Подходы к квантовой силе тяжести 22-24 частьV Дани

Часть V
Эффективные модели и Квантовая Сила тяжести
феноменология

22
Квантовая феноменология Силы тяжести
G. AMELINO-CAMELIA
22.1 “Квантовая проблема Силы тяжести”, как видится феноменологу
“Квантовая проблема Силы тяжести” обсуждалась больше 70 лет [1] предполагает, что никакое руководство не могло быть получено из экспериментов. Но конечно если должна быть наука о Квантовой проблеме Силы тяжести, это должно быть обработано только как любая другая научная проблема, ища отчаянно руководство экспериментальными фактами, и разрешение тем фактам взять на себя инициативу в развитии новых понятий. Мы должен надеяться, что это работает также на Квантовую проблему Силы тяжести, или иначе оставить ее к желаниям философов.
К сожалению, не маловероятно, что эксперименты никогда не могли бы давать нам, любой очищает преимущество к Квантовой Силе тяжести, особенно если наша интуиция относительно роли
крошечной продолжительности Планка (; 10;35 m) в установке величины характерных эффектов
из новой теории, поворачивается правильно. Но даже если новые эффекты были действительно так
маленьки мы могли все еще попытаться раскрыть экспериментально некоторые проявления Кванта
Силы тяжести. Это твердо, и нет никакой гарантии успеха, но мы должны попробовать.
Наша оценка, что Квантовые исправления Силы тяжести должны быть очень маленькими в lowenergy экспериментах основаны на нашем опыте с другими подобными ситуациями; фактически,
мы ожидаем, что длина Планка, так как это - энергетический масштаб где текущие теории
кажись, портятся, должны также управлять величиной Квантовой Силы тяжести исправлений к анализу процессов, вовлекающих частицы с меньшими энергиями чем длина Планка. Например, в процессах, вовлекающих две частицы обе с энергетической Ми величиной новых эффектов должна быть установлена некоторой силой отношения между Ми и длиной Планка Ep (; 1028 eV). С тех пор во всех доступных случаях нам экспериментально E/Ep является чрезвычайно маленьким, это - ключевое испытание для Кванта Феноменологии силы тяжести. Это - испытание, с которым, однако, можно иметь дело доверием опыту с другими аналогичными ситуациями в физике 1
1, Поскольку я подчеркнул в другом месте [2; 3], продолжающиеся исследования протонной стабильности с великой точки зрения объединения и в начале исследований 1900-ых Броуновского движения могли быть характеризованы очень подобным испытанием.
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
428 Соль. Amelino-Camelia
Для этой феноменологии ключевое беспокойство в течение долгого времени не было тем
из развития, а скорее того четко подавания основного требования существования. Результаты этого усилия позволяют мне обеспечивать, в этом разделе, здравая реальность что мы
может действительно сделать Квантовую феноменологию Силы тяжести.
Затем Раздел 22.2 подарит (неполный, но представительный) список эффектов что
должно быть рассмотрено как эффекты кандидата Квантума Гравитации, и в Разделе 22.3 я
кратко опишу эксперименты и/или соблюдения, которые анализируются как возможности обеспечить связанную способность проникновения в суть.
Остальная часть этой главы сосредотачивается на наиболее изученной области Квантовой Силы тяжести на феноменологии, той, которая касается возможности отправления длины Планка
от Poincar; (Lorentz) симметрии. Это запускается с маленького в стороне (Раздел 22.4) на
вдвойне специальной относительности, для которой я описываю (так первоначально предложенный) как сценарий Физики длины Планка, а не один или другой выбор формализма. И я показываю
то, что вдвойне специальная идея относительности может быть сфальсифицирована, редкий пример falsifiable предложения по физике длины Планка.
Раздел 22.5 может использоваться в качестве компактного очка входа в литературу по феноменологии из отправления длины Планка из Poincar; (Lorentz) симметрия. Я не даю  подробные отчеты, но я пытаюсь затронуть представительное подмножество идей, сообщество преследует, и при этом я пытаюсь показать настолько ясно насколько возможно как важно, положится, относится на некоторые осторожно скроенные, обычно принятые, испытательные теории в отображении продвижения этой феноменологии.
Некоторые заключительные замечания предлагаются в Разделе 22.6.
22.1.1 Квантовая феноменология Силы тяжести существует
Задание номер один для любой феноменологии (обычно легкое задание, но оспаривание
одно здесь), должно показать, что эффекты типа, которые могли ожидаться от соответствующего
класса теорий могли видеться. Ключевой источник гордости для Квантовой Силы тяжести phenomenologists прибывает от факта что, за прошлые несколько лет, и за время что действительно охватило только несколько лет, нам удалось изменить восприятие  Квантового исследования Силы тяжести от традиционного “никакой помощи из экспериментов, возможных” к существующей интуиции, совместно использованной большинством работников в поле, что эти эффекты
могут видеть. Нам, возможно, понадобилась бы некоторая удача фактически, чтобы видеть их, но ясно это не неправдоподобно. Есть законная феноменология, которая будет развита здесь.
Однажды задание выполнено, важно показать что тип наблюдений что является выполнимым не только обеспечивают возможности к счастью наткнуться на проявление новой теории, но фактически данные могли использоваться, чтобы сфальсифицировать кандидата теории. Это второе задание ясно требует намного большего количества задания, оба в уровень нашего понимания теорий и для того, что касается качества данных и их феноменологический анализ.
Квантовая феноменология Силы тяжести 429
Задания один и два действительно являются предварительной работой. "Забава" немедленно начинается после этих первых двух заданий, когда соответствующие данные фактически собраны, возможны отклонения от обычных теорий разыскиваются, и теории, которые могли быть
сфальсифицированны теми данными сфальсифицироваными.
22.1.2 Задание один свершилось: некоторые эффекты, введенные действительно
в длине Планка могли видеться
За прошлые несколько лет несколько авторов показали по-разному и для различного
эффекты длины Планка кандидата, что, несмотря на ужасающую малость этих эффектов, некоторые классы выполнимых экспериментов и соблюдений могли видеть эффекты. Только, чтобы сделать абсолютно прозрачным факт, что эффекты действительно введенные в длину Планка могли видеться, позволить мне экспонировать один очень прозрачный иллюстративный пример.
Эффект длины Планка, который я рассматриваю здесь, шифруется следующим energymomentum (рассеяния) отношением
m2 0 E2 ; p2 + ; p2 E2E2p, (22.1)
где Ep обозначает снова длину Планка, и ; - феноменологический параметр. Это - хороший выбор, потому что убеждает читателя, что я имею дело с эффектом введенный действительно в длине Планка в этом случае легко. Это фактически хорошо известно (см., например, Касательно [4]), что этот тип E;2 p исправления к отношению рассеяния может следовать из дискретизации пространства-времени на решетке с E;1 p интервала  решетки
Если такое измененное отношение рассеяния - партия структуры где правила сохранение энергетического импульса - неизменное, легко находит [5; 6; 7; 8] существенные значения для спектра космического луча. Фактически, “срез GZK”, ключа ожидаемые свойства спектра космического луча, по существу даны порогом энергии для протонов космического луча, чтобы поставить пионы в столкновениях с фотонами CMBR. В оценке пороговой энергии для p +;CMBR ; p +; термин исправления ; p2E2/E2 p (22.1) может быть очень существенным. Принимая во внимание, что классическо-пространственно-временное предсказание для среза,  отрез-конец GZK - приблизительно 5.1019 eV в тех энергиях шкалы Планка
2 Идея твердого описания решетки пространства-времени не действительно один из самых усовершенствованных для Квантовой Силы тяжести исследования, но это соображение не важно для задания один: чтобы запустить эту феноменологию мы сначала должен установить, что чувствительность, которую мы имеем, достаточна для эффектов столь же небольших как как правило полученое из представления
структуры в длине Планка. Малость эффекта в (22.1) является ясно представительной для типа из величины, которую Квантовые эффекты Силы тяжести, как ожидают, будут иметь, и факт, что она может также быть получена из решетки с E;1 p интервал подтверждает это очко. Это на более позднем этапе развития этой феноменологии, очень вне задания один, что мы должны стать заинтересованными тестированием “вероятных Квантовых моделей Силы тяжести” (независимо от того, что это означает). Тем не менее это примечательно что, как обсуждено в некоторых деталях в Разделе 22.3, некоторые современные Квантовые идеи Исследования силы тяжести, такие как тот пространственно-временной некоммутативности, кажется, дают начало того же самого типа эффекта, и фактически в некоторых случаях каждый ведется к рассмотрению эффектов, подобных (22.1), но с  более слабым (и поэтому более тестируемым) исправлением длины Планка, идя как E;1 p, а не E;2p.
430 Соль. Amelino-Camelia
исправление к порогу поворачивает [5; 6; 7; 8] быть порядка ;E4 / (E2p), где типичная энергия CMBR-фотона. Для положительных значений ;, даже несколько меньшая smaller3 чем 1, это количество к заметно большому сдвигу порога энергия, которая должна легко видеться (или исключена) однажды соответствующей порцией спектра космического луча, становится более известной с обсерваториями, такими как Пьер Аугер Обсерватория.
Конечно, тот же самый эффект присутствует и является еще более существенным если, вместо
E;2p исправления если, каждый вводит в отношении рассеяния исправление E;1 p тип.
22.1.3 Касающееся задание два
Задание один поселено. Параметры, такие как тот предложены в предыдущем подразделе
ясно показывают, что эта феноменология имеет право на существование. Мы действительно имеем, по крайней мере, шанс (возможно, тонкий, но это не очко здесь) видеть эффекты длины Планка, и если мы когда-либо будем видеть один такой эффект, то это будет замечательно. Но феноменология должна также быть ценной, когда она не находит эффекты, она ищет, устанавливая пределы на (и в некоторых случаях исключающие) соответствующие теории. Докажите нам что Квантовая феноменология Силы тяжести может править теории длины Планка?
Конечно (также видят позже) феноменология будет основана на некоторых “испытательных теориях” и параметры испытательных теорий будут все более и более ограничиваться как данные
становятся доступными. Но вне уровня испытательных теорий есть истинный разыскиваемый уровень  "теорий", модели, которые просто не введены (как имеет место испытательных теорий),
как язык, используемый в отображении продвижения экспериментальных пределов на некоторых
эффектах, а скорее модели, которые первоначально мотивируются некоторыми идеями для
раствора, решения Квантовой проблемы Силы тяжести. И чтобы сфальсифицировать такую теорию мы требуем доказать экспериментально отсутствие эффекта, который был строго установленный, чтобы быть необходимым следствием теории. Но теории, используемые в Квантовом исследовании Силы тяжести настолько сложно, что мы можем редко действительно устанавливать что
данный эффект обязательно присутствует в теории. То, что обычно происходит, то, что мы
находим некоторую “теоретическую реальность” для эффекта в данной Квантовой теории Силы тяжести и затем мы делаем феноменологию того эффекта, используя некоторые испытательные теории. Ссылка от теории до эффекта слишком слаба, чтобы использоваться наоборот: мы обычно не в состоянии  сказать что отсутствие эффекта действительно количество к исключению теории.
Думайте, например, квантовой силы тяжести петли. Из-за “классического предела
проблемы” в настоящее время каждый действительно никогда не в состоянии использовать ту теорию обеспечить определенное предсказание для эффекта, который будет разыскан экспериментаторами. И для теории струн ситуация могла бы быть хуже, по крайней мере в том смысле, что нельзя было бы даже быть в состоянии надеяться на лучшие вещи для будущего: в настоящее время это не прозрачно ли строка
3, Конечно, Квантовая интуиция Силы тяжести для ; - ; ; 1.
Квантовая феноменология Силы тяжести 431
теория в принципе в состоянии сделать любые определенные предсказания, так как формализм
столь гибкий, столь способный к высказыванию чего-либо, что этого почитают, это будет количество в основном  высказать ничего.
Обычно в физике требование, чтобы теория быть falsifiable была, конечно, первое и самое важное требование, но это - также обычно не жесткое: любое разумное, однако наивное, понятие теории должно дать начало falsifiable теории. Две известных причины отказа для фальсифицируемости - нехватка логической надежности (таким образом, в основном теория кандидата не была теорией в конце концов, начиная с предмета введенной математики не объединялась, чтобы поставить логически последовательную повсюду структура), или присутствия неограниченной гибкости, то есть сценария почитают за строку теории. Конечно, теория, которая в принципе является falsifiable, но представляет нас с фактически непреодолимыми вычислительными испытаниями (который мог бы иметь место петли квантовой силы тяжести, если удовлетворительное описание классического предела не становится доступно), в наших целях не falsifiable.
Так относительно задания два ситуация не выглядит очень здоровой, но проблема находится на стороне теории, не стороне феноменологии. Если они дают нам определенные предсказания мы сделаем наше лучшее, чтобы соблюдать их, уничтожая их теории (которые я все еще думаю, должны быть самым здоровым отношением, которое будет принято, делая феноменологию работы). Теперь, для большинства модных теорий, никакая такая честь не может быть данной.
Если действительно, по крайней мере пока, мы не можем сфальсифицировать квантовую силу тяжести петли и теорию струн, мы можем, по крайней мере, сфальсифицировать некоторую другую теорию, используемую в Квантовом исследовании Силы тяжести? Я полагаю, что для Квантовой феноменологии Силы тяжести чрезвычайно важно найти один такой пример. Если мы действительно находим первый пример затем, мы можем законно надеяться на то, что фальсифицируемость все большего количества теорий будет постепенно достигаться. И из-за значения я даю этому объективу, в которое я инвестировал большое усилие исследование одного из формализма, используемого в Квантовом исследовании Силы тяжести, что из  ;-Minkowski некоммутативного пространства-времени. Я не обязательно "одобряю" этот формализм, но у меня есть интуиция, что это должен быть falsifiable. Эта интуиция должна, однако, все еще найдите полную поддержку в анализе. Логическая консистенция теорий в ;-Minkowski все еще не был действительно показана, по крайней мере не к желаемому уровню физиками, и мы теперь неспособны сделать много вычислений в этой структуре,
которая может быть проявлением серьезного непреодолимого испытания для вычисления; но в настоящее время все еще законно надеяться (по моему мнению довольно разумно ожидать), что мы скоро будем в состоянии сделать эти вычисления. Там есть, много лет, результаты на ;-Minkowski, обеспечивающем слабые звенья (обычные слабые звенья от теории до эффектов в Квантовом исследовании Силы тяжести) к эффектам таким как искаженные отношения рассеяния, искаженные правила энергетического сохранения импульса, и искаженные преобразования стимула. Некоторые из этих ссылок постепенно становились несколько более здравы. Я ожидаю, что продвижение в этом направлении ускорит благодаря
432 Соль. Amelino-Camelia
 факту, что мы теперь знаем [9] что (подходящая адаптация) теорема Noether применима к теориям в этом некоммутативном пространстве-времени.
22.1.4 Neutrinos и задание три
С заданием один завершался и некоторые многообещающие частичные результаты относительно задания два, у нас, конечно, есть достаточная поддержка, чтобы начать с фактическим развитием испытательных теории и поиск подходящих наблюдательных/экспериментальных окружений. Действительно это делалось в течение нескольких лет теперь с большим освящением несколькими исследованиями группы во всем мире. Теперь доступная литература указывает на то, кроме того упомянутая возможность космического луча, возможности видеть некоторую передачу
эффектов длины Планка кандидата (и возможно однажды фальсифицируют теории) найдены в
несколько других окружениях, включая исследование гамма-лучей [10; 11; 12], исследования
системы нейтрального каона [13; 14], и в современной интерферометрии [15; 16; 17]. Для
всех этих возможностей там - в этом очке довольно большая литература, таким образом, я не делаю
потребность подчеркнуть их значение здесь. Я действительно нахожу, что это приспосабливает, однако, чтобы потратить немного слов на “новом входе”: планированные обсерватории нейтрино, такие как КУБИК ЛЬДА ICECUBE, вероятно, будут очень ценны. Это было уже робко предложено в некоторых более ранних статьях [18; 19; 20] и должно теперь получить некоторый импульс в свете  анализа доложено репортером в Касательно [21] (также см. Refs. [22; 23]), который предлагает определенное и очевидно выполнимую программу исследований.
Ключевой причиной для интереса в этих изучениях нейтрино, является возможность использования их в сочетании с гамма-лучом учитениях, чтобы искать реальность зависимости вращения  пути, которым предугаданы квантовые свойства пространственно-временной частицы аффекта распространения. И, даже принятие, что нет такой зависимости вращения (так, чтобы
гамма-лучи и neutrinos могли служить точно тем же самым целям), neutrinos могли бы
хорошо быть нашим лучшим оружием для исследования определенных эффектов кандидата. Это то, потому что это фактически легче обнаружить высокоэнергетические neutrinos (в или выше 1014 eV), а не низкоэнергетические, тогда как ожидается что высокоэнергетические гамма-лучи (запускающийся в энергии некоторых ТЕВ), будет поглощены мягкими фотонами в космическом фоне. Таким образом, neutrinos эффективно расширит энергетическую амплитуду, доступную для определенных классов
исследования, и энергия - очевидно, ключевой фактор для чувствительности Квантовой Силы тяжести исследования феноменологии.
22.2 Касающиеся Квантовых эффектов Силы тяжести и состояние
из Квантовых теорий Силы тяжести
До сих пор я только создал случай для права на существование Квантовой Силы тяжести
феноменологии. Я действительно упоминал некоторые соблюдения/эксперименты, которые могут использоваться в этой феноменологии, но не обсуждая подробно тип эффектов, что один
Квантовая феноменология Силы тяжести 433
мог искать. Фактически не настолько очевидно, как идентифицировать кандидата Квантума
Эффектов силы тяжести. Аналогичные ситуации в других областях физики обычно таковы что
есть несколько новых теорий, которые начали завоевывать наше доверие успешно описывая некоторые иначе необъясненные данные, и затем часто мы позволяем тем теориям вести нас к новым эффектам, которые должны быть разысканы. Теории мы имеем для Квантовой Силы тяжести, несмотря на всю их истинную замечательную математическую красоту, и их необыкновенный вклад в исследование концептуальных сторон Квантовой проблемы Силы тяжести, еще не может требовать никакого успеха в экспериментальной сфере. Кроме того, даже если мы хотели  использовать их как руководство для экспериментов сложность этих теорий, оказывается, forbidable преграда. Что мы можем сделать с этими теориями (и мы должны быть контентом с этим, так как у нас нет многих
альтернатив), должен смотреть на их общую структуру и использовать это в качестве источника интуиции для предложения нескольких эффектов кандидата.
Подобный тип пути к идентификации некоторого кандидата Квантума Эффектов силы тяжести - одно основанное на анализе общей структуры Кванта Проблема силы тяжести непосредственно. Это, оказывается, имеет место что, смотря на тип теперь оставшиеся без ответа вопросы, которые Квантовая Сила тяжести разыскивает, один автоматически ведет, чтобы рассмотреть несколько эффектов кандидата.
Конечно, эти идеи предлагают от нашего восприятия структуры Квантовая проблема Силы тяжести и от нашего анализа общей структуры некоторые предложенные Квантовой теории Силы тяжести, могли перевернуться, были полностью прочь оценки, но все еще имеет смысл исследовать эти идеи.
22.2.1 Отклонения длины Планка от классического пространства-времени symmetries
От общей структуры Квантовой проблемы Силы тяжести, который ясно обеспечивает, по крайней мере, некоторую поддержку рассмотрению discretized (или иначе "квантуемый"), пространственно-временные модели, один находит поддержку для того, чтобы рассмотреть отклонения от классическое пространство-время symmetries. Рассмотрите, например, предел Минковского, один описанный классическим пространством-временем Минковского в текущих теориях. Там дуальность непосредственное отношение между классическим пространством-временем Минковского и классической (Лие-) алгебры симметрии Poincar;. Преобразования Poincar;
гладкой произвольной величины классические преобразования и это довольно очевидно что
они должны быть подвергнуты исследованию [24], если классическое описание пространства-времени замененно quantized/discretized один.
Одна возможность, которую, конечно, рассмотрели подробно, является тем некоторым нарушающей симметрию механизмом, затрагивающим симметрию Poincar;/Lorentz. Альтернатива, которую я защищал несколько лет назад [25; 26], та “пространства-времени квантование”, которое искажает, но не нарушает некоторого классического пространства-времени symmetries.
434 Соль. Amelino-Camelia
22.2.2 Отклонения длины Планка от симметрии CPT
Возможно, самая понятная реальность эффекта длины Планка была бы нарушением
из симметрии CPT. Симметрия CPT фактически защищена теоремой в нашем потоке (Minkowski-предел) теории, главным образом в результате местоположения и симметрии Poincar;. Факт, что структура Квантовой проблемы Силы тяжести приглашает нас рассматривать пространственно-временные модели с некоторым элементом неместоположения и/или отклонений от симметрии Poincar; ясно открывает удобный момент для нарушений длины Планка CPT симметрии.
22.2.3 Нечеткость расстояния и пространственно-временная пена
Факт, что структура Квантовой проблемы Силы тяжести предполагает что классическое
описание пространства-времени должно уступить неклассическому в масштабах порядка
длины Планка использованному экстенсивно в качестве источника вдохновения относительно
надлежащего выбора формализма для решения Квантовой проблемы Силы тяжести, но в течение долгого времени (десятилетия) это не вдохновило идеи, важные для феноменологии. Описание, которое прибывало ближе в физическую интуицию для эффектов, вызванных пространственно-временным неизучением античного мира - “пространственно-временная пена Уилера”, которая однако не делает количество к четкости (по крайней мере, не научная/действующая четкость). Несколько лет
назад я предложил физическую/действующую четкость (по крайней мере один аспект) пространство-времени нечеткости/пена, которая делает прямую ссылку на интерферометрию. Согласно этому
четкость, нечеткость/пенистость пространства-времени установлена на основе анализа шума растяжения в осанке интерферометров в том пространстве-времени. В достижении их замечательной точности современные интерферометры должны иметь дело с несколькими classicalphysics
источниками помех растяжения (например, тепловые и сейсмические эффекты вызывающие колебания в относительные позиции испытательных масс). И, значительно, источники помех растяжения связанные с эффектами из-за обычной Квантовой механики являются также существенными для современных интерферометров (объединенная минимизация фотона стреляла в шум и шум давления излучения приводит к источнику помех, который происходит из обычной
Квантовой механики). Действующая четкость нечеткого/пенистого пространства-времени, которой я
защитник характеризует соответствующие Квантовые эффекты Силы тяжести как дополнительный
источник шума растяжения. Теория, в которой понятие расстояния существенно нечеткая в этом действующем смысле было бы таково что считывание интерферометра все еще было бы шумным (из-за Квантовых эффектов Силы тяжести) даже в идеализированном пределе том, в котором вся классическая физика и источники помех обычной квантовой механики полностью устранены.
22.2.4 Decoherence
Для подходов к Квантовой проблеме Силы тяжести, которые принимают что, в слиянии
с Общей теорией относительности Квантовая механика должна пересмотреть один из наиболее
Квантовая феноменология Силы тяжести 435
популярных эффектов - decoherence. Это может также мотивироваться, используя эвристические
параметры, базируемые, главным образом, на квантовой теории поля в кривых пространственно-временных моделях, которые предлагают, чтобы черные дыры изошли тепло с ассоциированной “информационного поражения проблемой”.
22.2.5 Отклонения длины Планка от принципа эквивалентности
Различные взгляды на Квантовую проблему Силы тяжести, кажется, предлагают отправление
от одного или другого (более сильного или более слабого) формы принципа эквивалентности.
Поскольку краткость позволяла мне только суммировать здесь мой привилегированный параметр, который базируется на соблюдении, что местоположение - ключевой ингредиент существующей рецептуры принципа эквивалентности. Фактически, принцип эквивалентности убеждает что (для
тех же самых начальных условий), две частицы очка пошли бы на то же самое, геодезическое независимо от их массы. Но это хорошо установленное, что это не применимо к расширенным телам, и по-видимому также не применимый к “делокализованным частицам очка” (укажите частицы, позиция которых затронута неуправляемой неуверенностью). Если пространственно-временная структура - такой, чтобы вызвать непреодолимый предел на локализации частицы, она казалась бы бекаром,натуральным, чтобы ожидать некоторые отклонения от эквивалентности принципа.
22.2.6 Суперстроковая теория критического измерения
Самая популярная реализация теории струн, с усыновлением суперсимметрии и выбор разогрева "критического" числа пространственно-временных размеров, имеет учитывая очень существенный вклад в концептуальные аспекты дебатов по Квантовая Сила тяжести, возможно наиболее особенно факт, что, действительно благодаря исследованию в области теории струн, мы теперь знаем, что Квантовая Сила тяжести могла бы хорошо быть perturbatively теорией renormalizable (тогда как это, как когда-то думали, было невозможно). Но для предсказания физической теории струн эффектов не доказало (все же?), чтобы быть богатым. В злости всей примечательной математической структуры, которая необходима для анализа  теории струн с более широкой точки зрения это - подход что конструкцией предполагает, что раствор, решение к Квантовой проблеме Силы тяжести должен вызвать  скорее ограниченное количество рекламного сувенира. В частности теория струн все еще введена в классическое пространство-время Минковского и это - все еще по-настоящему механическая-квантум теория. Ни один из эффектов возможно из-за пространственно-временного квантования не поэтому обязательно ожидаемо и все эффекты отправления- от- квантовой- механики, как эффекты decoherence, также не ожидаются.
Но с другой стороны, как упомянуто, теория струн, переворачивается,  удивительно гибкий формализм и, поэтому, в то время как можно структурировать вещи в такой способ, которым не происходит ничто интересно новое, можно также формировать
436 Соль. Amelino-Camelia
формализм таким способом как, чтобы иметь некоторые поразительные новые эффекты, 4 и эффекты что подгонка в пределах некоторых интуиций относительно Квантовой проблемы Силы тяжести. В особенности есть известный замысел наличия нарушений принципа эквивалентности [27],
и обеспечивая вакуумное ожидание оценивают за соответствующий антисимметрический тензор
можно вызвать [28] отклонения от симметрии Poincar; (вместе с появлением эффективной пространственно-временной некоммутативности).
22.2.7 Квантовая сила тяжести петли
Единственный другой подход с вкладами в концептуальные дебаты по Кванту Проблема силы тяжести значения, сопоставимого с теми теории струн подход - квантовая сила тяжести петли. В частности это благодаря работе над квантом петли сила тяжести, что мы теперь знаем, что Квантовая Сила тяжести могла бы полностью сохранить постоянство diffeomorphism Общей теории относительности (тогда как об этом когда-то думали быть невозможным). Но квантовая сила тяжести петли, выделяясь в концептуальной сцене, имеет ее элементы, имеющие степень трудности в обеспечении предсказаний к phenomenologists. В то время как теория струн может быть воспринята как разочаровывающе гибкая, можно было бы, возможно, сказать это на данной стадии квантовой силы тяжести петли развития, кажется, не имеет даже необходимого номера, чтобы вывести это вниз к приземленной сцене исправлений к Общей теории относительности и исправлениям к Стандартной Модели физики элементарных частиц. В результате очень обсужденной “проблемы классического предела”, в некотором смысле петли квантовая сила тяжести обеспечивает описание кандидата всего, но не обеспечивает явное описание чего-либо. Можно попытаться, однако (и несколько группы действительно попытались сделать это), чтобы вывести из общей структуры теории некоторые идеи для эффектов квантовой силы тяжести петли кандидата. В частности несколько исследований [12; 29] утверждали что тип дискретизации пространства-времени observables, обычно приписываемые квантовой силе тяжести петли, мог быть ответственным за Отклонения длины Планка от симметрии Lorentz. Эта гипотеза также находит поддержку [30] в легкой из роли очевидно играла некоммутативной геометрией в описании определенных аспектов теории.
Конечно, пока “проблема классического предела” не решена, реальность отклонения от симметрии Lorentz в (пределе Минковского [31] из) кванта петли силы тяжести нужно считать слабой, и любая попытка дать конкретную рецептуру из этих эффектов должна будет положиться однажды или другой на эвристике. Это остается очень ценное упражнение для Квантовой феноменологии Силы тяжести, так как это дает нам идеи об эффектах, которые стоит искать, но ясно в настоящее время phenomenologists не дают шанса фальсификации квантовой силы тяжести петли.
4 Одна из самых примечательных возможностей - та “больших дополнительных размеров”. Это дает начало особенной
торговой марки Квантовой феноменологии Силы тяжести, которой не управляет длиной Планка. В этой главе я предназначаю
сосредоточиться на эффектах длины Планка.
Квантовая феноменология Силы тяжести 437
С точки зрения феноменологии есть больше чем Lorentz-симметрия вытекающая под ставкой в “проблеме классического предела”: не маловероятно, что это структурирует релевантный
для симметрии CPT и принципа эквивалентности также присутствуют, и петли квантовой силы тяжести могла быть естественным окружением где физическая интуиция для пространства-времени пены могла быть развита.
22.2.8 Подходы, основанные на некоммутативной геометрии
Некоммутативные пространственно-временные модели до сих пор рассматривали, имеют возможности рассмотреть в определенных аспектах Квантовой проблемы Силы тяжести (тогда как теория струн и квантовая сила тяжести петли пытается обеспечить полный раствор, решение). Возможно, справедливо сказать то, что старшие значащие результаты появились в попытках описать Минковского предел [31] из Квантовой Силы тяжести. Можно было бы сказать, что эти исследования смотрят на одну половину из Квантовой проблемы Силы тяжести, пространственно-временных- квантум аспектов. Из-за двойной роли поля тяготения, которое до некоторой степени является точно так же как другое поле данное в пространстве-времени, но также и управляет структурой пространства-времени, в Квантовой Силе тяжести исследовании один конец заканчивает рассмотрение двух типов квантования: своего рода квантование из гравитационных взаимодействий и своего рода квантования пространства-времени структуры. В настоящее время можно было бы сказать что только в пределах квантовой силы тяжести петли подход - мы истинно исследующий оба аспекта проблемы. Теория струн, как долго как это сформулировано в классическом (фоновом) пространстве-времени, фокусируется в некотором смысле на квантовании гравитационного взаимодействия, и дает возможному "квантованию" постоять из пространства-времени 5 И перемены верны для господствующего исследования в области пространства-времени некоммутативности, которая обеспечивает способ квантовать пространство-время, но, по крайней мере для этой ранней стадии развития, не обеспечивает описание гравитационных взаимодействий.
Анализы некоммутативных деформаций пространства-времени Минковского проводят некоторую интуицию для того, что могло быть судьбой (Minkowski-limit/Poincar;) symmetries в длине Планка. И также ценный для развития Кванта Феноменологии силы тяжести - факт что в некоторых случаях, такие как ;-Minkowski некоммутативное пространство-время, разумно надеяться, что эти исследования скоро будут обеспечивать истинно falsifiable предсказания.
К сожалению, пространственно-временная нечеткость, которая является первичным побуждением для большинства исследователей, чтобы рассмотреть некоммутативность, разочаровывающе остается только неопределенно характеризуемой в текущем исследовании в области некоммутативных пространственно-временных моделей; конечно, нет характеризуемой с точностью, необходимой для феноменологии.
5 Как в некоммутативной геометрии, каждый надеется однажды получить также квантование взаимодействия, вводя подходящие некоммутативные geometrodynamics, в подходах как теория струн можно надеяться что квантование поля взаимодействия может на усовершенствованных уровнях аналитического количества к пространственно-временному квантованию.
Некоторые результаты теории струн действительно ободряют эту надежду [32; 33; 34; 35; 36], но ситуация остается озадачивающей [37].
438 Соль. Amelino-Camelia
22.3 На состоянии различных областей Квантовой феноменологии Силы тяжести
22.3.1 Модификации длины Планка Poincar; symmetries
Наиболее развитая Квантовая область исследования феноменологии Силы тяжести - та
что рассматривает возможность отклонений длины Планка от симметрии Poincar;. Я хотел обрабатывать эту область исследования отдельно в посвященном разделе (Раздел 22.5).
22.3.2 Модификации длины Планка симметрии CPT и decoherence
Наиболее изученная возможность проверить симметрию CPT обеспечена нейтральным -каоном
и системы нейтральной- B [13; 14]. Каждый находит это в этих системах нейтрального мезона
отклонение длины- Планка от симметрии CPT могло в принципе быть усилено. В частности
система нейтрального- каона размещает странно небольшую разность масс между долговечными и недолгими каонами |ML;MS |/ML, S ; 7.10;15, и есть сценарии  длины- Планка нарушения CPT в литературе [13], в которой инверсия этого небольшого числа усиливает маленький (вызванной длины- Планка) эффект CPT-нарушения. Это в особенности происходит в наиболее изученном сценарии для нарушений длины Планка симметрии CPT в системе нейтрального каона, в которой эффекты длины Планка вызывают различие между условиями на диагонали K0, K 0 массовой матрицы. Аналогичный эффект присутствовал бы в системе нейтральной- B, но если длинs-Планка эффект для условий на диагонали - свободного художника импульса, момента лучшая чувствительность ожидается от исследований системы нейтрального- каона. Это, однако, не неправдоподобно [38] то, что эффекты длины Планка ввели бы исправление диагонали условия матрицы массы нейтрального- мезона, которая зависит от импульса частицы, и в этом случае, среди экспериментов, в настоящее время сделанных или планированных, лучшая чувствительность была бы получена с системой нейтральной B.
22.3.3 Нечеткость расстояния и пространственно-временная пена
Феноменология нечеткости расстояния развивается, главным образом, в двух направлениях: интерферометрия и соблюдения внегалактических источников.
В интерферометрии дебаты [15; 16; 17] вовлекают множество феноменологических
моделей и другие точки зрения на то, что является правильной интуицией, что может
орудием, подлежащим. Возможно, лучше здесь только дать самое простое соблюдение, которое может
обеспечить поддержку для этих исследований. Как подчеркнуто в Подразделе 22.2.3 в интерферометрии это — бекар, натуральное чтобы искать вклады длины Планка в шум растяжения.
И это примечательно, что напряженный, искаженный шум — бекар, натуральный описанный с точки зрения функции  частоты ; (;) (инструмент для спектрального анализа), который переносит размеры Hz;1. Если нужно было сделать наивную размерную оценку эффектов длины Планка, каждый мог
просто положить ; ; /до, которая сначала могла бы казаться не слишком ободрительной начиная с того
Квантовая феноменология Силы тяжести 439
приводит к очень маленькой оценке ;: ; ; 10;44 Hz;1. Однако, современные интерферометры
достигают истинной замечательной чувствительности, управляемой их основным объективом
из просмотра классических гравитационных волн, и уровней ; столь же маленького, как 10;44 Hz;1 в пределах их досягаемости.
Другая очень обсужденная возможность для того, чтобы ограничить модели пространственно-временной нечеткости обеспечена соблюдением внегалактических источников, таких как отдаленные квазары. По существу это обсуждено [39; 40], что, учитывая описание волны наблюдаемого легкого
из источника пространственно-временная нечеткость должна ввести неуверенность в волны
фазе, которая накапливает как волна идет, и для достаточно долгого распространения
времени этот эффект должны зашифровать фронта волны достаточно, чтобы предотвратить соблюдение из интерференционных цветных окаймлений контуров. Также в этом случае вероятные оценки предлагают то, что в злости малости эффектов длины Планка, благодаря усилению обеспеченной  долгими временами распространения необходимой чувствительностью могла бы скоро быть в пределах нашей досягаемости.
22.3.4 Decoherence
Развитие испытательных теорий для decoherence - конечно, стимулирующая площадь
 Квантовой феноменологии Силы тяжести, так как испытательные теории должны пойти вне Квантум
Механики. Возможно, лучше, если здесь я ограничиваю меня постановкой читателей
к доступным освященным повторениям, такой как Касательно [41]. Позвольте мне только упомянуть что система нейтрального каона, с ее неустойчивым равновесием масштабов, помимо взятия центра
этапа в феноменологии отклонений длины Планка от симметрии CPT также рассмотрена [13; 41], чтобы быть нашей лучшей возможностью для лабораторных исследований вызванный длиной Планка decoherence.
22.3.5 Отклонения длины Планка от принципа эквивалентности
Как упомянуто, Квантовая проблема Силы тяжести также обеспечивает побуждение, чтобы рассмотреть отклонения от принципа эквивалентности, и в некоторых подходах (в частности в теории струн) некоторые структуры, подходящие для того, чтобы описать отклонения от принципа эквивалентности, найдены. Феноменология очень богата и многими путями прекрасно подходит вне определенных интересов Квантового исследования Силы тяжести: принцип эквивалентности продолжает помещаться под осторожным наблюдением особенно из-за его центральной роли в Общей теории относительности. Внимательные читатели могли рассмотреть как очки входа в соответствующей литературе полное повторение в Касательно [42] и, более специально для отклонений от принципа эквивалентности в пределах строки подхода теории, Касательно [27].
440 Соль. Amelino-Camelia
22.4 В стороне на вдвойне специальной относительности: DSR как видящийся
феноменологистом
В приготовлении к следующему разделу, который сосредотачивается на феноменологии
Отклонения длины Планка от симметрии Poincar;, я считаю полезным обеспечить здесь короткую, но отдельная вводная часть к “вдвойне специальной относительности” (DSR). Это сценарий, который я предложил только несколько лет назад [25; 26], но уже скорее экстенсивно проанализированный как альтернатива стандартному сценарию длины Планка эффекты, которые нарушают Lorentz (/Poincar;) симметрию. В результате этого интереса, в этом очке там - многочисленные попытки в литературе, чтобы рассмотреть исследование DSR, таким образом, один мог бы думать, что этот раздел мог быть ненужным. Однако, DSR становится отличающимися вещами различным авторам, и различия являются довольно существенными для “взгляда phenomenologist на Квантовую Силу тяжести”, которой я здесь делаю попытку обеспечить. Предложение DSR, которое первоначально обеспечило сценарий физики для Длины Планка, теперь часто идентифицируется с определенной (скорее неопределенно определенной) математической структурой, переворачивается ли эта математическая структура, совместимой с принципами DSR.
Этот недавний математический винт литературы DSR может хорошо однажды назревать
в мощный инструмент для Квантового исследования Силы тяжести, возможно оба в концептуальном
уровне и для того, какая феноменология проблем, но в настоящее время это, конечно, бесполезно
для феноменологии (и даже концептуальная сторона только на ранней стадии развития). Вместо этого для диссертации, защищенной в этой главе мое оригинальное предложение DSR довольно ценно, так как это обеспечивает недожаренный пример идеи физики, которая сильна достаточно сделать определенные falsifiable предсказания (даже без любого познания правильного формализма, который должен осуществить это!). Это подчеркнуто в особенности в части следующего раздела, посвященного стабильности фотона.
22.4.1 Побуждение
Я вводил вдвойне специальный сценарий относительности как своего рода альтернативную перспективу на результатах во время отклонений длины Планка от симметрии Lorentz, которая была
сообщенна в многочисленных вещах [5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 29] между 1997 и 2000. Эти исследования защищали модификацию длины Планка energymomentum отношение рассеяния, обычно формы E2 = p2 + m2 + ;Lnp p2En +O (Ln+1p En+3), на основе предварительных результатов в анализе нескольких формализмов в использовании для физики длины Планка. Сложность формализма — такое , что очень немного еще было известно об их физических следствиях, но реальности из модификации рассеяния отношение становились здравыми. Во всем из соответствующих статьей предполагалось что такие модификации отношения рассеяния были бы количеством к распаду симметрии Lorentz, с ассоциированным появлением 
Квантовая феноменология Силы тяжести 441
привилегированного класса инерционных наблюдателей (обычно идентифицируемый с естественным наблюдателем космического микроволнового фонового излучения).
Я был заинтригован поразительной аналогией между этими событиями и событиями
которые привели к появлению Специальной Относительности более чем столетие назад. В Относительности Galilei нет никакого независимого от наблюдателя масштаба, и фактически
отношение энергетического импульса написано как Ми = p2 / (2 m). Как экспериментальные данные
в пользу уравнений Максвелла, запущенны, чтобы вырасти, факт, что те уравнения вовлекают
фундаментальный скоростной масштаб, казалось, потребовал вводной части привилегированного
класса инерционных наблюдателей. Но в конце мы выясняли это, ситуация была не требуя вводную часть привилегированного фрейма, а скорее модификацию правила преобразования между инерционными наблюдателями. Специальная Относительность Эйнштейна вводившая первый независимый от наблюдателя релятивистский масштаб (скоростной масштаб c), отношения рассеяния принимает форму E2 = c2 p2+c4m2 (в котором до играет важную роль для чего проблемы размерный анализ), и присутствие до в уравнениях Максвелла как теперь понимают, как проявление необходимости искажает Galilei преобразования.
Я спорил в Refs. [25; 26], что не неправдоподобно, что мы могли бы быть теперь
столкнуты с аналогичным сценарием. Исследование в Квантовой Силе тяжести все более и более
обеспечивает причины интереса в модификациях длины Планка рассеяния отношения, упомянутого выше типа и, в то время как это было общепринято, чтобы принять что это было бы количество к вводной части привилегированного класса инерционных фреймов ( “Квантовый эфир Силы тяжести”), надлежащее описание этих новых структур могло бы потребовать все снова и снова модификации правил преобразования между инерционными наблюдателями. Новые правила преобразования должны были бы быть характеризованы двумя масштабами (до и долгоиграющая пластинка), а не отделльный один (c) обычной Специальной Относительности.
22.4.2 Определение сценария DSR
“Историческое побуждение”, описанное выше, приводит к сценарию для длины Планка
физики, которая свойственно не оборудована математическим формализмом для выполнения, но все еще довольно четко определено. С вдвойне специальной относительностью один ищет для связующей, переноса в постулатах Относительности, которые должны быть в значительной степени аналогичными к Galilei ; связующая, преноса части Эйнштейна. Так же, как это, перевернулось, быть необходимо, в порядке описать частицы богатой- скорости, дать Относительности Galilei отстоять (с ее нехваткой из любого характерного инвариантного масштаба) и замена его со Специальной Относительностью (характеризуемой инвариантным скоростным c масштабом ), по крайней мере, вероятно то, чтобы  описать ультравысокоэнергетические частицы, нам, возможно, придется дать Специальной Относительности отстоять и замените ее новой теорией относительности, DSR, двумя характерными инварианта масштабами, новый small-length/large-momentum масштаба в дополнение к знакомому скоростному масштабу.
442 Соль. Amelino-Camelia
Теория будет совместима с принципами DSR, если будет полная эквивалентность
 инерционных наблюдателей (Принцип Относительности) и правила преобразования между инерционными наблюдателями характеризуются двумя масштабами, масштабом богатой скорости
и масштабом высокой- энергии/короткого- отрезка. С тех пор в DSR каждый предлагает изменить
высокоэнергетический сектор, безопасно предположить что существующая действующая характеристика  скорости была бы консервирована до масштаба: до и должна остаться скоростью
невесомых низкоэнергетических частиц 6 Только экспериментальные данные могли вести нас к
действующему описанию второго инвариантного масштаба ;, хотя его размер естественно
предполагаемый, чтобы быть где-нибудь по соседству  продолжительности Планка  .
В результате “исторического окружения”, описанного в предыдущем подразделе
большинство авторов исследовало возможность что второй релятивистский инвариант будет
введенный через модификации отношения рассеяния. Это — разумный выбор, но было бы неправильно в настоящее время идентифицировать (как часто делается в литературе),
предложение DSR с предложением независимых от наблюдателя модификаций  отношения рассеяния. Например, отношение рассеяния не могло бы быть изменено но мог бы вместо этого быть наблюдатель-независимой модификации привязка  по точности достижимой в измерении расстояний.
В поиске первого примера формализма, совместимого с принципами DSR большая работа была посвящена исследованию ;-Minkowski. Там хороши причины для этого [25; 26; 31], но еще раз было бы неправильно идентифицировать Идею DSR с ;-Minkowski. Конечно, мы можем однажды наткнуться на совсем другой формализм, который совместим с принципами DSR. И даже в пределах
исследование в области ;-Minkowski, это должно быть замечено, что та же самая математика может быть используемой, чтобы получить изображения, которые очень ясно нарушают принципы DSR. Например, некоторые авторы вводят теории в ;-Minkowski в пути, который приводит к правилу
 сохранения энергетического импульса, основанного на наивной замене обычного суммирования правления с правлением суммы "побочного продукта", но этим количества [25; 26; 31]  ломать
(вместо того, чтобы исказить) Poincar; symmetries.
22.5 Больше на феноменологии отклонений от симметрии Poincar;
В этом разделе я комментирую некоторые аспекты недавней феноменологии работающие по отклонениям от симметрии Poincar;, главным образом как шифрующееся в модификациях
отношение рассеяния энергетического импульса. Я запущу выделением, напряженинем которое изменило то же самое отношение рассеяния, может быть введено в совсем других испытательных теориях, ведя к абсолютно различным физическим предсказаниям. Но я также утверждаю что для большинства
6 Примечательно, однако, изменение перспективы вложено идеей DSR: в пределах Специальной Относительности до - скорость
из всех невесомых частиц, но Специальная Относительность должен быть воспринята как низкоэнергетическая теория (как рассматривающаяся от Перспективы DSR) и во взятии Специальной Относительности как начальная точка для высокоэнергетической деформации каждый только связанный с сохранением до как скорость невесомых низкоэнергетических частиц.
Квантовая феноменология Силы тяжести 443
путей, которыми измененное отношение рассеяния могло проявиться, мы действительно имеем в
наименьшем количестве некоторую надежду на экспериментальное исследование.
22.5.1 На испытательных теориях с измененным отношением рассеяния
Большинство (см., например, Refs. [5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 29]) исследований относительно
модификаций длины Планка отношения рассеяния принимают феноменологический
состав
m2 0 E2 ; p2 + ; p2EnEnp+ OEn+3En+1QG, (22.2)
с реальным ; (предполагаемый быть порядка | ; | ; 1) и целое число n.
Есть в этом очке очень крупная литература по ассоциированной феноменологии, но
я хочу подчеркнуть что фактически некоторые из различных феноменологических исследований что
сочинили эту литературу вводят этот тип отношения рассеяния в пределах различных испытательных теорий. Пределы, полученные в пределах различных испытательных теорий, конечно, не  будут сравненны. Та же самая параметризация отношения рассеяния, если введено в пределах различных испытательных теорий, фактически дает начало независимым наборам параметров.
Потенциальное богатство этой феноменологии, для того, что касается развития
из испытательных теорий, главным образом происходит из потребности определить, в дополнение к
форме отношения рассеяния, несколько других структурных свойств испытательной теории.
Необходимо заявить, является ли теория все еще "гамильтоновой" в смысле , что скорость вдоль оси X получена из коммутатора с гамильтонианом (v ; [x, H]) и либо варенье коммутатора Heisenberg его норма форма ([x, p] ;). Это второе беспокойство является существенным начиная с некоторых из эвристических параметров, которые используются, чтобы побудить присутствие измененного отношения рассеяния в длине Планка также предлагают, чтобы коммутатор Heisenberg был соответственно измененный.
Затем испытательная теория должна сформулировать правило сохранения энергетического импульса. Например, некоторые типы пространственно-временной некоммутативности, которая способствовала чтобы интересовать измененными отношениями рассеяния появляются такими, чтобы потребовать сопровождения модификации правила сохранения энергетического импульса. И в частности ссылка между модификацией отношения рассеяния и связанной модификацией
из правила энергетического импульса сохранение требуется принципами DSR (см. ниже).
И нужно сохранить ясно отдельным испытательные теории, которые намереваются описать
только kinematics и те, которые также принимают замысел движущих сил длины Планка.
Например, в квантовой силе тяжести петли и некоторых некоммутативных пространственно-временных моделях, которые если побуждение для того, чтобы рассмотреть модификации отношения рассеяния, в то время как
444 Соль. Amelino-Camelia
мы могли бы быть близко к наличию правильного изображения kinematics, кажется, что мы
все еще далекий от понимания исправлений длины Планка к движущим силам 7
В другом месте [43] я попытался предложить горстку испытательных теорий, которые могли обеспечить первый уровень языка, который обработает эту сложность. Здесь я буду контентом с
выступления как, в различных феноменологических исследованиях, основанных на измененном рассеянии отношения, каждый заканчивает допущение создания об упомянутых выше очках.
22.5.2 Стабильность фотона
Это было недавно понято (см., например, Refs. [44; 45; 46]) это, когда симметрия Lorentz
сломана в длине Планка наверняка могут быть существенные значения процессы распада. На качественном уровне наиболее значащий  сувенир был бы возможностью для невесомых частиц, чтобы распасться. Давайте рассматривать, например, фотон распад в пару электронного позитрона: ; ; e+e ;. И давайте проанализируем этот процесс использования отношения рассеяния (22.1), для n = 1, с неизмененным правилом сохранения энергетического импульса. Каждый легко находит отношение между энергией E; поступающего фотона, открывающийся угол ; между исходящей электрон — позитрон парой , и энергетическая Ми + исходящего позитрона, которая, для области
из фазового пространства со мной E; Ep, принимает форму потому что (;) = (+ B)/A, с
A = Ми + (E; ;E +) и Си = m2e ; ;E; Ми + (E; ;E +)/Ep (меня обозначает, конечно,
электронную массу). Факт, что для ; = 0 это потребовало бы,  (;)> 1 отражает
факт, что, если симметрия Lorentz консервирована, процесс ; ; e+e ; кинематическим образом
запрещенный. Для ; <0 процесс все еще всегда запрещается, но для положительного ; и
E; (m2e Ep / |; |) 1/3 каждый находит что  (;) <1 в определенной соответствующей области фазового пространства.
Энергетический масштаб (m2e Ep), 1/3 ; 1013 eV не слишком богат для астрофизики. Факт, что определенные наблюдения в астрофизике позволяют нам устанавливать что фотоны энергии до ;, 1014 eV весьма устойчивы (по крайней мере, не заметно непостоянны) могли использоваться [44; 46], чтобы установить ценные пределы для ;.
Это - вполне поразительный результат, о котором однако нужно сообщить с осторожностью:
это не стратегия установить прямые пределы для параметров отношения рассеяния, так как анализ очень явно требует, чтобы мы определили также форму правила сохранения энергетического импульса. Испытательные теории, которые могут использовать этот феноменологический
анализ должен сформулировать, по крайней мере, и отношение рассеяния и правило сохранения энергетического импульса.
Изменяя форму правила сохранения энергетического импульса, для неподвижной формы отношения рассеяния, можно действительно получить совсем другие результаты. Это
7 На квантовой стороне силы тяжести петли это соединено еще раз с “классической проблемой предела”, в то время как для соответствующего некоммутативного пространства-времени беспокойство происходит из отказов поставить последовательные теории кванта материальных полей в тех пространственно-временных моделях.
Квантовая феноменология Силы тяжести 445
лучше всего иллюстрировано, рассматривая возможность что такое отношение рассеяния будет
введенно в пределах структуры DSR. Прежде всего давайте давать обзор что любая теория
совместима с принципом DSR будет иметь устойчивые невесомые частицы, так, что поиском невесомой частицы распада, можно было сфальсифицировать идею DSR. thresholdenergy
требование для распада невесомой частицы (такого как E; (m2eEp / |; |) 1/3 упомянутое выше), не может, конечно, быть введен как независимое от наблюдателя правило, и является поэтому несовместимым с принципами DSR.
Анализ стабильности невесомых частиц, который совместим с DSR принципами могут быть получены, объединяя модификацию отношения рассеяния с ассоциированной модификацией правил сохранения энергетического импульса. Форма нового правила сохранения энергетического импульса может быть получена из требования того, чтобы быть совместимым и с принципами DSR и с
модификацией отношения рассеяния [25; 26], и в особенности для ; b+c случая, что я полагаю, что каждый прибывает в E; 0 Ми + + Ми ; ; ; p+ · p ;, p; 0 p + + p ; ; ;E + p ; ; ;E ; p +. Используя их вместо обычного сохранения energymomentum каждый заканчивает результатом для  (;), который имеет все еще форму (A+B)/A но теперь с = 2E + (E; ; Ми +) + ;E; Ми + (E; ; Ми +) и Си = 2m2e. Очевидно этот состав всегда дает, потому что (;)> 1, последовательно с фактом, что ; ; e+e ;
запрещенный в DSR.
22.5.3 Пороговые аномалии
Другая возможность исследовать отклонения длины Планка от симметрии Lorentz
обеспечена определенными типами энергетических порогов для процессов постановки частицы
что релевантно в астрофизике. Это - очень мощный инструмент для Квантовой Силы тяжести
феноменологии, и фактически в начале этой главы я выбрал оценку из пороговой энергии для p + ;CMBR ; p + ; как ключевой пример.
Многочисленные Квантовые статьи Феноменологии силы тяжести (см., например, Refs. [5; 6; 7; 8]) были посвящены исследованию измененных длиной Планка порогов, таким образом, внимательные читатели могут найти изобилие связанных материалов. Я должен подчеркнуть здесь что, с целью очка я пытаюсь передать в этом разделе, исследование порога аномалии не отличается от исследования стабильности невесомых частиц: еще раз в случае, в котором измененное отношение рассеяния объединено с неизмененным правилом сохранения энергетического- импульса , находит поразительный эффект.
Но размер этого эффекта может измениться значительно, если Вы также позволяете модификацию из правила сохранения энергетического импульса.
22.5.4 Исследования времени- путешествия
Зависимость длины волны скорости фотонов получена из измененного отношения рассеяния, если Вы предполагаете, что скорость все еще описана v = dE/dp.
446 Соль. Amelino-Camelia
Поскольку отношение рассеяния здесь полагало, что каждый находит это в “промежуточных энергиях” (м. <Ми Ep), скоростное правило примет форму
v 0 1 ; m22E2+ ;n + 12EnEnp. (22.3)
На основе этой Формулы одно бы найдено что два одновременно испускаемых фотона
должны достигнуть детектора в разное время, если они переносят различную энергию. И
этот эффект "различие во времени прибытия" может быть существенный [10; 11] в анализе
взрывов гамма-луча короткой продолжительности, которые достигают нас от космологических расстояний. Для гамма-луч разрыва, весьма распространено, что время поехало прежде, чем достигнуть нашего Земных детекторов быть порядка T ; 1017 s. Микровзрывы в пределах взрыва могут иметь очень короткую продолжительность, столь же короткая как 10;3 s, и это означает, что фотоны, которые сочиняют такой микровзрыв все испускается в то же самое время до неуверенности в 10;3 s. У некоторых из фотонов в этих взрывах есть энергии, которые простираются, по крайней мере, до амплитуды ГэВ, и для двух фотонов с разностью энергий порядка Ми ; 1 ГэВ
разность оборотов E/Ep за время путешествия 1017 s привела бы к различию во времена прибытия порядка t ; T Ми Ep ; 10;2 s, который является существенным (timeof- различия в прибытии были бы больше чем различия времени эмиссии в пределах микровзрыва).
Это -хорошо установленно что чувствительность, достижимая [47; 48] со следующим поколением из телескопов гамма-луча, таких как GLAST [47; 48], могла позволить нам проверять
очень значительно (22.3) в случае n = 1, возможно продвигая предел на | ; | далеко ниже 1. И, в то время как, вероятно, вне досягаемости астрофизики фотона, для случая n = 2 астрономии нейтрино может привести к ценной способности проникновения в суть [21; 22].
Отметим, однако, что в некоторых испытательных теориях может быть неправильно объединиться пределы, полученные таким образом с пределами, полученными из пороговых исследований обсужденных выше этими двумя различными способами. Как подчеркнуто выше пороговые исследования потребуют испытательной теории с определенными формами правила энергетического импульса сохранения, тогда как правило сохранения энергетического импульса не релевантно для исследований времени- путешествия. С другой стороны испытательная теория, используя у исследований времени- путешествия, в принятии v = dE/dp, должна быть стандартная форма  коммутатора Heisenberg (так, чтобы x ; ; / ;p) и назначают стандартную роль на
гамильтониан (так, чтобы v ; [x, H]).
22.5.5 Излучение синхротрона
Как наблюдающийся недавно в Касательно [49], в механизме, который приводит к постановке
из излучения синхротрона ключевая роль играется специально-релятивистской скорости правилом v = dE/dp 0 1 ; m2 / (2E2). И интересное соблюдение получено рассмотрением скоростного правила (22.3) для случая n = 1. Предположение, что все другой аспекты анализа излучения синхротрона остаются неизмененными в Планка
Квантовая феноменология Силы тяжести 447
масштабе, каждый ведет [49] к заключению что, if; <0, зависимость энергии/длины волны
из термина длины Планка в (22.3) может затронуть значение энергии среза для излучения синхротрона. Это порождает из факта это согласно (22.3), для n = 1 и ; <0, у электрона не может быть скорости, которая превышает значение vmaxми0 1 ; (3/2) (| ; | me/Ep) 2/3, тогда как в Специальной Относительности ve может взять значения произвольно близко к 1. Это может использоваться, чтобы утверждать это для негатива ; энергия среза для синхротрона излучения должно быть ниже, чем, кажется, предложен определенным наблюдением туманности Краба [49].
В использовании этого поразительного соблюдения, однако, важно дать обзор этого
излучения синхротрона - результат ускорения соответствующих электронов и поэтому движущие силы играют неявную роль в происхождении результата [43]. От перспективы полевой теории процесс эмиссии излучения синхротрона описан с точки зрения рассеивания Комптона электронов с виртуальными фотонами магнитного поля, подтверждая потребность включать описание некоторых аспектов движущих сил и сохранения энергетического импульса (для вершин в Comptonscattering
анализе).
22.6 Заключительные замечания
Факт, что Квантовая феноменология Силы тяжести, по крайней мере, стоит пробовать, в
этом очке скорее широко поклонялось, и, мы надеемся, эта глава способствует далее распространению познания. Но к сожалению некоторые неправильные представления о Квантовой феноменологии Силы тяжести все еще удивительно распространены. В частности это часто заявляемо, что чувствительность, достижимая в Квантовой феноменологии Силы тяжести неизбежно не лучше, чем те необходимые для эффектов подавили только линейно продолжительность Планка, но это игнорирует немного случаев в который квадратичный Planck-длины чувствительность в пределах досягаемости. Я надеюсь что вклад в удаление этого неправильного представления
дан акцентом, который я сделал на анализе процесса p + ;CMBR ; p +; с точки зрения космического луча, с его ассоциированным квадратичным Planck-длины чувствительности. И Раздел 22.2 мог действовать как противоядие для другого распространенного заблуждения: Квантовая феноменология Силы тяжести часто идентифицируется с исследованием отклонения длины Планка от симметрии Lorentz, которая игнорирует многочисленные другого типа эффекты длины Планка кандидата, которые исследует эта феноменология.
Так как мы сильно установили некоторую чувствительность длины Планка и мы даже
имеем ободрительное продвижение к фальсифицируемости некоторых теорий длины Планка, это
теперь рассчитайте, чтобы волноваться о принятии правильной методологии. Мы можем прекратить волноваться о доказательстве законности наших усилий, и вместо этого мы должны начать волновать о дирижировании этими усилиями в правильной манере. Как подчеркнуто в Разделе 22.4, усыновление и правильное использование некоторых хорошо сделанных на заказ испытательных теорий должны быть очень ценными в этом отношении.
448 Соль. Amelino-Camelia
Ссылки
[1] Дж. Стэчель, Ранняя история квантовой силы тяжести, в Черных дырах, Гравитационном Излучении
и Вселенная, B.R. Iyer, Б. Бхоэл, редакторы (Нидерланды, Академический Kluwer
Издатель, 1999).
[2] Соль. Amelino-Camelia, мы в рассвет феноменологии квантовой силы тяжести?,
Lect. Физика примечаний 541 (2000) 1-49, gr-qc/9910089.
[3] Соль. Amelino-Camelia, феноменология Квантовой силы тяжести: состояние и перспективы,
Модник. Латыш Физики. A17 (2002) 899, gr-qc/0204051.
[4] G. ‘t Hooft, Квантование частиц очка в (2+1) мерная сила тяжести и
пространственно-временная отдельность, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 13 (1996) 1023-1039.
[5] Т. Кифьюн, нарушение Постоянства расширяет космический горизонт луча?, Astrophys. Дж. Летт.
518 (1999) L21, astro-ph/9904164.
[6] Р. Алоизио, П. Блази, P.L. Ghia и A.F. Grillo, Исследуя структуру пространства-времени
с космическими лучами, Преподобный Физики Д62 (2000) 053010, astro-ph/0001258.
[7] Р. Дж. Празэо и Х. Мейер, инфракрасный фон кризис гамма-луча ТЕВА?,
Латыш Физики. B493 (2000) 1, astro-ph/0005349.
[8] Соль. Amelino-Camelia и Т. Пирэн, Преподобный Физики Д64 (2001) 036005,
astro-ph/0008107.
[9] A. Agostini, Соль. Amelino-Camelia, М. Арсано, А. Марсиано и Р. А. Такки,
Обобщение теоремы Noether для пространства-времени Hopf-алгебры symmetries (2006),
hep-th/0607221.
[10] Соль. Amelino-Camelia, Дж. Эллис, Н. Э. Мэвромэтос и D. V. Nanopoulos, Расстояние
измерение и рассеяние волны в Liouville представляют подход в виде строки к квантовой силе тяжести,
Интервал. Дж. Мод. Физика. A12 (1997) 607-623, hep-th/9605211.
[11] Соль. Amelino-Camelia, Дж. Эллис, Н. Э. Мэвромэтос, D. V. Nanopoulos и С. Саркэр,
Тесты квантовой силы тяжести от соблюдений ; - взрывы луча, Природа 393 (1998)
763-765, astro-ph/9712103.
[12] Р. Гамбини и Дж. Паллин, Нестандартная оптика от квантового пространства-времени, Преподобного Физики.
D59 (1999) 124021, gr-qc/9809038.
[13] Дж. Эллис, Дж. С. Хэджелин, D. V. Nanopoulos и М. Средники, Поиск нарушений
квантовая механика. Nucl. Си Физики 241 (1984) 381-405.
[14] П. ***т и М. Э. Пескин, Нарушение CPT и квантовой механики в K0 ; K 0
система, Nucl. Си Физики 434 (1995) 3-38.
[15] Соль. Amelino-Camelia, интерферометры Гравитационной волны как детекторы квантовой силы тяжести,
Природа 398 (1999) 216, gr-qc/9808029.
[16] Соль. Amelino-Camelia, Природа 410 (2001) 1065, gr-qc/0104086.
[17] Нанограмм И. Дж. и Х. ван Дам, Измеряя пенистость пространства-времени с гравитационной волной
интерферометры, Найденные. Физика 30 (2000) 795, gr-qc/9906003.
[18] Дж. Эллис, Н. Э. Мэвромэтос, D. V. Nanopoulos и Г. Волков, Генерал. Рэл. Grav. 32
(2000) 1777-1798.
[19] С. Чуби и король С. Ф., Гамма-луч разрывается как исследования мессы нейтрино, кванта
сила тяжести и темная энергия, Преподобный Физики Д67 (2003) 073005.
[20] Соль. Amelino-Camelia, Интервал. Дж. Мод. Физика. D12 (2003) 1633-1640.
[21] У. Иаков и Т. Пирэн, Физика Природы 3 (2007) 87.
[22] Соль. Amelino-Camelia, физика Astroparticle: Neutrinos и квантовое пространство-время,
Физика природы 3 (2007) 81.
[23] Член конгресса Гонсалес-Гарсия и Ф. Хэлзен, Гамма-луч разрывал neutrinos исследование кванта
сила тяжести, hep-ph/0611359.
[24] Соль. Amelino-Camelia, gr-qc/0205125; gr-qc/0309054.
Квантовая феноменология Силы тяжести 449
[25] Соль. Amelino-Camelia, Относительность в пространственно-временных моделях со структурой короткого расстояния
управляемый наблюдателем-свободным художником (Planckian) шкала расстояний, Интервал. Дж. Мод. Физика.
D 11 (2002) 35-60, gr-qc/0012051.
[26] Соль. Amelino-Camelia, Тестируемый сценарий для относительности с минимальной продолжительностью,
Латыш Физики. Си 510 (2001) 255-263, hep-th/0012238.
[27] Т. Дэмур, Ф. Пиэзза и Г. Венесиано, Нарушения принципа эквивалентности в a
сценарий беглеца dilaton, Преподобный Физики Д66 (2002) 046007, hep-th/0205111.
[28] Н. Р. Дуглас и Н. А. Некрасов: преподобный Мод. Физика 73 (2001) 977.
[29] Дж. Алфаро, морали-Tecotl Х. А. и Л. Ф. Уррутия, Квантовые исправления Силы тяжести к
распространение нейтрино, Преподобный Физики Летт. 84 (2000) 2318-2321, gr-qc/9909079.
[30] Соль. Amelino-Camelia, Л. Смолин и А. Стародубцев, Класс. Квант Grav. 21
(2004) 3095, hep-th/0306134.
[31] Соль. Amelino-Camelia, Интервал. Дж. Мод. Физика. D14 (2005) 2167, gr-qc/0506117.
[32] Соль. Veneziano, Europhys. Латыш. 2 (1986) 199.
[33] Общее количество Д. Дж. и П. Ф. Менд, Nucl. Физика. B303 (1988) 407.
[34] Д. Амати, М. Чафалони и Г. Венесиано, латыш Физики. B216 (1989) 41.
[35] K. Konishi, Г. Паффути и П. Проверо, латыш Физики. B234 (1990) 276.
[36] Т. Йонея, Модник. Латыш Физики. A4 (1989) 1587.
[37] Ми. Виттен, Физика. Сегодня 49 (1996) 24.
[38] Соль. Amelino-Camelia и Ф. Букселла, Проверяя каппу-Poincar; с нейтральными каонами,
Модник. Латыш Физики. A15 (2000) 2119, hep-ph/0001305.
[39] Р. Лиу и горец Л. В., Астрофис. J. 585 (2003) L77.
[40] В. А. Кристиэнсен, И. Джек Нг и Х. ван Дам, Исследуя пространственно-временную пену с
внегалактические источники, Преподобный Физики Летт. 96 (2006) 051301, gr-qc/0508121.
[41] Н. Э. Мэвромэтос и С. Саркэр, Исследуя модели кванта decoherence в
физика элементарных частиц и космология, hep-ph/0612193.
[42] М. П. Хогэн и К. Ламмерцаль, Принципы эквивалентности: их роль в тяготении
физика и эксперименты, которые проверяют их, Lect. Физика примечаний 562 (2001) 195,
gr-qc/0103067.
[43] Соль. Amelino-Camelia, Феноменология длины Планка тест симметрии Lorentz
теории, Новый Дж. Фис 6 (2004) 188, gr-qc/0212002.
[44] Т. Джэйкобсон, С. Либерати и Д. Мэттингли, ограничения астрофизики ТЕВА на Планка
масштабируйте нарушение Lorentz, Преподобный Физики Д66 (2002) 081302, hep-ph/0112207.
[45] Соль. Amelino-Camelia, латыш Физики. Си 528 (2002) 181-187, gr-qc/0107086.
[46] Т. Дж. Конопка и мажор С. А.: Новый Дж. Фис 4 (2002) 57.
[47] Дж. П. Норрис, Дж. Т. Боннелл, Г. Ф. Марани и Дж. Д. Скаргл, GLAST, GRBs и
Квантовая Сила тяжести, astro-ph/9912136.
[48] А. де Анджелис, astro-ph/0009271.
[49] Т. Джэйкобсон, С. Либерати и Д. Мэттингли, сильное астрофизическое ограничение на
нарушение специальной относительности, arXiv.org/abs/, Природа 424 (2003) 1019-1021,
astro-ph/0212190v2.
23
Квантовая Сила тяжести и тесты точности
C. БЮРГЕР
23.1 Вводная часть
Любой из нас, который использовал Систему глобального позиционирования (GPS) в одном из устройств из повседневной жизни также положился на точность предсказаний Эйнштейна
теория силы тяжести, Общая теория относительности (GR). Системы GPS точно обеспечивают Вашу
позицию относительно спутников расположенных тысячи километров от Земли, и их способность сделать так требует возможности понять измерения позиции и время к лучше чем 1 партия в 1010. Такая точность сопоставима с предсказанными релятивистскими эффектами для таких измерений в поле тяготения Земли, которые имеют порядка ;/R;c2 ; 10;10, где Соль - константа Ньютона, М. ; и R ; масса Земли и значения радиус, и до - скорость света. GR также преуспевает при сравнении с другими точными измерениями в пределах солнечной системы, также как в некоторых экстра-солнечных настройках [1].
Таким образом, мы живем в возрасте, когда инженеры должны знать об Общей теории относительности в порядке понять, почему некоторые их инструменты работают так точно. И все же мы также часто сказанный есть кризис в выверении GR с квантовой механикой, с размером квантовых эффектов, которые, как сказали, были бесконечны (или - что является тем же самым - чтобы быть
непредсказуемы) для стремящихся систем. Но начиная с соглашения о точности с экспериментом
подразумевает соглашение и в пределах теоретических и в пределах наблюдательных ошибок, и с тех пор невычислимые квантовые исправления попадают в широкую категорию (большой) теоретической
ошибки, как может неуправляемые квантовые ошибки быть совместимым с фантастическим
успехом классического GR как описание точности силы тяжести?
Эта глава стремится объяснять, как эта проблема решена, показывая почему квантовые эффекты фактически измеримы в пределах GR, по крайней мере для систем, которые являются
достаточно слабо кривы (в некотором смысле объясненно количественно ниже). Пока все из
существующих измерений исполнено в пределах таких слабо кривых обстановок,
квантовые исправления им могут быть вычислены и предсказаны, чтобы быть фантастически
маленьки. В этом смысле мы количественно понимаем почему классическое приближение
к GR работает так хорошо в пределах солнечной системы, и итак, почему в практических ситуациях
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 451
квантовые исправления к силе тяжести не должны быть включены как неуправляемая партия
бюджет полной теоретической ошибки.
Более точно вера, что квантовые эффекты являются бесчисленными в пределах GR, воскресает потому что GR - то, что называют non-renormalizable теорией. Non-renormalizability означает, что расхождения короткой длины волны - которые являются вездесущи в пределах квантовой теории поля - не может быть поглощен в четкости конечного числа параметров (как массы и расходы), как они находятся в renormalizable теории как Квант Electrodynamics (КЭД) или Стандартная Модель (СМ) сильных и electroweak взаимодействий. Хотя это действительно устраняет делать квант предсказания произвольной точности, это не устраняет делать предсказания к
любому конечному порядку в соответствующем низкоэнергетическом расширении, и это - то, что позволяет predictivity, на который полагается точное сравнение с экспериментом. Фактически сила тяжести нисколько не является особенным в этом отношении, как мы знаем о других non-renormalizable теориях которые описывают природу - такую как chiral теория волнения, которая описывает низкоэнергетические взаимодействия пионов и каонов, или теории Ферми слабого
взаимодействия, или большое разнообразие моделей конденсированного вещества. Во многих из них другие системные квантовые исправления не только вычислимы, они могут быть измерены, с
результатами, которые соглашаются замечательно хорошо с наблюдениями.
Одна вещь, которой эта глава не предназначена, чтобы сделать, состоит в том, чтобы утверждать, что глупо думать о проблемах Квантовой Силы тяжести, или что нет никакого интересного основного тона сохранения проблем, которые обратятся (такой так многие из описанных в другом месте в этих страницах). То, что предназначено, должно вместо этого идентифицировать более точно где они больше основных проблем становится важными (на очень коротких расстояниях), и почему они безнадежно не оскверняют подробное сравнение GR с наблюдениями. Мое представление здесь следует за представлением моего более длительного повторения касательно [2], в котором параметры, данные здесь, обеспечены более подробно.
23.2 Non-renormalizability и низкоэнергетическое приближение
Начиная с воспринятых элементов, имеющие степень трудности с вычислением квантовых исправлений в гравитационном слабом поле перекручиваются вокруг проблемы вычисления с non-renormalizable теориями, первый шаг должен описать современную точку зрения относительно того, как это должно быть сделанным. Удобно сделать столь сначала с более простой игрушечной моделью перед возвращением к GR во всей его сложной славе.
23.2.1 Игрушечная модель
Считайте поэтому теорию сложного скалярного поля, ;, описанной Лагранжевой плотности
L = ;;;;;; ;; ; V (;;;\), (23.1)
452 К. Берджесса
со следующим скалярным потенциалом
V = ;24 ;;; ; v2! 2. (23.2)
Эта теория - renormalizable, таким образом, мы можем вычислить его квантовые значения в некоторых
деталь.
Так как мы возвращаемся к этому ниже, это стоит уточнить кратко критерий для renormalizability. С этой целью мы следуем за общепринятой практикой и определяем 'разработку'
измерения сцепления как p, где сцепление написано как (масса) p в модули, где = до = 1 (которые используются повсюду).1 Например сцепление ;2, который предварительно умножается (; ; ;\), 2 выше является безразмерным в этих модулях, и так имеет p = 0, в то время как сцепление ;2v2 предварительно умножающаяся ; ;У ; есть p = 2.
Теория - renormalizable если p ; 0 для всех его сцеплений, и если для любого данного
измерение все возможные сцепления было включено совместимое с symmetries из теории. Оба из них - ясно истина для функции Лагранжа eqs. (23.1) и (23.2), так как все возможные условия написаны последовательно с p ; 0 и U (1) симметрия ; ; ei;;.
23.2.1.1 Спектр и рассеивание
Мы затем анализируем спектр и взаимодействия, в пределах полуклассического приближения
который применяется в пределе ; 1. В этом случае поле берет отличное от нуля значение ожидания,; = v, в вакууме. Спектр частицы об этом вакууме состоит из двух слабо взаимодействующих типов частицы, один из которых - ;0 - невесомый и другой - ;m - имеет массовый м. = ;v. Эти частицы взаимодействуют друг друга через потенциал взаимодействия формы
V = 1 2  m;m + ; 2 ; 2  ;2m + ;2 02, (23.3)
как может видеться при письме ; = v + (;m + i;0) /;2. Например, эти взаимодействия
подразумевают следующую инвариантную амплитуду рассеивания для процесса рассеивания
;0 (p) ;0 (q) ; ;0 (p) ;0 (q):A = ; 3;22+;m ;22 1(p + q) 2 + m2 ; i+ 1(p ; p) 2 + m2 ; i+ 1
(p ; q) 2 + m2 ; i. (23.4)
У этой амплитуды есть интересное свойство в пределе что центр массы посыпая энергию, Ми, намного меньше чем масса м. Как может быть исследовано
1 неявно в этом проведении темы, что соответствующие поля канонически нормализованы, и являются безразмерными - также
кинетические условия.
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 453
расширением в силах внешних четырех импульсов, в этом пределе O (;2) и O (;2E2/m2) называет, оба исчезают, оставляя результат = O (;2E4/m4). Ясно невесомые частицы взаимодействуют более слабо, чем ожидалось бы данное поверхностный осмотр скалярного потенциала, eq. (23.3).
Слабость рассеивания ;0 частиц в низкой энергии — следствие из того, что они были Nambu-авантюриновыми бозонами [3; 4; 5; 6; 7] для симметрии теории U (1): ;\; ei;;. Это может видеться более явно, заменяя к полярному координаты в полевом пространстве, ; = ; ei;, а не переменные ;0 и ;m. В условиях из ; и ; действие U (1) симметрия просто ; ;; + ;, и модель
Функция Лагранжа становится:
L =  ; ;2 ;;; ;;; ; ;24(;2 ; v2) 2, (23.5)
и полуклассические вычисления могут быть исполнены как прежде, расширяясь с точки зрения
канонически нормализованных колебаний: ; = v + ; ;m/;2 и ; = ; ;0/v;2, открывая
что ; ;m описывает массивную частицу, в то время как ; ;0 описывает невесомый. Поскольку
; ;0 появляется в Л, только явно дифференцировался (как он должен из-за симметрии; ;0 ; ; ;0 + ;v;2), его рассеивание подавлено силами Ми/м. в низких энергиях.
23.2.1.2 Низкоэнергетическая эффективная теория
Свойства, такие как это, которые воскресают (иногда неожиданно) когда observables
расширены в низких энергиях в силах Ми/м., исследуются наиболее легко, ‘объединяя ’ тяжелой частицей, чтобы создать эффективную полевую теорию, описывающую низкоэнергетические движущие силы одной только невесомой частицы. В один конец, чтобы сделать так в случае
под рассмотрением здесь должен был бы определить 'легкие' градусы свободы быть теми
режимами (в пространстве импульса) ; ;0, которые удовлетворяют p2 <2 (в Евклидовой подписи),
для некоторого среза, удовлетворяющего Ми м. Все другие режимы, по определению, 'тяжелые'. Обозначение тяжелых и легких режимов схематично h и", затем эффективная теория, управляющая легкими полями, может быть определена
expяd4x Лев ("),=Горячекатаный expяd4x Л (", h), (23.6)
где функциональный интеграл исполнен по всем тяжелым режимам (включая компоненты большого- импульса ; ;0).
Лев определил этот путь, обязательно зависит от   , но он делает так только способом
требуемым, чтобы иметь отмену с явными s, которые отрезают интегралы петли для функциональной интеграции по легким полям, ". Весь s должен отменить в observables, потому что только закладка, которую мы используем, чтобы организовать вычисление. Из-за этой отмены подробная форма регуляризации в значительной степени невещественна и может быть выбрана для удобства вычисления.
454 К. Берджесса
По этой причине фактически предпочтительно вместо этого определить Лева, использующего размерную регуляризацию, а не срез. Как это ни парадоксально это возможно даже при том, что один
сохраняет и короткометражный фильм - и режимы длинной длины волны легких полей в низкоэнергетической теории, размерностно упорядочивая, который, кажется, противоречит духу
какая низкоэнергетическая эффективная теория есть. Практически это возможно потому что различие
между упорядоченным срезом и размерностно упорядоченной низкоэнергетической теорией может самостоятельно параметризоваться соответствующим выбором для эффективных сцеплений
в пределах низкоэнергетической теории. Это - выбор, который мы сделаем ниже когда обсуждение квантовых эффектов в пределах эффективной теории.
С этой четкостью теперь вычислены физические observables в низких энергиях
исполняя оставшийся интеграл по траектории по легким градусам свободы только, нагруженной низкоэнергетической эффективной функцией Лагранжа: expяd4x Лев ("). Эффекты виртуальных вкладов тяжелых государств появляются в пределах этой низкоэнергетической теории
посредством вкладов новых эффективных взаимодействий. Когда относящаяся игрушечная модель к ведущему порядку в ; это приводит к следующему результату для Лева:
Лев = v2;;;; ; ;; + 14m2 (; ;; ; ;;) 2 ; 14m4 (; ;; ; ;;) 3 (23.7)
+ 14m4 (; ;; ; ;;) ;; ;; (;;; ; ;;)+ · · ·,
где эллипсисы в Л представляют условия, которые подавлены больше чем четырьмя обратными силами м. Обратные силы м., которые предварительно умножают все взаимодействия в этой функции Лагранжа следствие виртуального ; ;m обмены которой требуются, чтобы поставить их в пределах полной теории. Явные числовые факторы в каждом термине - экспонат ведущей теории волнения порядка, и получают исправления упорядочивают согласно порядку в ;. Вычисления рассеивания с 2 частицами, используя эту эффективную теорию дает результат, для которого низкоэнергетическое прекращение публикации или продажи книги силами Ми/м явны из-за производной формы взаимодействий.
Что интересно о функции Лагранжа, eq. (23.7), для текущих целей то, что последующие эффективные сцепления вовлекают последовательно больше сил 1/m2. В частности это препятствует им иметь неотрицательное техническое измерение и так делает эффективную теорию явно non-renormalizable. Если кто-то был чтобы вручить нам эту теорию, мы могли бы поэтому вскинуть наши руки и завершить что мы не можем прогнозирующим образом вычислить квантовые исправления. Однако, в этом случае мы знаем, что эта теория просто выражает низкоэнергетический предел полной теории, которая является renormalizable, и таким образом, для которого могут быть явно вычислены квантовые исправления. Почему эти исправления не могут также быть выражены, используя эффективную теорию?
Ответ - то, что они могут, и это - безусловно самый эффективный способ вычислить
эти исправления к observables в низкоэнергетическом пределе, где Ми м. Ключ к
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 455
вычислениям этих исправлений являются к систематически подвигу низкоэнергетическим расширением в силах Ми/м., которая лежит в основе использования действия, eq. (23.7) на первом месте.
23.2.2 Вычислительные петли
Чтобы исследовать квантовые эффекты рассматривают графики петли оценки, используя игрушечную модель эффективной функции Лагранжа, которую мы можем написать в общей форме
Лев = v2m2idуголовный розыскmdOid, (23.8)
где сумма по взаимодействиям, Oid, вовлекая i силы безразмерного поля ; и d производных. Сила м. предварительного умножения каждого термина выбрана чтобы убедиться, что коэффициент уголовный розыск является безразмерным, и мы видели что они коэффициенты - O (1) в ведущем порядке в ;2. Быть абсолютно явным, в случае из взаимодействия O = (; ;; ; ;;) 2 у нас есть я = d = 4, и мы нашли ранее это c44 = 14 + O (;2) для этого термина. Отметим, что постоянство Lorentz требует, чтобы d был даже, и U (1) симметрия подразумевает, что каждый фактор ; дифференцирован, по крайней мере, однажды, и таким образом, d ; i. Мы можем проигнорировать все условия со мной = 1, так как они линейны в ; ;; и так должна быть полная производная 2 Кроме того, единственный термин со мной = 2 кинетический термин, который мы берем как невозмутимая функция Лагранжа, и таким образом, для взаимодействия мы можем ограничить сумму мной ; 3.
С этой четкостью это прямо, чтобы отследить силы v и м что взаимодействия формы (23.8) способствуют Л вкладу петли в рассеивания амплитуду, (E), в энергии центра массы E. (Шаги, представленные здесь тесно следуйте за обсуждением refs. [2; 7].) Предполагают использовать эту функцию Лагранжа, чтобы вычислить вклад в посыпающую амплитуду, (E), прибывающий от графика Feynman вовлечет Ми внешние строки; я внутренние строки и вершины Vik. (Приписка i здесь
считает число строк, которые сходятся в вершине, в то время как k счета сила из импульса, который появляется.) Эти константы не все свободные художники, независимые так как они связаны идентичностью 2I + Ми = ik i Vik. Также удобно торговать число внутренних строк, меня, для числа петель, Л, определенный Л = 1 + я ;ik Vik.
Мы теперь используем размерный анализ, чтобы оценить результат исполнения интеграции
по внутренним импульсам, используя размерную регуляризацию, чтобы отрегулировать ультрафиолетовые расхождения. Если все внешние импульсы и энергии имеют порядок Ми затем
размер размерностно упорядоченного интеграла дан на размерных основах соответствующей силы Ми, мы находим
2 Условия как полные производные, которые не способствуют observables интереса, называют избыточными и могут быть опущены при письме эффективной функции Лагранжа.
456 К. Берджесса
(E) ; v2m21vМи м.4;v2LМИм.P; v2E21vМИ МИ4;v2Lяd> 2МИм.(d;2) Vid, (23.9)
где P = 2+2L +
id (d ;2) Vid. Это - основной результат, так как он показывает которые графики способствуют любому порядку в Ми/м., используя nonrenormalizable теорию 3
Видеть как eqs. (23.9) используются, рассматривают первые немного сил Ми в игрушки модели. Для любой Ми ведущие вклады для маленькой Ми прибывают от графиков дерева, то есть те, которые имеют Л = 0. Графики дерева, которые доминируют, являются теми для которого
id (d;2) Vid берет самое маленькое значение. Например, для рассеивания с 2 частицами E = 4 и таким образом, точно один график дерева возможен для которого id (d;2) Vid = 2,
соответствие V44 = 1 и весь другой Vid = 0. Это идентифицирует одиночный граф
который доминирует над функцией с 4 очками в низких энергиях, и показывает что окончание
ведущая энергетическая зависимость в этом случае (E) ; E4 / (v2 m2), как было также
найденно ранее в полной теории. Числовой коэффициент может быть получен в условиях
из эффективных сцеплений более явной оценкой соответствующего Feynman графа.
Поведение рядом с продвижением также легко вычислено, используя те же самые параметры.
Вклады порядка E6 достигнуты если и только если также: (i) Л = 1 и Vi4 = 1, со всем нолем других; или (ii) Л = 0 и я4Vi6 + 2Vi4= 4. С тех пор нет никаких d = 2 взаимодействий, графы никакой-петли, имеющие 4 внешних строки, может быть созданное использование точно одна d = 4 вершина и так только графы дерева могут способствовать. Из этих,  только два выбора, позволенные Ми = 4 в порядке E6, являются поэтому выборами: V46 = 1, или V34 = 2. Оба из них вносят результат orderA (E) ; E6 / (v2 m4).
Помимо выступления, как использовать эффективную теорию вычислить к любому порядку в
Ми/м., eq. (23.9) также показывает домен приближения эффективной теории вычисления. Законность теории волнения в пределах эффективной теории полагается только на Ми успения 4;v и Ми м. В частности это не полагается на m/4;v отношения = ;/4; быть маленькими, даже при том, что есть фактор этого порядка появления для каждой петли. Этот фактор не считает петли в эффективной теории потому что это частично отменено другим фактором, Ми/м., которая также идет с
каждой петлей; ;/4; действительно считает петли в пределах полной теории, конечно. Это вычисление просто показывает, что small-; приближение только важно для предсказания
значения эффективных сцеплений, но не важны проблеме вычислений энергетики посыпающих амплитуд, давших эти сцепления.
3 Именно здесь удобство размерной регуляризации прозрачно, так как это избегает отслеживать силы срез как, который выпадает из окончательного ответа для заметного в любом случае.
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 457
23.2.3 Эффективная лагранжевая логика
Эти вычисления показывают, как вычислить прогнозирующим образом - включая петли — используя non-renormalizable эффективную теорию.
Шаг я Выбираю точность, желаемую в ответе (например, 1%-ая точность могла бы быть желаема).
Шаг II Определяет, сколько сил Ми/м. требуется, чтобы достигнуть желаемой точности.
Шаг III Использует вычисление как тот выше, чтобы идентифицировать, который эффективные сцепления в Лев может способствовать заметному  интересу к желаемому порядку в Ми/м. Это всегда требует только конечное число (скажите: N) условий в Леве с любой конечной точностью.
Есть две альтернативных версии четвертого и заключительного шага, в зависимости от
действительно ли основная микроскопическая теория - как ; теория в игрушки модели - известна.
Шаг IV-A, Если основная теория известна и измерима, то вычислите необходимые коэффициенты N потребовали эффективных взаимодействий с требуемой точностью.
Либо, используйте IV- Шаг.
IV- шаг, Если основная теория является неизвестной, или является слишком сложной позволить вычисление Лева, затем оставить требуемые коэффициенты N как бесплатные, свободные параметры. Процедура является однако прогнозирующей, если больше чем N observables могут быть идентифицированы чьи предсказания зависят только от этих параметров.
Эффективная функция Лагранжа, как таким образом видится, является прогнозирующей даже при том, что это не renormalizable в обычном смысле. Теории Renormalizable просто особый случай IV-си Шага, где каждый останавливается в порядке zeroeth в Ми/м., и — также те которые доминируют в пределе, что легкие и тяжелые масштабы очень широко разделенный. Фактически, это - то, почему renormalizable взаимодействия настолько важны когда описывают Природу.
Успех вышеупомянутого подхода известен во многих областях за пределами гравитационной физики, с non-renormalizability быть сигналом, что каждый видит виртуальные эффекты из-за своего рода более тяжелой физики. Исторически, одними из самых ранних известных примеров были non-renormalizable взаимодействия chiral волнения теории, которые описывают хорошо низкоэнергетическое рассеивание пионов, каонов и нуклеонов. Это примечательно, что этот успех требует включения исправлений петли в пределах этой эффективной теории. Более тяжелая физика в этом случае - физика ограничения  кварка и глюонов, из которых эти частицы созданы, и чьи сложные
движущие силы до сих пор устраняли вычислять эффективные сцепления от первых принципов. Эффективная теория работает, пока каждый ограничивает центр- массы энергий, меньше чем примерно 1 ГэВ.
Ферми (или V-A) теория слабых взаимодействий является подобным примером, который
описывает эффекты виртуального обмена W-бозона в энергиях значительно ниже массы W-бозона, МВТ = 80 ГэВ. Эта теория обеспечивает эффективное описание
458 К. Берджесса
низкоэнергетических экспериментов, с эффективным сцеплением, ГРАММ-СИЛА /;2 = g2/8M2W
который в этом случае измеримо с точки зрения мессы и сцепления, соль, бозона W.
В этом случае соглашение с точностью измерений снова требует включение петель в пределах эффективной теории.
23.3 Сила тяжести как эффективная теория
Учитывая предыдущее обсуждение игрушечной модели, пора возвратиться к реальному
представляющему интерес приложению для этой главы: Общая теория относительности. Цель состоит в том, чтобы быть в состоянии описать количественно квант обработки в GR, и быть в состоянии вычислить размер квантовых исправлений к классическим процессам, на которых тесты GR основаны.
Исторически, основное препятствие этой программе состояло в том, что GR не renormalizable,
как мог бы ожидаться данным что его сцепление, спаривание (Константа Ньютона), G = (8;M2p);1, имеет техническое измерение (масса) ;2 в модулях где = до = 1.Но мы видели, что non-renormalizable теории могут быть прогнозирующими в очень том же самом пути, как renormalizable, при условии, что они интерпретируются как являющиеся низкоэнергетическим пределом еще некоторой фундаментальной микроскопической теории. Для силы тяжести, эта больше микроскопическая теория пока еще неизвестна, хотя эти страницы содержат несколько предложений по тому, каково это могло бы быть. Счастливо, поскольку мы видели игрушечную модель, их эффективное использование в низких энергиях не требует познания что это микроскопическая теория могла бы быть. В этом разделе цель состоит в том, чтобы идентифицировать более тщательно что точная форма низкоэнергетической теории действительна для силы тяжести, так же как идентифицировать
какие масштабы, выше которых не должна быть применена эффективная теория.
23.3.1 Эффективные действия
Для GR энергосберегающие поля состоят из метрики непосредственно, g;;. Кроме того, с тех пор мы не знаем, какова основная, более микроскопическая теория, мы не можем надеяться
вычислить эффективную теорию от первооснов. Опыт с игрушечной моделью из предыдущего раздела вместо этого предлагает, чтобы мы создали самую общую эффективную Функцию Лагранжа, которая создана из метрики и организует ее в производную расширения, с условиями с наименьшим количеством производных, которые, как ожидают, будут доминировать в низких энергиях. Кроме того мы должны сохранить только те эффективные взаимодействия которые совместимы с symmetries проблемы, которую для силы тяжести мы можем взять быть общей ковариацией.
Эти соображения ведут нас ожидать что действие Эйнштейна-Хилберта GR как должны полагать, только один термин в расширении действия с точки зрения производные метрического тензора. Общая ковариация требует, чтобы это было написано в
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 459
условиях сил тензора кривизны и его ковариантных производных,
;Л ;eff;g= ; +M2p2R + a1 R;; R;; + a2 R2 + a3 R;;;; R;;;; + a4,-R
+ b1m2 R3 + b2m2 RR;; R;; + b3m2 R;; R;;R;; + · · · (23.10)
где R;;;; - тензор Риманна метрики, R;; = R;;;; - свой тензор Ricci, и R = g;; R;; является скаляром Ricci, каждый из которых вовлекает точно две производные  метрики.
Первый термин в eq. (23.10) космологическая константа, которой брошена что следует, так как соблюдения подразумевают, что ; является (по некоторым причинам) чрезвычайно маленьким.
Как только это сделано, ведущий термин в производном расширении - Эйнштейн - Действия Hilbert, у коэффициента которого, Mp ; 1018 ГэВ, есть размеры брусковой массы, чье значение определяет константу Ньютона. Это сопровождается согласованными- сабельности, кривизной-квадратичными  условиями, имеющими безразмерными эффективными сцеплениями, ай, и разрезанные- на кубики- сабельности условия с сцепления, спаривания обратно пропорционально массе, bi/m2, (не, все из которых написаны в eq. (23.10)). Хотя численное значение Mp известно, массовый масштаб м
появляющийся в разрезанном- на- кубики- сабельности (и выше) условиях не существует. Но так как это появляется в знаменателе это - самый низкий массовый масштаб, который был объединен который
как должны ожидать, будет доминировать. По этой причине м. вряд ли будет Mp, и единица
могла бы разумно использовать электронную массу, меня = 5 ; 10;4 ГэВ, или массы нейтрино,
m; >;10;11 ГэВ, рассматривая заявления по расстояниям, релевантным в астрофизике.
Опыт с игрушечной моделью показывает что не все взаимодействия в Функции Лагранжа (23.10) требуют вклад независимо (или вообще) к физическому observables. Например, для большинства приложений мы можем понизить полные производные (как,-R), так же как те условия, которые могут быть устранены, исполняя разумную полевую перечеткость , переопределение[2]. Пока  существование этих условий не затрагивает параметры о том, что будет сделанно, мы не потрудились идентифицировать и понижать эти условия явно здесь.
23.3.2 Подсчет силы
Изо всех условий в эффективных действиях только термин Эйнштейна-Хилберта знаком
из приложений классического GR. Хотя мы ожидаем наивно, что это должно доминировать в низких энергиях (так как это вовлекает наименьшее количество производных), мы теперь делаем это более точно, идентифицированием, в котором взаимодействия вкладывают к которому порядку в низкоэнергетическое расширение. Мы делаем так, рассматривая низкоэнергетическое рассеивание
слабых гравитационных волн о единообразном пространстве, и повторением подсчета- силы упражняя выполненное выше для игрушечной модели, чтобы отследить как отличающийся эффективный
460 К. Берджесса
сцепления, спаривания вклад. Таким образом мы можем видеть, как масштабы Mp и м. вступают
observables.
Чтобы исполнить этот подсчет силы, мы расширяем вышеупомянутое действие вокруг
плоского пространства, обменивая полную метрику на канонически нормализованное колебание: g;; =;;; +2h;;/Mp. Для текущих целей, что важно, то, что расширение тензора кривизны (и его сокращения Ricci) ставит условия, вовлекающие все возможные силы h;;, с каждым термином, вовлекающим точно две производные. Переход как прежде дает оценку для ведущей энергетической зависимости Л вклада петли к посыпающей, рассеивающей амплитуде, A, который вовлекает Ми внешние строки и Vid вершины, вовлекающие d производные и я присоединяет строки гравитона. (Основное различие от анализа предыдущего раздела- появление здесь взаимодействий вовлекая
две производные, прибывающие от термина Эйнштейна-Хилберта.)
Это приводит к оценке:
(E) ; m2M2p1MpМИ м.4;Mp2Lm2M2Z МИм.P(23.11)
где Z = id Vid и P = 2+2L + id (d ;2) Vid. Начало на обоих из них суммы указывает на упущение случая d = 2 от суммы по d. Группировка вместо условий, вовлекающие силы L и Vik, eq. (23.11) становится ОДИН (E) ; E2M2
p1MpМИ МИ4;Mp2Lяd> 2&E2M2pМИм.(d;4)'Vid. (23.12)
Дайте обзор, что никакие отрицательные силы Ми не появляются здесь, потому что d даже и из-за
условие d> 2 в результате.
Это последнее выражение - результат, который мы ищем, потому что это - то, что показывает, как сделать систематические квантовые предсказания для рассеивания гравитона. Это делает так, показывая что предсказания полной гравитационной эффективной функции Лагранжа (вовлекающий все силы из сабельности), могут быть организованы в силы E/Mp и Ми/м., и таким образом, мы можем надеяться сделать благоразумные предсказания при условии, что оба из этих двух количеств являются маленькими. Кроме того все исправления вовлекают силы (E/Mp) 2 и/или (Ми/м.) 2,
допущение, что они, как могут ожидать, будут чрезвычайно маленькими для любых приложений для
которых Ми м. Например, дайте обзор что даже если Ми/м. ; 1 затем (E/Mp) 2 ; 10;42
если м. взят, чтобы быть электронной массой. (Отметим что факторы большего параметра
Ми/м. не воскресает, пока разрезанные на кубики сабельностью взаимодействия не важны, и это сначала происходит в подведущем порядке в E/Mp.)
Кроме того это показывает подробно, чему мы были в любом случае склонны верить: что
классическая Общая теория относительности управляет доминантовыми низкоэнергетическими движущими силами гравитационных волн. Это может видеться, спрашивая, какие графы меньше всего подавлены этими маленькими энергетическими отношениями, которые, переворачиваются быть для которых Л = 0 и P = 2. То
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 461
есть, произвольные графики дерева, созданные просто из действия Эйнштейна-Хилберта - точно
предсказания классической Общей теории относительности. Например, для с 2 гравитонами
рассеивание у нас есть Ми = 4, и таким образом, вышеупомянутые параметры предсказывают доминанты energydependence быть (E) ; (E/Mp) 2 + · · ·. Это подтверждено явным, на уровне дерева
вычислениями [8] для рассеивания гравитона, которые дают:
Atree = 8;iGs3Турция, (23.13)
для соответствующего выбора поляризации гравитона. Здесь s = ; (p1 + p2) 2, t =
(p1;p1) 2 и u = (p1;p2) 2 обычный Lorentz-инвариант переменные Мандельштама
созданные из начальной и заключительной частицы четырех импульсов, все из которых пропорциональны к E2. Это показывает и что ; (E/Mp) 2 к ведущему порядку, и что это
физическая, инвариантная энергия центра мессы, Ми, которая является соответствующей энергией для считающего- силу анализа.
Но настоящая красота результата как eq. (23.12) то, что это также идентифицирует которые
графы дают субдоминантовые исправления классическому GR. Продвижение такого исправления
воскресает одним из двух способов: любой (i) Л = 1 и Vid = 0 для любого d = 2; или (ii) Л = 0,
я Vi4 = 1, Vi2 произволен, и весь другой Vid, исчезает. Таким образом, вычислите исправления с одной петлей, используя только силу тяжести Эйнштейна; или вместо этого работа к уровню дерева
и включайте точно одну вершину от одного из согласованных сабельностью взаимодействий в
добавление к любому числу взаимодействий от термина Эйнштейна-Хилберта. Оба подавленны по сравнению с ведущим термином фактором (E/Mp) 2, и oneloop вклад переносит дополнительный фактор (1/4;) 2. Это (плюс логарифмические осложнения из-за инфракрасных расхождений), также подтверждены явной одной петлей вычисления [9; 10; 11]. Хотя использование согласованных сабельностью условий потенциально вводит дополнительные эффективные сцепления в результаты, 4 полезные предсказания могут тем не менее, быть сделаны, если больше observables исследовано чем, там являются бесплатными параметрами.
Хотя концептуально поучительное, вычисляющее рассеивание гравитона в этом очке
просто академическое упражнение, и, вероятно, останется так до гравитационных волн в конечном счете обнаружены и их свойства измерены подробно. Практически это из большего количества нажимающего интереса получить эти подсчета силы оценки для observables которые представляют более прямой интерес для измерений точности GR, такой как в пределах солнечной системы. Это происходит, что выпрямление к этим видам observables часто не прямой (и в некоторых случаях еще не был прикончен абсолютно систематическим путем), потому что они вовлекают нерелятивистские источники (как планеты и звезды).
4 Для гравитона, посыпающего в 4D без содержания, никакие новые сцепления не входят таким образом потому что все curvature-squared кривизны- квадратичные взаимодействия, переворачиваются избыточными. В отличие от этого, одно новое сцепление, спаривание переворачивается, воскресает, описывая  контакт со взаимодействием, вычисляя подведущие исправления к полям sourced массами очка.
462 К. Берджесса
Нерелятивистские источники значительно усложняют вышеупомянутые считающие силу параметры потому что они вводят новое безразмерное небольшое количество, v2/c2, чья
зависимость должным образом не получена простыми размерными данными параметрами
выше [12].
Однако ведущие исправления были вычислены для некоторых видов нерелятивистских
источников в асимптотически единообразных пространственно-временных моделях [13; 14; 15; 16; 17]. Они показывают что, в то время как релятивистские исправления к observables расположили расстояние r далеко от стремящегося массового М. имеют порядок GM/rc2, ведущие квантовые исправления подавлены силами намного меньшего количества G/r 2c3. Например, в то время как на поверхности Sun релятивистские исправления имеют порядок GM2/R2c2 ; 10;6, квантовые исправления абсолютно незначительны, будучи порядка G/R22 c3 ; 10;88. Ясно классическое приближение к GR чрезвычайно хорошо для солнечной системы приложения.
Другое важное ограничение к обсуждению как дано выше - свое ограничение к волнениям о плоском пространстве. В конце концов квантовые эффекты имеют также интерес для маленьких колебаний о других пространственно-временных моделях. В частности квантовые колебания произведенные во время прошлой эпохи космологического инфляционного расширения появляются
обеспечить хорошее описание наблюдаемых свойств космической микроволновое фоновое излучение. Точно так же явления как Хокинга излучения полагаются на квант эффекты около черных дыр, и много основополагающих вопросов, которые они поднимают, имеют стимулируемое их обширное теоретическое исследование, даже при том, что эти исследования, возможно, не ведут
в ближайшем времени к наблюдательным следствиям. Оба черные дыры и космология
обеспечат режимы, для которого детализированного кванта гравитационные предсказания имеют
интерес, но для которого не должны непосредственно примениться волнения о плоском пространстве.
Надлежащий подсчет силы размера квантовых исправлений также возможен для этих видов пространственно-временных моделей, исследуя волнения о соответствующей космологической
или геометрии черной дыры, хотя в этих ситуациях пространства импульса методы часто менее полезны. Методы пространства- позиции, как результат действующей компании расширения, может затем обеспечить полезные альтернативы, хотя с этого письма сравнительно немного явных считающих силу вычислений были сделаны, используя их. Внимательный читатель отнесен в более длительное повторение, [2], для большего количества обсуждения этого, так же как связанные вопросы, которые воскресают относительно использования эффективного поля теории в пределах фонов с временной зависимостью и в присутствии горизонтов события.
23.4 Резюме
Общая теория относительности обеспечивает подробное количественное описание гравитационных экспериментов с точки зрения полевой теории, которая не является renormalizable. Это — цель из существующей главы, чтобы подчеркнуть соблюдение, что сила тяжести не единственная область физики, для которой non-renormalizable теория, как находят, обеспечивает пользу
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 463
описания экспериментальных соблюдений, и мы должны использовать эту информацию  ввести наше понимание того, чем пределы законности могли бы быть к его использованию. Урок от других областей физики прозрачен: успех non-renormalizable теории очки к существованию нового короткого расстояния масштаба, чья физика частично релевантна к соблюдениям интереса. Что делает это проблематичным для того, чтобы понять квантовые предсказания теории - то, что это часто имеет место, что мы часто  нет понимаем, что соответствующая новая физика, и таким образом, ее эффекты должны параметризоваться с точки зрения многочисленных неизвестных эффективных сцеплений, спариваний. Как могут предсказания быть сделанны в такой ситуации?
То, что делает предсказания возможными, является соблюдением что только сравнительно немногие из этих неизвестных сцеплений важны в низких энергиях (или большие расстояния), и
столь только конечное число их вступающих в предсказания в любом фиксированном уровне точности. Предсказания остаются возможными, пока больше observables вычислено чем те
параметры, но явное продвижение полагается на возможность идентифицировать который из
параметров вступает в предсказания до любого данного градуса точности.
В предыдущих страницах показано, как эта идентификация может быть сделана для сравнительно простого случая гравитона, посыпающего в единообразном пространстве, для которого случая размер вклада от любого данного эффективного сцепления может быть явно оценен.
Центральный инструмент - считающая силу оценка, которая отслеживает силу энергии, которая вступает в любой данный график Feynman, и которая дублирует для GR подобные оценки, которые сделаны в других областях физики. Результат показывает как Общая теория относительности появляется в качестве ведущего вклада в эффективную теорию еще некоторого фундаментального изображения, с его классическими вкладами, которые, как показывают, были доминантные, но с вычислимыми исправлениями, которые могут быть явно оценены в систематическом расширении к любому данному порядку в низкоэнергетическом расширении. Это показывает, как non-renormalizability теории не должны устранить свое использование для того, чтобы сделать
благоразумные квантовые предсказания, если они сделаны только для низких энергий и
больших расстояний.
Этот вид изображения удовлетворяет, потому что это подчеркивает подобие между
многих  проблем, с которыми сталкиваются в GR и в других областях физики. Это также концептуально важно, потому что это обеспечивает управление размером теоретических ошибок, которые квантовые эффекты ввели бы в классические вычисления с которым сравнены измерения точности Общей теории относительности. Эти оценки показывают, что ошибки, связанные с игнорированием квантовых эффектов, незначительны для систем практического интереса.
Есть смысл, для которого этот успех является приземленным, в котором это в значительной степени подтверждает наши предубеждения относительно ожидаемого размера квантовых эффектов для макроскопических систем базируемых просто на размерном анализе, исполненном, создавая безразмерные количества из соответствующих параметров как Соль, до, М. и R. Однако,
считающий силу результат намного более силен: это идентифицирует которые графы Feynman
464 К. Берджесса
способствуют в любой данной силе энергии, и так разрешает подробное вычисление observables как партия систематического низкоэнергетического расширения.
Это - конечно, истина что небольшой размер квантовых вкладов в солнечной системе
никоим образом не уменьшает фундаментальные тайны, описанные в другом месте в них нумерует страницы, который должен быть решен, чтобы должным образом понять Квантовую Силу тяжести в
существенно маленькие расстояния. Однако, важно понять что эти проблемы связаны с маленькими масштабами расстояния а не с большими с тех пор этот focusses обсуждение относительно того, что возможно и что не, развлекая модификации к GR. В частности хотя это показывает, что мы сравнительно свободны изменить силу тяжести на коротких расстояниях, не разрушая наше понимание гравитационной физики в пределах солнечной системы, это также показывает, что мы не так же защищенны от дальних- модификаций до GR.
Это соблюдение совместимо с большим опытом, который показывает, что это печально известно трудный изменить GR на больших расстояниях в пути, который не вводит недопустимые проблемы, такие как различные виды неустойчивости к вакууму. Такие проблемы вакуумной стабильности часто просто игнорируются в некоторых кругах на основах что ‘Квантовая Сила тяжести’ еще не понята в надежде, которая, как только это — то, что будет так или иначе также установливать проблемы стабильности. Однако, наша способность определить количество размера
из низкоэнергетических квантовых эффектов на шоу силы тяжести, что мы не должны ждать большее
полное понимание силы тяжести в богатых энергиях, чтобы сделать точные предсказания в низких энергиях. И так как вакуум - самое низкое энергетическое состояние там мы не можем ожидать, что неизвестная физика короткого расстояния будет в состоянии спасти нас от дальних-дистанций болезней.
Исчислимость в низких энергиях - обоюдоострый меч. Это позволяет нам понимать
почему сравнение точности между GR и экспериментом возможно в солнечной системе, но это одинаково шпигует, форсирует нас, чтобы накрыть альтернативные теории, которые имеют низкоэнергетические проблемы (как неустойчивость) как являющиеся несоответствующими.
Подтверждения
Я благодарю Даниэле Орити за доброе приглашение способствовать этому объему, и за
его последующее терпение. Мое понимание этой темы было изучено от Стивена Вайнберг, который делал очки сделанными здесь в течение многих десятилетий перед моим прибытием в сцену. Мое исследование в области этих и связанных разделов финансируется Натуральной Науки и Технического Научного совета Канады, так же как фондами из университета Макмэстера и Организации Killam.
Ссылки
[1] До. М. Будет, Живущий Преподобный Рель. 4 (2001) 4 (gr-qc/0103036).
[2] До. П. Берджесс, Живущий Преподобный Рель. 7 (2004) 5 (gr-qc/0311082).
Квантовая Сила тяжести и точность проверяют 465
[3] С. Вайнберг, Преподобный Физики Летт. 18 (1967) 188; Преподобный Физики 166 (1968) 1568.
[4] До. Соль. Callan, С. Коулман, Дж. Весс и Б. Зумино, Преподобный Физики 177 (1969) 2247.
[5] С. Вайнберг, Physica 96A (1979) 327-340.
[6] Дж. Гэссер и Х. Леутвилер, Энн. Физика (Нью-Йорк) 158 (1984) 142.
[7] До. П. Берджесс, Член палаты представителей Физики 330 (2000) 193-261 (hep-ph/9808176).
[8] Си. С. Дьюитт, Преподобный Физики 162 (1967) 1239.
[9] Д. К. Данбар и П. С. Норриддж, Nucl. Физика. B433 (1995) 181.
[10] С. Вайнберг, Преподобный Физики 140 (1965) 516.
[11] Дж. Ф. Доногу и Т. Торма, Преподобный Физики Д60 (1999) 024003 (hep-th/9901156).
[12] Дж. Ф. Доногу и Т. Торма, Преподобный Физики Д54 (1996) 4963-4972
(hep-th/9602121).
[13] Дж. Ф. Доногу, Преподобный Физики Летт. 72 (1994) 2996-2999 (gr-qc/9310024).
[14] Дж. Ф. Доногу, Преподобный Физики Д50 (1994) 3874-3888 (gr-qc/9405057).
[15] Н. Э. Дж. Bjerrum-Borh, Дж. Ф. Доногу и Б. Р. Холштайн, Преподобный Физики Д68 (2003)
084005, Опечатка там же. D71 (2005) 069904 (hep-th/0211071).
[16] Дж. Ф. Доногу, Б. Р. Холштайн, Б. Гарбречт и Т. Констэндин, латыш Физики. B529
(2002) 132-142 (hep-th/0112237).
[17] В. Д. Голдбергер и я. З. Ротштайн (hep-th/0409156).
24
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II:
некоммутативное пространство-время
S. МАДЖИД
24.1 Вводная часть
В этой главе мы представляем некоммутативную геометрию (NCG) не как ‘теория всего’, но как мост между любой будущей, возможно комбинаторной, теорией Квантовой Силы тяжести и классической геометрией континуума, которая должна быть получена в некотором пределе. Пока мы полагаем, что NCG - просто более общее понятие из геометрии, которая ее некоммутативной природой должна быть правильной установкой для феноменологии и тестирования первых рядом-с-классическими Квантовыми исправлениями Силы тяжести.
Кроме того, математические ограничения NCG могут дать нам ограничения на структуру Квантовой Силы тяжести непосредственно, поскольку это должно появиться естественным способом
из истинной теории.
Также в этой главе мы сосредотачиваемся на роли квантовых групп или алгебры Hopf
[10] поскольку самый доступный инструмент NCG, вдоль строк сначала введен для Планка
физики масштаба автором в 1980-ых [13; 14; 15; 16]. Мы обеспечиваем полную вводную часть
к нашей теории ‘bicrossproduct квантовые группы, который является одним из двух основных класса квантовой группы, чтобы выйти из физики (другой класс, квантовые группы q-деформации, вышел из интегрируемых систем, а не Кванта Силы тяжести). Полная машина некоммутативной отличительной геометрии такой как измеряют теорию, связки, квантума Риманновы копии, и спиноры (по крайней мере, в принципе), были также развиты за прошлые два десятилетия; эти темы подчиненны третьей статейя [11]. Это должно позволить данной статье быть считанной без предварительных знаний или NCG или квантовых групп. Первая вещь в серии о философском основании [17]. Как известно, квантовые группы - обобщенное понятие симметрии. Там теорема, которую все bicrossproduct квантовые группы действительно связали им некоммутативные пробелы, на которые они канонически действуют. Таким образом bicrossproduct Квантовой группы Poincar; обозначила U (so3,1) 3C [R3> 4R] связанной к этому предложению [23]
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 467
[x0, xi] = ; ;xi (24.1)
для модели некоммутативных 4D пространства-времени. Обратите внимание что хотя (24.1) прерывает обычное постоянство Poincar;, Специальная Относительность все еще держится в форме квантума группы 'симметрии'. Это - также первая некоммутативная пространственно-временная модель с  подлинным физическим предсказанием [1], а именно, переменная скорость легких (VSL). НАСА Спутник GLAST, начатый в 2008, может между прочим быть в состоянии проверить это предсказание посредством статистического анализа гамма-луча разрывает даже в худшем случае что
мы могли бы ожидать для параметра, а именно, ; ; 10;44 s (шкала времени Планка). Обратите внимание, что модель не должна быть перепутана с более ранней ;-Poincar; группой
модели [8], где у квантовой группы были очень отличающиеся генераторы (например Генераторы Lorentz не закрывались между собой так физическое истолкование существенно отличалось), и где до [23] пространство-время, на которое это действует как предполагалось, было обычным коммутативным Пространством Минковского (с бессмысленными результатами). Точно так же полупрямая квантовая группа U (su2) · 3 <;C [SU2] Евклидовых движений (особый случай bicrossproduct назвал номер на двоих человек Drinfeld), деяния covariantly на
[xi, x j] = 2 ;;i jk xk (24.2)
как некоммутативное пространство или Euclideanised трехмерное пространство-время [2]. Действительно эта алгебра воскресает в определенном пределе как эффективное описание Euclideanized трехмерного Квантума Силы тяжести как предложено в [2] и недавно доказанно в [3]. Это не должно быть перепутано с ‘нечеткими сферами’, поскольку мы не делаем фактора к матричной алгебре или использовать любые (в нашем специальное мнение) матричные методы, знакомые в том окружении. Можно также добавить центральное x0, чтобы иметь 4D пространство-время [21]. Отметим что эти и другие некоммутативные пространственно-временные модели в статье - геометрически плоское, бемоль, то есть они относятся к слабой силе тяжести режима Квантовой Силы тяжести. Вместо этого эффекты, которые они кодируют, имеют сабельность в пространстве импульса, момента или ‘cogravity’, понятие из-за автора [9] как потенциально новый и независимый физический эффект. Из-за недостатка места мы сосредоточимся, главным образом, на (24.1) и его иллюстративная 2-ая версия, для которой мы обеспечиваем полное глобальное обслуживание.
Конечно, алгебраическая машина, которую мы опишем, включает еще много моделей потенциального физического интереса. bicrossproduct семейство однако останьтся самым интересным, потому что они прибывают от полностью классических (но нелинейных)
данных. Это означает это, хотя они - превосходные примеры NCG их структура может быть описана в конечном счете классическими нелинейными отличительными уравнениями и классическими изображениями. Классические данные - местный factorisation некоторой группы Ли X ; генеральных директоров и эквивалентный решению пары ‘соответствующей пары’ отличительных уравнений
для действия Соль на М. и наоборот. В [13] они были введены как игрушечные модели уравнений Эйнштейна завершают с особенностями 'горизонт события как'; в существующем приложении, где bicrossproduct рассматривается как Poincar; квант группы, последние появляются как ограничение асимптот в пространстве импульса, который
468 С. Маджида
был назван ‘Planckian связка’ на пространственном импульсе. Это - родовое свойство из всех bicrossproduct моделей, основанных на некомпактных группах. Кроме того, классическая
группа X = SO4,1 в модели (24.1) действует на группу импульса М. = R3> 4R и используя это действие можно придумать полностью классическое эквивалентное изображение к модели. Действие Соль = SO3,1 очень нелинейно и дано определенными векторными полями в [23]. Мы продемонстрируем новое явление для образцового пришествия от этой нелинейности с явными глобальными составами в 2-ом случае, прибывающем от SO2,1.
Наконец, немного познания может быть опасной вещью, и конечно это возможно требовать любого числа бессмысленных 'предсказаний', основанных на злоупотреблении математикой. Если Вы спорите как phenomenologist затем, это не имеет значения; это  не имеет значение, куда состав прибывает от, можно только установить его и видеть, соответствует ли он данным. Однако, для теоретического предсказания нужно иметь фактическую теорию. Для этого нужно обратиться к следующему.
• Несколько полная математическая структура, в пределах которой можно работать (в нашем случае это
будет NCG).
• Предложение математически последовательно?
• Каковы все физические следствия (действительно ли это физически последовательно?)
Как правило в NCG, если Вы изменяете одну вещь затем, много других вещей должны быть
измененны для математической надежности (например, квантовая группа Poincar; не делает действия последовательно на обычное пространство-время). Будет много такого принятия проблем (24.1) и после того, как это - истолкование физически последовательной математики? Если мы предполагаем, что символ p0 в математике является энергией затем что еще это подразумевает, и действительно ли целое истолкование совместимо с другими ожиданиями? Или мы можем предположить, что p; генераторы в ;-Poincar; квантовой группе физически наблюдаемы с 4 импульсами и от деформированного Казимира
|| p || 2;= p2e;p0 ; 2;2 (дубинка (;p0) ; 1) (24.3)
требуйте предсказания VSL, но как выровнять по ширине это? Наш подход должен смотреть на некоммутативные плоские волны (или квантовую группу теории Фурье), чтобы, по крайней мере, начать  превращать такой состав в теоретическое предсказание [1]. Модель (24.1)  затем
скрепляет довольно хорошо для скаляра или U (1) поля. Спиноры в модели остаются проблематичны и больше теоретического развития были бы необходимы перед предсказаниями вовлечения колебаний нейтрино или нейтральных резонансов каона и т.д. могли иметь любое значение.
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 469
24.2 Основная структура NCG
У структуры, которую мы используем, есть следующие элементы.
• Пространственно-временная координатная алгебра A, не обязательно коммутативна.
• Отличительное исчисление, сделанное алгебраически как линейная карта d: A;1 повинуясь некоторым
минимальным аксиомам (здесь 1 bimodule ‘1 формы).
• Symmetries, сделанные алгебраически (например, как квантовая группа)
• Алгебраический принцип эквивалентности: все конструкции - свободный художник любого выбора
из генераторов алгебры (способность изменить координаты, cf. пассивное diffeomorphism постоянство в обычной геометрии). Это не означает, что мы не могли бы предпочесть работать в некоторой ширине кинопленки такой как в специальной относительности.
• Понимание новой физики сделало возможным особой структурой. В нашем случае это то некоммутативное пространство-время соответствующее очень естественной идее: кривое импульса, момента пространство или cogravity.
Беря их в свою очередь, мы кратко определяем отличительное исчисление. Это распространено ко всем подходам к NCG за исключением того, что в квантовых группах приближает, каждый концентрируется на 1 прежде всего. Требуя, чтобы это было A-A, bimodule говорит что
мы можем умножить '1 форму' 'функциями' слева или правом и двумя партнерами:
((децибел) c) = (adb) до ;a, си, до ; A.
Мы также требуем, чтобы d повиновался правлению Лейбница
d (ав) = adb + (da) си
и тот 1 = промежуток {adb}, который является большим количеством четкости чем требование (если
не мы только сделали бы 1 меньший). Наконец есть 'связность' по желанию условие что
da = 0 ; ; 1.
Эти аксиомы все более или менее очевидны и представляют минимум что любая форма из геометрии потребовалась бы. Они фактически более слабы чем классического дифференциала геометрия, даже когда алгебра A является коммутативной, потому что мы не требовали где угодно что [a, децибел] = 0 для всего a, си. Требуя что подразумевал бы что d [a, си] = 0 для всего a, си, которая нарушила бы условие связности для любой разумной некоммутативной алгебры. Учитывая 1 есть некоторые различные замыслы расширить это ко всей внешней алгебре = ;nn с d2 = 0, в основном некоторой формой 'искажения-symmetrised'  тензора производит 1 формы.
Как только у каждого есть исчисление, можно начать делать физику, такую как теория ширины кинопленки, в меньше всего на уровне, где соединение - некоммутативная (antihermitian) 1 форма ;. Преобразования ширины кинопленки - обратимые (унитарные) элементы u некоммутативной ‘координатной алгебры’ и соединение и сабельность преобразовывают как
470 С. Маджида
;\; u;1;u + u;1du
F (;) = d; + ; ; ; ; u;1F (;) u.
Отметим, что нелинейный термин в F автоматически не исчезает, так как мы сделали не предполагают, что функции и 1 форма добираются. Следовательно мы называем этот U (1) - Ян
Теория Миллза отличить это от теории Максвелла, где F = d;. Прежний обнаруживает некоммутативный homotopy, в то время как последний обнаруживает некоммутативный de
Когомология Rahm.
Мы фактически не нуждаемся во многом из теории алгебры Hopf кроме четкости
и быть в состоянии заключить несколько общих результатов в кавычки. Алгебра Hopf или квант
группа (мы используем термины синонимично), означает алгебру H с модулем который в
то же самое время ‘coalgebra с counit’ совместимым способом. coalgebra сказать по До мы имеем в виду
: H ;H ; H: H ;C
(id ;) = (;id), (id ;) = (;id) = id
(это - то же самое как аксиомы алгебры, но с обратными стрелками и названны 'побочным продуктом', ‘counit’.) Совместимость со структурой алгебры это то, что       должны быть гомоморфизмы алгебры. Кроме того, для истинной квантума группа там должна существовать карта S: H ;H названная 'антиподом', таким образом, что
· (id ; S) = · (S ;id) = 1.
Если H - алгебра Hopf затем H ;, по крайней мере, алгебра с ‘результатом скручивания’
(;;) (h) = (; ; ;) (h) для всего ;,; ; H ;. Для подходящих понятий дуального это снова
квантовая группа, дуальный один. Если H - обобщенная алгебра симметрии затем H ;- как координатная алгебра на обобщенной группе. Основной 'классический' пример то, когда H = U (g) алгебра окутывания алгебры Ли. Это - алгебра Hopf с
x = x ;1 + 1;x, x = 0, Sx = ;x, ;x ; соль.
Его подходящий дуальный- алгебра координатной До функции [Соль] на ассоциированной Ли
группе. В матричном случае группы Ли это произведено матричными координатами элемента
;; с побочным продуктом и counit
;; = ;; ; ;;\, ;; = ;;;.
Антипод дан матричной инверсией. Эти два примера - все, в чем мы нуждаемся в большей части существующей главы.
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 471
Для алгебры Hopf H, чтобы действовать на алгебру мы требуем, чтобы результат отобразился
; A;A алгебры является intertwiner. Действие H на A распространяется на ; A через побочный продукт, таким образом, мы требуем
h3 (ав) = · ((h) 3 (;b)), h31 = (h) 1
где h3a обозначает, что действие h на a и 3 так же используется дважды на правую сторону первого выражения. Для исчисления на, чтобы быть ковариантными мы требуем что H действует на 1, и что d и bimodule карты результата - intertwiners. Партия из последних чтений например как
h3 (adb) = · (id;d) ((h) 3 (;b)).
Просто определяя при этом как действие на 1 и зная, что это четко, подразумевают остальное. H всегда действует на H ; и от левых и от права coregular представления (например, левое действие - h3; = ; (() h)). В этом случае можно искать  исчисление 1 на H ;, который является лев и прав ковариантный (bicovariant) [25]. Это делает H ; в координатную алгебру ‘квантовой группы Ли’. Обратите внимание, что можно работать полностью с H ; и никогда не упоминают, что H обеспечивает, каждое использует широко эквивалентное понятие 'совместного действия' R: 1;1 ; H ; вместо действия 3 из H.
Точно так же интеграл на алгебре справедливое средство линейной карты  : A;C. Это сказанно быть H-covariant, если
(h3a) = (h)a, ;a ; A, h ; H
относительно ковариантного действия 3 из H на A. Поскольку квант группы = H ;, говорят
(см. выше), если интеграл H-covariant существует, это уникально, cf. мера Хаара на  группе. Снова можно определить что полностью относительно H ;, если Вы используете понятие совместного действия.
Принцип алгебраической эквивалентности - аналог проведения темы в обычной
геометрии, что все конструкции являются ковариантными под координатным изменением. Это должно не быть перепутанным с физическим принципом эквивалентности, это допустимо даже в ньютоновой механике и только говорит, что мы свободны заменить переменные например от
Картезиана, Декартовых к полярным координатам. Это - то, что выделяет систематическую структуру
из NCG от 'специальных' конструкций. Это также ясно дает понять почему от нашего очка
из вида любого параметра за физическое предсказание, основанное на Casimirs в Poincar; одна только квантовая группа абсолютно пуста. Причина состоит в том что большинство квантовых групп
включая bicrossproduct один для пространства-времени (24.1) как изоморфная алгебра к обычной недеформированной классической алгебре окутывания. Другими словами там новые координаты P;, в которых квантовая группа недеформирована как алгебра и его Казимир - обычный P2 ; (P0) 2. В этом случае так называемое предсказание походит на по ошибке работа полярных координат, думая, что они были Картезианом координат и быть вдохновленной формой Laplacian. Фактически в P;
472 С. Маджида
координирует побочный продукт квантовой группы, также выглядит очень отличающимся, но с тех пор Казимир зависит только от алгебры, она не видит это. Где побочный продукт обнаруживает, что находится на действиях результата тензора квантовой группы (см. выше), и в истине классического отношения рассеяния не полностью характеризуемо, будучи Казимиром, но дальнейшими свойствами относительно этого. Эквивалентно, как делают мы выравниваем по ширине что p; в (24.3) и не P; физический с 4 импульсами? Единственный способ знать состоит в том, чтобы сделать эксперименты, и те эксперименты, вероятно, вовлекут объекты, такие как плоские волны что зависят от полной квантовой групповой структуры не только алгебры. Это означает что ранние 'предсказания', основанные только на алгебре, были желательными спекуляциями и не теоретическими предсказаниями.
На теме изменяющегося примечания переменных что, если xi - генераторы затем одного
могли бы как правило иметь dxi формирование основания по 1. В этом случае сопряженные частные производные определены
da =я(;ia) dxi. (24.4)
Отметим, что точно, когда дифференциалы не добираются с 1 формой, эти ;i будут
не повиноваться, обычный Лейбниц управляют собой. Это - координатно-инвариантный объект d
который повинуется правлению Лейбница. Основы 1 не всегда существуют и когда они делают
у них не могло бы быть ожидаемого числа, то есть мог бы быть дополнительный вспомогательный глагол 1 форма вне классических основных 1 формы (см. позже). Кроме того, под изменением
координаты мы оставляем d неизменным и повторно вычисляем сопряженные частные производные
к новому основанию. Это фактически, как это сделано в классической отличительной геометрии,
только теперь мы должны сделать это в noncommutive алгебраической установке. Те же самые замечания обращаются к интегралу, который примет определенную форму когда вычислены с одним набором из генераторов и другого с различным набором, но с тем же самым ответом.
Наконец, мы обещали одну теорему, и возможно самым соответствующим является квант
группы Фурье преобразования [10, издание в мягкой обложке.]. Если H, H ; являются двойной парой Hopf алгебры (для некоторого подходящего дуального) с двойными основами {земля} и {f} соответственно, мы определим
F: H ;H ;, F (h) =a(eah) f a, F;1 (;) = S;1eaf a;
где мы предполагаем, что антипод S является обратимым (который типичен). Эта теория работы
приятна для конечно-мерной алгебры Hopf, но может также быть применена, по крайней мере, формально к бесконечно-мерным. Таким образом, если U (g) и До упомянутая выше [Соль] соответственно завершенная имеет, по крайней мере, формально
F: До [Соль] ;U (g), F;1: U (g) ;C [Соль].
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 473
Лучший подход здесь должен фактически работать с -алгеброй Ноймана или До Hopf-von
версии этой алгебры Hopf. Например До [Соль] могла бы стать созданной алгеброй от непрерывных функций на Соль с быстрым распадом в бесконечности в некомпактном случае. Роль U (g) могла бы стать групповой -алгеброй До, которая является завершением из функций на Соль с результатом скручивания. Однако, мы не должны сделать это слишком точное, по крайней мере, для bicrossproduct модели. Формально мы берем основание {;u} из ;- функций на Соль (более точно нужно намазать или приблизить их). Для двойного основания мы берем групповые элементы u ; U (g) формально как показательные элементы в завершенной алгебре окутывания. Затем
F (f) =СОЛЬdu f (u) u ;U;Rndnk J (k) f (k) e;ki ei (24.5)
где ei - основание соль так, чтобы ki были местной системой координат для группы допустимой в некотором открытом домене U и J (k) якобиан для этой замены переменных. Есть тонкость особенно в компактном случае (например, случай Соль = SU2 изученный подробно в [4] как некоторая ‘некоммутативная теория дискретизации по времени’). Если Соль кривая позиция располагает с интервалами затем естественные импульсы ei, недобираются, некоммутирующие ковариантные производные  и в очень симметрическом случае non-Abelian группы размножения, копии их производства некоммутативные momemtum 'действующие компании' U (g) вместо коммутативных обычных координат. Таким образом, фактически физики нуждались в NCG - в импульса пространстве - в течение приблизительно столетия теперь, не зная его структуру. Действительно, Фурье
преобразование обычно оставляется в любой 'функциональной' форме на nonAbelian группе
(вместо этого каждый работает с целой категорией модулей, 3 j и 6 j-символов, и т.д.), но квантовые групповые методы позволяют нам впервые возвращаться к Фурье преобразованию как функциональное преобразование, только с некоммутативными функциями U (g). Если это кажется
странно полагают, что фазовое пространство частицы на Соль - T ;G = соль ; ; Соль и имеет
квантовую алгебру observables U (g) 3 <До [Соль] (в некоторой форме) - это - пример
из Mackey quantisation. Здесь U (g) содержит в алгебре obvervables как quantisation До [соль ;]. Это объясняет верхнюю строку в рисунке 24.1: силы тяжести  значит некоммутативное пространство импульса. Обратите внимание, что сама квантовая механика - перекрещивание голосов между позицией и импульсом как обозначено для единообразного пространства в нижней строке рисунка 24.1. Мы работаем в модули где его ассоциированная переменная = 1.
С другой стороны теперь предположем, что Соль - навешенное пространство импульса затем кванта группа, которую преобразование Фурье берет нас одинаково хорошо к некоммутативному окутыванию алгебры U (g) расцененной как ‘координата функции’ на некоторой некоммутативной позиции пространства. Это - точная форма (24.1) и (24.2), где x; или xi - алгебры Ли основание. Таким образом, эти некоммутативные пространственно-временные модели эквивалентны под квантовой группой Фурье преобразования к классическому но кривому пространству импульса. Это - средняя строка в рисунке 24.1: некоммутативность в пространстве позиции, которое должно интерпретироваться как сабельность в пространстве импульса, то есть дуальное силы тяжести или cogravity. Это
474 С. Маджида
Импульс позиции
Сила тяжести Кривой Некоммутативный
; x2;= 1
; 2
[пи, p j] = 2 ;; i jk pk
Cogravity, Некоммутативный Кривой
[xi, x j] = 2 ;;i jk xk ; p2;= 1;2
Квантовый Механик [xi, p j] = ; ;i j
Рис. 24.1. Некоммутативное пространство-время означает сабельность в пространстве импульса.
Уравнения для иллюстрации.
независимый физический эффект и прибывает поэтому с его собственной шкалой расстояний который мы обозначаем ;. Эти идеи были введены в этой точной форме автором в середине 1990-ых на основе квантовой группы Фурье преобразования [9]. Другие работы на квантовой группе Фурье преобразования в ее различные формы, включают [5; 6; 7]
24.3 Квантовые группы Bicrossproduct и соответствующие пары
Мы дадим явную конструкцию bicrossproduct квантовых групп интереса, но давайте запустим с общей теоремы из теории алгебры Hopf. Начальная точка - теория factorisation группы X в подгруппы М., Соль такая то, что X = МГ. Это означает, что каждый элемент X может быть уникально выражен как нормальный упорядоченный результат элементов в М., Соль. В этой ситуации определите левое действие 3 из Соль на М. и правильном действии 4 из М. на Соль уравнением
нас = (u3s) (u4s), ;u ; Соль, s ; M. (24.6)
Эти действия повинуются
u4e = u, e3s = s, u3e = ми, e4s = ми
(u4s) 4t = u4 (святой), u3 (v3s) = (ультрафиолетовый) 3s
u3 (святой) = (u3s) ((u4s) 3t)
(ультрафиолетовый) 4s = (u4 (v3s)) (v4s) (24.7)
для всего u, v ; Соль, s, t ; М. Здесь ми обозначает соответствующий групповой единичный элемент. Пара из групп, оборудованных такими действиями, как говорят, ‘соответствующая пара’ (М., G). Один может затем определить ‘двойную перекрестную группу продуктов’ М. 34 Соль с результатом
(s, u). (t, v) = (s (u3t), (u4t) v) (24.8)
и с М., Соль как подгруппы. Так как это основано на прямом пространстве результата, большая
группа разлагает на множители в эти подгруппы, и фактически каждый выздоравливает, перекрывает X таким образом. Эти понятия были известны конечными группами с 1910-ых, но в установке группы Ли [12; 15] у каждого есть подобное понятие ‘местного factoristion’ X ; МГ и
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 475
соответствующая двойная перекрестная сумма m34g алгебр Ли. Затем отличительная версия
из уравнений (24.7) становятся содержанием пары двойного первого дифференциала порядка
уравнения для семейств векторных полей ;; на М. и ;; на Соль, маркированной ; ; соль
и ; ; м. соответственно. Мы пишем эти векторные поля с точки зрения оцененной алгебры Ли
функции A; ; До ;(М., m) и B; ; До ;(Соль, g) согласно левому и правому переводу с тангенса пространства с интервалами в идентичности:
;; (s) = РТС ; (A; (s)), ;; (u) = Лютеций ; (B; (u)). (24.9)
В этих условиях соответствующие уравнения пары становятся
A; (святой) = A; (s) + Объявления (B;4s (t)), A; (e) = 0
B;\(ультрафиолетовый) = Ad;1
v (Av3; (u)) + B; (v), B; (e) = 0 (24.10)
наряду со вспомогательными данными пара линейных действий 3 из Соль на м. и 4 из М. на возведении в степень соль действий алгебры Ли 3, 4 из соль, м. соответственно. Наконец, (24.10) становится пара отличительных уравнений, если мы позволяем u, t быть бесконечно малым то есть элементы ; ; соль, ; ; м. говорят относительно алгебры Ли. Затем
;R (A;) (s) = Объявления ((;4s) 3;), ;L (B;) (v) = Реклама
;1 (;4 (v3;)) (24.11)
где ;L - левая производная на Соль группы Ли, произведенной ; и ;R правая производная на М. произведенная ;. Обратите внимание, что это подразумевает
;R (A;) (e) = ;3;, ;L (B;) (e) = ;4; (24.12)
которое показывает, как вспомогательные данные определены. Эти нелинейные уравнения
были предложены в [13] как игрушечная модель уравнений Эйнштейна и решены для R34R
где у них, как показывали, были особенности и предельные точки, мало чем отличающиеся от
горизонта события черной дыры. Такие предельные точки - типичное свойство (24.10)
когда обе группы некомпактны. Мы перевернули соглашениями относительно [10] в порядке иметь левое действие квантовой группы Poincar; в наших приложениях.
Нужно решить эти уравнения глобально (принимающий во внимание любые особенности)
чтобы иметь честного Ноймана Hopf-von или квантовые группы -алгебры До Hopf; там есть некоторые интересные открытые проблемы. Однако, для просто алгебры Hopf на алгебраическом уровне каждый нуждается только в исходных данных (24.12) из соответствующих пар, а именно, действия алгебры Ли 3, 4 соответствия м. 34 соль. Ясно затем U (м. 34 g) = U (m) 34 U (g) как алгебра Hopf удваивают перекрестный результат или factorisation из алгебры Hopf [14]. Мы контент самостоятельно с одной теоремой от этой теории.
Теорема 1 Позволяла (H1, H2) быть соответствующей парой квантовых групп с H1 34 H2
ассоциированным двойным перекрестным результатом. Затем (i) есть другая квантовая группа
обозначенная H = H23H ; 1 названная ‘semidualisation’ соответствующей пары. (ii) Это
476 С. Маджида
квантовая группа действует covariantly на = H1 слева. (iii) Его дуальное — другой semidualisation H ; = H ;24H1 и действует совместно covariantly на H1 справа.
Применяя эту теорему к U (m) 34U (g) подразумевает bicrossproduct квантовую группу
U (g) 3U (m) действующую covariantly на = U (m) слева. Здесь это принято что До [М.] является подходящей алгебраической версией координатной алгебры функций на М. дуальном на радио к U (m). bicrossproduct квантовая группа произведена U (g) и коммутативная алгебра функций на М., с перекрещиванием голосов и побочным продуктом
[f, ;] = ;; (f) (24.13)
; = ; ;1 + Л (;), Л (;) ; До [М.] ;g, Л (;) (s) = ;4s (24.14)
где Л является левым совместным действием, вызванным вспомогательным линейным действием 4 из М. На g. Тем временем побочный продукт на f ; До [М.] является побочным продуктом До [М.], который появляется как subHopf алгебра. Это - то, как мы создадим bicrossproduct Poincar;
квантовую группу, окутывающая алгебру. Его каноническое действие на U (m) от теоремы
имеет ; ; соль, действующая по действию 3 на м. и f ; До [М.] действующего по (id ; f) используя побочный продукт U (m).
Одинаково, есть естественный двойной bicrossproduct как До алгебры Hopf [Соль] 4U (m)
пришествие от тех же самых factorisation данных. Мы обозначаем a; ; м. ‘nonAbelian перевода’ генераторы U (m) и ; ; любые взаимно коммутативные классические координаты ‘группы Соль’ Lorentz (как они будут в нашем приложении). Они повинуются
[a;,;;\] = ;a; (;;\), a; = 1;a; + R (a;) (24.15)
где ; - другое векторное поле в соответствующей паре и совместном действии
R (a;) = a; ; ;
; ; m;C [Соль], R (;) (u) = u3; (24.16)
создан так же, но теперь от 3 в соответствующих данных пары. По определению ; ;
координатные функции, появляющиеся в R на a; основе. Конструкция, как (24.13) - (24.14), свободный художник любых выбранных генераторов, но для группы Poincar; скоординируют функции, каждый склонен использовать такие нотации. Если мы обозначаем x; 'пространства-времени' генераторы второй копии U (m) затем совместное действие До [Соль] 4U (m) в Теореме 1
Poinc
R (x;) = 1;a; + R (x;) = 1;a; + x; ; ;;. (24.17)
В общих словах bicrossproduct теория создает обоих деформированную Poincar; окутывания алгебру и координатную алгебру в то же самое время и обеспечивает их каноническое действие и совместное действие соответственно на другой копии U (m) как некоммутативное пространство-время.
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 477
24.3.1 Нелинейный factorisation в 2-ой bicrossproduct модели
Такие модели обеспечивают некоммутативные пространственно-временные модели и квантовые группы Poincar; в любом измерении n основанном на местном factorisation СЫНА, 1 или SOn;1,2. 4D модель известна [23], но у 2-ого случая есть та же самая существенная структура, и мы будем использовать это теперь исследовать глобальные и нелинейные проблемы, с полными происхождениями, производными.
Первое замечание в 2-ом случае то, что для удобного описания глобального изображения мы работаем не с SO2,1 точно, но его двойной крышкой X = SL2 (R) ;SO2,1. Карта здесь на уровне алгебры Ли
;a0 = ;21 00 ;1; ;;;0 0 10 0 01 0 0;;, ;N = 120 11 0; 1 ;2;;0 0 00 0 10 1 0;;;a1 = ;0 01 0; ; ;2;;0 ;1 01 0 10 1 0;;
для xt, yt стимулы и xy-ротации с + + ; подпись, производимая ;; ;a0,;2 ;N, ;M = ;;
;2 (; ;N ; ;a1) соответственно. ;ai близко к алгебре Ли [;a1, ;a0] = ; ; a1 так производят 2-мерную nonAbelian группу Ли М. = R> 4R наряду с Соль = SO1,1 = R произведенной ;N. Это дает factorisation SL2 (R) ;(R> 4R).SO1,1 как
сидо d=a; 0ac;bda;1a;1
;сиa;сиa;1;; ; =1 ; b2a2, |b | <|a |.
Это допустимо в домене, показанном, который включает личность в группу. Это не может быть абсолютно глобальное разложение потому что топологически SL2 (R) и PSL2 (R) = SO2,1 имеют компактное направление и так не могут быть описаны глобально 3 бесконечными параметрами (есть компактное направление SO2, произведенное ;M). Если Вы не будете ценить это и будете работать с бесконечными параметрами, то каждый будет в некотором этапе сталкиваться с координатными особенностями, который является происхождением Planckian направляющимся в эту модель так же как другие новые эффекты (см. ниже). От альтернативы конструктивной точки зрения, поскольку мы решаем уравнения соответствующей пары для (R> 4R) 34R мы должны столкнуться с особенностью из-за нелинейности. Обратите внимание что этот nonAbelian factorisation и наша конструкция этого cf. [23] не разложение КАН в три подгруппы.
В factorisation мы теперь заменяем переменные к
a; = ми ;2p0, ac ; коммутационная доска = ;p1e;p0, sinh;2= сиa;
478 С. Маджида
где мы вводим p0, p1 как координаты на группе М. и ; как координата из SO1,1. Здесь ; - неподвижная, но произвольная постоянная нормализация, и у нас есть ;/2 потому что мы работаем с двойной крышкой SO2,1. Согласно групповому правилу из матричного умножения пи рассмотрено абстрактно, поскольку функции обладают побочным продуктом
ми ;2p0 0
;p1e ;2ми p0 ;;2p0=ми ;2p0 0;p1e ;2ми p0 ;;2p0;ми ;2p0 0;p1e ;2ми p0 ;;2p0
где матричное умножение понято. Таким образом в общих словах мы имеем
[p0, p1] = 0, p0 = p0 ;1 + 1 ; p0, p1 = p1 ;1 + ми ;;p0 ; p1 (24.18)
S (p0, p1) = (;p0, ;e;p0 p1) (24.19)
как До алгебра Hopf [R> 4R] соответствие нашей nonAbelian группе импульса и его групповая инверсия.
Мы теперь берем групповые элементы в неправильном порядке и повторно разлагаем на множители:
дубинка (;2) sinh (;2 )sinh (;2) дубинка (;2 )
ми ;2p0 0;p1e ;2ми p0 ;;2p0=(До + S;p1) ми ;2p0 Se ;;2p0(S + C;p1) ми ;2p0 Ce ;;2
p0=ми ;2p0 0;p1e ;2p0ми ;;2p0дубинка (;2) sinh (;2 )sinh (;2) дубинка (;2 )
где S = sinh (;/2), До = дубинка (;/2), который дает согласно (24.6):
p0 = ;3p0 = p0 + 1;ln(До + S;p1) 2 ; S2e;2;p0) (24.20)
p1 = ;3p1 = (До + S;p1) (S + C;p1) ; SCe;2;p0;
(До + S;p1) 2 ; S2e;2;p0! (24.21)
;= ;4 (p0, p1) = 2arcsinhSe ;;p0(До + S;p1) 2 ; S2e;2;p0 (24.22)
где мы написали составы в домене где До + S;p1> 0. refactorisation возможна (таким образом, действия 3, 4 являются четкими), только, когда
До + S (;p1 ; ми ;;p0)До + S (;p1 + ми ;;p0)> 0. (24.23)
Это может быть проанализировано с точки зрения областей в рисунке 24.2, который показывает орбиты под 3 в (p0, p1) пространстве. Можно проверить от выражений выше что эти их
орбиты - строки постоянных величин
|| p || 2;= (p1) 2e;p0 ; 2;2 дубинка (;p0) ; 1!= e;p0;2;2 (p1) 2 ; (1 ; ми ;;p0)2(24.24)
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 479
-2 -1 0 1
AСИDДО2;p1;p0-2-112
Рис. 24.2. Деформированные орбиты под группой Lorentz в bicrossproduct модели группы импульса. Увеличение ; перемещается против часовой стрелки вдоль орбиты в регионах A, D и по часовой стрелке в Си областей, До.
которая искажает норму Минковского в пространстве импульса. Это является также инвариантным под инверсией в кривой группе импульса и следовательно под антиподом С. Отметим что это не имеет никакого отношения к алгебре Poincar;, которую мы еще не создали; это - партия нелинейной геометрии, являющейся результатом factorisation.
Теорема 2 (i), действия 3, 4 определены для всего ;, если и только если (p0, p1) находится в
верхней массовой оболочке (область A). (ii) Для любого другого (p0, p1) там существует конечный стимул ;c, который посылает p0 ;;;, после которого 3 порчи, ломается.
(iii) Для любого ; там существует критическая траектория не в регионе (A) таким образом что приближение это посылает ; ; ± ;, после которого 4 порчи, ломается.
Для доказательства мы используем стенографию q ; ми ;;p0. Мы анализируем ситуацию для
два случая S> 0 и S <0; если S = 0 затем условие (24.23) всегда держится.
Делая первый случай, чтобы лечь в регионах A, До означает ;p1 + 1 ; q ; 0. Следовательно
До + S (;p1 ; q) = (До ; S) + S (;p1 + 1 ; q)> 0
который также подразумевает, что другой фактор в (24.23) также положителен, таким образом, условие держится. Но наоборот, строго в Си областей, D означают что q ; ;p1> 1 и
У C+S (;p1;q) = 0 есть раствор ;c> 0 согласно coth (;c 2) = q ;;p1. Мы также обратим внимание, что наша До успения +S;p1> 0 держится здесь и для всего меньшего ;. Как ; ;;c снизу, знаменатель или параметр входят в систему действия (24.20) - (24.21) ;0 и преобразованный p0 ;;;. Если S <0 затем ;p1 + q ; 1 ; 0 в регионах A, Си
480 С. Маджида
-2 -1 0 1 2-1-0.500.511.52D
AДО СИ; p1; p0;> 0 ; <0
Рис. 24.3. Подчеркнутые штриховой линией (усеянные) примеры критических изгибов для данного ;. Как (p0, p1) подходы свыше его действие посылают ; ; ± ;.
средства, которые До + S (;p1 ; q)> 0 и (24.23) держит как прежде. Наоборот, чтобы быть
строго в До областей, D означает ;p1 + q> 1 и следовательно ;coth ;c 2= ;p1 + q имеет раствор с ;c <0, где знаменатели или параметр журнала again;0 свыше как ; ;;c свыше.
Чтобы дать пример, рассмотрите вопрос в регионе Д вниз от происхождения, таким образом,
p1 = 0 и p0 <0. Затем ми ;;p0 = ми ;;p0 / (1 ; sinh2 (; 2) (e;2;p0 ; 1)) зарядки как | ; | ; |;c | снизу, где
;c = ±2arcsinh 1e;2;p0 ; 1= ±ln coth (; ;2p0).
Продвигая параметры другой путь, для любого значения ; = 0 мы можем ясно найти критическую траекторию постоянного q ; ;p1 от Си доменов, D или q + ;p1 от До, D, согласно знаку ;, такого, что тот же самый фактор знаменателя, теперь в (24.22), исчезает, поскольку мы приближаемся к критической траектории от происхождения. Это показано в Рисунке 24.3. Физическое значение этого будет дано позже как бесконечная неуверенность когда это происходит.
В общих словах, нелинейность позади соответствующих уравнений пары и окончания
у действия и обратной реакции между импульсом и SO1,1 есть несколько следствий.
Мы видим в рисунке 24.2, что p0> 0 массовых оболочек являются теперь чашами с почти вертикальной линией  стенки, сжатые в вертикальную трубу
|p1 | <;;1.
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 481
Другими словами пространственный импульс ограничен выше импульса Планка
масштабом (если ; - время Планка). Действительно, это является немедленным от (24.24). Такие особенности выраженны в регионах накопления основного открытия некомпактной
теории bicrossproduct, видимая уже в оригинальных примерах [13]. Они —  прямое следствие нелинейности, но мы также видим их происхождение в факте это у истинной группы factorisation есть 'выкрученное' компактное направление. Кроме того, это очень примечательное свойство модели - только небольшая часть сюжета. Мы видим что более полный сюжет - то, что любое очко вне этой области рекламируется к бесконечному негативу p0 конечным стимулом с подобным сюжетом для ; и конечного импульса, когда мы видели в иллюстрации 24.3. Действительно действия 3, 4 разбивки сценария в таких очках как factorisation непосредственно порча, ломаются. Обратите внимание также, что групповая инверсия, которая является естественным аннулированием под симметрией CPT берет нас из 'лучшей' области в 'худшую' область Д, которая является  фундаментальной асимметрией времени или non-reversability bicrossproduct модели.
24.3.2 Bicrossproduct U; (poinc1,1) квантовая группа
Теперь, считайте ; бесконечно малый, то есть мы дифференцируем все выражения (24.20) — (24.21) ;; ;|0, который является всем, который мы нуждаемся для алгебраической партии bicrossproduct алгебры Hopf (полная структура алгебры действующей компании нуждается в полных глобальных данных). Таким образом обозначение N генератор алгебры Ли спрягается к ;, мы имеем от выше векторного поля и действия:
;; N = ; ; ;|0 = p1 ;;p0+ 121 ; e;2;p0;; ; (p1) 2;;p1p04N = ;;;p0; ;
|0 = ;;p1, p14N = ;;;p1; ;|0 = ;;2(1 ; e;2;p0;; ; (p1) 2)
где действие 4 переворачивает к другому пути, потому что ; - действительно координатная функция
на SO1,1, теперь будучи оцененной против N. Предназначенный для правой руки перекрестный результат этим действием дает отношения
[p0, N] = ;;p1, [p1, N] = ;;
21 ; e;2;p0;; ; (p1) 2.
Так же дифференциация действия (24.22) на ; в ; = 0 дает действия элемент R> 4R на N, который мы рассматриваем эквивалентно как совместное действие Л координатной алгебры в алгебраических условиях, чтобы найти,
(p0, p1) 3N = ми ;;p0N ; Л (N) = ми ;;p0 ; N
какие результаты побочный продукт и имеющий результатом антипод
N = N ;1 + ми ;;p0 ; N, SN = ;e;p0N
482 С. Маджида
завершать структуру U; (poinc1,1) ; U (so1,1) 3C [R> 4R] наряду с (24.18). Обратите внимание, что как ; ; 0 мы получаем 2-ую алгебру Poincar; с обычной добавкой побочного продукта U (poinc1,1) как ожидалось. Кроме того деформированная норма (24.24) обязательно константа движения и следовательно уничтоженный вектором ;N (можно проверить это достаточно легко). Следовательно это является центральным (Казимир) для деформированной алгебры.
В 4D заключают factorisation в корпус SO4,1 ; (R3> 4R).SO3,1 приведение к Poincar;
квантовой группы U (so3,1) 3C [R3> 4R] является слишком сложным, чтобы дать явно, но имеет
подобные глобальные проблемы, аналогично для SO3,2. Это было вместо этого создано в [23], идентифицируя раствор, решение соответствующих уравнений пары на дифференцированном уровне как результат обнаружения алгебры Hopf непосредственно (мы видели что только дифференциалы
действия 3, 4 вступают в алгебру Hopf непосредственно), и объединяющий их. Hopf алгебра теперь имеет добирающиеся генераторы перевода p;, ротации Ми и рекламирует Ni с cf. [23], но в противоположных соглашениях для побочного продукта:
[p;, p;] = 0, [Ми, Mj] = ;i j
kMk, [Ni, Нью-Джерси] = ;;i j
kMk[Ми, Нью-Джерси] = ;i j
kNk, [p0, Ми] = 0, [пи, Mj] = ;i
j k pk, [p0, Ni] = ;;pi,
как обычно, и измененные отношения и побочный продукт
[пи, Nj] = ;;
2;i1 ; e;2;p0;
+ ; p2+ ; ;pi pj,Ni = Ni ;1 + ми ;;p0 ; Ni + ;i j
k p j ; Знак,пи = пи ;1 + ми ;;p0 ; пи
и обычные добавочные побочные продукты на p0, Ми. Деформированная норма Минковского теперь
имеет ту же самую форму, столь же заявлено в (24.3) с тем же самым изображением как в рисунке 24.2 кроме этого теперь горизонтальная ось - любое из пи (есть подавленная вращательная
симметрия среди них). Как прежде, по тем же самым фундаментальным причинам нелинейности
из соответствующих уравнений пары (24.10), у нас есть Planckian, связанный | p | <;;1 для
частицы на p0> 0 массовых оболочек, но у нас также есть конечные стимулы, посылающие вне оболочки или задержанные импульсы прочь к бесконечно отрицательной 'энергии'.
Мы перескочили через трехмерный случай, который имеет подобную форму, но без как
много ротаций и стимулов. Это был первый пример в общем семействе, который будет найденный, автором в [9; 12; 16; 21] как bicrossproduct U (so3) 4C [R2> 4R] (первоначально в установке алгебры Ноймана Hopf-von), от factorisation SO3,1 = (R2> 4R).SO3. Мы имеем так же
SOm, n ; (Rm+n;2> 4R).SOm, n;1
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 483
и это было предугадано, что окончание bicrossproducts является всеми (нетривиально)
изоморфным к определенным сокращениям квантовых групп q-деформации
Uq (som, n). В 4D случаются, сокращение Uq (so3,2) было сочтено первым [8] с
bicrossproduct формы, найденной позже в [23]. Обратите внимание что физическое истолкование
из генераторов, прибывающих от сокращений, абсолютно отличается от bicrossproduct один.
24.3.3 Bicrossproduct C; [Poinc] квантовая группа
Мы теперь применяем ту же самую соответствующую пару factorisation данных (24.20) - (24.22), но теперь создать алгебру дуальную Хопфа. Мы запускаем с До [SO1,1], естественно описанный генераторами s = sinh (;) и до = дубинка (;) с отношениями c2 ; s2 = 1 (которые формируют матрицу ; ;) и матричный побочный продукт
до ss до=до ss до;до ss до, Sдо ss до=до ;sДо ;s.
Чтобы видеть, как это воскресает в нашей теории, вспомните, что мы работали с S = sinh (;
2) и C = дубинка (;2) которые (так же) описывают двойную крышку SO1,1 в координате
формы. Мы дифференцируем (24.22) написанную с точки зрения S ; ;p;|p; = 0, чтобы получить вектор
поля ; и бесконечно малое левое действие алгебры Ли [a0, a1] = ; ;a1 на функциях из ;:
;;a0= ;;p0|0 = ;2;CS;; ;, ;;a1= ;;p1|0 = ;2;S2 ;; ;a03S = ;;;p0
|0 sinh (;2) = ; ;SC2, a13S = ;;;;p1|0 sinh (;2) = ; ;CS2.
Обратите внимание также что sinh (;) = 2CS и дубинка (;) = C2+S2. Следовательно от (24.15) мы находим отношения
[a0,доs] = ; ;ssдо, [a1,доs] = ; ; (до ; 1)sдо
из bicrossproduct C; [Poinc1,1] ; До [SO1,1] 4U (R> 4R). Наконец, дифференцировать (24.20) - (24.21), чтобы иметь совместное действие R До [SO1,1] на a;:
;p0;p0|0 = C2 + S2 = ;p1;p1
|0,;p0;p1|0 = 2CS = ;p1
;p0|0; R (a0, a1) = (a0, a1) ;
ДО SS ДО2= (a0, a1) ;до ss до
который наряду с антиподом завершает созданную структуру алгебры Hopf от (24.15) - (24.17). Можно так же описать C; [Poinc3,1] =
484 С. Маджида
До [SO3,1] 4U (R3> 4R) в такой форме, согласующейся с системой зачета Poincar;
координатных квантовых групп в определенном подходе в [24].
24.4 Некоммутативное пространство-время, плоские волны и исчисление
До сих пор мы дали довольно техническую конструкцию определенной Poincar; Hopf
алгебры и говоривший о 'массовых оболочках' и 'энергия', и т.д., но такие названия бессмысленный, пока мы не рассматриваем пространство-время, на которое действует алгебра. Выражения
такие как (24.24) зависят только от алгебры и может смотреть однако, каждый хочет в зависимости от произвольного выбора генераторов, названных p;. В отличие от этого, пара состоя из квантовой группы и пространства-времени, на которое это действует вместе иметь свойства независимые  любого выбора генераторов, и это то, где фактическая физика находится как объяснено в Разделе 24.2. Мы переворачиваем к этому теперь.
В bicrossproduct моделях мы знаем от Теоремы 1, что есть канонический выбор для этого и это является некоммутативным. Таким образом квантовые группы Poincar; в форме (24.13) - (24.17) акт (действует совместно) на U (m), и мы вспоминаем, что обозначаем генераторы из этой копии x;, которое для семейства выше имеет отношения (24.1). Мы сосредоточимся 4D случай где я = 1, 2, 3. Трехмерный случай этих отношений — Ли  алгебра м. в [15].
Первое, что нужно сделать здесь состоит в том, чтобы объяснить выбор координат пространства импульса в предыдущем разделе с точки зрения потенциально физических количеств на этом некоммутативном пространстве-времени, а именно, некоммутативные плоские волны. Выбор
из импульса координаты произволен и поскольку мы изменяем их, плоские волны будут выглядеть по-другому. Для нашего выбора,
;p, p0 = e; p · xe;p0x0, ;p, p0;p , p0 = ;p+e ;;p0 p
, p0+p0
которое показывает классическое, но nonAbelian групповое правило группы Ли R3> 4R как
прочитанно от результата плоских волн. У этого есть точно та же самая форма как побочный продукт (24.18) прежде. Кроме того квантовая группа, которую преобразовывает Фурье, уменьшилась
к обычной, но нормально упорядоченной,
F (f) =R4d4p f (p) e; p · xe;p0x0
и переворачивает квантовые дифференциальные операторы на некоммутативном пространстве-времени в действующие компании умножения. Помещенный иначе, должным образом определенный квантума дифференциала действующие компание будут диагональными на некоммутативных плоских волнах как главные свойства всех таких моделей.
Чтобы завершить изображение, мы нуждаемся в этих квантовых дифференциалах, чтобы описать действие ;-Poincar; генераторов на некоммутативном пространстве-времени как дифференциала действующие компании. Именно это действие физически определяет свою роль как группа Poincar;
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 485
позволить предсказания. В существующей модели у нас есть естественное отличительное исчисление
1 с основанием dx; и
(дуплекс j) x; = x;dx j, (dx0) x; ; x;dx0 = ; ;dx;
который приводит к частным производным
;i; =: ;;xi;\(x, x0): = ;pi3; (24.25)
;0; =: ; (x, x0 + ; ;) ; ; (x, x0)
; ;: = ;;(1 ; ми ;;p0) 3; (24.26)
длч нормального упорядоченного полиномиала функции ; или с точки зрения действия импульса действующие компании p;. Эти ; ; действительно уважают нашу неявную ; - структуру (unitarity) на некоммутативном пространстве-времени, но в смысле алгебры Hopf, которая не является обычным смыслом начиная с действия антипода S не только ;p;. Это установлено скорректированными
производными L;12 ; ;, где
L; =: ; (x, x0 + ; ;): = ми ;;p03;.
В этом случае натуральный, бекар 4D Laplacian является L;1 ((;0) 2 ; я (;i) 2), который (24.25) -
(24.26) действует на плоских волнах как (24.3), таким образом давая значение последнему как
описание физической массовой оболочки.
Наконец, для анализа эксперимента мы принимаем идентификацию noncommutive
волн в вышеупомянутой нормальной упорядоченной форме с классическими что детектор мог бы зарегистрировать. В этом случае можно спорить [1] что скорость для такой волны может быть вычислена как | ;p0;pi| = e;p0 в модулях, где 1 обычная скорость света. Таким образом, предсказание - то, что скорость света зависит от энергии. Что замечательно то, что даже если ; ; 10;44 s (шкала времени Планка), это предсказание могло в принципе быть проверено, например используя ; - взрывы луча. Они известны в некоторых случаях путешествовать на космологические расстояния прежде, чем прибыть сюда, и имеет распространение энергий из 0.1-100 МЕВЫХ. Согласно вышеупомянутому, относительная задержка T на путешествии расстоянии Л для энергий p0, p0 + p0
T ; ;p0Лдо; 10;44 s ; 100MeV ; 1010 y ; 1 миллисекунда,
которая в принципе заметна статистическим анализом большого количества взрывов коррелированных с расстоянием (определенным например при использовании Телескопа Хаббл
запирать на галактике узла каждого взрыва). Хотя вышеупомянутое - только один из  класса предсказаний, поразительно, что даже эффекты длины Планка теперь в принципе в пределах экспериментальной досягаемости.
486 С. Маджида
24.5 Физическое истолкование
Мы дали bicrossproduct модель на грани первых предсказаний. Однако, есть все еще много проблем для этого и всех других моделей. Ключевая проблема — это в использовании NCG к образцовой физике все еще нужно связать математические объекты с фактической физике. То, что есть основная проблема, здесь очевидно в следующих двух вопросах.
(i) Как мы могли видеть некоммутативную плоскую волну? Как был бы мы точно иметь размеры
какие-либо особые координаты p;, и т.д., маркируя наши плоские волны? Не отвечая на это,
 нет никакого предсказания.
(ii) Как был бы мы физически обнаруживать порядок 'добавления' в nonAbelian импульса
группового правила? Например, если мы раздавливаем вместе две волны nonAbelian импульса
p, p, какой окольный путь дает мы творим соединение?
24.5.1 Предварительные квантовые состояния и квантовое изменение фреймов
Правильный способ обратиться к первой проблеме согласно текущему пониманию к обработке некоммутативной алгебры как алгебру действующей компании, создайте представления
или 'государства' этой ‘предквантовой системы’ и полагают то, что наблюдалось бы макроскопическим образом значениями ожидания x;, ;p (x), и т.д., в этом государстве. Как правило там существует ‘минимальная неуверенность’ когерентные, единые государства, где x; кажутся ограниченными как очень насколько возможно вокруг x; и ожидания плоских волн в таком последовательном государстве имеет определенную подпись, которая могла быть разыскана, или наоборот другие государства могли быть рассмотрены как наложение их. Поскольку модель (24.2) смотри [2; 21]. В общем более глубокая теория Квантовой Силы тяжести должна обеспечить эти государства и их поведение в дополнение к некоммутативному пространству-времени и алгебре Poincar;. Здесь ; обработан как математически аналогичный константе Планка, но не является Планка постоянной (мы работаем в модуле, где = 1), который является, почему мы называем эту 'предварительного кванта' теорию не квантовой механикой. Это - что-то больше основного , фундаментального.
Фактически Квантовая Сила тяжести должна обеспечить намного больше чем это. Оно должно обеспечить представление из и следовательно ожидание оценивает за всю координатную алгебру C;\[Poinc]. Только учитывая такое государство было бы квант преобразование Poincar;
становиться фактическим числовым преобразованием (по необходимости например, чтобы пройти к покоя фрейму) формы
x;\; x;\ ;; + a; + O (;)
где (говорят), что a; - квантовые групповые координаты в секторе перевода и ; ; - те в секторе Lorentz. В общем, возможно, не имеет такого разложения, но даже если Вы сделаете, если Вы сделаете два таких преобразования, то каждый будет иметь вообще что
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 487
a;a; = a;\ a; + O (;), ;;a; = ;;\ a; + O (;) (24.27)
;;;; = ;;\ ;; + O (;) (24.28)
отражение, что квант координаты Poincar; не добирается в NCG; они не даны фактическими числами. NonAbelianness группы импульса появляется здесь в первом из (24.27), который говорит что физические состояния, обеспеченные Квантом  силы тяжести не будет иметь классических численных значений для всей координаты импульса действующих компаний a; одновременно. Это не должно быть перепутано с моментом инерции (например), где генераторы алгебры окутывания не могут быть одновременно diagonalised, но где координатная алгебра может быть (фактические классические значения момента инерции, угла). Наша ситуация - дуальна к этому. Мы так же не можем иметь размеры ;; и a; одновременно из-за второго из (24.27), когда коммутации отношения нетривиальны.
В bicrossproduct модели the; ; взаимно добираются (координаты Lorentz не искажены), таким образом (24.28) не нуждается ни в каком O (;) исправления. Государства в этом секторе могут быть даны реальными точками в SO3,1 или числовыми углами. Тем временем, второй из (24.27) имеет исправления из-за (24.15) данный векторными полями ; или в глобальной установке алгебры Ноймана Hopf-von глобальным действием 3 как в (24.22), которое мы видели фотографическим увеличением, вьющимся вверх как в рисунке 24.3. Это подразумевает некоторую форму ‘большого количества nocommutativity’ или ‘бесконечная неуверенность’ для определенных государств. Таким образом, в то время как мы имеем совершенно хорошую алгебру Hopf, они только видят дифференцированные данные соответствующей пары и мисс, теряют исключительное глобальное изображение. Это входит, когда мы пытаемся представить их как алгебру действующей компании в реальных положениях.
В общих словах квант преобразование Poincar; имеет смысл алгебраически, но чтобы понять это в цифровой форме, каждый нуждается в значениях ожидания или представлениях генераторов
из C; [Poinc] (это не должно быть перепутано с представлениями U; (poinc) у которых есть их обычное значение, как частица заявляет). Урок - то, что мы нуждаемся в обоих в Квантовой Силе тяжести.
24.5.2 • - результат, продукт classicalisation и эффективные действия
Альтернативный подход к 'предквантовым' методам действующей компании как выше  рассматривает некоммутативную пространственно-временную алгебру как деформация на том же самом векторном пространстве как классически, но с новым результатом •. Это идет с идентификацией ; вектора пространства, которое мы называем ‘classicalisation картой’, и которые определяют измененный результат
f • соль = ; (;;1 (f) ;;1 (g))
для классических функций f, соль. Мы можем добавить в это рабочую гипотезу что некоммутативные переменные должны наблюдаться, применяясь ; и наблюдая классическое
488 С. Маджида
изображение. Это приносит с этим богатство вопросов о том, почему нужно сделать такой
постулат или какую гипотезу это делает об экспериментальной осанке. В факт, определяющий ;, чрезвычайно эквивалентен высказыванию, что каждый верит некоммутативным плоским волнам ;p (x) похожи, неявное успение, допущение являющееся, что эти совпасть под ; с их классическими коллегами e;p;X;, где мы используем X; для классических пространственно-временных координат. В этом случае
e;p · X • e;p · X = ; (;p;p) = ; (;pp) = e; (стр) · X (24.29)
где стр обозначают (возможно nonAbelian) групповое правило сочинения импульса в выбранной системе координат.
Таким образом для bicrossproduct пространства-времени Минковского квантовые плоские волны что мы использовали, эквивалентны
;\(: f (x):) = f (X), например, ; (;p(x)) = e;p;X;
для любого классического выражения f (X) и где:: средства помещая весь xi налево от всего x0 как объяснено в [23]. В экспериментальных условиях это означает что экспериментальный комплект
должен (так или иначе) иметь размеры сначала x0 и затем xi, порядок, имеющий значение ввиду
отношения некоммутации. Результат маркера, подразумеваемый здесь на классических функциях
затем
f • соль = ·ми ;; ;; X0; Xi;; Xi (f ;g)= f (X, X0 + ; ; градус (g)) соль (X, X0) (24.30)
для классических функций f, соль, где градус (g) является полным градусом в Xi в случае
где соль является гомогенной. Здесь каждый применяет показанную действующую компанию и затем умножает результаты, используя классический результат функций на Пространстве Минковского, чтобы дать этот результат. Эта действующая компания - 2-cocycle в любой алгебре Hopf, содержащей ;; X0, Xi;; Xiчто означает, что это также вписывается в ‘подход функтора винта к quantisation’ [18; 22]
приведение к различному NCG на той же самой алгебре чем тот от bicrossproduct изображения. Мы не будем в состоянии покрыть подход функтора винта, здесь должный недоставать из пространства, но другого функтора винта модели включают результат Moyal или ;-spacetime (иначе алгебра Heisenberg) [x;, x;] = ; ;;;.
Затем, карта classicalisation позволяет писать действие NCG как
L =d f ; $d f + m2 f 2 + ;f 3, (24.31)
и т.д., где f - элемент квантовой алгебры пространства-времени, и мы принимаем мы даем ковариантное и $ Ходж - действующая компания, с точки зрения обычных полей ; =
;\(f) с действием
L =R4d4X;; X;; • ;; X;; + m2; • ; + ;; • ; • ;, (24.32)
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 489
и т.д., используя классическую интеграцию и исчисление, но с • результат вместо обычного результата функций. Это принимает что =d4X; () и что квантум дифференциалы становятся классическими через ;, как имеет место для самых простых моделей NCG (включая ;-spacetimes и трехмерный квант двойной модели (24.2)). В случае из bicrossproduct пространства-времени модели, квантовая интеграция действительно определена нормальным упорядочиванием ; и мы видели (24.25) - (24.26) что пространственный квантум дифференциалы действительно касаются классических, но ;0 направлений имеют отношение под ; к конечной разности в воображаемом направлении времени. Следовательно некоммутативное  действие не будет обычной • формы (24.32), но вовлечет конечные разности для ;0. У каждого также есть проблема что квантовое исчисление и следовательно действие NCG не обязательно ;-Poincar; ковариантное (даже при том, что само пространство-время-), там аномалия для группы Poincar; на отличительном уровне. Можно заменить
исчисление 5D ковариантным, но затем нужно интерпретировать это дополнительное направление.
Мы ожидаем это (см. ниже) касаться потока группы перенормализации в QFT на пространстве-времени. Снова физика этих проблем остается полностью исследоваться во время написания.
24.6 Другие некоммутативные пространственно-временные модели
4D bicrossproduct модель самая простая некоммутативная пространственно-временная модель
что могло быть деформацией нашего собственного мира с его правильной подписью. Есть менее развитые модели и мы выделяем их здесь.
Мы запускаем с (24.2) для который U; (poinc2,1) = U (so2,1) 3 <До [SO2,1] как специальный случай bicrossproduct, где реакция задней части ; тривиальна. Здесь X =SO2,1Ad> 4SO2,1 и из общей теории, мы знаем, что это действует на U (so2,1) как трехмерное некоммутативное пространство-время. Его версия U (su2) Euclideanised — алгебра (24.2) предложенная для трехмерной Квантовой Силы тяжести в [2]. Для плоских волн мы используем каноническую форму
;k= e;k · x, |k | <;;
с точки зрения местных 'логарифмических' координат как в Разделе 24.2. Сочинения правило для плоских волн - результат SU2 в этих координатах (дано CBH составом) и у нас есть квант, который Фурье преобразование (24.5) с ei = xi в существующее приложение. Мы также имеем [2]:
dxi = ;;i, xi % ;  = ;;2;dxi,
(dxi) x j ; x jdxi = ; ;i jkdxk + ; ;;i j %,
где % - 2 ; 2 единичные матрицы которые, вместе с Pauli matrices ;i завершают основание лево-инвариантных 1 форм. 1 форма обеспечивает естественного времени
490 С. Маджида
направление, даже при том, что нет никакой координаты времени, и новый параметр ; = 0
появляется как свобода изменить ее нормализацию. Частные производные ;i определенные
d;\(x) = (;i;) dxi + (;0;) %
и акт по диагонали на плоских волнах как
;i = ;ki;\| k |грех (; | k |), ;0 = ;;;(потому что (; | k |) ; 1) = ;
;2;2 + O (;2).
Наконец, есть classicalisation карта [4]
;\(;k (x)) = e;p;X;, p0 =, потому что (; | k |), пи = грех (; | k |)
;\| k |ki.
Можно также маркировать некоммутативные плоские волны непосредственно p;, как мы сделали для
модели (24.1). Карта ; воспроизводит (24.2) • результат и добирается с ;i (но не ;0), что означает, что действия такие как (24.32) сделали предложение в [3] как эффективная теория для трехмерной Квантовой Силы тяжести по существу совпадает с NCG эффективными действиями такими как (24.31) как в [2]. Здесь = j;N (j +1) Концерн j является суммой следов во вращения j/2 представлении. У некоммутативного действия есть дополнительный термин вовлекающий ;0, который может быть подавлен только, предполагая что 4D Ходж ; - действующая компания является выродившейся. Кроме того карта ; видит только информацию о вращении целого числа
в модели, которая не является полной NCG, см. [4].
Обратите внимание, что ; не может быть взят, чтобы быть нолем из-за аномалии для постоянства перевода из DGA. Эта аномалия шпигует, усиливает дополнительное измерение очень, когда мы видели (24.1) прежде. Физическое значение этого дополнительного направления ;0 от очка
вида Euclidanized трехмерной Квантовой Силы тяжести как группового потока перенормализации
направление связанное к блокированием вращений в модели [4] Ponzano-Regge. Либо, можно вообразить это noncommuative пространство-время, воскресающее в других нерелятивистских пределах 4D теория, с дополнительным направлением 'времени' x0 примыкая [21]
% = dx0, [x0, xi] = 0, [x0, dxi] = ;;2;dxi, [x0, %] = ;;2;%
и новые частные производные ; ; на расширенной алгебре. Затем 'постоянное' условие в новой теории - d; = O (dxi) или ;0; = 0, то есть.
;\(x, x0 + ;;2;) =1 + ;2;2;\(x, x0) (24.33)
Алгебраический подход к Квантовой Силе тяжести II 491
который в ; ; 0 пределов становится уравнением Шредингера для частицы массы m = 1/;. Решения для плоской волны существуют в форме e;k;x;, k0 = ; 1 m;2 ln, потому что (; | k |), |k | <
;2;
показывающей Planckian связку.
Другое главное некоммутативное пространство-время, более или менее полностью исследуемое автором в 1990-ых, используя плетеные методы является Уравнением [R3,1] или 'Q-пространство-Минковского'. Оно имеет матрицу генераторов, отношений, ; - структура и плетший побочный продукт
;; = q2;;, ; ; = q;2;;, ;; = ;;,
;; = ;; + (1 ; q;2) ; (; ; ;),
;; = ;; + (1 ; q;2) ;;, ; ; = ;; + (1 ; q;2) ; ;,
; ;; ;;=; ;; ;, ; ;; ;=; ;; ;;; ;; ;
и есть также обозначенный [M2] как алгебра плетеных 2;2 Hermitian matrices [19]. Если мы фактор плетеным определяющим отношением ;; ; q2;; = 1 у нас есть модуль гиперболоида в Уравнении [R3,1], который является плетеным групповым Беккерелем [SU2] как получено канонически от Уравнения [SU2] процессом названным 'превращение'. Интересно, плетеная группа - самодуальна, Беккерель [SU2] ; BUq (su2) = Uq (su2) как алгебра, обеспечивающая, q родовое; это просто квантовое явление. Это означает то Q-пространство-Минковского имеет два предела, каждый - классическое Пространство Минковского и другой после масштабирования и затем беря предел, алгебры окутывания su2 ; u (1). Есть также добавенный плетения побочный продукт ; = ; ;1 + 1 ;;, и т.д., который соответствует
обычной (плоской) добавочной структуре R3,1. Наконец, из плетеной групповой теории там
‘bosonisation’ конструкция Uq (poinc3,1) = Uq (so3,1) 3 · <Уравнение [R3,1], который действует covariantly на Уравнении [R3,1] как q-Poincar; квантовая группа с расширением [20]. Однажды снова есть аномалия, которая требует дополнительного генератора, здесь обозначенное расширение by5. Было предложено, чтобы q-deformed модели коснулись Квантовой Силы тяжести с космологической константой.
Ссылки
[1] Соль. Amelino-Camelia и С. Маджид, Волны на некоммутативном пространстве-времени и
взрывы гамма-луча, Интервал. Дж. Мод. Физика. 15 (2000) 4301-4324.
[2] Ми. Батиста и С. Маджид, Некоммутативная геометрия пространства момента инерции
U (su2), Дж. Мэт. Физика 44 (2003) 107-137.
[3] Л. Freidel и Э. Р. Ливайн, “модель Ponzano-Regge повторно посещают. III: Feynman
диаграммы и эффективная полевая теория,” hep-th/0502106.
492 С. Маджида
[4] С. Маджид и Л. Фреидель, Некоммутативный гармонический анализ, теория дискретизации по времени и
Duflo отображаются в 2+1 квантовой силе тяжести, Классе. Шест для отталкивания. Сила тяжести, 25 (2008) 045006,
hep-th/0601004.
[5] A. Kempf и С. Маджид, Алгебраическая q-интеграция и теория Фурье на кванте и
плетеные пробелы, Дж. Мэт. Физика 35 (1994) 6802-6837.
[6] V. Любашенко и С. Маджид, Плетеные группы и квант Фурье преобразовывают, J.
Алгебра 166 (1994) 506-528.
[7] V. Любашенко и С. Маджид, Фурье преобразовывает личности в квантовую механику
и квантовая строка, латыш Физики. Си 284 (1992) 66-70.
[8] Дж. Лукиерский, А. Ноуики, Х. Руегг и V. Н. Толстой, q-деформация Poincar;
алгебра, латыш Физики. Си. 268 (1991) 331-338.
[9] С. Маджид. Принцип дуальности и плетшая геометрия, в Спрингере Лекте. Физика примечаний, 447
(1995) 125-144.
[10] С. Маджид, Организации Теории Quantum Group (издательство Кембриджского университета,
1995).
[11] С. Маджид, Алгебраический подход к квантовой силе тяжести III: Риманнов квант
геометрия, в Математических и Физических Аспектах Квантовой Силы тяжести, Б. Фаузера и
J. Tolksdorf, редакторы (Birkhauser, 2006), стр 77-100, hep-th/0604132.
[12] С. Маджид, Некоммутативно-геометрические Группы Конструкцией Bicrossproduct,
(Кандидатская диссертация, Гарвард математическая физика, 1988).
[13] С. Маджид, алгебра Hopf для физики в длине Планка, J. Классический и Квант
Сила тяжести, 5 (1988) 1587-1606.
[14] С. Маджид, Физика для алгебраистов: некоммутативный и noncocommutative Hopf
алгебра bicrossproduct конструкцией, Дж. Алджебра 130 (1990) 17-64.
[15] С. Маджид, Соответствующие пары групп Ли связывались к растворам Яна-Baxter
уравнения, Pac. Дж. Мэт. 141 (1990) 311-332.
[16] С. Маджид, Hopf-von алгебра Ноймана bicrossproducts, алгебра Kac bicrossproducts,
и классические уравнения Яна-Baxter, Дж. Фанкт. Анализ 95 (1991) 291-319.
[17] С. Маджид, принцип теоретической представлением самодуальности, Эссе Физики 4
(1991) 395-405.
[18] С. Маджид, теорема Tannaka-Krein для quasiHopf алгебры и других результатов,
Contemp. Математика. 134 (1992) 219-232.
[19] С. Маджид, Примеры плетеных групп и плетшего matrices, Дж. Мэта. Физика 32
(1991) 3246-3253.
[20] С. Маджид, Плетеный импульс в q-Poincar; группе, Дж. Мэте. Физика 34 (1993)
2045-2058.
[21] С. Маджид, Некоммутативная модель с непосредственным поколением времени и Planckian
связанный, Дж. Мэт. Физика 46 (2005) 103520.
[22] С. Маджид и Р. Оекл, Вращательный из квантовых дифференциалов и длины Планка Hopf
алгебра, Commun. Математика. Физика 205 (1999) 617-655.
[23] С. Маджид и Х. Руегг, структура Bicrossproduct ;-Poincar; группы и
некоммутативная геометрия, латыш Физики. Си 334 (1994) 348-354.
[24] П. Подльз и С. Л. Воронович, На системе зачета кванта группы Poincar;,
Математика Коммуникации. Физика 178 (1996) 6182.
[25] S.L. Woronowicz, Отличительное исчисление на компактных матричных псевдогруппах (квант
группы), Математика Коммуникации. Физика 122 (1989) 125-170.