IQ на 25-30 пунктов гарантируется.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
Античные .философы рассуждали о ИСТННОМ и ЛОЖНОМ, как о соответствие воле Творца или богов.
Античные математики и их последователи использовали понятия ВЕРНО и НЕВЕРНО, как соответствие или
не соответствие существующей действительности и законам логики. «Формальная математика» работает
в парадигме ВОЗМОЖНО (НЕИСКЛЮЧЕНО) и НЕВОЗМОЖНО (ИСКЛЮЧЕНО).
Традиционно математические теории строится в виде ряда ВЫСКАЗЫВАНИЙ (УТВЕРЖДЕНИЙ), которые
могут быть ЛИБО верны, ЛИБО неверны.. Существуют математические построения в которых допускается
ещё и такое ЗНАЧЕНИЕ ВЕРНОСТИ высказываний как НЕИЗВЕСТНО. В данном тексте предполагается, что
любое из рассматриваемых высказываний либо верно, либо неверно, но при этом, значение верности данного
высказывания может быть либо ИЗВЕСНЫМ либо неизвестным.
Обозначим некоторые высказывания латинскими буквами {A , B , C , D , E ..}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
ЕСЛИ высказывания {А , В} верны либо неверны одновременно, ТО говорят, что они ЛОГИЧЕСКИ
ЭКВАВАЛЕНТНЫ. При этом должны соблюдаться следующие условия.
Первое — ЛЮБОЕ (КАЖДОЕ , ВСЯКОЕ) высказывание эквивалентно себе.
Второе — Если А эквивалентно В , то В эквивалентно А.
Третье — Если А эквивалентно В , И (определение будет дано ниже) В эквивалентно С , то
А эквивалентно С.
3
Четвёртое - В данном тексте рассматриваются только высказывания логически эквивалентные высказыванию
о верности данного высказывания. Данное условие выводит за круг рассматриваемых высказываний
ВНУТРЕННЕ ПРОТИВОРЕЧИВЫЕ высказывания . Например такое высказывание как А( А неверно), то есть
высказывание А отрицающее утверждение о верности высказывания А.
Правила перехода от данного высказывания к логически эквивалентному высказыванию в данном тексте
считаются интуитивно понятным. Кроме того эти правила достаточно полно описаны в литературе. Например
в книге И. М. Яглом «Булева структура и её модели».
Рассматривается только такие высказывания для которых интуитивно понятно или явно указано правило
перехода от него к ОБРАТНОМУ высказыванию. Такой переход называется ОТРИЦАНИЕМ. Например
обратным к высказыванию о верности высказывания А (А верно) будет высказывание о неверности
высказывания А (А неверно).
ОПРЕДЕЛЕНИЯ (основных логических операций)
При помощи слов. (и, ИЛИ) можно составить высказывания вида (А или В) ,и (А и В). ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ
и ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ, и мы это уже в данном тексте делали .
Значение верности операций логического сложения и умножения, определяется значениями верности исходных
высказываний. Если среди высказываний { А , В } все высказывания верны, то верно высказывание (А и В).
В обратном случае высказывание (А и В) считается неверным. Если среди высказываний { А , В } ЕСТЬ
(СУЩЕСТВУЮТ , ПРИСУТСТВУЮТ) верное, то высказывание (А или В) считается верным. В обратном случае
высказывание (А или В) неверно.
Из данных определений видно, что высказывание (А и В) эквивалентно высказыванию (В и А) ,
и высказывание (А или В) эквивалентна высказыванию (В или А).
Если высказывание B получено путём отрицания высказывания A, то высказывание А называют ПРЯМЫМ ,
а B ОБРАТНЫМ по отношению к А. Последнее предложение является примером использования ОСНОВНОЙ
ЛОГИЧЕСКОЙ КОНСТРУКЦИИ ( если А, то В ) в качестве определения. Эта логическая конструкция также
используется для отражения в тексте того факта, что доказано или предполагается , что может быть доказано,
что из высказывания А (УСЛОВИЕ) ЛОГИЧЕСКИ СЛЕДУЕТ (вытекает) высказывание В ( СЛЕДСТВИЕ ,
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ).
Значение верности высказывания вида ( если А. то В ) выясняется независимо от значения верности условия и
следствия. Оно либо принимается без ДОКАЗАТЕЛЬСТВА либо выявляется путём проведения рассуждений в
рамках применяемой логики. При этом принимается без доказательства, что если из высказывания А вытекает
высказывание В, и условие А верно, то следствие В тоже верно. Кроме того договоримся, что,делать ВЫВОД
(получать следствие) из заведомо неверного условия ЛОГИЧЕСКИ НЕКОРЕКТНО..
При проведении доказательств в качестве ПРАВИЛА ВЫВОДА используется следующее утверждение.
если (( если А, то В), и (если В, то С)), то (если А , то С). Другими словами
Пусть (условия правила вывода)
Первое — (если А , то В)
Второе — (если В , то С)
Тогда (заключения правила вывода) (если А , то С).
Правила отрицания должны давать высказывание эквивалентное высказыванию о неверности отрицаемого
высказывания. При этом , если отрицается высказывание обратное по отношению к данному высказыванию ,
то в результате должно получаться высказывание логически эквивалентное прямому высказыванию (ПРАВИЛО
ОТРИЦАНИЯ ОБРАТНОГО УТВЕРЖДЕНИЯ). Существуют математические теории в которых данное правило
не используют..
: 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Обратным по отношению к высказыванию вида (А и В) , которое по определению значения верности
операции логического умножения логически эквивалентно высказыванию (среди высказываний { А , В } все
высказывания верны) является высказывание (среди высказываний { А , В } не все высказывания верны).
Другими словами (среди высказываний { А,В } есть (существует) неверное высказывание). Легко убедиться,
что при таком определении правило отрицания обратного утверждения выполняется.
Аналогичным образом определяется правило отрицания для высказываний вида (А или В)..
Если в ходе рассуждений находится высказывание которое верно и не верно одновременно, то говорят что
получено ПРОТИВОРЕЧИЕ.. Если предложение о верности высказывания А приводит к противоречию.,то
считается доказанным верность обратного по отношению к А высказывания (МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ
ПРОТИВНОГО). Существуют математические теории в которых данное правило вывода не используется.
Приведём один важный пример доказательства от противного. Докажем, что если высказывание А верно, и
высказывание В не верно, то высказывание (если А, то В) не может быть верным. Для этого предположим, что
высказывание (если А, то В) верно. Но так как мы приняли, что высказывание А верно, то получаем, что и
высказывание В верно. Получено противоречие.
Приведённые сведения о логике не являются полными, но они достаточны для введения в теорию множеств .
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что при формулирование элементов логики мы не использовали
арифметические термины и термины теории множеств..
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Будем говорить, что МНОЖЕСТВО СОДЕРЖИТ ЭЛЕМЕНТЫ, и что элемент ПРИНАДЛЕЖИТ данному множеству.
Говорят,что множество L является ПОДМНОЖЕСТВОМ множества M если КАЖДЫЙ (ЛЮБОЙ, ВСЯКИЙ) элемент
множества L является и элементом множества M.
Если высказывание А верно для всех элементов множества М, и х является элементом множества М , то
высказывание А верно для элемента х . Данное правило вывода называют ПРАВИЛОМ ПОДСТАНОВКИ. Оно
в данном тексте рассматривается как пополнение выше описанной логики в терминах теории множеств.
Если множество L является подмножеством множества M , и множество M является подмножеством множества
L , то говорят что множества L и M СОВПАДАЮТ. Подмножество совпадающее с множеством, подмножеством
которого оно является, называют ТРИВИАЛЬНЫМ.
Если множество L является подмножеством множества M, и множества M и L не совпадают, то будем говорить,
что L является СОБСТВЕННЫМ (ПРАВЕЛЬНЫМ) ПОДМНОЖЕСТВОМ множества M.
Множество M называется ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ множеств L и Q если любой его элемент принадлежит множеству
L и множеству Q.
Множество M называется ОБЪЕДИНЕНИЕМ множеств L и Q если любой его элемент принадлежит множеству
L или множеству Q.
Множество у которого нет элементов называется ПУСТЫМ МНОЖЕСТВОМ. Оно является своим тривиальным
подмножеством. Пустое множество является подмножеством любого множества. Кроме того говорят об
УНИВЕРСАЛЬНОМ МНОЖЕСТВЕ, и оговаривается, что когда мы говорим о пустом множестве, то подразумеваем
некоторое данное универсальное множество. Подразумевается, что любое рассматриваемое множество является
подмножеством некоторого данного универсального множества..Множество элементов из данного универсального
множества не принадлежащих данному множеству называют ПОПОЛНЕНИЕМ данного множества.
Будем говорить что количество элементов в пустом множестве равно ЧИСЛУ НОЛЬ.
Элементы данного множества могут СОВПАДАТЬ или НЕ СОВПАДАТЬ. При этом
Первое - любой элемент данного множества совпадает с самим собой.
Второе — если элемент х совпадает с элементом у, то элемент у совпадает с элементом х
Третье — если элемент х совпадает с элементом у, и элемент у совпадает с элементом z , то элементы
х и z совпадают
5
.
Если в некотором множестве М есть элемент х для которого верно некоторое высказывание А , и на М
нет (не существует) элемента не совпадающего с х для которого высказывание А верно, то будем говорить,
что существует только ОДИН элемент множества М для которого верно высказывание А , или другими словами,
количество элементов множества М для которых высказывание А верно равно ОДНОМУ , или числу один (единице) .
Примем без доказательства, что высказывание о совпадении с данным элементом данного множества верно
только для одного элемента данного множества ( АКСИОМА Ширюкова ).
Пусть для только одного элемента х множества М верно высказывание А , и для только одного элемента у
множества М верно высказывание В. Если х и у не совпадают, для этого достаточно чтобы для элемента у
высказывание А было неверным, то будем говорить, что на множестве М есть только ДВА элементов для которых
верно высказывание (А или В). Подмножество множества М для элементов которого верно высказывание
(А или В) в данном случае является примером множества состоящего из двух элементов. Множество состоящее
из двух элементов называют парой.
Пусть только для двух элементов множества М верно высказывание А , и только для одного элемента х
множества М верно высказывание В. Кроме того пусть для х высказывание А неверно. Тогда будем
говорить что высказывание (А или В) верно только для ТРЁХ элементов множества М. Подмножество
множества М для элементов которого верно высказывание (А или В) в данном случае можно рассматривать
в качестве примера множества состоящего из трёх элементов.
Интуитивно понятно что, подобные построения могут продолжаться до БЕСКОНЕЧНОСТИ, и на каждом
шаге мы будем получать следующее число, причём не равное нолю.
Таким образом средствами элементов логики и теории множеств может быть получено некоторое не полное
представление о НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ, а также КОНЕЧНЫХ и бесконечных множествах в терминах
логики и теории множеств..
Это оправдывает применение арифметических терминов при развитии логики и теории множеств до созданию
арифметики в аксиоматической форме. Кроме того полученные результаты хорошо согласуются с результатами
полученными на основе практики счёта материальных или воображаемых предметов. Но не всё так просто.
В разделе «элементы логики» было сказано, что в математике традиционно рассматриваются высказывания
которые ЛИБО верны ЛИБО неверны. При этом подразумевается, что высказывание вида (либо А верно, либо
А неверно) верно лишь когда только одно из двух высказываний (А верно,А неверно) является верным, и третьего
не дано (не существует). Таким образом в самом своём основании логика использует дилемму (ОДНО из ДВУХ,
и ТРЕТЬЕГО НЕ ДАНО). Другими словами понятия элементарной ( эмпирической ) арифметики в неявном виде
используются при введение основного парного понятия логики (верно — неверно). Таким образом практическое
умение считать до трёх является необходимой предпосылкой для появления зачатков сознательной логики.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Если каждому элементу х множества М поставлено в СООТВЕТСТВИЕ определённое подмножество L(x)
множества L , то будем говорить, что задано ОТОБРАЖЕНИЕ множества М на некоторое подмножество
множества L. Если все L(x) содержат только один элемент, то будем говорить, что задано ОДНОЗНАЧНОЕ
СООТВЕТСТВИЕ. Если для каждого элемента у множества L существует х из М, такой что L(х) совпадает с у,
то такое соответствие будем называть ВЗАИМНООДНОЗНАЧНЫМ..
Аксиоматическая арифметика должна быть согласована с арифметическими фактами сформулированными
нами в терминах логики и теории множеств ( ПРИНЦИП СОГЛАСОВАНИЯ ТЕОРИЙ )..
6
МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Будем говорить что натуральное число X равно натуральному числу Y (X=Y) если они совпадают как элементы
множества натуральных чисел. Тогда для отношения равенства натуральных чисел, как частного случая
отношения совпадения элементов данного множества должны выполняться следующие свойства.
Первое — (X=X)
Второе — если (X=Y), то (Y=X)
Третье — если (X=Y).и (Y=Z) . то (X=Z)
Четвёртое — высказывание о равенстве данному натуральному числу верно только для одного натурального
числа (как следствие аксиомы Ширюкова).
Примем без доказательств как исходные, то есть в качестве аксиом высказывания A , B , C , D. Их можно, и
нужно рассматривать как основные эмпирические факты, лежащие в основание единой математической теории.
A Ноль является элементом множества натуральных чисел
B Для каждого натурального числа существует следующее по отношению к нему натуральное число,
(причём только одно, иначе будет затруднительно обосновать единственность операции СЛОЖЕНИЯ).
C Если для данного натурального числа существует натуральное число по отношению к которому
данное число является следующим, то данное число неравно нолю..(без этого утверждения возможны
МОДЕЛИ с конечным универсальным множеством, так называемая МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА).
D Если следующее за числом X равно следующему за числом Y , то равны и числа X и Y.
(без данного утверждения не доказываются некоторые основные свойства НЕРАВЕНСТВ)
Что бы не входить в противоречие с результатами полученными на основе элементов теории множеств
и логики будем говорить, что один является следующим по отношению к нолю, два по отношению к единице,
три по отношению к двум и так далее. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} Такое соглашение оправдается тем фактом, что
прибавление следующего за нолём числа к любому натуральному число даёт следующее число. Это будет
доказано ниже.
Следующее высказывание будем рассматривать как дополнительное правило вывода (пополнение логики)
в терминах теории множеств. и арифметики.
E. Пусть ( условия ),
первое - М подмножество множества натуральных чисел ,
второе - ноль принадлежит М ,
третье — из утверждения (натуральное число X принадлежит М ) следует утверждение
(следующее по отношению к X натуральное число принадлежит М ) .
Тогда ( заключение ),
данное подмножество совпадает с множеством натуральных чисел.
Высказывания A , B , C , D , E называют аксиомами Пеано. На основе сформулированной аксиоматики
и определений арифметических операций СЛОЖЕНИЯ, УМНОЖЕНИЯ и СРАВНЕНИЯ , которые будут даны
ниже, доказываются основные свойства арифметических операций...Но сначала докажем одно важное
следствие аксиом Пеано.
7
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Однозначное отображение натурального ряда на некоторое подмножество данного множества
называется ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ.
Пусть дана некоторая последовательность высказываний (утверждений). Тогда, если высказывание
соответствующее нолю верно, и можно доказать что за каждым верным высказыванием следует верное,
то все высказывания из данной последовательности верны. Действительно, рассмотрим подмножество
тех натуральных чисел которые соответствуют верным высказываниям из данной последовательности
высказываний. Это множество содержит ноль. Если число принадлежит данному подмножеству, то
соответствующее ему высказывание верно. Так как можно доказать, что высказывание соответствующее
следующему числу верно, то оно тем самым входит в рассматриваемое подмножество. Следовательно
множество натуральны чисел, для которых соответствующие им высказывания верны совпадает с
натуральным рядом, и все высказывания из данной последовательности высказываний являются верными.
Доказанное утверждение называют МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
При помощи метода математической индукции проводятся доказательства. Рассматривается некоторая
последовательность высказываний. Во-первых проверяют является ли верным утверждение из данной
последовательности высказываний соответствующее числу ноль (БАЗИС ИНДУКЦИИ)..Если это так, то
делается предположение о верности утверждения из рассматриваемой последовательности высказываний
соответствующее некоторому натуральному числу (ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ ИНДУКЦИИ). За тем на базе сделанного
предположения доказывается верность утверждения соответствующего следующему по отношению к нему
натуральному числу. Если это удаётся сделать,то тем самым доказана верность всех высказываний из
рассматриваемой последовательности.
Рассмотрим приведённое доказательство проводя его шаг за шагом, и указывая на каждом шаге
доказательства правило вывода или иное обоснование применённое на данном шаге..
УТВЕРЖДЕНИЕ
Условия утверждения
Первое - дана последовательность высказываний.
Второе — высказывание соответствующее нолю верно
Третье — если высказывание из данной последовательности верно, то следующее
высказывание из данной последовательности тоже верно
Заключение утверждение
Все высказывания из данной последовательности верны
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Для проведения доказательства в качество правила вывода будем использовать аксиому Е.
Пусть М подмножество натурального ряда для элементов которого соответствующие им высказывания
верны.
Так как высказывание соответствующее нолю верно (второе условие утверждения), то ноль является
элементом подмножества М.(по определению М).
Пусть Х принадлежит М , тогда соответствующее X высказывание верно (по определению М).
Следующее высказывание верно (третье условие утверждения)
Так как следующее высказывание верно, то число следующее за Х принадлежит М (по определению М)
Таким образом подмножество М содержит ноль, и из высказывания (X принадлежит М) следует
высказывание (следующее за X принадлежит М). То есть выполнены условия аксиомы Е.
Так как условия аксиомы Е выполнены, то в силы её вывода подмножество М совпадает с
множеством натуральных чисел.
Мы пришли к выводу, что каждому натуральному числу соответствует верное высказывание из
рассматриваемой последовательности высказываний, то есть все высказывания из данной
последовательности верны..
8
ОПЕРАЦИЯ СЛОЖЕНИЯ (суммирование )
.
Будем говорить, что к натуральному числу X прибавляется натуральное число Y (X+Y), и в результате
операции СЛОЖЕНИЯ мы получаем натуральное число Z (X+Y=Z), которое называют суммой 'этих чисел.,
а числа X и Y называют слагаемыми..
Примем без доказательств, что
Первое - прибавление к любому числу ноля даёт в результате операции сложения это число, (X+0=X)
Второе - если мы к числу X прибавляем следующее по отношению к Y , то результат сложения будет
равен следующему по отношению к ( X+Y ) натуральному числу.
Однозначность операции сложения следует из четвёртого свойства отношения равенства и однозначности
операции перехода от данного натурального натурального числа к следующему, оговоренное в аксиоме В.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Для любых натуральных чисел X и Y, существует натуральное число Z такое что ( X+Y=Z ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (методом математической индукции)
Пусть X любое натуральное число. Составим последовательность высказываний поставив в соответствие
каждому натуральному Y высказывание о существование натурального Z такого, что ( X+Y=Z )
Верность высказывания соответствующего нолю вытекает из первого свойства операции сложения (х+0=х)
Базис индукции доказан.
Пусть для данного Y соответствующее высказывание верно, то есть существует натуральное Z такое, что
( X+Y=Z) , где Z любое натуральное число (предположение индукции).
Пусть N следующее за Y натуральное число. Рассмотрим (X+N). Согласно второму свойству операции
(X+N) равно следующему по отношению (X+Y) натуральному числу, что доказывает существование
натурального числа равного (X+N). Таким образом предложение о верности высказывания соответствующего
некоторому натуральному числу Y из рассматриваемой последовательности высказываний приводит нас
к заключению о верности следующего высказывания.
Согласно методу математической индукции утверждение доказано.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Пусть X любое натуральное число, и Y следующее за нолём натуральное число.
Тогда натуральное число (X+Y) равно следующему за X натуральному числу..
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рассмотрим (X+Y)
Согласно второму свойству операции сложения в результате получим число следующее за суммой данного
числа с числом по отношению к которому число Y является следующим. Это ноль Прибавление ноля к числу
не изменяет это число X. Таким образом доказано, что прибавление следующего за нолём натурального числа,
а по принятому выше соглашения это единица, к любому натуральному числу даёт в результате операции
сложения число следующее за числом к которому мы прибавляем единицу.
Например ноль плюс один равно одному, так как один следует за нолём. (0+1=1)
Один плюс один даёт два,, так как два по определению следует за единицей. Два плюс один равно трем,,
так как три (по определению .следует за числом два.
ЗАДАЧА : Прибавить к числу ноль число два.
РЕШЕНИЕ. По определению операции сложения сумма ноля и двойки равна числу следующему
за суммой ноля и единицы, так как два следует за единицей. Мы уже доказали, что ноль плюс
один равно одному. Следующее за единицей это два. Приходим к выводу, что ноль плюс два равно двум.
Пусть X-натуральное число и прибавление этого числа к нолю даёт в результате число X.
Пусть число Y следует за X. Найдём сумму ноля с числом Y ( ? 0+Y, если 0+Х=Х).
0+Y=(0+X)+1 , так как Y следует за X,. И следующее за (0+Х) равно (0+Х)+1
По условию задачи 0+Х=Х , следовательно 0+Y=(0+X)+1=X+1=Y
9
Рассмотрим множество состоящее из натуральных чисел, таких что 0+Х=Х
Выше было доказано, что это множество содержит число ноль. Кроме того мы показали, что если число Х входит
в это множество, то следующее за ним число Y тоже принадлежит этому множеству. Это доказывает, что
данное множество совпадает с множеством натуральных чисел, по правилу вывода E .. Другими словами
равенство ( 0+Х=Х ) верно для всех натуральных чисел, а так как Х+0=Х, то получаем ( 0+Х=Х+0 ) для всех
натуральных Х.
УТВЕЖДЕНИЕ Пусть число Х следует за числом x . и число Y следует за числом y,
тогда ( x+Y=X+y) или другими словами ( x+(y+1)=(x+1)+y) для любой пары натуральных чисел
Действительно
Составим последовательность высказываний поставив в соответствие каждому натуральному у заключение
доказываемого утверждения
Если y=0 , то при любом х , x+(y+1)=x+(0+1)
x+(0+1)=x+1 так как 0+1=1
x+1=(x+1)+0 по первому свойству операции сложения
(x+1)+0=(x+1)+y так как мы предположили что y=0
итак
x+(y+1)=x+(0+1)=x+1=(x+1)+0=(x+1)+y , и следовательно доказываемое равенство верно для случая когда y=0
(базис индукции).
Пусть z следующее по отношению к y, тогда z=y+1,и. для некоторого y верно равенство
x+(y+1)=(x+1)+y (предположение индукции)..
Рассмотрим равенство x+(z+1)=(x+1)+z , где z следующее по отношению к y натуральное число.
Тогда
x+(z+1)=(x+z)+1 по второму свойству операции сложения
(x+z)+1=(x+(y+1))+1 так как z=y+1
(x+(y+1))+1=((x+1)+y)+1 по предположению индукции ( x+(y+1)=(x+1)+y )
((x+1)+y)+1=(x+1)+z в силу второго свойства операции сложения, и так как z следует за y
Итак
x+(z+1)= (x+z)+1=(x+(y+1))+1=((x+1)+y)+1=(x+1)+z утверждение доказано.
.Пусть для любого числа Х, и данного Y верно равенство X+Y=Y+X (предположение индукции) ,
и Z следующее за Y
Тогда X+Z=(X+Y)+1=(Y+X)+1 = Y+(X+1)=(Y+1)+X=Z+X
Кроме того равенство X+Y=Y+X для случая Y=0 ,было уже доказано. (базис индукции). Таким образом доказано ,
что (X+Y=Y+X ) верно для любой пары натуральных чисел. Доказанное свойство операции сложения называют
КОММУТАТИВНОСТЬЮ..
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если x, y , z натуральные числа , то верно следующее равенство (x+y)+z=x+(y+z)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть z=0 , тогда (x+y)+z=(x+y)+0=x+y=x+(y+0)=x+(y+z) то есть наше утверждение верно для случая когда
z=0 (базис индукции)
Пусть для некоторого z верно равенство (x+y)+z=x+(y+z) (предложение индукции)
рассмотрим (x+y)+(z+1)
(x+y)+(z+1)=((x+y)+z)+1 по второму свойству операции сложения
((x+y)+z)+1=(x+(y+z))+1 по предположению индукции
(x+(y+z))+1=x+((y+z)+1) по второму свойству операции сложения и второму свойству отношения равенства
x+((y+z)+1)=x+(y+(z+1)) по второму свойству операции сложения
Таким образом, если доказываемое равенство верно для некоторого z , то оно верно и для следующего за
z натурального числа. Утверждение доказано. Доказанное свойство операции сложения называется
АССОЦИАТИВНОСТЬЮ
10
ОПЕРАЦИЯ УМНОЖЕНИЯ ( произведение )
Определим операцию умножения натуральных чисел приняв без доказательства, что умножение числа на ноль
даёт в результате ноль, и результат умножения первого числа на следующее за вторым числом равно
произведению первого и второго числа плюс первое число. То есть для любой пары натуральных х , у
выполняются два равенства.
Первое x*0=0
Второе x*(y+1)=x*y+x
ЗАДАЧА ? х*1., где х — любое натуральное число
РЕШЕНИЕ По определению операции умножения х*1=х*0+х=0+х
Ранее было доказано, что 0+х=х .
ОТВЕТ х*1=х
ЗАДАЧА ? 2*2
РЕШЕНИЕ 2*2=2*1+2 по второму свойству умножения
2*1+2=2+2 так как х*1=х
2+2=(2+1)+1 по второму свойству сложения
(2+1)+1=3+1=4 по определению чисел 3 и 4.
ОТВЕТ 2*2=4
УТВЕРЖДЕНИЕ (x+y)*z=x*z+y*z для всех натуральных x, y и z
Доказательство
При z=0 утверждение верно, так как обе части равенства равны нолю.
Предположение индукции (x+y)*z=x*z+y*z
Рассмотрим (х+y)*(z+1)
(x+y)*(z+1)=(x+y)*z+(x+y) (по второму свойству операции умножения )
(х+у)*z+(x+y)=(x*z+y*z)+(x+y) ( по предложению индукции )
(x*z+y*z)+(x+y)=((x*z+y*z)+x)+y ( в силу ассоциативности операции сложения )
((х*z+y*z)+x)+y=(x*z+x)+(y*z+y) ( в силу ассоциативности операции сложения )
(x*z+x)+(y*z+y)=x*(z+1)+y*(z+1) ( в силу второго свойства )
Утверждение доказано
Данное свойство сложения и умножения называется ДИСТРИБУТИВНОСТЬЮ
Докажем КОММУТАТИВНОСТЬ операции умножения натуральных чисел
Рассмотрим 0*x
Если x=0 ,то 0*x=0
Пусть для некоторого натурального х верно равенство 0*x=0. Рассмотрим 0*(x+1)
0*(x+1)=0*x+0=0
Делаем вывод о том, что равенство 0*x=0 верно для всех натуральных чисел
Таким образом для всех х из натурального ряда верно равенство x*0=0*x
? 1*х
Если х=0, то очевидно 1*х=х*1
Пусть 1*х=х*1. Рассмотрим 1*(х+1)=1*х+1=х+1=(х+1)*1
Таким образом для всех х верно 1*х=х*1
? 2*х
Пусть х=0. Тогда 2*х=2*0=0=0*2=х*2
Пусть 2*х=х*2. Рассмотрим 2*(х+1)=2*х+2=х*2+2=х*2+1*2=(х+1)*2
Таким образом мы доказали что равенство 2*х=х*2 верно для всех х
11
Пусть существует число y такое, что для всех х верно x*y=y*х . Рассмотрим x*(y+1)
x*(y+1)=x*y+x=y*х+1*х=(y+1)*x
Таким образом доказано, что X*Y=Y*X для всех натуральных X и Y.
УТВЕРЖДЕНИЕ (об ассоциативности умножения)
Если ( x,y,z — натуральные числа) , то (x*y)*z=x*(y*z)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть z=0, тогда утверждение верно, так как обе части равенства равны нолю.
Рассмотрим (x*y)*(z+1)=(x*y)*z+x*y=x*(y*z)+x*y=x*(y*z+y)=x*(y*(z+1))
Утверждение доказано.
Таким образом мы доказали пять ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ операций сложения и умножения натуральных чисел.
1.x+y=y+x
2.(x+y)+z=x+(y+z),=x+y+z
3.(x+y)*z=x*z+y*z
4.x*y=y*x
5.(x*y)*z=x*(y*z),=x*y*z
При этом не были явно использованы аксиомы C и D..( это обстоятельство можно использовать для
обоснования так называемой МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ).
Перед тем как мы перейдём к рассмотрению свойств операции сравнения натуральных чисел ,
докажем несколько вспомогательных утверждений.
УТВЕРЖДЕНИЕ Если натуральное число y не равно 0, то существует натуральное x , такое что y=x+1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Если y=1 , то при x=0 равенство y=x+1 выполняются и следовательно УТВЕРЖДЕНИЕ верно
Построим последовательность высказываний
Числу 0 поставим в соответствие утверждение, что при у=1 УТВЕРЖДЕНИЕ верно.
Всякому следующему натуральному числу поставим в соответствие высказывание о верности
данного утверждения для y равного следующему за числом которое поставлено в соответствие данному
высказыванию.
Тогда y=x+1, где х натуральное число соответствующее данному высказыванию в нашей последовательности
высказываний. Каждое из этих высказываний верно по построению и для каждого не равного 0 у в данной
последовательности есть соответствующее высказывание.
Утверждение доказано.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если хотя бы одно из слагаемых суммы двух натуральных не равно ноль , то и сумма не равна нолю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть .не равное нолю, тогда существует натуральное х , такое что z=x+1
Тогда для любого y сумма y+z=(x+y)+1 , и таким образом является следующим по отношению
к x+y . Тогда по аксиоме С y+z не может равняться нолю.
утверждение доказано
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если x+y=x+z, ТО y=z
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
При х=0 утверждение верно
Пусть данное утверждение верно для некоторого x (предположение индукции)
Если (x+1)+y=(x+1)+z , то (x+y)+1=(x+z)+1 (по второму свойству операции умножения)
Если (x+y)+1=(x+z)+1 , то x+y=x+z (по аксиоме D)
Если x+y=x+z , то y=z (по предположению индукции) Утверждение доказано
12
НЕРАВЕНСТВА (сравнения)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если для чисел x и y существует число z не равное 0, такое что x+z=y , то будем говорить что y больше х ( у>x) ,
и что x меньше y (x<y). При этом число z называют разностью между числами y и x . Нахождение разности двух
чисел называется операцией ВЫЧИТАНИЯ.
Из приведённого определения видно, что операция вычитания для натуральных чисел возможна только если (у>x)..
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если (x>y) и ( y>z) , то (x>z)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Так как x>y , то существует не равное 0 число а такое что у+а=х
Так как у>z , то существует не равное 0 число b такое что z+b=y
Тогда x=y+a=z+b+a , и следовательно существует число с=a+b такое что x=z+c
Так как c=a+b , и а и b не равны 0 , то и c не равно 0.
Утверждение доказано.
СЛЕДСТВИЕ данного утверждения
Если x<y и y<z , то x<z
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Так x<y и y<z, то y>x и z>y . Следовательно z>x , то есть x<z
Пусть одновременно верны равенство x=y и неравенство x>y , и следовательно x=y+z , где z не равно 0.
Тогда x+0=х=y+z=x+z Выше было доказано, что если a+b=a+c , то b=c .Таким образом z равно 0.
Получаем противоречие.
Мы приходим к выводу о том что может быть верным только одно из двух соотношений 1) x=y 2) x>y
Аналогично доказывается несовместимость равенства x=y и неравенства x<y
Пусть одновременно верны два неравенства x>y и x<y . Тогда x=y+a и y=x+b , где a и b не равны нолю,
и следовательно не равно нолю a+b
y+0=y=x+b=(y+a)+b=y+(a+b) и следовательно a+b=0
Мы получили противоречие, что доказывает несовместимость неравенств x>y и x<y .
Таким образом доказано УТВЕЖДЕНИЕ о том что может выполняются только одно из трёх
соотношений 1) x=y 2) x>y 3) x<y
УТВЕРЖДЕНИЕ
Для любых натуральных x, y, z , если (x+z>y+z) ,то x>y
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
При z=0 утверждение верно (базис индукции)
Путь для некоторого z верно доказываемое утверждение (предположение индукции)
тогда
x+(z+1)=(x+z)+1=((y+z)+a)+1=((y+z)+1)+a=(y+(z+1))+a , где a не равно 0,
то есть x+(z+1)>y+(z+1)
Утверждение доказано
ОПРЕДЕЛЕНИЕ последовательности ОТРЕЗКОВ натурального ряд
1) Множество состоящее из числа ноль является отрезком натурального ряда. Поставим в
соответствие этому множеству число ноль
2) Отрезок натурального ряда соответствующий следующему по отношению к данному
натуральному числу получается путём добавления к отрезку натурального ряда
соответствующего данному числу следующего за данным числом натурального числа
13
0 - {0}
1 - {0,1}
2 — {0,1,2}
3 — {0,1,2,3}
и так далее...
УТВЕРЖДЕНИЕ
Натуральное число следующее за числом соответствующим данному отрезку натурального ряда больше
любого натурального числа принадлежащего данному отрезку.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть x является числом соответствующим данному отрезку натурального ряда
ЕСЛИ x=0 , ТО x+1=0+1=1, и следовательно 1>0. Так как отрезок натурального ряда
соответствующий числу 0 состоит из одного элемента , то для x=0 УТВЕРЖДЕНИЕ доказано.
Пусть для данного х УТВЕЖДЕНИЕ верно.(предположение индукции по x)
Рассмотрим x+1
x+1>x и по предположению индукции x>y , где y любой элемент отрезка соответствующего
числу x не равный x, и следовательно x+1>y . Таким образом
УТВЕРЖДЕНИЕ доказано.
УТВЕРЖДЕНИЕ (доказать самостоятельно)
Любое натуральное число не принадлежащее данному отрезку больше числа соответствующего
данному отрезку натурального ряда.
УТВЕРЖДЕНИЕ (доказать самостоятельно)
Множество всех натуральных чисел больших натурального числа соответствующего данному отрезку
является пополнением данного отрезка , если мы рассматриваемое натуральный ряд в качестве
универсального множества.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если y>x , то y+z>x+z
Доказательство
При z=0 УТВЕЖДЕНИЕ верно (базис индукции)
Пусть для данного z УТВЕЖДЕНИЕ верно
Рассмотрим z+1 y+(z+1)=(y+z)+1=(x+z)+a+1=(x+(z+1))+a , где a не равно 0.
То есть y+(z+1)>x+(z+1) , таким образом утверждение доказано
УТВЕРЖДЕНИЕ
Для любого отрезка любое натуральное число не принадлежащее данному отрезку больше любого
натурального числа принадлежащего данному отрезку.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть х — натуральное число соответствующее данному отрезку натурального ряда
Если х=0 , то любое y не равное 0 не принадлежит отрезку соответствующему числу 0. При этом
так как у не равно 0 то существует натуральное z такое что y=z+1
При z=0 , y=0+1=1>0=x и следовательно y>x
Пусть y>х=0 (предположение индукции), рассмотрим y+1 . y+1>y и y>x следовательно y+1>x=0
Доказан базис индукции
Если х=1.
Пусть для данного х УТВЕЖДЕНИЕ верно. (предложение индукции)
Множество натуральных чисел не принадлежащих к отрезку которому соответствует х+1 можно получить
из множества чисел не принадлежащих отрезку соответствующему х путём прибавления единицы к каждому
числу из последнего множества, так как при этом просто из последнего будет изъято число x+1
Так как по предложению индукции y>x , то y+1>x+1 , и следовательно утверждение доказано
14
УТВЕРЖДЕНИЕ (доказать самостоятельно)
Для любой пары натуральных х и у верно одно из трёх высказываний, (х=у) , (x>y) , (x<y}.
УПРАЖНЕНИЕ
Самостоятельно доказать , что для любых натуральных х , у и z не равного 0 верно высказывание
Если x>y ,то x*z>y*z
Таким образом нами доказаны основные свойства отношения неравенства между натуральными числами.
1.Верно только одно из трёх высказываний (х=у) , (x>y) , (x<y)
2.Если (x>y) и (y>z) , то (x>z)
3.Если (x>y), то (x+z>y+z)
4.Если (x+z>y+z)., то (x>y)
5.Если (z не равно 0) и (x>y) , то (x*z>y*z
ОПЕРАЦИЯ ВОЗВЕДЕНИЯ В СТЕПЕНЬ
Будем говорить, что натуральное число х , неравное нолю, возведено в степень n ( x(n) ) , где n натуральное
число, если во-первых х(0)=1 ,и во-вторых х(n+1)=х(n)*х
УПРАЖНЕНИЕ доказать существование х(n) для любого натурального n .
УТВЕРЖДЕНИЕ x(n)*x(m)=x(n+m) (доказать самостоятельно).
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА (без доказательства (и не пытайтесь))
Пусть x , y , z , n неравные нолю натуральные числа, и n > 2 , тогда равенство x(n)+y(n)=z(n) не может быть
верным.
ОПЕРАЦИЯ ДЕЛЕНИЯ
Пусть x*у=z , тогда будем говорить , что в результате деления числа z на число у мы получаем число х , и
в результате деления числа z на число х мы получаем число у . Кроме того будем говорить, что z
делится на х и на у без остатка. При этом числа х и у называют делителями числа z .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если натуральное число делится без остатка ровно на два не совпадающих делителя , на единицу и на себя,
то такое число называют ПРОСТЫМ.
Легко убедится, что числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , !7 , 19 , 23 , 31 являются простыми. Представление данного
натурального числа в виде произведения простых чисел называется КАНОНИЧЕСКИМ.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Для любого натурального числа существует только одно каноническое представление ( в данном тексте без
доказательства ).
15
МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Множество натуральных чисел в данном тесте выполняло роль универсального множества. Далее эту роль
переходит к МНОЖЕСТВУ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Примем что
первое — любое натуральное число является целым
второе — для любого целого числа существует только одно ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ по отношению к нему
целое число
третье - если число х является противоположным по отношению к числу у , то число у является
противоположным по отношению к числу х .
четвёртое — операция сложения для целых чисел должна быть определена так, чтобы сумма противоположных
чисел была равна нолю, и сохранилось данное выше определение операции сложения для натуральных чисел.
пятое — операция умножения для целых чисел должна быть определена так, чтобы, сохранялось
данное выше определение операции умножения для натуральных чисел.
шестое — операция сравнения для целых чисел аналогична операции сравнения натуральных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕЯ
Целые ненатуральные числа называют ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ.
Противоположное к единице целое число называется минус один ( -1 ).
Противоположное к двойке целое число называется минус два ( -2 ).
Противоположное к трём целое число называется минус три ( -3 )
И так далее... {... - 9, - 8, - 7, - 6 , -5 , - 4 ,- 3 ,- 2 , - 1}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Натуральное число, входящее в пару противоположных целых чисел называется модулем целых чисел
входящих в данную пару.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Противоположное по отношению нолю целое число равно нолю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Так как 0+0=0 то утверждение доказано
УПРАЖНЕНИЕ
Самостоятельно дать определение операций сложения, умножения и сравнения для целых чисел, и
доказать на основе данных определений справедливость основных свойств арифметических операций
и неравенств.
ВЫВОДЫ
Автор данного текста надеется, что в данном тексте с достаточной ясностью показана диалектика
генезиса аксиоматической арифметики от практического навыка к зарождению сознательной логики.
На основе сознательной логики к эмпирической теории в терминах теории множеств. И от последней
к аксиоматике Пеано. Интерпретация индуктивной аксиомы как пополнения логики в терминах
теории множеств и арифметики деактуализируют теоремы Теоремы Гёделя, и связанные с ними
мировозренческие выводы. Аксиоматика становится непротиворечивой и пополняемой. Читателям
дана возможность самостоятельно пополнить аксиоматику Пеано для множества целых чисел.
Такое пополнение возможно и для рациональных, действительных и комплексных чисел.
Удачи.
16
ЛИТЕРАТУРА
Г.В.Ф Гегель «Наука логики»
Ф. Энгельс «Диалектика природы»
В.И. Ленин (Ульянов) «Материализм и эмпириокритицизм»
И. М. Яглом «Булева структура и её модели»
И.В. Арнольд «Теоретическая арифметика»
А.А. Бухштаб «Теория чисел»