О Связи между Пластичностью Кристалла Континуума и

TECHNISCHE MECHANIK, Band 23, Heft 2-4, (2003), 146-159
Manuskripteingang: 18. Juni 2003
On the Connection between Continuum Crystal Plasticity and the
Mechanics of Discrete Dislocations
B. Fedelich
Dedicated to the memory of my mentor and friend, J;rgen Olschewski

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА, Группа 23, Поднимают 2-4, (2003), 146-159
Mанускрипт : 18. Juni 2003
О Связи между Пластичностью Кристалла Континуума и
Механикой Дискретных Дислокаций
B. Феделич
Посвященный памяти о моем наставнике и друге, Юргене Олшевском
Эта работа стремится связать уровни пластичности кристалла континуума с той из дискретных, отдельных дислокаций. Во-первых, вспомнены некоторые бывшие результаты о кинематике дискретных, отдельных дислокаций. Затем  поля на уровне континуума построены   усреднением соответствующих полей на уровне дислокации. Под предположениями о маленьких упругих странностях, маленькой решетки искривление на уровне дислокации и статистическая однородность на шкале представленного элемента объема классической формы уравнений баланса для непрерывных полей могут быть восстановлены. Кроме того, мультипликативное разложение градиента деформации в упругой части и необратимой части достигнуто. В то время как упругие странности предполагаются маленькими, пластичные странности могут быть произвольно большими.
1 Введение
Эта работа - попытка соединить промежуток между описанием кристалла, который содержит большое  количество дискретных  дислокаций и обычной теорией пластичности кристалла континуума. Таким образом, странности, вызванные пластичным касанием, скольжением, слип могут быть произвольно большими. Там уже существуют многочисленные обработки кристаллов, искаженных непрерывным распределением дислокаций, начинающихся среди других с исторических работ Ная (1953) и Крёнер (Kr;ner) (1958). То, что здесь предназначено, очень отличается: Мы утверждаем, что уравнения поля (баланс + конституционные уравнения) в физической обработке кристаллической пластичности должны быть получены из уравнений поля кристалла, который подвергается необратимой перестройке решетки из-за дискретного  скольжения дислокации. В то время как эти необратимые процессы сконцентрированы на дискретных сингулярных, значительных поверхностях, тесто, большая часть кристалла ведет себя упруго.
Там существует несколько методов гомогенизации, чтобы связать два уровня описаний. Популярный и интуитивный вариант- использование пространственного усреднения на более низком уровне, чтобы определить поля в более высоком уровне. Однако, случай прерывистых деформаций и конечные странности получили немного внимания к настоящему времени. Из-за потребности к различиям между ссылкой и деформированным статусом и из-за различных возможных мер для напряжения и странности в конечных преобразованиях есть врожденная произвольность относительно определения полей в более высоком случае. Кроме того, из-за геометрической нелинейности, различные альтернативы не эквивалентны в наиболее общем случае. Хилл (1972, 1984) и Немэт-Нассер и Ори (1999) предложили общую схему расширенной гомогенизации пространственным усреднением к большим преобразованиям. Как правило, выбор  руководствуется желанием восстановить знакомые формы уравнений баланса на более высоком уровне. Стимулирующая ситуация для теории гомогенизации дана, когда совершенная идентификация, оказывается, невозможна по некоторым причинам. Тогда теория для более высокого уровня должна быть расширена, например, обогащением кинематического описания. В этой линии мысли Лес (1998) и Ван дер Слуис (1999) недавно смоделировали гетерогенные материалы Коссера (Cosserat) континуа на макроскопическом уровне. Когда центральная гипотеза статистической однородности на микроскопической шкале не выполнена, оказывается, что энергетический баланс в более высоком уровне не в состоянии иметь обычную форму, таким образом требует соответствующую процедуру.
В то время как данная работа оставляет много оставшихся без ответа вопросов, мы таким образом полагаем, что у этого подхода есть потенциальная  возможность обеспечить новую способность проникновения в суть механики податливых кристаллов. Обращение, процедура полагается на некоторые недавние результаты полученные Феделич (Fedelich 2003b) о кинематике дислокации скольжения в конечной эластичности. Отметьте что регуляризация кристаллов, искаженных дискретными дислокациями посредством пространственного усреднения в линейной структуре, рамке, была недавно представлена Феделич (Fedelich 2003a).
Статья организована следующим образом:
Во-первых, некоторые определения и следствия вышеупомянутой статьи (Fedelich, 2003a) кратко вспомнены. Затем уравнения поля и кинематические предположения на уровне дислокации сформулированы. Поля в непрерывном уровне сначала просто формально определены. Мы наконец показываем это под сделанными предположениями, обычные уравнения баланса пластичности кристалла континуума восстановлены. Кроме того, мультипликативное разложение градиента деформации в упругой части и необратимой части представлены.
2 Кинематика Кристаллических Дислокаций
2.1 Классические Деформации
Обработка прерывистых больших деформаций требует некоторой осторожности в языке избежать двусмысленностей. A очень осторожное представление этого вопроса было дано Дель Пьеро и Оуэном (1993). Однако, сжатая математическая рабочая рамка этих авторов довольно тяжела, скомкана для обращения на практике. Здесь мы принимаем то,  что  мы верим, чтобы быть разумным компромиссом между математической суровостью и более интуитивным представлением, в соответствии с обычным стандартом литературы машиностроения.
Мы повсюду предполагаем в этой работе справочную конфигурацию (естественное состояние) без дефекта и без напряжения рассмотренное тело ;. В этом состоянии тело ;, как предполагается, занимает открытый регион V0 – трехмерного Евклидово пространства ;. Подмножество V0 – как, кроме того, предполагается, регулярно открыто, то есть, оно совпадает с интерьером его закрытия. В следующем мы следовательно используем примечания  и дD, чтобы обозначить соответственно закрытие и границу некоторого подмножества  D ; .
Определение 1
Классическая деформация  картирование, отображение от V0  в ;
,

со свойствами:
1.  инъектив, класса  C2 в V0 - и может быть расширен на инъектив  C2 - наносящийся на карту в ;. Его инверсия имеет также класс  C2 в ;.
2.  сохраняет ориентацию, то есть,

(2)
 
Переноса, ссылки конфигурация, Текущая конфигурация
Рисунок 1. Переноса и текущая конфигурация для классической деформации.
В следующем будет важно отличить вектор смещения, выраженный с точки зрения позиций  x0 материальных пунктов в ссылаемом, исходном  состоянии (см. рисунок 1),
 (3)
из его коллеги, выраженной с точки зрения позиций x материальных пунктов, точек в деформированном состоянии
 (4)
Инверсия градиента деформации - также пространственный градиент инверсии, наносящей на карту ; _
 (5)
В продолжении мы сделаем последовательное использование приписки, индекса 0, чтобы обозначить количества относящиеся переносу конфигурации.
2.2 Кусочные Классические Деформации
Чтобы описать состояния искажения тел как произведенные скольжением дислокации, становится необходимо расслабить предыдущие требования, сделанные к классическим деформациям. Следующее определение расширяет классическое понятие, концепцию деформации к ситуации, в которой картирование, отображение  может быть прерывистым или плохо, болезненно  определенным через несколько внутренних поверхностей тела. Это подобно определению “простых деформаций”, сформулированных Дель Пьеро и Оуэном (1993).
Определение 2
Кусочная классическая деформация тела ; (см. рисунок 2) является картографией, отображением  от  V0  в ;, для которого там существует разделение  V0, то есть, N регулярно открывают подмножества V0 со следующими свойствами:
1. Регионы V0i не накладываются на друг друга, то есть, , если.  i; j.(6)
2. Союз закрытий всех подмножеств V0i  совпадает с закрытием V0, то есть,
 (7)
3. Ограничение  из  в каждый из регионов V0i является классической деформацией.
4. Открытые регионы, определенные как  не перекрытые, наложенные: Отображение   _инъектив в

Рисунок 2. Пример временной зависимости кусочной классической деформации тела вызванной последовательностью двух сдвигов процессов. Разделение регионов, занятое телом в переноса, исходном и в искаженном состоянии.
Мы также обозначаем V интерьер  или, более иллюстрировано, регион занятый телом в искаженном состоянии. В случае отображений с временной зависимостью , мы предполагаем, что свойства (1-4) из определения 2 удовлетворенные на любой стадии с тем же самым постоянным разделением (см. пример рисунка 2).
Последствие предыдущих определений то, что функция  может быть самое большее прерывистой на внутренней части G0  границ дV0i подмножеств V0i. Чтобы разъяснить, что мы, таким образом, имеем в виду, мы рассматриваем материала пункт . Этот пункт является внутренним к V0 , если есть другой регион j; i, так, что . Следовательно, внутренняя часть границ  дV0i дана
 (8)
Точно так же в искаженном состоянии, инверсия, отображённая, нанесенная на карту  может быть  более кардинальной, перемены знака через
. (9)
В следующем мы следовательно используем суперподлинник i, чтобы обозначить расширение любой функции, которая является регулярной в  регионе разделения  к его границе. Например, пишем мы
,
и (10)

Определить возможный скачок функций через  (или ), произвольный выбор должен быть сделан, приведение к определению верхней и нижней стороны  (или ). Примечание i;j будет следовательно используемо, чтобы заявить тот V0i (или Vi), взят в качестве верхней стороны и V0j  (или Vj) как  нижняя сторона. Для пример, скачок через  определен как и обозначен
 (11)
Таким же образом, скачок через  определен как
  (12)
Часть  или , где скачок  или  не исчезает обозначен  Sij0 или Sij, соответственно. Мы будем именовать это как знаковую, сингулярную поверхность или поверхность скачка в ссылаемом, исходном состоянии или в искаженном состоянии, соответственно.
Рисунок 3. Иллюстрация состояния последовательности: В (a) удовлетворено условие, состояние последовательности, когерентности в то время как это нарушено в (b).
2.3 Гипотеза совместности, когерентности.
Если  кусочная классическая деформация кристалла и если переноса конфигурация - естественное состояние:
1. Есть постоянный вектор решетки  кристалла без дефекта, характеризующего каждую сингулярную, перемены знака, знаковую, перегиба поверхность Sij, такую, что скачком смещения через Sij дано
 (13)
2. Инверсия градиента деформации  непрерывна через Sij.
Физическое значение гипотезы последовательности - то, что поверхности скачка неразличимы в искаженном состоянии (см. рисунок 3). При использовании теоремы Стокса, можно легко показать, что когерентная  сингулярная поверхность не может закончиться в просто связанном регионе. Описать кристаллическую дислокацию, которая не является ничем иным чем кривой  Lij ограничение сингулярной поверхности Sij, можно расслабить гипотезу когерентности в узкой полосе Zij вперед  Lij. Эта процедура поддержана фактом, что кристалл чрезвычайно искажен в регионе ядра дислокации. В регионе Zij, скачок смещения соответственно сужен к линии границы  Lij  (см. рисунок 4). Равновесие упругих твердых частиц, содержащих исключительные поверхности, где произвольный скачок смещения предписан, был сначала проанализирован Сомиглиана (Somigliana) (1914, 1915), после новаторских работ Вейнгартена (1901) и Волтерра (1907). Введение в различные модели дислокации, доступные в эластичности континуума, может быть также найдено в учебнике Теодоию (Teodosiu) (1982). Модель дислокаций Сомиглиана-типа после этой линии представлена в следующей секции. Причины, мотивирующие этот выбор и некоторые свойства, следующие из этого определения, могут быть найдены в (Fedelich, 2003b).
 
линия дислокации, ядра дислокации лента
Рисунок 4. Схематика  модели ядра дислокации.
2.4 Искажение Кристалла Дислокациями Сомиглиана-типа
Мы сначала вспоминаем определение расстояния между пунктом  x0 и гладкой кривой L0:
 (14)
Определение 3
Мы вызываем искажение кристалла дислокациями Сомиглиана-типа, в коротком искажении, любая кусочная классическая деформация   со следующими свойствами для каждой исключительной поверхности S0ij:
1. S0ij является  плоскостью и внутренней частью L0ij его пограничной кривой, то есть, часть S0ij , которая не перехватывает дV, является гладкой и связанной.
2. Картография, отображение  непрерывна в L0ij. В частности изображение L0ij является тем же самым, когда это нанесено на карту, отображено от любой выше или ниже, которая является .
3. Ядро дислокации в справочной конфигурации представлено полосой  постоянной  ширины  h0, то есть,
 (15)
и его коллега в искаженном состоянии определен как
(16)
4. Скачок смещения относящийся к искаженному состоянию, дан
_ _ _ _ (17)
где  является постоянным вектором решетки кристалла без дефекта, содержавшегося в плоскости S0ij, ;(r) является соответственно гладкая увеличивающаяся функция, так образом, что
 (18)
и  является расстоянием между кривой L0ij и местом, первоначально занятым материальной точкой на верхней стороне i  поверхности скачка, которая двигается в x, то есть,
(19)
5. Инверсия градиента деформации  непрерывна через Sij-Zij и вектор напряжения, стресса  непрерывен через Sij, где  тензор напряжения Коши (Cauchy) и  единица нормального вектора  Sij, который указывает, направлен наружу от Vi.
Чтобы определить расстояние материального пункта, точки к дислокации изгибаются в переноса конфигурации, когда это материальный пункт, точка идентифицирован его местом в искаженном  состоянии, произвольный выбор должен быть сделан между верхним и более низкими картографиями _и _. Ясно, симметрический выбор может быть сделан, приводя к эквивалентной модели.
В (Fedelich, 2003b) скачок смещения в справочной конфигурации, соответствующей отношению (17)  получен
. (20)
Определение 3, которое может быть расценено как особая модель ядра дислокации, главным образом мотивировано следующим результатом: скорости поле обозначено . Пусть l0 будет криволинейной координатой вдоль дислокации линии Lij0 в  исходном состоянии. Если Lij0 скользит в его плоскости с нормальной скоростью v0ij=v0ij(l0), скачок скорости относящийся к искаженному состоянию, как, находят,

 (21)
где  является криволинейной координатой пункта, точки Lij0 самый близкий к . Это означает, что скорости скачок зависит только от скользящего движения дислокации. Это находится в особой независимой политике упругой странности изменений. Следовательно, разложение может только произойти, когда дислокация скользит.
3 Перехода между Дислокацией и Непрерывным Уровнем
3.1 Уравнения поля на Уровне Дислокации
     В следующем уровень с дискретными дислокациями, при которых деформация прерывиста, будет отнесен, передан  как уровень дислокации. Все поля, определенные на этом уровне, обозначены тильдой. Более высокий уровень, на котором преобразования описаны непрерывными полями, будет упоминаться как непрерывный уровень. Странность на уровне дислокации является чисто упругой. Это определено в любом регулярном материальном пункте, точке  как
. (22)
Мы теперь делаем предположение о маленьких странностях . Несмотря на малость странностей в уровне дислокации, величина перестановок решетки из-за скольжения дислокации может быть произвольно большой. Таким  образом, получающиеся странности на непрерывном уровне будет рассматриваться как являющиеся большими.
Мы обозначаем массовую плотность в исходной, переноса, референса конфигурации . В приближении маленьких странностей, массовая плотность в искаженном состоянии  приблизительно неизменна, то есть, . Внутренняя энергия обозначена  и тепло потока . Уравнения баланса на уровне дислокации предполагается держать в их обычной форме, то есть,
,
,(23)

где мы  предполагаем не теста, мути силы и статическое равновесие упрощают представление. Условия, состояния, кондиции скачка на любой сингулярной поверхности Sij даны
,(24)

На этом уровне линейный упругий, эластичный закон принимает форму
, или  (25)
Упругий тензор жёсткости C и тензор согласия S, как предполагается  являются пространственно гомогенными, которые обозначают, что мы рассматриваем чистые кристаллы без второй фазы или ускорений.
3.2 Общая Методология для формального Строительства Полей на Непрерывном Уровне
Соответствующие поля на непрерывном уровне определены взвешенной пространственной процедурой усреднения по представительному элементу объема  RVE(x0) (representative volume element ПЭО). Больше деталей о пространственных методах усреднения может быть найдено в учебник Немэт-Нассера и Ори (1993). Представительный элемент объема (ПЭО) является регионом ; перевод с его средней точкой  x0 и имея кусочную гладкую границу (см. рисунок 5). С тех пор в этой работе мы сосредоточимся на теста поведении кристалла, мы предполагаем, что  x0 достаточно далек от дV0 -так, чтобы . Во-первых, мы вводим соответственно гладкую функцию надбавки  J0 (y0- x0) со свойствами
J0 (y0- x0) ;0 для y0 в RVE(x0),
 J0 (y0- x0) =0 иначе, (26)
и
_.
Как правило, J0 (y0- x0) является почти постоянным в самой большой части RVE( x0) и гладко исчезает к дRVE(x0). Ограничивающий случай для J0 (y0- x0)  является характерной функцией Jc (y0- x0) представителя элемента объема  RVE(x0), имея переменную  1/V0 RVE(x0) и ноль иначе. Здесь,  V0 обозначает объем  RVE(x0).

Рисунок 5. Тело V0 - с переводом ПЭО.
3.3 Определение Деформации на Непрерывном Уровне
Мы начинаем, определяя деформацию на непрерывном уровне как
. (27)
Эта процедура усреднения имеет эффект упорядочивания: Если функция надбавки J0 (y0- x0) неопределенно дифференцируемый, деформация на непрерывном уровне   также неопределенно дифференцируема (Шварц, 1961). Градиент деформации на непрерывном уровне тогда
. (28)
Применяя теорему Гаусса к каждому подмножеству V0i , мы получаем
. (29)
С тех пор - части границ дV0i, содержавшиеся в RVE (x0) , все строго содержатся в V0.Это означает, что каждый поверхностный элемент  также характерен для границы дV0j некоторого другого элемента j;i из разделения V0. Первый член правой стороны уравнения (29) может таким образом быть перестроен в сумму из поверхностных интегралов по сингулярным поверхностям S0ij. Мы можем переписать это как
. (30)
В частности градиент деформации на непрерывном уровне не среднее число градиента деформации на уровне дислокации. Есть дополнительный член, который возникает из необратимых перестановок решетки. Отметьте, это, как может быть замечено в уравнении (20), скачок  зависит вообще от упругих, эластичных странностей.
3.4 Гипотеза Медленно Переменных Вращений
Мы теперь делаем дополнительное предположение о медленно переменных вращениях или о маленьком искривлении решетки на уровне дислокации. Во-первых, мы вспоминаем полярное разложение градиента деформации
, (31)
где  - поле ортогональных тензоров и  симметрических тензоров. Гипотезы медленного изменения вращения могут быть математически сформулированы, вводя кривой тензор (Kadafar и Eringen, 1971),
, (32)
где  - тензор перестановки. Это  мера относительной ориентации двух соседних триад и остается инвариантом под твердым движением. Определенно, если  LRVE является характерным измерением RVE, мы предполагаем, что
. (33)
Физически, низкое предположение искривления связано с низкой плотностью геометрически необходимых дислокаций как показанный Наем (1953). Гипотезы (33) означают, что вращение является приблизительно гомогенным на  шкале ПЭО.
В пределах этого предположения градиент деформации на непрерывном уровне может быть приближен
. (34)
Там остается нерешенным вопросом инъективности непрерывной деформации ;0, который трудно вывести из предыдущих определений без дополнительных предположений. В последующем мы будем повсюду предполагать, что ;0 инъектив в V0  и обозначьте его инверсию ;-1. Как частичное оправдание, мы отмечаем, что маленькой эластичной странности гипотеза подразумевает, что  . Следовательно, когда интенсивность касания, слип, которая представлена вторым членом правой стороны (34), исчезает, тогда   и ;0  является в местно один к одному. Из этого рассуждения следует, что местная инъективность ;0, по крайней мере, гарантируется для умеренной деятельности касания.
3.5 Гипотеза Статистической Однородности
Другая гипотеза, которая связана со статистической однородностью полей на шкале RVE, повернется быть полезным в продолжении. Чтобы сформулировать это самым общим способом, мы теперь рассматриваем произвольную кусочную регулярную функцию, , определенную в переносимой конфигурации на уровне дислокации и его копию, коллегу, подсчитанную часть  переносящуюся на деформированную конфигурацию. Соответствующее поле в непрерывном уровне может быть определено как 
, (35)
в соответствии с определением непрерывной деформации (27). Очевидно, подобное определение может быть сформулировано относительно текущего состояния, то есть,
, (36)
с соответственно выбранной надбавкой функционируют J в деформированной конфигурации. В следующем, мы следовательно сделаем гипотезы, что для выбора  J= J0 отношение
   (37)
справедливо для любого поля . Чтобы лучше схватить значение утверждения, заявления (37), мы обращаемся к крайнему случаю J быть характерной функцией ПЭО Jc. В этом случае, применяя переменное изменение   в каждое подмножество V0i - в соответствии с гипотезой маленьких эластичных странностей, мы имеем
(38)
с тех пор . Гипотеза (37) поэтому эквивалентна
. (39)
Основное, подлежащее физическое предположение - это, если ПЭО является достаточно большим относительно типичного расстояния между дислокациями LD и достаточно маленьким относительно макроструктурного характерного измерения LS, то есть, если
LS>> LRVE>> LD, (40)
поля на непрерывном уровне не должны критически зависеть от частичного выбора области усреднения (ПЭО). С тех пор  и  ПЭО (x) может быть расценен как два особого выбора ПЭО (RVE) в материале укажите x (см. рисунок 6), отношение (39) также следует из этого предположения. Эти гипотезы заканчивают дуальность между описаниями, относящимися к начальной букве и текущему состоянию на непрерывном уровне. Из-за один к одному, непосредственного корреспонденции, соответствия между этими двумя состояниями, индекс, приписка 0 может быть пропущен, и мы пишем, когда нет двусмысленности, например, g(x)=g(x0)=g0(x0), если x= ;(x0);;0(x0).

Рисунок 6. Две альтернативы, чтобы построить ПЭО в x= ;0(x0) ; в искаженной конфигурации.
3.6 Формальное Определение Остающихся Полей на Непрерывном Уровне
Во-первых, скорость на непрерывном уровне определена как
y (41)
Пространственный градиент скорости может быть оценен той же самой процедурой как градиент деформации (30).После выполнения тех же самых преобразований мы получаем
 . (42)
В конечном счете, тензор напряжения Коши (Cauchy), массовая плотность, поток тепла и внутренняя энергия определены в непрерывном уровне следующим образом
,
 ,(43)


3.7 Уравнения баланса для Линейного и Углового момента на Непрерывном Уровне
Во-первых, отметьте это, потому что  массовая плотность на непрерывном уровне является . Пространственное расхождение тензора напряжения Коши (Cauchy) получено той же самой процедурой как для  градиента деформации (30). Мы имеем
. (44)
Из-за кондиции скачка (24)1 для вектора напряжения через сингулярную поверхность, второй член правой руки стороны уравнения (44) исчезает и уравнения баланса для линейного и углового момента в непрерывном уровне  готово представлены, пространственно усредняя соответствующие уравнения (23) 1 и (23) 2
,(45)

Замечание:
Хилл (1972, 1984), Немэт-Нассер и Ори (1999) хотели определять несимметрическое первый  Пайола-Кирхофф тензор стресса S0 на макроскопическом уровне, усредняя его коллегу на микроскопическом уровне   в переноса конфигурации. В этом ходе мыслей  S0 расценен как главная мера стресса, и стресс Коши определен из S0
 (46)
вместо (43)1. Преимущество этого выбора состоит в том, что гипотеза (37) больше не необходима. Однако, они авторы только рассматривали регулярные процессы на микроскопическом уровне. Продемонстрировать трудности, причиняемые сингулярными поверхностями на микроскопическом уровне с этим выбором, мы экспериментально определяем S0, пространственно усредняя  в переносимой конфигурации. В этой возможности градиент S0 дан
. (47)
Но в основном скачок  не ноль для сингулярных поверхностей, вызванных скольжением дислокации, потому что материальные точки  и лежат обособленно в искаженном состоянии когда  . Из-за них дополнительные члены в правой стороне выражения (47), эта альтернатива не приводит к желаемой форме уравнения равновесия, то есть,  . Кроме того, стресс Коши, определенный формулой (46), не обязательно симметричен в наиболее общем случае.
3.8 Уравнение баланса для энергии на Непрерывном Уровне
Во-первых, расхождение потока тепла дано
 (48)
Мы будем нуждаться во вспомогательном количестве H(x) определенном как
. (49)
Расчленяя интеграл объема (49), используя теорему Гаусса и непрерывность вектора напряжения мы получим следующее альтернативное выражение для  H(x)
 (50)
После той же самой аргументации, которая разрешала происхождение результата (30), поверхностные интегралы в (50) может быть перестроены в поверхностных интегралах на сингулярных поверхностях Sij. Призывая форму (42) из скорости градиента, мы получаем следующую идентичность
 (51)
Составляя в среднем энергию уравновешивают(сбалансируют) уравнение (23) 3, мы получаем с этим последним результатом
 (52)
В конечном счете, принятие во внимание энергии баланс на сингулярной поверхности (24)2, мы получаем местную форму баланса энергия на непрерывном уровне
. (53)
За исключением последнего члена H, мы возвратили обычную форму для энергии баланса. Чтобы лучше понять значение количества H мы снова обращаемся к ограничивающему случаю для J характеристической функции  Jс RVE (ПЭО). Выполняя ограничивающую процедуру c J; Jс  в уравнении (49) мы получаем  поверхностный интеграл на границе ПЭО
. (54)
Поверхностный интеграл  Hс(x) исчезает для гомогенных или периодических граничных кондиций на дRVE. Как отмечено Феделич (2003a), такие кондиции приблизительно удовлетворены, если шкала макроскопической структуры и шкала дислокации может быть отделена, как утверждается двойным требованием (40).
4 Мультипликативных Разложения Градиента Деформации на Непрерывном Уровне
4.1 Формальное Разложение F
Мы начинаем, формально определяя два следующих поля тензора
 (55)
и
. (56)
Мы также определяем тензор странности, связанный с E
. (57)
4.2 Интерпретация E
Призывая гипотезы медленно переменных вращений (33) мы можем приблизить тензор E
 . (58)
Под предположением о маленьких странностях на уровне    дислокации  мы имеем
. (59)
Наконец, принимая во внимание гипотезу (37), это следует из этого последнего результата для чистых кристаллов
, (60)
для  x=;(x0). Следовательно, природа странностей, связанных с E, является чисто эластичной. Эти странности могут быть удалены макроскопически  разгружая материальный элемент.
4.3 Интерпретация P
Снова, при использовании гипотезы медленно переменных вращений (33), выражение (20) деформации подскакивает и приближение , мы можем получить упрощенное выражение для тензора P. Мы имеем
 (61)
Согласно этому последнему выражению, тензор P только зависит от необратимых перестановок решетки из-за скольжения дислокации. Это независимо от эластичных, упругих странностей. Очевидная простота последней формы в (61) несколько обман: деформация скачка и топология сингулярных поверхностей  Sij0 зависят от истории процесса скольжения, как показано рисунком 7. Когда дислокация пересекает уже существующую поверхность скачка, скачок деформации через прежние сингулярные поверхности изменяется.
Рисунок 7. Иллюстрация зависимости истории последовательностью двух сдвиговых процессов в перпендикулярных плоскостях. В случае (a), заключительная переменная скачка смещения пункта  x0 ;u0(x0)= b1+ b2. В случае (b) скачок смещения того же самого пункта, точки ;u0(x0)= b1.
5 Заключения
В соответствии с гипотезами маленьких (упругих) странностей (i), маленькое искривление решетки на шкале дислокации  (ii) и статистическая однородность на шкале представительного элемента объема (iii), мы построили континуум модель для податливых кристаллов, соответственно усредняя поля на (прерывистом) уровне дислокации. Таким образом, мы восстановили обычные уравнения баланса на непрерывном уровне. Мы также предложили мультипликативное разложение непрерывного градиента деформации, который напоминает об обычно постулируемом разложении в эластичной и пластичной части. В то время как странности являются маленькими на уровне дислокации, странности  получающиеся из пластичного касания на непрерывном уровне может быть произвольно большими.
Не будучи исчерпывающими, давайте упоминать следующие остающиеся нерешенные вопросы:
- Все ли предположения (i-iii) необходимы, чтобы восстановить классические уравнения баланса и мультипликативное разложение F?
- Что происходит, если тензор напряжения на непрерывном уровне первично определен, усредняя номинальный тензор стресса вместо стресса Коши?
- Закончить идентификацию существующей теории с классической кристаллической теорией пластичности, время изменения тензора P должно быть оценено. Эта задача является довольно запутанной из-за случайного характера пересекающихся событий между движущимися дислокациями и существующими сингулярными поверхностями. Это будет объектом будущей работы.
- Статья сосредотачивается на уравнениях поля в тесте, большой части материала. Там остается получать соответствующее граничные условия и условия, кондиции скачка в сингулярных поверхностях на непрерывном уровне.
Ссылки(Рекомендации)

Del Piero, G.; Owen, D. R.: Structured Deformations of Continua. Arch. Rational Mech. Anal., 124, (1993), 99-
155.
Fedelich, B.: Modeling at the dislocation level the reinforcement of alloys by hard precipitates: The example of
Ni-base superalloys. J. Phys. IV France, 105, (2003a), 131-138.
Fedelich, B.: The glide force on a dislocation in finite elasticity. Accepted for publication in the J. Mech. Phys.
Solids, (2003b).
Forest, S.: Mechanics of generalized continua: construction by homogenization.. J. Phys. IV France, 8, (1998),
39-48.
Hill, R.: On constitutive macro-variables for heterogeneous solids at finite strains. Proc. R. Soc. Lond., A326,
(1972), 131-147.
Hill, R.: On macroscopic effects of heterogeneity in elastoplastic media at finite strain. Math. Proc. Camb. Phil.
Soc., 95, (1984), 481-494.
Kafadar, C. B.; Eringen, A. C.: Micropolar media –I The classical theory. Int. J. Engng Sci., 9, (1971), 271-305.
Kr;ner, E.: Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen. Springer-Verlag, Berlin, (1958).
Nemat-Nasser, S.; Hori, M.: Micromechanics: Overall properties of heterogeneous materials, North-Holland,
Amsterdam, (1993).
Nemat-Nasser, S.: Averaging theorems in finite deformation plasticity. Mechanics of Materials, 31, (1999), 493-
523.
Nye, J. F.: Some geometrical relations in dislocated crystals. Acta Met., 1, (1953), 153-162.
Schwartz, L.: M;thodes math;matiques pour les sciences physiques, Hermann, Paris, (1961).
Somigliana, C.: Sulla teoria delle distorsioni elastische, I. Atti della reale accademia dei lincei. Rendiconti.
Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali. 23, (1914), 463-472.
Somigliana, C.: Sulla teoria delle distorsioni elastische, II. Atti della reale accademia dei lincei. Rendiconti.
Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali. 24, (1915), 655-666.
Teodosiu, C.: Elastic models of crystal defects. Springer-Verlag, Berlin, (1982).
Van der Sluis, O.; Vosbeek, P. H. J.; Schreurs, P. J. G.; Meijer, H. E. H.: Homogenization of heterogeneous
polymers. Int. J. Solids Struct., 36, (1999), 3193-3214.
Volterra, V.: Sur l’;quilibre des corps ;lastiques multiplement connexes. Annales Scientifiques de l’Ecole
Normale Sup;rieure. 24, (1907), 401-517.
Weingarten, G.: Sulle superficie di discontinuit; nella teoria della elasticit; dei corpi solidi. Rend. Accad. Lincei.
10, (1901), 57-60.
Address: Dr.-Ing. Bernard Fedelich, Bundesanstalt f;r Materialforschung und -pr;fung (BAM), D-12200 Berlin.
email: bernard.fedelich@bam.de.