Об эффективной реализации упругопластической модел

Рурский университет Бохума
Председатель технической механики
Препринт 02-2005

Об эффективной реализации упругопластической модели повреждений для крупномасштабных анализов материала отказов: многомасштабный подход

Дж. Мослер
Это препринт статьи, опубликованной в:
Компьютеры и структуры, Vol. 83, Вопросы 4N5, 369;382
(2005)
 Об эффективной реализации упругопластической модели повреждений для крупномасштабного анализа материала отказов: многомасштабный подход
Дж. Мослер
Проффесор технической механики
Рурский университет Бохума
Universit ® atsstr. 150, D-44780 Bochum, Германия
E-Mail: mosler@tm.bi.ruhr-uni-bochum.de
URL: www.tm.bi.ruhr-uni-bochum.de/mosler
On the efficient implementation of an elastoplastic
damage model for large-scale analyses of material
failure: A multiscale approach
J. Mosler
Lehrstuhl f;r Technische Mechanik
Ruhr University Bochum
Universit;ts str. 150,D-44780 Bochum, Germany
E-Mail: mosler@tm.bi.ruhr-uni-bochum.de
URL: www.tm.bi.ruhr-uni-bochum.de/mosler


РЕЗЮМЕ
Эта статья посвящена эффективной реализации материальных моделей для анализа крупномасштабных технических задач. На основе концепции расширенных предполагаемых деформации РПД (EAS), конечный провал кинематики твердых тел, связанных с мелким масштабом, был включен в крупномасштабные феноменологически макроскопически определяющие уравнения. Для модели структурный отклик реально как пластические деформации,  так и повреждения, вызванные жесткостью деградации, принимаются во внимание. В отличие от оригинальной концепции РПД, параметры определяющие расширенные деформации рассмотрены на материальном уровне. Представлены учредительные и численные рамки, применимые к широкому спектру различных явлений локализации в том числе режим-I, режим- II и смешанный режим материала отказа. Применимость и производительность, предлагаемой разработки конечного элемента, исследованы значением повторного анализа двумерных L-формы плиты, а также  значением трехмерной конечной загрузки анализа зубчатого бетона  луча подвергнутого эксцентричной нагрузке.

1 Введение
Численный анализ крупномасштабных строительных конструкций переживает перелом процессы, такие как трещины в хрупких материалов или развитие полос сдвига в почве по-прежнему представляют собой вызов научному сообществу. Сложности, связанные с этими проблемами, результат, по крайней мере,  двух причин (см. [1]).
Во-первых, процессы разрушения часто вовлекают локализацию деформации. Это приводит к потере эллиптичности [2, 3] управляющих уравнений (в статическом случае) и, следовательно, в известной патологической зависимости сетки численно вычисленных результатов [4, 5]. В предельном случае (Характеристический диаметр конечного элемента дискретизации стремится к нулю), материал отказывает без каких-либо появлений диссипации. Таким образом, различные расширенные модели, которые преодолевают неспособности классических (местных) континуума теорий упомянутых, были предложены в последние десятилетия, см., например, Список литературы [6-11].Каждая из этих моделей использует внутренней длины параметр, связанный с специфическим материалом. Этот масштаб длины связан с шириной зоны локализации. Тем самым, ширина зоны поломки постулируется в явном виде и, следовательно, не зависит от пространственной дискретизации.
Вторая проблема, связанная с численным моделированием крупномасштабных инженерных структур, проходящие процессы разрушения результат от различных масштабов длины проанализированной структуры,  сравнив с шириной полос, показывающих локализованные деформации. В типичных приложениях, длина соответствующая мелким масштабам изменяется от связки миллиметров (например, полос сдвига, возникающих в металлах [12, 13]) до более одного километра (например, в геотехнических проблемах), тогда как характерный диаметр структуры нескольких измерений больше. Применение расширенных моделей континуума, таких как нелокальные теории, градиент- расширенный подход или COSSERAT continua для численного анализа этих проблем, достаточно точное разрешение зоны локализации, по крайней мере с двумя, тремя рядами элементов, чтобы гарантировать объективность сетки требуется. Таким образом, вычислительные затраты могут быть непосильными, даже если адаптивной методы используются.
Как результат зависимости сетки стандартных локальных моделей континуума и необходимый численный расход связанные с упомянутыми расширенной теории континуума, альтернативные методы учета для многомасштабного характера подлинной физической проблемы были предложены. Большинство из этих моделей характеризуют включением мелкомасштабной кинематики в крупномасштабную феноменологическую макроскопическую модель материала, см., например, Список литературы [14-22]. В этих работах, мелкомасштабная кинематика захватывается расширенным смещением поля или деформацией поля, соответственно. Следуя [14, 23, 24], предложенная многомасштабная модель материала  основывается на так называемом сильном подходе разрыва (СПР SDA). В этой концепции, отказ зоны представляется как поверхность разрывных смещений в рамках соответствующих конечных элементов. Более точно и в соответствии с подлинной концепцией расширенной предполагаемой деформации (РПД EAS), только (расширенные) деформации,  результат из поля смещения разрыва, появляются явно в разработке.
Расширение деформаций, связанных с перемещением скачка, связаны с их сопряженными напряжениями дополнительными составляющими уравнениями. В отличие от классической механики сплошных сред, эти уравнения характеризуются законом тяги-разделения [14] (вместо отношений напряжение-деформация). Для разработки таких законов, два разных понятия могут быть применены. В соответствии с [14, 25-27], проекция закона напряжение-деформация на поверхности материала приводит к упоминаемому интерфейс закону. Кроме того, материальные уравнения соответствующих полю разрывного перемещения можно постулировать независимо [27-31]. По аналогии с классической механикой континуума, тяги-разделения законы можно разделить на основе пластичности [24, 32, 33] и основе ущерба модели [14, 25, 34]. Недавно, закон спаренного интерфейса упругопластического анизотропного ущерба для моделирования трещин в хрупких структурах была предложена в работе [35]. В этой ссылке, аддитивный раскол тензора соответствия (по [36, 37]), вместе с  функцией урожая вида  предполагалось (;, N, M, q обозначим тензор напряжений, два единичных вектора  определяющие нормаль  N  поверхности  отказа и направление М перемещения  разрыва, и стресс-типа внутренние переменные q, соответственно).  С одной стороны,  считается   функция урожая ограничивает области применения  модели  значительно. С другой стороны, требования к памяти численной реализации в результате анизотропной эволюции повреждения  очень высоки.
В этой статье мы представляем  упругопластическую изотропную модель повреждений не ограничиваясь  каким-либо конкретным материалом. Ссылаясь на функцию урожая и эволюционные уравнения, никаких специальных предположений не должно быть сделано. То есть, в отличие от предыдущих работ, численные модели, предложенные могут быть применены для анализа широкого круга различных физических  явлений, таких как трещины в хрупких структурах или образование полос сдвига в почвах. Кроме того, модель учитывает два очень важных физических эффекта, а именно пластическую деформацию, а также жесткость деградации. Этим значением, область применения,  конечного элемента формулировки представленная,  еще более увеличилась. Предлагаемый класс основных законов интерфейса включен в  трехмерную формулировку конечного  элемента.  Предложенная  реализация, аналогично [26], ограничивает уровень материала и формально совпадает с классическим алгоритмом  возвращения- картирования [38, 39].Как следствие, рамка вычислительной пластичности может быть применена. Более точно, и  в отличие от предыдущих работ, подпрограммы предназначенные для стандартной (непрерывной) модели пластичности могут быть использованы. Лишь незначительные модификации этих подпрограмм требуется. Как следствие, расходы, связанные с численной реализацией могут быть сведены к минимуму. Кроме того, формулировка  конечного элемента показывает хорошо известные характеристики  возвращения –картирования алгоритма. То есть, алгоритм  численно  очень  надежен и эффективен.
Эта статья организована следующим образом: Раздел 2посвящен краткому обзору основных кинематических  условий на малых масштабах. Развитие материальных уравнений  управляющих разрывной части перемещения поля рассматривается в разделе 3. В разделе 4, эффективная реализация представленной многомасштабной модели материала предлагается. Применимость и  производительность  результата  разработки конечных  элементов изучается с помощью  повторного анализа двумерной L-формы плиты (п. 5,2), а также с помощью трехмерной конечной нагрузки зубчатой бетонной балки подвергнутой эксцентричной нагрузке (п. 5,1).
2 Кинематика, связанная с мелким масштабом.
В этом разделе краткое резюме кинематики, связанной с мелким масштабом, дано. Эта кинематика характеризуется  высокими локализованными деформациями в результате формирования трещин или полос сдвига, соответственно. С макроскопической точки зрения, мелких масштабов поле перемещения  может быть аппроксимировано картированиями разрывной деформации. Это отображение представлено в этом разделе. Более подробную информацию см. в [14, 24, 25, 27, 31, 35].
В дальнейшем,  является открытое ограниченное множество,  ( фиксированная) точка и  представляет С; гиперплоскость (см. рис. 1). Эта поверхность с нормальным вектором поля N предполагается

Рисунок 1:Тело разделено на две части ;- и ;+ двумерной подмногообразиякласса С1.

разделить тело ; на разобщенные подмножества ;- и ;+. Если смещения гладкие и ограниченны в ;- и ;+, разрыв картирования u  у
, (1)
хорошо определен. В уравнении (1), u+(X0) и u-(X0) обозначают предел справой стороны, и предел с левой стороны u в X0. С физической точки зрения, этот разрыв может представлять деформации индуцированные  раскрытием трещин открывающим сдвига скользящих перемещений. В дальнейшем, перемещения поля в формате
, c (2)
это принято (см. [24]). В уравнении (2), Нs: ;;{0;1} обозначает функцию Хевисайда по отношению к ;S;. Ясно, что u принадлежит пространству ограниченных деформаций, введенные в [40, 41] (см. также [31]). В соответствии с уравнением (2), мелких  масштабов поле способно захватить сильно локализованные  деформации. Это поле зависит от гладкой функцией рампы ;, которая позволяет назначать граничные условия в терминах  (см. [25]).Ссылаясь на конечный элемент метод и следующие ссылки [24, 27], ; -разработаны стандартные функции интерполяции Ni, связанные с узлом i, как 
: (3)
Здесь и далее, обозначения означает суммирование по всем узлам соответствующих локализованных конечных элементов, принадлежащий к закрытию ;+ обозначается как . То есть, ; вычисляется отдельно для каждого элемента подходящей  локализацией. Применение  обобщенной производной D к функции Хевисайда, определяется  как
DH s= N ;s (4)
выводится  в смысле распределений (см. [42]). В  уравнении(4),  ;S представляет DIRAC-delta распределение с отношением к дs ; . Из уравнения  (2) и (4)  линеаризованного  тензора деформации, полученных как
(5)
В дальнейшем, макроскопическая деформация поля    обогащается с повышенной деформацией ;S, связанной с мелким масштабом. Пренебрегая градиентом перемещения разрыва, т.е. ,  эти деформации, считающиеся
(6)
Следовательно, в результате деформации поля
;=;М + ;S (7)
будет принята.  Поскольку представленные  формулировки конечного элемента  основаны на расширенном предполагаемых деформаций РПД (EAS) концепции [43], расширения деформации поле (6) представляет  правильный выбор.
3 Конституционный закон, связанный с мелким масштабом
Развитие материальных уравнений, связанных с мелким масштабом, рассматривается в этом разделе. Как будет показано и в отличие от классической механики сплошных сред, закон материала управляющий  поведением мелких масштабов не характеризуется отношением напряжение-деформация.
3.1 Основы.
Здесь и далее, неупругие деформации индуцированные пластичностью  или  материальный ущерб предполагаются быть ограниченными дs; , в то время как остальные части тела ;/дs; выгружает упруго [24]. Как следствие, напряжения ; в  вычисляются по закону HOOKE Гука, то есть ;= C: ;.
Далее, определяющие уравнения соответствующих точек  разработаны. Согласно расширению принципа виртуальной работы в  областях выставки особых поверхностей дS; тяги вектор t:=; N, действующий на дS;, сопряжен с перемещением скачка || u|| (см.[24, 27]).  Таким образом, материальный закон типа
tS = tS (||u||); с tS: = t| дS;  (8)
представляет допустимый выбор (см. [24,35]).Предполагая тяги  непрерывность через дS;,т.е.
         . (9)
Уравнение (8) дает [27, 31]
         . : (10)
В дальнейшем, тяги-разделения закон, т. е. , является производным от сингулярно распределенного сохраненного функционала энергии ; (см., например, [16, 25, 27, 31]). Как и в [16, 24, 25, 27,35], аддитивная раскол запасенной энергии в регулярно распределенной части и сингулярной части ;in ведущие к
;= ;reg+ ;in (11)
предполагается. Постулируя ;;;;;;;;||u||, чтобы быть связанным только с неупругой деформацией, ;in определяется ;in = ;in (;(|| u||)) в терминах типа перемещения внутренняя переменная  зависимости от смещения разрыва. Аналогично стандартной пластичности [38],  пространство допустимых напряжений
  (12)
определено с помощью выхода (недостаточности) функции ;(t, q), которая зависит от вектора тяги t и вектор напряжений типа закалки / смягчение параметров q= q (;) сопряжены к ;. Обратите внимание, что Определение (12) включает  изотропное упрочнение /размягчение, а также кинематическую счётную часть (см. [27, 31]). Например, текучести и ;:=R3 ;R+ ;R
(t,q);||t||-q, (13)
представляет возможный выбор. В Уравнении (13), );||·||:R3 ;R+  записана норма, т.е. EUCLIDEAN норма.
Материальное право описывается эволюционными уравнениями, связанными с неупругими деформациями, т.е. [[u]] и внутренними перемещениями типа переменных ;. Введение двух потенциалов g (t, q), h (t, q), темпы [[u]] и ; постулируются как
и с . (14)
Здесь и далее, наложенная  точка используется для обозначения производной по времени. Аналогично стандартной  пластичности, пластиковые множитель вычисляется из условия согласования . Для специального выбора и g = ; и h= ;, ассоциативные эволюционные уравнения получены. В этом случае, ставки (14) выводятся из принципа максимальной диссипации (см. [27, 31]).
До сих пор только нагрузки, т.е. ;> 0, был рассмотрен. Теперь, ненагруженное поведение образца специфицировано. Согласно [44], аддитивное разложение неупругих деформаций в пластичности и повреждения- индуцированных эффектах предполагается. Принятие этой идеи в предлагаемой модели, скорость перемещения скачка постулируется как
. (15)
Следуя [44], скалярного параметра связи   вводится через , . (16)
Как следует из уравнений (16), для   пластичности модель получается, то есть ,в то время как  связан с повреждения теорией, т.е. . Вставка уравнений (16) в уравнение (6) приводит к
,(17)
с
и (18)
Как было показано, предположения (15) и (16) дает единственное разложение неупругих деформаций в пластичности и повреждений- индуцированные эффекты. Однако, в отличие от пластичности, повреждения эволюция приводит к изменению упругого поведения соответствующего материала. Следовательно, связь , относительно , для 4-го порядка конституционного тензора C  требуется. Следовательно [44], соблюдения тензор D: = C-1 связан с неупругими деформациями с помощью
 (19)
В работе [44], уравнение (19), было получено из функционала свободной энергии
(20)
с использованием принципа максимальной диссипации, вместе с выходом функции типа , (21)
где С, ;e, ;, ;eq и ;f представляют упругой жесткости тензор, связанный с поврежденным материалом, упругие деформации, внутренние напряжения типа переменной сопряженной со стрессом типа переменной q, однородная функция первой степени определяет выход (отказ) поверхности и неудачи сил из неповрежденного материала, соответственно. Хотя предложенный закон тяги- разделения не ограничивается принципом максимальной диссипации, в результате чего не обязательно в ассоциативного потока правиле (и эволюционных уравнениях), уравнение (19) постулируется. Однако, в отличие от [44], повреждение эволюции считается изотропным, т. е.
 (22)
где ; обозначает так называемую преемственность и D0 представляет начальный тензор соблюдения. Вставка уравнения (22) и (18) 2 в уравнение (19) дает
 (23)
В уравнении (23), эквивалентность ,  вытекающая из свойств симметрии C0 была использована. Поскольку идентичность  выполняется в результате , уравнение (23) можно переписать в виде
  (24)
Кроме того, эволюционное уравнение (23) можно интерпретировать как проекцию анизотропного четвертого порядка тензора соответствия обозначаемого как Daniso на упругий учредительный тензор связанные с девственным материалом, т.е.
 (25)
Для специального выбора , вместе с ассоциативными эволюционными уравнениями, анизотропного повреждения тензор Daniso был получен в [35]. В ссылке цитируется, m обозначает вектор определяющий направление скорости перемещения скачка. Для анализа трещин в хрупких структур, m совпадает с направлением максимального напряжения принципа.
3.2 Диссипация предсказанная моделью
В которой следует, показано,  что предлагаемая модель упругопластического ущерба дает положительные диссипации. Так как для чисто пластиковых моделей, доказательство содержится в [14, 25], внимание ограничено ;=1.0, т.е. чисто индуцированная повреждениями диссипация. Таким образом, мы хотим показать, что ;-1 представляет  монотонно возрастающую функцию (по времени), т.е. . Ясно, что можно разработать эволюционные уравнения, которые нарушают второй закон термодинамики, ведущий к . Как следствие, разумные предположения, управляющие эволюционных уравнениями, должны быть сделаны. Здесь мы допускаем, ассоциативных эволюционных уравнений, т.е.  и . Это должно быть отмечено, что m может быть зависимой от времени. Установка этих предположениях в уравнение (24) и настройка ; =1,0, скорость ;-1 вычисляется как
(26)
Второе предположение, нами сделанное, то, что знаменатель уравнения (26) положителен, т. е. . Это неравенство полностью верно для широкого круга различных моделей. Например, урожай функции типа
, с (27)
приводит к  (для загрузки, т.е. ;= 0).Применяя это неравенство, а также с ;;0, в уравнение (26), получим тождество  (28)
Ясно, что для  специального случая , неравенство (28)2 представляет условие сильной эллиптичности, которое выполнимо к закону Гука HOOKE`s [2, 3]. Кроме того, для моделей типа Ренкина RANKINE характеризуется N = m, то это неравенство было доказано в [45] (см. [45], раздел 5). Тем не менее, даже в самом общем случае неравенство (28) 2 сохраняется. Доказательство содержится в Приложении А. Как следствие, модель предсказывает положительную диссипацию.
4 Численная реализация.
Этот раздел содержит численную реализацию модели конституции, предложенной в разделе 3. Алгоритмические разработки ограничиваются уровнем материальной точки (см. [26, 27, 35, 46, 47]). В отличие от предыдущих работ [26, 27, 35, 47], наиболее главная рамка работы представлена. Ссылаясь на  функцию урожая ; и эволюционные уравнения, никаких специальных предположений не должно быть сделано. Следуя алгоритмической формулировки, предложенной в работе [26], локализация поверхности дs; может вращаться. Тем самым, замка явление уменьшится [26]. Без применения вращающейся разработки, пересекающиеся трещины должны быть приняты во внимание (см., например, [31]). Численные методы на основе одной фиксированной трещины не могут моделировать различие между первичными и вторичными трещинами (см. [26]).
4.1 Алгоритм обновления стресса.
Ссылаясь на численную реализацию материальных уравнений, обновление напряжений и смягчение переменных q представляет главную часть этого раздела. В соответствии с уравнениями (6), (7) и (18), вместе с предположенной изотропной деградацией повреждений, напряжений и внутренних переменных q в момент времени tn +1 получаются как
;
.(29)
После стандартные соглашений, суда состояние вводится через

 (30)
Это состояние характеризуется чисто упругими деформациями (; = 0, например, ). С уравнениями (30), дискретное условие загрузки задается как
: (31)
Предлагается реализация основана на так называемом алгоритме возврата картографии. Следовательно, эволюционные уравнения интегрированы с использованием обратной EULER интеграции. Применяя эти схемы интеграции к разрыву перемещения и к эволюции внутренних переменных _ (см. уравнения (14)), приводит к
 
.(32)
Таким образом, эволюция регулярно распределенной части расширенных деформаций (см. уравнение (6)) приводит  в
. (33)
Здесь и далее обозначения  и   использованы. Объединяя уравнения (30) 1 и (33) и применяя тождество D:C=I (более точно, численно интегрированную форму скорости этого уравнения), уравнение (29)1 -переписанное в виде
 . (34)
Так как уравнение (34) формально совпадает с уравнением (45) в [31], возвращения-картографии алгоритм как это предлагается в [31] может быть применен к представленной многомасштабной модели без каких-либо модификаций. Для этой цели, остатки
 (35)
являются определенными и если загрузка сигнализирует , корень множества нелинейных уравнений
(36)
вычисляется значениями метода Ньютона NEWTON. Для дальнейших деталей обратитесь в [31, 35] (см. также [38, 39]). Алгоритмический касательный тензор, т.е.
, (37)
выводится аналогично образцу приведенному в [31, 35].
На основании решения о возвращении картографии алгоритма, приращение ущерба эволюции, т.е.  (см. уравнение (25)), вычисляется как
. (38)
Обновление конституционного тензора С следует из
. (39)
Замечание 1: В соответствии с [26, 27, 35], для непостоянных функций , среднее значение, то есть
, (40)
используется. В уравнении (40), Vе обозначает объем соответствующего конечного элемента.
4.2 Формулировка конечного элемента
Формулировка конечного элемента основана на слабой форме равновесия. С  , обозначающей непрерывную тест- функцию, f тела силами и t* предписанными векторами тяги, действующими на границе NEUMANN Нойманна Г;, принцип виртуальной работы записывается в виде
. (41)
Пока разрывная часть перемещения поля, т.е. [[u]], моделируется в несовместимом смысле и, следовательно, ограничивается к уровню элемента, т.е. уровню материальной точки,  представляет только глобальные перемещения поля. Принятие GALERKIN Галеркина-типа приближения непрерывных перемещений, поля  и  предполагаются как
 (42)
В соответствии с уравнением (3), Ni обозначает стандартную функцию интерполяции, связанной с узлом i. Решение, связанное с нелинейной задачей, описанной уравнением (41), вычисляется эффективно методом Ньютона NEWTON. Следовательно, линеаризация уравнения (41), требуется. Применяя уравнение (37), это линеаризация результирует в
 (43)
В уравнении (43), ,  и  представляют дополнительные узловые перемещения, приращение тела сил f и приращение, предписанное граничными условиями Нойманна, соответственно. Отметим, что уравнения (41) - (43) формально идентичны стандартной модели континуума (См. [38, 39]).
5 Численные примеры
Применимость и эффективность, предлагаемой численной реализации, исследуется значениями трехмерных конечных загруженных анализов  зубчатой бетонной балки (п. 5,1), а также значениями повторного анализа двумерной L-формы плиты (п. 5,2). Для прогноза моды-I разрушения хрупких материалов, функция RANKINE Ранкина урожая, характеризующаяся  функцией отказа формата , принимается. Применяя вращающуюся формулировку [26, 35], вектор N совпадает с направлением максимального стресса принципа.
5,1 Зубчатая бетонная балка
Этот подраздел содержит численный анализ зубчатой бетонной балки с использованием предлагаемой трехмерной формулировки конечного элемента. Геометрии, нагрузка и граничные условия балки и материальные параметры содержатся в рисунке 2. Размеры, а также материальные параметры выбраны в соответствии с [44]. Для моделирования стали
Рисунок 2: Численное исследование зубчатой бетонной балки: Размеры (в [см]) и материальные параметры; толщина балки T = 12:07 см.
Рисунок 3: Численное исследование зубчатой бетонной балки: трехмерная дискретизации значениями 6792 трехлинейных элементов кирпича.

загрузка валиком, закон Гука принимается (E = 2.1;104 кН/см2, ;= 0,3). Контакт без трения предполагается, между валиком стали и бетоном. Размягчения поведение регулируется гиперболическим законом
, с , (44)
где Gf обозначает специфическую энергию разрушения бетона в напряжении и ftu - одноосная прочность бетона.  Дискретизация конечного элемента с помощью 6792 трехлинейного кирпича элементов показана на рисунке 3. Сходимость проверяется в соответствии с относительным максимумом нормы остатков с допуском значение tol= 10-8.
В отличие от литературы [26, 44], нагрузка на верхнюю часть балки была применена постепенно увеличивая узловые перемещения вдоль только одного внешнего края загрузки валиком. Этим, балка подвергается изгибу, но также кручению. Следовательно, предельная нагрузка должна быть меньше, чем его счётная часть  вычисленная в [26, 44]. Кроме того, стрессовые состояния в результате крутильных нагрузок полностью трехмерны. Таким образом, численный анализ не может быть уменьшен, ни к плоской деформации, ни к условиям плоскости стресса.
Рисунок 4 содержит нагрузки-перемещения диаграмму, полученную из предлагаемых упругопластических изотропной модели повреждений (известная как «изотропная» модель). Кроме того, результаты, основанные на анизотропной упругопластической модели повреждений (именуемые «анизотропные») опубликованы в [35], показаны на рисунке. Обе модели приводят к почти одинаковым результатам. Тем не менее, вычислительные затраты, ассоциированные с изотропной моделью повреждений, сравнены с  соответствующими анизотропными  счетными частьями.
 кручение анизотропный изотропный Смещение U [см] Группа F[кН]
Рисунок 4: Численное исследование зубчатой бетонной балка: нагрузка-перемещение диаграммы получены из предлагаемых упругопластической изотропной модели повреждений и упругопластической анизотропной модели повреждения, предложенной в [35].

Для лучшей интерпретации результатов расчета, анализы повторяются с равномерно распределенной поверхностной нагрузкой, действующей на загруженный валик. Следовательно, крутильные эффекты исключаются. Соответствующие диаграммы нагрузка-смещение (именуемые как «без кручения») иллюстрируются на рисунке 4. Как и ожидалось, структурных ответ, связанный с этой нагрузкой случай становится жестче. Однако, предельные нагрузки, соответствующие к обоим  различным нагрузка почти идентичны. Причина этого удивительного результата будет дано в следующем параграфе.
Рисунок 5 содержит распределение внутренней переменной , представляющий эквивалентную ширину трещины на секущей плоскости по оси симметрии балки для различных этапов нагрузки. Согласно  рисунку 5, предлагаемая упругопластическая изотропная модель повреждений прогнозирует трещины

Рисунок 5: Численное исследование зубчатой бетонной балки: Распределение внутренней переменной, представляющей ширину трещины,  полученной из предлагаемой упругопластической изотропной модели повреждений.

начало в пазе на противоположной стороне, где нагрузка края была применена. В отличие от численного анализа зубчатая балка приведена в [44, 45], предписанная края нагрузка приводит к крутящим моментам и, следовательно, в несимметричном распределении внутренней переменной ; (См. состояние u = 0,0084 см и u = 0,0114 см). Однако, на более поздней стадии деформации (u = 0,0144 см), влияние кручения становится слабее. Финальный механизм отказа (u = 0,0279 см) характеризуется почти симметричным распределением внутренней переменной и практически идентичен тому, что соответствует нагрузки случаю равномерно распределенной поверхностной нагрузки, действующей на загруженный валик как проанализировано в [44, 45]. Таким образом, предельные нагрузки, связанные с обоими случаями нагрузки, отличаются лишь незначительно.

Рисунок 6 содержит распределение внутренней переменной  , полученной из упругопластической анизотропной модели повреждений [35] на секущей плоскости по оси симметрии балки для различных этапов нагрузки. Из сравнения рисунка 6 и рисунка 5 сделан вывод, что обе формулировки конечного элемента приводят к почти одинаковым результатам. Как разумная, предлагаемая упругопластическая изотропная модель повреждений сильно снижает вычислительные затраты при незначительной потере точности.
5.2 L-формы плиты
Этот подпункт посвящен повторному анализу L-формы плиты [27, 35, 48]. Геометрия и материальные параметры задачи показаны на рисунке 7. В соответствии с уравнением (44), гиперболическая эволюция размягчения предполагается. Перемещения контролируемый анализ проводится с помощью 6 различных дискретизаций (см. рисунок 8).Сетка I, II, III, IV, V и сетка VI содержит 48, 114, 261, 642, 1779 и 5580 билинейных элементов плоскости стресса, соответственно. Загрузка применяется  назначенными вертикальными перемещениями во всех узлах вдоль правого края плиты. Конвергенция проверяется в соответствии с критерием
 (45)

Рисунок 6: Численное исследование зубчатой бетонной балки: Распределение внутренней переменной ;, представляющей ширины трещины, полученной из упругопластического анизотропного режима ущерба, предложенного в [35].

основанном на максимальной норме , где ri (re)  вектор внутренних (внешних) сил. Для численного анализа L-формы плиты, толерантность имеет значение tol = 10-8.
Рисунок 9 показывает нагрузки-перемещения диаграмму, полученную из представленных упругопластических изотропной модели повреждений для каждого из 6 различных дискретизации. В режиме пост-пик, две разгрузки и перегрузки циклы были включены. Вычисленные диаграммы иллюстрируют возможности модели для захвата разрушения вызванной деградацией жесткости, а также присущие деформации после инициирования трещины. В соответствии с рисунком 9, все дискретизации предсказывают почти идентичный структурный ответ.
Накопление повреждений, характеризуемые внутренней  переменной ;, показано на рисунке 10. Это относится к финальному состоянию процесса загрузки. Хотя дискретизации сетки I-III предсказывают прямой локализации поверхность, слегка изогнутая полоса трещины наблюдается для конечного элемента сеток IV-VI. Красавица дискретизация, более выраженный- этот эффект.
Для сравнения, повторный анализ L-формы плиты на основе упругопластической анизотропной модели повреждений, как предложено в [35], выполняется. Неизменные параметры материала так же как размеры структуры приведены на рисунке 7. Рисунок 11 иллюстрирует вычисленную нагрузка-смещение диаграмму для 6 различных дискретизаций (см. рисунок 8). Сравнением между рисунком 11 и рисунком 9 делается вывод, что численные результаты, полученные из анизотропной модели повреждений зависят от пространственной дискретизации более решительно, чем их счетные части, вычисляемые из изотропной формулировки.
Распределение внутренней переменной ;, представляющей эквивалентную ширину трещины, как предсказано из анизотропной упругопластической модели повреждений, показано на рисунке 12. Аналогично рисунку 10, прямая линия трещины получается из анализа на основе сетки I до сетки III. С увеличением числа конечных элементов (сетка IV -сетка VI), форма локализации поверхности отклоняется от (прямой) линии. В соответствии с изотропной моделью повреждений (см. рис 10), кривизна зоны поломки зависит пропорционально от решения пространственной дискретизации (см. рисунок 12).
Хотя пути трещины, вычисляемые из обоих моделей, почти идентичны (сравни рисунок 12 с рисунком 10), соответствующие диаграммы нагрузка-смещение отличаются. В отличие от изотропной модели повреждений, анизотропная счётная часть показывает зависимость предельной нагрузки



Рисунок 7: 2D-конечного элемента анализы  L-формы плиты: Геометрия (размеры в [м]) и материальные параметры (толщина плиты = 0,1 м)

от пространственной дискретизации. Однако, тот же эффект наблюдается также, если накоплением повреждений пренебречь, т.е. ; = 0. Это было отмечено в [27, 49] (см. также [48]). Причина для этого - что L-формы плита характеризуется сильным влиянием топологии поверхности трещины на структурный ответ (т.е. нагрузка-смещение диаграммы) [27, 48]. Эта зависимость отражена на рисунке 12 и рисунке 11, соответственно. Как следствие, вопрос возникает, почему численно вычислить нагрузки- перемещения диаграммы, связанные с изотропной моделью повреждений, - близко инвариант по отношению к рассматриваемой сетке конечного элемента.
Для того, чтобы быть в состоянии дать ответ на этот вопрос, нагрузка-смещение диаграммы (рис. 9), а  также  распределения внутренней переменной ; (рис. 10),  полученные от новой модели повторно проанализированы. Ограниченная деградация повреждения к изотропии, влияние ориентации трещин становятся менее значимы. Более точно, если трещина открылась, полученный смягчения эффект не зависит от его соответствующего направления. Следовательно, и в отличие от анизотропной теории ущерба, наиболее важный параметр топологии трещины, влияющий на структурный ответ, - длина трещины. В соответствии с рисунком 10, эта длина, сокращенно lcr, связанные с различной пространственной дискретизацией почти одинакова для каждой из сеток конечного элемента (сетка I: lcr;0,250 м, сетка VI: lcr;0,253 м). Ясно, что численный анализ основан на параметре связи ;= 0,4, а не на чисто повреждения индуцированной жесткости деградации (; = 1,0). Следовательно, это должно быть показано, что численно вычислить результаты, полученные от связанной упругопластической модели повреждений настройки ; = 0,4 , практически идентичны к тем из чистой теории повреждения. Для этой цели,  повторного анализа настройка ; = 1,0 выполняется. На рисунке 13 хорошее согласие между связанной (; = 0,4) и чистой моделью повреждений (; = 1,0) можно наблюдать. Небольшие различия между, структурный ответ вычисленный, - результат из факта, что ; слегка влияет на форму диаграммы нагрузка-перемещение, см. Замечание 2. Однако, энергия разрушения не зависит от ;, ср. [35, 44].
Замечание 2: ;=0,4 не означает, что 40% неупругих деформаций соответствуют пластичным деформациям и 60% к повреждению, вызванным деформациям. Согласно [44], экспоненциальная эволюции размягчения Q (_) приводит к экспоненциальной зависимости напряженно-деформированного отношения для ; = 0. Однако, для ; = 1,0 линейный закон напряжения-деформации получается. Следовательно, влияние ; из разложения неупругих деформаций носит нелинейный характер.

Рисунок 8: 2D анализ конечного элемента Г-образной плиты: конечного элемента дискретизации содержащие 48, 114, 261, 642, 1779 и 5580 билинейных элементов плоскости стресса.

6 Заключение
Многомасштабная формулировка конечных элементов подходящая для анализа крупномасштабных инженерных сооружений была представлена в этой статье. Предлагаемый закон тяги-разделения, правящий неупругого материала откликом, основан на упругопластической изотропной модели повреждений. В отличие от предыдущих работ, предложил рамках охватывает широкий круг приложений, включая режим- I, режим- II и смешанном режиме материала провал. Ссылаясь на урожая функции и эволюции уравнения, никаких специальных предположений не должно быть сделано. Разработанный интерфейса закон был включен в течение 4-узлов плоского элемента стресса и 8-узлов кирпича элемента.
На основании недавно предложена алгоритмическая основа [26, 27, 35, 45], интеграции конституционных уравнений результатов в формат, пригодный для применения стандартного обратного- картографии алгоритма [38]. Только незначительные модификации теперь  классическими процедурами материала, разработанные для стандартных моделей пластичности, требуются.
Применимость и эффективность предлагаемой формулировки  конечного элемента исследуется значениями трехмерного конечного анализа нагрузки зубчатой бетонной балки подвергнутой эксцентричной нагрузке, а также значениями повторного анализа двумерной L -формы плиты. Надежность предлагаемой реализации конечного элемента  описана путем анализа зубчатой бетонной балки. Сравнением расчётных результатов с теми, полученными из упругопластической анизотропной модели повреждений, делается вывод, что новая конечного элемента формулировка уменьшает вычислительные затраты сильно с незначительной потерей точности. Анализ L-формы плиты указанной на разницу между изотропной и анизотропной

Рисунок 9: 2D конечного элемента анализ  из L-формы плиты: Диаграмма нагрузки- перемещения получена из предлагаемой упругопластической изотропной модели повреждения для 6 различных дискретизаций (см. рис 8); материальные параметры в соответствии с рисунком 7.

деградацией жесткости.
Благодарность. Эта работа была завершена под финансовой поддержкой Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) через проект A4 под руководством профессора O .T. Брунс в рамках Совместного Научно-исследовательского центра 398. Автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность за эту поддержку. Кроме того, Автор хотел бы поблагодарить проф O.T. Брунс за полезные комментарии.

А Доказательство неравенства (28)
В этом пункте мы приведем доказательство
 (46)
в самом общем случае. Согласно неравенству (46)2, переменные, входящие в это доказательство, - три вектора N, m и . Для этих трех векторов некоторые физические ограничения должны быть засчитаны.  Во-первых, мы знаем, что . Это неравенство следует из физических интерпретаций этого скалярного произведения, как численный масштаб длины (см. [45, 50]). Во-вторых, неравенство  должен быть выполнено. Это ограничение эквивалентно местному непроницаемости состоянию механики сплошных сред. Кроме того, без потери общности, мы устанавливаем N = e1, т.е. N равно первому основному вектору CARTESIAN декартовой системе координат определённых триадой (e1, e2, e3). Поскольку неравенство (46)2 линейно в , мы имеем право положить , как единичный вектор, т. е.  (2-сфера). Кроме того, неравенство (46)2 представляет собой гладкое отображение (c отношением к m и , соответственно компонент). Соединяя эту гладкость с тем фактом, что множество всех допустимых векторов m,  компактно, мы знаем, что отображение (46)2 достигает своего минимума на этом множестве.

Рисунок 10: 2D конечного элемента анализ L-образной плиты: Распределение внутренней переменной ; получается из предлагаемой упругопластической изотропной модели повреждения для 6 различных дискретизаций (См. рисунок 8); материальных параметров в соответствии с рисунком 7.

Поскольку доказательство становится длительно в 3D, внимание ограничивается плоского стресса условиями. Тем не менее, доказательство в 3D следует одинаковым линиям.  Сперва, выведем условие экстремума необходимое для локального минимума. С
  (47)
мы получим
 (48)
В уравнении (47), Isym означает симметричный четвертого одера (порядка) (fourth-oder) единичный тензор характеризуется Isym: А= Asym для всех второго порядка тензоров А. Вставка N = e1 (т.е. NT = [1;0]) в уравнение  (48), вместе с описанием неизвестных векторов m и  в условиях полярных координат, т.е.
, и  , (49)
с ,  (альтернативно, в 3D сферически скоординированных должны быть использованы), первое условие экстремума читает
 (50)
Следовательно, ограничение  должно выполняться. Вычисление второго условия экстремума, а с , дает
 (51)
Рисунок 11: 2D- конечного элемента анализ   L-формы плиты: Диаграмма нагрузки перемещения полученой из упругопластического анизотропной модели повреждений [35] для 6 различных дискретизации (см. Рисунок 8); материал в соответствии с рисунком 7.

Следовательно, решение  представляет возможно только экстремум в интерьере множества [-90;; 90;] ; [-90;; 90;]. Однако, можно легко показать,  что эта точка связана с максимумом. Таким образом, минимум достигается на границе множества [-90;; 90;] ; [-90;; 90;]. Ищете минимум отображения  f на границе [-90;; 90;] ; [-90;; 90;] аналогичным образом, глобальный минимум рассчитывается как мин
 , c  (52)
Это завершает доказательство. Как упоминалось ранее, такая же процедура может быть применена к доказательству неравенства (46) в 3D.

Список литературы

[1] T. Belytschko, J. Fish, and B.E. Engelmann. A finite element with embedded localization zones. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 70:59-89, 1988.
[2] J. Hadamard. Lec;ons sur la Propagation des Ondes. Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, Paris, 1903.
[3] J.E. Marsden and T.J.R. Hughes. Mathematical foundation of elasticity. Dover, New York, 1994.
[4] R. De Borst. Non-linear analysis of frictional materials. PhD thesis, Technical University Delft, 1986.
[5] R. De Borst. Some recent issues in computational mechanics. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 52:63-95, 2001.

Рисунок 12: 2D конечного элемента анализ L-формы плиты: Распределение внутренней переменной ; полученной из упругопластической модели повреждения для 6 различных дискретизаций (см. рисунок 8) ; материал согласно рисунку 7.

[6] G. Pijaudier-Cabot and Z.P. Ba_zant. Nonlocal damage theory. Journal of Engineering echanics (ASCE), 113:1512-533, 1987.
[7] Z.P. Ba;ant and G. Pijaudier-Cabot. Nonlocal damage, localization, instability and convergence. Journal of Applied Mechanics, 55:287-293, 1988.
[8] H.B. M;hlhaus and E.C. Aifantis. A variational principle for gradient plasticity. International Journal for Solids and Structures, 28:845-857, 1991.
[9] R. De Borst and H.B.M;hlhaus. Gradient-dependent plasticity: Formulation and algorithmic aspects. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 35:521-539, 1992.
[10] R. De Borst. Simulation of strain localization: A reappraisal of the cosserat continuum. Engineering Computations, 8:317-332, 1991.
[11] P. Steinmann and K.J. Willam. Localization within the framework of micropolar elastoplasticity. In V. Mannl, J. Najar, and O. Br;ller, editors, Advances in continuum mechanics, pages 296-313. Springer, Berlin-Heidelberg, 1991.
[12] Y.W. Chang and R.J. Asaro. An experimental study of shear localization in aluminiumcopper single crystals. Acta Metallurgica and Materials, 29:241-257, 1981.
[13] T.B. Cox and J.R. Low Jr. An investigation of the plastic fracture of AISI 4340 and 18 Nickel-200 grade maraging steels. Metallurgical and Materials Transactions, 5:1457-1470, 1974.
[14] J. Simo, J. Oliver, and F. Armero. An analysis of strong discontinuities induced by strain softening in rate-independent inelastic solids. Computational Mechanics, 12:277-296, 1993.

Рисунок  13: 2D конечного элемента анализ L-формы плиты: Сравнение нагрузки –смещения диаграммы полученной из предлагаемой упругопластической модели повреждения  основанной на сетке VI:
;=0.4 против ;=1.0 (чисто теории повреждения)

 [15] K. Garikipati and T.J.R. Hughes. A study of strain localization in a multiple scale framework -the one-dimensional problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 159(3-4):193-222, 1998.
[16] F. Armero. Large-scale modeling of localized dissipative mechanisms in a local continuum: applications to the numerical simulation of strain localization in rate-dependent inelastic solids. Mechanics of Cohesive-Frictional Materials, 4:101-131, 1999.
[17] R.I. Borja. Finite element simulation of strain localization with large deformation: capturing strong discontinuity using a Petrov-Galerkin multiscale formulation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191:2949;2978, 2002.
[18] N. Moёs, J. Dolbow, and T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46:131-150, 1999.
[19] K. Garikipati. Variational multiscale methods to embed the macromechanical continuum formulation with fine-scale strain gradient theories. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 57:1283-1298, 2003.
[20] M. Ortiz and E.A. Repetto. Nonconvex energy minimisation and dislocation in ductile single crystals. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 47:397-462, 1999.
[21] C. Carstensen, K. Hackl, and A. Mielke. Non-convex potentials and microstructures in finite-strain plasticity. Proceedings of the Royal Society of Lond, Series A, 458:299-317, 2002.
[22] C. Miehe and M. Lambrecht. Analysis of microstructures development in shearbands by energy relaxation of incremental stress potentials: Large-strain theory for standard dissipative solids. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 58:1-41, 2003.
[23] J. Oliver and J. Simo. Modelling strong discontinuities in solid mechanics by means of strain softening constitutive equations. In H. Mang, N. Bi;ani;, and R. de Borst, editors, Computational Modelling of concrete structures, pages 363-372. Pineridge press, 1994.
[24] J. Simo and J. Oliver. A new approach to the analysis and simulation of strain softening in solids. In Z.P. Ba;ant, Z. Bittnar, M. Jir;sek, and J. Mazars, editors, Fracture and Damage in Quasibrittle Structures, pages 25-39. E. &F.N. Spon, London, 1994.
[25] J. Oliver. Modelling strong discontinuities in solid mechanics via strain softening constitutive equations part 1: Fundamentals. part 2: Numerical simulations. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 39:3575-3623, 1996.
[26] J. Mosler and G. Meschke. 3D modeling of strong discontinuities in elastoplastic solids: Fixed and rotating localization formulations. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 57:1553-1576, 2003.
[27] J. Mosler. Finite Elemente mit sprungstetigen Abbildungen des Verschiebungsfeldes f ;r numerische Analysen lokalisierter Versagenszust;nde in Tragwerken. PhD thesis, Ruhr Universit;t Bochum, 2002.
[28] M. Klisinski, K. Runesson, and S. Sture. Finite element with inner softening band. Journal of Engineering Mechanics (ASCE), 117(3):575-587, 1991.
[29] T. Olofsson, M. Klisinski, and P. Nedar. Inner softening bands: A new approach to localization in finite elements. In H. Mang, N. Bi;ani;, and R. de Borst, editors, Computational Modelling of Concrete Struct., pages 373-382. Pineridge press, 1994.
[30] U. Ohlsson and T. Olofsson. Mixed-mode fracture and anchor bolts in concrete: Analysis with inner softening bands. Journal of Engineering Mechanics (ASCE), 123:1027-1033,
1997.
[31] J. Mosler. On the modeling of highly localized deformations induced by material failure: The strong discontinuity approach. Archives of Computational Methods in Engineering, 2004. submitted.
[32] F. Armero and K. Garikipati. An analysis of strong discontinuities in multiplicative finite strain plasticity and their relation with the numerical simulation of strain localization in solids. International Journal for Solids and Structures, 33:2863-2885, 1996.
[33] A.R. Regueiro and R.I. Borja. A finite element method of localized deformation in frictional materials taking a strong discontinuity approach. Finite Elements in Analysis and Design, 33:283-315, 1999.
[34] F. Armero. Localized anisotropic damage of brittle materials. In D.R.J. Owen, E. O;nate, and E. Hinton, editors, Computational Plasticity, volume 1, pages 635-640, 1997.
[35] J. Mosler and O.T. Bruhns. A 3D anisotropic elastoplastic-damage model using discontinuous displacement fields. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 60:923-948, 2003.
[36] M. Ortiz. A constitutive theory for the inelastic behavior of concrete. Mechanics of Materials, 4:67-93, 1985.
[37] S. Govindjee, G.J. Kay, and J.C. Simo. Anisotropic modeling and numerical simulation of brittle damage in concrete. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38, 1995.
[38] J. Simo and T.J.R. Hughes. Computational inelasticity. Springer, New York, 1998.
[39] J.C. Simo. Numerical analysis of classical plasticity. In P.G. Ciarlet and J.J. Lions, editors, Handbook for numerical analysis, volume IV. Elsevier, Amsterdam, 1998.
[40] H. Matthies, G. Strang, and E. Christiansen. The saddle point of a differential program. In Glowinski, Robin, and Zienkiewicz, editors, Energy methods in finite element analysis, pages 309-318. J. Wiley and sons: London, 1979.
[41] R. Teman and G. Strang. Functions of bounded deformations. Archive for Rational Mechanics ans Analysis, 75:7-21, 1980.
[42] I. Stakgold. Green's functions and boundary value problems. Wiley, 1998.
[43] J.C. Simo and S. Rifai. A class mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 29:1595- 1638, 1990.
[44] G. Meschke, R. Lackner, and H.A. Mang. An anisotropic elastoplastic-damage model for plain concrete. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 42:703-727, 1998.
[45] J. Mosler and G. Meschke. Embedded cracks vs. smeared crack models: a comparison of elementwise discontinuous crack path approaches with emphasis on mesh bias. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 193:3351-3375, 2004.
[46] R.I. Borja. A finite element model for strain localization analysis of strongly discontinuous fields based on standard galerkin approximation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190:1529-1549, 2000.
[47] J. Mosler and G. Meschke. FE-modeling of displacement discontinuities in inelastic continua. Zeitschrift f;r Angewandte Mathematik und Mechanik, 81(Suppl. 4):875-876, 2001.
[48] B. Winkler. Traglastuntersuchungen von unbewehrten und bewehrten Betonstrukturen auf der Grundlage eines objektiven Werkstoffgesetzes f ®ur Beton. PhD thesis, Universit;t Insbruck, 2001.
[49] J. Mosler and G. Meschke. Analysis of mode I failure in brittle materials using the strong discontinuity approach with higher order elements. In 2. European Congress on Computational Mechanics, 2001.
[50] J. Oliver. A consistent characteristic length for smeared cracking models. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 28:461-474, 1989.