Подходы к квантовой силе тяжести 18-21 частьIV Дан

Часть IV
Дискретная Квантовая Сила тяжести

18
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени
J. AMBJ ; R N, J. JURKIEWICZ И R. Лолл
18.1 Вводная часть
Что более естественно чем построение пространства от элементарного геометрического строительства кварталов? Это не столь же легко, как можно было бы думать, основанное на нашей интуиции игры с Lego блоками трехмерного пространства. Предположите, что строительства блоки
 d-dimensional плоские simplices, вся чей продолжительность стороны - a, и позволяет d> 2.
проблема состоит в том, что, если мы склеиваем такие кварталы небрежно, мы будем с вероятностью один создавать пространство никакого выпрямления, в котором возможно добраться от одной вершины к любой другой в нескольких шагах, проходя одномерные края симплициальной копии, что мы создали. Мы можем также сказать, что у пространства есть выпрямление, расширение
который остается в a масштабе "перемаха, отрез-конец". Наша интуиция, прибывающая от игры с
Lego блоков вводит в заблуждение здесь, потому что это предполагает, что стандартные блоки
встроенны геометрически искренне в Евклидов IR3, который не имеет место для свойственной геометрической конструкции симплициального пространства.
В отличие от этого, теперь давайте будем более осторожными в наших строительных работах, назначая к симплициальному пространству T - который мы будем интерпретировать как (Евклидово) пространство-время -вес e;S (T), где S (T) обозначает действие Эйнштейна, связанное с кусочной линейной геометрией, уникально определенная нашей конструкцией 1 Пока (пустого, прижатого) гравитационного сцепления, спаривания постоянная GN является большой, у нас есть та же самая ситуация как прежде. Однако, после понижения GN мы в конечном счете столкнемся со связующей партией фазы вне которой геометрия больше не раздавлена в крошечный мяч, но максимально расширенная. Такая геометрия сделана из эффективно одномерных filaments2, которые могут расшириться, и поэтому названы разветвленными полимерами или деревьями [4; 2]. Связующая партия, разделяющая эти две фазы [13; 14] имеет первый порядок, который подразумевает, что нет никакого гладкого изменения между двумя патологическими типами из минимально или максимально расширенных "вселенных".
1 Там существует бекар, координатно-независимая четкость действия Эйнштейна для кусочных линейных конфигураций
названный действием Regge.
2 d-dimensional стандартные блоки расположены таким образом, что (d ; 1) "у поперечных" размеров есть размер только
несколько интервалов решетки.
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
342 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
Для суммы по конфигурациям, чтобы поставить квантовую теорию силы тяжести в котором классическая геометрия воспроизведена в подходящем пределе, мы поэтому нуждаемся в  различном принципе для того, чтобы выбрать конфигурации, которые будут включены в эту сумму. Ниже мы введем такой принцип: наше предписание должно будет суммировать по классу (Евклидовы) геометрий, которые находятся в непосредственной корреспонденции с Lorentzian, причинные геометрии. На discretized уровне, где мы используем определенный набор здания блоков и склеивающие правления, чтобы конструктивно определить интеграл по траектории, мы называем их
геометриями причинных динамических триангуляций (CDT) [5; 6; 8; 7].
Прежде, чем обсудить CDT более подробно позвольте нам комментировать природу
геометрий, способствующих интегралу по траектории. Важно подчеркнуть это в квантовой теории силы тяжести данная пространственно-временная геометрия как таковая имеет не немедленного
физического значения. Ситуация - действительно то же самое как в обычном квантовом поле
теории или даже квантовой механики, где отдельные полевые конфигурации ; (x, t) или пути частицы x (t) не заметны. Только определенные значения ожидания имели отношение к полям или путям может наблюдаться в экспериментах. Это не означает что там не могут существовать пределы, в которых уместно говорить об особой полевой конфигурации или пути частицы в приблизительном смысле. В случае нашей фактической вселенной, вниз к самым маленьким расстояниям, которые были исследованы экспериментально, это конечно, кажется соответствующим, чтобы говорить о неподвижной классической пространственно-временной геометрии. Однако, на достаточно маленьких расстояниях больше не будет иметь смысла спрашивать классические вопросы о пространстве-времени, по крайней мере если мы должны верить в принципы обычной квантовой теории.
Посредством иллюстрации позволяют нам обсуждать ситуацию для обычного гармонического генератора (или свободная частица), и рассматривают интеграл по траектории от (x1, t1) к (x2, t2).
Точно для гармонического генератора (или свободная частица) разложение
x (t) = xcl (t) + y (t), y (t1) = y (t2) = 0, (18.1)
приводит к точному разложению на множители интеграла по траектории, потому что действие удовлетворяет
S (x) = S (xcl) + S (y). (18.2)
Это подразумевает, что классический путь xcl (t) способствует интегралу по траектории с
классического действия, и y (t) с квантовым свободным художником колебаний этой классической
партии, части. Взятие классической траектории, чтобы быть макроскопическим получает изображение макроскопического пути выравнивает, одетого с маленькими квантовыми колебаниями; маленькие, потому что они свободный художник классического движения. Явные Евклидова вычисления результаты дают результат
9 T0dt y2 (t):=2m;2 (;T tanh;1 ;T ; 1) (18.3)
как функция частоты генератора ; и массовый м. Теперь давайте рассматривать  ситуацию, где мы выбрали “системный размер”, то есть xcl (t), чтобы быть макроскопическими.
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 343
Согласно (18.3), квантовые колебания вокруг этого пути могут затем быть рассмотренны маленьким с тех пор является маленьким.
Это - более или менее изображение, в котором мы предусматриваем для нашей современной вселенной Квантовой Силы тяжести: вселенная имеет макроскопический размер, которым управляют классическими уравнениями движения (аналог выбора "вручную" (x1, t1) и (x2, t2), чтобы быть
макроскопическим в примере выше), и маленькие квантовые колебания продиктованы гравитационным постоянным сцеплением, спариванием (времени /c3).
Данная конфигурация x (t) в интеграле по траектории для механической квантом частицы
не (с вероятностью один) непрерывный, нигде дифференцируемый путь, который кроме того фрактальный, дробный с измерением Hausdorff два, как мы знаем от строгой конструкции Винер имеет размеры на наборе параметрических путей. В случае Квантовой Силы тяжести у нас нет подобной математически строго определенной меры на пространстве конфигураций, но это — бекар, натуральное чтобы ожидать то, если это существует, типичная геометрия в интеграле по траектории будет непрерывна, но нигде дифференцируема. По аналогии кусочные линейные конфигурации кажутся хорошим выбором, если мы хотим приблизить гравитационный интеграл по траектории, пути набором, рядом геометрий и впоследствии взять предел, куда приближение (перемах, отрезка-конец) удалено. Кроме того, такие симплициальные копии обладают бекаром, натуральным геометрическим и координатно-независимым выполнением действия Эйнштейна-Хилберта. Со всеми местными градусами сабельности существующей свободы (хотя discretized способом), мы также ожидаем, что они будут соответственно "плотны" в наборе всех непрерывных конфигураций.
Дух - очень дух стандартной рецептуры решетки кванта полевая теория, где (единообразное) пространство-время приближено гиперкубической решеткой. Ультрафиолетовый перемах, отрез-конец  в таких полевых теориях дан интервалом, пространством решетки, то есть продолжительностью всех одномерных краев решетки. Мы можем в подобной и простой манере ввести diffeomorphism-инвариантный перемах, отрез-конец в сумме по кусочной линейной конфигурации, ограничивая это стандартными блоками, упомянутыми ранее. Бекар, натуральный
стандартный блок для d-dimensional пространства-времени - d-dimensional равносторонний симплекс
с a длиной до стороны, и интегралом по траектории приближен представлением суммы по всем конфигурациям (неподвижной топологии topology3), который может быть получен, склеивая такой
3 В классической Общей теории относительности нет никакого побуждения, чтобы рассмотреть пространственно-временные модели, пространственная топология которых изменяется вовремя, так как их структура Lorentzian обязательно исключительна. Есть интересное и давнишнее обсуждение о том, нужно ли включать изменения топологии в квантовой теории силы тяжести. Однако, даже
в случае двумерной Евклидовой Квантовой Силы тяжести, где система зачета изменений топологии просто, суммирование по топологии никогда не определялось non-perturbatively удовлетворительным способом, несмотря на много попыток, в частности в так называемой некритической теории струн. (Однако, см. [24; 25; 26], для как один может улучшить конвергенцию суммы в двумерной Квантовой Силе тяжести Lorentzian, вызывая не только топологическую, но причинную, геометрическую структуру пространства-времени.) Ситуация становится хуже в выше размерах. Например, четырехмерная топология не является поддающейся классификации, таким образом, что означает суммировать их в интеграле по траектории? Проблема - даже в измерении два - состоит в том, что есть еще много конфигураций
сложная топология чем есть простой топологии со следствием что любая сумма по конфигурациям будет (i) полностью во власти этой сложной топологии, и (ii) явно расходящееся в пути который (до сих пор) лишил возможности определять теорию non-perturbatively в однозначном и физически удовлетворительной манере. В более высоких размерах эти проблемы являются полностью неконтролируемыми.
344 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
стандартные блоки вместе, каждая геометрия, нагруженная соответственно (например, e;S, где S - действие Эйнштейна-Хилберта). Впоследствии мы берем предел a;0. Для особого выбора пустых, безразмерных констант сцепления, спаривания можно быть способным получить предел континуума, и таким образом извлечь теорию континуума. Для другого значения, если сумма существует вообще (возможно после перенормализации), каждый будет просто получать сумму, у которой нет никакого истолкования континуума. Эта ситуация точно то же самое, как то что столкнулось в обычной теории поля решетки в единообразном пространстве-времени.
Как упомянуто ранее, до сих пор, не было возможно определить конструктивно Евклидов интеграл по траектории для силы тяжести в четырех размерах следующей философией только выделенной. Каждый просто не преуспел в том, чтобы идентифицировать предел континуума
из (неограниченной) суммы по Евклидовым стандартным блокам. Среди причин что были усовершенствованы, чтобы объяснить этот отказ, это прозрачно что энтропия различной
геометрии играет важную роль. Мы уже указали что раздавленные геометрии никакого выпрямления, расширения доминируют над пространством всех непрерывных конфигураций всякий раз, когда
измерение пространства-времени больше чем два. Нет ничего неправильного с этого априорно; над интегралом по траектории любой квантовой теории поля доминируют полностью дикими ультрафиолетово-полевыми колебаниями. Однако, в случае renormalizable кванта полевые теории там существуют четкая ограничивающая процедура, которая позволяет то извлекать физику "континуума" тонкой настройкой пустых, прижатых констант сцепления, спаривания теории. Аналогичная процедура в Евклидовой Квантовой Силе тяжести все еще не была найденна, и добавляющее (bosonic) содержание не улучшает ситуацию. Вместо этого обратите внимание, что у действия Эйнштейна-Хилберта есть уникальная функция, а именно, что бесконечно от ниже. Связующая партия между раздавленным и конфигурациями разветвленного полимера может видеться как связующая партия от фазы, где энтропия конфигураций доминирует над  действием к фазе, где бесконечность Евклидова действия становится доминантой 4 невозможности обнаружения, что предел континуума может видеться как невозможность балансирования энтропии конфигураций против действия. Мы нуждаемся в другом руководящем принципе для того, чтобы выбрать Евклидовы геометрии в интеграле по траектории чтобы получить предел континуума, и это - такой принцип, к которому мы поворачиваем затем.
18.2 Определение CDT
Было предложено, чтобы подпись пространства-времени могла быть объяснена от динамического принципа [16]. Будучи несколько менее честолюбивым, мы предположим, что это имеет подпись Lorentzian и соответственно изменяет нашу перспективу от Евклидовой
4, Хотя действие не бесконечно ниже в упорядоченной теории, этом полнометражном фильме действия континуума однако проявляется в пределе, поскольку (discretized) объем пространства-времени увеличен, в конечном счете ведя к вышеупомянутой связующей партии фазы в особом значении пустого гравитационного постоянного сцепления. Замечательно, связанное явление происходит в теории бозонной струны. Если мировая листовая теория упорядочена non-perturbatively с точки зрения триангуляций (с каждой двумерной мировой простыней, склеенной от основного тона симплициальные стандартные блоки), tachyonic болезнь теории проявляется в форме поверхностей
вырождение в разветвленные полимеры [1].
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 345
рецептуры интеграла по траектории, обсужденного в предыдущем разделе к Lorentzian рецептуре, мотивируемая бесспорным фактом, что наша вселенная имеет три пространственных и одно времени измерения. Введеная определенная ротация к Евклидовой подписи ниже будет необходима в нашей завязке действия как просто технический инструмент, чтобы дать представление бесспорной суммы по геометриям. В отличие от этого в единообразном пространстве-времени нет никаких общих теорем которые позволили бы нам связывать квантовые теории поля Euclidean и Lorentzian когда контакт с Квантовой Силой тяжести.
Рассмотрите теперь соединенную пространственноподобную гиперповерхность в пространстве-времени. Любое классическое развитие в Общей теории относительности оставит топологию этой гиперповерхности неизменной, так как иначе пространство-время содержало бы области где метрика является выродившейся. Однако, пока у нас нет последовательной теории Кванта
Сила тяжести, которую мы не знаем, должны ли такие выродившиеся конфигурации быть
включенны в интеграл по траектории. Мы уже утверждали что включение произвольных пространственно-временных топологий приводит к интегралу по траектории, у которого есть немного шанса того, чтобы иметь смысл. Можно было бы все еще рассмотреть ситуацию, где полная топология пространства-времени неподвижная, но где каждый позволяет “детским вселенным” отклоняться от основной вселенной, не разрешая им, чтобы воссоединиться с этим и таким образом творить "дескрипторы". Кроме того, чтобы быть  довольно искусственным ограничением на геометрию, такая конструкция вряд ли будет совместима с unitarity. Мы будем в следующем брать консервативную точку зрения и только суммируйте по конфигурациям (с подписью Lorentzian), которые разрешают расплющивание в (надлежащее) время и причинно хорошего поведения в том смысле, что никакая топология изменения позволена как функция времени. В окружении формального континуума интеграл по траектории для силы тяжести, подобные идеи были ранее усовершенствованы Teitelboim [33; 34].
Из diffeomorphism-инвариантных количеств можно рассмотреть в квантовой теории,
мы выбрали особого надлежащего-времени распространителя, который может быть определен
конструктивно прозрачным способом. Мы таким образом интересуемся определением пути
интеграла
Соль (соль (0), соль (T); T) =соль (T)соль (0)Дециграмм ei S [соль] (18.4)
по геометриям Lorentzian на manifoldMwith топологии ; [0, 1], где  компакт, соединяет трехмерную копию. Геометрии, включенные в интеграл по траектории будут таковы что вызванная граничная тремя геометриями соль (0) и соль (T) является пространственноподобной и разделена подобным времени геодезическим расстоянием T, с T внешним (diffeomorphism-инвариантным) параметром.
Мы теперь поворачиваем к конструктивной четкости этого объекта с точки зрения здания, строительства кварталов, блоков. discretized аналог бесконечно малого надлежащего- разового, времен "сэндвича" в континууме будет конечный сэндвич толщины t = 1 (измеренный в “модули стандартного блока” a) топологии ; [0, 1] состоящий из одиночного уровня foursimplices.
У этого уровня есть две пространственноподобных границы, соответствуя двум ломтикам
346 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
постоянной (целое число) “надлежащее время” t, которые являются одним модулем врозь. Они формируют две трехмерные кусочные единообразные копии топологии и состоят из просто пространственноподобных tetrahedra. Конструкцией интерьер сэндвича не содержит вершин, так, чтобы любая одна из четырех-simplices долей k ее вершин с начальным пространственным резаным, ломтиком и 5 ; k их с заключительным пространственным резаным, ломтиком, где 1 ; k ; 4. Получить расширенные пространственно-временные модели, каждый склеивает сэндвичи парами вдоль их трехмерного соответствия граничным геометриям. Мы выбираем каждый четыре -симплекса, чтобы иметь подобные времени ссылки продолжительностью-квадрата  a2t и пространственноподобные ссылки  продолжительностью-квадрата a2 s, со всем из
последних расположенных в пространственных ломтиках постоянного целого числа t.
Каждый пространственный четырёхгранник во время t поэтому совместно использован двумя четыре-simplices (сказал быть типа (1,4) и (4,1)), чья пятая вершина находится в соседнем резаном, ломтике постоянного времени t ; 1 и t + 1 соответственно. Кроме того, мы нуждаемся четыре-simplices из типа (2,3) и (3,2), которые делятся одной ссылкой и одним треугольником с двумя смежными пространственными ломтиками, как иллюстрировано в Рис. 18.1 (см. [8] для получения подробной информации). Оцененный целому числу надлежащее время t может быть расширено естественным способом к интерьерам четырех-simplices, приведение к глобальному расплющиванию, утолщению любого причинного динамически разбитого на треугольники пространства-времени в
кусочные плоскые (обобщения) триангуляции для любого постоянного реального значения t [15].
В каждом стандартном блоке на сей раз совпадает с надлежащим временем Минковского
пространства. Кроме того это может видеться это в кусочных линейных конфигурациях середины
из всего пространственного tetrahedra в постоянное время t разделены неподвижным подобным времени геодезическим расстоянием (в модулях решетки в, как) от соседних гиперповерхностей в
t ; 1 и t + 1. Именно в этом смысле “расстояние ссылки” t, то есть рассчитывающий futureoriented
подобные времени ссылки между пространственными ломтиками - discretized аналог их
надлежащего разового расстояния.
Кроме того давайте предполагать, что две возможной продолжительности ссылки связана a2t= ; ;a2s. (18.5)
tt + 1(4,1) (3,2)
Рис. 18.1. Два фундаментальных стандартных блока причинной динамически разбитой на треугольники силы тяжести.
У бемоля, плоского с четырьмя симплексами из типа (4,1) слева, есть четыре из его вершин во время t и один во время t+1, и аналогично для (3,2) - симплекс справа. "Пролом, пропасть" между двумя последовательными пространственными ломтиками постоянного времени целого числа заполнены копиями их симплициальных стандартных блоков и их обратных временем коллег, (1,4) - и (2,3)-simplices.
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 347
Все выборы ;> 0 соответствуют Lorentzian и всем выборам ; <;7/12 к Евклидова подпись, и Euclideanization геометрии получены подходящим аналитическим продолжением в ; (см. [8] для детального обсуждения этой “Вик фитиля” где каждый находит SE (; ;) = я SL (;) для ;> 7/12).
Установка ; = ;1 приводит к особенно простому выражению для (Евклидова)
действие Эйнштейна-Хилберта данной триангуляции T (так как все четыре-simplices затем
идентичны геометрически), а именно,
SE (T) = ;k0N0 (T) + k4N4 (T), (18.6)
с Ni (T) обозначение числа i-dimensional simplices в T. В (18.6), k0 пропорциональный обратному (пустому) гравитационному постоянному сцеплению, k0 ; 1/GN, в то время как k4 - линейное сочетание космологического и гравитационного обратного константы сцепления, спаривания. Действие (18.6) вычислено из предписания Регги для кусочных линейных конфигураций. Если мы берем ; = ;1 Евклидов четыре-simplices из типа (1,4) и типа (2,3) будут отличаться и появляться с различными отягощениями в действии Эйнштейна-Хилберта (см. [8]). Для наших текущих целей удобно использовать эквивалентную параметризацию
SE (T) = ;k0N0 (T) + k4N4 (T) + (2N14 (T) + N23 (T)), (18.7)
где N14 (T) и N23 (T) обозначают объединенные числа в T четырех-simplices из типов (1, 4) и (4, 1), и типов (2, 3) и (3, 2), соответственно. Явная карта между параметром в eq. (18.7) и ; может с готовностью тренироваться [10]. Для моделирований,симуляций,  о которых сообщают здесь, мы использовали в амплитуде 0.4-0.6.
(Евклидов) discretized аналог континуума надлежащего разового распространителя
(18.4) определен
Gk0, k4, (T (3) (0), T (3) (T), T) =T ;TT1Te;SE (T), (18.8)
где суммирование - по набору TT всех четырехмерных триангуляций топологии 3 ; [0, 1] (который мы в следующем всегда хотим быть S3), и T надлежащие- разовые, времени шаги, чьи пространственные граничные конфигурации в надлежащие времена 0 и T T (3) (0) и T (3) (T). Порядок группы автоморфизма графа T обозначен CT. Распространитель может быть связан с квантовым гамильтониана спряжением к t, и в свою очередь к трансфертной матрице (Евклидова) статистической теории [8].
Важно подчеркнуть снова, что мы вращаем каждую конфигурацию к  Евклидову "пространству-времени" просто, чтобы исполнить суммирование в пути интеграле, и что это сделано возможным кусочной линейной структурой нашей геометрии и существованием надлежащего разового расплющивания. Рассматриваемый от неотъемлемой Евклидовой перспективы там не был бы никаким побуждением, чтобы ограничить сумму
348 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
геометрий к "причинным" геометриям вида, созданного выше. Мы также хотим  подчеркнуть, что использование кусочных линейных конфигураций позволило нам записывать (упорядоченную) версию (18.4) использующую только геометрии, не метрики (которые конечно не diffeomorphism-инвариант), и наконец что использование стандартных блоков включает вводную часть diffeomorphism-инвариантного перемаха, отреза-конец (ссылка решетки продолжительности a).
18.3 Числовой анализ модели
В то время как может быть трудно найти явное аналитическое выражение для полного распространителя (18.8) из четырехмерной теории моделирования Монте Карло с готовностью
доступно для его анализа, используя стандартные методы от Евклидова динамически
разбитой на треугольники Квантовая Сила тяжести [3]. Идеально можно было бы хотеть сохранить
renormalized5 космологическую константу установленную в моделировании, когда присутствие космологического термина   ; соль на действии подразумевала бы что V4 с четырьмя объемами колебался вокруг V4 ;  ;1. Однако, для simulationtechnical причины каждый устанавливает вместо этого номер N4 четырех-simplices (or6 V4 с четырьмя объемами) с самого начала, работая эффективно с космологической константой  ; V;14 .
18.3.1 Глобальное измерение пространства-времени
"Снимок", которым мы имеем в виду сбыт трех объемов как функция из надлежащего времени беспорядочно выбран 0 ; t ; T для пространственно-временной конфигурации от произведенного Монте Карло геометрического ансамбля, показан в Рис. 18.2. Один наблюдает "стебель" по существу никакого пространственного выпрямления, расширения (с пространственными объемами близко
к минимальной триангуляции S3, состоящего из пяти tetrahedra) расширяющиися во вселенной подлинных "макроскопических" пространственных объемов, который после определенного времени
; ; T сокращается снова в состояние минимального пространственного выпрямления, расширения. Поскольку мы подчеркнули ранее, номер на одного человека, одиночная такая конфигурация является нефизической, и поэтому не заметной. Однако, более систематический анализ открывает что колебания вокруг полной "формы", подобная тому Рис. 18.2, является относительно маленькой, предлагая существование фоновой геометрии с относительно маленькими квантовыми колебаниями
добавленными. Это - точно сценарий, защищенный в Разделе 18.1, и скорее замечательный, учитывая что наш формализм - фоновый свободный художник. Наша первого мажора цель состоит в том, чтобы проверить количественно, что мы действительно имеем дело с приблизительным
5 Для отношения между пустым (безразмерным) космологическим постоянным k4 и повторно нормализованным космологическим
постоянным см. [4].
6 Для неподвижного ; (или) каждый имеет N14 ; N23 ; N4. V4 дан как (см. [8] для получения подробной информации): V4 = a4s (N14;8; + 3 +N23;12; + 7). Мы устанавливаем как = 1.
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 349
10 20 30 40
250
500
750
1000
1250
1500
1750
Рис. 18.2. Снимок “типичной вселенной”, состоящей приблизительно из 91 000 foursimplices поскольку это кажется в моделированиях Монте Карло в данное "машинное время".Мы чертим трехтомные в каждом целом числе ступают в надлежащее время, для степени общего времени звучания T = 40, в модули, где как = 1.
четырехмерная фоновая геометрия [9; 11], и во-вторых определить эффективные действия, ответственные за наблюдаемые крупномасштабные свойства этого фона геометрии [12; 10]. Важная информация содержится в том, как ожидание оценивает из объема V3 пространственных ломтиков и степени общего времени звучания, расширения ; (надлежащее- разовый, времени антракт, во время которого пространственные объемы ведут себя V3 1) наблюдаемой вселенной, как полный пространственно-временной объем различен V4. Мы находим это к хорошему приближению пространственно расширенные партии пространственно-временных моделей для различного V4 с четырьмя объемами могут быть отображенный друг на друга, повторно масштабируя пространственные объемы и надлежащие времена согласно
V3;V3/V3/44, ; ;;/V1/44 . (18.9)
Чтобы определить количество этого, мы изучили так называемый коррелятор объема объема
V3 (0) V3 (;) = 1t2tj=1 V3 (j) V3 (j + ;) (18.10)
для пар пространственных ломтиков целое число надлежащее- разовое расстояние ; врозь. Рисунок показывает 18.3 коррелятор объема объема для пяти различных пространственно-временных объемов V4, используя повторно масштаб (18.9), 7 и экспонируя что это почти совершенно. Ошибочная оценка дает результаты d = 4 ± 0.2 для крупномасштабного измерения вселенной [10].
Другой способ получить эффективное измерение невызывающей волнение основы
государства, его так называемое спектральное измерение DS, прибывает от изучения диффузионного процесса
7 В (18.10) мы используем дискретные модули, таким образом, что последующие пространственные ломтики разделены 1. Для удобства мы периодически идентифицируем T (3) (T) = T (3) (0) и сумма по всем возможным трем конфигурациям T (3) (0) вместо работы
с неподвижными граничными условиями. Таким образом (18.10) становится удобной инвариантной переводом мерой
пространственные и временные выпрямления, расширения вселенной (см. [7] для детального обсуждения).
350 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
-4 -2 0 2 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
(V3 (0) V3 (;))
Рис. 18.3. Масштабирование коррелятора объема объема, как функция повторно масштабируемой переменной времени x = ; / (N4) 1/4. Точки данных прибывают от системных размеров N4 =22 500, 45 000, 91 000, 181 000 и 362 000 в ;0=2.2, =0.6 и T =80.
на основном геометрическом ансамбле. На d-dimensional размножения, копия с неподвижной, выровненной, гладкой Риманновой метрикой болтливость (;), у уравнения распространения есть форма
;; ;Кг (;, ;0; ;) = gKg (;, ;0; ;), (18.11)
где ; - фиктивное время распространения, соль лапласовская действующая компания метрики (;) и Кг (;, ;0; ;) плотность вероятности распространения от очка ;0 к очку ; во времени распространения ;. Мы рассмотрим диффузионные процессы, которые первоначально достигнуты максимума
в некоторый момент ;0, так, чтобы
Кг (;, ;0; ; =0) = 1 ;detg (;);d (; ; ;0). (18.12)
Для особого случая единообразной Евклидовой метрики мы имеем
Кг (;, ;0; ;) = e;d2соль (;,;0)/4;(4;;) d/2, болтливость (;) = ;ab, (18.13)
где дециграмм обозначает функцию расстояния, связанную с метрикой соль.
Количество, которое легче измерить в числовых моделированиях, является средним числом
возврата вероятности (;), определенный
Разыгрывающий защитник (;): = 1Vdd;detg (;) Кг (;, ;; ;), (18.14)
где V пространственно-временной объем V =dd;;detg (;). Для бесконечного единообразного пространства, мы имеем разыгрывающего защитника (;) = 1 / (4;;) d/2 и таким образом можем извлечь измерение d, беря логарифмическую производную
; 2d регистрируют разыгрывающего защитника (;)d регистрируют ;= d, (18.15)
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 351
свободный художник ;. Для неединообразных пробелов и/или конечного объема V, можно все еще использовать eq. (18.15) чтобы извлечь измерение, но будут условия исправления (см. [10] для
детального обсуждения).
В применении этой завязки действия к четырехмерной Квантовой Силе тяжести в интеграле по траектории рецептуры, мы интересуемся измерением значения ожидания среднего числа
возврата  вероятности (;). Так как разыгрывающий защитник (;) определенный согласно (18.14) является инвариантным под перепараметризацией имеет смысл брать свое квантовое среднее число по всем
конфигурациям данного пространственно-временного объема V4,
PV4 (;) = 1;ZМИ (V4)D [болтливость] ми ; ; SE (болтливость) ;d4xdetg ; V4Разыгрывающий защитник (;), (18.16)
где ;Z Ми (V4) является Квантовой функцией партитуры Силы тяжести для пространственно-временных моделей с постоянной V4 с четырьмя объемами.
Наше следующее задание должно определить диффузионный процесс на классе метрических пространств под соображением, кусочные линейные структуры определены причинными триангуляциями T. Мы запускаем с начального сбыта вероятности
KT (я, i0; ; =0) = ;i, i0, (18.17)
который исчезает всюду кроме в беспорядочно выбранном (4,1) - симплекс i0, и
определяет диффузионный процесс правлением развития
KT (j, i0; ; + 1) = 15k ; jKT (k, i0; ;), (18.18)
где время распространения ; теперь совершенствуется в дискретных шагах целого числа. Эти уравнения симплициальные аналоги (18.12) и (18.11), k ; j обозначение самых близких пяти
соседей j с четырьмя симплексами. В этом процессе, полной вероятности
jKT (j, i0; ;) = 1 (18.19)
сохранен. Вероятность возвращения к симплексу i0 затем определена как ПИНТА (i0; ;) = KT (i0, i0; ;) и его квантовое среднее число как
PN4 (;) = 1;ZМИ (N4)TN4ми ; ; SE (TN4) 1N4i0;TN4KTN4(i0, i0; ;), (18.20)
где TN4 обозначает триангуляцию с четырьмя-simplices N4, и ;SE (TN4) и ;Z Ми (N4) -очевидные симплициальные аналоги количеств континуума в eq. (18.16).
Мы можем извлечь значение спектрального измерения DS, имея размеры
логарифмической производной как в (18.15) выше, то есть,
DS (;) = ;2d регистрируют PN4 (;)d регистрируют ;, (18.21)
352 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
0 100 200 300 400
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
;
DS
Рис. 18.4. Спектральное измерение DS вселенной как функция распространения времени ;, измеренная для ;0 = 2.2, = 0.6 и t = 80, и пространственно-временной объем N4=181k. Усредненные измерения простираются вдоль центральной траектории, вместе с добавленной лучшей подгонки DS (;) = 4.02;119 / (54 +;) (разбавляют черную траекторию). Два внешних изгиба представляют значение погрешности.
пока время распространения не намного больше чем N2/DS4. Результат измерения представлен в Рис. 18.4 с включенным значением погрешности. (Внешние два изгибы представляют огибающие верхним частям и дну значения погрешности.) Ошибка растет линейно с ;, из-за присутствия журнала ; в (18.21).
Замечательный полнометражный фильм траектории DS (;) является своим медленным подходом к асимптотическому значению DS (;) для большого ;. Новое явление, которое мы наблюдаем здесь, является масштабом зависимости спектрального измерения, которое появилось динамически [11; 10].
Как объяснено [11], лучшая подгонка с тремя параметрами, которая асимптотически
приближает константу имеет форму
DS (;) = ; си; + до= 4.02 ; 11954 + ;. (18.22)
Константы a, си и до были определены при использовании амплитуды данных ; ;[40, 400] и форма траектории соглашается хорошо с измерениями, как может видеться на Рис. 18.4. Объединяя (18.22) мы получаем
P (;) ; 1;a/2 (1 + c/;) b/2c, (18.23)
из которого мы выводим ограничивающие случаи
P (;) ;;;;;;a/2 для большого ;,
;; (a;b/c)/2 для маленького ;.(18.24)
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 353
Снова мы приходим к заключению что в пределах имеющей размеры точности крупномасштабного измерения из пространства-времени в нашей модели четыре. Мы также обращаем внимание что спектральное короткое расстояние измерение, кажется, приблизительно DS = 2, сигнализируя очень неклассическое поведение.
18.3.2 Эффективные действия
Наша следующая цель будет состоять в том, чтобы понять точную аналитическую форму
коррелятора объема- объема (18.10). С этой целью давайте рассматривать сбыт из различий в пространственных объемах V3 последующих пространственных ломтиков в надлежащие времена t и t + ;, где ; бесконечно мал, то есть ; = 1 в решетке надлежащие-разовые модули. Мы измерили сбыт вероятности PV3 (z) переменную
z = V3 (t + ;) ; V3 (t)V1/23, V3: = V3 (t) + V3 (t + ;) (18.25)
для различных значений V3. Как показано в Рис. 18.5 они падают на общую траекторию 8 Кроме того сбыт PV3 (z) приспособлен очень хорошо Гауссовским e;cz2, с постоянным свободным художником до V3. От оценки энтропии пространственных геометрий, то есть, число таких конфигураций, можно было бы ожидать исправления форму V;3, с 0 ; ; <1, к экспоненте z2 на сбыте PV3 (z).
К сожалению, невозможно измерить эти исправления непосредственно в надежном
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
PV3 (z)
Рис. 18.5. Сбыт PV3 (z) различий в объеме смежных пространственных ломтиков, для threevolumes
V3 = 10.000, 20.000, 40.000 и 80.000 tetrahedra.
8 Снова мы применили методы масштабирования конечного размера, отправляясь с произвольной силой V; 3 в знаменателе в (18.25), и затем определение ; = 1/2 от принципа максимального перекрытия сбыта для различных V3s.
354 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
путь. Мы поэтому делаем общий подход для сбыта вероятности для большого V3 (t) как
exp&; c1V3 (t)dV3 (t)dt2; c2V;3 (t)', (18.26)
где 0 ; ; <1, и c1 и c2 являются положительными константами.
В этой манере мы во главе с "соблюдением" к эффективным действиям
СевV4=T0dtc1V3 (t)dV3 (t)dt2+ c2V;3 (t) ; ;V3 (t), (18.27)
допустимый для большого трехтомного V3 (t), где ; - множитель Lagrange, чтобы быть
определенный таким образом, что
T0dt V3 (t) = V4. (18.28)
От общего масштабирования вышеупомянутого действия это прозрачно что единственный шанс получить наблюдаемое правило масштабирования, выраженное с точки зрения переменной t/V1/4
4, устанавливая ; = 1/3. Кроме того, чтобы воспроизвести наблюдаемый стебель в течение больших времен t функция V1/3 3 должна быть заменена функцией V3, производная которого в 0 идет как V;
3 ,; ; 0, по причинам, которые станут прозрачными ниже. Простая модификация, которая
сохраняет большое-V3 поведение в целости, дает
V1/33; (1 + V3) 1/3 ; 1, (18.29)
но подробная форма не важна. Если мы теперь вводим (неотрицательный) масштабный коэффициент (t)
V3 (t) = a3 (t), (18.30)
мы можем (после подходящего перемасштабирования t, и (t)) писать эффективные действия как
СевV4= 1GNT0dt(t)da (t)dt2+ (t) ; ;a3 (t), (18.31)
с пониманием, что линейный член должен быть заменен, используя (18.30) и (18.29) для маленького (t). Мы подчеркиваем снова, что велось к (18.31) полностью "соблюдением" и что можно рассмотреть маленькое-a (t) подразумеваемое поведение (18.29) в результате квантовых колебаний.
18.3.3 Minisuperspace
Теперь давайте рассматривать самую простую minisuperspace модель для закрытой вселенной
в квантовой космологии, что касается случая, используемого Hartle и Hawking в их
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 355
полуклассическая оценка функции волны вселенной [17]. В Евклидовой подписи и надлежащих разовыъ координат, метрики имеют форму
ds2 = dt2 + a2 (t) d23, (18.32)
где масштабным коэффициентом (t) является единственная динамическая переменная и d23
обозначает метрику на с тремя сферами. Соответствующее действие Эйнштейна-Хилберта
Сев = 1GNdt;a (t)da (t)dt2; (t) + ;a3 (t). (18.33)
Если никакое ограничение с четырьмя объемами не наложено, ; - космологическая константа. Если fourvolume установлен к V4, такому, что обсуждение параллельно компьютерным моделированиям
сообщенное выше, ; должен быть рассмотрен как множитель Lagrange, проводящий в жизнь данный
размер вселенной. В последнем случае мы получаем те же самые эффективные действия как это
извлеченно от моделирований Монте Карло в (18.31), до полного знака, должного к позорному конформному расхождению классического действия Эйнштейна, очевидного в (18.33). С точки зрения классических уравнений движения это повсюду не  играеь, конечно, никакой роли. Давайте сравним эти два потенциала, важные для вычисление полуклассических Евклидовых растворов, решений связанных с действиями (18.33) и (18.31). "Потенциал" 9
V (a) = ;a + ;a3, (18.34)
и показан в Рис. 18.6, без и с маленькой-a модификацией, для нормы модель minisuperspace и наша эффективная модель, соответственно.
Вызванное квантом различие для маленького важного начиная с действия (18.31)
допускает классически устойчивый раствор, решение (t) = 0, которое объясняет "стебель" наблюдаемый в компьютерных моделированиях (см. Рис. 18.2). Кроме того уместно говорить
из Евклидова "возврата", потому что = 0 местный максимум. Если один поэтому наивно переворачивает потенциал вверх дном, вращаясь назад к подписи Lorentzian, метастабильное состояние (t) = 0 может туннель в государство где (t) ; V1/4 4, с амплитудой вероятности в единицу времени, которая является (показательным из) Евклидова действия.
Чтобы понять, как хорошо полуклассическое действие (18.31) может воспроизвести
данные Монте Карло, то есть, коррелятор (18.10) из Рис. 18.3, мы решили для полуклассического возврата, используя (18.31), и представленный результат как черная траектория в Рис. 18.3. Соглашение с реальными данными, произведенными Монте Карло моделированием ясно совершенны.
9, Чтобы получить стандартный потенциал - не изменяя "время" - нужно сначала преобразовать к переменной x = a
32 для которого кинетический термин на действиях принимает стандартную квадратную форму. Это - имеющий результатом потенциал
;V (x) = ;x2/3 + ;x2, который в случае (18.31) должен быть изменен для маленького x, таким образом что ;V  (0) = 0.
356 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
Рис. 18.6. Потенциал V (a) (18.34) лежащий в основе нормы minisuperspace движущих сил (слева) и аналогичный потенциал в эффективных действиях получен из полного Кванта Модели силы тяжести, с маленькой-a модификацией из-за квантовых колебаний (справа).
Изображение, появляющееся из вышеупомянутого для эффективных движущих сил масштаба
фактор напоминает фактор вселенной, создаваемой туннелированием ни из чего (см., для пример, [35; 36; 22; 31], хотя присутствие привилегированного понятия времени делает нашу ситуацию ближе к обычной квантовой механике. В завязке действия проанализированной здесь, есть очевидно состояние исчезающего пространственного выпрямления, расширения которое может "туннель" ко вселенной конечного линейного выпрямления порядка ; V1/4 4. Принятие такого истолкования туннелирования, действия возврата
СевV4; V1/24GN, (18.35)
и ассоциированная вероятность за модуль надлежащее время для туннелирования дает
P (V4) ; e;SeffV4. (18.36)
18.4 Обсуждение
Причинные динамические триангуляции (CDT) обеспечивают упорядоченную модель Кванта
Силы тяжести, которая использует класс кусочных линейных конфигураций подписи Lorentzian
(сделанную из единообразных треугольных стандартных блоков), чтобы определить упорядоченную сумму конфигурации. Модель - фоновый свободный художник и имеет diffeomorphisminvariant
перемах, отрез-конец. Для определенных значений пустого гравитационного и космологического
константы сцепления мы нашли реальность, что предел континуума существует. Предел был проанализирован путем проворота суммы по конфигурациям к Евклидовой подписи, сделанной возможным нашим использованием кусочных линейных геометрий. Геометрии включенные в сумму таким образом происходят из пространственно-временных моделей Lorentzian-подписи, класса
отличающиеся от (и меньший чем) класса  геометрий, каждый был бы естественно
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 357
включен в "родной" Евклидов интеграл по траектории. Мы сконцентрировались на вычислениях
особого diffeomorphism-инвариантного количества, надлежащий разовый распространитель, представляя сумму по всем конфигурациям, пространственноподобные границы которых разделены
геодезическим расстоянием T. Сумма по таким конфигурациям позволяет простое и прозрачное
выполнение с точки зрения вышеупомянутых стандартных блоков.
В Евклидовом секторе модели, которая может быть исследована компьютерными моделированиями мы наблюдаем четырехмерную макроскопическую вселенную, которая может быть рассмотрена как "возврат". Когда мы объединяемся (после того, как создан весь пути интеграл) все геометрические градусы свободы за исключением фактора глобального масштаба, крупномасштабная структура вселенной (возврат) описана классическим общим релятивистским раствором для однородной, изотропической вселенной с космологическим постоянным, на который нанесены (маленькие) квантовые колебания. Мы находим этот результат, замечательный ввиду элементов, имеющие степень трудности - до вводной части причинных динамических триангуляций - чтобы получить динамически любой вид “квантовой геометрии" сходства четырехмерной вселенной. В нашей конструкции, ограничениях наложенных причинной связью прежде, чем вращаться к Евклидовой подписи ясно играли поворотную роль.
Много проблем обращаются в настоящее время получить более полное понимание физических и геометрических свойств Квантовой Силы тяжести теории, произведенной CDT, и проверить более подробно, что его классический предел — хорощо, углубление определенный. Среди них следующий.
(i) Лучшее понимание перенормализации пустых констант сцепления в предел континуума, с в настоящее время привилегированным сценарием, являющимся той из асимптотической безопасности [37]. Есть очень ободрительные соглашения между результатами CDT и таковыми Евклидова группового подхода перенормализации [23; 32; 27; 28; 29; 30]. См. Также [18; 19; 20; 21] для более старой, связанной работы. В частности оба подхода получают масштаба-зависимое спектральное измерение, которое изменяется между четыре на большом и два в коротких масштабах.
(ii) Идентификация и измерение "поперечных" гравитационных градусов свободы, дополнять информацию, получаемую до сих пор для масштабного коэффициента только. Для фоново-независимых и бескоординатных рецептур как CDT мы все еще испытываем недостаток в простом и здравом предписании для того, как получить информацию о поперечном градусе свободы, количество, аналогичное петле Уилсона в ширине кинопленки non-Abelian теории.
(iii) Включение материальных полей в компьютерных моделированиях. Особенно интересное было бы скалярное поле, играя роль inflaton поля. В то время как это прямо чтобы включать скалярное поле в формализм, это менее очевидно которые observables нужно иметь размеры, будучи ограниченным Евклидовым сектором теории. Основанный на четкой модели CDT для невызывающих волнение квантовых возбуждений геометрии и содержание, перемещая обсуждение квантовой космологии и различные типы инфляции от handwaving параметров в сферу количественного анализа была бы очень желательной и вполне возможно уже в пределах досягаемости.
358 Дж. Амбйорна, Дж. Юркиевич и R. Сидеть развалившись
Признание
Все авторы подтверждают, что поддержка ПРИВОДИТ В ЯРОСТЬ (европейская Сеть на Случайной
Геометрии), Тренировочная Сеть Исследования Марии Кюри в Европейском Экономическом Сообществе Шестая рамочная программа, сетевой контракт MRTN-CT-2004-005616.
R. L. подтверждает поддержку Организацией Нидерландов по Научному Исследованию (NWO) под их ПОБЕДИЛ программа. Дж. Дж. был частично поддержан грантом Polish Ministry of Science and Information Society Technologies 1P03B04029 (2005-2008).
Ссылки
[1] Дж. Амбйорн и Б. Дерхуус, Упорядоченные бозонные струны нуждаются во внешней сабельности,
Латыш Физики. Си 188 (1987) 253.
[2] Дж. Амбйорн, С. Джэйн, Дж. Юркиевич и К. Ф. Кристджэнсен, Наблюдая 4-d ребенок
вселенные в квантовой силе тяжести, латыше Физики. Си 305 (1993) 208 [hep-th/9303041].
[3] Дж. Амбйорн, Квантование геометрии, на Слушаниях Лета Ле Уш
Школа, Сеанс 62: “Колеблющиеся Конфигурации в Статистической Механике и Поле
Теория”, редакторы Ф. Давид, П. Ginsparg и Дж. Zinn-Юстин (Северная Голландия, 1996), стр.
77-195, [hep-th/9411179].
[4] Дж. Амбйорн и Дж. Юркиевич, Масштабирующийся в четырехмерной квантовой силе тяжести, Nucl.
Си Физики 451 (1995) 643 [hep-th/9503006].
[5] Дж. Амбйорн и R. Сидите развалившись, Невызывающая волнение квантовая сила тяжести Lorentzian, причинная связь и
изменение топологии, Nucl. Си Физики 536 (1998) 407-434 [hep-th/9805108].
[6] Дж. Амбйорн, Дж. Юркиевич и R. Сидите развалившись, невызывающий волнение интеграл по траектории Lorentzian
для силы тяжести, Преподобного Физики Летта. 85 (2000) 924-927 [hep-th/0002050].
[7] Дж. Амбйорн, Дж. Юркиевич и R. Сидите развалившись, Невызывающий волнение 3-ий квант Lorentzian
сила тяжести, Преподобный Физики Д 64 (2001) 044011 [hep-th/0011276].
[8] Дж. Амбйорн, Дж. Юркиевич и R. Сидите развалившись, Динамически разбивая на треугольники Lorentzian
квантовая сила тяжести, Nucl. Си Физики 610 (2001) 347-382 [hep-th/0105267].
[9] Дж. Амбйорн, Дж. Юркиевич и R. Сидите развалившись, Появление 4D мир от причинного
квантовая сила тяжести, Преподобный Физики Летт. 93 (2004) 131301 [hep-th/0404156].
[10] Дж. Амбйорн, Дж. Юркиевич, и R. Сидите развалившись, Восстанавливая вселенную, Преподобный Физики Д 72
(2005) 064014 [hep-th/0505154].
[11] Дж. Амбйорн, Дж. Юркиевич и R. Сидите развалившись, Спектральное измерение вселенной, Преподобного Физики.
Латыш. 95 (2005) 171301 [hep-th/0505113].
[12] Дж. Амбйорн, Дж. Юркиевич, и R. Сидите развалившись, Полуклассическая вселенная от первооснов,
Латыш Физики. Си 607 (2005) 205-213 [hep-th/0411152].
[13] П. Биэлас, З. Берда, А. Крзивики и Б. Петерссон, Сосредотачиваясь на фиксированной точке
4d симплициальная сила тяжести, Nucl. Си Физики 472 (1996) 293-308 [hep-lat/9601024].
[14] С. Кэттерол, Дж. Когут и Р. Ренкен, структура Фазы симплициальных четырехмерных
квантовая сила тяжести, латыш Физики. Си 328 (1994) 277-283 [hep-lat/9401026].
[15] Си. Dittrich и R. Сидите развалившись, считая черную дыру в триангуляциях результата Lorentzian,
появиться в Классе. Шест для отталкивания. Grav. [gr-qc/0506035].
[16] Дж. Гринсайт, Динамическое происхождение подписи Lorentzian пространства-времени, латыша Физики.
Си 300 (1993) 34 [gr-qc/9210008].
Квантовая Сила тяжести: искусство создания пространства-времени 359
[17] Дж. Б. Хартл и С. В., распродающий, функция Волны вселенной, Преподобный Физики Д 28
(1983) 2960-2975.
[18] Х. Кавай, И. Китэзоа и М. Ниномия, Renormalizability квантовой силы тяжести
около двух размеров, Nucl. Си Физики 467 (1996) 313-331 [hep-th/9511217].
[19] Х. Кавай, И. Китэзоа и М. Ниномия, Ультрафиолетовая устойчивая фиксированная точка и масштабирование
отношения в (2+epsilon) мерная квантовая сила тяжести, Nucl. Си Физики 404 (1993)
684-716 [hep-th/9303123].
[20] Х. Кавай, И. Китэзоа и М. Ниномия, Масштабируя образцов в квантовой силе тяжести
рядом с двумя размерами, Nucl. Си Физики 393 (1993) 280-300 [hep-th/9206081].
[21] Х. Кавай, и М. Ниномия, группа Перенормализации и квантовая сила тяжести, Nucl.
Си Физики 336 (1990) 115-145.
[22] A. Д. Линд, Квантовое создание инфляционной вселенной, латыша. Nuovo Cim. 39
(1984) 401-405.
[23] Д. Ф. Литим, Неподвижные точки квантовой силы тяжести, Преподобного Физики Летта. 92 (2004) 201301,
[hep-th/0312114]
[24] R. Сидите развалившись и В. Вестра, Сумма по топологии и масштабирующему номер на двоих человек пределу в 2-ом
Квантовая сила тяжести Lorentzian, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 23 (2006) 465-472
[hep-th/0306183].
[25] R. Сидите развалившись и В. Вестра, Пространственно-временная пена в 2-ом и сумме по топологии, Деяниям
Физика. Polon. Си 34 (2003) 4997-5008 [hep-th/0309012].
[26] R. Сидите развалившись, В. Вестра и С. Зохрен, Приручая космологическую константу в причинном 2-ом
квантовая сила тяжести с изменением топологии, предварительно отпечатайте Утрехт, июль 2005
[hep-th/0507012].
[27] М. Агентства Рейтер и Ф. Соерессига, класса нелокальных усечений в кванте Эйнштейн
сила тяжести и ее групповое поведение перенормализации, Преподобный Физики Д 66 (2002) 125001
[hep-th/0206145].
[28] М. Агентства Рейтер и Ф. Соерессига, группового потока Перенормализации квантовой силы тяжести в
усечение Эйнштейна-Хилберта, Преподобный Физики Д 65 (2002) 065016 [hep-th/0110054].
[29] М. Агентства Рейтер и Х. Вейера, Квантовой силы тяжести на астрофизических расстояниях?, JCAP 0412
(2004) 001 [hep-th/0410119].
[30] A. Бонанно и М. Агентства Рейтер, Надлежащего уравнения потока времени для силы тяжести, JHEP 0502
(2005) 035 [hep-th/0410191].
[31] V. A. Рубаков, Квантовая механика во вселенной туннелирования, латыше Физики. Си 148
(1984) 280-286.
[32] В. Сума, Нетривиальная ультрафиолетовая фиксированная точка в квантовой силе тяжести, Прогр. Theor. Физика.
102 (1999) 181-195 [hep-th/9907027].
[33] До. Teitelboim, Причинная связь против постоянства ширины кинопленки в квантовой силе тяжести и
суперсила тяжести, Преподобный Физики Летт. 50 (1983) 705.
[34] До. Teitelboim, надлежащая ширина кинопленки времени в квантовой теории тяготения, Преподобного Физики.
D 28 (1983) 297.
[35] A. Vilenkin, Создание вселенных ни от чего, латыша Физики. Си 117 (1982) 25-28.
[36] A. Vilenkin, Квантовое создание вселенных, Преподобный Физики Д 30 (1984) 509-511.
[37] С. Вайнберг, Ультрафиолетовые расхождения в квантовых теориях тяготения, вообще
Относительность: Обзор Эйнштейна Сентенэри, редакторы С.В. Распродажа и В. Исраэль
(Кембридж, издательство Кембриджского университета, 1979), стр 790-831.
19
Квант исчисление Regge
R. УИЛЬЯМС
19.1 Вводная часть
Когда Регги сформулировал первую дискретную версию Общей теории относительности в 1961, один
из его побуждений был установить числовой замысел решения уравнений Эйнштейна для общих систем без крупного количества симметрии. Надежда была что рецептура также обеспечила бы способы представить сложную топологию и визуализации имеющих результатом конфигураций. Исчисление Regge, как это оказалось известно, не только использовалось в крупномасштабных числовых вычислениях в классической Общей теории относительности, но также обеспечила основание для попыток формулировки теории из Квантовой Силы тяжести.
Центральная идея в исчислении Regge [59] состоит в том, чтобы считать пробелы с сабельностью сконцентрированными на codimension- два подпространств, а не с непрерывно распределенной сабельностью. Это достигнуто, создавая пробелы из единообразных склеенных кварталов при соответствии лиц. Стандартный пример в двух размерах - геодезический купол,
где сеть единообразных треугольников приближает партию сферы. Сабельность находится в вершинах, и углу дефицита, данном 2; минус сумма углы при вершине треугольников в том очке, дает меру этого. В общем измерении n, плоское n-simplices встречается на плоском (n ; 1), мерные лица и сабельность сконцентрированная на (n ; 2) мерных subsimplices или стержнях. Угол дефицита
в стержне дан 2; минус сумма образуемых двумя пересекающимися плоскостями углов simplices
встречающихся в том стержне. Использование simplices важно потому что спецификация их продолжительности края определяет их формы точно, и в исчислении Regge края продолжительности - фундаментальные переменные по аналогии с метрическим тензором в теории континуума.
Аналог действия Эйнштейна
S = 12R;gdd x (19.1)
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
Квант исчисление Regge 361
дают
СЭР =стержни hVh;h, (19.2)
где Спидобарограф - объем стержня h, и ;h - угол дефицита там. Принцип из постоянного действия приводит к исчислению Regge, эквивалентному уравнениям Эйнштейна; действие СЭР различно относительно продолжительности края, давая
h;Vh;li;h = 0. (19.3)
Это особенно просто, потому что, поскольку Регги показал, изменение дефицита углов исчезает когда суммировано по каждому симплексу. В принципе, Eq. (19.3) дает полный набор уравнений, один для каждого края, для того, чтобы определить продолжительность края и таким образом симплициальную геометрию. Практически, дискретные аналоги законтрактованной идентичности Bianchi (см. ниже) означают, что уравнения не вообще линейно свободный художник, таким образом есть свобода определить некоторые из переменных, как для ошибки и сдвига в (3+1) версии Общей теории относительности континуума.
Идентичности Bianchi в исчислении Regge дали очень простое топологическое
истолкование Regge [59] (см. также [63]). Является самым простым видеть это истолкование
в трех измерениях, но обобщении к более высоким размерам является прямым. (В двух размерах, и в исчислении Regge и в Общей теории относительности континуума, нет никаких личностей Bianchi.) В трехмерном исчислении Regge, вектор транспортируемый-параллелью вогруг края с углом дефицита отличным от нуля вращается. Если это транспортируемый-параллелью вдоль пути, который не заключает край, он не вращается. Рассмотрите много краев, встречающихся в вершине. Путь может быть создан который окружает каждый край однажды, но топологически тривиален: это может быть искажено без пересечения любых краев в путь, который, очевидно, не заключает краев. (Попробуйте это с петлей строки и Ваших пальцев!) Следовательно вектор, транспортируемый- параллелью вперед
этот путь не будет вращаться. Это означает, что есть отношение среди углов дефицита на краях: результат ротации matrices на каждом краю является единичной матрицей. Это - точно дискретная личность Bianchi. Регги показал это в пределе маленьких углов дефицита, это дает только обычную личность Bianchi Общей теории относительности. Четырехмерная личность Bianchi в исчислении Regge заявляет что результат из ротации matrices на всех треугольниках, встречающихся вдоль края, личности матрица. Дискретные личности Bianchi были обсуждены далее [57; 12; 67] и
подробные формы, данные [29].
Тесно связанный с идентичностями Bianchi- существование diffeomorphisms. Там расходятся точки зрения в том, как определить diffeomorphisms в исчислении Regge. Одно — , что diffeomorphisms - преобразования края продолжительность, которая оставляет инвариант геометрии. В этом случае diffeomorphisms существуют
362 Р. Уильямса
только в единообразном пространстве и соответствуют изменениям в продолжительности края как вершины перемещаются в том единообразном пространстве [52; 42]. Если пространство - почти плоское, то каждый может определите приблизительный diffeomorphisms. Другой взгляд - что листья diffeomorphisms инвариант действия и этот дает скорее больше гибкости. Легко вообразить
изменения в продолжительности края, которая могла уменьшить углы дефицита в одном регионе
и compensatingly увеличивают их в другом регионе, не вызывая полного изменения на действии. Постоянство могло даже быть местным в том смысле, что изменения в продолжительности краев, встречающихся в одной вершине, могла быть сделана так, чтобы действие было неизменным.
В трех измерениях возможно создать преобразования, которые точны постоянств действия. Это полагается на уникальность встраивания звезды вершины с три- скелетоном в единообразном четырехмерном пространстве. Подробным считая параметр [64], можно показать что количество степеней свободы (то есть. продолжительность края в звезде), точно равно числу координат для
встраивания в четыре размерности. Таким образом точные diffeomorphisms определены в местном масштабе в каждом очке и состоит из семейства с тремя параметрами движений очка (в единообразное четырехмерное пространство, определенное его звездой), которые оставляют инвариант действия. Соответствующий параметр не проходит в четырех размерах, потому что есть
никакое уникальное встраивание четырехмерной звезды в более высоком размерном единообразном пространстве. Попытки были предприняты, чтобы найти альтернативную четкость четыре размерности, но ни один не является абсолютно удовлетворительными. Конечно, всегда возможно счесть приблизительным diffeomorphisms, в особых, где постоянство придерживается третьего порядка в углы дефицита [33].
"Установленная шириной кинопленки" версия исчисления Regge была создана R;mer и
Z;hringer [65], в котором simplices были все взяты, чтобы быть равносторонними. Эта работа
была предшественником к замыслу, известному как динамические триангуляции, в которых
вся продолжительность края идентична, и сумма по историям вовлекает сумму триангуляции [1] (см. главу 18 Ambj;rn и др.).
Другой основной тип преобразования в Общей теории относительности - конформное преобразование. В один конец, чтобы определить это в исчислении Regge [64] должен определить скалярную функцию ; в каждой вершине. Процедура, которая гарантирует что, по крайней мере, в местном масштабе, конформные преобразования творят группу, должен потребовать что lxy, продолжительность края присоединяя вершины x и y, преобразовывает в
лxy= ;x;ylxy. (19.4)
Однако, продолжительность края ограничена: они должны быть таковы что гиперобъемы
из всех четырех-simplices реальны. Можно показать что результат двух таких конформных преобразований, таких, что каждый отдельно варенье, сохраняет эти ограничения, преобразование, которое вообще нарушит ограничения. Таким образом глобально групповое свойство нарушено. Furthemore, никакое подмножество преобразований не творит
Квант исчисление Regge 363
группу. Мы приходим к заключению, что это - только бесконечно малые конформные преобразования которые до сих пор являются четкими в исчислении Regge.
Конечный пункт в этом вводном разделе - существование предела континуума. Cheeger, Мюллер и Шрадер [14; 15] показали строго что действие Regge сходится к действию континуума, в смысле мер, при условии, что бесспорные условия на плоскостности simplices удовлетворены. С противоположной точки зрения, Фридберг и Ли [22] получили действие Regge из континуума в
определенном пределе. Вместо того, чтобы рассматривать действие, Барретт [4; 5] исследует отношения между Regge вариационные уравнения и уравнениями Эйнштейна, и набором
критерий [6] для растворов линеаризовавших уравнений Regge, чтобы сходиться к аналитическим растворам, решениям линеаризовавших уравнений Эйнштейна.
Исчисление Regge использовалось во многих аспектах классической Общей теории относительности, но это не наше беспокойство здесь. Мы теперь рассматриваем различные пути, которыми это было используемый в Квантовой Силе тяжести. Большинство использования сумма по историям приближается, чтобы вычислить функцию партитуры или амплитуда связующей партии, хотя, конечно, это также возможно использовать канонический подход, как будет видеться в предпоследнем разделе.
19.2 Самый ранний квант исчисление Regge: модель Ponzano-Regge
Первое приложение исчисления Regge к Квантовой Силе тяжести появлялось в скорее
неожиданном пути. В статье на асимптотическом поведении 6 j-символов, Ponzano
и Regge [58] сформулировал следующую модель. Разбейте на треугольники с 3 копиями, и
маркируйте каждый край представлением SU (2), ji = {0, 1/2, 1...}. Назначьте 6 j -
символ,
+j1 j2 j3
j4 j5 j6,
(обобщенный коэффициент Clebsch-Gordan, который имеет отношение основы государств, когда три угловых импульса добавлены) к каждому четырёхграннику. Формируем государственную сумму
Z =jiя(2 ji + 1) (;1) ;tetrahedra{6 j}, (19.5)
где ; в факторе фазы - функция ji. Эта сумма бесконечна во многих случаях, но у этого есть некоторые очень интересные свойства. В частности полуклассическое ограничение экспонирует соединение с Квантовой Силой тяжести. О продолжительности края можно думать из как (ji + 1/2), и предел получен, сохраняя эти количества, конечные в то время как склоняется к нолю, и ji склоняется к бесконечности. Ponzano и Regge показали это для большого ji, асимптотическое поведение 6 j-символов +
j1 j2 j3
j4 j5 j6
,; 1 ;12;Vпотому чтояji ;i + ;/4, (19.6)
364 Р. Уильямса
где V объем соответствующего четырёхгранника и ;i внешний двугранный угол  на краю i. В сумме по продолжительности края большие значения доминируют, таким образом, сумма по ji в государственной сумме может быть заменена интегралом по продолжительности края, и асимптотический состав используется. При письме косинуса как сумма exponentials, и обмен заказами суммирования по tetrahedra и по краям в пределах  данного четырёхгранника в выражении для государственной суммы, мы можем показать, что это содержит термин формы
яd ji (2 ji + 1)tets k1 ;Vkexp;;iкрая лjl2; ;tets k*l(; ; ;kl);;=яd ji (2 ji + 1)tets k1 ;Vkexp (я СЭР), (19.7)
который точно походит на сумму Feynman по историям с действием Regge в три измерения, и с другими условиями, способствующими мере.
Этот результат был довольно озадачивающим и там, казалось, не был никаким очевидным способом сделать вывод это к четырем размерам, таким образом, что было фактически проигнорировано в течение двадцати лет. Затем, в начало 1990-ых, Тураева и Виро [68] записало очень подобное выражение которое было сделано конечным при помощи представлений квантовой группы Slq (2), скорее чем SU (2). Было затем понято что упорядоченная версия Ponzano-Regge
заявит, что сумма обеспечила модель Квантовой Силы тяжести в трех измерениях с нолем
космологическая константа. Эти трехмерные модели затем вовлекли к развитию из моделей пены вращения, которые в настоящее время играют важную роль в поиске для теории Квантовой Силы тяжести.
19.3 Квант исчисление Regge в четырех размерах: аналитические вычисления
Сложная зависимость от продолжительности края дефицита угла в Regge действия исчисления означает, что вычисления, главным образом, вовлекли любой очень симметричной
конфигурации или теории волнения о классическом фоне. Самая ранняя работа была сравнением между распространителем Regge в слабого поля пределе и распространителем континуума [64]. Это будет описано в некоторых деталях как формализм был основанием для многих вычислений этого типа.
Считайте решетку четырехмерных гиперкубиков модуля с вершинами маркированной
координаты (n1, n2, n3, n4), где каждый ni - целое число. Каждый гиперкубик разделен в 24 4-simplices, привлекая в соответствующих "вперед идущих" диагоналях. Целая решетка может быть произведена переводом ряда краев, основанных на происхождении. Мы интерпретируем координаты вершин, граничащих с происхождением как набор из двух предметов числа (так например, (0, 1, 0, 0) вершина 4, (1, 1, 1, 1) являются вершиной 15). Края
Квант исчисление Regge 365
происхождение от происхождения в положительном направлении соединяет это с вершинами 1, 2, 4 и 8 (координат края), 3, 5, 6, 9, 10 и 12 (диагонали лица), 7, 11, 13 и 14 (тело диагонали) и 15 (гиперпространственная диагональ). Маленькие волнения затем сделаны о единообразной продолжительности края пространства, так, чтобы
л (i)j= л (i)0 (1 + (i)j), (19.8)
где верхний индекс i обозначает базисную точку, приписка j обозначает направление (1, 2..., 15) и л (i)
0 невозмутимая продолжительность края (1, ;2,;3 или 2). Таким образом для примера, (1)
14 было бы волнение в продолжительности края от вершины 1 в с 14 направлениями, то есть к вершине 15. S, как предполагается, является маленькой по сравнению с 1.
Действие Regge оценено для гиперкубика, базируемого в происхождении и затем
полученная для всех других переводом. Самый низкий неисчезающий термин в общем количестве
действия является квадратичным в изменениях (нулевые и первые условия порядка исчезают потому что действие - ноль для плоского пространства, и также плоское пространство - постоянное очко действия так как это - решение аналога Regge уравнений Эйнштейна). Это может быть
написанно символически как
СЭР =†M, (19.9)
где бесконечно-мерный вектор столбца с 15 компонентами за очко и М. является бесконечно-мерной разреженной матрицей. Пока все соответствия записи колебания гиперпространственной диагонали - ноль, они творят семейство с одним- параметром из ноля eigenmodes. Можно также показать что физические переводы вершин которые оставляют форму бемоля пространства семейством с четырьмя параметрами ноля eigenmodes. Они точные diffeomorphisms в этом случае.
Матрица M- затем блок diagonalised преобразованием Фурье или расширением в периодических режимах. Это достигнуто, устанавливая
(a, си, до, d)j= (;1) d (;2) до (;4) си (;8) (0)j, (19.10)
где ;k = e2;i/nk, k = 1, 2, 4, 8. Действуя на периодические режимы М становится матрицей
с 15 ; 15 размерных кварталов M; вдоль диагонали. Эта подматрица имеет схематическую форму
M; =;;СИ A10 0СИ † 18I4 0
0 0 0;
;, (19.11)
где A10 - 10 ;, 10 размерных матриц и Си - 4 ; 10 размерных; их записи - функции ;s. Затем сам M; - блок diagonalised неунитарноно uni-модульное преобразование подобия, и диагональные блоки - Z =
A10 ; 118BB †, 18I4 и 0. 4 ; 4 блок матрицы модуля значит, что колебания  j для j = 7, 11, 13, 14 были расцеплены; они вынуждены исчезнуть
366 Р. Уильямса
уравнением движения. Замечательно, количество степеней свободы за вершину уменьшено от 15 до 10, что мы ожидаем в континууме.
Работая с обратным- следом метрическими колебаниями, можно показать что после дальнейшего преобразования, 10 ;, 10 матрица Z соответствуют точно тому, что называют
Lsym в континууме [69], где
Lsym = Л + 12C2;\, (19.12)
с
L = ;1 2; ;h;;V;;;; ;;h;;, (19.13)
где
V;;;; = 12 ; 14 (19.14)
и
C; = ; ;h;; ; 12; ;h, h = h;;. (19.15)
Термин C; - нарушающий ширину кинопленки термин (см. [69]). Длинная длина волны (или слабое поле), предел был взят, расширяя ;s в силах импульса k, и в том пределе у нас есть точное соглашение о распространителях. Подобное вычисление было исполненно в случае Lorentzian [70] и выражение для распространителя гравитона было также получено Feinberg и др. [21].
Более свежая работа исследовала исчисление Regge в d размерах с произвольным d
и большим [36]. Идея состоит в том, чтобы применить методы значения теории поля к Regge
исчислению. Это выдвигает факт, что в больших размерах каждое очко как правило окружается
многими соседями, действие которых может затем быть или обработано точно, или включенно как своего рода местное среднее число. Это довольно сложно, чтобы вычислить объемы и дефицит углов в произвольных размерах, даже если simplices являются равносторонними, таким образом, в этом случае волнения были исполнены о равностороннем составлении мозаики. Объемы и образуемые двумя пересекающимися плоскостями углы для d-dimensional равностороннего симплекса дают
Vd = 1d!d + 1 2-ой, (19.16)
и
потому что ;d = 1d. (19.17)
Квадрата продолжительность края затем встревожена согласно
l2я j= л (0) 2я j+ ; l2я j. (19.18)
Квант исчисление Regge 367
Мы установим для удобства с этого времени ; l2 я j= я j и беру л (0)я j= 1. Используя общий состав для объема d-симплекса с точки зрения детерминанта  (d + 2) ; (d + 2) матрицы,
Vd = (;1)d+12d! 2-ой/2*************
0 1 1 . . .
1 0 l2
12 . . .
1 l2
21 0 . . .
1 l2
31 l2
32 . . .
. . . . . . . . . . . .
1 l2
d+1,1 l2
d+1,2...
*************
1/2
, (19.19)
и для образуемого двумя пересекающимися плоскостями угла в d-dimensional симплексе объема Vd, между лицами  объема Vd;1 и V
d;1
грешите ;d = dd ; 1Vd Vd;2Vd;1 Vd;1, (19.20)
вклад во встревоженное действие от одиночного d-симплекса может быть оценен.
Угол дефицита, когда несколько simplices встречаются в стержне, дает
 ;d = 2 ; ;simplices;d = 2 ; ;simplices7arcsin;d2 ; 1d+ · · ·8. (19.21)
С тех пор для большого d, термин arcsine приблизительно ;/2, и привилегированное составление мозаики- то, в котором угол дефицита - ноль к самому низкоуровневому, мы будем использовать
составление мозаики, в котором четыре d-simplices встречают в каждом (d ;2) мерном стержне.
Самый простой пример этого - перекрестный многокрапивник, политоп [18].
Здесь мы рассматриваем поверхность перекрестного многокрапивника в d+1 размерах, который являются поэтому объект измерения d. Это соответствует разбитой на треугольники копии с
никакой границей, homeomorphic к сфере. Это может визуализироваться как ряд 2-ого + 2 вершины, расположенные на круге, с каждой вершиной, соединенной с любой вершиной, кроме одной противоположности этому. Угол дефицита дан ведущему порядку
;d = 0 + 4d; d, d+1 + 3 условия + 1, d 1, d+1 + · · ·!+ O (1/d2,/d, 2/d).(19.22)
Когда оценено на такой копии действие решетки становится
;d 2-ой/2d! 2 ; ; k d3! 1 ; 182я j+ 1d14я j + 18я j ik+ O (1/d2). (19.23)
368 Р. Уильямса
Опуская 1/d исправление каждый получает к ведущему порядку
;d 2-ой/2d! 2 ; ; k d3! 1 ; 182я j+ · · ·. (19.24)
Функция партитуры может быть формально вычислена через
Z =Ni=1ми di ; М. = ;N/2;detM, (19.25)
с N = 2-ой (d +1). Конвергенция Гауссовского интеграла затем требует kd3> ;, и каждый имеет
 Z =;d 2-ой2+1d! k d3 ; ;!; d (d + 1) журнал&;d 2-ой2+1d! k d3 ; ;!/8;'
с первым термином, являющимся результатом постоянного термина на действии, и второго
термина от  поля Гауссовского интеграла. Поэтому общая структура, к продвижению
порядка в слабом полевом расширении в большом d,  Z = c1 (k d3 ; ;) ;
d (d + 1) журнал (kd3 ; ;) + c2 с c1 и c2 константами d- зависимого, и поэтому
;2 журнала Z / ; k2 ; 1 / (kd3 ; ;) 2 с расходящимися колебаниями сабельности в близости
из критической точки в kd3 = ;.
Если мы применяем идеи значения теории поля, мы должны сохранить условия порядка
1/d в Eq. (19.23). Во мне j ik термин, мы предполагаем, что колебания являются маленькими
и заменить ik его средним числом.. Каждый я j имеет 4d ; 2 соседа (края с одной вершиной вместе с этим); это должно быть разделено на 2, чтобы избежать двойного включения сумму, таким образом, вклад (2-ой ; 1).. Затем к самому низкоуровневому в 1/d, действие пропорционально
 ; ; k d3! 1 ; 182я j+ 14.я j. (19.26)
Это дает начало той же самой функции партитуры как получено ранее, и использованию этого вычислить среднюю величину меня, j дает., как требуется для надежности.
19.4 Исчисление Regge в квантовой космологии
В квантовой космологии интерес фокусируется на вычислениях функции волны из вселенной. Согласно предписанию [41] Hartle-распродажи, волны функция для данного с 3 геометрией получена из интеграла по траектории по всей 4- геометрии, у которых есть данный с 3 геометрией как граница. Вычислить такой объект во всей его великолепной общности невозможно, но можно надеяться получить существенные особенности, объединяясь по тем 4 конфигурациям, которые могли бы, для того чтобы
Квант исчисление Regge 369
рассудить, причины, доминируют над суммой над историями. Это привело к понятию minisuperspace
модели, вовлекая использование  одиночного, с 4 геометрией (или возможно несколько).
В теории континуума вычисление затем становится выполнимым если выбранная геометрия
зависит только от небольшого количества параметров, но чего-либо сложного более скоро становится чрезвычайно трудным. Поэтому Hartle [38] вводил идею из подведения итогов по симплициальным 4 конфигурациям как инструмент приближения в кванта космологии. Хотя это - очевидный способ сократить количество интеграции переменных, есть все еще технические трудности: бесконечность Эйнштейна действия (который сохраняется в дискретной форме Regge) приводит к проблемам конвергенции для функционального интеграла, и необходимо вращать контур интеграции в
сложной плоскости, чтобы дать сходящийся результат [40; 54].
В принципе сумма по 4 конфигурациям должна включать не только сумму по метрикам
но также и сумма по копиям с различной топологией. Каждый затем сталкивается с проблемой классификации размножения, копий в четыре и более высокие размеры, которые вел Hartle
[39] предложить сумму по более общим объектам чем копии, непослушной топологии.
Schleich и Witt [66] исследовали возможность использования conifolds, которые отличаются
от копий в только конечном числе очков, и это было исследовано в некоторых простых случаях [10; 16; 17]. Однако, сумма по топологии все еще очень далека от выполнения.
Связанная проблема - вычисление функции волны стандартного состояния для линеаризовавшей силы тяжести. Hartle [37], используя подход интеграла по траектории, и, перед ним,
Kuchar [51], используя канонический подход, показал это для асимптотически единообразного
пространства с единообразной границей, необходимая функция волны дает
#0 [hTTя j, t] = N exp+; 14l2Pd3k ;k hTTя j (k).h TTя j (k),(19.27)
где hTTя j (k) является компонентом Фурье поперечной бесследной партии отклонения с тремя метриками от плоского, с тремя метриками в прямоугольных координатах,
привет j (x, t) = 3gi j (x, t) ; ;i j, (19.28)
;k = |k |, N является коэффициентом нормализации, и ка = (16;G) 1/2 является продолжительностью Планка в системе модулей, где = до = 1.
Это вычисление было повторено в исчислении Regge [35], исполняя дискретный функциональный интеграл по внутренним метрическим волнениям для решетки с границей.
Как показано Хартлом и Соркином [43], угол дефицита в стержне на границе дан ; минус сумма образуемых двумя пересекающимися плоскостями углов, а не 2; минус та сумма.
Формализм для решетки, описанной в Разделе 19.3, использовался и второе изменение действия, оцененного для полупространства, ограниченного x8 = 0, говорит. Асимптотическая
плоскостность была принята в x8-направлении, и периодических граничных условиях
наложенных в других направлениях.
370 Р. Уильямса
В типичной внутренней вершине классические уравнения движения были получены для
изменения (i) j. Новые переменные f (i)j были введены
(i)j= ; (i)j+ f (i)j, (19.29)
где ; (i)j удовлетворет классические уравнения движения. Использование этих уравнений
приводит устранение ; (i) j, оставляя Гауссовские интегралы по f (i) j, которые внесенны только нормализации.
Единственные оставшиеся вклады в действие были назначенными к вершинам
на границе. Преобразования Фурье были взяты в направлениях с периодическими граничными условиями. Факт, что скалярная кривизна вынужденая исчезнуть на границе использовалась, чтобы устранить много условий, и осторожную идентификацию границы (i) j s с соответствующим континуумом привет js [64] ведущим в конечном счете к выражению Hartle-Kuchar.
19.5 Материальные поля в исчислении Regge и мере
Работа, описываемая до сих пор, была для пробелов, лишенных содержания, но ясно теории
из Кванта Сила тяжести должна включать сцепление силы тяжести ко всем типам содержания. На
решетке, это обычно для скалярного поля, которое будет определено на сайтах, и для ширины кинопленки поля, которое будет связано с краями, и это было стандартным методом в Regge
исчислении (см. например, [31]). С другой стороны fermions должны быть определены
в пределах simplices, или скорее на сайтах двойной решетки, с их сцеплением определенным посредством преобразования Lorentz, связывающего фреймы в соседних simplices [61]. После предложения Fr;hlich [23], Драммонд [20] сформулировал способ определить спиноры на копии Regge, которая могла быть изменена к включению эффекта скрученности. Это не прозрачно, преодолел ли бы метод проблему удвоения fermion.
Так как большинство квантовых приложений исчисления Regge вовлекает интеграла по траектории подход, четкость меры очевидно очень важна. В его бумажных исследующих очень основных вопросах в кванта исчисления Regge, включая содержание поля как упомянуто выше, Fr;hlich [23] обсуждал unitarity и положительность размышления, и также определенную меру на эпизоде уровня matrices и объемы их simplices. Зависимость предложенной меры на перемахе, отрез-конец вовлек бы группы методы перенормализации. Мера была также обсуждена Cheeger, Мюллером и Шрадером [14], Hartle [38] и Бандер [3].
Несмотря на эти ранние предложения, есть все еще противоречие по форме меры. Это зависит не только от отношения к симплициальному diffeomorphisms, но и также то, на этапе, в котором перевод от континуума до дискретных взятий поместить. Хэмбер и Уильямс [33] утверждают что местные свойства постоянства ширины кинопленки из решетки действие показывают, что никакой детерминант Фадеев-Попова не требуется в
Квант исчисление Regge 371
гравитационной мере, если теория волнения решетки не исполнена с gaugefixed действием, такое как тот, воскресающий в аналоге решетки конформной или гармонической ширины кинопленки. В числовых моделированиях (см. Раздел 19.6), простая мера часто используемая:
s[V (S)] ;я jdl2я j % (l2я j), (19.30)
где % - функции верстают неравенства треугольника. Другие условия аналог решетки меры Де-Уитта:
x(соль (x)) ;;\;;dg;; (x). (19.31)
Мера по континууму получена из суперметрики Де-Уитта на пространстве метрики, и версия решетки может быть получена так же из симплициальной суперметрики [42], которая эквивалентна метрике Лунда-Regge [55]. Практически, скорее чем использование сил объемов числовые моделирования часто исполняются с простой дл/л масштаба мерой  инварианта или ldl, который кажется ближе dg;;. Beirl и др. [7] показали, что выбор между этими двумя имеет размеры, делает очень немного
различия для их результатов.
Противоположный вид состоит в том что, по крайней мере, для слабой поля теории волнения о плоском пространстве, необходимо разделиться через на объем diffeomorphism группы, использующий детерминант Фадеев-Попова. Менотти и Пеирано [56] настаивают на нелокальной мере и получила выражение для функциональной меры в двумерной силе тяжести Regge, запускающейся с суперметрики Де-Уитта и предоставления точных выражений для детерминанта Фадеев-Попова и для S2 и для S1 ; S1 топологии. Однако это не прозрачно, как расширить их вычисления на более высокие размеры. При некоторых обстоятельствах это не было бы необходимо потому что, как указано Hartle [38] объем diffeomorphism группы отменяет в оценке значения ожидания действующих компаний.
19.6 Числовые моделирования дискретного использования силы тяжести исчисления Regge
Элементы, имеющие степень трудности аналитических вычислений в кванта исчислении Regge, вместе с потребностью в невызывающем волнение подходе и также наличии сложных
методов, развитых в теориях ширины кинопленки решетки, объединились, чтобы стимулировать числовую работу Квантовой Силы тяжести, основанной на исчислении Regge. Один подход должен запуститься с решеткой Regge для, скажем, плоского пространства, и позволяют этому развивать использование Монте Карло алгоритма. Случайные колебания сделаны в продолжительности края и новой конфигурации отвергнут, накрыт, если это увеличивает действие, и принят с определенной вероятностью если это уменьшает действие. Система развивается к некоторой конфигурации равновесия,
372 Р. Уильямса
о котором это делает квантовые колебания, и значения ожидания различных действующих компаний
может быть вычислены. Также возможно изучить диаграмму фазы и искать связующие партии фазы, природа которых определит жизнеспособный вопрос того ли или  нет теории имеющей предел континуума. Работа в этой площади была сделана, главным образом, тремя группами, Бергом в Таллахасси, Hamber в Ирвине и Венской группой ( которой Берг иногда — часть, партия). Для конкретности мы описываем методы Hamber и сотрудников (см. [26; 30]). Основная используемая решетка является решеткой 4-мерных гиперкубиков разделенных на 4-simplices, как описано в Разделе 19.2. Форма действия
СЭР =h;Vh ; k;h Ах + a;2h A2hСпидобарограф, (19.32)
представление решетки выражения континуума
S =d4x;соль; ; k2R + a4R;;;; R;;;;, (19.33)
где k = 1/8;G. Более высокий производный термин, квадратный в сабельности, был введенный Хэмбером и Уильямсом [30], чтобы убедиться, что действие оставалось положительным
и так избежать проблем с конвергенцией функционального интеграла. В тренировке, было найдено, что коэффициент более высокого производного термина мог быть взят, чтобы быть произвольно маленьким без любых значимых проблем.
Эти типы моделирований исполнялись в течение прошлых двадцати лет и мы будем теперь суммировать некоторые из основных результатов. Gross и Hamber [25] давали представление
двумерного моделирования, сохраняя постоянную общую площадь, чтобы сравнить их результаты с таковыми из Knizhnik, Полякова и Замолодчикова, использующих конформную полевую теорию. Было хорошее соглашение для торуса и также впоследствии для сферы, когда соответствующая триангуляция использовалась. Измерение Haussdorf для модели, как находили, было бесконечно. В моделированиях модели Ising для обоих постоянных клиентов и случайные решетки, результаты исчисления Regge, как находили, были совместимы с единообразными значениями пространства, отличающиеся от того, что было получено, используя динамические триангуляции. В четырех размерах, с решеткой с топологией T 4, основной результат был этим в сильной связи, спаривания,  система развивала отрицательную среднюю сабельность. Конечный размер масштабирования и группа перенормализации может использоваться, чтобы получить фазы и отношения
вовлечения критических образцов. Например, на 164 решетках, с ; = 1 и = 0, Hamber [27; 28] полученный для Соль <Сборщик мусора слабая фаза сцепления, с выродившейся геометрией, ведущей себя как остроконечный разветвленный полимер. Для G> Сборщика мусора была сильная фаза сцепления, с гладкой геометрией в крупных масштабах и маленьком отрицательном среднем числе
сабельности. Связующая партия фазы произошла в kc ; 0.0636, и продолжительность корреляции
образца ;, определенная
; ; (kc ; k); ;, (19.34)
Квант исчисление Regge 373
то, где ; - продолжительность корреляции, была приблизительно 1/3. Когда скалярное содержание было включенное в моделирования, эффект на критических образцов был небольшим, но
результаты предположили, что гравитационные взаимодействия могли увеличиться с расстоянием [31]. В исследовании ньютонова потенциала в кванте сила тяжести Regge, Hamber и Уильямс [32] вычисленные корреляции на решетке между строками Уилсона связывали с двумя массивными частицами. В гладкой anti-de Ситтер-типа фазе, единственной областью, где благоразумный предел континуума решетки мог быть создан в модели, форма и массовая зависимость привлекательного потенциала были изучены близко к критической точке в Соль. Было найдено, что вызвали нелинейные гравитационные взаимодействия к потенциалу подобному Yukawa, с массовым параметром, уменьшающимся к критическому очку, где средняя сабельность исчезла.
Другой первооткрыватель этих методов, Берг, сделал ранние моделирования, сохраняющие
общий выходной уровеня постоянный [8]. Его результаты указали что по экспоненте уменьшение
фактора энтропии в мере могло бы исправить проблему бесконечности действия gravitaional [9].
Группа в Вене, за эти годы, исследовала много аспектов решетки Regge сила тяжести. Недавно, модель Z2, в которой продолжительность края могла взять только два дискретный
значения, была по сравнению со стандартной моделью Regge с непрерывной амплитудой
значения для продолжительности края [11]. Результаты этих двух моделей были подобны.
Выпрямление, расширение этого [62] также включало модель Caselle и др. [13], где сила тяжести
обработана как теория ширины кинопленки, и действие вовлекает синус угла дефицита.
Реальность была найдена во всех моделях непрерывной связующей партии фазы, и результаты
были совместимы с существованием невесомого вращения 2 возбуждения. Эти типы из сравнения должны преследоваться как средство исследования очень важного вопроса отношений между классами универсальности исчисления Regge и динамическими триангуляциями.
Больше деталей и обсуждения численного расчета на кванта исчислении Regge уступленны, даны в повторении Лолл [53].
19.7 Канонический квант исчисление Regge
Посредством контраста мы упоминаем наконец некоторые подходы к каноническому Кванту
использования силы тяжести исчисления Regge.
Immirzi намереваются связывать канонический подход квантовой силы тяжести петли к исчислению Regge. Он определил переменные Ashtekar для решетки Regge, и введенная форма Liouville и квадратные скобки Поиссона [44]. Он нашел, что это было невозможно квантовать модель, непосредственно используя сложные переменные, и оставить вторые ограничения класса, чтобы установить метрику квантового Гильбертова пространства, потому что один не может найти метрику, которая делает переменные площади hermitian [45].
В длинной серии статей Khatsymovsky противостоял многим из проблем воскресения в установке канонической quantisation исчисления Regge [48]. Темы он имеет
374 Р. Уильямса
имеющие дело с включением четырехвалентных переменных [46], структуры ограничения [47], материальные поля [49] и предел континуума [50].
Недавнее развитие - приложение Gambini и Pullin их последовательной discretisation [19] к исчислению Regge. Их метод является алгебраическим, а не геометрическим, и это, кажется, решает проблемы сохранения ограничений в числовой относительности и крышке ограничений в квантовой теории. Приложение к исчислению Regge [24] допустимо и в Euclidean и в Lorentzian доменах, и есть естественное устранение шпилей, которые, казалось, доставляли неприятности в исчислении Regge в прошлом [2] (но см. также [34]). Метод вовлекает сначала формулируя исчисление Regge как классическую добровольную каноническую систему, и затем квантуя это, осуществляя канонические преобразования, которые дают дискретное развитие времени как унитарная квантовая действующая компания. Структура может соединить изменение топологии, в особенности развитие от “никакого граничного” начального состояния.
19.8 Заключения
Исчисление Regge было первым discretisation замыслом в Общей теории относительности и
первой формой симплициальной Квантовой Силы тяжести (для большего количества ссылок, см. библиографию Уильямс и Таки [71]). От этого развили много важных и очень актуальных подходов к дискретной Квантовой Силе тяжести, включая Lorentzian динамические триангуляции и модели пены вращения [60]. Остается быть видевшим, какой подход даст начало полностью удовлетворительному diffeomorphism-инварианту и фоново-независимой теории Квантовой Силы тяжести. Есть веские причины для того, чтобы взять серьезно исчисление Regge и другие теории, только упомянутые, так как они идут в базовый уровень и стремятся изучить динамическую природу кванта пространства-времени.
Подтверждения
Эта работа была поддержана частично британской Физики элементарных частиц и Астрономии
Научного совета. Автор благодарит Герберта Хэмбера за полезные комментарии к этой
главе. Она особенно благодарна Колледжу Girton за его продолжающуюся поддержку.
Ссылки
[1] Дж. Амбйорн, М. Carfora & A. Marzuoli, Геометрия Динамических Триангуляций
(Берлин, Спрингер, 1997).
[2] Дж. Амбйорн, Дж. Нильсен, J. Rolf & G. Savvidy, Шпили в кванте исчисление Regge,
Класс. Квант Grav., 14 (1997) 3225-41.
[3] М. Сообщника, Функциональной меры для силы тяжести решетки, Преподобного Физики Летта., 57 (1986)
1825-7.
Квант исчисление Regge 375
[4] Дж. В. Барретт, тензор Эйнштейна в дискретной теории силы тяжести Регга, Классе. Квант
Grav., 3 (1986) 203-6.
[5] Дж. В. Барретт, геометрия классического исчисления Regge, Класса. Квант Grav., 4
(1987) 1565-76.
[6] Дж. В. Барретт, фундаментальная теорема линеаризовавшего исчисления Regge, латыша Физики.,
B190 (1987) 135-6.
[7] В. Беирл, Ми. Gerstenmayer, & H. Markum, Влияние меры на симплициальном
квантовая сила тяжести в четырех размерах, Преподобном Физики Летте., 69 (1992) 713-16.
[8] Си. Берг, Исследовательское исследование дискретной квантовой силы тяжести, Преподобного Физики Летта., 55
(1985) 904-7.
[9] Си. Берг, Энтропия против энергии на колеблющемся четырехмерном скелетоне Regge,
Латыш Физики., B176 (1986) 39-44.
[10] Д. Бирмингем, эффекты Кобордизма в исчислении Regge приближаются к кванту
космология, Преподобный Физики Д, 52 (1995) 5760-72.
[11] Ми. Bittner, А. Хок, Х. Маркум, Дж. Ридлер, До. Holm & W. Janke, Z2-Regge
против стандартного исчисления Regge в двух размерах, Преподобном Физики Д, 59 (1999) 124018.
[12] Л. Brewin, непрерывная рецептура времени исчисления Regge, Класса. Квант
Grav., 5 (1988) 839-47.
[13] М. Caselle, A. D' Adda & L. Magnea, исчисление Regge как местная теория
Группа Poincar;, латыш Физики., B232 (1989) 457-61.
[14] Дж. Чееджер, W. M;ller & R. Шрадер, сила тяжести Решетки или Риманнова структура на
кусочные линейные пробелы, в Объединенных Теориях Элементарных Частиц (Heisenberg
Симпозиум, 1981) (Примечания лекции в Физике), редакторы П. Breitenlohner & H. П. Дюрр
(Берлин, Спрингер, 1982).
[15] Дж. Чееджер, W. M;ller & R. Шрадер, На сабельности кусочных единообразных пробелов,
Commun. Математика. Физика, 92 (1984) 405-54.
[16] До. Л. Б. Корреия da Silva & R. М. Уильямса, Симплициальных minisuperspace моделей в
присутствие скалярного поля, Класса. Квант Grav., 16 (1999) 2197-224.
[17] До. Л. Б. Корреия da Silva & R. М. Уильямса, Анизотропных minisuperspace моделей,
Класс. Квант Grav., 16 (1999) 2681-96.
[18] Х. Коксетер, Регулярные Многокрапивники (Лондон, Methuen and Co. Ltd., 1948).
[19] До. Ди Бартоло, R. Gambini & J. Pullin, Канонический quantisation принужденных
теории на дискретных пространственно-временных решетках. Класс. Квант Grav., 19 (2002)
5275-96.
[20] Я. Т. Драммонд, исчисление Regge-Palatini, Nucl. Си Физики, 273 (1986) 125-36.
[21] Соль. Feinberg, Р. Фридберг, T.D. Lee & H. До. Ren, сила тяжести Решетки около континуума
предел, Nucl. Си Физики, 245 (1984) 343-68.
[22] R. Friedberg & T. Д. Ли, Происхождение действия Регга из теории Эйнштейна
Общая теория относительности, Nucl. Си Физики, 242 (1984) 145-66.
[23] Дж. Фрехлич, исчисление Regge и discretized гравитационные функциональные интегралы,
Сигнальный экземпляр, IHES, неопубликованный (1982) в Невызывающей волнение Квантовой Теории Поля:
Математические Аспекты и Приложения, Выбранные Статьи, стр 523-45 (Сингапур,
Научный мир, 1992).
[24] R. Gambini & J. Pullin, Последовательный discretisation и канонический классический и
квант исчисление Regge (2005), Сигнальный экземпляр gr-qc/0511096.
[25] М. Gross & H. В. Хэмбер, свойства Critical симплициальных двумерных
квантовая сила тяжести, Nucl. Си Физики, 364 (1991) 703-33.
[26] Х. В. Хэмбер, Симплициальная квантовая сила тяжести, в Критических Явлениях, Случайных
Sysytems, Теории Ширины кинопленки (Proc. Летняя школа Ле Уш, 1984), редакторы.
K. Osterwalder и Р. Стора (Амстердам, Северная Голландия, 1986).
376 Р. Уильямса
[27] Х. В. Хэмбер, Фазы 4-d симплициальной квантовой силы тяжести, Преподобного Физики Д, 45 (1991)
507-12.
[28] Х. В. Хэмбер, На гравитационных размерах масштабирования, Преподобном Физики Д, 61 (2000)
124008.
[29] H. W. Hamber & G. Kagel, Точная личность Bianchi в силе тяжести Regge, Классе. Квант
Grav., 21 (2004) 5915-48.
[30] H. W. Hamber & R. М. Уильямса, Более высокой производной квантовой силы тяжести на симплициальном
решетка, Nucl. Си Физики, 248 (1984) 392-414.
[31] H. W. Hamber & R. М. Уильямса, Симплициальная сила тяжести соединилась со скалярным содержанием, Nucl.
Физика, B415 (1994) 361-98.
[32] H. W. Hamber & R. М. Уильямса, ньютонова потенциала в кванте сила тяжести Regge,
Nucl. Физика, B435 (1995) 361-98.
[33] H. W. Hamber & R. М. Уильямса, постоянства Ширины кинопленки в симплициальной квантовой силе тяжести,
Nucl. Физика, B487 (1997) 345-408.
[34] H. W. Hamber & R. М. Уильямса, На мере в симплициальной силе тяжести, Преподобном Физики Д
59 (1999) 064014.
[35] H. W. Hamber & R. М. Уильямса, Невызывающей волнение силы тяжести и вращения
гравитон решетки, Преподобный Физики Д 70 (2004) 124007.
[36] H. W. Hamber & R. М. Уильямса, Квантовой силы тяжести в больших размерах, Преподобном Физики,
D 73 (2006) 044031.
[37] Дж. Б. Хартл, функция волны Стандартного состояния линеаризовавшей силы тяжести, Преподобного Физики Д, 29 лет
(1984) 2730-7.
[38] Дж. Б. Хартл, Симплициальный minisuperspace: Я Общее обсуждение, Дж. Мэт. Физика, 26
(1985) 804-14.
[39] Дж. Б. Хартл, Непослушная топология в двумерной квантовой силе тяжести, Классе.
Квант Grav., 2 (1985) 707-20.
[40] Дж. Б. Хартл, Симплициальный minisuperspace: III контуров Интеграции в с пятью симплексами
модель, Дж. Мэт. Физика, 30 (1989) 452-60.
[41] J. Си. Hartle & S. В. Хокинг, функция Волны вселенной, Преподобного Физики Д, 28 лет
(1983) 2960-75.
[42] Дж. Б. Хартл, W. A. Miller & R. М. Уильямса, Подписи симплициальной суперметрики,
Класс. Квант Grav., 14 (1997) 2137-55.
[43] J. Си. Hartle & R. Д. Соркин, Граничные члены на действии для исчисления Regge, Генерала.
Рэл. Grav., 13 (1981) 541-9.
[44] Соль. Immirzi, исчисление Regge и переменные Ashtekar, Класс. Квант Grav., 11
(1994) 1971-80.
[45] Соль. Immirzi, Квантуя исчисление Regge, Класс. Квант Grav., 13 (1996) 2385-94.
[46] V. Khatsymovsky, Тетрада и самодвойные рецептуры исчисления Regge, Класса.
Квант Grav., 6 (1989) L249-55.
[47] V. Khatsymovsky, На кинематических ограничениях в исчислении Regge, Классе. Квант
Grav., 11 (1994) L91.
[48] V. Khatsymovsky, самая простая модель исчисления Regge в канонической форме, Физике.
Латыш., B477 (2000) 248-52.
[49] V. Khatsymovsky, Непрерывные материальные поля в исчислении Regge, латыше Физики., B504
(2001) 356-8.
[50] V. Khatsymovsky, штрафная исчисление Regge и предел континуума, латыш Физики., B547
(2002) 321-7.
[51] K. Kuchar, Стандартное состояние, функциональное из линеаризовавшего поля тяготения, Дж. Мэта.
Физика 11 (1970) 3322-34.
Квант исчисление Regge 377
[52] М. Лехто, H. Си. Nielsen & M. Ninomiya, симметрия Diffeomorphism в симплициальном
квантовая сила тяжести, Nucl. Си Физики, 272 (1986) 228-52.
[53] R. Сидите развалившись, Дискретные подходы к квантовой силе тяжести в четырех размерах, Живущем Преподобном.
Рэл., 1 (1998) 13.
[54] J. Louko & P. A. Tuckey, исчисление Regge в анизотропной квантовой космологии, Классе.
Квант Grav., 9 (1991) 41-67.
[55] F. Lund & T. Regge, Симплициальное приближение к некоторой гомогенной космологии
(1974), неопубликованный.
[56] P. Menotti & R. П. Пеирано, Функциональный интеграл для силы тяжести Regge, Nucl. Си Физики.
Proc. Suppl., 57 (1997) 82-90.
[57] В. А. Миллер, geometrodynamic контент уравнений Regge как освещено
границей граничного принципа, Найденного. Физика, 16 (1986) 143-69.
[58] Соль. Ponzano & T. Regge, Полуклассический предел коэффициентов Racah, в Спектроскопическом
и Группа Теоретические Методы в Физике, редакторах Ф. Блоке, С. Соль. Коэн, A. DeShalit,
S. Sambursky & я. Talmi, стр 1-58 (Амстердам, Северная Голландия, 1968).
[59] Т. Регг, Общая теория относительности без координат, Nuovo Cimento, 19 (1961) 558-71.
[60] T. Regge & R. М. Уильямса, Дискретных структур в силе тяжести, Дж. Мэте. Физика, 41 (2000)
3964-84.
[61] Х. К. Рен, Материальные поля в силе тяжести решетки. Nucl. Си Физики, 301 (1988) 661-84.
[62] Дж. Ридлер, В. Беирл, Э. Биттнер, А. Хок, P. Homolka & H. Markum, Фаза
структура и распространители гравитона в рецептурах решетки четырехмерных
квантовая сила тяжести. Класс. Квант Grav., 16 (1999) 1163-73.
[63] М. Rocek & R. М. Уильямса, Вводной части к кванту исчисление Regge, в Кванте
Структура Пространства и времени, редакторы М. Дж. подновляют & К. Дж. Ишем, стр 105-16 (Кембридж,
Издательство Кембриджского университета, 1982).
[64] М. Rocek & R. М. Уильямса, quantisation исчисления Regge, З. Фис. К, 21 года
(1984) 371-81.
[65] H. R;mer & M. Z;hringer, Функциональная интеграция и diffeomorhism группа в
Евклидова квантовая сила тяжести решетки, Класс. Квант Grav., 3 (1986) 897-910.
[66] K Schleich & D. М. Witt, Обобщенные суммы по историям для квантовой силы тяжести II:
симплициальный conifolds, Nucl. Си Физики, 402 (1983) 469-528.
[67] П. А. Таки, Подходы к 3+1 исчислению Regge, кандидатской диссертации, университету
Кембридж (1988).
[68] V. Соль. Turaev & O. И. Виро, государство суммирует инварианты 3 копий и кванта
6j-символы. Топология, 31 (1992) 865-902.
[69] М. Veltman, в Методах в Полевой Теории, Серии Примечаний лекции Ле Уш, Сеансе
XXVIII (Амстердам, Северная Голландия, 1975).
[70] Р. М. Уильямс, Квант исчисление Regge в домене Lorentzian и
Гамильтонова рецептура, Класс. Квант Grav., 3 (1986) 853-69.
[71] Р. М. Williams & P. A. Tuckey, исчисление Regge: краткий обзор и библиография,
Класс. Квант Grav., 9 (1992) 1409-22.
20
Последовательные дискретизации как дорога к
Квантовой Силе тяжести
R. GAMBINI И J. PULLIN
20.1 Последовательные дискретизации: основная идея
Долго была надежда, что методы решетки могли использоваться как  невызывающей волнение подход к Квантовой Силе тяжести. Это частично основано на факте что методы решетки были довольно успешны в обслуживании квантовой хромодинамики. Однако, нужно вспомнить что одно из обращений методов решетки в QCD - то, что они - методы регуляризации инварианта ширины кинопленки. В гравитационном окружении дело обстоит не так. Как только одно discretizes пространство-время каждый ломает постоянство под diffeomorphisms, симметрией большинства гравитационных теорий интереса. Также, методы решетки в гравитационном окружении сталкиваются с уникальными трудностями. Например, в окружении интеграла по траектории, так как решетки нарушают часть из symmetries теории, это может усложнить использование Фадеев-Попова
метод. В каноническом подходе, если один discretizes ограничения и уравнения из движения имеющие результатом дискретные уравнения непоследовательны: они не могут быть
решенны одновременно. Связанная проблема состоит в том, что discretized ограничения терпят неудачу  закрыть алгебру ограничения.
Чтобы рассмотреть эти проблемы, мы  предложили [16; 4] различную методологию
для discretizing гравитационных теорий (или использовать различную терминологию, "чтобы поместить силу тяжести на решетке”). Методология связана с методом дискретизации что существовало некоторое время в окружении добровольных названных теорий “вариационных интеграторов” [22]. Короче говоря метод состоит в discretizing действия теории и работающие от этого дискретные уравнения движения. Автоматически, последние, как в общем гарантируют, будут последовательны. Окончание у дискретных теорий есть уникальные функции, которые отличают их от континуума теорий, хотя удовлетворительная каноническая рецептура может быть найдена для них
[3]. Дискретным теориям не связывали ограничения с пространством-времени diffeomorphisms и как следствие количества что в континууме ассоциированные множители Lagrange (ошибка, и сдвиг) становятся регулярными
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
Последовательные дискретизации как путь к Квантовой Силе тяжести 379
переменные дискретных теорий, значения которых определены уравнениями движения. Мы называем этот подход в окружении принужденных теорий “последовательными дискретизациями”.
Последовательно discretized теории являются и озадачивающими и привлекательными. На
одной руке, это является озадачивающим, что множители Lagrange установлены теорией. Не делать
множители Lagrange представляют свободу ширины кинопленки Общей теории относительности?
Ответ - то, что ожидается: дискретизация нарушает свободу и растворы , решения к дискретной теории, которые отличаются, переписываются, в пределе континуума, к тому же самому раствору, решению теории континуума. Следовательно у дискретной теории есть больше градусов
из свободы. С другой стороны, нехватка ограничений делают последовательно discretized
теории, чрезвычайно многообещающие во время квантования. Большая часть тяжелых концептуальных вопросов Квантовой Силы тяжести связаны с присутствием ограничений
в теории. В сравнении, последовательно discretized теории являются бесплатными от их
концептуальныхе проблем и могут прямо квантоваться (чтобы сделать содержания даже
более простыми, как все дискретные теории, у них есть конечное количество степеней свободы).
Кроме того, они служат основой, чтобы соединить интеграл по траектории и канонические
подходы к Квантовой Силе тяжести, так как центральный элемент - унитарное развитие действующей компании. В особенности они могут помочь примирить пену вращения и каноническую петлю
подходов представления. Они также обеспечивают естественную каноническую рецептуру для
Исчисления Regge [20].
В этой главе мы хотели бы кратко рассмотреть состояние последовательного подхода дискретизации, оба в его приложении как классическое приближение к гравитационным теориям и как инструмент для их квантования. Другие краткие обзоры с различным акцентом может видеться в [18; 19]. Организация этой главы как следует. В разделе 20.2 мы рассматриваем заявление метода к простому, все же концептуально стимулирующей механической модели и обсуждает как свойства что
каждый наблюдает в модели, фактически присутствуют в более реалистическом вовлечении ситуаций
Общей теории относительности. В разделе 20.3 мы выделяем различные приложения структуры.
В разделе 20.4 мы обсуждаем подробно квантование дискретных теорий и в разделе 20.5 мы выделяем, как можно определить квантовый предел континуума. Мы заканчиваем с резюме и перспективой.
20.2 Последовательные дискретизации
Вводить и иллюстрировать метод в простом - все же бросающий вызов - модель
мы считаем модель проанализированной подробно Ровелли [27] в окружении проблемы времени в канонической Квантовой Силе тяжести: два гармонических генератора с постоянной энергетической суммой. Мы уже обсудили эту модель в некоторых деталях в [19] но мы хотели бы повторно посетить это здесь, чтобы структурировать обсуждение с различным акцентом.
380 Р. Гамбини и Дж. Паллин
У модели есть канонические координаты q1, q2, p1, p2 с нормы Пуассон квадратными скобками и ограничением, данным,
C = 12 (p1) 2 + (p2) 2 + (q1) 2 + (q2) 2!; М. = 0, (20.1)
с М. константа. Модель не является стимулирующей начиная ни с какой добровольной нормы
Гамильтонова рецептура может соответствовать этой динамической системе начиная с пространства presymplectic компактно и поэтому не может содержать S ; R структуру. Однако, мы будем видеть, что последовательный подход дискретизации дает урожай благоразумные результаты. Это помогает рассеять определенные мифы о последовательной дискретизации замысла. Так как это определяет множители Lagrange, много людей склонно связывать замысел со своего рода “фиксированой шириной кинопленки”. Для этой модели, однако, фиксированной ширины кинопленки раствор, решение было бы неудовлетворительным, так как он только покроет порцию фазы пространства. Мы будем видеть что дело обстоит не так в последовательном замысле дискретизации. Мы будем также видеть, что замысел развития полезен в цифровой форме практически. Мы запускаем, сочиняя дискретную функцию Лагранжа для модели,
Л (n, n + 1) = p1n q1n+1; q1n!+ p2n q2
n+1; q2n!;Nn2 (p1n) 2 + (p2n) 2 + (q1
n) 2 + (q2n) 2 ; 2M!, (20.2)
и тренировка канонических импульсов для всех переменных, то есть. P1 q, P2q, P1p, P2p.
Импульсы переменной на уровне n получены, дифференцируя Л (n, n + 1) относительно переменной на уровне n+1. Каждый затем устраняет p1,2 и P1,2 p и оставлен с уравнениями развития для канонических пар,
q1n+1= q1n+ Nn P1q, n; 2q1n! (20.3)
q2n+1= q2n+ Nn P2q, n; 2q2n!(20.4)
P1q, n+1= P1q, n; Nnq1n (20.5)
P2q, n+1= P2q, n; Nnq2n. (20.6)
Множитель Lagrange определен раствором (ами) квадратного уравнения, которое получено, тренируя импульсы множителей Lagrange,
 (q1n) 2 + (q2n) 2!(Nn) 2 ; 2 P1q, nq1n+ P2q, nq2n!Nn+ P1q, n!2 + P2q, n!2 + q1n!2 + q2n! 2 ; 2M = 0. (20.7)
Имеющий результатом замысел развития, когда каждый устраняет множители Lagrange
используя уравнение (20.7) составляет каноническое преобразование между моментами n
и n+1. Этот результат может казаться озадачивающим сначала, общее обсуждение как это
может быть структурировано в подходе подобном Dirac для дискретных теорий, может видеться в [3].
Мы хотели бы использовать этот замысел развития следовать в цифровой форме за траекторией из системы. Для этого мы должны дать исходные данные. Дайте обзор этого, если Вы даете начальную букву
Последовательные дискретизации как путь к Квантовой Силе тяжести 381
данные, которые удовлетворяют ограничение тождественно на уровне n, квадратном уравнении для
 ошибки имеющей исчезающий независимый термин, и поэтому раствор то, что ошибка N исчезает (неисчезающий основной тон будет большим и подразумевал бы большое развитие времени
шаг, который обыгрывает нас от континуума в общем). Создать начальную букву данных каждый поэтому рассматривает набор, для которого ограничение исчезает и вводит маленькое волнение на одном (или больше) переменных. Затем у каждого будет развитие. Отметим, что можно сделать волнение как маленькое по желанию. Меньшее волнение, меньшая ошибка и ближе раствор будет к
континуум.
Для конкретности мы выбираем следующие первоначальные значения для переменных, М. =
2, q10= 0, q20= (;3 ;) грех (;4), P1q, 0= 1, P1q, 0= (;3 ;), потому что (;4).
Мы выбираем параметр, чтобы быть волнением, то есть = 0 соответствует точному решению ограничения, для которого заметное = 1/2 (см. ниже для его четкости). Замысел развития может легко быть осуществлен, используя компьютера программу алгебры как Maple или Mathematica.
Прежде, чем мы покажем результаты развития, мы должны обсудить в некоторых деталях как
метод определяет ошибку. Поскольку мы упоминали, что это получено, решая квадратное уравнение (20.7). Это подразумевает, что для этой модели будет два возможно раствора и в некоторых ситуациях они могли быть негативом или комплексом. Каждый может выберать любой из этих двух растворов в каждом очке во время развития. Эта двусмысленность может видеться как остаток постоянства перепараметризации континуума. Это -натуральное в цифровой форме, чтобы выбрать одно "ответвление" раствора и сохранить с этим. Однако, если Вы сталкиваетесь с этим, основные тоны становятся сложными, мы наблюдали что возможно возвратиться к предыдущему очку в итерации, выбрать замену основному тону к тому, который использовался до того очка и продолжать с развитием. Подобная процедура могла сопровождаться, когда ошибка становится негативом. Это должно быть примечательно, что отрицательные ошибки не проблема по существу, это только что развитие будет восстановлено назад. Мы не попытались исправить такие перерассмотрения,
то есть в развитии, показанном, мы только “врубили ответвления” всякий раз, когда ошибка
становится сложной. Это происходит когда дискриминант в квадратном уравнении (20.7) знак изменяет.
Мы хотели бы утверждать, что в некотором смысле дискретная модель "приближает"
модель континуума хорошо. Это, однако, переворачивается, стимулирующее суждение в
теории инварианта перепараметризации. Первая вещь попробовать, изучить развитие
из количеств, поскольку функция n, конечно, бессмысленна как основы, чтобы сравниться
с континуумом. В дискретной теории мы не управляем ошибкой, потому графы количеств как функция n бессмысленна. Попытаться стать более значащей информацией можно было бы хотеть сконцентрироваться на “observables”. В теории континуума, они - количества, у которых есть исчезающие квадратные скобки Пуассона с ограничениями (также иногда известны как "многолетние растения"). Знание этих количеств как функции
382 Р. Гамбини и Дж. Паллин
фазового пространства позволяет знать любой тип о динамическом физическом поведении
системы. Можно использовать их, например, чтобы создать “развивающиеся константы” [27].
Существование многолетних растений в теории континуума связано с symmetries из теории. Если такие symmetries не сломаны процессом дискретизации, затем в дискретной теории у каждого будут точные сохраненные количества, которые переписываются к многолетним растениям теории континуума. Сохраненные количества будут даны дискретизациями многолетних растений континуума. Это должно быть примечательно что в многолетние растения теории континуума как функции фазового пространства определены до добавления из однотипных магазинов одной и той же фирмы ограничений. Есть поэтому бесконечно много версий данного многолетнего растения. Когда discretized эти версии неэквивалентны (так как в дискретная теория ограничения теории континуума не держится точно), и только одна из этих версий будет соответствовать точному сохраненному количеству дискретной теории.
В этой модели в континууме есть два независимых многолетних растения. Один из
их становится прямо на дискретизацию точным сохраненным количеством из дискретной теории,
O1 = p1q2 ; p2q1. (20.8)
Другим многолетним растением дают
O2 = (p1) 2 ; (p2) 2 + (q1) 2 ; (q2) 2. (20.9)
Это количество не точное сохраненное количество дискретной модели, оно сохранено
приблизительно, поскольку мы можем видеть в рисунке 20.1. Мы в настоящее время не знаем
как найти точное сохраненное количество в дискретной теории, которая соответствует дискретизации этого многолетнего растения (плюс условия, пропорциональные ограничению). Наконец, это будет родовой ситуацией, с тех пор в более сложных моделях каждый будет не знать точные выражения или для многолетних растений теории континуума или константы движения дискретной теории. Дайте обзор также этого в континууме, чтобы возвратить физическую информацию о системе, каждый в общем нуждается иметь два многолетних растения плюс сочетания, вовлекающие ограничения. В дискретной теории эти сочетания не будут точно консервированы. Поэтому, даже если мы нашли
точные сохраненные количества для обоих многолетних растений в дискретной теории, извлеченной
физики все еще только была бы приблизительна, и мера ошибки будет дана тем, как хорошо ограничение теории континуума удовлетворено в дискретной теории. Именно в этом смысле можно лучше всего сказать, что дискретная теория “приближает теорию континуума хорошо”.
Рисунок 20.1 изображает относительные ошибки в течение развития в значении
второго многолетнего растения мы обсуждали. Интересно, хотя в промежуточных шагах
развития, которое выращивает ошибка, она уменьшается позже.
Последовательные дискретизации как путь к Квантовой Силе тяжести 383
0 100 200 300 400 500
n
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
(O2-O2
точный)/O2
Рис. 20.1. У модели есть два "многолетних растения". Один из них - сохраненное точное
количество дискретной теории, таким образом, мы не представляем граф для этого. Второе
постоянное (O2) приблизительно сохранено. Данные показывают относительную ошибку в
его вычислении в дискретной теории. Это - стоящий дает обзор того, в отличие от какой
обычно в бесплатных замыслах развития, ошибки не накапливаются, они могут вырасти для
в то время как, но позже они могли бы уменьшиться.
Поскольку мы спорили выше в дискретных количествах теории приблизительные таковые
континуума с ошибкой, которая пропорциональна значению ограничения. Поэтому значение ограничения - реальный индикатор того, как точно каждый зеркально отражает теорию континуума. Это - хорошее свойство, чтобы иметь такой ошибочный индикатор, который является свободным художником познания точного решения. Используя этот индикатор каждый может, например, вынести исследования конвергенции и показать, что метод делает действительно сходится для этой модели подробным способом [19].
Рисунок 20.2 показывает траекторию в пространстве конфигурации. Поскольку мы видим, полную траекторию покрытой подходом discretized. Это важно начиная со многих люди склонны чувствовать последовательный подход дискретизации как “своего рода фиксированную ширину кинопленки”. Эта вера остановила от факта что, когда одна ширина кинопленки устанавливает теорию, множители определены. Несмотря на эту неглубокую аналогию, есть многие
вещи, которые отличаются от фиксированной ширины кинопленки. Например, как мы обсуждали прежде, изменения количества степеней свободы (для большего количества деталей см. [17]). Кроме того,  этот пример демонстрирует другое различие. Если один действительно имел установленную ширину кинопленки этой модели, можно было бы быть не в состоянии закрыть всю доступную зону конфигурации, данную его компактной природой.
384 Р. Гамбини и Дж. Паллин
-1 0 1
q1
-2
-1
0
1
2
q2
Рис. 20.2. Орбита в пространстве конфигурации. Как с готовностью видится, последовательный
дискретный подход закрывает всю доступную зону конфигурации. Это ясно выставки, что подход не “установленный, фиксированный ширины кинопленки”. Установленные подходы ширины кинопленки не могут закрыть всю зону конфигурации из-за ее компактной природы. Динамическое изменения в значении ошибки могут видеться неявно через плотность очки в различных областях траектории. Также очевидно то, что траектория прослежен больше чем в одном случае в различных регионах. Отклонение от траектории континуума не примечательно в масштабах графика.
Чтобы завершить этот раздел, давайте укажем на некоторые подсказки, что эта модель обеспечивает. К началу, мы видим, что последовательный замысел дискретизации успешно следует
классической траектории континуума. Каждый имеет контроль над тем, как точные вещи являются
выбором исходных данных. Можно показать, что подход сходится, используя оценщики
из ошибки, которые являются свободным художником познания точных решений или других свойств в общем не доступном. Раствор уравнений для множителей Lagrange может развить ответвления, и можно использовать это для преимущества в борьбе за мяч проблемы, где топология фазового пространства не проста.
Что является государством искусства с точки зрения применения этого подхода как классический числовой инструмент относительности? Мы применили метод в гомогенной космологии и также в космологии Gowdy [8], где у каждого есть пространственная зависимость
переменных. Все свойства мы видели в модели, описанной в этом разделе, присутствуют в более сложных моделях, единственная разница- вычислительна сложность. Как хорошо делает его соревноваться с более традиционной числовой относительностью подходов? В настоящее время метод является слишком дорогостоящим, чтобы соревноваться хорошо, пока уравнения развития неявны. Но как традиционные “бесплатного, свободного развития” методы в
Последовательные дискретизации как путь к Квантовой Силе тяжести 385
числовой относительности продолжают сталкиваться с проблемами неустойчивости и ограничения
нарушений, и как вычислительная сила увеличивается, дороговизна последовательного подхода дискретизации может стать меньшим количеством проблемы. Испытание, которое будет преодолено
что в ситуациях интереса, у проблем есть границы, и подход имеет еще не тренировался в присутствии границ, хотя мы активно рассматриваем этот вопрос.
20.3 Приложения
20.3.1 Классическая относительность
Как мы утверждали прежде, наш подход может использоваться, чтобы создать дискретные теории
что приближает Общую теорию относительности. Это является поэтому подходящим для того, чтобы сделать числовой относительность. Основная проблема состоит в том, что имеющие результатом числовые замыслы неявны, и поэтому очень дорогостоящи в ситуациях физического интереса, где  нет symmetries. Большая часть существующей числовой относительности преследуется с явными
алгоритмами по этой причине. Несмотря на это, наш опыт с проанализированной моделью
Ровелли и космологией Gowdy указывают, что наши дискретизации могут иметь привлекательные свойства, которые не присутствуют в более традиционных замыслах дискретизации. В особенности факт, что ошибки, кажется, не накапливаются, а скорее не растут и уменьшаются в циклах, поскольку каждый развивается, мог предложить уникальные обещания для долгосрочного развития
как те желаемые в двоичных системах счисления, которые испускают гравитационные волны. В
добавление к этому, это показали [5], что наш подход примененный к линеаризовавшей силе тяжести
дает результаты дискретизации, которая "подражательна", то есть, ограничения, автоматически
консервированны, не определяя множители Lagrange. Это может предложить что в меньше всего на линеаризовавшем уровне, наши дискретизации могут дать представление лучше чем другие. В злости
из этих подсказок обещаниц есть много ландшафта все же, чтобы закрыть прежде, чем каждый мог
рассмотреть серьезно использование одного из этих замыслов в проблемах текущей процентной ставки. В частности, в числовой относительности значение наличия симметричной гиперболической рецептуры все более и более признавались (см. [26] для повторения), и в особенности из соединяющегося ограничения, сохраняющего граничные условия. Наиболее симметричные
гиперболические рецептуры созданы на уровне уравнений движения и не происходят из принципа действия. Поэтому наш метод дискретизации не непосредственно применимый. Больше работы ясно необходимы в этой штрафной.
Другая область недавнего продвижения [20] была приложением этих идей к исчислению Regge. В исчислении Regge было замечено что каноническая рецептура была проблематична. В особенности это, казалось, потребовало что Lagrange множители были установленны [7]. Это - точно проведение темы, которое мы используем в качестве начальной точки для нашей дискретной конструкции. Мы недавно показали, как можно создать добровольную версию ту, канонического исчисления Regge, в который часть продолжительности
386 Р. Гамбини и Дж. Паллин
из ссылок определены, точно зеркально отражая, что происходит с Lagrange множителями в других теориях. Хотя это - только начало, оно предлагает романа метод, чтобы иметь каноническую рецептуру исчисления Regge, которое может иметь привлекательный квант значений механически (например это содержит новое предписание определить интеграл по траектории).
20.3.2 Проблема времени
Так как дискретная теория, что каждый создает через нашу процедуру, является constraintfree,
это немедленно обходит большинство трудных концептуальных проблем канонических Квантовой Силы тяжести включая “проблему времени”. Проблема является немного более тонкой чем это первоначально появляется. У каждого действительно есть теория без ограничений и “подлинное
развитие”, за исключением того, что последний распределен в роли с точки зрения дискретного параметра n. К этому параметру нельзя получить доступ физически, это не одна из переменных, один физически наблюдает для систем при исследовании. Это шпигует, форсирует нас, чтобы рассмотреть "относительную" рецептуру, в том же самом духе как Пейдж и Вуттерс [25] рассмотренный. Идея состоит в том, чтобы выбрать одну из физических переменных и использовать ее в качестве часов. Каждый затем спрашивает относительные вопросы, например, "что является условной вероятностью чем один из других переменных берут данное значение, когда переменная часов указывает на определенное время”. Эти вопросы можно, конечно, также задать в Общей теории относительности континуума, но подробная конструкция условных вероятностей проблематична,
из-за элементов, имеющих степень трудности наличия вероятностного истолкования квантовых состояний в канонической Квантовой Силе тяжести (см. обсуждение в [21]). В нашем подходе, на
другой руке, условные вероятности четко определены, так как  нет ограничений, чтобы произвести проблемы с вероятностным истолкованием государств. Для больше деталей смотри [9].
20.3.3 Космологические приложения
Мы применили метод к космологическим моделям. Использование их дискретных теорий в космологии имеет привлекательное следствие. Начиная с ошибки, и поэтому “решетка, располагающая с интервалами вовремя”, определена уравнениями движения в общем каждый избежит особенности классически. Или помещать это по-другому, каждый бы имел к "точной настройке" исходные данные, чтобы достигнуть особенности (если каждый не использует  переменные в котором особенность находится на границе фазового пространства). Квант механически, это подразумевает, что особенность будет вероятностно подавлена. Как дискретное
туннели теории через особенность, есть точный смысл в котором может утверждать, что интервал решетки изменяется качественно. Это могло использоваться, чтобы спорить что физическая константа изменяется когда туннелирование через особенность с тех пор в решетке теории "одетое, выравнивавшее" значение констант сцепления связаны с решеткой
Последовательные дискретизации как путь к Квантовой Силе тяжести 387
интервала. Поэтому это предоставляет конкретный механизм Смолина “Жизнь космос” предложения [29; 30]. Для больше деталей смотри [15].
20.3.4 Основной тон decoherence, проблема информации о черной дыре,
ограничения к квантовым вычислениям
Как только каждый решил проблему времени относительным способом, обсужденным выше,
каждый дает обзор, что имеющая результатом квантовая теория не в состоянии быть унитарной. Это разумно. В нашем подходе, когда каждый квантует, можно было бы иметь унитарное развитие
государства как функция дискретного параметра n. В относительном подходе один выбирает некоторую динамическую переменную и названную этим временем T. Предположите, что каждый выбрал государство в котором эта переменная чрезвычайно достигнута максимума как функция n. Если Вы позволяете системе развится, раскрутиться переменная распространится, и в более поздний момент можно было бы иметь сбыт из значений n, которые соответствуют данному T (или наоборот). Это означает что если один запущенный с "чистого" государства, каждый заканчивает смешанным государством. Основная причина то, что физические часы T не могут остаться в совершенном, жестко регламентированном с развитием параметре n. Детальное обсуждение значений этой нехватки unitarity в [10; 11; 13]. Конечно, это не первый раз когда Квантовые эффекты Силы тяжести
были связаны с поражением unitarity. Однако, в отличие от предыдущих предложений (см.
[2]), подробное развитие, подразумеваемое относительным описанием, мы находим консервированную энергию, которая является очень желательным свойством. Можно дать привязанному малость из эффекта, принимая во внимание, что является "лучшими" часами, из которых можно создать фундаментальные физические принципы [23; 24]. Нехватка unitarity делает отключение диагональных элементов плотности матрицы  движению к нолю по экспоненте. Образец (для  система с двумя энергетическими уровнями, для простоты), пропорционален минус Бор
частоте между уровнями квадратными, ко времени Планка к (4/3) силе и к времени которое ждет государства, чтобы потерять последовательность к (2/3) силе (эти результаты показываются, не даже быть галилейским инвариантом, но дело обстоит не так как обсуждено в деталях в [12]. Это прозрачно, что эффект незначителен для большинства квантовых систем. Возможности наблюдения эффекта в лаборатории (см. например [28]) в настоящее время репортаж с места события, можно было бы потребовать квантовую систему макроскопического размера. Если Вы принимаете
разности энергий eV размера, можно было бы крупно нуждаться в 1013 атомах. Бозе-Эйнштейн
конденсаты в настоящее время могут достигнуть государств этого вида с, возможно, сотнями миллионов  атомов, но они не вовлекают разности энергий eVs за атом. Другой важный протест этих типов обсуждений состоит в том, что они были вынесены в очень наивный уровень ньютоновой квантовой механики. Если нужно было считать релятивистскую  квантовую теорию поля, нужно было бы иметь переменную "часов" за пространственное очко. Это подразумевало бы, что квантовые состояния потеряют последовательность не только как время развивается, но также и между очками в пространстве. У таких эффектов могли потенциально быть следствия что намного более поддается экспериментальному тестированию [28]. Однажды один
388 Р. Гамбини и Дж. Паллин
уверовал что квантовая механика на фундаментальном уровне содержит поражение unitarity
можно хотеть пересмотреть парадокс информации о черной дыре. В конце концов, причина
у каждого есть парадокс, то, что, когда черная дыра испаряется, окончательный результат -
смешанное государство, даже если Вы создавали черную дыру, сворачивая чистое состояние. Вопрос: это поражение unitarity происходит быстрее, или медленнее чем тот мы нашли? Если это будет медленнее, то это будет неразличимо. Априорно можно было ожидать тот эффект что мы обсуждали, не должен быть слишком важным. Мы только спорили в предыдущем параграфе то, что это является очень маленьким. Однако, черные дыры занимают много времени, чтобы испариться. И поскольку они испаряются, их энергетические уровни становятся более разделенными как температура
увеличения. Подробное вычисление показывает что порядок величины недиагональных элементов матрицы плотности во время полного испарения был бы приблизительно M;2/3 BH, с MBH массой черной дыры в массе Планка единиц [13]. Для астрофизической черной дыры размера поэтому поражение unitarity фактически полно и парадокс не может быть понят физически. Что происходит если
каждый берет, скажем, очень небольшую черную дыру? Может каждый повторно формулировать парадокс в этом случае? Рецептура, которую мы имеем, не достаточно точна, чтобы ответить на этот вопрос. Мы только крупно оценили величину decoherence только, чтобы дать порядок  оценки величины. Много аспектов вычисления также сомнительны для небольших черных дыр, где истинные Квантовые эффекты Силы тяжести также важны. Интересное дополнительное соблюдение [14] состоит в том, что поражение квантовой последовательности мы нашли может обеспечить фундаментальное ограничение тому, как быстрые квантовые компьютеры могут работать
что является более строгим чем другие фундаментальные пределы, которые рассматривают.
20.4 Построение квантовой теории
Как мы утверждали выше, конструкция квантовой теории запускается, осуществляя
каноническое преобразование, которое дает развитие с точки зрения дискретного параметра
n как унитарное преобразование. Прежде, чем сделать эти конструкции каноническая теория, которая следует из устранения множителей Lagrange. Окончание канонической теории в общем не имеет никаких ограничений, и имеет уравнения развития для его канонических переменных. Каждый выбирает поляризацию, например # (q) где q ряд переменных конфигурации, и рассматривает унитарное преобразование как действие на пространстве выбранного wavefunctions. С тех пор в общем  нет ограничений, можно выбрать как физический внутренний результат кинематический и конструировать Гильбертово пространство wavefunctions, которые являются квадратно интегрируемы. Если оно  в представлении Шредингера государства развития, таким образом, мы маркируем их как #n (q) и развитие дано,
#n+1 (q) =dqU (q|q) #n (q). (20.10)
Последовательные дискретизации как путь к Квантовой Силе тяжести 389
Преобразование должно быть таково, что осуществляет уравнения развития как operatorial отношения, действующие на пространство wavefunctions в Heisenberg представлении, где
U (q|q) = n + 1, q|n, q, (20.11)
и где |n +1, q и |n, q являются собственными векторами действующих компаний конфигурации
; q в представлении Heisenberg на уровнях n+1 и n соответственно. Развития уравнения принимают форму,
n + 1, q | ; qn+1 ; f (; qn, ; pn) |n, q = 0, (20.12)
n + 1, q | ;pn+1 ; соль (; qn, ; pn) |n, q = 0, (20.13)
с f, соль квантовые уравнения развития, которые выбраны, чтобы быть самопримыкающими в
порядке на преобразование, чтобы быть унитарным. Явные примеры этой конструкции для космологических моделей могут видеться в [17]. Если в конце этого процесса каждый имеет
созданное преобразование, которое истинно унитарно квантование, полно в  дискретном пространстве и каждый имеет четко определенную структуру, чтобы строго вычислить
условные вероятности, которые воскресают, когда каждый использует относительное время, чтобы описать физическую систему. Это - главное преимущество над попытками создать относительное
изображение с системами, где у каждого есть ограничения. Есть некоторые протесты к
этой конструкции, которые стоят указывать. Поскольку мы упоминали, наша конструкция
в общем дает урожай дискретные теории результатов, которые без ограничений. Быть более точным,
теории не связывали ограничения с пространством-временем diffeomorphisms. Если у теории на рассмотрении есть другие symmetries (например Gauss правило теории Яна-Миллза или силы тяжести, написанной в новой переменной рецептуре), такие symmetries могут быть консервированны на дискретизацию (мы решили, отработали это явно для Яна-Миллза и теории BF в [4]). Имеющая результатом дискретная теория поэтому будет иметь некоторые ограничения. Если это верно, вышеупомянутая конструкция запускается, рассматривая как wavefunctions государства, которые являются инвариантом ширины кинопленки и обеспеченный с Hilbert структурой пространства, дана инварианта ширины кинопленки внутренним результатом. Имеющая результатом теория имеет
истинные (бесплатные, свободные) множители Lagrange связанные с оставшимися ограничениями. Унитарное преобразование будет зависеть от таких параметров. Альтернатива должна работать
в представлении, где ограничения решены автоматически (как представление петли для правила Gauss). Там каждый не имеет в запасе ограничений и внутренний продукт кинематический в представлении петли и унитарное преобразование не зависит от бесплатных, свободных параметров. Другие проблемы, которые могут воскреснуть, имеют отношение  с фактом, что во многих ситуациях каноническое преобразование не переписывает, соответствует квант механически к унитарным преобразованиям. Эта проблема была обсуждена, например, Андерсоном [1]. Он обращал внимание что единственные канонические преобразования что могут быть осуществлены, поскольку унитарные преобразования - те, которые соответствуют
390 Р. Гамбини и Дж. Паллин
изоморфизму фазового пространства в себя. Это важно для дискретных теорий следующим образом. Если у Вас есть ограниченная теория континуума, ее физическое фазовое пространство находится на поверхности ограничения. У дискретных теорий есть фазовое пространство что включает поверхность ограничения теории континуума. Однако, дискретные переменные фазового пространства покрывают только подпространство кинематического фазового пространства
теории континуума. Есть недоступные сектора, которые соответствуют сложным значениям
 множителей Lagrange в дискретной теории. Поэтому, чтобы каноническое преобразование дискретной теории было изоморфизмом, можно иметь выбрать физическое Гильбертово пространство для дискретной теории, которая является подпространством кинематического пространства вместо того, чтобы только брать то, чтобы быть совпадающим. Это должно быть сделано осторожно, начиная с ограничения Гильбертова пространства может подразумевать что некоторые физические количества
 не в состоянии быть четко определенными в физическом Гильбертовом пространстве. Мы исследовали часть из этих проблем в некоторых кванта механических моделях, у которых есть относительное описание. Мы показали, что можно успешно возвратить, перекрыть традиционные механические квант результаты в подходящем континуума ограничении, осторожно вводя ограничение для кинематического Гильбертова пространства, и что можно определить переменные, которые приближают любые динамические переменные теории континуума в континуума ограничении в ограниченном Гильбертовом пространстве (см. [6]).
20.5 Квантовый предел континуума
Поскольку мы спорили в обсуждении модели, проанализированной Ровелли, хорошей мерой
из того, как близко каждый к теории континуума в данном растворе дискретной теории должен оценить ограничение теории континуума. Такое ограничение только точно удовлетворенное в пределе континуума. Альтернативный способ представить это считать конструкцию "гамильтониана" таким образом, что exponentiated давал бы урожай унитарного развития между n и n + 1, ;U = exp (я ;H), где = 1 и ;H имеет модули действия. Такой гамильтониан может только быть создан в местном масштабе с тех пор в некоторых очках развития логарифма унитарного преобразования, не является хорощо определенный. Такой гамильтониан может быть написан как формальное расширение с точки зрения ограничения теории континуума (способ видеть это состоит в том, чтобы отметить что в континуума пределе этот гамильтониан должен исчезнуть, так как это включает такт). Если
каждый выбирает начальное состояние, таким образом что ;H 1 развитие сохранит это (;H,
точная константа движения). Это продолжится, пока каждый не достигает точки где ;H
не четко определено. Развитие продолжится, но это не обязательно останется близко к пределу континуума. В определенных космологических примерах совпадает это очко с очком, где у теории континуума есть особенность, например [17]. Поэтому первое условие на квантовых состояниях в пределе континуума ;H 1. Второе условие состоит в том, что значения ожидания физических переменных должны не брать значения в очках, где ;H не четко определен. Третье условие не
Последовательные дискретизации как путь к Квантовой Силе тяжести 391
сделать измерения со “слишком большой точностью” на переменных, которые не добираются
с ;H. Это требование происходит от факта, что такие измерения ввели бы слишком много рассеяния в ;H и можно было бы нарушить первое требование. В примеры мы видели, что это условие преобразовывает в не измерении q, p с более острая точность чем та из шага развития в соответствующей переменной. Это кажется разумным, дискретная теория не должна позволить измерение количества с точностью, меньшей чем шаг дискретизации. Переменные, которые не переключают с игрой ;H важную роль в относительном описании, так как они переменные, которые могут использоваться в качестве "часов", поскольку они не консервированы при развитии как константы движения.
20.6 Резюме и перспектива
Можно создать дискретные канонические теории, которые являются бесплатным, свободным ограничением и однако приблизительный континуум ограничил теории в четко определенном смысле.
Структура была проверена на классическом уровне во множестве моделей, включая гравитационные с бесконечно многими градусами свободы. Дальнейшая работа необходима сделать структуру в вычислительном отношении соревновательной в числовой относительности. В особенности
использование лучших дискретизаций во времени, включая более высоких порядков, появляется
обещать. Начальные исследования, которые мы выносим в простых моделях, указывают
что может достигнуть долгосрочного устойчивого и точного развития, использующего умеренно
большие такты. Это могло быть очень привлекательно для числовой относительности, если это переворачивает быть родовым свойством. Так как дискретные теории — бесплатное, свободное ограничение, они могут квантоватся без серьезных концептуальных препятствий. В особенности относительное время может быть введено четко определенным способом, и квантовые состояния экспонируют неунитарное развитие, у которого могут быть значения экспериментально и концептуально (как в проблеме информации о черной дыре). Есть разумное предложение создать
квантовый предел континуума, который был проверен в простых принужденных, ограниченных моделях. Основное испытание должно применить структуру на квантовом уровне в системах с полем
теоретических градусов свободы. Факт, что  есть четко определенная структура, которая является в вычислительном отношении интенсивным предположением, что это - авеню для того, чтобы дирижировать, провести числовую Квантовую Силу тяжести.
Эта работа была поддержана частично ННФ-PHY0244335 грантами, НАСА-AG5-
13430 и фонды от Горация Хирни младшего. Лаборатория для Теоретической Физики
и CCT-LSU.
Ссылки
[1] A. Андерсон, Физика Летописи 232 (1994) 292.
[2] Т. Бэнкс, Л Сасскинда и М. Э. Пескина, Nucl. Си Физики 244 (1984) 125.
392 Р. Гамбини и Дж. Паллин
[3] До. Ди Бартоло, Р. Гамбини, Р. Порто и Дж. Паллин, Дж. Мэт. Физика 46, (2005) 012901.
[4] До. Ди Бартоло, Р. Гамбини и Дж. Паллин, Класс. Куан. Grav. 19 (2002) 5275.
[5] До. Ди Бартоло, Р. Гамбини и Дж. Паллин, “Последовательные и подражательные дискретизации в
Общая теория относительности,” Дж. Мэт. Физика 46 (2005) 032501.
[6] До. Ди Бартоло, Р. Гамбини и Дж. Паллин (2005), в приготовлении.
[7] Дж. Л. Фридман и я. Джек, Дж. Мэт. Физика 27 (1986) 2973.
[8] Р. Гамбини, М. Понсе и Дж. Паллин, “Последовательные дискретизации: Gowdy
пространственно-временные модели,” Преподобный Физики Д 72 (2005) 024031.
[9] Р. Гамбини, Р. Порто и Дж. Паллин, в Недавних событиях в Силе тяжести, К. Коккотасе,
N. Stergioulas, редакторы (Сингапур, Научный Мир, 2003) [gr-qc/0302064].
[10] Р. Гамбини, Р. Порто и Дж. Паллин, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 21 (2004) L51.
[11] Р. Гамбини, Р. Порто и Дж. Паллин, Новый Дж. Фис 6 (2004) 45.
[12] Р. Гамбини, Р. Порто и Дж. Паллин, Преподобный Физики Д 70 (2004) 124001.
[13] Р. Гамбини, Р. Порто и Дж. Паллин, Braz. Дж. Фис 35 (2005) 266.
[14] Р. Гамбини, Р. Порто и Дж. Паллин (2005) ArXiv:quant-ph/0507262.
[15] Р. Гамбини и Дж. Паллин, Интервал. Дж. Мод. Физика. D 12 (2003) 1775.
[16] Р. Гамбини и Дж. Паллин, Преподобный Физики Летт. 90 (2003) 021301.
[17] Р. Гамбини и Дж. Паллин, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003) 3341.
[18] Р. Гамбини и Дж. Паллин, Генерал. Рэл. Grav. 37 (2005) 1689.
[19] Р. Гамбини, и Дж. Паллин, “Дискретное пространство-время” (2005), ArXiv:gr-qc/0505023.
[20] Р. Гамбини и Дж. Паллин, “Последовательный канонический классический и квант Regge
исчисление” (2005), ArXiv:gr-qc/0511096.
[21] K. Kuchar, “Тайм и истолкования квантовой силы тяжести”, на Слушаниях 4-ого
Канадская Конференция по Общей теории относительности и Релятивистской Астрофизике,
G. Kunstatter, Д. Винсент и Дж. Уильямс, редакторы (Сингапур, Научный Мир, 1992).
Онлайн в http://www.phys.lsu.edu/faculty/pullin/kvk.pdf
[22] A. Лью, Дж. Марсден, М. Ортиса и М. на запад, в методах конечных элементов: 1970-ые и
Вне, Л Франки, Т. Тездуяра и А. Мэзуда, редакторов (Барселона, CIMNE, 2004).
[23] Нанограмм И. Дж. и Х. ван Дам, Летопись Нью-Йорк Acad. Наука 755 (1995) 579
[arXiv:hep-th/9406110].
[24] Нанограмм И. Дж. и Х. ван Дам, Модник. Латыш Физики. 9 (1994) 335.
[25] Страница Д. Н. и В. К. Вуттерс, Преподобный Физики Д 27 (1983) 2885.
[26] О. Реула, Живущий Преподобный Рель. 1 (1998) 3.
[27] До. Ровелли, Преподобный Физики Д 42 (1990) 2638.
[28] До. Симон и Д. Джэкш, Преподобный Физики А70 (2004) 052104.
[29] Л. Smolin, Жизнь Космоса (Оксфорд, издательство Оксфордского университета, 1992).
[30] Л. Smolin, Класс. Куан. Grav. 9 (1994) 173.
21
Причинный набор продход к Квантовой Силе тяжести
J. ХЭНСОН
Как мы можем достигнуть теории Квантовой Силы тяжести? Много ответов на этот вопрос
предложены в различных главах этой книги. Более определенный набор вопросов мог бы быть: какие требования должны мы ставить на нашу структуру, так, чтобы это лучше всего в состоянии справиться со всеми проблемами, вовлеченными в создание теории Кванта Силы тяжести? Что выборы, наиболее вероятно, дадут правильной теории, соответственно к подсказкам мы имеем от известной физики? Есть ли любые проблемы с нашей начальной буквой успения, допущения которое может вести, чтобы беспокоить далее в будущем? Последний кажется быть одним из самых важных стратегических вопросов, начиная формулировать теорию кандидата. Например, может канонический подход преодолевать многогранную проблему времени? И как далеко может теория, основанная на неподвижном фоне пространства-времени быть продвинутым? С одной стороны на эти вопросы можно только ответить в самой попытке сформулировать теорию. С другой, многие такие попытки
были сделаны, и теперь, когда Квантовое исследование Силы тяжести создало некоторую историю,
возможно, пора вспахать часть опыта, полученного назад в новый подход, закладывая основу для нашей теории таким способом как, чтобы избежать известные проблемы. Причинная программа набора [1; 2; 3; 4; 5] представляет такую попытку.
В этом повторении, некоторых ответах на вышеупомянутые вопросы, как воплощено причинной программой набора, изложены и объяснены, и некоторые из их следствий даны.
Как партия этого, обсуждены результаты и открытые проблемы в программе. В разделе 21.1, причины для выдвигающей гипотезу пространственно-временной отдельности рассмотрены. Четкость, определение причинного набора дано, наряду с предложенным принципом корреспонденции
между этой структурой и эффективным описанием континуума пространства-времени. Затем
некоторые из уникальных функций этой дискретизации замысла обсуждены. В разделе
21.2, идеи для причинных движущих сил набора даны. Затем, повторение сделано из некоторых феноменологических моделей, основанные на этой Квантовой программе Силы тяжести, и успехах и
испытания в этой строке работы получены в итоге. Некоторые результаты в этом касании раздела
по вопросу о восстановлении местоположения для причинных наборов, что-то, что является существенным для
Подходы к Квантовой Силе тяжести: К Новому Пониманию Пространства, Тайма и Содержания, редактора Даниэле Орити.
Изданный издательством Кембриджского университета. издательство Кембриджского университета до 2009.
394 Дж. Хэнсона
всех других сюжетов, субъектов закрытых, покрытых, и новые результаты, которые решают эту проблему в некоторых ситуациях впервые, упомянуты.
Помимо данной работы, есть много других доступных повторений. Один из новых, наиболее недавних  [5], в то время как побуждение и более ранняя работа покрыты в [2; 3; 4]. A философски ориентируемый отчет концепции причинной идеи набора сделан в [6], и есть недавнее повторение, которое вводит некоторые из основных понятий причинного набора kinematics и движущих сил [7]. Многие из этих вещей, и другие причинные средства набора, наиболее легко найдены на веб-сайте Рафаэля Соркина [8].
21.1 Причинный подход набора
Эта программа - развитие "интеграла по траектории" или суммы по историям (SOH) типа
подходов (по причинам принять эту структуру в Квантовой Силе тяжести, см. [9; 10]).
В таких подходах пространство историй дано, и амплитуда (или более широко квантовая мера), назначена на наборы этих историй, определяя квант теория на аналогии с интегралами по траектории Фейнмена. Основной вопрос, затем, состоит в том что пространство историй должно быть для Квантовой Силы тяжести. Должны они быть непрерывное копии, кипы  Lorentzian Общей теории относительности - или некоторая дискретная структура, к который копия - только приближение?
21.1.1 Параметры за пространственно-временную отдельность, дискретность
Много подсказок из наших существующих теорий физики указывают на отдельность.
Проблематичные бесконечности Общей теории относительности и квантовой теории поля
вызванный нехваткой перемаха короткого расстояния в градусах свободы; хотя процедура перенормализации повышает качество проблем в QFT, они возвращаются в наивной
попытке квантовать силу тяжести (см. [11] и ссылки там). Во-вторых, технические проблемы воскресают на четкости интеграла по траектории на непрерывной истории пространства, которые полностью никогда не решались. Вдобавок к этому, пространство истории копии Lorentzian представляют специальные проблемы его собственного [12]. Дискретное истории пространство обеспечивает четко определенный интеграл по траектории, или скорее сумму, которая избегает их
проблемы.
Возможно, самый убедительный параметр прибывает от ограниченности черной дыры
энтропии. Без перемаха, отрез-конца короткого- расстояния, так называемая “энтропия запутанности” квантовые поля (энтропия, полученная, когда значения полей в горизонте прослежены), кажется, бесконечены (см. [13; 14], и [15; 16] для некоторых дебатов). Если эта энтропия действительно включена в энтропию черной дыры, так многие ожидают, перемах, отрез-стоп короткого расстояния из порядка длина Планка должен быть введен, чтобы позволить соглашение с известными
полуклассическими результатами. Это, и подобный анализ градусов формы свободы горизонта черной дыры [17; 18] заставляют прийти к заключению той длины Планка 
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 395
отдельность неизбежна, если отношение энтропии штрафной для черных дыр должно воскреснуть
от статистической механики квантовой теории.
Наконец, предложения отдельности прибыли от различной Квантовой Силы тяжести
программы, как Квантовая Сила тяжести петли (см. главу 13 Тиманом в этом объеме
и раздел 21.1.6 из этой главы). Некоторые из наиболее интригующих результатов прибывают
от так называемых “аналоговых моделей” [19], где объекты, подобные черным дырам, могут
быть копируйтесь, дразнящими в сжатых государственных системах содержания. Эти аналогии, так же как более прямые параметры [20], предполагают, что уравнение Эйнштейна воскресает только как уравнение  государства, термодинамика еще некоторой теории лежащей в основе основного тона. И
атомная отдельность таких систем обеспечивает необходимый перемах, отрез-стоп градусам свободы в мелких масштабах. Это достойно рассмотрения, что атомная отдельность никогда не могла быть найдена, например, квантуя некоторое эффективное теории континуума описывающей газ; это должна быть независимая гипотеза.
Вполне кроме этого большего количества физических параметров, введенная отдельность может быть из большой утилиты. Концептуальные проблемы, скрытые под уровнями технической сложности в обслуживании континуума, может иногда выражаться более ясно в дискретной установке, и борется с более непосредственно. Это качество дискретных моделей имело
использование во многих Квантовых программах Силы тяжести. Успешная четкость “observables”
в “классическом последовательном росте” движущих сил [21] (см. раздел 21.2.1), аналог проблемы времени в причинной теории множеств, пример этого.
21.1.2 Какой вид отдельности, дискретности?
Приведенные эти причины для пространственно-временной отдельности, каким образом мы должны продолжить двигаться? Можно было бы быть приведен в уныние морем возможностей; как можем мы знать, в этом этапе познания, что могла структура, лежащая в основе копии континуума
быть? Однако, причинный набор предлагает выбор для историй со многими принуждениями и уникальные преимущества.
Вдохновение для причинной идеи набора прибывает от замечательного количества информации хранится в причинном порядке пространства-времени. Это было доказано это, даны
только эта информация  заказа, порядка на очках, и информация об объеме, это возможно найти измерение, топологию, отличительную структуру, и метрику оригинала копию [22; 23]. Очки (слабо  причинные causal1) копии Lorentzian, вместе с причинным отношением на них, творит частично упорядоченный набор или частично упорядоченное множество, подразумевая что До множества точек и порядок ; на них повинуются следующим аксиомам.
(i) Транзитивность: (;x, y, z ; C) (x ; y ; z = ; x ; z).
(ii) Irreflexivity: (;x ; C) (x ; x).
1 слабо причинная копия Lorentzian - та, которая не содержит закрытых причинных изгибов, иначе названных “причинными
петлями”.
396 Дж. Хэнсона
z
y
x
Рис. 21.1. Причинный набор. Данные показывают пример диаграммы Хассе. В такой диаграмме, элементы причинного набора представлены точками, и отношения не подразумевающие транзитивностью привлечены в как строки (например, потому что x ; y и y ; z, нет никакой потребности чертить линию от x до z, так как то отношение подразумевается другими двумя). Элемент у основания строки к прошлому-является к прошлому того  в верхней части строки.
Если x ; y затем, который мы говорим “x, к прошлому y”, и если два очка До набора
не связаны ;, мы говорим, что они являются пространственноподобными (короче говоря, вся нормальная "причинная" цифровые или словесные обозначения на иллюстрации , номенклатура используется для частичного порядка).
Именно этот частичный порядок мы выбираем как  фундаментальный. Достигнуть отдельности, дискретности следующая аксиома введена.
(iii) Местная ограниченность: (;x, z ; C) (объявление карта{y ; До | x ; y ; z} <;).
Здесь, объявление, карта X является количеством элементов набора X. Другими словами мы потребовали что там только быть конечным числом элементов причинно между любыми двумя элементами в структуре (термин "элемент" заменяет "очко" в дискретном случае). В местном масштабе конечный частичный порядок называют причинным набором или causet, пример которого иллюстрирован в рисунке 21.1. Много исследователей - историков независимо велись к той же самой гипотезе [24; 25; 1]: то, что причинный набор должен быть структурой, которая заменяет континуума
копию.
21.1.3 Приближение континуума
Во всех стандартных квантовых теориях быть они режиссируют quantisations классической теории или дискретные приближения, есть приблизительная корреспонденция между в наименьшего количества некоторых из основных историй и таковых из ограничивающей классической теории,
необходимой, чтобы связать квантовую теорию с известной физикой 2 (Точно так же в рецептура вектора состояния, должна быть корреспонденцией между конфигурациями в определённое время, каждый назначал базисный вектор в Гильбертовом пространстве кванта теории, и позволенные конфигурации в классической теории - что-то думало быть истиной даже в Квантовой Силе тяжести петли [26]). Представление, полученное в причинной теории множеств
2 В стандартных теориях, это проведение темы зависит от выбора основания Гильбертова пространства, например, позиции
основание для частицы Shr;dinger. Интеграл по траектории может быть выражен, используя другие основы Гильбертова пространства, но это однако всегда истина, что там существует некоторое основание (обычно класс их), в котором вышеупомянутое проведение темы
истина.
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 397
та такая корреспонденция, необходимая для любой квантовой теории, и так по крайней мере,
некоторые из историй в нашей Квантовой Силе тяжести SOH должны быть приближенны хорошо копиями Lorentzian. Полное  обсуждение этого пункта вне контекста этой главы, но поддержка может быть взята из других квантовых теорий, как нормальный и так спекулятивный, и от части оригинального писания по квантовой механике [27; 28]. Некоторое объяснение может быть найдено в [29].
Здесь, вопрос: когда может копия Lorentzian (М., g)  говорящей, быть приближение к causet До? Крупно, порядок соответствует причинному порядку пространства-времени, в то время как объем области соответствует представлению числа элементов его это 3 Это интересно обратить внимание, что копия и метрика на ней были объединенны в одну структуру, с подсчетом замены меры по объему; это —  реализация идей Риманна о “дискретных копиях” [34] (см. также преобразованные
пассажи в [5]). Но более точная четкость приближения необходима.
Причинный До набор, чьи элементы которой - очки в пространстве-времени (М., g), и чей
порядок - тот, вызванный на тех очках причинным порядком того пространства-времени,
сказанный быть встраиванием До в (М., g).4 Не все причинные наборы могут быть встроены
во все копии. Например, причинный набор в рисунке 21.2 не может быть встроен в 1+1D Пространство Минковского, но это может быть встроено в 2+1D Пространство Минковского.
Есть аналоги этому причинному набору для всех более высоких размеров [35], и удивительно
есть некоторые причинные наборы, которые не будут встраивать в Минковского никого конечного
измерения. Таким образом, учитывая причинный набор, мы получаем некоторую информацию о копиях в которых это могло быть встроено. Однако, копия не может быть приближением к любому причинному набору, который встраивает в это; мы не могли возвратить информацию об объеме в
си
a
Рис. 21.2. Диаграмма Хассе "венца" causet. Этот causet не может быть встроен в 1+1D Пространство Минковского: если вышеупомянутая диаграмма Хассе предполагается как встроенная то, в 2-ую диаграмму пространства-времени Минковского, очки, в которых элементы a и си встроены, правильно не связаны. Ни в каком таком встраивании не может у встроенных элементов быть причинные отношения венца causet вызванные по им согласно причинным порядком 1+1D Пространства Минковского. Причинный набор может однако быть встроен в 2+1D Пространство Минковского, где оно напоминает трехконечный венец, следовательно его имя.
3, В то время как это - позиция, принятая, что можно было бы назвать “причинной Квантовой программой Силы тяжести набора”, причинное структура набора также была полезна в другом месте, хотя с различными, или неопределенными, отношениями относительно как это соответствует континууму. См. например [30; 31; 32; 33].
4 Действительно встраивание класса изоморфизма этого causet (“резюме causet”). Различия между классами изоморфизма и особые случаи причинных наборов не важны в целях этой главы, и будут проигнорированы.
398 Дж. Хэнсона
этим путем никакой масштаб отдельности не установлен, и не могло бы быть достаточно многих встроенных элементов "видеть" достаточную причинную информацию. Дальнейший критерий необходим, чтобы убедить необходимую плотность встроенных элементов.
Так, чтобы получить достаточную причинную информацию, и добавить информацию об объеме, понятие окропления необходимо. Окропление - случайный выбор очков от пространства-времени согласно процессу Поиссона. Вероятность для того, чтобы опрыснуть n элементы в область объема V
P (n) = (;V) ne ;;V
n!. (21.1)
Здесь, ; - фундаментальная плотность, которая, как предполагают, была порядка Planckian. Обратите внимание что вероятность зависит от только объема области. Окропление определяет встроенный причинный набор. Копия Lorentzian (М., g), как говорят, приближает causet До, если До, возможно, прибыла от окропления (М., g) с относительно высокой вероятностью. 5 В этом случае До, как говорят, искренне embeddable в M. В среднем, ;V элементы опрысканы в область объема V, и колебания в числе как правило имеют порядок ;;V (норма следуют из статистики Пуассона), становясь незначащей для большого V. Это дает обетованную ссылку между объемом и
числом элементов.
Может такая структура действительно содержать достаточную информацию, чтобы обеспечить хорошую копию приближения? Мы не хотим, чтобы один причинный набор был приближен углублением два пространственно-временных моделей, которые не подобны на крупных масштабах. Догадка, что это не может произойти (иногда называемый “причинным набором haupvermutung”, означая “основной тон догадки”), является главным в программе. Это доказано в ограничивающем случае где ; ;; [36], и есть параметры и примеры, чтобы поддержать это, но некоторые шаги остаются быть взятыми для общего доказательства. Одни из главных элементов, имеющие степень трудности были нехватка понятия подобия между копиями Lorentzian, или более должным образом,  мера по расстоянию на пространстве таких копий. Продвижение на этом теперь было сделанно [37], поднимая надежды на доказательство давнишней догадки.
Дальнейшее обобщение этого замысла может быть необходимым. Выше, это было примечательно что определенные маленькие причинные наборы не могут быть встроены в Пространство Минковского никого особого измерения. Это означает, что, для До большого причинного набора, который является искренне embeddable в область n-dimensional Минковского, изменяя небольшое число из причинных отношений в До мы можем творить causet, который больше не встраивает. От нашего опыта с квантовыми теориями, мы наиболее вероятно не будем хотеть такие “маленькие
5 практическое значение "относительно высокой вероятности" до сих пор решалось в зависимости от конкретного случая. Это
обычно принимаемый, от которой случайной переменной (функция окропления) рассматриваемой не будет дико далека
от его значения в искренне embeddable causet. Вне этого стандартные методы, вовлекающие ;2 тесты, существуют, чтобы проверить
сбыт опрысканных очков для статистики Пуассона.
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 399
колебания”, чтобы быть физически существенным, и таким образом, нам, возможно, понадобится условие “manifoldlikeness”, который более прощает чем верное встраивание. Возможный метод дан крупным-graining [2]: удаление некоторых очков от причинного До набора, творящий новый причинный До набор, прежде, чем проверить До на верную embeddability в соответствующей более низкой плотности окропления ; . Например, эта энергия разумно будет сделана наугад с той же самой вероятностью p для удаления каждого элемента, и ; = ; (1 ; p). Это в основном количество к поиску искренне embeddable подмножества из причинного набора, после определенного ряда правил. Ниже, критерий верных embeddability будет используемым тем, но нужно учесть что causets будут говорившими о могущим быть крупным-grainings из некоторого большего causet.
21.1.4 Восстановление континуума
Понятие верного встраивания дает критерий для копии, чтобы приблизиться к causet. Но важно понять, что единственное использование окропления  назначить приближения континуума; сам причинный набор - фундаментальная структура. Как затем это может приблизить дискретную корреспонденцию / корреспонденцию континуума использоваться? Это учитывая причинный набор, который приближает пространство-время, как делают мы находим приближение к некоторому особому свойству x того пространства-времени? Мы должны найти свойство из причинного набора непосредственно, x (C), который приближает значение x (M) с высокой вероятностью
для окропления пространственно-временного М. Такие оценщики существуют для измерения
[38; 24; 39] подобное времени расстояние между очками [40], и конечно объемами. Как
другой пример, методы были развиты, чтобы получить топологическую информацию
о пространственных гиперповерхностях в приближении копий Lorentzian, ссылкой только к основному causet [41].
Простой пример того, как такие оценщики работают, дан одним из оценщиков из подобного времени расстояния. Во-первых объем антракта причинно между двумя элементами может быть легко оценен от причинного набора (это приблизительно пропорционально к числу элементов в том причинно определенном регионе). В Пространстве Минковского, этот объем связан с расстоянием между очками в пути, который зависит на измерении. Поэтому, учитывая измерение, это подобное времени расстояние может также быть оцененно. См. [40] для различной меры по расстоянию, предугаданной, чтобы держаться для кривой пространственно-временной модели [24], и способ идентифицировать приближения к подобному времени geodesics. Как эта другая мера по расстоянию не зависит от измерения, эти два могут быть сравненны, чтобы дать оценщику измерения.
Учитывая причинный До набор без встраивания (это после всей нашей фундаментальной
структуру) это имело бы большую утилиту, чтобы быть в состоянии сказать, было ли это искренне embeddable в некоторое пространство-время или не - критерий “manifoldlikeness” - и раз так
обеспечить встраивание. Корреспонденция дискретного континуума, данная выше непосредственно не отвечает на этот вопрос; это было бы очень непрактично, чтобы перенести
400 Дж. Хэнсона
различное окропление, пока мы не придумали causet изоморфное к До. Однако, мера подобного времени расстояния и небольшого количества простой геометрии может использоваться, на компьютере, чтобы попытаться найти встраивание для До, по крайней мере в небольшие области
Минковского [42] (идея до сих пор реализовывалась только в 2-ом). Успех или отказ предпринятого встраивания дает меру manifoldlikeness для До. Вне этого грубого-и-готового вычислительного замысла, нескольких необходимых условий поскольку manifoldlikeness, подобие кипы, копии известны (например, соответствие различных оценщиков измерения, "самоподобие" [43], и т.д.), и надеются, что сочетание их могло бы давать результатом необходимое и достаточное условие.
Учитывая этот дискретный принцип корреспонденции / принцип корреспонденции континуума, некоторые из привлекательных свойств причинной структуры набора могут быть примечательны. Во-первых, нет никакого барьера для окропления в копии с пространственным изменением топологии, пока это — вырождение метрики в ряде изолированных очков, который включает изменению топологии, а не существованию из закрытых подобных времени изгибов (одно из этих условий должно существовать для изменения топологии чтобы произойти, см. например, [44] и ссылки там) - и в этой дискретной теории там не проблема с характеристикой набора историй. Для тех, кто верит этому изменению топологии будет необходимо в Квантовой Силе тяжести [10; 45], это важно. Во-вторых, структура может представить копии любого измерения - никакое измерение
введеное на кинематическом уровне, как это находится в триангуляциях Regge-типа. Фактически, масштаба зависимое измерение, и топология могут быть введены со справки из крупных-graining, как объяснено в [38], давая легкий способ иметь дело с понятиями “пространственно-временной пены”. Кроме того, это были найдено , чтобы включить некоторые понятия причинной связи на фундаментальном уровне в других подходах к Квантовой Силе тяжести SOH, выделение другого преимущества использования причинной структуры набора с самого начала. Но свойство, которое действительно устанавливает причинный набор от других дискретных структур местное постоянство Lorentz.
21.1.5 Постоянство Lorentz и отдельность, дискретность
Для большинства дискретных структур местного постоянства Lorentz (LLI) невозможно достигнуть (см. [46] для краткого объяснения того, почему это так). Это может быть большой проблемой если в местном масштабе пространство-время инварианта Lorentz, которое мы наблюдаем, должно воскреснуть как приближение к этим структурам. Всегда есть возможность, что LLI действительно терпит неудачу в выше энергетических масштабах, и отдельность, дискретность Lorentz, нарушающего вид, была процитирована в качестве  побуждение, ища такие нестандартные эффекты. Как таковое изучает продвижение, границы на нарушении Lorentz от астрофизических соблюдений становятся когда-либо более строгими [47; 48]. Вдобавок к этому, Коллинз и др. [49; 50] обсуждают ту Lorentz симметрию, ломающуюся в длине Планка, значительно затронувшую бы излучающие исправления в стандартной модели, приводя к обратным результатам, чтобы экспериментировать, если дополнительная точная настройка введена.
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 401
Что постоянство Lorentz означает в этом окружении? Ответ должен быть ведомый тем, что проверено на упомянутых выше соблюдениях. Давайте начнем проведение темы для теорий на фоне пространство-время Минковского. Здесь, Lorentz постоянство теории означает, что движущие силы не должны отличить привилегированный Фрейм Lorentz. Затем, мы хотим сказать, что Пространство Минковского только приближение к некоторой основной дискретной структуре. Ввиду проведения темы Постоянства Lorentz, мы хотим удостовериться что любые движущие силы на этом приближении Минковского не нашпигованы, усилены, чтобы выбрать привилегированный фрейм Lorentz из-за отдельности, дискретности. Это приводит к следующему: если глубинная структура, в и само, служит выбрать, выдать привилегированное направление в Пространстве Минковского, затем постоянство Lorentz было нарушено. Это - ситуация для подобных решетке структур, и возможно
самое соответствующее проведение темы для текущих наблюдательных тестов постоянства Lorentz.
Напротив, по этому критерию причинный набор обеспечивает в местном масштабе инвариант Lorentz дискретная структура - единственный, который рассматривают в любом подходе к Квантовой Силе тяжести. Это свойство достигнуто благодаря случайной природе дискретного / континуума
принципа корреспонденции, данного выше.
Как аналогия, рассмотрим кристалл, и газ, как дискретные системы атомов чье поведение может дать приблизительное обслуживание континуума. У кристалла есть  регулярная глубинная структура, которая нарушает вращательную симметрию, и эта симметрии ломка может наблюдаться макроскопическим образом существованием плоскостей перелома и и так далее. У газа с другой стороны есть случайная глубинная структура, и вероятность сбыт позиций молекул в любое время является вращательно инвариантная. Нет никакого привилегированного направления в газе, который затрагивает его поведение в эффективном обслуживании континуума. Мы могли “готовить” направление от позиций молекул - в любом регионе, содержащем две молекулы, мы можем, конечно, привлечь вектор от одного до другого. Дело в том, что такие “привилегированные направления”, опознаваемые в микроскопических масштабах не имеют никакого эффекта на большую часть, физику континуума газа. Таким образом распространено сказать, что поведение газа является вращательно инвариантным.
Постоянство Lorentz причинного набора подобно. Как ранее замечено, в Процессе Пуассона, вероятность для того, чтобы опрыснуть n элементы в область зависит ни на каком свойстве той области кроме объема. В пространстве-времени Минковского, чтобы установить постоянство Lorentz Пуассона обработки строго, мы нуждаемся только обратите внимание на теоремы, доказывающие существование и уникальность процесса с сбытом , распределением (21.1) для всех измеримых подмножеств R и его постоянства под всеми объемами, сохраняющими линейные карты (см. например, [51]), который, конечно, включает Lorentz преобразования. В кривом пространстве-времени постоянство Lorentz должно быть понято  держать в том же самом смысле, что держит в Общей теории относительности: эквивалентность местных Фреймов Lorentz.
В некотором смысле ситуация лучше чем это для газов. В случае окропления из R3 направление может быть связано с очком в окроплении в пути что
402 Дж. Хэнсона
добирается с ротациями (то есть обнаружение направления от окропления и затем вращение направления дает тот же самый результат как первое вращение окропления и затем обнаружение направления). Пример - карта от очка в окроплении к направлению до его самого близкого соседа. Но вследствие некомпактности Lorentz группы, нет никакого способа связать привилегированный фрейм к очку в окроплении Минковского, который добирается со стимулами Lorentz [52]. В этом смысле каждый случай процесса Пуассона, не только сбыт, является инвариантом Lorentz.
Для причинных наборов, которые приближаются к Пространству Минковского, причинный набор не делает выбор, выдвижение привилегированного направления в приближающейся копии. Мы поэтому ожидаем то, что никакая альтерация к отношению рассеяния энергетического импульса не была бы необходима для волны, углубляющей причинный фон набора. Это свойство является явным в, по крайней мере, одной простой модели [53].
Местное постоянство Lorentz причинного набора - одно из главного, которое различает
это среди возможных discretisations копий Lorentzian. Мы теперь видим то, что пугающий выбор дискретной структуры, которая будет использоваться в Квантовой Силе тяжести фактически чрезвычайно ограничен, если принцип местного постоянства Lorentz должен быть поддержанный. Могли другие популярные подходы к Квантовой Силе тяжести, основанной на графиках и триангуляции, использовать окропление, чтобы включить симметрию Lorentz? Теорема
упомянутая выше показывает что это невозможно: никакое направление не может быть связано с
окроплением Минковского в пути, совместимом с постоянством Lorentz, и то же самое
истина для конечного valancy графика или триангуляции [52].
21.1.6 LLI и дискретность в других подходах
В причинном подходе набора есть отдельность и LLI на уровне человека истории теории. Это, кажется, самый очевидный способ присоединить симметрию, убеждаясь, что предсказанные проблемы с энтропией черной дыры (и другие бесконечности), избегаются. Но действительно ли это необходимо? Каждый подход к невызывающей волнение Квантовой Силе тяжести представляет другое представление относительно этого, некоторые из которых могут быть найдены в других главах этого раздела. Краткий “причинный взгляд набора” на часть из эти идеи даны здесь.
В широкой категории “подходов пены вращения”, истории также дискретны, в том смысле, что они могут видеться как наборы дискретных предметов данных. Но есть ли “достаточно дискретности”, чтобы уклониться от бесконечных параметров энтропии черной дыры?
Это - трудный вопрос ответить, не в последнюю очередь потому что приблизительная
корреспонденция между этими историями и копиями Lorentzian не была сделанна явно6. Но если там предназначено, чтобы быть корреспонденцией между областью
6 Однако, принцип корреспонденции в подобном случае графов, соответствующих трехмерному пространству [26], мог
возможно будьте расширены, так или иначе, к 4D случай.
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 403
2-ой поверхности и число (и метки) 2 поверхностей в пене вращения тот "прокол" его (как иногда требуется), это предлагает своего рода фундаментальную отдельность на таких поверхностях. Это также предлагает верхнюю границу на градусах свободы за модуль объем. Но все это зависит от конечной формы суммы по триангуляциям в этом подходе, что-то еще не очищалось, ясно.
Состояние местного постоянства Lorentz в моделях пены вращения остается спорным.
Как указано выше, причинный набор, с вышеупомянутой основанной на окроплении discretecontinuum корреспонденцией, -единственного известного инварианта Lorentz дискретная структура, и пена вращения не имеет этого типа. Но реальные дебаты закончены, подразумевает ли это заметное нарушение Lorentz (если модели пены вращения действительно подразумевают верхнюю границу на градусах свободы за единичный объем). Это иногда требуется это, хотя
отдельная пена вращения, как могут говорить, не удовлетворяет LLI, квантовую сумму по многим
пены- вращения может сделать (параметры от тесно связанной программы LQG поддерживают это
[54; 55]). Аналогия привлечена с вращательным постоянством: в этом случае, истории могли бы только представить один компонент момента инерции, скажем, электрона. Несмотря на это, представленная физика является фактически вращательно инвариантной.
Однако, в стандартных теориях, по крайней мере макроскопические свойства мы наблюдаем
свойства каждой истории в некотором (непустом) наборе, и мы должны ожидать то же самое для Квантовой Силы тяжести. Даже эти свойства могут быть не в состоянии присутствовать в
случае преобразований Lorentz, если истории не инвариант Lorentz в том смысле, что причинный набор. Это возможно то дальнейшее размышление вдоль них строки могли привести к количественным предсказаниям нарушения Lorentz от пены- вращения модели, давая возможность для наблюдательной поддержки или фальсификации. Компромисс между этими видами мог бы быть найден во “вдвойне специальной относительности”, в которых преобразования Lorentz искажены. В этом случае наблюдательные тесты все еще возможны.
В Квантовой программе Силы тяжести петли, спектрах определенных действующих компаний (например, области 2-ых поверхностей), как, утверждают, дискретны, хотя пока еще физическое Hilbert пространство и действующие компании не были идентифицированы. Однако, некоторые параметры  обеспеченны, относительно как проблемы пространственно-временных особенностей и черной дыры энтропия могли бы быть решены в LQG. Но без физического observables, как это
тип отдельности мог обойти параметры, упомянутые во вводной части или в предыдущем параграфе, или даже существовало ли бы это в заполненном бланке из Квантовой Силы тяжести петли, не прозрачно пока еще.
В динамических триангуляциях отдельность используется, чтобы решить проблемы определения интеграла по траектории, и схватывается с техническими проблемами в управляемом пути, особенно ротация Вика. Однако, в этом подходе отдельность не рассмотренный фундаментальный и предел континуума разыскиваются. Как “причинной динамичной
триангуляции” программа находятся в счастливой ситуации обладания рабочей моделью,
это было бы очень интересно для дебатов по отдельности, чтобы видеть то, что случилось
404 Дж. Хэнсона
энтропия черной дыры (или более общие формы энтропии горизонта [16]) как перемах, отрез-стоп
удален. Будет некоторый ранее неожиданный эффект сохранять энтропию конечной, или параметры за фундаментальный неизбежный перемах, отрез-стоп?
21.2 Причинного набора движущие силы
Введя причинную структуру набора и обсудив некоторые из ее специальных преимуществ,
большинство нажимающего вопроса состоит в том, как создать движущие силы с причинными наборами как истории, которые были бы стать удовлетворяющей теорией Квантовой Силы тяжести. Вопрос возможно неудивительно, трудный. Чтобы получить дискретное, Lorentz инвариантный причинный набор мы выбросили большую часть структуры копии что мы используем для. Например, государства на пространственных ломтиках не естественное понятие для причинного набора; только то, когда "загустел, толстеющие", ломтики рассматривают, могут больше предметов приблизительных информаций о копии быть перекрытыми [41]. Поэтому, как предназначено, структура предоставляет себя суммами по историям, а не формализму вектора состояния. Но даже распространитель Feynman кардинально обращается к государствам на пространственноподобных гиперповерхностях. Это
уклоняется от предмета спора: какие движущие силы должны использоваться?
Обобщенная Квантовая механика [56], либо названная Квантовая Мера Теория [57], определяет квантовые процессы как обобщение вероятностных процессов, разрешая свободы от любой ссылки до пространственных ломтиков. Большинство идей для причинного набора
движущие силы основаны на этой структуре, рабочей рамке.
21.2.1 Модели роста
Самый привилегированный подход к движущим силам использует простую структуру и прямое физическое истолкование причинного набора, чтобы способствовать. Учитывая такую простую кинематическую структуру, и динамическую структуру кванта измерения теории, это возможно
что физические принципы могли использоваться, чтобы ограничить движущие силы до только
малочисленного класса теорий оставшихся (идеальный пример, являющийся происхождением GR от маленького набора таких принципов). Особенно натуральный к причинному набору - понятия
из общей ковариации и причинной связи. Как разминка для quantal случая, ряда вероятностных процессов на пространстве прошло-конечных причинных наборов были развиты, так называемые классического последовательного роста (CSG) модели [58; 59].
Эти модели основаны на понятии случайного "роста" причинного набора, после
определенных правил. От одиночного элемента один новый элемент добавлен в каждом из
бесконечных эпизодов, отрезков связующих партий. Новый элемент всегда добавляется к будущему из  или пространственноподобный к существующим элементам. Всегда есть несколько возможностей для того как  добавить новый элемент, и сбыт вероятности помещен в эти возможности. Эти “вероятности связующей партии” затем ограничены выбранными физическими принципами.
Эпизод связующих партий может считаться путем через частично упорядоченный набор всего конечного causets, как иллюстрировано в рисунке 21.3. Процесс производит
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 405
2
2 2 3
3
Рис. 21.3. Увеличенная диаграмма Хассе “poscau”, частично упорядоченный набор конечных causets. Элементы этого набора - конечные causets. К "будущему" каждый causet - весь causets, который может быть произведен от него, добавляя элементы к будущему из или пространственноподобные к его элементам (числа на некоторых из ссылок представляют число различных способов, которыми новый элемент может быть добавлен, вследствие
автоморфизмов "родительского" causet). Только causets до размера 4 показаны здесь. Вверх путь в poscau представляет эпизод связующих партий в роста процессе. Каждому такому пути дает вероятность модель CSG. Из-за общего условия ковариации, вероятности путей, заканчивающихся в том же самом causet то же самое. (Обратите внимание, что очевидная “лево-правильная симметрия” poscau не  выживает выше causets с 4 элементами.)
бесконечного- элемента причинные наборы. От вероятностей связующей партии, меры по вероятности на пространстве всего бесконечного элемента могут быть созданы прошло-конечные причинные наборы.
Порядок рождения может быть рассмотрен как маркировка элементов роста causet. Естественное выполнение принципа общей ковариации состоит в том что это маркировка не должна быть физически существенной. Другой физический принцип введен чтобы запретить влияние суперлюминала, в пути приспосабливают стохастическим системам. С этими ограничениями бесплатные параметры модели уменьшены до серии действительных чисел.
Модели CSG сделали полезную испытательную площадку для причинных движущих сил набора, у разрешения некоторых вопросов быть отвеченным на это была бы уместность для кванта
теории развитой используя тот же самый метод. Например, "типичный" большой причинный
набор (то есть тип, который, наиболее вероятно, будет найден от однородного сбыта вероятности
по причинным наборам с некоторым большим количеством элементов), не похож на копию, кипу, но вместо этого описали "единообразную" форму более полно в [60]. Это могло бы быть задано вопросом, какие движущие силы могли преодолеть большие числа их
406 Дж. Хэнсона
"Клеитмен-Ротшильд" causets - энтропические эффекты, как могли бы ожидать, одобрит их
типичный causets. Однако, модели процесса роста легко обходят это беспокойство. Модели CSG в общем дают низкие вероятности этим causets.
Важный вопрос состоит в том, как идентифицировать и характеризовать физические вопросы
те, накоторые теория может ответить. В канонических теориях может быть фразирован этот вопрос “каковы физические observables, и что они имеют в виду?”, и ответ на это центральная партия проблемы времени. В некоторой форме это, кажется, заражает любой indeterministic, вообще ковариантную теорию. Эта проблема не исчезает в Модели CSG, где это должно быть обеспечено что “observables” (здесь, наборы историй которым назначают вероятность, и являются "ковариантными", означая нечувствительный к маркировке порядка роста), может быть характеризована и дано физическое истолкование. Это было достигнуто для родового класса моделей CSG в [21] и результаты
расширенны на самые общие модели в [61]. Большинство используемых методов будет непосредственно применимо к любой будущей “кванта последовательного роста” модели.
Другой результат с возможными значениями для полных квантовых проблем теории
так называемого “космической перенормализации” поведения, которое экспонируют модели
[62; 63; 64]. У некоторых родовых моделей есть “возвращающаяся космология” со многими bigbang
к циклам большого- уплотнения. Большая пространственная степень вселенной в этих моделях
не результат тонкой настройки, но просто следствие экстремального возраста вселенной, давая механизм для того, чтобы установить параметры, которые могут быть полезными в более
реалистические теории.
Модели CSG были также полезны в развивающихся тестах динамически произведенных причинных наборах, чтобы искать подобное копии поведение [43], и вычислительные методы для причинных наборов. Но важно обратить внимание, что теории не предполагаемые быть “классическим пределом” кванта движущих сил; ситуация больше аналогична стохастическим движущим силам Броуновского движения, и его отношениям с квантовыми движущими силами частицы Шредингера. Цель состоит в том, чтобы заменить вероятности меру, используемую в модели CSG с квантовой мерой, переделывая физические условия иметь смысл в этом случае. Действительно ли модели CSG могут поставить подобные копии причинные наборы, не важно для них, чтобы выполнить их роль как стартовую- площадку для квантового случая.
Этот честолюбивый подход к причинным движущим силам набора имеет преимущество простого, чистого формализма и перспективу выхода за пределы, что могло бы быть возможным
попыткой приблизить интеграл по траектории континуума. Например, никакое измерение
определеное где угодно в принципах основания теории, и таким образом, успешная
“кванта последовательного роста” модель дала бы реальное объяснение для 4D природы крупномасштабного пространства-времени от маленького набора принципов. Однако, испытания
останутся в развитии полной квантовой теории. Обобщение релятивистского принципа причинной связи к квантовому случаю оказалось трудным [65]. Это должно также быть обеспечно то есть так немного свободы в выполнении
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 407
основных принципов насколько возможно, чтобы мы не подрываем идею прямого перехода
от принципов до движущих сил. Этот вопрос заслуживает более полного исследования даже на стохастическом уровне. Но много авеню для того, чтобы создать рост модели лежат открытые. Различные физические принципы могли использоваться, чтобы ограничить движущие силы, и много предложений в настоящее время рассматриваются.
21.2.2 Действия и амплитуды
Другой подход к движущим силам находится на более близкой аналогии с используемым в других программах Квантовых Сил тяжести: назначение сложной амплитуды к каждой истории. Это
было бы интересно видеть, как далеко у этого формализма можно требовать причинный набор
движущих сил (его использование было первоначально предложено в ранних статьях в программе
[1; 2]). Первое препятствие - нехватка выражения для амплитуды exp (я S (C)). Мы должны найти действие для причинного набора. Самая очевидная вещь сделать была бы должным быть найти функцию причинного набора, который приближает действие Эйнштейна для причинного соответствия наборов 4D копии. Это - другой кинематический вопрос как тот обнаружения геодезической продолжительности, и измерения, обсужденного выше. В континууме,
действие Эйнштейна - интеграл местного количества на копии, и таким образом, причинное действие набора должно также быть местным, приблизительно. Действительно, "натуральное, бекар"
значение любой такой приблизительно местной функции должно приблизить Эйнштейна
действие, как обсуждено в [1]. Затем кинематическое задание становится идентификацией
приблизительно местных причинных функций множества. Задание восстановления местоположения была постоянная тема исследования в причинной теории множеств, и недавно видела некоторое вдохновления продвижение, приводя к некоторым возможным выражениям для действия, как обсуждено в разделе 21.3.2.
Затем есть вопрос какой набор причинных наборов суммировать. Большинство удовлетворения должно было бы суммировать по всем причинным наборам постоянного числа элементов (“unimodular” суммируют по историям [66; 67; 68]). Действие должно было бы быть “медленно изменение” по некоторому соответствующему смыслу около классических растворов, решений и “быстро изменение” в другом месте - здесь "в другом месте" означает не только причинное соответствие наборов копий, которые не являются растворами GR, но также и (намного большее число) причинные наборы, которые не соответствуют никакой копии. Менее естественная стратегия была бы  ограничить пространство истории подмножеством полного пространства истории причинных наборов, содержа весь causets искренне embeddable в определенные копии.
21.3 Причинная феноменология набора
В то время как успехи делаются на движущих силах, заключительная теория все еще не доступна. Но это имеет все еще использование, чтобы задать вопрос, "Что является следствиями причинного набора гипотез для феноменологии?”. Делает использование Lorentz инварианта, дискретной
408 Дж. Хэнсона
истории предлагают какие-либо измеримые эффекты? Без заключительных движущих сил любые параметры должны будут быть эвристическими; но, когда дело доходит до феноменологии, усовершенствования иногда возможны даже прежде, чем полная теория определена [69]. Такие соображения вели во многих интересных направлениях. Одно предсказание то, что никакого нарушения нормы, недеформированный LLI (в противоположность деформированному постоянству Lorentz “вдвойне специальной относительности”), будет наблюдаться, как таков, соблюдение подорвало бы одно из главных побуждений для причинной теории множеств. Но это просто отрицательно предсказание, таким образом, полезно искать что-то больше.
21.3.1 Предсказание
Возможно, старший значащий феноменологический результат для причинных наборов был успешным предсказанием космологической константы от эвристического параметра.
Параметр - по существу сочетание unimodular ("установленный объемом") Кванта Сила тяжести и основная случайная отдельность (см. [2; 70; 71] для получения дальнейшей информации).
Из классической теории это может видеться, что пространственно-временной объем V сопряжен
к космологической константе, в том смысле, что позиция и импульс сопряженный в движущих силах частицы. Но в причинной теории множеств, есть свойственная неуверенность в объеме порядка ё
;V, где V прошлое, с 4 объемами из вселенной в основных единицах. V не может поэтому быть закреплен на остром значении. Включение этой неуверенности в V в отношение неуверенности, мы можем найти связанные "свойственные" колебания в:
; 1V; 1 ;V, (21.2)
использование основных единиц. Если мы предполагаем, что значение космологической константы
управляемое к нолю (взятое как естественное успение здесь), это уравнение говорит нам что
это не могло быть точно нулевым в нашей теории, но будет иметь колебания порядка 10;120 (снова в модулях Planckian) в существующей эпохе. Это предсказание было впоследствии проверенное наблюдением.
Есть много нерешенных вопросов, окружающих это достижение. Этим параметром,
плотность энергии в      есть , в среднем, сопоставима с содержанием, материей и излучением плотности энергии всегда. Однако, колебания в должны ожидаться, и в [70] эти колебания смоделированы. Надежда состоит в том, что это приведет к более подробным предсказаниям в космологии. Путь от теории до предсказания в космологии как правило извилистый, и вводная часть переменной космологической "константы" нарушает допущение, используемое в стандартной космологии. Большое усилие будет требоваться изменить стандартные предсказания в свете этой идеи, и затем сравнить их с наблюдением.
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 409
21.3.2 Закручивающие частицы и почти местные поля
Как частицы и поля могли бы размножиться на причинном наборе? Это необходимый, или по крайней мере натуральный в некотором смысле, для них, чтобы вести себя нестандартным способом? Этот вопрос имеет очевидные феноменологические значения. Простой случай частицы очка был обсужден в [46]. Игрушечная модель была создана из перемещения частицы очка на опрысканном причинном наборе, заменяя путь континуума рядом подобного времени  отношения элементов. В континууме мы знаем, что классические частицы идут дальше geodesics, и скорость в любое время легко определена от пути до того времени. В дискретном уровне, однако, у скорости частицы нет никакого точного значения никогда, и не может быть точно определена, смотря на короткий раздел его дискретного пути. Предположение, что движущие силы частицы в любое время только затронуты ее путем в пределах определенного надлежащего времени к прошлому (успение о приблизительном местоположении вовремя), что был сочтено этим, частица подчинена случайному (инвариант Lorentz) ускорение - это "закручивает" далеко от геодезического. Успение о постоянстве Lorentz ведет
к родовому правилу распространения в скорости располагают с интервалами только с одним параметром, без прямой ссылки на особую микроскопическую игрушечную модель, почти таким же способом как стандартное уравнение распространения является результатом многих различных микроскопических процессов.
Классическое изображение частицы очка, и использование неподвижного причинного фона
набор, валовые упрощения, и строгая форма приблизительного местоположения не означает абсолютное требование. Но модель является потенциально тестируемой, и что есть цель исследований этого эвристического, феноменологического типа. Так как любая такая модель будет предсказывать ускорение частиц в пространстве, вопрос: мы видим эти частицы? Это искушает идентифицировать их с космическими лучами, происхождение которых в настоящее время
большая проблема в астрофизике [72]. В то время как некоторые свойства спектра космических лучей могут быть воспроизведены простой моделью, уровень распространения должен был объяснить
HECRs является несовместимым с лабораторными требованиями. Надеются, что это могло быть
исправленно в более сложной, квантовой модели.
По подобным причинам это также представляло бы интерес, чтобы поместить поля на неподвижного причинного набора фон, и самое легкое место, чтобы запуститься- скалярное поле. Ранние попытки  сделать это непосредственно discretised функции Грина скалярных полевых движущих сил [73; 2]. Этот метод недавно использовался [53], чтобы показать, что это возможно для волн поехать на причинном фоне набора, не противореча существующим наблюдениям.
Но, в то время как полезный для размножения поля с источника на детектор, ассоциированное
discretised д'Аламбертян непостоянен, и таким образом развивая поле непосредственно от некоторых
прошлых конфигураций не всегда возможно. Это - партия проблемы восстановления приблизительного местоположения на случайном фоне набора.
Новый метод, чтобы быть изложенным в [74], имеет некоторую аналитическую поддержку и развил вычислительные тесты, которые не прошли предыдущие идеи. Замысел может видеться
как "смазывание" non-Lorentz инварианта discretisation д'Аламбертяна (
410 Дж. Хэнсона
тип, обычно используемый на решетках) по целой группе Lorentz. Значительно, новый “масштаб неместоположения” должен быть введен выше длины Планка, но макроскопическим образом
маленький, чтобы учесть неместоположение причинного набора. Анализ этого дискретного д'Аламбертян до сих пор выносился только в плоском пространстве, хотя он экспериментально предугадан, что замысел также будет успешен для окропления из кривых пространственно-временных моделей. Его открытие обеспечивает способ определить классические движущие силы
из скалярных полей на неподвижном причинном фоне набора, давая причинное, но нелокальное поле
теория, которая может привести к подсказкам на нестандартной феноменологии. Это было бы также
 интересным упражнением, чтобы найти способ квантовать поле, и искать подобные результаты там. Одно из наиболее интригующих использований- для причинных движущих сил набора, как упомянуто в разделе 21.2.2. Как может этот discretised д'Аламбертян помогать нам найти действие для
причинных наборов? Рассмотрите поле,-; (0, x), где ; (x, y) является мировой функцией Синджа
(то есть половина площади геодезического расстояния между x и y), и 0 некоторое произвольное происхождение координат. Это может видеться от некоторых из результатов в [75] что д'Аламбертян этого поля в происхождении дает скалярную кривизну там:
R (0) =, - ; (0, x)
;;;;
x=0
. (21.3)
Геодезическая продолжительность между двумя подобными времени очками в причинном наборе может быть оценена (независимо, это предугадано сабельности). Поэтому, если у нас есть способ
оценивая д'Аламбертяна полей в кривые времена пространства, у нас также есть путь из оценки скалярной кривизны. Если этот метод, переворачивается, правилен, и найденные значения устойчивы и фактически измеримы, это будет иметь большое значение для причинных движущих сил набора.
Эти результаты - мы надеемся, только первый дескриптор на проблеме местоположения в
причинных наборах, и рассмотрение того, что было изучено, могут привести к развитию
из большего количества методов, поскольку причина для этого успеха более полно хватается. Одна
цель была бы, должна будет найти выражение для действия, которое является комбинаторным образом простым и принуждение, и который дает благоразумные значения для неподобного копии
причинных наборов. Работа над этими темами только что началась.
21.4 Заключения
Отдельность обеспечивает раствор для многих из проблем, которым мы противостоим в нашей попытке создать теорию из Квантовой Силы тяжести. От успения дискретности, отдельности
и стандартное постоянство Lorentz, мы находим что наши выборы фундаментальных историй чрезвычайно ограничены. Хотя это не должно не поддержать других усилий
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 411
чтобы примирить два, 7, утверждалось здесь, что в настоящее время причинный набор единственное предложение, которое делает так. Причинная программа набора - активный и растущий один. Много происходящих проектов не были упомянуты выше. Попытки  идентифицировать "атомы", которые переносят энтропию черной дыры, были сделаны [77; 78], и эта работа в настоящее время расширяется на более высокие размеры Фэй Доукер и Сара Марр. Дальнейшая работа по вопросу о “observables” также была вынесенна [79]. За и против основанные на амплитуде движущие силы также исследованны. Так же как эта работа, основная причинная идея набора продолжает вдохновлять другие подходы [80; 81]. Каждое проведение темы результатов, данных здесь поднимает много больше вопросов, только некоторые из которых преследуются. Это разнообразие оставшихся без ответа вопросов, относительно маленького набора методики обучения должен был способствовать
их, и сравнительный, "стратегический" взгляд на Квантовую Силу тяжести, что приближает к предложениям, сделать причинные наборы привлекательным полем и для новых и для опытных
исследователей.
Ссылки
[1] Л Бомбелли, J.-H. Ли, Д. Мейер и Р. Соркин, Преподобный Физики Летт. 59 (1987) 521.
[2] Р. Д. Соркин, Сначала шаги с причинными наборами, на Слушаниях Девятого итальянца
Конференция по Общей теории относительности и Гравитационной Физике, Капри, Италия, сентябрь
1990, отредактированный Р. Чанчи и др. (Сингапур, Научный Мир, 1991), стр 68-90.
[3] Р. Д. Соркин, Пространство-время и причинные наборы, в Относительности и Тяготении: Классический
и Квант, Слушания SILARG VII Конференций, Cocoyoc, Мексика,
Декабрь 1990, отредактированный Дж. К. Д'Оливо и др. (Сингапур, Научный Мир, 1991),
стр 150-173.
[4] Р. Д. Соркин, причинный подход набора к квантовой силе тяжести, Доклад, сделанный в Санта-Фе
Студия, Новые Направления в Симплициальной Квантовой Силе тяжести, 28-ого июля 8-ого августа
1997, http://t8web.lanl.gov/people/emil/Slides/sf97talks.html.
[5] Р. Д. Соркин (2003), gr-qc/0309009.
[6] Р. Д. Соркин (1989), gr-qc/9511063.
[7] Ф. Доукер (2005), gr-qc/0508109.
[8] http://physics.syr.edu/sorkin/.
[9] С. В., распродающий, подход интеграла по траектории к квантовой силе тяжести, вообще
Относительность: Обзор Эйнштейна Сентенэри (Кембридж, издательство Кембриджского университета,
1979), стр 746-789.
[10] Р. Д. Соркин, Интервал. Дж. Зэор. Физика 36 (1997) 2759, gr-qc/9706002. 9706002;
[11] М. И. Кальмыков, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 12 (1995) 1401, hep-th/9502152. 9502152;
[12] До. Корреия да Сильва и Р. М. Уильямс, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 16 (1999) 2197,
gr-qc/9903003.
[13] Л Бомбелли, Р. К. Кула, J.-H. Ли и Р. Д. Соркин, Преподобный Физики Д34 (1986) 373.
[14] Р. Д. Соркин (1997), gr-qc/9705006.
[15] Дж. Д. Бекенштайн (1994), gr-qc/9409015.
[16] Т. Джэйкобсон и Р. Пэрентэни, Найденный. Физика 33 (2003) 323, gr-qc/0302099. GR-QC
0302099;
7 См. например [76].
412 Дж. Хэнсона
[17] Р. Д. Соркин (1995), gr-qc/9508002.
[18] Р. Д. Соркин (1996), gr-qc/9701056.
[19] До. Barcelo, С. Либерати, и М. Виссера (2005), gr-qc/0505065.
[20] Т. Джэйкобсон, Преподобный Физики Летт. 75 (1995) 1260, gr-qc/9504004. 9504004;
[21] Соль. Brightwell, Х. Ф. Доукер, Р. С. Гарсия, Дж. Хэнсон и Р. Д. Соркин, Преподобный Физики.
D67 (2003) 084031, gr-qc/0210061.
[22] С. В., распродающий, король А. Р. и П. Дж. Маккарти, Дж. Мэт. Физика 17 (1976) 174.
[23] Д. Б. Маламан, Дж. Мэт. Физика 18 (1977) 1399.
[24] Дж. Мирайм, CERN-TH-2538.
[25] G. ’t Hooft, Доклад, сделанный на 8-ой Конференции по Общей теории относительности и Тяготению, Ватерлоо,
Канада, 7-12 августа 1977.
[26] Л Бомбелли, А. Коричи и О. Винклера, Физика Annalen 14 (2005) 499,
gr-qc/0409006.
[27] Р. П. Феинмен, Преподобный Мод. Физика 20 (1948) 367.
[28] Дж. фон Нойман, Математические Организации Квантовой механики (Принстон
Университетское издательство, 1955), глава 6.
[29] Дж. Хэнсон, Макроскопический observables и нарушение Lorentz в квантовой силе тяжести, в
приготовление.
[30] Ф. Маркопулоу и Л. Смолин, Nucl. Физика. B508 (1997) 409, gr-qc/9702025.
[31] Ф. Маркопулоу и Л. Смолин, Преподобный Физики Д58 (1998) 084032, gr-qc/9712067.
[32] Ми. Хокинс, Ф. Маркопулоу и Х. Залман, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 20 (2003) 3839,
hep-th/0302111.
[33] Си. З. Фостер и Т. Джэйкобсон, JHEP 08 (2004) 024, hep-th/0407019.
[34] Си. Риманн, Uber умирают Хипотезен, welche der Geometrie zu grunde liegen, в
Собрание сочинений Б. Риманна (Дувр Нью-Йорк, 1953), стр 746-789.
[35] Соль. Brightwell и П. Винклер, Порядок 6 (1989) 235.
[36] Л Бомбелли и Д. А. Мейера, латыша Физики. A141 (1989) 226.
[37] Дж. Нолдус, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 21 (2004) 839, gr-qc/0308074.
[38] Д. Мейер, кандидатская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1988.
[39] Д. Д. Рид, Преподобный Физики Д67 (2003) 024034, gr-qc/0207103.
[40] Соль. Brightwell и Р. Грегори, Преподобный Физики Летт. 66 (1991) 260. PRLTA, 66 260.
[41] С. Мэджор, Д. Ридеоут и С. Сурья, При восстановлении топологии континуума от причинного
набор, в приготовлении.
[42] Дж. Хэнсон, Класс. Шест для отталкивания. Grav. 23 (2006) L29, gr-qc/0601069.
[43] Д. П. Ридеоут и Р. Д. Соркин, Преподобный Физики Д63, (2001) 104011, gr-qc/0003117.
[44] A. Borde, Х. Ф. Доукер, Р. С. Гарсия, Р. Д. Соркин и С. Сурья, Класс. Шест для отталкивания.
Grav. 16 (1999) 3457, gr-qc/9901063.
[45] С. В., распродающий, Nucl. Физика. B144 (1978) 349.
[46] Ф. Доукер, Дж. Хэнсон и Р. Д. Соркин, Модник. Латыш Физики. A19 1829 (2004),
gr-qc/0311055.
[47] Т. Джэйкобсон, С. Либерати и Д. Мэттингли (2005), astro-ph/0505267. КОСМИЧЕСКИЙ ГИМНАСТИЧЕСКИЙ КОНЬ
0505267.
[48] Соль. Amelino-Camelia (2004), astro-ph/0410076.
[49] Дж. Коллинз, А. Перес, Д. Сударский, Л Уррутии и Х. Вусетича, Преподобного Физики Летта. 93
(2004) 191301, gr-qc/0403053.
[50] A. Перес и Д. Сударский, Преподобный Физики Летт. 91, (2003) 179101, gr-qc/0306113.
GR-QC 0306113;
[51] Д. Стоян, В. Кендол и Дж. Мек, Стохастическая Геометрия и ее Приложения, 2-ые
edn (Вайли, 1995), глава 2.
[52] Л Бомбелли, Дж. Хэнсона и Р. Д. Соркина (2006), gr-qc/0605006. 0605006.
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 413
[53] Дж. Хэнсон и Р. Д. Соркин, Последовательность волн из отдаленных источников в причинном наборе
вселенная, в приготовлении.
[54] До. Ровелли и С. Спезиэл, Преподобный Физики Д67 (2003) 064019, gr-qc/0205108. GR-QC
0205108;
[55] Ми. Р. Ливайн и Д. Орити, JHEP 06 (2004) 050, gr-qc/0405085.
[56] Дж. Б. Хартл, Пространственно-временная квантовая механика и квантовая механика
пространство-время, на Слушаниях Летней школы Ле Уш на Тяготении и
Квантования, Ле Уш, Франция, 6 июля 1 августа 1992, отредактированный Дж. Zinn-Юстином
и Б. Джулия (Северная Голландия, 1995), gr-qc/9304006.
[57] Р. Д. Соркин, Модник. Латыш Физики. A9, (1994) 3119, gr-qc/9401003. 9401003;
[58] Д. П. Ридеоут и Р. Д. Соркин, Преподобный Физики Д61 (2000) 024002, gr-qc/9904062.
[59] М. Varadarajan и Д. Ридеоут (2005), gr-qc/0504066.
[60] Д. Клеитмен и Б. Ротшильд, Сделка. Amer. Математика. Общество 205 (1975) 205.
[61] Ф. Доукер и С. Сурья (2005), gr-qc/0504069.
[62] Р. Д. Соркин, Интервал. Дж. Зэор. Физика 39 (2000) 1731, gr-qc/0003043.
[63] X. Мартин, Д. О'Коннор, Д. П. Ридеоут и Р. Д. Соркин, Преподобный Физики Д63 (2001)
084026, gr-qc/0009063.
[64] A. Пепел и П. Макдоналд, Дж. Мэт. Физика 44 (2003) 1666, gr-qc/0209020.
[65] Дж. Хэнсон (2005), quant-ph/0410051.
[66] Р. Д. Соркин, Интервал. Дж. Зэор. Физика 33 (1994) 523.
[67] В. Г. Анрух, Преподобный Физики Д40 (1989) 1048.
[68] Р. С. Соркин, измененная сумма по историям для силы тяжести, в Выделениях в Тяготении
и Космология, До редакторов. V. Си. Р. Ийер и А. Кембхэви (Кембриджский университет
Нажмите, 1988).
[69] Соль. Amelino-Camelia (2004), gr-qc/0402009.
[70] М. Ахмеда, С. Доделсона, П. Б. Грина и Р. Соркина, Преподобного Физики Д69 (2004) 103523,
astro-ph/0209274.
[71] Р. Д. Соркин, Braz. Дж. Фис 35 (2005) 280, gr-qc/0503057.
[72] Л. Anchordoqui, Т. Павел, С. Реукрофт и Дж. Суэйн, Интервал. Дж. Мод. Физика. A18 (2003)
2229, hep-ph/0206072.
[73] A. Daughton, Возвращая местоположение для причинных наборов, и связанные разделы, кандидатскую диссертацию,
Сиракузский университет, 1993.
[74] Д. Доу, Ф. Доукер, Дж. Хэнсон и Р. Соркин, д'Аламбертян на причинном наборе, в
приготовление.
[75] Дж. Л. Синдж, Относительность: Общая Теория, (Амстердам, Северно-голландский Паб. Ко.;
Нью-Йорк, Межнаучные Издатели, 1960).
[76] A. Kempf, Преподобный Физики Летт. 92 (2004) 221301, gr-qc/0310035.
[77] Д. Доу и Р. Д. Соркин, Найденный. Физика 33 (2003) 279, gr-qc/0302009.
[78] Д. Доу (1999), gr-qc/0106024.
[79] С. Мэджор, Д. Ридеоут и С. Сурья (2005), gr-qc/0506133.
[80] Я. Raptis (2005), gr-qc/0507100.
[81] До. Дж. Ишем, Реклама. Theor. Математика. Физика 7 331 (2003), gr-qc/0303060.
Вопросы и ответы
• Q - Дж. Хэнсон - Дж. Амбйорн и др.
1. Программа CDT заимствует много методов из квантовой теории поля решетки, и как там, некоторые свойства универсальности по-видимому важны здесь - много методов discretisation должны иметь результатом ту же самую модель в континуума пределе. Но в этом новом типе модели у нас еще не может быть того же самого уровня доверия этому принципу. Кроме очень ободрительных результатов, что Вы подводите итог выше, которые показывают, что у модели действительно есть некоторые желательные свойства, что известно специально об универсальности в этом типе discretised Квантовой модели Силы тяжести?
2. Хотя перемах - diffeomorphism инвариант в том смысле, что дискретные конфигурации только содержат продолжительность и топологическую информацию, они не в другом важном смысле: discretisation выбирает привилегированное расплющивание пространства-времени, и можно было бы ожидать, что, было содержание, материя которое будет включено, режимы, что были высокой частоты относительно этого расплющивания, будут отрезаны. Затем надежда была бы, как в решетке QFT, что эта дискретная ломка симметрии не имеет значения в пределе континуума. Что параметры там для этого, и может Вы предполагаете вычисление, которое проверило бы это?
- A-J.Ambj;rnet al.:
1. Не много известно об универсальности кроме простого теста изменения константы сцепления несколько и наблюдение корреляторов могут быть отображенны друг на друга, повторно масштабируясь направления времени относительно пространства направления.
2. Мы просто не знаем как объединенная система содержания и геометрии будут вести себя. Можно только надеяться, что расплющивание времени не портит главные свойства системы содержания можно было бы ожидать в GR. В плоском пространстве-времени нам, конечно, разрешают рассмотреть асимметричную решетку где решетки интервал, пространство в направлении времени отличается от интервала решетки в пространственном направлении. Это не должно иметь никакого значения, если наше действие скорректировано соответственно.
414
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 415
• Q - К. Ровелли - Дж. Амбйорну и др.
1. Насколько я понимаю теорию ширины кинопленки решетки, значащую непрерывную теорию
определеной, только если есть вторая связующая партия фазы порядка. Это то, потому что только во
второй связующей партии фазы порядка функции корреляций дискретной теории отклонится таким способом, которым они дают конечным функциям корреляций в континуума пределе. Если нет никакой второй связующей партии фазы порядка, предел континуума может все еще существовать, но все корреляционные функции в пределе континуума тривиальны или отклоняются. Насколько я понял старую динамическую программу триангуляций, это было, действительно, главным вопросом. Таким образом, идентифицировав интересное связующая партия фазы в дискретной модели, проблема должна была доказать, что это является вторым порядком. Теперь, я не вижу, что это - существующий подход. Вы сосредотачиваетесь на связующей партии между раздавленным и гладкой фазой, но Вы не обсуждаете, если это является вторым порядком или нет. Вы решили проблему? Обошли ее? Поняли
то, что это была ложная проблема?
2. Сумма по триангуляциям, которые Вы изучаете, может быть рассмотрена, поскольку Feynman суммирует конфигурации, написанные в ширине кинопленки времени, и нагруженный с классическим действием. Если это определяет последовательную квантовую теорию, ее классический предел - полевая теория определенная действием Эйнштейна-Хилберта для конфигураций в ширине кинопленки времени. Ну, это не Общая теория относительности: одно уравнение отсутствует. По той же самой причине это, если Вы излагаете A0 = 0 на действии Максвелла, Вы проигрываете, уравнение ныряют = 0. Уравнение, которое Вы освобождаете, является точно гамильтоновым ограничением, которое в некотором смысле то, где центр сюжета, ядро истории. Это известно, действительно, то, чтобы осуществить это ключевое уравнение должно, если можно так выразиться, объединяться по всем функциям ошибки, или всем надлежащим временам. И, насколько я понимаю, Вы не делаете этого. Если так, теории Вы учите не Общая теория относительности, теория, которая работает так хорошо опытным путем. Что я пропускаю?
- A-J.Ambj;rnet al.:
1. В структуре статистической механики Вы обращаетесь к одному воображению  критическая поверхность, где продолжительность корреляции бесконечна. Если Вы не находитесь на критической поверхности для некоторого значения констант сцепления Вы должны точно настроить константы сцепления, таким образом, что Вы приближаетесь к той поверхности. Пример тонкая настройка температуры в магнитных системах к второй фазе порядка связующая партия между намагниченной фазой и фазой, где намагничивание ноль. Продолжительность корреляции вращения- вращения отклонится и большого расстояния физика системы вращения может для многих материалов быть описанной ;4 теорией с тремя компонентами близко к фиксированной точке Фишера-Wilson. Расстояние от критической поверхности как связано с массой частицы, если мы используем
полевой теоретический язык. Для теорий континуума с массовым промежутком, и этим
также включает теории как теории ширины кинопленки non-Abelian, мы будем всегда должны
оставаться немного далеко от критической поверхности в точности точно- настроенным способом таким
416 Вопросов и ответы
то, что пространства интервал решетки  дает разом продолжительность корреляции, измеренную в модулях решетки является постоянным (равный обратной физической мессе). Это - способ оправиться, перекрыть предел континуума теории решетки.
Однако, предположите, что мы уже в критической поверхности. Как явный пример рассматривает бесплатную невесомую скалярную частицу (в Евклидовом пространстве-времени).
Поместите это на решетку самым простым способом. Распространитель теперь
Соль (p) = 1sin2 (pa/2); 1a2 p2 для a;0.
За исключением предварительного фактора, у нас есть непосредственно распространитель континуума когда решетка, располагающая с интервалами a;0. Никакая тонкая настройка не необходима. В других теориях где невесомый частицы могут быть помещены в решетку естественным способом, который не производит массовый термин, ни perturbatively, ни non-perturbatively, у нас нет той же самой ситуации. Пример - четырехмерной latticeU (1) теория. Для (решетка) сцепление, спаривания постоянная выше критического значения, у каждого есть теория решетки ограничения без предела континуума, но для сцепления, спаривания постоянная ниже критической оценки, переменной что находится автоматически в фазе Кулона , Куломба где тривиальное перемасштабирование интервала решетки и поля приводят к теории свободного поля континуума фотона.
В CDT у нас, кажется, есть та же самая ситуация: для некоторой амплитуды пустого
гравитационного сцепления, спаривания постоянная, мы получаем теории решетки без континуума
предел. Для другой амплитуды гравитационного сцепления, постоянного, мы получаем предел континуума (до степени можно верить компьютерным моделированиям), только взятие интервала решетки к нолю. Если Вы хотите использовать аналогию с U (1) упомянутой выше теорией, истолкование состояло бы в том что гравитон был включен естественным способом, который не приводит к массе, таким образом, каждый остается на критической поверхности для амплитуды, ранга констант сцепления, спаривания. Это вероятно, хорошая вещь.
В "старом" Евклидовом DT ситуация была следующей: для почти всех значений гравитационных сцеплений, спариваний постоянно компьютерные моделирования показывали только теорию решетки без любого очевидного предела континуума. Только рядом связующая партия фазы между патологически раздавленной фазой и одинаково патологически "выпрямленной" фазой (где геометрия ухудшилась к так называемым разветвленныы полимерам), был там шанс получить что-то которое не было экспонат решетки. К сожалению, связующая партия фазы, перевернулась, была
(слабая) первая связующая партия порядка и разделение между этими двумя фазами было бы диез с увеличением пространственно-временного объема. Должно быть второго порядка связующая партия , возможно, надеялась, что будет возможно определить предел континуума, в особенности что была расходящаяся продолжительность корреляции
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 417
связанная со связующей партией. Ситуация в CDT более проста и потенциально более здорова.
2. Здесь, кажется, есть недоразумение. Никакая установка ширины кинопленки не исполнена
так как мы симулируем суммировать по конфигурациям. Покрываем ли мы конфигурацию пространства конфигураций однородно может быть обсуждено, но в этом отношении мы обращаемся к универсальности, так, если мы во всех находим критическую точку или критического сцепления, спаривания постоянную область, можно надеяться, что это - правильное. Однако, это имеет в
конце, который будет улажен, смотря на результаты, мы получаем.
Теперь количество, которое мы вычисляем, (как объяснено после eq. (18.4)) специальное предложение количество, где эти две границы разделены геодезическое расстояние T. Как
отмеченный после (18.4) это - diffeomorphism-инвариантное понятие и есть никакая потребность объединяться по T. Это не количество, которое обычно рассматривают в Кванта Силе тяжести, которая является возможно жалостью, так как это намного ближе к обычной идее "распространителя" в полевой теории чем то, что обычно рассматривают. Для  красивого описания того, как это может использоваться, чтобы вычислить более обычные амплитуды в случае двумерной Квантовой Силы тяжести мы обращаемся к статье Kawai и др. (Nucl. Физика. B474: 512-528, 1996).
• Q - Д. Орити - Дж. Амбйорну и др.:
1. Относительно проблем Вы упоминаете в определении и контакте с различной топологией, я соглашаюсь с Вами это на любой наивной четкости суммы по топологии, что касается примера в матричных моделях или групповых теориях поля, нетривиальной топологии вероятно, будут значительно доминировать над суммой, и что сама сумма, вероятно, будет  расходящейся. Однако, вышеупомянутые примеры показывают что, четкость суммы как вызывающее волнение даваемое расширение серии, это - модели зависимый вопрос можно ли этой сумме дать невызывающее волнение значение или физическое истолкование что позволяет использовать это несмотря на его расхождение. В особенности пример Бореля summable модификации группового поля Ponzano-Regge
теория показывает, что это нисколько не невозможно, по крайней мере, даже при том, что  нет
физического понимания еще модификации выполненной в этом случае, чтобы достигнуть
суммируемость. Более широко, в моделях, где дополнительные данные присутствуют сверху
комбинаторные, как действительно в групповых теориях поля, это - возможность,
по общему признанию еще понято, что модели могут быть созданы в который не - тривиальной
топологии подавлены или ограничены ультрамикроскопическим доменом, даже если
существующий в вызывающем волнение расширении функции партитуры. Кроме того, от
классической точки зрения, я не понимаю что побуждение для escluding конфигурации изменения топологии было бы, учитывая, что в первого порядка  формализме геометрии, которая является выродившейся в изолированных очках обязательно, или по крайней мере естественно, включенной в квантование интеграла по траектории, и этот вид вырождения достаточно предотвратить причинные патологии в присутствии изменения топологии. Можете Вы пожалуйста, дать мне свое мнение об этом?
418 Вопросов и ответы
2. Вышеупомянутое применяется также к Вашей конструкции причинных динамических триангуляций, с удалением детских конфигураций вселенной. Не был бы это быть больше
натуральное или удовлетворительно включать такую проблематичную конфигурацию, но наличие
их ограниченно маленьким (то есть размер Планка) объемом? Конечно, это потребовало бы
присутствие дополнительных градусов свободы сверху комбинаторных, для информации об объеме в качестве примера связанных к каждому d-симплексу (в d размерах). Вы рассмотрели такую возможность?
3. Как Вы бы изменяли свою конструкцию CDT, чтобы удалить установленную ширины кинопленки
correponding к привилегированному расплющиванию в T, предполагая, что это действительно, как это
лучше будет, установленная ширина кинопленки? Уже есть ли работа, продолжающаяся в этом направлении?
- A-J.Ambj;rnet al.:
1. Конечно, можно было отобразить четкость, которая подавляет топологию. Самый простой
механизм должен пропустить их вручную, как мы предположили. Топология изменяет не кажущуюся очень естественной в метрической рецептуре классического Эйнштейна теорию Общей теории относительности. Это - одно побуждение для того, чтобы пропустить их. Если Вы позволяете изменения топологии и затем хотите подавить их, каждый должен иметь  физически мотивируемый механизм для того, чтобы сделать это. Такой механизм мог бы существовать, я только не знаю о том. Явный пример, упомянутый от 3-ьей групповой теории поля Ponzano-Regge, по моему мнению, хорошо понята и явно нефизическая. Фактически это находится в духе, очень аналогичном изученным углубленно примерам в двумерной Квантовой Силе тяжести, где каждый был в состоянии исполнить суммирование по топологии и даже получите явные аналитичные результаты. Как это разогревается 2-ое? Вы берете 2-ую Евклидову Квантовую Силу тяжести, определенную некоторой регуляризацией, как динамические триангуляции, и Вы пробуете суммировать по всей топологии. Вы обнаруживаете, что сумма - расходящийся факториал в роду 2-ой копии, которая не удивительна. Наиболее вызывающее волнение расширения. Никакой очевидный путь не предлагает себя для суммирования серии пока коэффициенты - весь позитив: это не Борель summable. Есть  физическая причина для коэффициентов, являющихся всем позитивом: они связаны с подсчетом различных конфигураций неподвижной топологии. Это число выращивает factorially с родом топологии. Теперь можно было получить изумительную идею изменить этот подсчет положительных чисел, вводя новый, "геометрический модуль” кроме треугольников: площадь (говорит), но с отрицательным весом. В этой точке у нас нет никакой реальной идеи, что мы делаем, но позволяют нам быть храбрыми и вслепую продолжать двигаться. Это стоит подчеркнуть изображение с точки зрения так называемых матричных моделей, которые осуществляют явное склеивание треугольников, и
большое-N расширение, которое дает расширение рода. Запуская со склеивания  треугольников у нас была матричная модель, откуда действие было бесконечно ниже. Добавление площадей ставит действие, которое ограничено снизу, и поэтому четко определенный вне теории волнения, но ограниченности
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 419
из действия непосредственно соединен с фактом что площади, рассматриваемые как геометрические
модули, имейте отрицательные отягощения. Если мы включаем площади с надлежащим, понятным весом, действие было бы все еще после добавления площадей, были бесконечны снизу. Ограниченное действие позволяет нам определять невызывающее волнение сумму по всему роду. Это видится, что конструкция здесь пословно та же самая как та используемая в 3-ьем групповом поле Ponzano-Regge
теории упомянутой Oriti. В 2-ом случае можно завершить анализ: это переворачивает что эта изобретенная модель есть приличное истолкование: это представляет (2,5) минимальную конформную полевую теорию соединенную с двумерным Квантом Силы тяжести. Основной момент то, что новые негеометрические, неунитарные градусы свободы были введены в модели, и они полностью доминируют богатую партию рода этого. Таким образом каждый приручил к топологии, хороня это в доминантные взаимодействия неунитарной теории. Это (до сих пор) доказало
невозможным повторить ту же самую уловку с унитарными моделями соединенными с 2-ым Квантом
Силы тяжести по простой причине, что, объединяя унитарное содержание всегда дает положительные весовые коэффициенты в Евклидовом пространстве. Ситуация в двух размерах бесконечно более проста чем в трех измерениях, чтобы не говорить приблизительно четыре размерности.
Подводим итог: предложения для суммирования по топологии я видел до сих пор должны не иметь по моему мнению никакого шанса работать. Конечно, это не управляет что однажды, каждый будет (1), понимать, что нужно действительно суммировать топологии и (2) понимать, как сделать это.
2. Относительно включения детских вселенных или исключения детских вселенных, трудно видеть побуждение для включения их, но ограничения их быть размера Планка, если нет естественного механизма, который ограничивает их этот размер. Так или иначе, если они были включены, что путь каждый мог по-видимому только объединить их снова, когда каждый обращается к физике в немного более широком масштабе.
Фактически можно обратиться к этому вопросу точным способом в двумерной
Квантовой Силе тяжести. Поскольку мы показали: если Вы начинаете с CDT и затем позволить детские вселенные (всех размеров), затем Вы возвращаете норму, Евклидову двумерной Квантовой Силы тяжести (как описано динамическими триангуляциями, матричными моделями или теорией поля Liouville). Наоборот, если Вы начинаете с Евклидовой двумерной Квантовой Силы тяжести и обрубает детские вселенные, Вы получаете CDT. Из теории Евклидова двумерного Кванта
Силы тяжести Вы знаете точный сбыт детских объемов вселенной (это управляемый так называемой восприимчивостью (или энтропия) образец ;). Сбыт очень сильно достигнут максимума в детских вселенных масштаба перемаха, отреза- стоп который один в этой модели идентифицировал бы с длиной Планка. Так модель почти удовлетворяет Ваше требование ограничения детских вселенных к
Длине Планка просто энтропией. Однако, редко большие  детские вселенные
420 Вопросов и ответы
весьма важны, но это возьмет нас слишком далеко, чтобы войти в обсуждение деталей.
Очко, чтобы подчеркнуть в существующем окружении то, что двумерное Модель CDT может быть рассмотрена как получено из "полной" Евклидовой модели объединения детских вселенных. Теперь основное побуждение для того, чтобы ввести модель CDT в более высокой размерной Квантовой Силе тяжести была соблюдением что разрешение всех геометрий (неподвижной топологии) привело к господству очень выродившихся конфигураций в выше чем два размерности, который в в один конец или другой мог быть связан с детскими вселенными. Мы поэтому искали  общий принцип, чтобы избавиться от них.
• Q - Д. Орити - к R.Williams:
Можете Вы, пожалуйста, очищать мне объяснение позади поиска исчисления Regge
аналог diffeomorphism симметрии континуума GR? Я имею в виду: Исчисление Regge, определяемое на симплициальных комплексах, как таковых там, было бы возможно не быть никаким понятием diffeos вообще, поскольку diffeos - действительно карты между гладкими копиями по определению. Это кажется мне очень отличающийся от поиска аналогов личностей Bianchi, которые являются проведением темы о пространстве-времени сабельности и поэтому допускает свойственную четкость на симплициальном комплексе, как только дискретный аналог сабельности был определен на комплексе. На другой руке казалось бы мне что поиск diffeos в исчислении Regge использует обязательно встраивание симплициального комплекса, и следовательно геометрические данные те, назначенные на это, в некоторой копии континуума, в которой diffeos действительно определены. Это понятие diffeos затем не было бы "свойственно" симплициальный комплекс одного только исчисления Regge, но это запросило бы дополнительную информацию о встраивании. Можете Вы, пожалуйста, очищать эту процедуру, если вышеупомянутое правильный, или указывают, где я неправильно понимаю ситуацию? Например, есть ли понятие "аналога" diffeos, который "полностью свойственен" симплициальному комплексу, который так или иначе уменьшился к обычному континууму, индексирует континуума понятие приближения в некотором пределе?
- R.Williams:
Ответ на вопрос зависит от того, как Вы пытаетесь определить аналог из diffeomorphisms для симплициального пространства. Если они — преобразования продолжительность края, которая оставляет инвариант действия, нет никакой проблемы с встраиванием. Однако, если они - преобразования продолжительности края который оставляет инвариант геометрии (который кажется ближе к четкости континуума), затем Вы правильны, что могли быть проблемы со встраиванием.
Избегая понятия встраивания, мы видим, что можем действительно только определить
diffeomorphisms для единообразного пространства. Hartle показал, что можно определить приблизительные diffeomorphisms в направлениях, в которых действие приблизительно
постоянно. В пределе континуума эти diffeomorphisms становятся точными.
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 421
Это обсуждено очень ясно в Разделе 5 из Дж. Б. Хартла: “Симплициальный Minisuperspace I: Общее Обсуждение”, Дж. Мэт. Физика 26 (1985) 804-814.
• Q - Д. Орити - к R.Williams:
Только ради ясности, позвольте мне очищать свое сомнение немного больше. Если я беру гладкую
копию, я могу определить diffeos как гладкие карты между очками в копии, право? Эта четкость не нуждается ни в каком понятии геометрии, действия, и т.д., я думаю.В кусочном линейном или симплициальном пространстве, там аналоговое понятие “diffeos”, то есть карты между очками в пространстве, которое не требует никакую экстра информацию, как геометрия или встраивание в континуум, то есть "свойственный" аналог diffeos? Кроме того, я немного озадачен, потому что я всегда думал из продолжительности края в исчислении Regge как “пространственно-временные расстояния”, то есть как дискретный аналог интегралов вдоль geodesics линейного элемента (возможно, лучше как  sup или inf таких расстояний, согласно тому, подобно ли геодезического времени или пространственно-подобно). Как таковой они просто были бы инвариантными под diffeos в континуума встраивании, они просто не преобразовали бы вообще под ними. Что истолкование их, что Вы используете и это используется в определении diffeos?
- R. M.Williams:
Если Вы хотите аналог континуума diffeomorphisms как гладкие преобразования между очками в копии (без понятия сохранения геометрия или действие), затем можно определить кусочный diffeomorphisms как oneto- обратимые карты симплициального пространства в себя, которые гладки
на каждом симплексе (например, перемаркировка вершин, или гладкого diffeomorphisms
интерьеры simplices). Для общей кривой симплициальной геометрии каждый ожидает
diffeomorphisms в этом смысле оставить неизменную продолжительность края или изменение
их только согласно тривиальной перемаркировке вершин (я заключаю Hartle в кавычки
здесь).
Что касается четкости продолжительности края, это зависит, как каждый прибывает в симплициальный комплекс. Если это является результатом триангуляции копии континуума,
затем я определил бы продолжительность края геодезическими расстояниями между вершинами
в копии. Но если комплекс - "данный" без понятия встраивания, затем продолжительность края была только "дана" также, и я не вижу, что каждый имеет понятие инвариантного расстояния.
• Q - Д. Орити - Р. Гамбини и Дж. Паллину:
Что является точным отношением Вашей “последовательной дискретизации” замысла с традиционным Исчислением Regge? Я понимаю от Вашей работы, что Ваш замысел позволяет
для четкости канонической (гамильтоновой) рецептуры исчисления Regge, этого оказался трудным достигнуть в обычном формализме. Но что является общими чертами и различиями, преимущества и недостатки, относительно функции Лагранжа установки?
422 Вопроса и ответы
- Р. Гамбини и Дж. Паллин:
Действительно, наш метод последовательных дискретизаций, используя в качестве начальной точки Regge действие дает урожай четко определенной канонической теории для исчисления Regge.
Рецептура эквивалентна оригинальной классически (кроме некоторых ограничений на триангуляции, которые обязаны иметь каноническую рецептуру у этого есть то же самое появление на каждом очке копии). Это должно быть указано, что рецептура является канонической, но не гамильтоновой,
развитие дано дискретным каноническим преобразованием вместо непрерывного развития времени произведеного гамильтонианом. Это разумно пока Исчисление Regge discretizes оба пространства и времени. Интересное преимущество гамильтоновой рецептуры - то, что, так как каждый естественно ограничивает тип дискретизации рассмотренной  каждый устраняет проблему "шпилей" и других
патологических структур, которые могут развиться в исчислении Regge. Недостатки включают факт, что некоторые из краев, которые играют роль Lagrange множителей определеные уравнениями развития через сложные уравнения, которые могут давать результат нежеланными поведениями (как наличие сложных растворов, решений). В этом окружении единственный способ управлять поведением этих переменных выбрать рассудительно исходные данные. Этот тип степени трудности комбинации привели к конструкции специальной версии последовательных дискретизаций, названных “униформа дискретизации”, где эти проблемы устранены. Это могло бы быть привлекательно для преследования исчисления Regge с этим новым подходом.
• Q - Л Крана - Дж. Хэнсону:
1. Кажется, что каждый мог одинаково хорошо использовать частично упорядоченное множество, чтобы приблизить Lorentzian копию в любом другом измерении чем 4. Есть ли легкий способ поместить условия на causet так, чтобы его измерение не изменилось от области до области?
2. В математике есть два совсем других понятия измерения, одной топологической и другой теоретической меры. Самая известная теоретическая мера четкость - измерение Hausdorff, которое относится к fractals. Сделайте Вы знаете о каком-либо подходе к дифференциации их для causets?
- Дж. Хэнсон:
1. Да, это - истина, что causets существуют, которые соответствуют копиям другого размера. Это возможно, оценка измерение приближения копия, учитывая один только причинный набор, и делает, как вопрос предполагает. различные области можно было бы иметь в виду различные антракты в причинном наборе, и условие, которое эти оценщики измерения приблизительно соответствуют, и дают то же самое значение (наиболее интересно 4) во всех регионах, необходимое условие для
причинного набора, чтобы быть "подобным копии".
2. На дискретном уровне причинный набор не сохраняет топологические или метрические
структуры континуума, которые воскресают на эффективном уровне. Так, вопрос из сравнения только имеет смысл для причинных наборов где континуума
Причинный набор приближается к Квантовой Силе тяжести 423
приближение существует. Тем не менее, Вы могли бы предположить расширять четкость
из приближения континуума к некоторому fractals, вынося окропление этих структур, и затем спрашивает как новые оценщики измерения сравниваются с более стандартными оценщиками Hausdorff и Lebesque. Кажется вероятным, что причинные оценщики набора, которых мы имеем, были бы больше подобной мере теоретическим размерам как Hausdorff или Minkowski-
Измерение Bouligand (так как мера Lebesque, я думаю, инвариант под гомеоморфизмами, который кажется противоречащим зависимым от масштаба оценщикам измерения), но это не известно (вопрос, который расследуется Давидом Мейер).