Тема: "Приведение к абсурду, или Квадратный корень из двух".
Найденное пифагорейцами доказательство иррациональности квадратного корня из двух опирается на аргумент, называемой reductio ad absurdum – приведение к абсурду: мы принимаем за истину некоторые утверждения, выводим следствия из него, наталкиваемся на противоречие и тем самым устанавливаем ложность посылки. В качестве современного примера рассмотрим афоризм великого физика XX века Нильса Бора: «Противоположность любой глубокой идеи является любой другой глубокой идеей». Если это утверждение истинно, у него может найтись довольно опасные следствия. Представьте, например, отрицание золотого правила*, заповеди, запрещающего лгать, или заповеди «Не убий».
*Кратко.
*Золотое правило (оно же категорический императив) – нравственный закон, гласящий: поступай с другими так, как тебе хотелось бы, чтобы поступали с тобой.
Поэтому давайте разберёмся, является ли сам афоризм Бора глубокой идеей. Если это так, то противоположный ему тезис: «Противоположность глубокой идеи не является другой глубокой идеей» – тоже должно быть истинным. Тем самым мы достигли reductio ad absurdum. Поскольку обратное утверждение ложное, данный афоризм не должен нас сковывать, ибо в соответствии с ним же самим он не является глубокой идеей**.
**Кратко.
**Здесь можно некорректно анализировать высказывание Нильса Бора. Возможно неявное отображение глубины идей с её истинностью, тогда как нам известно не мало глубоких суждений, об истинности которых нельзя сказать ничего определённого (например, утверждение о существование внеземных цивилизацией). Но главное – высказывание Бора вырвано из контекста и искажено. Полностью цитата звучит так: «Противоположностью правильного утверждения является ложное утверждение. Но противоположность глубокой истины вполне может оказаться другой глубокой истиной» (The opposite of a correct statement is a false statement. But the opposite of a profound truth may well be another profound truth). Эту формулировку невозможно таким простым способом, как это делали мы. Во—первых, понятие противоположности гораздо шире отрицания. Например, отрицаем суждение «эгоизм – полезная черта характера» будет утверждение «эгоизм – вредная черта характера». Безусловно, это отрицание является одновременно и противоположным суждением. Но суждение «альтруизм – это полезная черта характера» хотя противоположно исходному суждению, отрицанием его не является. И, между прочим, все эти утверждения можно назвать глубокими. Во—вторых, согласно бору, если бы даже суждение, противоположное его афоризму, оказалось ложным, это вовсе не было бы опровержением. Просто говорило бы о том, что данный афоризм не является глубокой истинной, а претендует лишь на роль правильного суждения, отрицание которого ложно. В—третьих, в оригинальном высказывании Бора не говориться, что противоположность любой глубокой истины обязательной глубокой истиной. Утверждается лишь, что это возможно. Поэтому вполне, но его отрицание таковой не является.
Мы приведём современную версию доказательства иррациональности квадратного корня из двух, опираются на reductio ad absurdum и простые алгебраические выкладки, а не геометрическое доказательство, открытое пифагорейцами. Стиль доказательства и способ размышления не менее интересны, чем получаемый результат.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице (одному сантиметру, одному дюйму, одному световому году – не суть важно). Диагональ ВС делить квадрат на два прямоугольных треугольника. В таких прямоугольных треугольниках, согласно теореме Пифагора, 12+12=х2. Поскольку 12+12=1+1=2, то есть х2=2, и мы можем записать, что х=, то есть корень квадратному из двух. Предположим, что является рациональным числом, что есть =p/q, где p и q, целые числа. Они могут быть любыми, сколь угодно большими, но обязательно целыми. Мы, конечно, попробуем, чтобы у них не было общих делителей. Если мы, например, заявим, что =14/10, то, безусловно, можем сократить эту дробь на 2 и записать: p=7, q=5 вместо p=14, q=10. Будем далее считать, что у числителя и знаменателя сокращены все общие множители. Для выбора значений p и q у нас остаётся бесконечное число вариантов. Возведя в квадрат равенство "корень квадратный из двух"=p/q, получим: 2=p2/q2, или после домножения обеих частей на q2:
p2=2q2. (1)
Таким образом, p2 представляет собой число, умноженное на 2. Однако квадрат любого нечётного числа является нечётным числом (12=1, 32=9, 52=25, 72=49 и т.д.). Получается, что само число p должно быть частным, то есть можно записать p=2s, где s – некоторое целое число. Подставив его в уравнение (1), находим:
P2=(2s)2=4s2=2q2.
Деление обеих частей последнего равенства на 2 даёт:
q2=2s2.
То есть q2 то же является целым числом, и, опираясь на тот же аргумент, что был использован для p, мы заключаем, что q тоже является чётным. Но если числа p и q оба делятся на два, значит, они содержат несокращённый общий делитель, что противоречит нашему предположению. Reductio ad absurdum. Но в чём состояло предположение? Доказательство не может запретить нам сократить общие множители, разрешить использовать 14/10, но запретив 7/5. Поэтому ошибочным должно быть начальное предположение: p и q не могут быть целыми числами, а =1,4142135…
Несколько ошеломляющее и неожиданное заключение! Какое элегантное заключение! Но пифагорейцы считали необходимым скрыть это великое открытие.