Замечания лекции
в Вычислительной Науке
и Технике
Монтажеры
Тимоти Дж. Барт
Михаил Грибель
Давид Э. Кейс
Ристо М. Ниминен
Дирк Руз
Тэмэр Шлик
66
ЭЙ-БИ-СИ
•
Монтажеры
Бьорн Энгкист Пер Лётстедт • Олоф Рунборг
Моделирование мультимасштаба
и Симуляции в Науке
С 109 иллюстрациями и 4 Таблицами
заинтересованный, специально права на перевод, переиздание, повторное использование иллюстраций, декламации, широковещательной передачи, воспроизведение на микрофильме или любым другим способом, и хранением в банках данных. Дублирование этой публикации или партии этого разрешены только под съестными припасами немецкого Закона об авторском праве от 9 сентября, 1965, в его текущей версии, и разрешении для использования должно всегда получаться от Спрингер. Нарушения Использование общих описательных имен, зарегистрированных имен, торговых марок, и т.д. в этой публикации не подразумевает, даже в отсутствие определенного проведения темы, что такие имена освобождены от соответствующих защитных законов и инструкций и поэтому бесплатный для общего использования.
Напечатанный на бескислотной статье
9 8 7 6 5 4 3 2 1
©
Бьорн Энгкист Лётстедт
Университет Упсалы
Швеция
perl@it.uu.se
engquist@math.utexas.edu
США
ISBN 978-3-540-88856-7 е ISBN 978-3-540-88857-4
2009 Спрингер-Верлэг Берлин Гейдельберг
ответственный за судебное преследование в соответствии с немецким Законом об авторском праве.
Замечания лекции в Вычислительной Науке и Техническом ISSN 1439-7358
Эта работа субъект для копирования. Все права зарезервированы, являются ли целое или партия материала
Контрольное число Библиотеки Конгресса: 2008939216
Классификация Субъекта математики(2000): 65-01, 65P99, 35B27, 65R20, 70-08, 42C40, 76S05, 76T20
Отдел Отдела Математики Информационной технологии
751 05 Упсала
Остин, Техас 78712-0257
springer.com
Проект крышки: deblik, Берлин
Университет Техаса в Остине
1 университетская Станция C1200
Королевский Технологический институт
Швеция
Олоф Рунборг
100 44 Стокгольма
Отдел Числового Анализа
olofr@nada.kth.se
и Информатика
Предисловие
Большинство проблем в науке вовлекает много масштабов во времени и пространстве. Пример турбулентное течение, куда важные крупномасштабные количества подъема и перетаскивают крыла зависимость от поведения маленьких вихрей в пограничном слое. Другой пример химические реакции с сосредоточениями разновидностей, изменяющихся за секунды и часы, в то время как шкала времени колебаний химических связей имеет порядок фемтосекунд. Третий пример от структурной механики - напряжение и растяжение в твердом бревне, которое хорошо описано описанным макроскопическими уравнениями, но в вершине трещины необходимы детали моделирования в микромасштабе.
Общая трудность комбинации с моделированием этих проблем и многих других в физике, химии и биологии - то, что попытка представить все масштабы приведет к огромной вычислительной проблеме с неприемлемо долгими временами вычисления и большими требованиями к памяти. С другой стороны, если дискретизация на зерновом уровне игнорирует точную информацию о масштабе затем, решение не будет физически осмыслено. Влияние точных масштабов должно быть включено в модель.
Этот объем - результат Летней школы по Моделированию Мультимасштаба и Симуляции в Науке, проводимой в Босёне, Лидингё вне Стокгольма, Швеция, в июне 2007. Участвовали шестьдесят студентов доктора философии прикладной математики, наук и техники
в летней школе.
Цель летней школы состояла в том, чтобы соединить ведущих ученых в вычислительной физике, вычислительной химии и вычислительной биологии и в научных вычислениях со студентами доктора философии в этих полях, чтобы решить проблемы с многими масштабами исследовательского интереса. Тренировкой студенты, чтобы работать в группах вместе с другими студентами с различным фоном, чтобы решить реальные проблемы, они будут лучше приготовлены к их будущей работе в академии, институтах, или промышленности. Значение междисциплинарной науки, конечно, вырастет в ближайшие годы.
Были лекции по вычислительным методам мультимасштаба на утренних сессиях первой недели. Большинство этих лекций найдено в первой, учебной части этого объема. Дни были посвящены решению математических и вычислительных упражнений в небольших группах. Упражнения вкраплены в статьях в первой части. Ораторы и заголовки их лекций были:
• J;rg Aarnes, Отдел Прикладной Математики, SINTEF, Осло: Мультимасштаба Методы для Подповерхностного Потока
• Bj;orn Engquist, Отдел Числового Анализа, KTH, Стокгольма, и Отдела Математики, университет Техаса, Остин: Вводная часть к Аналитическому и Числовому Моделированию Мультимасштаба
• Хайнц-Отто Крайсс, Отдел Числового Анализа, KTH, Стокгольма: Обычные и Частичные Диференциальные Уравнения с Различными Шкалами времени
•Клоуд Ле Брис CERMICS Школа национальная моста Шоссе Марн ля Валь Комплексные поля
• Олоф Рунборг, Отдел Числового Анализа, KTH, Стокгольма: Вводная часть к Волнам и Волне Основанной Гомогенизации
• Ричард Тсай, Отдел Математики, университет Техаса, Остин: Гетерогенный Метод мультимасштаба для ODEs
•Лексинг Инг Отдел Математики, Университет Техаса, Остин
Алгоритмы для Граничных Интегральных уравнений
На второй неделе девять реалистических проблем из приложений в астрономии, биологии, химии, и физики были решены в сотрудничестве между старшими исследователями и студентами доктора философии. Проблемы были представлены экспертами в приложениях в коротких лекциях. Группы студентов с различным фоном работали вместе с решениями с руководством от эксперта. Неделя закончилась устными представлениями результатов и написанными работами. Студенческие газеты найдены на домашней странице летней школы www.ngssc.vr.se/S2M2S2. Студенты получили зачетные баллы в их домашний университет для их участия как часть курсовой работы для степени доктора философии. Как перерыв от проблемных сеансов решения, три были приглашены один час говорить о разовых темах:
• Том Авель, Отдел Физики, Стэнфордский университет: Первые Звезды во Вселенной
•Леннард Бенгтссон , Макса Планка Институт для Метеорологии, Гамбург: Моделирование Климата
• Янис Кеврекидис, Отдел Химического машиностроения, Принстонский университет:
Вычисление без уравнений для Систем Комплекса и Мультимасштаба
Девять различных проектов с руководителями проекта:
• Моделирование климата
- Erland K;all;en, Хайнер Корнич, Отдел Метеорологии, StockholmUniversity:
Движущие силы климата и Моделирование (два проекта)
• Физика Твердого тела
Петер За , Отделение Физики , Мартина Лютера Университета,Халле — Виттенберг:
Сложные Структуры Диапазона Материалов Спинтроники Spintronics
-Эрик Кох , Эва Паварини, Институт Фесткорперфоршунг, Форшунгцентрум J;ulich, J;ulich: Орбитальное Упорядочивание в Окисях Металла Перехода
• Астрофизика
- Garrelt Mellema, Стокгольмская Обсерватория, Стокгольмский университет: Фото -движущих сил ионизации Симуляция
• Квантовая Химия
- Yngve ;Ohrn, Эрик Деуменс, Отдел Химии и Физики, университета
Флориды, Гейнсвилля: Движущие силы Молекулярной Реакции с Явными Электронными Движущими силами
• Молекулярная биология
- H°akan Хугоссон, Ганс °Agren, Отдел Теоретической Химии, KTH,
Стокгольм: Квантовая механика - Молекулярной Механики Моделирование Фермента Каталитической Реакции
• Поток в Пористых Средах
-Джаймс Ламберт , Департамент Энергетических Ресурсов:
Моделирование зерна-масштаба Потока в Процессах Газовой инъекции для Добычи нефти вторичным методом
Проекты были выбраны, чтобы содержать проблему исследования, которая могла быть, по крайней мере, частично решена через неделю группой студентов с руководством старшего исследователя. У проблем были многократные масштабы, где самый тонкий масштаб не может быть проигнорирован. Партия два из этого объема содержит краткое описание упомянутых выше проектов.
Летняя школа была организована Отделом Числового Анализа
и Информатики (NADA), KTH, Стокгольм, Отдел информации Технологии и Центром Динамических Процессов и Формирования структуры (CDP) в университете Упсалы с оргкомитетом, состоящим из Timo Eirola, Хельсинки, Bj;orn Engquist, Стокгольм, Бенгт Густафсон, Упсала, Sverker Holmgren, Упсала, Хенрик Кэлиш, Берген, За L;otstedt, Упсалу, Анна ;Onehag, Упсалу, Brynjulf Owren, Тронхейм, Олоф Рунборг, Стокгольм, Анна-Кэрин Торнберг, Стокгольм.
Финансовая поддержка была получена от шведской Национальной Аспирантуры в Научные вычисления (NGSSC), шведская Организация для Стратегического Исследования (SSF),
Центр Динамических Процессов и Формирования структуры (CDP), Nordita, Nord- Forsk, Научный совет Норвегии, и Comsol. Были обеспечены вычислительные средства Упсала Мультидисциплинарный Центр Усовершенствованной Вычислительной Науки
(UPPMAX).
Стокгольм, Упсала, Bj ;orn Engquist
Сентябрь 2008 За L;otstedt
Олоф Рунборг
Содержание
Обучающие программы Первая часть
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока
Йорг Э. Аарнес, Кнут-Андреас Ли, Vegard Kippe, Стайн Крогстэд........... 3
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей: Математическое Инициирование
Клод Ле Бри, Тони Лели `evre........................................ 49
Быстрые Алгоритмы для Граничных Интегральных уравнений
Lexing Ying...................................................... 139
Начала Волны (Вевлеты) и начала Волны Основанная Числовая Гомогенизация
Олоф Рунборг..................................................... 195
Мультимасштабные Вычисления для Высокой Осциляции Задач
Джил Ариэль, Bj;orn Engquist, Хайнц-Отто Крайсс, Ричард Тсай................ 237
Проекты Второй части
Квантовая механика / Классическое Моделирование Механики Биологических Систем
H°akan В. Хугоссон, Ганс °Agren..................................... 291
Многократные Масштабы в Физике Твердого тела
Эрик Кох, Эва Паварини............................................ 295
Чувствительность климата и Изменчивость, Исследованная в Модели Мирового климата
Хайнер К•орнич, Erland K;all;en...................................... 299
Моделирование крупного масштаба Потока в Процессах Газовой инъекции для Улучшенного Нефти Отдыха
Иаков V. Lambers................................................. 303
Симулирование Движущих сил фотоионизации
Garrelt Mellema.................................................. 307
Шкалы времени в Молекулярных Движущих силах Реакции
Yngve ;Ohrn, Эрик Деуменс......................................... 311
Сложные Структуры Диапазона Материалов Спинтроники
Петр Зэн, Patrik Thunstr;om, Томас Джонсон.......................... 317
Джил Ариэль
Отдел Математики
Университет Техаса в Остине
Остин, Техас 78712, США
ariel@math.utexas.edu
Йорг Э. Аарнес
ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ SINTEF
Отдел Прикладной Математики
Почтовый ящик 124, Blindern
N-0314 Осло, Норвегия
Jorg.Aarnes@sintef.no
Ганс ° gren
Отдел Теоретической Химии
Школа Биотехнологии,
Королевский Технологический институт
SE-100 44 Стокгольма, Швеция
agren@theochem.kth.se
Эрик Деуменс
Квантовый Проект Теории
Отделы Химии и Физики
Университет Флориды, Гейнсвилля
FL 32611-8435, США
deumens@qtp.ufl.edu
Bj;orn Engquist
Отдел Математики
Остин, Техас 78712, США
H°akanW. Хугоссон
Отдел Теоретической Химии
Школа Биотехнологии
Королевский Технологический институт
SE-100 44 Стокгольма, Швеция
hakan@theochem.kth.se
Томас Джонсон
Отдел Математики
Университет Упсалы
P O Поле 480
SE-751 06 Упсалы, Швеция
johnson@math.uu.se
Erland K;all;en
Отдел Метеорологии
Стокгольмский университет,
SE-106 91 Стокгольм, Швеция
erland@misu.su.se
Vegard Kippe
ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ SINTEF
Отдел Прикладной Математики
Почтовый ящик 124, Blindern
N-0314 Осло, Норвегия
Университет Техаса в Остине
Список Авторов статьи
engquist@math.utexas.edu
Стайн Крогстэд
ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ SINTEF
Отдел Прикладной Математики
Почтовый ящик 124, Blindern
N-0314 Осло, Норвегия
Эрик Кох
Institut f ;ur Festk;orperforschung
;
D-52425 J;ulich, Германия
Хайнер К•орнич
Отдел Метеорологии
Стокгольмский университет,
SE-106 91 Стокгольм, Швеция
heiner@misu.su.se
Хайнц-Отто Крайсс
; ; ;
Швеция
Иаков Лэмберс
Стэнфордский университет
Стэнфорд, Калифорния 94305-2220, США
lambers@stanford.edu
Клод Ле Бри
CERMICS - ENPC
;Экоул Натиональ де Понц и Chauss;ees
6 и 8 авеню Блез Паскаль
Cit;e Декарт - Чемпионы sur Марна
F-77455 Марна ля Vall;ee Cedex 2
Франция
lebris@cermics.enpc.fr
Тони Лели `evre
CERMICS - ENPC
;Экоул Натиональ де Понц и Chauss;ees
6 и 8 авеню Блез Паскаль
Cit;e Декарт - Чемпионы sur Марна
F-77455 Марна ля Vall;ee Cedex 2
Кнут-Андреас Ли
ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ SINTEF
Отдел Прикладной Математики
Почтовый ящик 124, Blindern
N-0314 Осло, Норвегия
Knut-Andreas.Lie@sintef.no
Garrelt Mellema
Стокгольмская Обсерватория
Университет Альбановой Центр
Стокгольмский университет
SE-10691 Стокгольм, Швеция
garrelt@astro.su.se
Yngve O ; hrn
Квантовый Проект Теории
Университет Флориды
Гейнсвилль
FL 32611-8435, США
ohrn@qtp.ufl.edu
Эва Паварини
Institut f ;ur Festk;orperforschung
Forschungszentrum J;ulich
D-52425 J;ulich, Германия
E.Pavarini@fz-juelich.de
Олоф Рунборг
Отдел Числового Анализа
KTH
SE-100 44 Стокгольма, Швеция
olofr@nada.kth.se
Patrik Thunstr;om
Отдел Физики
Theoretical Magnetism Group
Университет Упсалы
P O Поле 530
SE-751 21 Упсала, Швеция
patrik.thunstrom@fysik.uu.se
Отделы Химии и Физики
Разработка
Институт Trasko-Storo Математики
Средства министерства энергетики
Франция
lelievre@cermics.enpc.fr
XII Списков Авторов статьи
Forschungszentrum Julich
E.Koch@fz-juelich.de
Ричард Тсай
Отдел Математики
Университет Техаса в Остине
Остин, Техас 78712, США
ytsai@math.utexas.edu
Lexing Ying
Отдел Математики
Университет Техаса
Остин, Техас 78712, США
lexing@math.utexas.edu
Петр Зэн
Отдел Physik
Мартин-Лютер-Универзит•ат Холли-Виттенберг
D-06099 Галле, Германия
peter.zahn@physik.uni-halle.de
Список Авторов статьи XIII
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока
Йорг Э. Аарнес, Кнут-Андреас Ли, Vegard Kippe, и Стайн Крогстэд
Информационно-коммуникационные технологии SINTEF, Отдел Прикладной Математики, Осло Норвегия
Моделирование процессов потока в подповерхности важно для многих приложений. Фактически, подповерхностные явления потока покрывают некоторые из самых важных технологических испытаний нашего времени. Чтобы иллюстрировать, мы заключаем Сообщение Развития человека ООН в кавычки
2006:
“Есть растущее распознавание, что мир стоит перед водным кризисом это, оставленный незарегистрированным, пустит под откос продвижение к развитию Тысячелетия Целей и сдерживают развитие человека. Приблизительно 1.4 миллиарда людей проживают в бассейнах рек, в которых водное использование превышает перезарядки уровни. Признаки злоупотребления волнующие ясны: реки высыхают, таблицы грунтовой воды падают и основанные на воде экосистемы быстро ухудшаются. Ложа прямо, мир догоняет один из своих самых драгоценных природных ресурсов и разгоняет нестойкий экологический долг, который будет унаследован будущими
поколениями.”
Дорога к устойчивому использованию и управлению запасами грунтовой воды земли обязательно вовлекает моделирование грунтовой воды гидрологические системы. В частности моделирование используется, чтобы приобрести общие знания о лимитах грунтовой воды, определить количество пределов из устойчивого использования, и контролировать транспорт загрязнителей в подповерхности.
Возможно, одинаково важная проблема состоит в том, как уменьшить эмиссию оранжереи газов, такие как CO2, в атмосферу. Действительно, недавнее сообщение от Межправительственной ООН
Панели о глобальном потеплении (см. например, www.ipcc.ch) привлекает пугающие сценарий возможных значений вынужденной человеком эмиссии оранжереи газов. Углеродистая конфискация имущества в пористых средах была предложена в качестве возможного средства.
Шраг (Schrag [46]) требует чтобы
“Углеродистое ограничение (...) важная составляющая любой серьезной комплексной сделки избежать катастрофических воздействий вынужденного человеком изменения климата. Научные и экономичные испытания все еще существуют, но ни один не достаточно серьезен к предположите, что углеродистое получение и хранение (в подземных репозитариях) не будут работать в масштабе, требующем смещать триллионы тонн эмиссии CO2 за следующее столетие.”
Первоочередная задача, связанная с хранением CO2 в подповерхностных репозитариях, связана с темкак быстро CO2 выйдет. Репозитарии не должны сохранить CO2 навсегда, только долго достаточно позволить естественному углеродистому циклу уменьшать атмосферный CO2 до близости к доиндустриальному уровню. Однако, делая компетентную оценку уровней утечки от потенциальных складов CO2 - нетривиальное задание, и требуют междисциплинарного исследования и программного обеспечения, основанного на художественных численных методах состояния для того, чтобы смоделировать подповерхностный поток.
Эти примеры иллюстрируют, что требование по моделированию программного обеспечения подповерхностного потока не будет уменьшаться со снижением нефти и газовой эры. Фактически, потребность в инструментах, которые помогают нам понять процессы потока в подповерхности, вероятно, больше чем когда-либо, и увеличиваются. Тем не менее, больше чем 50 лет предшествующего исследования в этой области привела к определенной степени соглашения с точки зрения того, как подповерхности потока процессы
могут быть смоделированы соответственно с числовой технологией моделирования. Поскольку больше всего из предшествующего исследования в этой области нацелена моделированию резервуара, то есть, моделирование потока нефтехранилища и газохранилища, мы сосредоточимся на этом приложении в остатке этой статьи. Однако, общая структура моделирования, и численные методы обсуждены, обратимся также к моделированию потока в резервуарах грунтовой воды и хранению CO2 средствам.
Описать подповерхностного потока процессы математически, два типа моделей необходимы. Во-первых, каждый нуждается в математической модели, которая описывает, как втекают жидкости в пористую среду. Эти модели как правило даются как ряд частичного дифференциала уравнения, описывающие массовое сохранение жидких фаз. Кроме того, каждый нуждается в геологической модели, которая описывает данное образование пористой породы (резервуар). Геологическая модель использована как входная к модели потока, и вместе они составляют модель симуляции резервуара.
К сожалению, геологические модели являются вообще слишком большими для моделирования потока, значит, что число клеток сетки превышает способности симуляторов текущего потока (обычно порядками величины) из-за ограничений в памяти и обрабатывающей мощности. Традиционно, и все еще отбой, способ создать модель симуляции резервуара для того запускается, обращая начальную геомодель (концептуальная модель камня резервуара с вероятным распределением геологических параметров) к модели с разрешением, которое является подходящим для симуляции. Этот процесс называют вверх шкалирование (upscaling). Вверх шкалирования методы стремятся сохранять небольшие эффекты в крупномасштабных вычислениях (так же как возможно), но потому что небольшие шкалы эффекты часто оказывают глубокое влияние на поток, происходящий в более широких масштабах, изобретение здравых вверх шкалирований методов является нетривиальным заданием.
Методы мультимасштаба - новая и многообещающая альтернатива традиционному вврех шкалированию. Принимая во внимание, что вверх шкалирования методы используются, чтобы получить уравнения крупного масштаба с уменьшенным набором параметров, методы мультимасштаба пытаются включить информацию о тонком масштабе непосредственно в уравнения крупного масштаба. Методы мультимасштаба быстро растут в популярности, и начали получать распознавание как жизнеспособную альтернативу вверх шкалированию, также промышленностью. Первая цель этой статьи состоит в том, чтобы обеспечить легко доступную вводную часть в мультимасштабные методы для подповерхностного потока, и пояснить, как эти методы относятся к некотором стандартным, но широко используемым, вверх шкалирования методам.
Мы запускаемся, давая интенсивный курс в моделировании резервуара. Затем, мы описываем кратко некоторые основные дискретизации методы для вычислительного давления резервуара и скоростные поля. Мы затем обеспечиваем краткую вводную часть вверх шкалирования, и представляем некоторые из обычно используемых методов для вверх шкалирования уравнений давления. Финальная часть статьи посвящена мультимасштабным методам для вычислительного давления и скоростным полям для подповерхностных приложений потока.
1 Вводная часть к Моделированию Резервуара
Моделирование резервуара - средства, которыми мы используем численную модель петрофизических характеристик резервуара углеводорода, чтобы проанализировать и предсказать плавное поведение в резервуаре в течение долгого времени. В течение почти половины столетия моделирование резервуара имеет интегрированную часть управления нефтехранилища. Сегодня, моделирования используются к оценочным характеристикам продукции, калибруйте параметры резервуара, визуализируйте резервуар образцов потока, и т.д. Основная цель состоит в том, чтобы обеспечить информационную базу данных, это может помочь нефтяным компаниям обнаружить и управлять ямами и ям траекториями в порядке максимизировать нефти и газа отпуск. К сожалению, получить точное предсказание из резервуара сценарии потока трудная задача. Одна из причин - то, что мы никогда не можем получить полную и точную характеристику роковых параметров, которые влияют потока образец. И даже если бы мы сделали, то мы не были бы в состоянии выполнить моделирования что эксплуатируя всю доступную информацию, так как это потребовало бы огромного количества компьютерных средств, которые превышают безусловно способности современных многопроцессорных компьютеров. С другой стороны мы не нуждаемся, и при этом мы не ищем одновременное описание сценария потока на всех шкалах до масштаба поры. Для управления резервуаром это обычно достаточно, чтобы описать общие тенденции в образе потока резервуара.
В этом разделе мы пытаемся только кратко суммировать некоторые аспекты искусства моделирование пористых сред потока и побуждает более подробное исследование части из связанных разделов. Больше деталей может быть найдено в одном из общих описаний учебников моделирования потока в пористых средах, например, [10, 21, 26, 30, 41, 43, 23].
1.1 Описание Резервуара
Естественные нефтяные резервуары как правило состоят из подповерхностного тела осадочных камней, имеющего достаточную пористость и проницаемость, чтобы сохранить и передать жидкости. Осадочный камень сформирован через снятие отложений и как правило имеет слоистую структуру с различными смесями каменного типа. В его самой простой форме, осадочный камень состоит из последовательности осадочных пластов, которые простираются в боковом направлении. Из-за различий в снятии и уплотнении, толщине и склонении каждый пласт изменится в боковых направлениях. Фактически, во время снятия, партий пласты возможно были пережиты вниз или полностью разрушены далее. Кроме того, слоистая структура пластов, возможно, была разрушена из-за геологической активности, представляя разломы и осколки. Разломы - трещины или поломка в камне, через который не было никакого движения. Осколки - доли через который слои в камне были перемещены.
Нефть и газ в подповерхностном сжатии от слоев прессованного органического материала, это депонированные миллионы лет назад, и, со временем, в конечном счете превращенные в воду и различные компоненты углеводорода. Обычно самые легкие углеводороды (метан, этан, и т.д.), выходят быстро, пока более тяжелые нефти медленно перемещались к поверхности, но на определенных сайтах геологическая активность создала и cогнула слои из низко-проницаемых (или непроницаемый) камней, так что перемещеные гидрокарбонаты были заманенны в ловушку. Именно эти количества заманенных в ловушку углеводородов творят сегодняшние нефти и газа резервуары.
Каменные образования, найденные в естественных нефтяных резервуарах, являются типично гетерогенными во всех шкалах расстояний, от масштаба микрометра каналов поры между песком зерна к масштабу километра полного резервуара. Получить геологическое описание из этих резервуаров, каждый создает модели, которые пытаются воспроизвести геологическую истиную разнородность в пористой породе резервуара камне. Однако, вообще не возможно сосчитать для всех подходящих масштабов, которые воздействуют на поток. Вместо этого нужно создать модели для изучения явлений, происходящих в уменьшенном жале масштабов. В разработке резервуара, резервуар смоделирован с точки зрения трехмерной сетки, в которой слоистая структура осадочных пластов (маленький модуль рока, различимый от смежного каменные модули) в резервуаре отражен в геометрии клеток сетки. Физичекие свойства камней (пористость и проницаемость) представлены как постоянные величины в каждой клетке сетки. Размер сетки маркирует типичную геологическую модель сетки, попадает в амплитуда 10-50 м. в горизонтальном направлении и 0.1-1 м. в вертикальном направлении.
Таким образом геологическая модель является ясно слишком крупной, чтобы решить небольшой шкалы свойства такие как микроструктура пор.
Каменные Параметры
Каменная пористость, обычно обозначаемая ;, является пустой фракцией объема среднего размера; то есть, 0 ; ; <1. Пористость обычно зависит от давления; камень сжимаем, и роковая, каменная сжимаемость определена:
cr =1fdd p,
где p - давление резервуара. Для упрощенных моделей это общепринято, чтобы пренебречь роковой сжимаемостью. Если сжимаемостью нельзя пренебречь, распространено использовать
линеаризацию так, чтобы:
f = f0;;1+cr (p ; p0),
где p0 - указанное ссылочное давление и ; 0• ; •p0.
(Абсолютная) проницаемость, обозначенная K, является мерой способности рока передать одиночную жидкость при определенных условиях. Начиная с ориентации и взаимосвязи из пор важны для потока, проницаемость не обязательно пропорциональна пористости, но K обычно сильно коррелируется к ;. Роковые образования как песчинки будут склонны иметь много больших или соединенных с углублением пор и поэтому передавать жидкости с готовностью. Они поэтому описаны как проницаемые. Другие образования, как сланцы, может иметь меньший, меньше или менее связанные поры, например, из-за богатого контента
Рис. 1. Примеры двух полей проницаемости: образование морского осадка Тарберта (слева) и образование текущего Верхнего Мыса (справо).
глины. Такие образования описаны как непроницаемые. Хотя SI-МОДУЛЬ для проницаемости m2, он обычно представляется в Дарси (D), или милли-Дарси (mD). Точная четкость 1D (;0.987 · 10;12m2), вовлекает передачу 1cp жидкость (см. ниже) через гомогенный рок со скоростью 1cm/s из-за градиента давления из 1atm/cm. Преобразованный в условия резервуара, 1D относительно богатая проницаемость.
Вообще, K является тензором, что означает что проницаемость в различных направлениях зависит от проницаемости в других направлениях. Мы говорим что среднего размера является изотропической (в противоположность анизотропному), если K может быть представлен как скалярная функция, например, если горизонтальная проницаемость равна вертикальной проницаемости. Кроме того, из-за связи между различными роковыми типами, проницаемость может измениться быстро более чем несколько порядков величины, местных изменений в амплитуде 1 mD к 10 D не
необычны в типичном поле.
Гетерогенная структура образования пористой породы - результат снятия истории и поэтому изменится сильно от одного образования до другого. На Рис. 1 мы показываем две реализации проницаемости, выбранные от двух образований в отрезке Брента из Северного моря. Характеризуются оба образования большими изменениями проницаемости, 8-12 порядками величины, но качественно отличаются. Образование Тамберта - результат неглубоко-морского снятия и имеет относительно гладкие изменения проницаемости. Верхнего Мыса образование является речным и был депонирован реками или проточной водой, приводя спагетти сортированных по углублению богато-водопроницаемых каналов длинной продолжительности корреляции наложеные на низко-водопроницаемый фон.
Сетки
Как описано выше, роковые параметры f и K обычно даются на сетке, это также дает геометрическое описание основных роковых схем образований. Наиболее широко распространенный способ смоделировать геометрию пластов породы так называемой угловой точкой сетки. Сетка угловой точки состоит из ряда гексаэдральной клетки, который союзник в логической Декартовой моде. Один горизонтальный слой в сетке затем назначен на каждый осадочный пласт, который будет смоделирован. В его самой простой форме определена сетка угловой точки с точки зрения ряда вертикальной линии или наклоненных колонн определеных по ареальному Картезиану 2-ая петли в боковом направлении. Каждая клетка в объемной сетке угловой точки ограничена четырьмя колоннами и определена, определяя восемь угловых точек клетки, два на каждой колонне. Рисунок 2 показывает вид сбоку такой сетки угловой точки. Заметим возникновение выродившихся обителей меньше чем с восемью неидентичными углами, где пласты частично разрушены далее. Некоторые обители, клетки также исчезают полностью и следовательно
Рис. 2. Вид сбоку в xz-плоскости сетки угловой точки с вертикальными колоннами, моделируя стек осадочных пластов (каждый слой, обозначенный различным цветом).
Рис. 3. Пример геологической модели сетки.
введите новые соединения между обителями, которые не являются соседями в подлежащей логической Декартовой сетке.
Формат угловой точки легко учитывает вырождения в обителях и неоднородностях (переломы/ошибки) через лица. Следовательно, используя формат угловой точки, возможно создать очень сложные геологические модели, которые соответствуют восприятие геолога из основных роковых образований, например, как видно на Рис. 3. Из-за их многих привлекательных свойств, сетки угловой точки - теперь промышленный стандарт, и формат поддержанный в большинстве коммерческого программного обеспечения для моделирования резервуара и симуляций.
1.2 Параметры потока
Пустота в пористой среде предполагается, заполнена различными фазами. Фракция объема s занятая каждой фазой является насыщением той фазы. Таким образом,
;
все фазы
си = 1. (1)
Здесь только три фазы рассматривают; водную (a), жидкость (l), и пар (v). Каждая фаза содержит один или более компонентов. Компоненты углеводорода – уникальное химические разновидности (метан, этан, пропан, и т.д.). Начиная с числа углеводорода компоненты могут быть довольно большими, это характерно для групповых компонентов в псевдокомпоненты, например, вода (w), нефти (o), и газ (g).
Из-за переменных условий в резервуаре, сочинении углеводорода
различные фазы могут измениться в течение моделирования. Массовая фракция компонент в фазе j обозначен мамой, j. В каждой из фаз должны массовые фракции составить в целом единство, так, чтобы для различных компонентов N, мы имели:
N;a=1мама, j = 1.
Плотность r и вязкость ; каждой фазы являются функциями пи давления фазы (я =a, л, v) и составляющее сочинение. Таким образом, для пара
rv =rv (объем плазмы, {мама, v}), ;v = ;v (объем плазмы, {мама, v}),
и так же для других фаз. Эти зависимости являются самыми важными для фазы пара, и обычно игнорируется для водной фазы.
Сжимаемость фазы определена как для роковой сжимаемости:
ci =1ridrid пи, я = a, л, v.
Эффекты сжимаемости более важны для газа чем для жидкостей. В упрощенных моделях, сжимаемостью водной фазы обычно пренебрегают.
Из-за граничных напряженных отношений, давления фазы отличаются, определяя капиллярное давление,
pcij = пи ; pj,
для я, j = a, л, v. Хотя о других зависимостях сообщают, обычно принимается, капиллярное давление - функция насыщений только.
Даже при том, что фазы действительно не перемешиваются, мы предполагаем, что все фазы могут присутствовать в том же самом месте съемок. Способность одной фазы переместиться будет затем зависеть от обстановки в фактическом месте съемок. Таким образом, проницаемость испытаная одной фазой зависит от насыщения других фаз в том определенном месте съемок, так же как взаимодействие фаз со стенками поры. Таким образом мы вводим свойство, названное относительной проницаемостью, обозначенная kri, я = a, л, v, которая описывает как одна фаза течет в присутствие обоих других. Таким образом, вообще, и отношением крышки (1), мы можем принять это
kri = kri (sa, sv),
где приписка r поддерживает отношение, и я обозначает одну из фаз a, л, или v. Таким образом, (эффективная) проницаемость, испытанная фазой, я - Ки =Kkri. Важно обратить внимание то, что относительные проницаемости - нелинейные функции насыщений, так, чтобы сумма относительных проницаемостей в определенном месте съемок (с определенным сочинением) не обязательно равна одному. Вообще, относительные проницаемости могут зависеть от сбыта размера поры, плавной вязкости, и граничные силы между жидкостями. Эти полнометражные фильмы, которые осторожно рассмотрены Демондом и Робертсом [27], обычно проигнорированный. Из большего значения к нефти отпуску - вероятно, температурная зависимость [42], которая может быть существенной, но очень связанной со случаем.
Другие важные параметры - давления точки насыщения для различного компоненты. При данной температуре давления точки насыщения показывают давления где соответствующие фазы начинают кипеть. Ниже давлений точки насыщения выпущен газ и мы получаем связующую партию компонентов между фазами. Для самой реалистической модели, даже если мы не различаем все компоненты, которые позволяют газу раствориться в нефти. Для таких моделей важный зависимый от давления параметр решение отношения газ-нефть rl для газа растворенного в нефти при условиях резервуара. Это
также распространенно, чтобы ввести так называемые факторы объема образования что модель давления зависимое отношение теста объемов в резервуаре и поверхностных условиях. Мы будем вводить эти параметры позже, представляя трехфазовую модель мазута.
1.3 Процессы постановки
Первоначально, резервуар углеводорода в равновесии, и содержит газ, нефть, и воду, разделенные силой тяжести. Это равновесие было установлено более чем миллионы лет с гравитационным разделением и геологическими и геотермическими процессами. Когда углубление сверлится через верхний непроницаемый уровень и проникает через верхний углеводород матч за национальную сборную, это равновесие было немедленно нарушено. Резервуар обычно соединяется к углублению и поверхностному оборудованию для производства набором клапанов. Если бы не было вентилей постановки, чтобы остановить поток, у нас было бы "сдувание" начиная с резервуара обычно находится под высоким давлением. Поскольку углубление готово поставить, вентили открыты немного, и углеводороды вытекают из резервуара из-за сверхдавления.
Это в свою очередь, настраивает поток в резервуаре и поток углеводородов к яме, который в свою очередь может вызвать гравитационную неустойчивость. Капиллярные давления будут также действовать как (незначительный) механизм управления, имеющий результатом местные волнения ситуации. Во время этого этапа возможно поставлены 20 процентов существующих углеводородов пока новое равновесие не добыто. Мы называем эту первичную постановку природным вождением. Нужно обратить внимание, что внезапное понижение давления также может иметь многочисленные другие свойственные эффекты. Особенно в комплексе, сложные системы такие может быть случаем, поскольку зависимые от давления параметры испытывают такие понижения. Это может дать неконвективный транспорт и трансферы фазы, как пар и газообразные углеводороды могут внезапно конденсироваться.
Поскольку давление понижается, меньше нефти и газа текут, и в конечном счете постановка не продолжаться экономически стойко. Затем производящая фирма может запуститься вторичный постановкой, спроектированным вождением. Это процессы, основанные на впрыскивании воды или газа в резервуар. Причина для того, чтобы сделать это является двойной; часть давления восстановлена или даже увеличена, и во-вторых каждый пытается выдавить более выгодные углеводороды с введенным веществом. Можно, возможно, поставить еще 20 процентов нефти такими процессами, и спроектированные вождения- стандартная процедура в большинстве мест съемок в Северном море сегодня.
Чтобы поставить даже больше нефти, Добыча нефти вторичным методом (EOR, или третичные перекрытие), методы могут использоваться. Среди них нагрев резервуара или инъекция сложных веществ как пена, полимеры или растворители. Полимеры предполагаемый изменить свойства потока воды, и таким образом более эффективно выдавить нефть. Точно так же растворители изменяют свойства потока углеводородов, для случая, развивая смешиваемость с введенным газом. В некотором смысле каждый пробует омыть стенки поры для большинства оставшихся углеводородов. Другой метод основан на впрыскивании пара, который нагреет роковую матрицу, и таким образом, мы надеемся, изменить свойства потока углеводородов. В настоящее время, такие методы EOR
считаются слишком дорогими для крупномасштабного коммерческого использования, но несколько исследований должны быть проведены и математические основания осторожно исследуются, и в меньших масштабах выполняется EOR.
Нужно обратить внимание, что условия первоначальные , вторичные, и третичные, неоднозначны. Методы EOR могут быть применены во время первичной постановки, и вторичной постановки
могут быть исполнены с первого дня постановки.
2 Математических Модели
В этом разделе мы представим две математических модели, сначала простая одиночная фаза модель, которая включает большую часть сложностей, которые воскресают из-за разнородности в схемах расположения игроков пористой породы. Затем мы представляем классическую модель мазута, которая включает более сложную физику потока.
2.1 Несжимаемый Поток Одиночной фазы
Самый простой способ описать замещение жидкостей в резервуаре модель одиночной фазы. Эта модель дает уравнение для распределения давления в резервуаре и используется для многих молодых этапах и упрощенных исследований потока. Одиночной фазы модели используются, чтобы идентифицировать направления потока; идентифицируйте соединения между продюсерами и инжекторами; в основанном на потоке выше шкалирования; в истории сопоставления; и в предварительной модели исследования.
Предположим, что мы хотим смоделировать фильтрацию жидкости через пористую среду из некоторого вида. Основное уравнение, описывающее этот процесс, является уравнением непрерывности который заявляет, что масса сохранена
¶ (франк)
¶ t
+; · (rv) = q. (2)
Здесь характеристики источника q источников моделей и раковин, то есть, отток и приток за объем в определяемых местах съемок углубления.
Для низких скоростей v, фильтрация через пористые среды смоделирована с эмпирическим отношением названным правилом Дарси после французского инженера Анри Дарси. Дарси обнаружил в 1856, через серию экспериментов, что скорость фильтрации пропорциональна сочетанию градиента жидкостного давления и выпадающих эффектов из-за силы тяжести. Более точно, объемная плотность потока v (который мы впредь будет именовать как скорость потока), связана с давлением p, и силой тяжести через следующее правило градиента:
v = ;
K
;
(;p+rg;z). (3)
Здесь соль - величина гравитационного ускорения, и z - пространственная координата в восходящем вертикальном направлении. Для краткости мы пишем Соль = ;g;z для гравитационной выпадающей силы. Мы обращаем внимание, что правило Дарси походит на правило Фурье высокой температуры проводимости (в котором K заменен тензором проводимости высокой температуры), и закон Ома из электропроводности (в котором K является инверсией электрического сопротивления). Однако, тогда как есть только одна движущая сила в тепло- и электропроводимости, в пористом потоке СМИ есть две движущих силы: сила тяжести и градиент давления.
Как иллюстративный пример, мы теперь представим уравнение того потока моделей из несжимаемой жидкости, скажем, вода, через твердое тело и пористую несжимаемую среду характеризуемую полем проницаемости K и соответствующий сбыт пористости f. Для несжимаемой среды исчезает временный производный термин в (2) и мы получаем следующее овальное уравнение для гидравлического давления:
; · v = ; ·
;
K
;
(;p;rG)
=
q
r
. (4)
Чтобы закрыть модель, мы должны определить граничные условия. Если не заявлено иначе мы будем следовать за обычной практикой и использовать граничные условия без потоков. Следовательно, на резервуара границу¶W мы верстаем v · n=0, где n - нормальное векторное обращение из границы ¶W. Это дает изолированную систему потока, где никакая вода не может войти или выйти из резервуара.
2.2 Трехфазовая Модель Мазута
Обычно используемая модель в моделировании резервуара - так называемая мазута модель. Здесь мы представляем трехфазовую модель мазута, в которой есть три компоненты; вода (w), нефть (o), и газ (g), и три фазы; водная (a), жидкость (l), и пар (v). Водная фаза содержит только воду, но нефть и газ могут существовать и в жидкой фазе и в фазе пара. Трехфазовая модель мазута управляемая уравнениями массового баланса для каждого компонента
;
j=a, л, v
¶
dt
(fma, младший js j) +; · (мама, младший jvj)
= обеспечение качества, = w, o, соль, (5)
где скорости Дарси vj дают
vj = ;
Kkr j
; j
(;pj ;r jG), j = a, л, v. (6)
Здесь обеспечение качества - характеристики источника, и pj обозначает давление фазы.
Мы теперь вводим факторы схемы расположения игроков объема ba =Vas/Va, где Vas и Va объемы, занятые большой частью компонента на поверхности и в условиях резервуара, соответственно; удельные веса фазы при поверхностных условиях r js; rl = Vgs/Vos, отношение объемы газа и нефти, елея в жидкой фазе при поверхностных условиях; и rv =Vos/Vgs, отношение объемов елея и газа в фазе пара при поверхностных условиях. Вспоминая, что вода не перемешивается в жидкости и пара фазах, мы выводим
мВт, ara = bwrws, mo, = 0, мг, = 0,
мВт, л = 0, mo, lrl = boros, мг, lrl = rlborgs,
мВт, v = 0, mo, vrv = rvbgros, мг, vrv = bgrgs.
Вставка этих выражений в (5) дает
¶dt
(фа [s j]) +; · ([vj]) = [обеспечение качества], (7)
где [x j] = (xa, xl, xv) t, [xa] = (xw, xo, xg) t, и
A =
;;bwrws 0 00 boros rvbgros0 rlborgs bgrgs;
;=
;
;
задний 0 0
0 ПЗУ 0
0 0 пожеланий
;
;
;
;
1 0 0
0 1 rv
0 rl 1
;
;
;
;
ширина полосы частот 0 0
0 филиалов 0
0 0 bg
;
;.
Предварительное умножение (7) с 1tA;1, расширение ¶ / ¶x = (¶ / ¶ мн) (¶ мн / ¶ x), и принятие
1t [s j] = 1, то есть, то, что эти три фазы занимают вакуум полностью, дает уравнение следующей формы:
¶f
¶ мн
+f;
j
cjs j
¶ мн
¶ t
+Е ·
;j
vj
!
+;
j
cjvj · ;pl = q. (8)
Упражнение 1. Получив (8) от (7) и показав что q и сжимаемость фазы cj определены
q = 1tA;1 [обеспечение качества] =
потенциальная яма
bwrws
+
1
1;rvrl
1
филиал ;
rl
bg
qo
ПЗУ
+
1
bg ;
rv
филиал
qg
пожелания
.
и
приблизительно =
¶ lnbw
¶ мн
, статья =
¶ lnbo
¶ мн
+
1
bg
bo;rvbg
1;rvrl
¶ rl
¶ мн
,
условная цена =
¶ lnbg
¶ мн
+
1
филиал
bg;rlbo
1;rvrl
¶ rv
¶ мн
.
3 Дискретизация Овальных Уравнений Давления
В этом разделе мы представляем четыре различных численных метода для того, чтобы решить овальное давление уравнения на форме (4).We только рассматривают массы-консервативные методы, означая то, что каждый метод обеспечивает скоростные поля, которые удовлетворяют следующие массового баланса уравнение: Z
Wi
; · v дуплекс =
Z
¶Wi
v · n ds =
Z
Wi
q
r
дуплекс (9)
для каждой обители сетки Wi в W (резервуар). Здесь n обозначает прямым образом указывающий модуль нормальный на ¶Wi и ds - мера по площади поверхности. Мы сначала представляем с двумя очками приближение потока (TPFA) схему, очень простой дискретизации метод, который является широко используемым в нефтедобывающей промышленности.
3.1 Приближения потока двумя очками (TPFA) схема
В классических методах конечной разности приближены частичные дифференциальные, разностные уравнения (PDEs) заменяя частные производные соответствующими разностными отношениями между значениями очка на дискретном множестве точек в домене. Методы конечного объема, с другой стороны имеют более физическое побуждение, и получены из сохранения из (физических) количеств по объемам обители. Таким образом, в методе конечного объема неизвестные функции представлены с точки зрения средних величин по ряду конечных объемов, по которым интегрированная модель PDE обязана держаться в усредненном смысле.
Хотя конечная разность и конечного объема методы имеют существенно отличающиеся истолкование и происхождение, две метки используются попеременно в научной литературе. Мы поэтому выбираем не делающее чистое различие между двумя методами дискретизации здесь. Вместо этого мы просим, чтобы читатель думал о конечного объема методе как консервативный замысел конечной разности, который обрабатывает обители сетки как управления объемы. Фактически, там существует несколько конечного объема и конечной разности схем низкого порядка, для которого сосредоточенные на обители значения полученные со схемой конечной разности совпадают со средними числами обители, полученными с соответствующей схемой конечного объема.
Чтобы получить ряд уравнений массового баланса конечного объема для (4), рассмотрим Уравнение (9). Методы конечного объема получены, приближая давление p с a подобно обители постоянной функцией {pw, я} и оценкой нормальной скорости v · n через обители
интерфейсы gi j = ¶Wi ; ¶Wj от ряда соседних давлений обители. Сформулировать замысел TPFA, удобно повторно сформулировать уравнение (4) немного, так, чтобы мы добрались уравнения следующей формы:
;; · l;u = f, (10)
где л = K/;. С этой целью у нас есть две опции: мы можем или ввести потока потенциал u = p+rgz и выжмем нашу модель как уравнение для u
;; · l;u =
q
r
,
или мы можем переместить термин силы тяжести ; · (lrG) на стороне правой руки. Следовательно, мы могли бы также предположите, что мы хотим решить (10) для u.
Как имя предполагает, схема TPFA использует два очка, средние числа обители ui и uj, чтобы приблизить поток Fi j = ;Rgi j(l;u) · n ds. Чтобы быть более определенными, позвольте нам считайте регулярную гескаэдральную сетку с линиями сетки выровненной к основной координате топоров. Кроме того предположив, что gi j является интерфейсом между смежными обителями в направлении x-координаты так, чтобы интерфейс нормальный ni j равнялся (1,0,0) T. Градиент ;u на gi j в методе TPFA теперь заменен
(;u · n) |g j ;2 (uj ;ui)Dxi+Dxj, (11)
где Dxi и Dxj обозначают соответствующие размеры обители в направлении x-координаты. Таким образом мы получаем следующее выражение для Fi j:
Fi j = ;2 (uj;ui)Dxi+DxjZgi jл ds.
Однако, в большинстве моделей моделирования резервуара, проницаемость K является подобно обители константой, и следовательно не отчетлива, определена в интерфейсах. Это означает, что мы также должны приблизеть л к gi j. В методе TPFA это сделано, беря нагруженное расстоянием среднее гармоническое соответствующих направленных проницаемостей обители, лития, я j = ni j · lini j и л j, я j = ni j · л jni j. Чтобы быть точным, ni j-направленный литий проницаемости j на gi j вычислен следующим образом:
литий j = (Dxi+Dxj)
Dxiлитий, я j+Dxjл j, я j;1.
Следовательно, для ортогональных сеток с линиями сетки, выровненными к координатным топорам, один приближает поток Fi j в методе TPFA следующим образом:
Fi j = ; |gi j |li j (;u · n) |gi j = 2|gi j |
Dxiлитий, я j+Dxjл j, я j;1(ui;uj). (12)
Наконец, суммируя по всем интерфейсам, мы получаем приближение к
Rwi v · n ds, и связанный метод TPFA получен, требуя уравнения массового баланса (9) должны быть выполнены для каждой обители сетки Wi ;W.
В литературе по методам конечного объема распространено выразить поток Fi j в более компактной форме чем мы сделали в (12). Условия, которые не вовлекают обители потенциалы ui обычно собираются в трансмисс способность интерфейса ti j. Для потока метод TPFA трансмисс способности определен:
ti j = 2|gi j |
Dxi
литий, я j
+
Dxj
л j, я j
;1
.
Таким образом, вставляя выражение для ti j в (12), мы видим что схема TPFA уравнения (10), в компактной форме, ищет подобно обители постоянную функцию u = {ui} что удовлетворяет следующей системы уравнений:
;jti j (ui;uj) =Zwi f дуплекс, ;Wi ;W. (13)
Мы теперь получили систему линейных уравнений Au=f, где матрица = [aik] дана
aik =;j ti j, если k = я,
;tik, если k 6 = я.
Эта система симметрична, и решнние, что касается непрерывной проблемы, определен до произвольной постоянной. Система сделана положительно определенный, и симметрия консервированна, силой u1 = 0, например. Таким образом, добавляя положительную константу в первую диагональ матрицы. В [2] мы представляем простой, но эффективный, MATLAB выполнение схемы TPFA, который мы использовали в следующем примере:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.810 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.8
10 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.810 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 4. Контуры давления и направления потока для классического прецедента пятерки четвертьфинала с гомогенный и нормального лог поля проницаемости (верхняя часть и нижний ряд, соответственно).
Пример 1. Наш первый пример - так называемый прецедент пятерки четвертьфинала, который является самый широко распространенный прецедент в пределах моделирования резервуара. Резервуар - модуль
площади с инжектором в (0,0), продюсером в (1,1), и граничными условиями без потоков. Рисунок 4 показывает контуры давления и направления потока для двух отличающихся изотропических 32;32 поля проницаемости. Первое поле является гомогенным, тогда как другое выбрано от нормального распределения лог. Давление и скоростное поле симметричны по обеим диагоналям для гомогенного поля. Для гетерогенного поля, поле потока больше не симметрично, так как жидкости будут стремиться течь в большинстве высокопроницаемых областей.
3.2 Многоточечного Приближения потока (MPFA) схемы
Замысел конечного объема TPFA, представленный выше, является сходящимся только если каждая обитель сетки параллелепипед и
ni j · Knik = 0, ;Wi ;W, ni j 6 = ±nik, (14)
Ди-джей ДиKjсолья ij Knn
12K
nTKn 1 2 = 0
Рис. 5. Сетка в левом графике является ортогональной с линиями сетки, выровненными к основной координате топоров. Сетка в правильном графике - K ортогональной сетки.
где ni j и nik обозначают нормальные векторы в две соседние обители сетки. Сетка состоя из параллелепипедов, удовлетворяющих (14), как говорят, K ортогонального. Ортогональные сетки - например, K ортогональная относительно диагональных тензоров проницаемости, но не относительно полных проницаемостей тензора. Рисунок 5 показывает схематический из ортогональной сетки и K ортогональной сетки.
Если метод TPFA привык к дискретизации (10) на сетках, которые не являются K ортогонального, схема приведет к различным результатам в зависимости от ориентации сетки (так называемые эффекты ориентации сетки), и будет вообще сходиться к неправильному решению. Несмотря на этот недостаток метода TPFA, это - все еще доминанты (и значение по умолчанию) метод для практического моделирования резервуара, вследствие его простоты и вычислительной скорости. Мы теперь представляем класс так называемого многоточечного приближения потока (MPFA) схем, которые стремятся исправлять недостатки схем TPFA.
Рассмотрим ортогональную сетку и предположим что K = [Kx, z] x, z=x, y, z, постоянный тензор с недиагональными условиями отличными от нуля и пустьgi j будет интерфейсом между двумя смежными обителями сетки в направлении x-координаты. Затем для данной функции u, соответствующий поток через gi j дан:
Zgi jv · ni j ds = ;Zgi j1;;;
Kx, x¶xu+Kx, y¶yu+Kx, z¶zuds.
Это выражение вовлекает производные в трех ортогональных координатных направлениях. Очевидно, два значения очка могут только использоваться, чтобы оценить производную в одном направлении. В частности, два средних числа обители ui и uj не могут использоваться, чтобы оценить производную из u в y и z-направлениях. Следовательно, схема TPFA пренебрегает вкладом потока от Kx, y¶yu и Kx, z¶zu.
Получить последовательные граничные потоки для сеток, которые не являются K ортогональным, один должен также оценить частные производные в координатных направлениях, параллельных интерфейсам. С этой целью больше чем два значения очка, или средние числа обители, необходимы. Это приводит к замыслам, которые приближают Fi j, используя многократные средние числа обители, то есть, с линейным выражением на форме:
Fi j =;
k
tk
я jgki
j (u).
W
1
W
2 W
3
W
4
x
1
x
2 x
3
x
4
W
1
II
W
2
IV
W
3
III
W
4
Я
x
12
x
23
x
34
x
14
Рис. 6. Теневая область представляет область взаимодействия для O-метода на двумерной четырехсторонней сетке связанной с обителями W1, W2, W3, и W4.
Здесь {tkя j} k является трансмисс способностями, связанными с gi j и {gkij (u)} k соотвествующее многоточечному давлению или зависимостям потенциала потока. Таким образом мы видим что схемы MPFA (10) могут быть написаны на форме:
;j
, k
tk
я jgki
j (u) =
Z
Wi
f дуплекс, ;Wi ;W. (15)
Схемы MPFA могут, например, быть разработаны, просто оценивая каждую частную производную ¶x u от соседних средних средних обители. Однако, наиболее MPFA схемы имеют более физическое побуждение, и получены, верстая определенные требования непрерывности. Мы теперь выделим очень кратко один такой метод, названный O-методом [6, 7], для нерегулярного, четырехугольника, соответствуя сеткам в двух пространственных размерах.
O-метод создан, определяя область взаимодействия вокруг каждого угла очка в сетке. Для двумерной четырехсторонней сетки, этой области взаимодействия площадь ограниченная строками, которые соединяют центры обители с серединами в интерфейсах обители см. Рис. 6. Таким образом область взаимодействия состоит из четырех подчетырехугольников (WII1, WIV2, WIII3, и WI4) от четырех соседних обителей (W1, W2, W3,и W4), которые совместно используют общую угловую точку. Для каждой области взаимодействия определить UIR = промежуток {UJ
я: я = 1..., 4, J=I..., IV},
где {UJi} линейные функции на соответствующих четырех подчетырехугольниках. С этим определением, у UIR есть двенадцать градусов свободы. Действительно, обратите внимание что каждый UJ
я может быть выражен в следующей безразмерной форме
UJя (x) = ui+;UJя · (x;xi),
где xi - центр обители в Wi. Центр обители оценивает ui, таким образом составляет для четыре градусов свободы и (постоянных) градиентов ;UJя для дополнительных восьми.
Затем мы требуем, чтобы функции в UIR были: (i) непрерывны в серединах интерфейсов обители, и (ii) непрерывные потоки через отрезки интерфейса, которые лежат внутри области взаимодействия. Чтобы получить глобально двойную систему, мы сначала используем (i) и (ii) выразить градиенты ;U , и следовательно также соответствующие потоки через интерфейс части программы области взаимодействия, с точки зрения неизвестных потенциалов центра обители ui. Это требует раствора, решения местной системы уравнений. Наконец, центра обители потенциалы определены (до произвольной постоянной для граничных условий без потоков) суммируя потоки через все отрезки интерфейса области взаимодействия и требуя, чтобы уравнения массового баланса (9) держались. В этом процессе, трансмисс способности смонтированы, чтобы получить глобально двойную систему для неизвестных давлений
по целому домену.
Мы обращаем внимание, что эта конструкция приводит к схеме MPFA где поток через интерфейс gi j зависит от потенциалов uj в общей сложности шести соседних обителях (восемнадцать в трех измерениях). Дайте оценку также что трансмисс способности {tkя j}, что мы получаем, когда устранение градиентов области взаимодействия теперь составляет обитель сетки конфигурации в дополнение к проницаемостям полного тензора.
3.3 Смешанный метод конечных элементов (FEM)
Принимая во внимание, что методы конечного объема обрабатывают скорости как функции неизвестного дискретного давления, перемешанные FEMs [18] получают скорость непосредственно. Основная идея к
рассмотрите и давление и скорость как unknowns и выразите их в условиях
из основных функций. С этой целью мы возвращаемся к оригинальной рецептуре и описываем
как к discretise следующая система отличительных уравнений со смешанным FEMs:
v = ;l (;p;rG), ; · v = q. (16)
Как, прежде, чем мы будем верстать граничные условия без потоков на ¶W. Получить смешанную рецептуру,
мы сначала определяем следующее пространство Соболева
Hdiv
0 (W) = {v ; (L2 (W)) d: ; · v ; L2 (W) и v · n = 0 на ¶W}.
Смешанная рецептура (16) с граничными условиями без потоков теперь читает: найти
(p, v) ; L2 (W) ;Hdiv
0 (W), таким образом, что
Z
W
v · л ;1u дуплекс ;
Z
W
p ; · u дуплекс =
Z
W
rG · u дуплекс, (17)
Z
W
л ; · v дуплекс =
Z
W
дуплекс ql, (18)
для всего u ; Hdiv
0 (W) и л ; L2 (W). Мы замечаем снова что, начиная с границы без потоков
условия наложены, дополнительное ограничение должно быть добавлено, чтобы сделать (17) - (18) wellposed.
Общий выбор должен использовать
R
W p дуплекс = 0.
В смешанном FEMs, (17) - (18) discretised, заменяя L2 (W) и Hdiv
0 (W) с
конечно-мерные подпробелы U и V, соответственно. Например, в Raviart-
Фома перемешивала FEM [44] из самых низкоуровневых (для треугольного, четырёхгранного, или регулярного параллелепипеда
сетки), L2 (W) заменен
U = {p ; L2 (W): p|Wi
постоянный ;Wi ;W}
20 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
и Hdiv
0 (W) заменен
V = {v ; Hdiv
0 (W): v|Wi
имеет линейные компоненты ;Wi ;W,
(v · ni j) |gi j
постоянный ;gi j ;W, и v · ni j непрерывен через gi j}.
Здесь ni j является модулем, нормальным к gi j указывающий fromWi toWj. Соответствующий Raviart-
Фома перемешивала, FEM таким образом ищет
(p, v) ;U ;V таким образом, что (17) - (18) держатся для всего u ; V и q ;U. (19)
Чтобы выразить (19) как линейная система, заметьте сначала, что функции inV для допустимого
сетки, заполненные основными функциями {yi j}, которые определены
yi j ;P1 (Wi) d ;P1 (Wj) d и (yi j · nkl) |gkl =
(
1, если gkl =gi j,
0, еще,
whereP1 (B) является набором линейных функций на Си. Точно так же
U = промежуток {см}, где см =
(
1, если x ;Wm,
0, еще.
Таким образом, сочиняя p = ;Wm pmcm и v = ;gi j vi jyi j, позволяет нам писать (19) как линейное
система в p = {пополудни} и v = {vi j}. Эта система принимает форму
СИ ;CT
ДО 0
v
p
=
соль
f
. (20)
Здесь f = [из], соль = [gkl], Си = [bi j, kl] и До = [см, kl], где:
gkl =
гц
W
rG · дуплекс ykl
я
, из =
гц
Wm
f дуплекс
я
,
bi j, kl =
гц
W
yi j · л ;1ykl дуплекс
я
, см, kl =
гц
Wm
; · дуплекс ykl
я
.
Недостаток со смешанным FEM состоит в том, что он ставит неопределенную линейную систему.
Эти системы вообще более трудно решить чем положительные определенные системы
это воскресает, например, от TPFA и замыслов MPFA, описанных в Сектах. 3.1 и 3.2.
Однако, для овальных уравнений второго порядка формы (4) распространено использовать a
так называемая гибридная рецептура. Этот метод приводит к положительной определенной системе где
unknowns соответствуют давлениям в интерфейсах обители сетки. Раствор к линейному
система, являющаяся результатом смешанного FEMcan теперь легко быть полученным из раствора
к гибридной системе, исполняя только местные алгебраические вычисления.
3.4 Подражательный Конечный DifferenceMethod (FDM)
Текущий подражательный FDM [19, 20] основан на тех же самых принципах как вышеупомянутое
перемешанные FEM, но приближение располагают V ;Hdiv с интервалами (W), заменен spaceM ;
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 21
L2 (;i¶Wi), и внутренний результат L2 на Hdiv (W) заменены приблизительным
форма м. (·, ·), который действует на L2 (;i¶Wi). Кроме того, тогда как функции в V представляют
скорости, функции в М. представляют потоки через границы обители сетки. Таким образом, для
текущий подражательный FDM
M = промежуток {yi j}, yi j =
(
1, на gi j,
0, на gkl, kl 6 = я j,
где один interpretsyi j, чтобы быть основной функцией, которая представляет количество потока с
скорость модуля через gi j в направлении модуля нормальный ni j, и нулевой поток через
все другие интерфейсы. Следовательно, концептуально, единственная разница между ними основание
функции и основные функции Raviart-Фомы - то, что мы здесь не связываем a
соответствующее скоростное поле в Wi и Wj.
Затем, мы представляем скалярное произведение м. (u, v) на М., который подражает или "приближается"
скалярное произведение L2 (u, л ;1v) на Hdiv (W). Таким образом, если u, v ; Hdiv (W), то мы хотим
получить скалярное произведение м. (·, ·) так, чтобы
(u, л ;1v) ; м. (u, v) =;
k
; i, j
ukivk jm (yki, yk j) =;
k
единое время
kMkvk, (21)
где uki и vki - средние скорости через gki, соответствующий u и v,
соответственно, и Великобритания = [uki] я, vk = [vki] я. Кроме того Знак определен
Знак =
1
|Wk |
Ckl ;1Ct
k + |Wk |
2trace (l)
(I;QkQt
k), (22)
где matrices Ck, и Qk определены следующим образом:
Nk: строка я определен
nk, я =
1
|gki |
Z
gki
(nki) t ds,
Ck: строка я определен
ck, я =
Z
gki
(x;xk) t ds,
где xk - массовый центр Wk,
Qk: столбцы творят orthonormal основание для пространства столбца Nk.
Дискретная система, которая является результатом этого подражательного FDM, имеет ту же самую форму как (20).
Единственная разница на дискретном уровне - то, что записи в Си и соль вычислены
использование м. (·, ·) скалярное произведение вместо скалярного произведения L2 (u, л ;1v) на Hdiv (W).
Таким образом для подражательного FDM мы имеем
gkl =
h
м. (rX, ykl)
я
, bi j, kl =
h
м. (yi j, ykl)
я
,
где X = ;i j xi jyi j и xi j = 1
|gi j |
R
gi j
Соль · ni j ds.
22 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Рис. 7. Примеры деформированных и выродившихся hexahedral обителей, воскресающих в сетке угловой точки
модели.
3.5 Общие Замечания
Используя геологические модели как входной, чтобы течь моделирование вводит несколько числовые
элементы, имеющие степень трудности. Прежде всего типичные резервуары расширяют несколько сотен или тысяча метров
в боковом направлении, но зонах, переносящих углеводород, могут быть только некоторые
десятки метров в вертикальном направлении и состоят из нескольких уровней с различным
роковые свойства. У геологических моделей поэтому есть обители сетки с очень богатым аспектом
отношения и часто большинство потока в и из обители происходят через лица
с самой маленькой штрафной. Точно так же возможное присутствие сильной разнородности и
анизотропии в полях проницаемости как правило вводят большие числа условий
в уравнениях потока discretised. Эти элементы, имеющие степень трудности наблюдаются даже для моделей сетки
состоя из регулярных hexahedral обителей.
Гибкость в геометрии обители формата угловой точки промышленного стандарта вводит
дополнительные элементы, имеющие степень трудности. Прежде всего, так как каждая поверхность обители сетки определена
четырьмя (произвольными) очками интерфейсы обители в сетке вообще будут билинеарными
поверхности и возможно быть сильно навешенным. Во-вторых, у обителей угловой точки может быть ноль
объем, который вводит сцепление между несоседними обителями и дает начало
discretisation matrices со сложными изображениями разреженности. Кроме того, присутствие выродившихся
обители, в которых угловые точки выходят из строя парами, означают, что обители будут
вообще будьте многогранны и возможно содержите и треугольные лица и четырехсторонние лица
(см. Рис. 7). Наконец, несоответствующие сетки воскресают, используя формат угловой точки, в
зоны ошибки, где замещение вдоль гиперплоскости произошло, видят Рис. 8. В целом,
это призывает к очень гибкому discretisation, который не чувствителен к геометрии
из каждой обители или числа лиц и угловых точек.
Сказав это, это является соответствующим с некоторыми, информируют замечания по применимости
методики, представленные выше.
TPFA: Большинство коммерческих тренажеров резервуара использует традиционный конечный-differencemethods
как замысел TPFA. Эти методы не были разработаны, чтобы справиться
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 23
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
Рис. 8. Два примера ошибки появляются в трехмерной модели с несоответствием интерфейсов
через ошибки. (Оставленный) Трехмерный вид. (Правильный) Двумерный вид, где
теневой тембр иллюстрирует "подинтерфейс" на поверхности ошибки.
тип gridmodels, которые созданы сегодня usingmodern geomodelling инструменты. Следовательно,
если Вы интересуетесь точными растворами, замыслов с двумя очками нужно избежать.
Методы MPFA исправляют недостатки замысла с двумя очками, но, к сожалению,
сильно, чтобы осуществить для общих сеток, особенно если сетка является несоответствующей
с несоответствием лиц.
Перемешанные FEMs являются более точными чем замыслы с двумя очками и вообще довольно здравыми.
Однако, различные обители в геологических моделях вообще не diffeomorphic.
Поэтому нужно ввести опорный элемент и передачу
Piola преобразовывают для каждого топологического случая. Это усложняет выполнение
из смешанного FEM значительно. Кроме того перемешанный FEMs дает начало больше линейный
системы чем TPFA и MPFA.
У подражательных FDMs есть подобная точность к методам MPFA и перемешанному младшему разряду
FEMs. Но в отличие от методов MPFA и перемешанного FEMs, подражательные FDMs вполне
легкий сформулировать и осуществить для сеток с общими многогранными обителями. В частности
это относительно прямо, чтобы обработать сетки с нерегулярными конфигурациями обители
и несоответствие лиц.
4 Upscaling для Моделирования Резервуара
Основное побуждение позади upscaling должно создать модели моделирования, которые ставят
сценарии потока, которые находятся в близкой корреспонденции сценариям потока что один
получил бы рабочими моделированиями непосредственно на geomodels. Литература по upscaling
методы обширны, в пределах от простых методов усреднения, например, [37],
через местные методы моделирования [14, 28], чтобы мультимасштабировать методы [1, 8, 9, 22, 33, 34]
и методы homogenisation для периодических структур [15, 32, 36]. Это не в пределах
наш контекст, чтобы дать полный обзор по многим upscaling методам, которые имеют
примененный в моделировании резервуара. Вместо этого мы относимся, читатель ко многим рассматривают
статьи, которые были посвящены этой теме, например, [13, 24, 45, 48]. Здесь мы даем только
краткая вводная часть к upscaling роковой проницаемости для уравнения давления.
24 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Процесс upscaling проницаемости для уравнения давления (4) или (8) часто
названная одиночная фаза upscaling. Большинство одиночной фазы upscaling методы ищет гомогенный
проницаемости квартала, которые воспроизводят тот же самый полный поток через каждого крупного
квартал сетки, поскольку можно было бы добраться, если бы уравнение давления было решено на основном
тонкая сетка с правильными гетерогенными структурами тонкого масштаба. Однако, разработка
методы upscaling, которые сохраняют усредненные скорости потока тонкого масштаба, вообще нетривиальны
потому что разнородность во всех масштабах имеет существенный эффект на крупномасштабное
изображение потока. Надлежащая модель резервуара крупного масштаба должна поэтому получить
воздействие гетерогенных структур во всех масштабах, которые не решены крупным
сетка.
Чтобы иллюстрировать понятие позади одиночной фазы upscaling, позвольте p быть раствором это
мы получаем, решая
;; · K;p = q, в W (23)
на тонкой сетке с подходящим численным методом, например, замыслом TPFA формы
(13). Чтобы воспроизвести тот же самый полный поток через квартал сетки V, мы должны найти a
гомогенизированный тензор K ; V
таким образом, что
Z
V
Дуплекс K;p = K ; V
Z
V
Дуплекс ;p. (24)
Это уравнение заявляет, что сетевая скорость потока ; v до V связана со средним давлением
градиент ;p в V через upscaled правило ю v Дарси = ;K;;p.
Обратите внимание на это для данного поля давления p, upscaled тензор проницаемости K ; V
не
уникально определенный (24). Наоборот, там не существует K ; V
таким образом, что (24) держится
для любого поля давления. Это отражает тот K ; V
зависит от потока throughV. Конечно,
каждый не знает априорно, чему сценарий V потока будет подчинен. Однако, цель
не должен копировать особый режим потока, но вычислить проницаемость крупного масштаба
тензоры, которые дают разумно точные результаты для широкого диапазона сценариев потока. Мы
теперь рассмотрите часть обычно используемой одиночной фазы upscaling методы.
AveragingMethods
Самый простой метод к высококлассной проницаемости должен вычислить среднее число проницаемостей
в крупном квартале. С этой целью сила, составляющая в среднем, является популярным методом
K ;, p
V =
1
|V |
Z
V
K (x) p дуплекс
1/p
, ;1 ; p ; 1.
Особые случаи включают арифметическое среднее число (p=1), среднее гармоническое (p = ; 1),
и геометрическое среднее число (p;0).
Использование силы, составляющей в среднем, может мотивироваться так называемыми Границами сосиски
[49], которые заявляют это для статистически гомогенный среднего размера, правильный upscaled
проницаемость будет ограничена выше и ниже арифметикой и harmonicmean,
соответственно. У этого результата есть более интуитивное объяснение. Чтобы видеть это, рассмотрите
одномерное уравнение давления:
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 25
; ¶x (K (x) p ; (x)) = 0 в (0,1), p (0) = p0, p (1) = p1.
Объединяясь однажды, мы видим, что соответствующая скорость Дарси является постоянной. Это подразумевает
это p ; (x) должно масштабироваться пропорциональный инверсии K (x). Следовательно, мы происходим
p ; (x) =
p1 ; p0
K (x)
Z 1
0
дуплекс
K (x)
;1
=
p1 ; p0
K (x)
K ;, ; 1
V.
Если мы вставляем это выражение в (24), мы находим что правильная upscaled проницаемость
K ; V
идентично скупому K гармоники ;, ; 1
V
.
Тот же самый параметр относится к особому случаю совершенно стратифицированного изотропического
среднего размера; например, с перпендикуляром уровней к оси X так, чтобы K (x, ·, ·)
постоянный для каждого x. Теперь, рассмотрите однородный поток в x-направлении:
;; · K;p = 0 в V = (0,1) 3,
p (0, y, z) = p0, p (1, y, z) = p1,
(;K;p) · n = 0 для y, z ; {0,1},
(25)
где n - прямой модуль, нормальный на ¶V. Это означает это для каждой пары (y, z) ; (0,1) 2 одномерная функция py, z = p (·, y, z) удовлетворяет
; ¶x
;;
Kp;y, z (x)
= 0 в (0,1), py, z (0) = p0, py, z (1) = p1,
от который из этого следует, что
;K (x) еp = ; (K (x) py, z (x), 0,0) T = ;K ;, ; 1
V (p1 ; p0,0,0) T.
Следовательно, правильная upscaled проницаемость равна скупой гармонике.
Упражнение 2. Покажите это, если K вместо этого моделирует стратифицированное изотропическое среднего размера с уровнями
перпендикуляр к y или оси Z, затем правильная upscaled проницаемость для униформы
поток в x-направлении был бы равен среднему арифметическому.
Обсуждение выше показывает, что усреднение методов может быть соответствующим в специальном
случаи. Однако, если мы рассматриваем образцовую проблему (25) с менее идеализированным
гетерогенные структуры, или с теми же самыми гетерогенными структурами, но с другим
граничные условия, затем и арифметика и среднее гармоническое будут вообще
дайте неправильные сетевые скорости потока. Действительно, эти средние числа дают правильную upscaled проницаемость
только для случаев с чрезвычайно одномерным потоком. Попытаться смоделировать поток в больше
чем одно направление можно было произвести диагональный тензор проницаемости со следующим
диагональные компоненты:
Kx, x = ;z
(;y
(;x
h)), Ky, y = ;z
(;x
(;y
h)), Kz, z = ;x
(;y
(;z
h)).
Здесь ;x
a и ;x
h
представьте арифметические и гармонические средства, соответственно, в
x - координатное направление. Таким образом в этом методе каждый запускает, беря среднее гармоническое
вдоль обителей сетки, которые союзник в одном координатном направлении. Каждый затем вычисляет
26 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Рис. 9. Логарифм проницаемости: левый кубик - слоистое среднего размера, тогда как правильный кубик
извлечен от нижнего голоса речной Верхней схемы расположения игроков Мыса от Модели 2 10-ого
SPE Сравнительный Проект Раствора [25].
соответствующая диагональ, беря среднее арифметическое всех "одномерных"
гармонические средства. Это среднее число иногда называют гармоническо-арифметическим средним числом
и может дать хорошие результаты, если, например, резервуар слоист и первоначальное общество
направление потока приезжает уровни.
Несмотря на то, что усреднение методов может дать правильный upscaling в специальном
случаи, они имеют тенденцию давать представление плохо практически, так как средние числа не размышляют
структура или ориентация гетерогенных структур. Также трудно решить
который, составляя в среднем метод, чтобы использовать, так как лучшее среднее число зависит оба от разнородности
из СМИ и на потоке обрабатывают, мы хотим смоделировать (направление потока,
граничные условия, и т.д.). Чтобы иллюстрировать зависимость от потока обрабатывают, мы рассматриваем
пример.
Пример 2 (от [2]). Считайте резервуар в кубике модуля [0,1] 3 с два отличающимся
geomodels, что каждый состоит из 8;8;8 однородные кварталы сетки и проницаемость
сбыт как изображено в Рис. 9. Мы рассматриваем три различных upscalingmethods: гармоника
среднее число (H), арифметическое среднее число (A), и гармоническо-арифметическое среднее число (ХА).
geomodels - upscaled к одиночному кварталу сетки, который затем подвергнут три
различные граничные условия:
BC1: p = 1 в (x, y, 0), p = 0 в (x, y, 1), без потоков в другом месте.
BC2: p = 1 в (0,0, z), p = 0 в (1,1, z), без потоков в другом месте.
BC3: p = 1 в (0,0,0), p = 0 в (1,1,1), без потоков в другом месте.
Таблица 1 сравнивает наблюдаемые крупные блочные скорости со скоростью потока, полученной прямым
моделирование на 8;8;8 сетка. Для слоистой модели, гармоники и harmonicarithmetic
усреднение правильно воспроизводит вертикальный поток, нормальный к уровням для
BC1. Арифметика и гармоническая арифметика, составляющая в среднем правильно, воспроизводят поток
вдоль уровней для BC2. Гармоническая арифметика, составляющая в среднем также, дает представление хорошо для
поток от угла к углу (BC3). Для модели два, однако, все методы ставят существенный
ошибки, и ни один из методов не в состоянии поставить точную скорость потока для
граничные условия BC1 и BC3.
1
2
3
4
5
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 27
Таблица 1. Скорости потока относительно ссылочного уровня QR на тонкой сетке.
Модель 2 модели 1
BC1 BC2 BC3 BC1 BC2 BC3
QH/QR 1 2.31e;04 5.52e;02 1.10e;02 3.82e;06 9.94e;04
QA/QR 4.33e+03 1 2.39e+02 2.33e+04 8.22 2.13e+03
QHA/QR 1 1 1.14 8.14e;02 1.00 1.55e;01
Основанный на потоке Upscaling
Популярный класс методов - так называемые основанные на потоке upscaling методы как сначала предложено
Begg и др. [14]. В этом подходе каждый решает ряд гомогенного давления
уравнения на форме
;; · K;p = 0 в V,
поскольку каждая сетка блокирует V с предписанными граничными условиями, которые вызывают желаемый поток
изображение. Каждый член этого класса методов отличается по пути граничные условия
предписаны.
Простой и популярный выбор состоит в том, чтобы верстать понижение давления одной из координаты
направления и условия без потоков вдоль других лиц, как в (25) для потока в x-
направление. Это дает нам ряд трех скоростей потока для каждого квартала сетки, который может использоваться
вычислить эффективный диагональный тензор проницаемости с компонентами
Kx, x = ;QxLx/DPx, Ky, y = ;QyLy/DPy, Kz, z = ;QzLz/DPz.
Здесь Qx, Lx и DPx - сетевой поток, продолжительность между другими сторонами, и
понижение давления x - направление в V, соответственно.
Другая популярная опция должна выбрать периодические граничные условия. Таким образом, один
предполагает, что каждый квартал сетки - элементарная ячейка в периодическом среднего размера и верстает полный
корреспонденция между давлениями и скоростями в других сторонах квартала;
то есть, чтобы вычислить Kx, x, Kx, y, и Kx, z, мы верстаем следующие граничные условия:
p (1, y, z) = p (0, y, z) ;D p, p (x, 1, z) = p (x, 0, z), p (x, y, 1) = p (x, y, 0),
v (1, y, z) = v (0, y, z), v (x, 1, z) = v (x, 0, z), v (x, y, 1) = v (x, y, 0),
и определите Kx, x = ;Qx Lx/D p. Этот подход результаты симметрическое и определенное положительное
тензор [28], и является обычно более здравым чем направленные граничные условия потока.
Пример 3 (от [2]). Мы повторно посещаем прецеденты, которые рассматривают в Примере 2, но теперь
мы сравниваем гармоническую арифметику, составляющую в среднем (ХА) с основанными на потоке методами
использование направленного (D) и периодические (P) граничные условия. Последний метод дает
воскресните до полных тензоров проницаемости, но для случаев, которые рассматривают здесь недиагональное
условия в upscaled тензорах проницаемости являются маленькими, и поэтому пренебрегаются для
простота.
28 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Таблица 2. Скорости потока относительно ссылочного уровня QR на тонкой сетке.
Модель 2 модели 1
BC1 BC2 BC3 BC1 BC2 BC3
QHA/QR 1 1 1.143 0.081 1.003 0.155
QD/QR 1 1 1.143 1 1.375 1.893
QP/QR 1 1 1.143 0.986 1.321 1.867
Таблица 2 сравнивает наблюдаемые крупные блочные скорости с полученной скоростью потока
прямым моделированием на 8;8;8 сетка. Для слоистой модели все методы дают
тот же самый диагональный тензор проницаемости, и следовательно дает точно те же самые результаты. Для
Модель 2 мы видим, что числовые методы вычисления давления дают значительно
лучшие результаты чем гармоническо-арифметическое среднее число. Действительно, худшие результаты для
метод вычисления давления, которые были получены для потока от угла к углу,
в пределах фактора два, тогда как гармоническо-арифметическое среднее число недооценивает
расходы для BC1 и BC3 почти порядком величины.
Это должно быть примечательно это в дискретном случае, соответствующем upscaling методе
зависит от основного численного метода. Например, если уравнение давления
discretised замыслом TPFA формы (13), затем проницаемости квартала сетки
используются только, чтобы вычислить интерфейс transmissibilities в крупном масштабе. Upscaling
методы для этого метода могут поэтому вместо этого быть предназначены в вычислительном крупном масштабе
transmissibilities (которые воспроизводят поле потока тонкого масштаба в усредненном смысле), непосредственно.
Процедуры для вычислительного крупного масштаба transmissibilities подобный усреднению и
числовые методы вычисления давления были предложены в [38] и, например,
[31], соответственно.
5 Методов Мультимасштаба Уравнение Давления
Подповерхностные проблемы потока представляют важное приложение, которое призывает больше
математически строгое обслуживание пути большой промежуток значений проницаемости
и продолжительность корреляции воздействует на раствор. Conventionalmethods являются несоответствующими для
этот problembecause разнородность в бекаре porousmedia не имеет ясно
разделенные масштабы изменения, и потому что изменения проницаемости, происходящие в маленьком
у шкал расстояний (например, меньший масштаб чем разрешение сетки) может быть сильное влияние
на потоке в очень более широких масштабах. Это делает подповерхностные проблемы потока бекаром
цель для нового класса методов назвала методы мультимасштаба - методы та попытка
смоделировать физические явления на крупных сетках в то время как удостаивание небольшие полнометражные фильмы
то воздействие крупный раствор сетки соответствующим способом, например, соединяясь
информация о подсетке в числовые замыслы частичных отличительных уравнений в a
путь, который совместим с локальным свойством дифференциального оператора.
Большое количество методов мультимасштаба появилось в литературе по вычислительному
наука и разработка. Среди них есть множество методов (например,
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 29
[1, 8, 9, 22, 33, 34]), что цель, решая овальные уравнения той же самой формы как
уравнение давления для несжимаемого подповерхностного потока. Методы Upscaling, которые происходят
свойства крупной сетки от числовых вычислений подсетки могут также в определенном
распознайтесь быть рассмотренными asmultiscalemethods, но способ, которым включены upscaled свойства
в крупный масштаб системы не обязательно совместимо со свойствами
из дифференциального оператора.
В этом разделе мы представляем три выбранных методики мультимасштаба. Основная идея к
покажите, как методы мультимасштаба созданы, и как информация о подсетке встроена
в систему крупного масштаба. Для представляемой краткости и улучшенной удобочитаемости мы
считайте только овальным (несжимаемый поток) уравнения, и игнорируйте капилляр, шпигует
так, чтобы ;pj = ;p для всех фаз j.
Позвольте W обозначать наш резервуар. Кроме того позвольте Си = {висмут} быть делить W
в многогранные кварталы сетки и позволяют {Соль
я j = ¶ висмут ; ¶ Bj} быть соответствующим набором
невырожденные интерфейсы. Повсюду мы неявно предполагаем что весь висмут кварталов сетки
разделены на меньшие обители сетки, которые творят подделить W. Без сжимаемости
и капилляр шпигует, уравнение давления для трехфазового мазута
модель теперь читает:
v = ;K (l;p;lGG), ; · v = q в W. (26)
где мы вставили v = ;j vj, л = ;j
kr j
; j
, и lG = ;j r j
kr j
; j
для краткости. Мы
предположите что граничные условия без потоков v · n = 0 наложены на ¶W, и что p
уникально определенный, добавляя ограничение
R
W pdx = 0.
5.1 Метод конечных элементов Мультимасштаба (MsFEM) в 1D
Прежде, чем мы введем методы мультимасштаба для того, чтобы решить (26) в трехмерных доменах,
мы запускаем с инструментального примера в одном пространственном измерении. С этой целью,
мы рассматриваем следующую овальную проблему:
¶x
;;
K (x) p ; (x)
= f, в W = (0,1), p (0) = p (1) = 0, (27)
где f, K ; L2 (W) и K ограничен выше и ниже положительными константами.
MsFEM был сначала введен Ху и Ву [33], но основная идея идет
отступите, чтобы ранее работать Babu;ska и Осборном [12] для 1D проблемы и Babu;ska,
Caloz, и Осборн [11] для специальных 2-ых проблем. Метод, как стандартный FEMs,
основанный на вариационной рецептуре. В вариационной рецептуре (27) мы ищем
p ; H1
0 (W), таким образом, что
(p, v) = (f, v) для всего v ; H1
0 (W), (28)
где (·, ·) скалярное произведение L2 и
(p, v) =
Z
W
K (x) u ; (x) v ; (x) дуплекс.
30 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Теперь, позвольте NB = {0 = x0 <x1 <... <xn;1 <xn = 1} быть рядом узлов и
определите висмут = (xi;1, xi). Для каждого xi, я = 1..., n;1 мы связываем соответствующее основание
функционируйте f i ; H1
0 (W), определенный
(f i, v) = 0 для всего v ; H1
0 (висмут ;Bi+1), fi (xj) =di j, (29)
где di j является дельтой Kronecker. Метод конечных элементов мультимасштаба ищет
уникальная функция p0 в
Vms = промежуток {fi} = {u ; H1
0 (W): (u, v) = 0 для всего v ; H1
0 (;iBi)} (30)
удовлетворение
(p0, v) = (f, v) для всего v ; Vms. (31)
Мы теперь показываем, что раствор p (28) может быть написан как сумма p0 и a
семейство решений к независимым местным проблемам подсетки. С этой целью мы сначала показываем
это p0 = пи, где пи - уникальная функция в Vms с пи (x) = p (x), x ; NB.
Действительно, с тех пор p ; пи исчезает на NB, у нас есть p ; пи ; H1
0 (;iBi). Следовательно, это следует
от (28) и взаимная ортогональность Vms и H1
0 (;iBi) относительно (·, ·)
это
(пи, v) = (p, v) = (f, v) для всего v ; Vms.
Таким образом, в частности (31) и выбирающий v = пи ; p0 мы получаем
(пи ; p0, пи ; p0) = 0,
который подразумевает p0 = пи. Таким образом, p = p0+;i> 0 пи, где пи ; H1
0 (висмут) определен
(пи, v) = (f, v) для всего v ; H1
0 (висмут).
Следовательно, как обещающийся, раствор (28) является суммой p0 и растворов свободному художнику
местные проблемы подсетки. Этот результат может также видеться непосредственно, обращая внимание, что p0,
по определению, ортогональное проектирование на Vms относительно скалярного произведения
(·, ·) и обращая внимание на это H1
0 (W) =Vms;H1
0 (;iBi).
Упражнение 3. Покажите это
(fi, f j) =
;;;
;;
K ;, ; 1
i/(xi;xi;1) +K ;, ; 1
i+1 / (xi+1;xi), если я = j,
;K ;, ; 1
max (я, j) / |xi;xj |, если |i ; j | = 1,
0, если |i ; j |> 1,
(32)
где K ;, ; 1
я
гармоника, скупая из K по антракту [xi;1, xi], то есть,
K ;, ; 1
i =
xi;xi;1 R xi
xi;1
K (x) 1 дуплекс
.
Считайте затем стандартные центральные основные функции используемыми в линейном FEM. Здесь
основные функции fi линейны на каждом антракте и удовлетворяют fi (xj) =di j. Покажите что
соответствующие коэффициенты для этого метода получены, заменяя гармонику
средства в (32) с ассоциированными средними арифметическими.
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 31
Конечный-elementmethod мультимасштаб может также быть расширен на более высокие размеры,
но не дает в местном масштабе массово-консервативные скоростные поля. Затем мы представляем мультимасштаб
конечный-volumemethod, который является по существу версией конечного элемента объема управления
из MsFEM. Методы конечных элементов объема управления ищут решения в определяемом
пробелы приближения конечного элемента (на двойной сетке), а скорее чем формулировка
глобальная проблема в вариационной структуре, они используют рецептуру конечного объема
(на основной сетке), который дает массово-консервативные скоростные поля.
5.2 Метод Конечного объема Мультимасштаба (MsFVM)
Метод конечного объема мультимасштаба [34] использует числовые вычисления подсетки
(аналогичный тем в [33]), чтобы получить трафарет amulti-очка для того, чтобы решить (26) на крупном
сетка. Метод затем продолжается и восстанавливает массово-консервативное скоростное поле
на тонкой сетке как наложение местных растворов подсетки, где отягощения
полученный из раствора крупной сетки.
Происхождение уравнений крупного масштаба в MsFVM - по существу upscaling
процедура для того, чтобы произвести крупный масштаб transmissibilities. Первый шаг к
решите ряд гомогенных краевых задач формы
;; · Kl;f k
i = 0, в R, f k
i = nk
я, на ¶ R, (33)
где R - так называемые области взаимодействия как иллюстрировано в Рис. 10 и nk
я
граница
условия, которые будут определены ниже. Приписка i в f k
я
обозначает угловую точку в
крупная сетка (xi в числе) и верхний индекс k переезжает все угловые точки
область взаимодействия (xk в числе). Таким образом, для каждой области взаимодействия связывался
с например, hexahedral сетка в трех измерениях мы должны решить в общей сложности восемь
местные краевые задачи формы (33). Идея позади MsFVM к
выразите глобальное давление как наложение этих местных растворов давления f k
я
.
Таким образом в каждой области взаимодействия R каждый предполагает, что давление - наложение
из местных растворов подсетки {f k
i}, где k передвигается на все угловые точки в
область взаимодействия (то есть, по центрам обители кварталов крупной сетки).
Во-первых, мы определяем граничные условия nk
я
в (33). Они определены, решая
уменьшенная мерная проблема потока на каждом лице F области взаимодействия
;; · Kl;nk
i = 0 в F, (34)
с граничными условиями, данными nk
я (xl) = dkl в углу очки взаимодействия
область. (В трехмерном значения угловой точки сначала расширены на края F
линейная интерполяция). Однажды nk
я
вычислены, местные растворы давления f k
я
может быть
вычисленный от (33).
Следующий шаг должен идентифицировать основные функции для метода мультимасштаба. К этому
конец, мы замечаем, что обитель центрируется, xk составляют угловую точку для четырех взаимодействий
области в 2-ом и для восьми областей взаимодействия в трехмерном (для регулярной hexahedral сетки).
Кроме того, для всех угловых точек xi крупной сетки, соответствующей границы
32 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
x
я
R
K
k
xk
Рис. 10. Теневая область представляет область взаимодействия R для MsFVM, где xi обозначает
угловые точки и xk середины крупных кварталов сетки. Середины xk
угловые точки области взаимодействия.
Рис. 11. Основная функция давления f k для MsFVM в двумерном пространстве.
условия nk
я
для различного давления уравнения совпадают на соответствующих лицах
из областей взаимодействия, которые совместно используют угловую точку xk. Это подразумевает что основание
функция
f k =;
я
f k
я
(35)
непрерывно (в дискретном смысле), см. Рис. 11. В следующей конструкции,
базируйтесь функции, определенные в (35), будут служить стандартными блоками, которые используются, чтобы создать
глобальный "непрерывный" раствор давления.
Таким образом определите теперь приближение, располагают Ums с интервалами = промежуток {f k} и замечают что все
основные функции исчезают вообще, но один из квартала сетки сосредотачивает xk. Это подразумевает это,
данный ряд значений давления {pk}, там существует уникальное выпрямление {pk} ; p ;Ums
с p (xk) = pk. Это выпрямление определено
p = ;
k
pkf k =;
я, k
pkf k
i. (36)
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 33
Многоточечный трафарет может теперь быть определен, монтируя вклад потока через
границы квартала сетки от каждой основной функции. Таким образом позволить
ФК, л = ;
Z
¶ Кипа
n · Kl;f k ds
будьте местным потоком из Кипы квартала сетки, вызванной f k MsFVM для того, чтобы решить (26)
затем ищет постоянные давления квартала сетки {pk} удовлетворение
;k
ФК pk, л =
Z
Кипа
;;
q;; · KlGG
дуплекс ;l.
Чтобы восстановить массово-консервативное скоростное поле в тонком масштабе, дайте обзор сначала этого
расширение (36) ставит массово-консервативное скоростное поле на крупной сетке.
К сожалению, это скоростное поле не будет сохранять мессу через границы
области взаимодействия. Таким образом, чтобы получить скоростное поле, которое является также массовым консерватором на
тонкая сетка мы будем использовать потоки подсетки, полученные из p как граничные условия
для того, чтобы решить местную проблему потока в каждой крупной Кипе квартала, чтобы восстановить finescale
скорость vl. Таким образом, решите
vl = ;K (l;pl ;lGG), ; · vl =
1
|Bl |
Z
Кипа
q дуплекс в Кипе, (37)
с граничными условиями, полученными от (36), то есть,
vl = ;Kl;p на ¶ Кипе, (38)
где p - расширенное давление, определенное (36). Если эти проблемы подсетки
решенный с консервативным замыслом, затем глобальное скоростное поле v = ;Bl
vl будет
будьте массовым консерватором. Обратите внимание, однако, что, так как проблемы подсетки (37) - (38)
решенный независимо мы освобождаем сценарий глобального раствора давления, который является
теперь определенный p = ;Bl
мн.
Замечание 1. Существующая форма MsFVM, который был развит Дженни и
al. [34], не моделирует источники в масштабе подсетки. Действительно, характеристики выброса в
(37) одинаково распределен в пределах квартала сетки. Таким образом, чтобы использовать вызванную скорость
поле, чтобы моделировать фазу транспортирует, нужно обработать колодцы как однородный источник
в пределах всего квартала углубления. Однако, более подробное представление потока вокруг
колодцы могут быть получены, заменяя (37)
vl = ;K (l;pl ;lGG), ; · vl = q в Кипе (39)
в кварталах сетки, содержащих углубление, то есть, для всей Кипы, в которой q является отличным от нуля.
5.3 Мультимасштаб Смешанный метод конечных элементов (MsMFEM)
Вспомните что перемешанный конечный элемент discretisations овальных уравнений на форме (26)
ищите решение (p, v) к смешанным уравнениям
34 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Z
W
u · (Kl) ;1v дуплекс ;
Z
W
p ; · u дуплекс =
Z
W
lGG · u дуплекс, (40)
Z
W
л ; · v дуплекс =
Z
W
дуплекс ql, (41)
в конечно-мерном результате располагают U с интервалами ;V ; L2 (W) ;H
1, отделение
0 (W). Если подпробелы
U ; L2 (W) и V ; H
1, отделение
0 (W) должным образом сбалансированы (см., например, [16, 17, 18]), затем p
и v определены (до добавочной константы для p), требуя, чтобы (40) - (41) держался
для всех (л, u) ;U ;V.
В MsMFEMs каждый создает специальное пространство приближения для скорости v
это отражает важную информацию о подсетке. Например, вместо того, чтобы искать скорости
в простом пространстве приближения, заполненном основными функциями с полиномиалом
компоненты, каждый вычисляет специальное основание мультимасштаба functionsY в аналогичной манере
к MsFVM, и определяет соответствующее пространство приближения мультимасштаба
Vms = промежуток {Y}. Пространство приближения давления состоит просто из кусочных
постоянные функции на крупной сетке, то есть,
U = {p ; L2 (W): p|B является постоянным для всей Си ;B}.
Следовательно, в MsMFEM мы ищем
p ;U, v ; Vms, таким образом, что (40) - (41) держится для ;l ;U, ;u ; Vms. (42)
MsMFEM таким образом решает масштабы подсетки в местном масштабе через конструкцию специальных
основные функции мультимасштаба, тогда как крупные масштабы решены, решая
уравнения discretised на уровне крупной сетки.
Пространство приближения для давления p, который отражает структуры подсетки, может
будьте определены подобным образом. Однако, тогда как скоростные поля для втекают пористые
СМИ могут колебаться быстро, давление обычно относительно гладко. Это поэтому
часто достаточный к образцовому давлению с низким разрешением, пока это не делает значительно
ухудшите точность скоростного раствора. Таким образом, потому что MsMFEM
обрабатывает давление и скорости как отдельные расцепленные переменные, это - бекар, чтобы использовать
пространство с высокой разрешающей способностью для скорости и пространство с низкой разрешающей способностью для давления. В другом
слова, вычислительное усилие может быть потрачено, где оно больше всего необходимо. Кроме того,
пробелы приближения не могут быть выбраны произвольно. Действительно, теория конвергенции
для смешанных методов конечных элементов, так называемого Ladyshenskaja-Babu;ska-Brezzi
теория (см. [16, 17, 18]) заявляет, что пробелы приближения должны удовлетворить отношение
названный условием inf-глотка, или LBB (Ladyshenskaja-Babu;ska-Brezzi) условие.
Использование пространства приближения мультимасштаба, также для переменной давления, может вызвать
Условие LBB, которое будет нарушено.
Упражнение 4. Покажите это, если скоростной раствор v (17) - (18) содержится в Vms, то
скоростной раствор (42) совпадает с v.
Пространство приближения для Дарси Велокити
Рассмотрите крупную сетку, которая накладывает тонкое (подписчик) сетка, например как иллюстрировано в
Рис. 12. Для скорости мы связываем один вектор основных функций с каждым nonMultiscale
Методы для Подповерхностного Потока 35
K
я
K
j
Рис. 12. Оставленный: Схематичный из крупной и тонкой сетки для MsMFEM. Теневая область
обозначает поддержку скоростной основной функции, связанной с краем между двумя
кварталы сетки Bi и Bj. Право: x-компонент основной функции MsMFEM связывался с
интерфейс между двумя прямоугольными (двумерными) кварталами сетки.
ухудшитесь Соль интерфейса
я j между двумя соседними кварталами сетки Bi и Bj. Быть точным,
для каждой Соль интерфейса
я j мы определяем основную функцию И j
И
j = ;K;fi j, в висмуте ;Bj, (43)
где fi j определен
(; · И j) |Bi = ; (x) /
Z
Висмут
; (x) дуплекс, (44)
(; · И j) |Bj = ;; (x) /
Z
Bj
; (x) дуплекс. (45)
с граничными условиями без потоков вдоль краев ¶ висмут ; ¶ Bj\G
я j.
Функция ; в (44) - (45) является положительной функцией, которая может быть определена в различном
пути. Чен и Ху [22] просто использовали ; (x) = 1, который ставит массового консерватора
скоростные поля на уровне крупного масштаба и в тонком масштабе для всех кварталов, где
источник termq является нолем. Для blockswith характеристик выброса отличных от нуля q, скорость тонкого масштаба
не консерватор, если q не обработан как константа в пределах каждого квартала сетки (аналогичный
путем источники смоделированы в оригинальном MsFVM [34]). В моделировании резервуара,
однако, этот способ обработать источники является несоответствующим. Действительно, здесь характеристики выброса
q представляет колодцы, которые являются очком - или источники строки, и моделирующий поток правильно в
область почти углубления, как полагают, очень важна. Однако, так как эта проблема
соединенный специально с приложением моделирования резервуара, мы обсудим, как ; может
будьте определены, чтобы обработать колодцы наряду с другими проблемами implementational в Секте. 6.
Чтобы получить массово-консервативное скоростное поле на подсетке масштабируются, мы должны решить
проблемы подсетки (43) - (45) с накапливают консервативный замысел. Рис. 12 выводит на экран
x-компонент скоростной основной функции для случая с ; (x) = 1 вычисленное использование
Raviart-Фома самая низкоуровневая перемешивала FEM. Мы ясно видим сильные колебания в
скорость, которые отражают разнородность тонкого масштаба. Обратите внимание также что основные функции
И
j определены, чтобы быть свободным художником времени. Это подразумевает что вычисление
36 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
основные функции мультимасштаба могут быть сделаны партией шага предварительной обработки, также для потоков
с большими изменениями в полной подвижности л. Другими словами, одиночный набор основания
функции могут использоваться в течение всего моделирования. Причина, почему это не
необходимый, чтобы включать полную подвижность в (43) то, что изменения подвижности в пределах a
одиночный квартал является обычно маленьким относительно скачков в проницаемости. Поэтому,
включая только K мы объясняем доминантовую партию изменчивости тонкой сетки в
коэффициенты Kl. Крупная изменчивость сетки полной подвижности принята во внимание
повторно собирая крупную объединенную энергосистему каждый раз ступают.
Замечание 2. Поскольку theMsFVMone может также использовать одиночный набор основных функций повсюду
все моделирования. Однако, чтобы составлять изменчивость крупной сетки полной подвижности
нужно скорректировать upscaled MsFVM transmissibilities, например, умножаясь
начальная буква transmissibilities с фактором, который отражает изменение в полной подвижности.
Это подразумевает, что нельзя сбежать из решения местных подпроблем (37) или (39)
чтобы получить массовое консервативное скоростное поле на тонкой сетке. Этот полнометражный фильм
вообще делает MsFVM более в вычислительном отношении дорогим для многофазных потоков
чем MsMFEM.
5.4 Числовые Примеры
И MsMFEM и MsFVM решают уравнение крупного масштаба глобально, пробуя
решить изменения тонкого масштаба при использовании специальных основных функций мультимасштаба. Затем, мы
продемонстрируйте, что точность произведенных скоростных растворов не очень чувствительна
к измерению крупной сетки.
Пример 4 (от [3]). Рассмотрите горизонтальный, двумерный резервуар с 60; 220 обителей сетки с проницаемостью с нижней точки уровень Модели 2 в 10-ом SPE
Сравнительный Проект Раствора [25]. Мы вводим воду в центре домена и
поставите елей и воду в каждом из этих четырех углов. Уравнение давления решено
использование theMsFVM и theMsMFEMwith различные размеры крупной сетки. Для сравнения,
мы также вычисляем два контрольных раствора, используя замысел TPFA, один на
оригинал 60;220 сетка, и один на сетке, которая усовершенствована четыре раза в каждом направлении.
Используя соответствующие скоростные поля, мы решаем моделирование уравнения
транспортировка несжимаемой жидкости, используя вверх по течению метод конечного объема на
лежание в основе тонкой сетки.
Рис. 13 показывает имеющие результатом поля насыщения когда общий выходной уровень воды
это было введено, равно 30 % полного доступного объема поры. Мы наблюдаем
то все насыщение графики довольно подобно графикам насыщения, полученным, используя
ссылочные скоростные поля. Мы поэтому также определяем количество ошибок в соответствующем
поля насыщения
d (S) =
ми (S)
ми (Sref)
, ми (S) = kS;I (S4; касательно) kL1
kI (S4; касательно) kL1
,
где я - действующая компания, которая отображает раствор насыщения на усовершенствованном 240;880
сетка на оригинал 60;220 сетка. Результаты, выведенные на экран в Таблице 3, показывают это там
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 37
Таблица 3. Относительная ошибка насыщения d (S) для моделирования пятерки в Уровне 85 из Модели 2
10-ый Сравнительный Проект Раствора SPE для различных крупных сеток.
30;110 15;55 10;44 5;11
MsMFEM 1.0916 1.2957 1.6415 1.9177
MsFVM 1.0287 1.6176 2.4224 3.0583
Таблица 4. Время выполнения для Модели 2 10-ого Сравнительного Проекта Раствора SPE использование направления потока
тренажер с TPFA или давлением MsMFEM solver имел размеры на PC рабочей станции с a
2.4 ГГц кухонный комбайн Intel Core 2 Duo с кэшем на 4 МБ и памятью на 3 гигабайта.
Общее количество Направления потока давления
TPFA 465 сухих 51 сухой сухие 516
MsMFEM 91 сухой 51 сухой сухие 142
некоторая деградация качества раствора, когда сетка огрубляется, но ошибки
не очень чувствительный к размеру крупной сетки.
Когда уравнение давления (26) потребности, которые будут решены однажды, методы мультимасштаба
описанный выше может только предложить ограниченное ускорение относительно затраченного времени на решении
полная проблема на тонкой сетке, используя современный линейный solvers, например, алгебраический
многосеточные методы [47]. Однако, для двухфазовых моделирований потока, где давление
уравнение должно неоднократно решаться, было продемонстрировано что основание
функции должны быть вычислены только однажды, или нечасто корректироваться [1, 35, 39]. Это
средства, что основное вычислительное задание связано с решением глобальной крупной сетки
система, которая значительно менее дорога чем решение полной тонкой объединенной энергосистемы.
Это иллюстрировано следующим примером.
Пример 5 (от [40]). Считайте теперь полный SPE 10 моделями, которые состоят из 60; 220;85 однородные обители. Лучшие 35 уровней от гладкой схемы расположения игроков Tarbert,
тогда как дно, которое 50 уровней от речной Верхней схемы расположения игроков Мыса, видят Рис. 1.
Резервуар поставлен, используя изображение пятерки вертикальных колодцев с инжектором
в середине; см. [25] для большего количества деталей.
Чтобы моделировать постановку обрабатывают, мы используем обтекаемый тренажер с два отличающийся
давление solvers: (i) TPFA с алгебраическим многосеточным линейным solver [47], и
(ii) MsMFEM на 5;11; 17 крупных сеток. Направление потока solvers, как известно,
очень эффективный по сравнению с обычным (конечная разность) тренажеры резервуара, для
который вычисления полной трехмерной модели SPE10 за пределами поля используют одиночный кухонный комбайн
и занимает несколько часов на параллельном кухонном комбайне. Ключ к высокой производительности
из направления потока solvers лежит в основе разделения действующей компании, используемого, чтобы разделить раствор
давление/скорость от раствора транспорта жидкостей, который здесь решен вперед
1D направления потока (то есть, в лагранжевых координатах) и отображенный назад на Eulerian
сетка имела обыкновение вычислять давление и скорости.
Таблица 4 сообщает о времени выполнения для двух моделирований 2 000 дней постановки для
целая модель. В обоих выполнениях тренажер использовал 5 000 направлений потока и 25 раз
Рис. 13. Растворы насыщения вычислили использование скоростных полей, полученных с MsMFEM и
MsFVM на различных крупных сетках (c-j), TPFA на оригинальной тонкой сетке (a), и TPFA на
сетка, которая усовершенствована четыре раза в каждом направлении (b).
J. Ми. Aarnes, K A. Лгите, 38 V. Kippe, С. Крогстэд
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 39
шаги. Затраченное время на транспортном шаге включает рассмотрение направлений потока, решая 1D
транспортные уравнения, и отображающиеся растворы назад и вперед между давлением и
обтекаемая сетка. Затраченное время в давлении мультимасштаба solver включает начальную букву
вычисление основных функций и блок и раствор крупной объединенной энергосистемы для
каждый такт. Используя давление MsMFEM solver дает ускорение 5.1 для
раствор давления и 3.6 для полного вычисления. Кроме того, с полным временем выполнения
из 2 минут и 22 секунд, моделируя миллион моделей резервуара обители стал
(почти) интерактивное задание, используя направление потока мультимасштаба solver.
Замечание 3. Обратите внимание, что основная функция может быть вычислена независимо, что означает
то, что вычисление основных функций - так называемое, смущающе параллельны заданию.
Еще дальнейшее ускорение должно поэтому ожидаться для параллельного выполнения, используя
например, мультиосновные кухонные комбайны, которые становятся доступными в современных PC.
6 Проблем Имплементэйшнэла для MsMFEM
В этом разделе мы обсуждаем некоторые из проблем implementational, которые нужно обратиться
осуществляя MsMFEM. Мы запускаем, обсуждая что соображения
нужно принять во внимание, производя крупную сетку. Затем мы объясняем
как крупная объединенная энергосистема может быть смонтирована эффективно, и значения это
это имеет на выборе численного метода, используемого для того, чтобы вычислить скорость мультимасштаба
основные функции. Мы затем обсуждаем роль функции ; на четкости
основные функции, и как это воздействует на раствор MsMFEM. Наконец, описываем мы
кратко, как встроить глобальную информацию в основные функции к более точно
решите поток около крупномасштабных гетерогенных структур, у которых есть сильное влияние на
режим потока.
6.1 Поколение Крупных Сеток
Это было продемонстрировано в [4, 5], что MsMFEM очень гибок относительно
геометрия и топология крупной сетки. Немного упрощенный, гибкость сетки может
будьте заявлены следующим образом: учитывая соответствующий solver для местных проблем потока на a
особый тип тонких сеток, MsMFEM может быть сформулирован на любой крупной сетке
где каждый квартал сетки состоит из произвольного набора соединенных обителей тонкой сетки.
Чтобы иллюстрировать, рассмотрите маленькую модель, где W определен как союз трех
кварталы изображены в Рис. 14. Хотя эти кварталы сложены друг на друге,
у каждой пары кварталов есть общий интерфейс. Таким образом, в рецептуре мультимасштаба мы
создайте три основных функции для этого набора кварталов, один для каждой пары, изображенной в
Рис. 14.
Обширные тесты, о некоторых из которых сообщают в [4, 5], показывают что точность
из MsMFEM вообще не очень чувствительно к форме кварталов. Фактически,
точные результаты получены для сеток, содержащих кварталы с 'довольно экзотическими' формами,
см. например, [4, 5]. В следующих трех примерах мы покажем некоторые примеры крупных
сетки, чтобы доказать это требование. Читатель упомянут [4, 5] для более полного
обсуждение числовой точности, полученной использующий этот вид крупных сеток.
40 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Рис. 14. Домен с тремя кварталами и соответствующие поддомены, составляющие поддержку
имеющие результатом основные функции MsMFEM.
Рис. 15. Крупная сетка определила сверху структурированной угловой точки тонкую сетку. Обители в
крупная сетка дана различным флагом.
Пример 6 (Почти хорошо сетка). Рисунок 15 показывает вертикальной линии хорошо проникновение через структурированный
сетка угловой точки с разрушенными уровнями. На крупной сетке углубление ограничено a
одиночная обитель, состоящая из всех обителей в тонкой сетке, проникла углублением. Кроме того,
дайте обзор номера на одного человека, граничащего с кварталом, сформированным как 'цилиндр' с лункой.
Пример 7 (Барьеры). Рисунок 16 показывает подраздел модели SPE10, в который
мы вставили несколько барьеров потока с очень низкой проницаемостью. В [4] это показали
тот MsMFEM становится неточным, если крупные обители сетки сокращены в два (или больше)
некоммуникабельные партии барьером потока. К счастью, это может быть автоматически
обнаруженный, производя основные функции, и разрешение может быть улучшен
использование некоторой формы обработки сетки. Данные показывают два разных подхода: (i)
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 41
Рис. 16. Верхняя строка показывает поле проницаемости (право), и внутренние (оставленные) барьеры.
Более низкая строка показывает иерархически усовершенствованную (оставленную) сетку, сетка барьера (середина), и крупное
квартал сетки в сетке барьера (право).
Рис. 17. Однородное делить в индексирует пространство модели угловой точки, содержащей большое количество
из разрушенных уровней.
структурированная, иерархическая обработка, и (ii) прямое объединение барьеров потока
как дополнительные крупные кварталы сетки, пересекающие uniform3;5;2 сетку. Это имеет результатом скорее
экзотические крупные обители, например, как показано в числе, где оригинальная прямоугольная обитель
состоя из 10;16;5 тонкие обители почти разделен в два барьером, и окончанием
крупная обитель только соединена через одиночную обитель в тонкой сетке. Хотя
число обителей сетки в сетке барьера - в пять раз меньше чем для иерархически
усовершенствованная сетка, ошибки в изгибах постановки сопоставимы, указывая на это
MsMFEM является здравым относительно формы крупных обителей.
Пример 8 (Разрушенные уровни). Рисунок 17 показывает, что uniformpartitioning в индексирует пространство
сетка угловой точки, моделируя волнистый depositional пласт в масштабе метра. cornerpoint
сетка описана вертикальными колоннами что форма uniform30;30 в горизонтальном
плоскость и 100 очень тонких слоев, из которых многие выходят из строя к гиперплоскости в некоторых
области. Данные также показывают форму в физическом пространстве некоторых из крупных
42 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
1 2 3
4
5
6 7 8
Направление потока
1 3
2
5
6 7 8
Направление потока
Рис. 18. Иллюстрация некоторых из направляющих линий для того, чтобы выбрать хорошую крупную сетку. В левом графике,
все кварталы за исключением Квартала 1 нарушают по крайней мере одну из направляющих линий каждый. В правильном графике,
кварталы были улучшены за счет большего количества сцеплений в крупной объединенной энергосистеме.
кварталы, следующие из однородного того, чтобы делить в, индексируют пространство. Все кварталы используются
непосредственно в моделировании, за исключением квартала в нижнем правом углу, который имеет
две разъединенных партии и таким образом могут быть разделены в два автоматически.
Сложные крупные кварталы, являющиеся результатом прямого того, чтобы делить в, индексируют
пространство фактически даст более точные результаты чем, что получено из более сложного
-gridding замыслы, пробующие например, чтобы заставить каждую обитель быть как близко к постоянному клиенту
поле hexahedral насколько возможно. Причина состоит в том, что поток будет следовать за слоистой структурой
из среднего размера и поэтому решен наиболее точно крупными сетками это
отразите слоение.
Факт, что MsMFEM довольно нечувствителен к числу и форме
маркирует крупные средства сетки что процесс производства крупного моделирования
сетка от сложной геологической модели может быть очень упрощена, особенно когда
тонкая сетка полностью неструктурирована или имеет геометрические осложнения из-за ошибок, бросков,
и разрушенные обители; например, как видящийся в Плодах инжира 3 и 8. Однако, у MsMFEM действительно есть некоторые
ограничения, как идентифицировано в [4]. Здесь это наблюдалось это барьеры (низко-водопроницаемый
препятствия), может вызвать неточные результаты, если крупная сетка не инсценирует к барьеру
структуры. Кроме того, было продемонстрировано, что MsMFEM в его существующей форме имеет
ограниченная способность смоделировать двунаправленный поток через интерфейсы крупной сетки; тонкая сетка
потоки в интерфейсах крупной сетки в восстановленном поле потока будут обычно входить
то же самое направление.
Поскольку средство от ограничений идентифицировало в [4], это возможно к глобальному подвигу
информация (например, от начального давления тонкого масштаба решают), создавая основание
функции [1], см. также Секту. 6.4. Однако, наш опыт указывает что точный
результаты также получены, если крупная сетка повинуется определенным направляющим линиям; см. левый график
в Рис. 18 для иллюстраций:
1. Крупная сетка должна предпочтительно минимизировать возникновение двунаправленного потока
через интерфейсы крупной сетки. Примеры структур сетки, которые увеличивают вероятность
поскольку двунаправленный поток:
• Крупная сетка стоит с (очень) неправильными формами, как 'пилообразные' лица
между Кварталами 6 и 7 и Кварталами 3 и 8.
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 43
• Кварталы, которые не содержат характеристики выброса и имеют только одного соседа, как
Квартал 4. (Простое средство от этого должно разделить интерфейс на по крайней мере два
подлица, и определяют основную функцию для каждого подлица.)
• Кварталы, имеющие интерфейсы только вперед и не поперечный к главному потоку
направления, как Квартал 5. (Чтобы представить поток в определенном направлении, там должен
будьте по крайней мере одним нетангенциальным лицом, которое определяет основную функцию в данном
направление потока.)
2. Кварталы и лица в крупной сетке должны следовать за геологическими уровнями всякий раз, когда
возможный. Это не выполнено для Кварталов 3 и 8.
3. Маркирует крупную сетку, должен инсценировать, чтобы течь препятствия (барьеры сланца, и т.д.)
когда бы ни было возможно; см. [4].
4. Для параболического (сжимаемый поток) проблемы, например, трехфазовые модели мазута,
нужно смоделировать точечные источники (и источники строки) на уровне подсетки. Например,
для моделирования резервуара нужно назначить отдельный квартал сетки каждому
обитель в оригинальной сетке с открытым углублением perforation1.
Кроме того, чтобы улучшить эффективность метода, нужно попытаться сохранить число
из соединений между крупной сеткой блокирует настолько низко насколько возможно, чтобы минимизировать
пропускная способность системы крупного масштаба, и избегает иметь слишком много маленьких кварталов как
это увеличивает измерение системы крупного масштаба, но не обязательно улучшается
точность значительно.
В правильном графике Рис. 18 мы использовали направляющие линии выше, чтобы улучшиться
крупная сетка от левого графика. В частности мы присоединялись к Кварталам 2 и 4, и имейте, имеют
увеличенный размер Квартала 5, чтобы гомогенизировать объемы квартала и ввести основание
функции в главном направлении потока для этого квартала. При этом мы увеличиваем число
из сцеплений от девять до двенадцать (удаляя сцепление между Кварталами 2
и 4 и представление дополнительного сцепления среди Кварталов 1, 3, 5, 6, и 8). Вообще это
может быть трудным получить 'оптимальную' крупную сетку, с тех пор guidelinesmay быть в конфликте
друг с другом. С другой стороны это редко необходимо, так как MsMFEM
относительно здравый относительно выбора крупной сетки.
6.2 Вычисления Основных функций и Монтаж кинопленки Линейной Системы
В принципе любой консервативный численный метод может использоваться, чтобы создать основание
функции, например, любой из этих четырех методов обсужден в Секте. 2.1. Однако, вычисления
записи в крупной сетке линейная система требуют оценки следующих скалярных произведений
между основными функциями мультимасштаба:
1 Для моделирования резервуара есть также другая причина кроме сжимаемости, к тому, почему это
предпочтительный, чтобы назначить отдельные кварталы на каждую обитель с открытой перфорацией углубления. Действительно,
источник q в моделях моделирования резервуара не вообще известен априорно, но определен
так называемые модели углубления, которые связывают уровни углубления с давлением в ассоциированном квартале углубления.
Чтобы вычислить уровни "правильно", нужно получить давление в правильном квартале углубления.
MsMFEM обеспечивает значение давления для каждого крупного квартала сетки. Таким образом, назначая a
заблокируйте к каждой обители с открытой перфорацией углубления, мы извлекаем значения, которые представляют фактическое
давление в этих обителях. Другими словами давление в колодцах смоделировано с подсеткой
разрешение.
44 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
Z
W
И
j · (Kl) ;1Ykl дуплекс. (46)
Либо, можно использовать приблизительный внутренний результат как тот, используемый в
подражательная рецептура обсуждена в Секте. 3.4.
Если метод конечного объема используется, вычислительная программа для того, чтобы вычислить их
скалярные произведения, или точно или приблизительно, вообще не доступны. Таким образом, к
осуществите MsMFEM, нужно добавить дополнительную функцию в числовом выполнении.
Когда смешанный FEM или подражательный FDM используются, с другой стороны, a
программа для того, чтобы вычислить скалярное произведение (46) является партией выполнения
подсетка solver. Фактически, в этом случае интеграл (46) может быть выражен как vectormatrix-
векторный результат.
Позвольте R быть матрицей, сформированной со столбцами ri j проведение коэффициентов ri j
kl
в
следующее расширение:
И
j = ;g
kl
ri j
klykl.
Кроме того позвольте Си быть Матрицей си в системе формы (20), который происходит от a
Raviart-Фома перемешивала FEM или подражательный FDM на тонкой сетке. Затем
Z
W
И
j · (Kl) ;1Ykl дуплекс = rt
я jBri j. (47)
Таким образом крупная объединенная энергосистема для MsMFEM может быть выражена следующим образом:
Bms = RtBR, gms = Rtg.
Правая сторона qms в системе мультимасштаба сформирована, объединяясь q по каждому
кварталом сетки, и матричными См = [см, kl] дают
см, kl =
Z
Bm
; · Дуплекс Ykl =
;;;
;;
1, если k = м.,
;1, если л = м.,
0, иначе.
6.3 Роль Функции Взвешивания
Функция взвешивания ; в (44) - (45) была определена по-разному
• ; = 1 в [22];
• ; = q, если
R
Bm
q 6 = 0 и ; = 1 в другом месте в [1]; и
• ; = q, если
R
Bm
q 6 = 0 и ; = след (K) в другом месте в [4, 5].
Чтобы понять, как эта четкость играла роль, вспомните сначала что MsMFEMvelocity
раствор - линейное наложение скоростных основных функций. Следовательно,
(; · v) |Bi =;
j
vi j; · И j =
; R
Висмут
;dx;
j
vi j
=
; R
Висмут
;dx
Z
¶ висмут
v · nds =
; R
Висмут
;dx
Z
Висмут
; · vdx.
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 45
Можно поэтому сказать, что первичная роль ; должна распределить расхождение
скоростное поле на тонкую сетку соответствующим способом.
Для несжимаемого трудного отделения потока (v) является отличным от нуля только в кварталах с a
источник. Для кварталов, где
R
Висмут
q 6 = 0, выбор ; = q происходит от факта, что он дает
массовые консервативные скоростные поля на подсетке. Для кварталов без источника (где
скорость - бесплатное расхождение), , может быть выбран почти произвольно. Идея позволить
масштаб функции веса со следом подвижности был введен в [4] как a
способ избежать противоестественно крупного количества потока через низко-водопроницаемые зоны и
в особенности через барьеры потока. Вообще, однако, использование ; = 1 дает (почти)
одинаково точные результаты.
Для сжимаемого потока (например, (8)) мы больше, возможно, не выбираем ; произвольно. Например,
определение основных функций, используя ; = q сконцентрировало бы всю сжимаемость
эффекты, где q является отличным от нуля. Чтобы избежать этого, нужно разделить вклад в
поле расхождения происхождение из источников и из сжимаемости. Это может быть
достигнутый, как мы предположили в Секте. 6.1, назначая одну "крупную" сетку блокируют к
каждая обитель в тонкой сетке с источником или раковиной. Делая так, мы можем, в принципе,
выберите ; = 1 всюду. Но, для трехфазовой модели мазута (cf. Секта. 2.2), мы
иметь
; · v = q;ct
¶ p
dt ;;
j
cjvj · ;pl. (48)
Следовательно, ; должен идеально быть пропорциональным правой стороне (48). Хотя
правая сторона (48) может быть оценена от местных вычислений, мы не делаем предложение
использование этой стратегии определить ;. Действительно, понятие мультимасштаба не должно попытаться копировать
растворы тонкого масштаба, пытаясь составлять всю информацию о подсетке. Важное
вещь состоит в том, чтобы составлять эффекты подсетки, которые сильно влияют на поток на coarsegrid
уровень, и изменчивость подсетки в скоростном поле расхождения вообще нет
среди этих эффектов.
Наш собственный числовой опыт до сих пор указывает, что хорошая точность получена
взятие ;, чтобы быть пористостью f. Чтобы побудить этот выбор, мы обращаем внимание, что ct пропорционален
к f, когда насыщения гладки. Кроме того используя ; = f в соответствии с
идея позади использования ; = след (l). Действительно, области с очень низкой проницаемостью также
будьте склонны иметь низкую пористость, таким образом, выбирая ; = f нужно (до некоторой степени) избежать
шпигование слишком большого количества потока через низко-водопроницаемые барьеры, [4]. Используя ; = след (K), на
другая рука, вообще даст скоростные растворы, для которых отделение (v) колеблется также
очень, то есть, недооценен в низко-водопроницаемых регионах и завышен в highpermeable
области.
6.4 Слияние Глобальной информации
Все методы мультимасштаба по существу пытаются расцепить глобальную проблему в a
крупная объединенная энергосистема и ряд независимых местных проблем. В Секте. 5.1 это показали
это в одномерном случае есть точное разделение. Таким образом, глобальный раствор
(вариационной рецептуры), может быть выражен как сумма раствора MsFEM
и растворы независимых местных проблем. В более высоких размерах, однако, расцепляя
система в низко-мерную крупную объединенную энергосистему и независимого местного жителя
46 Дж. Э. Аарнеса, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
подпроблемы не возможны вообще. Но возможно вызвать глобальную информацию,
например, от раствора потока одиночной фазы, вычисленного в начальное время, чтобы определить лучше
граничные условия для местных проблем потока и таким образом улучшают мультимасштаб
растворы, как был показан в [1] для MsMFEM и в [29] для MsFVM.
Для многих проблем, вызывая глобальную информацию может иметь небольшой эффект, и будет,
для многофазных проблем потока только дайте возрастающее усовершенствование точности.
Но для определенных проблем, такой что касается моделей с крупномасштабным почти непроницаемым сланцем
барьеры, которые шпигуют поток, чтобы занять обход в пределах барьера, вызывая глобальную информацию
может улучшить точность вполне значительно, и должен быть рассмотрен как альтернатива
к обработке сетки.
SinceMsMFEMallows, выполняющий весь simulationswith одиночный набор основных функций,
решение уравнения давления однажды на тонкой сетке, чтобы улучшить точность
из мультимасштаба легко выровнен по ширине раствор. С этой целью нужно разделить
каждая из проблем подсетки (43) - (45) в две независимых проблемы в висмуте и
Bj, соответственно, с общим граничным условием Ноймана на Соль интерфейса
я j.
В частности если v - начальный скоростной раствор тонкого масштаба, следующая граница
условие должно быть наложено на Соль
я j:
И
j · ni j =
v · ni j R
Gi
j
v · ni j ds
. (49)
Метод, который происходит от определения основных функций мультимасштаба с этой рецептурой
обычно упоминается как глобальное, в противоположность местному, MsMFEM.
Упражнение 5. Назначьте один квартал сетки на каждую обитель с источником и позвольте ; = 1. Либо
позвольте ; = q если
R
Висмут
q 6 = 0 и ; = 1 в другом месте. Покажите что если основание мультимасштаба
функции определены (43) - (45) и (49), затем v ; промежуток {И j}.
Ссылки
1. Дж. Э. Аарнес. На использовании смешанного метода конечных элементов мультимасштаба для большей гибкости
и увеличенная скорость или улучшенная точность в моделировании резервуара. Мультимакет.
Simul., 2 (3):421-439, 2004.
2. Дж. Э. Аарнес, Т. Джимс, и K A. Лгать. Вводная часть к численным данным втекает пористая
СМИ, использующие MATLAB. В Г. Хэсле, K A. Лгите, и Э. Куэк, монтажеры, Геометрическое Моделирование,
Числовое Моделирование, и Оптимизация: Индустриальная Математика в SINTEF, нумерует страницы
265-306. Спрингер Верлэг, 2007.
3. Дж. Э. Аарнес, V. Kippe, K A. Лгите, и А. Растэд. Моделирование структур мультимасштаба в
моделирования потока для нефтяных резервуаров. В Г. Хэсле, K A. Лгите, и Э. Куэк, монтажеры,
Геометрическое Моделирование, Числовое Моделирование, и Оптимизация: Индустриальная Математика
в SINTEF, нумерует страницы 307-360. Спрингер Верлэг, 2007.
4.
поток, основанный на смешанных конечных элементах и неоднородных крупных сетках. Мультимакет.
Simul., 5 (2):337-363, 2006.
5. Дж. Э. Аарнес, С. Крогстэд, и K A. Лгать. Мультимасштабируйте смешанные/подражательные методы на углу -
J. Ми. Aarnes, С. Крогстэд, и K A. Лгать. Иерархический метод мультимасштаба для двухфазового
сетки очка. Comput. Geosci, 12 (3):297-315, 2008.
Методы мультимасштаба для Подповерхностного Потока 47
6. Я. Aavatsmark, Т. Баркв, ;. Бы, и Т. Маннсет. Дискретизация на неструктурированных сетках
СИАМ J. Наука.
Обязательная программа, 19 (5):1700-1716, 1998.
7. Я. Aavatsmark, Т. Баркв, ;. Бы, и Т. Маннсет. Дискретизация на неструктурированных сетках
Научная Обязательная программа, 19 (5):1717-1736, 1998.
8. Т. Арбогэст. Числовая подсетка upscaling двухфазового потока в пористых СМИ. В З. Чене,
R. Ми. Юинг, и Z.-до. Shi, монтажеры, Числовое Обслуживание Многофазных Потоков в Пористом
СМИ (Пекин, 1999), Примечания Лекции в Физике, нумеруют страницы 35-49. Спрингер-Верлэг, Берлин,
2000.
9. Т. Арбогэст. Анализ в местном масштабе консервативной подсетки с двумя масштабами upscaling для овального
проблемы. СИАМ J. Numer. Анальный., 42 (2):576-598, 2004.
10. K Азиза и А. Сеттари. Нефтяное моделирование резервуара. Elsevier, Лондон и Нью-Йорк,
1979.
11. Я. Babu;ska, Г. Кэлоз, и Э. Осборн. Специальные методы конечных элементов для класса вторых
упорядочьте овальные проблемы с грубыми коэффициентами. СИАМ J. Numer. Анальный., 31:945-981, 1994.
12. Я. Babu;ska и Э. Осборн. Обобщенные методы конечных элементов: Их выполнение и
их отношение к смешанным методам. СИАМ J. Numer. Анальный., 20:510-536, 1983.
13.
для upscaling. Инженер Резервуара SPE, 12:138-143, 1997.
14. С. Х. Бегг, Р. Р. Картер, и П. Дрэнфилд. Назначение действующих значений к тренажеру gridblock
параметры для гетерогенных резервуаров. Инженер Резервуара SPE, нумерует страницы 455-463,
1989.
15. A. Benesoussan, J.-L. Львы, и Г. Пэпэниколэоу. Асимптотический Анализ для Периодического
Структуры. Научные Издатели Elsevier, Амстердам, 1978.
16. Д. Брэесс. Конечные элементы: Теория быстро solvers и приложения в твердой механике.
Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1997.
17. С. К. Бреннер и Л. Р. Скотт. Математическая теория методов конечных элементов.
Спрингер-Верлэг, Нью-Йорк, 1994.
18. Ф. Брецци и М. Фортин. Перемешанные и гибридные методы конечных элементов. Вычислительная Математика.
Спрингер-Верлэг, Нью-Йорк, 1991.
19. Ф. Брецци, K Липникова, М. Шашкова, и V. Simoncini. Новая методология дискретизации
для проблем распространения на обобщенных многогранных петлях. Comput. Прикладные методы.
Механик Энгрг., 196 (37-40):3682-3692, 2007.
20. Ф. Брецци, K Липникова, и V. Simoncini. Семейство подражательных методов конечной разности
на polygonial и многогранных петлях. Математика. Методы моделей Прикладная Наука, 15:1533-1553,
2005.
21.
tion. Северная Голландия, 1982.
22. З. Чен и Т. И. Ху. Смешанный метод конечных элементов мультимасштаба для овальных проблем
с колеблющимися коэффициентами. Математика. Обязательная программа, 72:541-576, 2003.
23. З. Чен, Г. Хуэн, и И. МА. Вычислительные методы для многофазных потоков в пористом
СМИ. Вычислительная Наука & Разработка. Общество Индустриальной и Прикладной Математики
(СИАМ), Филадельфия, Пенсильвания, 2006.
24. М. A. Кристи. Upscaling для моделирования резервуара.
25. М. A. Кристи и тупой М. Дж. Десятый SPE сравнительный проект раствора: сравнение
методы upscaling. SPE Reserv. Инженер Оценки, 4 (4):308-317, 2001. url: http://www.
spe.org/csp.
для неоднородных, анизотропных СМИ. Первая часть: Происхождение методов.
для неоднородных, анизотропных СМИ. Вторая часть: Обсуждение и числовые результаты. СИАМ J.
J. В. Баркер и С. Тибо. Критическое повторение использования псевдоотносительных проницаемостей
J. Домашнее животное. Технология., 48:1004-1010, 1996.
G. Chavent и Дж. Джеффр. Математические модели и конечные элементы для резервуара simula48
J. Ми. Aarnes, K A. Лгите, V. Kippe, С. Крогстэд
26. Л. П. Дэйк. Основные тоны разработки резервуара. Elsevier, Амстердам, 1978.
27. A. Х. Демонд и P. V. Робертс. Экспертиза относительных отношений проницаемости для
двухфазовый поток в пористых СМИ. Вода Res. Бык., 23:617-628, 1987.
28. Л. Дж. Дурлофский. Числовые вычисления эквивалентных gridblock тензоров проницаемости для
гетерогенные пористые СМИ. Водная Перезакваска. Res., 27 (5):699-708, 1991.
29. И. Ефендиев, V. Ginting, Т. Ху, и Р. Юинг. Точные методы конечных элементов мультимасштаба
для двухфазовых моделирований потока. Дж. Компьют. Физика, 220 (1):155-174, 2006.
30. Р. Э. Юинг. Математика моделирования резервуара. СИАМ, 1983.
31. Л Холдена и Б. Нильсена. Глобальный upscaling проницаемости в гетерогенных резервуарах;
выходные наименьшие квадраты (ols) метод. Transp. Пористые СМИ, 40 (2):115-143, 2000.
32. У. Хорнанг. Гомогенизация и пористые СМИ. Спрингер Верлэг, Нью-Йорк, 1997.
33. Т. И. Ху и X.-H. Ву. Метод конечных элементов мультимасштаба для овальных проблем в
композиционные материалы и пористые СМИ. Дж. Компьют. Физика, 134:169-189, 1997.
34. П. Дженни, С. Х. Ли, и Х. А. Челепи. Метод конечного объема мультимасштаба для овального
проблемы в подповерхностном моделировании потока. Дж. Компьют. Физика, 187:47-67, 2003.
35. П. Дженни, С. Х. Ли, и Х. А. Челепи. Адаптивный метод конечного объема мультимасштаба для
многофазный поток и транспорт в пористых СМИ. Мультимакет. Simul., 3 (1):50-64,
2004/05.
36. V. V. Жиков, С. М. Козлов, и О. А. Олеиник. Гомогенизация дифференциальных операторов
и интеграл functionals. Спрингер-Верлэг, Нью-Йорк, 1994.
37. A. Соль. Journel, До. V. Deutsch, и А. Дж. Десбаратс. Усреднение силы для эффективного квартала
проницаемость. На Калифорнийской Региональной Встрече SPE, Окленде, Калифорния, 2-4 апреля 1986.
SPE 15128.
38. М. J. Король, Д. Соль. Макдоналд, С. П. Тодд, и Х. Леунг. Приложение романа upscaling
подходы к Магнусу и резервуарам Андрея. На европейской Нефтяной Конференции SPE,
Гаага, Нидерланды, 20-22 октября 1998. SPE 50463.
39. V. Kippe, Дж. Э. Аарнес, и K A. Лгать. Сравнение методов мультимасштаба для овального
40. V. Kippe, Х. Хсглэнд, и K A. Лгать. Метод, чтобы улучшить массовый баланс в направлении потока
методы. На Симпозиуме Моделирования Резервуара SPE, Хьюстоне, Техас США, февраль
26-28 2007. SPE 106250.
41.
42. Си. Си. Maini и Т. Окэзоа. Эффекты температуры на проницаемости родственника воды необработанной нефти.
J. Может. Петр. Технология, 26:33-41, 1987.
43. D.W. Peaceman. Основные тоны числового моделирования резервуара. Elsevier, Амстердам,
1977.
44. П. А. Рэвиарт и Дж. М. Фома. Смешанный метод конечных элементов для второго овального порядка
уравнения. В я. Galligani и Э. Мэдженес, монтажеры, Математические Аспекты Конечного элемента
Методы, нумерует страницы 292-315. Спрингер-Верлэг, Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк, 1977.
45. П. Ренард и Г. де Марсили. Вычисление эквивалентной проницаемости. Реклама. Водная Перезакваска.,
20:253-278, 1997.
46. Д. П. Шрэг. Подготовка получить углерод. Наука, 315:812-813, 2007.
47. K. St;uben. Многосеточный, разбейте на главы Алгебраический Многосеточный (AMG): Вводная часть с Приложениями.
Академическое издание, 2000.
48. X.-H. Жировик и Дж. Дж. Г'омес-Ерн'андес. Upscaling гидравлические проводимости в гетерогенном
СМИ: общий обзор. Дж. Хидрол., 183:ix-xxxii, 1996.
49. О. Винер. Abhandlungen der Matematisch. Диссертация, Physischen Klasse der
K;oniglichen S;achsischen Gesellscaft der Wissenschaften, 1912.
проблемы в пористом потоке СМИ. Comput. Geosci, 12 (3):377-398, 2008.
L. Озеро. Добыча нефти вторичным методом. Прентис Хол, Инглвудские Утесы, Нью-Джерси, 1989.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей:
Математическое Инициирование
Клод Ле Бри и Тони Лели `evre
INRIA Rocquencourt, проектная группа MICMAC, Домэн де Волюко, B.P. 105, F-78153
Ле Шенэ Седе, Франция,
Резюме. Мы представляем общую вводную часть моделированию мультимасштаба и моделированию
сложные жидкости. Перспектива является математической. Уровень элементарен. В целях иллюстрации,
мы выбираем окружение несжимаемых потоков бесконечно разведенных растворов гибких
полимеры, только кратко упоминая некоторые другие типы сложных жидкостей. Мы описываем моделирование
шаги, сравните подход мультимасштаба и просто макроскопическое, более традиционное,
подход. Мы также начинаем читателя с соответствующих математических и числовых инструментов.
Полный набор кодов для числового моделирования обеспечен в простой ситуации a
Поток Couette. Это служит испытательным стендом для числовых стратегий, описанных в более общем
окружение всюду по тексту. Освященный раздел нашей вещи обращается к математическому
испытания на фронте исследования.
Ключевые слова: неньютоновы потоки, сложные жидкости, поток полимера, моделирование мультимасштаба,
Поток Couette, Hookean и FENE dumbbell модели, модель Oldroyd-си,
Уравнение Fokker-Planck, стохастическое отличительное уравнение.
1 Вводная часть
Эта вещь представляет общую вводную часть моделированию мультимасштаба и моделированию
из сложных жидкостей. Перспектива является математической. Уровень элементарен.
В целях иллюстрации мы выбираем окружение несжимаемых потоков бесконечно
разведенные растворы гибких полимеров. Эта категория жидкостей - это для который
математическое понимание - самое всестороннее до настоящего времени. Это поэтому
соответствующее формирующее прототип окружение для того, чтобы объяснить недавно развитый мультимасштаб
подход для моделирования сложных жидкостей, и более точно для той из жидкостей
с микроструктурами. Другие типы сложных жидкостей, также с микроструктурами, таким
как жидкие кристаллы, временные дисквалификации, кровь, могут также быть смоделированы такими типами моделей.
Однако моделирование или менее понято математически, или более запутанное
lebris@cermics.enpc.fr
1,2 1,2
CERMICS, ;Экоул Натиональ де Понц и Chauss;ees, 6 & 8, авеню Блез Паскаль, F-77455
Marne-La-Vall;ee Cedex 2, Франция,
1
2
lelievre@cermics.enpc.fr,
50 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
и технический, чтобы описать (или оба). Прежний случай - thereforemore, подходящий для
инициирование.
Мы описываем шаги моделирования, сравниваем подход мультимасштаба и просто
макроскопический, более традиционный, подход. Мы также представляем читателя соответствующему
математические и числовые инструменты.
Читатели, которых мы хотим достигнуть с нашим текстом, состоят из двух категорий, и нашего
цель является таким образом двойной.
Наша первичная цель состоит в том, чтобы описать к математике (или примененной математике) студентов,
как правило на студенческом уровне, или в их первые годы исследований выпускника,
различные шаги, вовлеченные в современную попытку моделирования. Моделирование мультимасштаба
сложные жидкости - превосходный пример для этого. Думая этой аудитории, мы концентрируемся
самостоятельно в ключевых вопросах в моделировании, принимая только познание
некоторые основные понятия механики континуума (кратко вспомненный в Секте. 2) и разработка
на тех в Секте. 3 создать самые простые мультимакеты для комплекса
жидкости. Мы также предполагаем, что эти студенты знакомы с некоторыми стандартными понятиями
о частичных отличительных уравнениях и методах дискретизации обычно используется
для их моделирования. С другой стороны, потому что мы знаем от нашего опыта учения
то, что у таких студентов часто есть только ограниченные знания в теории вероятности
и стохастический анализ, мы хотим давать (в Секте. 4) интенсивный курс на элементах
из стохастического анализа должен был управлять стохастическими версиями моделей для
сложные жидкости. Последние представлены во второй партии Секты. 4. Иллюстрировать
понятия, введенные на очень простом случае, и позволить нашим читателям входить
сердце в содержании, мы посвящаем всю Секту. 5 к нескольким возможным разновидностям числовых
подходы для моделирования начала деятельности потоки Couette. Это простое иллюстративный
случай служит испытательным стендом для числовых стратегий, описанных в более общем
окружение всюду по тексту. Полный набор кодов для числового моделирования
если, который мы ободряем читателей, чтобы работать с подобным в практическом сеансе.
Вторая категория читателей мы хотели бы быть заинтересованными данной статьей
состоит из практиков поля, а именно, экспертов в сложной реологии жидкостей
и механика, или инженер - химики. Существующий текст мог служить, мы верим, как
вводная часть к математической точке обзора на их активности. Ясно, проблемы мы,
как математики и вычислительные ученые, подчеркните, несколько отличаются
от тех они рассматривают на регулярной основе. Перспектива также отличается. Мы
нетерпеливое ожидание их отзыва на тексте.
Для обоих сообществ выше, мы знаем что вводный текст, хотя
полезный, не является полностью удовлетворительным. Это - причина, почему мы посвящаем раздел нашего
вещь, Секта. 6, к короткометражному фильму, однако всестороннему, описание математического
и числовые испытания поля. Этот раздел является ясно более техническим, и
более математический в природе, чем предыдущие. Это, мы надеемся, интересуя для
усовершенствованные аспиранты и исследователи - историки, профессионалы в математике, обращались
математика или научные вычисления. Другим читателям, конечно, рады в
обнаружьте там, каковы захватывающие нерешенные вопросы поля.
Наконец, потому что мы не хотим, чтобы наши читатели полагали что моделирование
бесконечно разведенные растворы гибких полимеров - единственное окружение в пределах комплекса
наука жидкостей, где математика и моделирование мультимасштаба могут принести много, мы закрываемся
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 51
петля, описывая в нашей последней Секте. 7 некоторых других типов сложных жидкостей, где
тот же самый подход мультимасштаба может использоваться.
2 Несжимаемой плавной механики: ньютонов и
неньютоновы жидкости
2.1 Основы
Для начала мы вспоминаем здесь некоторые профилирующие упражнения на моделировании несжимаемых
жидкости.
Это испытывает внешний, шпигует f на единицу массы. Обозначьте T тензор напряжения.
Уравнение сохранения мессы для этой жидкости чтения
¶r
¶ t
+ отделение (r u) = 0. (1)
С другой стороны уравнение, выражающее сохранение импульса,
¶ (r u)
¶ t
+ отделение (r u;u) ; divT =r f, (2)
где ; обозначает результат тензора: для двух векторов u и v в Резерфорде, u;v - d ;d
матрица с (я, j) - компонент uivj. Для такой вязкой жидкости, чтений тензора напряжения
T = ;pId + t, (3)
где p - (гидродинамическое) давление, и t - тензор вязких усилий. В
порядок закрыть вышеупомянутый набор уравнений, учредительное правило (или учредительное отношение)
необходим, который связывает вязкое напряжение t и скоростное поле u, а именно,
t = t (u, r...). (4)
Обратите внимание, что (4) является символическим. Более точная рецептура могла вовлечь производные в
время, или в пространстве, различных полей t, u, r...
Предположение, что t линейно зависит от u, что t является инвариантным под изменением
Справочный галилеянин, и что у жидкости есть изотропические физические свойства, это может быть
показанный, что отношение между t и u обязательно принимает следующую форму
t = л (divu) Id + 2h d (5)
где л и h - два скалярных коэффициента (названный коэффициентами Lam;e). Последний
зависит, в полной общности, на плотности r и температуре. В (5), d обозначает
(линеаризовавший) уровень тензора деформации (или уровень тензора растяжения)
d =
1
2
(;u+;uT). (6)
Рассмотрите вязкую жидкость с volumicmass (или плотность) r, текущий в скорости u.
52 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
Когда жидкость повинуется вышеупомянутому успению, это называют ньютоновой жидкостью. Кинетическое
теория газов позволяет показывать это
l = ;
2
3
h (7)
и обычная практика должна считать оба коэффициента л и h константой.
Система уравнений (1) - (2) - (3) - (5) - (6) - (7) позволяет затем описывать themotion
из жидкости. Составляя температурные эффекты, или для сжимаемых эффектов,
система дополнена двумя дополнительными уравнениями, энергетическим уравнением и
уравнение состояния (имеющий отношение p, r и T). Мы пренебрежем такими эффектами в следующем
и предположите, что температура является постоянной, и жидкость несжимаема:
divu = 0. (8)
Затем, уравнения (1) - (2) - (3) - (5) - (6) - (7) - (8) обеспечивают полное описание
развитие ньютоновой жидкости.
Дополнительно давайте предполагать, что у жидкости есть постоянная плотность
r = r0.
Такую жидкость часто называют гомогенной. Уравнение сохранения импульса
затем перезаписи
r
¶ u
¶ t
+ (u · Е) u
;hDu+;p =r f. (9)
Это поставляется условием без расхождения
divu = 0. (10)
Эти несколько уравнений (9) - (10) форма - знаменитое, Navier-топит уравнение для
движение несжимаемых гомогенных вязких ньютоновых жидкостей.
2.2 Неньютоновы жидкости
Некоторые экспериментальные соблюдения
Неньютоновы жидкости, и, в частности вязкоупругие жидкости являются вездесущими в промышленности
(нефтедобывающая промышленность, пищевая промышленность, резиновая промышленность, например), так же как в
природа (кровь - вязкоупругая жидкость). Как упомянуто выше, ньютоновы жидкости
характеризуемый фактом, что напряжение пропорционально уровню деформации
1
2
;;
;u+;uT
: это - вязкость. Для упругих твердых веществ напряжение пропорционально
деформация (см. тензоры (35) Ct или (36) Футы ниже для некоторой меры деформации):
это - эластичность. Характерный полнометражный фильм вязкоупругих жидкостей то, что их
поведение является и вязким и упругим. Полимерные жидкости - один случай вязкоупругих
жидкости.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 53
;;;;;;;;
;;;;;;;;
;;;;;;;;
;;;;;;;;
y
u
V
y=L
скоростной профиль
приток
отток
Рис. 1. Схематическое представление rheometer. На бесконечно малой угловой порции, видевшей
от верхней части поток - простое, стригут поток (поток Couette) заключенный между двумя плоскостями с
скоростной профиль (u (t, y), 0,0).
Исследовать реологическое поведение вязкоупругих жидкостей (реология - наука
учась, почему и как жидкости текут), физики изучают свой ответ на так называемый
простые потоки (как правило течет в каналах или между двумя цилиндрами) получить так называемый
материальные функции (те, которые стригут вязкость, различия нормального напряжения, видят ниже).
Как правило, для таких потоков, скоростное поле известно и не под влиянием
неньютоновы полнометражные фильмы жидкости. Это должно факту что скоростное поле
является гомогенным, что означает, что ;u не зависит от переменной пространства. Такой
потоки называют гомогенными потоками. Два типа простых потоков очень часто используются в
тренировка: простой стригут потоки и потоки elongational (см. R.B. Птица, R.C. Армстронг
и О. Хассаджер [11, Парень. 3]).We фокус здесь на простом стригут потоки. В практических ситуациях
(в индустриальном окружении например), потоки являются вообще более сложными
чем простые потоки, используемые, чтобы характеризовать реологические свойства жидкостей:
такие потоки называют сложными потоками. Сложные потоки являются как правило не гомогенными:
;u зависит от переменной пространства x.
В простом стригут поток, у скорости u есть следующая форма:
u (t, x) = (g; (t) y, 0,0),
где x = (x, y, z) и g; является постричь уровнем. Постричь вязкость h:
h (t) =
t x, y (t)
g; (t)
, (11)
и первые и вторые различия нормального напряжения:
54 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
Рис. 2. Схематическое представление двух неожиданных, парадоксальных поведений для некоторых полимерных
жидкости: поднимающийся на удочку (оставленный) эффект и открытый эффект сифона (право).
N1 (t) =t x, x (t) ;t y, y (t),
N2 (t) =t y, y (t) ;t z, z (t),
(12)
может быть измерен экспериментально. Для ньютоновых жидкостей постричь вязкость является постоянной,
и и N1 и N2 исчезают. Дело обстоит не так вообще для вязкоупругого
жидкости. В частности для многих неньютоновых жидкостей h - уменьшающаяся функция g;
(это свойство называют стригший утонченным), идет в constanth;, когда g; идет в бесконечность,
и идет в некоторое значение h0 (ноль - стригут вязкость уровня), когда g; идет в ноль.
Практически, такие потоки изучены в rheometers, жидкость, заключаемая между
два цилиндра. Внешний цилиндр установлен, внутренний вращается (см. Рис. 1).
На бесконечно малой порции поток может быть приближен простым, стригут поток. Мы
возвратится к этому в Секте. 5.
Простые стригут поток, может также быть полезным, чтобы изучить движущие силы жидкости
использование колеблющегося возбуждения: g; (t) = g0, потому что (вес). Совпадающий по фазе ответ с
деформация связана с эластичностью жидкости. Несовпадающий по фазе ответ
связанный с вязкостью жидкости. Это может быть легко понято например в
простая модель Максвелла представила ниже, и аналогия с электрическими цепями (см.
Рис. 4).
Прежде, чем обратиться к моделированию в деталях, давайте упоминать некоторые особенные поведения
из небольшого количества неньютоновых жидкостей.
Мы сначала описываем поднимающийся на удочку эффект (см. Рис. 2 или R. Соль. Оуэнс и T. N.
Филлипс [104, Рис. 1.9]). Удочка введена в жидкости и вращается: для ньютонова
жидкость, инерция заставляет жидкость сгибаться около удочки и воскрешения в стенках. Для некоторых
неньютоновы жидкости, жидкость может фактически подняться на удочку (это называют Weissenberg
эффект). Это явление связано с не нулевые нормальные различия в напряжении
(см. A.S. Гостиница [91]).
Другой эксперимент - открытый эффект сифона (см. Рис. 2 или R.G. Оуэнс и
T.N. Филлипс [104, Рис. 1.11]). Мензурка наклонена так, чтобы маленький поток жидкости
начинает течь по краю, и затем помещен прямо снова. Для некоторых вязкоупругих
жидкости, жидкость продолжает вытекать.
Другой, более простой эксперимент, который мы будем в состоянии воспроизвести с микромакросом
модель и простое числовое вычисление (см. Секту. 5) начало деятельности
постригите поток. Жидкость первоначально в покое и заключенный между двумя тарелками стригут (один
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 55
Л 0
0
1
Re=0.1 Epsilon=0.9, T=1.
y
u
Л 0
1
0
Re=0.1 Epsilon=0.9, We=0.5, T=1.
y
u
Рис. 3. Скоростной профиль как функция времени для начала деятельности стрижет поток. Скоростной профиль
(u как функция y, см. Рис. 1), представлен неоднократно во временном интервале [0,1].
Для полимерных жидкостей (справа, случай Hookean dumbbell микромакро-модель)
проскакивание скорости наблюдается, в то время как дело обстоит не так для ньютоновой жидкости (на
оставленный).
тарелка перемещается, и другой установлен) (см. Плоды инжира 1 и 3). Для ньютоновых жидкостей,
скоростной профиль прогрессивно достигает монотонно устойчивого состояния. Для
немного полимерных жидкостей, скорость идет вне своего постоянного значения: это - проскакивание
явление.
Моделирование неньютоновых жидкостей
Когда жидкость, хотя вязкий, несжимаемый и гомогенный, не повинуется
успение упрощения, приводящее (5), следующая система уравнений к
используйтесь, вместо (9) - (10):
;;
;
r
¶ u
¶ t
+ (u · Е) u
;hDu+;p;divt p = r f
divu = 0
(13)
где напряжение t анализировалось вперед
t = t n+t p (14)
56 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
рождение условий ;hDu, и divt p, соответственно. В (14), t n обозначает
Ньютонов вклад (выраженный как в (5)) и t p обозначает партию напряжения
(названный неньютоновым или дополнительным напряжением), который не может быть смоделирован как в (4). Наша нотация
t p обращается к факту, который мы, главным образом, рассмотрим в жидкостях продолжения для который
неньютонов символ должен присутствию полимерных цепочек, текущих в a
растворитель.
Для неньютоновых жидкостей существуют много просто макроскопических моделей. Все базируются
после рассмотрения механики континуума. Нижняя строка должна написать уравнение,
в вене (4), управляя развитие неньютонова вклада t p
к тензору напряжения, и/или отношению между последней и другой характеристикой количеств
гидрогазодинамика, такая как тензор деформации d или ;u непосредственно. Такой
уравнение может читать
Dt p
Dt
= F (t p, ;u), (15)
где
D •
Dt
обозначает соответствующее выпрямление (для tensorial количеств, см. следующий раздел),
из обычной convected производной для векторов
¶ •
¶ t
+ (u · Е) •.
Модель такой как (15) называют отличительной моделью для неньютоновой жидкости.
Один известный пример - модель Си Oldroyd. Это будет сделано точным в следующем
раздел.
Альтернативная опция должна обратиться к составной модели:
t p (t, x) =
Z t
;;
м. (t ;t ;) St;dt ;, (16)
где м. является так называемой косточкой памяти (как правило м. () = exp (;s)), Святой ; обозначает a
количество в зависимости от ;u, и где интеграл рассматривают вдоль плавной траектории
(или pathline) заканчивающийся в очке x. Мы также возвратимся к таким моделям в следующем
раздел.
Главное соблюдение на обеих формах (15) и (16) является этим, в отличие от
Ньютонов случай (5), t p (t, x) не только зависит от деформации в очке x
и во время t (поскольку это имело бы место в (5)), но также и зависит от истории
деформация навсегда t ; ;t, вдоль плавной траектории, приводящей x. Это особенно
явный на форме (16), но может также видеться на (15).
Полная система уравнений, моделируя плавные чтения
;;;;;
;;;;
r
¶ u
¶ t
+ (u · Е) u
;hDu+;p;divt p = r f,
divu = 0,
Dt p
Dt
= F (t p, ;u).
(17)
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 57
Эту систему называют системой с тремя полями. Это вовлекает скорость u, давление p,
и напряжение t p.
Решение этой проблемы с тремя полями является намного более трудным и в вычислительном отношении требующим
чем 'простая' ньютонова проблема (9) - (10), который является (13) где t p = 0
и только два поля, скорость и давление, должны быть определены. Однако,
специализируйтесь научная степень трудности комбинации не ни математическая, ни вычислительная.
главная степень трудности комбинации должна получить уравнение типа (15) или (16). Это требует глубокого,
качественный и количественный, понимание физических свойств жидкости под
соображение. Для многих неньютоновых жидкостей, комплекса в природе, достигая такого
понимание - испытание. Кроме того, даже если такое уравнение приблизительно
известный, оценивая воздействие его возможных недостатков на окончательном результате моделирования
не легкое содержание. Это может только быть сделано по опыту, сравнивая результаты с фактическим
экспериментальные соблюдения, когда последние существуют, и они не всегда существуют.
степень трудности комбинации является тем более видной, в котором неньютоновы жидкости очень разнообразны
природа. Новые материалы появляются ежедневно. Для традиционных жидкостей, под которыми рассматривают
необычные обстоятельства, или для недавно (или даже еще) синтезировали жидкости, надежные
уравнения развития не обязательно доступны.
Все это, в ее собственном, побуждает потребность в альтернативных стратегиях, основанных на
явный microscopicmodelling жидкости. Это даст начало так называемому микромакросу
модели, которые являются основной темой этой вещи. Нехватка информации в
макроскопический уровень затем обходится стратегией мультимасштаба, состоящей в
поиск информации на более тонком уровне (где reliablemodels действительно существуют, основанные на
общие уравнения сохранения, изложенные например, на микроструктурах жидкостей).
последняя информация затем вставлена в уравнения сохранения в макроскопическом
уровень. В конце дня, потому что успения моделирования избегают так
насколько возможно полное описание достигнуто, основано на более надежном, однако
намного более в вычислительном отношении требование, модель. Иначе заявленный, важный шаг
моделирование заменено числовым моделированием. Но прежде, чем мы переворачиваем к этому, от
Секта. 3 на, давайте дадим еще некоторые детали о просто макроскопических моделях (17) для
неньютоновы жидкости. Они - сегодня обычно используемые модели (в особенности
потому что они менее требуют в вычислительном отношении). Для нашего объяснительного обзора, нас
выберите окружение вязкоупругих жидкостей.
2.3 Некоторые макроскопические модели для вязкоупругих жидкостей
Всюду по этому разделу тензор напряжения t анализируется в ньютонову партию
и неньютонова партия, как в (14). Прежний, t n, читает t n =h ; соль, где h
вязкостью, и ; соль дают
; соль = ;u+;uT. (18)
Последний обозначен t p. Напряжение - сочетание этих двух, а именно:
t = h ; соль +t p. (19)
58 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
g;
h Ми
t
Рис. 4. Одномерная модель Максвелла. Аналогия с электрической цепью очевидна, t
и g; играющий роли текущей интенсивности и напряжения соответственно, h и Ми тот из
способность конденсатора и проводимость резистора соответственно.
Больше на отличительных моделях
Базовая модель для вязкоупругих жидкостей - модель Максвелла. Это объединяет линейное
модель эластичности и линейная модель вязкости. В прежнем напряжение зависит линейно
на деформации. Это - правило Hooke. Постоянная пропорциональность
Молодая Ми модуля. Эта партия напряжения должна считаться линейной весной. На
другая рука, линейная модель вязкости предполагает, что напряжение зависит линейно от
уровень (или скорость) деформации, пропорциональность, постоянная являющийся вязкостью h.
Эвристическим образом, это количество к рассмотрению поршня. Одномерный Максвелл
модель объединяет весну Hookean и поршень (см. Рис. 4). Затем, обозначение
напряжение t и уровень деформации g;, следующим обычным отличительным уравнением
получен:
g; =
1
МИ
dt
dt
+
t
h
, (20)
то есть,
л
dt
dt
+t =hg;, (21)
где л =
h
МИ
обозначает характерное время релаксации системы.
Замечание 1. Математически склонный читатель не должен быть удивлен элементарным
природа вышеупомянутых параметров. Моделирование упрощает. Некоторые превосходные
модели плавной механики (и другие поля разработки и наук о жизни)
часто получаемое использование таких простых происхождений. С другой стороны это интуитивно прозрачно
то, что определение параметров таких моделей часто - проблема, которая ограничивает
их применимость, и что есть номер для усовершенствования, используя более усовершенствованный
описания содержания. Это будет целью введенных мультимакетов
в данной статье.
Прохождение от одномерной установки до более высоких размеров требует, чтобы заменить
производная времени в (21) конвективной производной тензора. Основанный на
параметры постоянства, следующая модель получена:
л
¶t p
¶ t
+u · ;t p;;ut p;t p (;u) T
+t p =hp
; соль, (22)
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 59
где л является временем релаксации, и hp - дополнительная вязкость (из-за полимеров в
наше окружение). Затем тензор напряжения t дан (19). Когда h = 0, модель
названный Верхней моделью Конвектеда Максвелла (UCM). Когда h 6 = 0, это - Oldroyd-
Модель си, также названная моделью Jeffreys.
Для будущей ссылки давайте перепишем полную систему уравнений для
Модель Oldroyd-си, в безразмерной форме:
;;;;;;;;
;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
+u · ;u
= (1;e) Du;;p+divt p,
divu = 0,
¶t p
¶ t
+u · ;t p ; (;u) t p;t p (;u) T = ;
1
Мы
t p +
ми
Мы
;;
;u + (;u) T
.
(23)
Число Рейнолдса Ре> 0, число Weissenberg Мы> 0 и ми ; (0,1)
безразмерные числа системы (см. Уравнения (97) ниже для точного
четкость). Число Weissenberg (который является отношением характерной релаксации
время микроструктур в жидкости к характерному времени жидкости)
играет важную роль в стабильности числовых моделирований (см. Секту. 4.4).
Замечание 2. В (22) и всюду по этой вещи, мы обозначаем (;u) меня, j =
¶ ui
¶ xj
. Другой,
и фактически много авторов в литературе неньютоновой плавной механики (см.
например. R.B. Птица, C.F. Curtiss, R.C. Армстронг и О. Хассаджер [11, 12], R.G. Оуэнс
и T.N. Филлипс [104], или H.C. ;Ottinger [102])), принимают альтернативное соглашение:
(;u) я, j =
¶ uj
¶ xi
. Наши уравнения должны быть изменены соответственно.
Замечание 3. Конвективную производную в (22) называют верхней-convected производной.
Другие производные можно рассмотреть, такие как более-низкая-convected производная,
или cо-вращательная производная (последнее существо, особенно интересное для математического
цели, см. Секту. 6). Все эти производные повинуются соответствующему постоянству
правила механики, но мы выбрали верхнюю-convected производную потому что это
спонтанно воскресает, используя кинетические модели (см. Секту. 3). Это также наиболее
обычно используемая производная в макроскопических моделях, таких как Фэн-Тхиен Таннер
модель, модель Giesekus или модель FENE-P. Мы возвратимся к таким моделям
позже. Обсуждение физической уместности конвективных производных появляется в
D. Бернарден [10, Парень. 3]. См. также R.B. Птица, R.C. Армстронг и О. Хассаджер [11,
Парень. 9].
У модели Си Oldroyd есть несколько недостатков, что касается ее способности воспроизвести экспериментально
наблюдаемые поведения.
Усовершенствованные макроскопические модели для вязкоупругих жидкостей были таким образом получены, позволяя
для лучшего соглашения между моделированием и опытом. В полной общности,
такие модели читают:
л
¶t p
¶ t
+u · ;t p;;ut p;t p (;u) T
+T (t p, ; g) =hp
; соль, (24)
60 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
где T (t p, ; g) как правило зависит нелинейно от t p. Обычно используемые модели
следующие три. Модель Giesekus (см. Х. Гисекуса [51]) вовлекает a
квадратный термин:
л
¶t p
¶ t
+u · ;t p;;ut p;t p (;u) T
+t p+a
л
hp
t пинта p =hp
; соль. (25)
где неподвижного скаляра.
Модель Фэн-Тхиена Таннера (PTT) получена из модели решетки (см.
N. Фэн-Тхиен и Крем для загара Род-Айленда [106]). Это пишет:
л
¶t p
¶ t
+u · ;t p ;;ut p;t p (;u) T
+Z (концерн (t p)) t p +
x
2
л (; gt p+t p
; g) =hp
; соль,
(26)
с двумя выборами для функции Z:
Z (концерн (t p)) =
;;;;
;;;
1+fl
концерн (t p)
hp
exp
fl
концерн (t p)
hp
, (27)
где x и f - установленные скаляры.
Модель FENE-P, к которой мы возвратимся в Секте. 4.2, получен из кинетического
модель (см. А. Петерлина [105] и R.B. Птица, P.J. Дотсон и N.L. Джонсон [13] и
Секта. 4). Это читает:
;;;;
;;;
л
¶t p
¶ t
+u · ;t p;;ut p;t p (;u) T
+Z (концерн (t p)) t p
;l
t p +
hp
л
Id
¶
¶ t
+u · ;
ln (Z (концерн (t p)))
=hp
; соль,
(28)
с
Z (концерн (t p)) = 1 +
d
си
1+l
концерн (t p)
dhp
, (29)
где d - измерение окружающего пространства, и си - скаляр, который думается
как связано с максимальной расширяемостью цепочек полимера, встроенных в жидкости
(см., что FENE шпигует ниже, Уравнение (91)).
Все эти нелинейные модели результат намного лучшие результаты чем модель Си Oldroyd,
и удовлетворительно согласитесь с экспериментами на простых потоках. Они могут быть далее обобщены,
рассматривая несколько литиев времен релаксации и несколько вязкостей hp, меня, но нас
не будет продолжаться далее в этом направлении в этом вводном обзоре.
Больше на составных моделях
Давайте возвратимся к одномерной модели (21) Максвелла. Его раствор может быть явно
написанный с точки зрения интеграла:
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 61
t (t) =t (t0) exp
;
t ;t0
л
+
Z t
t0
h
л
exp
;
t ;s
л
g; (s) ds. (30)
Разрешение t0 идет в ; ;, и принятие t ограниченный, когда g; ограничен, мы получаем:
t (t) =
Z t
;;
h
л
exp
;
t;s
л
g; (s) ds. (31)
Обозначение: ;
;;
;;
d
dt
соль (t0, t) =g; (t)
соль (t0, t0) = 0
, (32)
и объединяясь партиями, мы получаем форму, эквивалентную (31):
t (t) =
Z t
;;
h
л 2
exp
;
t ;s
л
соль (t, s) ds. (33)
Эта форма явно показывает, что, как возвещено ранее, ограничение во время t зависит
на истории деформации. Функция h
л 2
exp
;;
;t;s
л
часто называется
функция памяти.
Одномерное вычисление, исполненное выше, может быть обобщено к выше
размеры и результаты:
t p (t, x) = ;
Z t
;;
М. (t ;s) f
;;
C;1
t (s, x)
(Id;C;1
t (s, x)) ds. (34)
где М. является функцией памяти, f - данная реальная оцененная функция, и C;1
t (s, x)
обозначает так называемый тензор Пальца (во время t). Последний - обратный тензор
Тензор деформации Cauchy:
Ct (s, x) = Футы (s, x) T Футы (s, x) (35)
где
Футы (s, x) = ; (ct (s)) (x) (36)
тензор деформации, и ct (s) - блок-схема (отображающий позиции во время t к
позиции во время s).
Это легко видится, что верхняя-convected производная тензора Пальца исчезает.
Когда М. (t ;s) =
hp
л 2
exp
;
t ;s
л
и f = 1, это показывает что t p определенный (34)
удовлетворяет (22). Параметр л моделей время, необходимое системе, чтобы "забыть"
история деформации.
Замечание 4. Как в случае differentialmodels, там существуйте много обобщений и
разновидности для составных моделей, введенных выше. Альтернативные конвективные производные
может быть рассмотрен, несколько характерных литиев времен и вязкостей hp, я могу быть нанят.
См. R.B. Птица, R.C. Армстронг и О. Хассаджер [11] или Д. Бернарден [10]
для таких выпрямлений.
62 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
3 моделирования Мультимасштаба полимерных жидкостей
Там существует невероятно большая разновидность неньютоновых жидкостей. Мы имеем кратко
сверхрассматриваемый в предыдущем разделе моделирование вязкоупругих жидкостей. Это - то
категория неньютоновых жидкостей. Один важный класс неньютоновых жидкостей
семейство жидкостей с микроструктурами. Для таких жидкостей, неньютонова символа
должен присутствию микроструктур, часто больше в масштабе mesoscopic чем в
trulymicroscopic один. Снег, кровь, жидкий бетон, и т.д., является примерами жидкостей с
микроструктуры. Полимерные жидкости творят категорию, на которой мы сосредоточимся в продолжении.
Аналогичные научные попытки могут сопровождаться для других жидкостей с микроструктурами.
Концевая строка для моделирования остается: напишите уравнение на микроскопическом уровне
это описывает развитие микроструктур, затем выведите неньютоново
вклад t p к напряжению. Таким образом лучшее количественное понимание. Раздел 7 будет
дайте некоторую способность проникновения в суть на других типах жидкостей с микроструктурами.
Существующий раздел - только краткая вводная часть к сюжету. Читать больше на
моделирование мультимасштаба сложных жидкостей, мы обращаемся к монографиям: R. Птица, Ch.
Curtiss, К. Армстронг и О. Хассаджер [11, 12], H.C. ;Ottinger [102], Р. Оуэнс и
T. Филлипс [104]. Другие соответствующие ссылки с точки зрения физики - Ф. Девреукс
[34]. М. Дои [35], М. Дои и S.F. Эдвардс [36], M.P. Аллен и диджей Тилдесли
[1], Д. Френкель и Си. Сразил [47].
Прежде, чем мы доберемся до сути дела, кратко давайте представим читателя
специфики полимерных жидкостей.
Полимер - по определению, молекулярная система, сформированная повторением a
большое количество молекулярных подсистем, мономеров, все связанные внутримолекулярным
шпигует. Если подсистемы не весь тот же самый химический тип, один
говорит о сополимерах. Полимерные материалы являются вездесущими: они могут иметь бекар
происхождение, такое как натуральный каучук, древесина, кожа, или искусственно синтезируемый, такой как вулканизирующийся
резина или пластмасса. Они могут быть классифицированы согласно их полимеризации
градус, который является номером N мономеров, существующих в цепочке: N = 1 - 4 для газов,
N = 5 для елеев, N = 25 для хрупких материалов, таких как свеча, N> 2000 для податливого
материалы, такие как пластмассовые пленки. Поскольку N растет, температура сплава растет и
полимерные свойства становятся видными: они являются уже существенными для N = 100,
и очевидно доминанта для N = 1000. Определенные механические свойства
материальный штиль от длинных цепочек представляет внутри. Продолжительность цепочки например
препятствует тому, чтобы материал регулярно организовывал себя, когда отвердевание происходит,
таким образом гибкость материала (такого как шина). Аналогично, длинные цепочки
дайте дополнительную вязкость жидким полимерам, таким как елеи. Растворители могут обладать хороший,
или плохо, solvating свойства для полимеров, завися, расширяются ли цепочки
или отрекитесь в растворителе. Например, краски - solvated по-другому в воде и
елеи.
Что касается сосредоточения полимеров в пределах растворителя могут три случая
схематично воскресните. Когда сосредоточение низко, каждый говорит о бесконечно разведенном
полимерные жидкости. Там, цепочки в основном игнорируют друг друга, взаимодействуя один
другой только через растворитель. Дело обстоит так мы, главным образом, рассмотрим в продолжении.
Другой крайний случай имеет место плотных полимерных жидкостей, также названных полимером
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 63
тает. Промежуток, каждый находит полимерные жидкости с промежуточными сосредоточениями. Из
вышеупомянутые три категории, polymermelts творят действительно самый интересный, технически
и в промышленном отношении. Их моделирование сделало большие успехи в 1960-ых с
вклады Де Женном, и его теория reptation. В основном это рассматривают
это, вследствие плотности полимерных существующих цепочек, каждая одиночная цепочка перемещения
в присутствии других как змий в плотном кустарнике, или спагетти в тарелке
spaghettis.
Количество моделей Reptation, математически, к уравнениям для развития микроструктур
подобный в духе тем, которыми будут управлять ниже. Есть однако
существенные различия. Также существуют макроскопические версии. В любом случае, модели для
полимер тает, намного менее поняты математически чем модели для бесконечно
разведенные полимеры. Поэтому мы не будем продолжать двигаться далее в этом направлении в
представьте математически смещенный текст.
Замечание 5. Давайте дадим некоторые детали о reptation модели для полимера, тает (см.
например [102, Секта. 6]). В такой модели микроскопические переменные (Единое время, Святое)
(скажите в фиксированной позиции в пространстве x), где Единое время - трехмерный вектор модуля
представление направления reptating цепочки полимера в криволинейной абсциссе
Святой (Святой вероятностный процесс со значением в (0,1)). Управление уравнения Fokker-Planck
развитие (Единое время, Святое):
¶y (t, x, U, S)
¶ t
+u (t, x) · ;xy (t, x, U, S)
= ;divU
;;
(;x u (t, x) U ;;x u (t, x): (U ;U) U) y (t, x, U, S)
+
1
л
¶ 2y (t, x, U, S)
¶ S2,
где: обозначает Frobenius внутренний результат: для двух matrices A и Си, A: Си =
концерн (ATB). Граничные условия для S = 0 и S = 1 добавление Fokker -
Уравнение Планка
y (t, x, U, 0) =y (t, x, U, 1) =
1
4 пункта
d|U | = 1,
где d|U | = 1 является Lebesgue (поверхностная) мера на сфере. С точки зрения
вероятностный процесс (Единое время, Святое), это уравнение формально эквивалентно детерминированному
развитие Единого времени процесса (вектор модуля вращается после поля потока), и
стохастическое развитие индексирования Святого как dSt +u · ;xSt dt =
p
2/л пеннивейтов. Единственное
сцепление между Единым временем и Святой воскресает, когда Святые пределы 0 или 1, когда Единое время повторно инициализировано
беспорядочно однородно на сфере. Вклад полимеров к
тензор напряжения может затем быть вычислен, используя состав Kramers (подобный (48)), и
это закрывает микромакро-модель. Интересный открытый математический вопрос к
определите строго движущие силы процесса (Единое время, Святое).
Замечание 6. Также для сконцентрированных полимеров, режим различный fromreptation может также
рассмотреть. Когда достаточно многочисленные мосты (химически) создаются между
64 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
Рис. 5. Набор полимерных цепочек находится, тщательно, в каждом макроскопическом очке
траектория плавной частицы.
(q1, j1)
u1
u2
r
Рис. 6. Полимерная цепочка: uj обозначают векторы модуля между "атомами", каждым из них
соответствует паре углов (qi, ji) и имеет продолжительность a. Непрерывный вектор - r.
запутанные цепочки (это - точно цель вовлеченного процесса вулканизации
в постановке шин), полимерный материал превращается в решетку, часто называемую a
покрытый сетчатым узором полимер. Его свойства являются промежуточными между таковыми из жидкости и тех
из твердого материала (вследствие - небольшая жесткость, обеспеченная решеткой). Amultiscale
моделирование может быть предположено для таких материалов, но снова это не цель
эта вещь. Мы обращаемся например к Х. Гэо и П. Кляйну [48], или С. Риз [108, 109].
В продолжении этой вещи (с известным исключением Секты. 7), мы рассматриваем
бесконечно растворите полимерные жидкости.
Чтобы понять вклад в напряжение, обеспеченное этим блоком
из длинных полимерных цепочек мы масштабируем на такой цепочке. Мы теперь хотим написать
уравнение развития на этом объекте. Сначала мы должны смоделировать цепочку, затем видеть
шпигует это испытывает, и наконец напишите соответствующее уравнение развития.
Что касается моделирования полимерной цепочки очко, чтобы понять - то, что это
вне рассмотрения, чтобы явно смоделировать все атомы цепочки. Есть тысячи
из них. Взаимодействия между атомами невероятно дороги, чтобы смоделировать. Без
даже думая к модели от квантовой химии, 'простого' рассмотрения
классическое силовое поле для молекулярных движущих сил всей полимерной цепочки
также в вычислительном отношении задание требования. Это может быть исполнено для некоторых достаточно
короткие цепочки, которые рассматривают одним, и не взаимодействие с их обстановкой. Но
моделирование на месте, в течение долгого времени структурируйте релевантный для плавного моделирования механики,
миллионы длинных цепочек, вне досягаемости. Даже если это было возможно, нет никакой причины для
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 65
полагайте что фактическое движение каждого одиночного атома, и точное описание
движущие силы каждой цепочки значительно воздействуют на полную реологию жидкости.
Таким образом, эти два ключевых слова здесь - статистическая механика и крупный-graining (так или иначе,
эти условия синонимичны). Нижняя строка должна рассмотреть один номер на одного человека, мы надеемся,
представительная цепочка, сидящая в макроочке жидкости, затем получает некоторых достаточно
простое описание этой цепочки, которая переносит достаточно физики к соответственно
смоделируйте воздействие цепочек на жидкость, и наоборот. Это в пределах предела
из наших способностей моделирования.
Сначала давайте получим крупнозернистую модель для цепочки.
3.1 Статистическая механика бесплатной цепочки
Общие места
Как сказано выше, это не разумно, и это не очко, чтобы моделировать фактическое
движущие силы всех атомов, составляющих все цепочки.
Мы сначала выбираем представительную цепочку. Для простоты мы предполагаем, что цепочка - a
линейное расположение бусин N (в противоположность случаю разветвленных полимеров, где
у цепочки есть несколько ответвлений). Каждая из этих бусин моделирует группу атомов, скажите 10
к 20 модулям мономера. Они - вехи вдоль цепочки. Они, как предполагается,
соединенный невесомыми панелями с продолжительностью a. Это - так называемая модель цепочки Kramers
(см. Рис. 6). Конфигурация цепочки, во время t и каждое макроскопическое очко x,
описан плотностью вероятности y (на мгновение неявно индексированный t и x),
определенный по пространству
(q1, j1..., qN;1, jN;1)
из углов Euler векторов модуля ui вдоль этой представительной цепочки. Таким образом
y (q1, j1..., qN;1, jN;1) dq1dj1...dqN;1djN;1 (37)
вероятность, что у цепочки есть углы между (q1, j1) и (q1+dq1, j1+dj1)
между первыми двумя бусинами маркировал 1 и 2, и т.д...
Некоторый крупный graining был уже исполнен, рассматривая эти бусины
вместо фактических атомов, но мы теперь продолжим двигаться один шаг вперед. Мы идем
чтобы только сохранить очень ограниченное количество этих бусин, скажите Nb, и устраните (использующий a
ограничение процедуры), весь N ;Nb нанизывает промежуток. Типичное число бусин
сохраненный значительно ниже 100. Самый простой случай, то из Nb = 2 бусины,
случай dumbbell и мы фактически, главным образом, сконцентрируемся на этом в продолжении.
Чтобы уменьшить описание цепочки к простому познанию Nb = 2
бусины, мы собираемся считать вектор r соединением первой бусины к последнему. Это
вектор называют непрерывным вектором (см. Рис. 6), и пишет как сумма
r =
N;1
;
i=1
aui, (38)
66 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
где ui - вектор модуля, описывающий ссылку i-th. Между экстремальным значением две бусины
находится действительно, предположительно, большое количество N ;2 из бусин. Цепочка является бесплатной вращаться
вокруг каждой из этих бусин: думайте как правило к руке механического робота. Мы сначала
опишите все возможные конфигурации всех бусин N. Во втором шаге мы будем
пройдите к пределу N ;; + ; чтобы к полученному уменьшенная модель для двух экстремальных значений
бусины, таким образом получая статистику по непрерывному вектору. Побуждение для этого
процесс предела состоит, конечно в том, что, учитывая две экстремальных бусины, N ;2 других бусины
попадают чрезвычайно большое количество.
В равновесии (а именно, для нулевого скоростного поля для окружающего растворителя и в
неподвижная температура), плотность вероятности для углов Euler (qi, ji) i-th
ссылка пишет
yi (qi, ji) =
1
4 пункта
sinqi,
просто equiprobability ориентации этой ссылки. Поскольку цепочка свободно вращается
вокруг каждой бусины ориентации ссылок - свободный художник от одной ссылки до
другой, и таким образом полная плотность вероятности для эпизода углов
(q1, j1..., qN;1, jN;1), просто результат
y (q1, j1..., qN;1, jN;1) =
1
4 пункта
N;1 N;1
; i=1
sinqi. (39)
Любое статистическое количество (заметная) Си в зависимости от государства цепочки таким образом имеет
средняя величина
hBi =
Z
Си (q N;1, jN;1) y (q N;1, jN;1) dq N;1 djN;1 (40)
где q N;1 = (q1..., qN;1) и jN;1 = (j1..., jN;1).
Например, это - простое вычисление это
h|r|2i = (N ;1) a2 (41)
где обозначение продолжительности между двумя бусинами.
Из этого следует, что плотность вероятности для непрерывного вектора r чтения:
P (r) =
Z
d
r ;
N;1
;
i=1
aui
!
y (q N;1, jN;1) dq N;1 djN;1, (42)
где d - формально месса Dirac и ui вектор модуля углов Euler (qi, ji).
Используя (39), простое, но несколько утомительное вычисление показывает что соответствующее приближение
состав для P, в пределе большого количества N;2 устраненных бусин,
P (r)
N большой
;
3
2 пункта (N;1) a2
3/2
exp
;
3|r|2
2 (N;1) a2
. (43)
Правая сторона (43) теперь выбрана, чтобы быть правилом вероятности r, который является
следовательно Гауссовская переменная. С этого времени, только непрерывный вектор, и
вероятность, сохранены как статистическое описание всей цепочки.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 67
Рис. 7. Полимерная цепочка, состоящая из, скажем, тридцати бусин и ее феноменологического представления
как dumbbell.
Замечание 7. Для некоторых специальных применений, цепочек с Nb = 10 или Nb = 20 бусин
моделируются. Это как правило имеет место, когда каждый хочет смоделировать многократную релаксацию
шкалы времени в цепочке полимера или понимают граничные эффекты. Рассмотрите источник информации
где полимерные потоки жидкости. Некоторый macroscopicmodel может обеспечить хорошие результаты
для внутреннего потока, но они должны быть снабжены соответствующими граничными условиями
на стенках источника информации. Модели Dumbbell могли быть предположены с этой целью,
но так как сложность цепочки - ключевой вопрос для реологических свойств рядом
границы, более сложные модели с большим Nb должны иногда использоваться.
Кроме таких определенных ситуаций, считается что dumbbell модель
уже дает превосходные ответы. Но это также зависит от силовых полей, которые будут
использоваться. Цель следующего раздела состоит в том, чтобы точно ввести такой шпигуемая. Другие
будет упомянут в Секте. 4.
Модель Hookean
У нас теперь есть наше пространство конфигурации, а именно, тот из одиночного непрерывного вектора r
оборудованный Гауссовской вероятностью в равновесии. Затем давайте определим шпигование
этот непрерывный вектор события.
Мы должны обеспечить вектор r некоторой жесткостью. Такая жесткость не выражает
механическая жесткость из-за шпигует, межатомной природы, держащейся между бусинами. Это
скорее смоделирует энтропическую жесткость, связанную с изменениями конфигураций
из фактической всей цепочки, когда сам непрерывный вектор изменяется.
Чтобы понять это, только давайте упоминать две экстремальных ситуации. Если непрерывное
у вектора есть продолжительность точно |r | = (N ;1) a, есть одна и только одна конфигурация
вся цепочка, которая соответствует такому непрерывному вектору, а именно, цепочка полностью
расширенный как прямая линия. Напротив, когда у непрерывного вектора есть, скажем, продолжительность
|r | = (N ;1) a/2, есть огромное количество конфигураций, соответствуя
различные формы цепочки полной продолжительности (N ;1), которые дают начало такому от начала до конца
вектор. Энтропия таким образом благословит короткие непрерывные векторы, а не длинные. Это
остается теперь количественно понимать это.
Мы knowfromStatisticalMechanics параметры это для системы с вероятностью
правило P (r) (полученный от (43)), бесплатной энергией дают
(r) = A0;kT ln P (r)
68 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
где T обозначает температуру, A0 - константа и k Постоянной Больцмана. Когда
непрерывный вектор изменен доктором, имеющими результатом бесплатными энергетическими чтениями модификации
dA = ;kT d ln P (r),
=
3kT
(N ;1) a2 r · доктор (44)
С другой стороны, когда температура сохранена постоянной, бесплатное энергетическое изменение
связанный с напряженностью F цепочки
dA = F (r) · доктор (45)
Сравниваясь (44) и (45), мы получаем напряженность
F (r) =
3kT
(N ;1) a2 r. (46)
Другими словами энтропические шпигуют F, выраженный с точки зрения непрерывного вектора r
определен как градиент lnP относительно r, где P - плотность вероятности
непрерывный вектор в равновесии (нулевое скоростное поле для окружающего растворителя,
и установленная температура). Эта четкость энтропического шпигует, совместимо с
факт, что P - действительно постоянный раствор для движущих сил, которые будут определены на
плотность вероятности y непрерывного вектора (см. Уравнение (47) ниже), когда
Непрерывный вектор поэтому действует как линейная весна с чопорностью
H =
3kT
(N ;1) a2.
Полученную модель называют моделью Hookean dumbbell.
Вышеупомянутое происхождение - самое простое, основанное на упрощении успения.
Несколько усовершенствований Hookean шпигуют (46), действительно возможны. Мы
предпочтите откладывать представление таких усовершенствований до Секты. 4. Позвольте нам на мгновение
предположите, что у нас есть шпигование F (r) под рукой, формирующий прототип пример, являющийся
Hookean шпигуют (46), и продолжают двигаться далее. Специально, мы не делаем точным
выражение F (r) в продолжении.
3.2 Мультимакет
Теперь давайте обозначим y (t, x, r) плотность вероятности для непрерывных векторов
цепочки полимера в макроочке x и время t.
Изменение y вовремя, вычисленный вдоль плавной траектории, которая является
¶y
¶ t
+u · ;xy, следует из трех различных явлений:
1. гидродинамическое шпигует: dumbbell удлинен или добавлял жир в тесто из-за
взаимодействие с жидкостью; Его два конца не обязательно совместно используют макроскопическое то же самое
скорость, незначительные различия в скоростях (в основном ;u (t, x) r) имеет результатом
шпиговать удлинение dumbbell z;u (t, x) r, где z обозначает коэффициент трения;
скоростное поле в растворителе - ноль (equilibriumsituation).
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 69
iniscent фактической, намного более сложной, геометрии всего полимерного
цепочка;
3. броуновское шпигует, моделируя перманентные столкновения полимерной цепочки
растворяющие молекулы, который (беспорядочно) изменяет его развитие.
выше для первых и третьих явлений (гидродинамические шпигуют и броуновское
детали, объясняя близкую природу их шпигуют и мотивация их фактического
математическая форма строгими параметрами.
Полное сохранение momentumequation читает как следующее развитие
уравнение на y:
¶y (t, x, r)
¶ t
+u (t, x) · ;xy (t, x, r)
= ;divr
;x u (t, x) r ;
2
z
F (r)
y (t, x, r)
+
2kT
z
Сухой (t, x, r).
(47)
Уравнение (47) называют уравнением Fokker-Planck (или также передовой Кольмогоров
уравнение). Три условия правой стороны (47) соответственно соответствуют
эти три упомянутые выше явления, в этом порядке. Критический момент, чтобы сделать является этим в этом
правая сторона, все дифференциальные операторы, действующие на y, связана с переменной r
пространство конфигурации, не окружающего физического пространства. Напротив, градиент
из левой стороны обычный транспортный термин в физическом пространстве u · ;x. В
отсутствие такого транспортного термина (это будет действительно иметь место для чрезвычайно простого
конфигурации, такие как конфигурации потока Couette), (47) просто семейство Fokker-Planck
уравнение позировало в переменных (t, r) и параметризовавший в x. Эти уравнения только говорят
друг другу через макроскопическое поле u. Когда транспортный термин присутствует,
(47) подлинное частичное отличительное уравнение во всех переменных (t, x, r). Это интуитивно
прозрачный, что последний случай является намного более трудным, в вычислительном отношении и математически.
Как только y получен, мы должны формализовать его вклад в полное напряжение, и,
далее, его воздействие на макроскопический поток.
Давайте возвратимся к некоторым основам механики континуума. Определяя напряжение
тензор, обычно используемое умственное изображение - следующее: рассмотрите материал, сократите
это плоским разделом в два предмета, попытайтесь разделить предметы. Реакция шпигует
опытный, когда отделение этих двух предметов является t n, где t - тензор напряжения и
n вектор модуля, нормальный к плоскости сокращения. Изменение ориентации плоскостей сокращения,
и таким образом n, обеспечивает все записи t. Применение той же самой 'методологии' к
полимерная жидкость на рассмотрении дает начало двум вкладам (см. Рис. 8): это,
обычно рассматриваемый, растворителя, который способствует как обычное ньютоново напряжение
тензор, и что, прибывая от всей полимерной реакции цепочек. Последние потребности быть
оцененный количественно. Это - цель так называемого состава Kramers.
t p (t, x) = ;npkTId + np
Z
(r ; F (r)) y (t, x, r) доктор, (48 лет)
шпигуйте, соответственно), и продолжите двигаться далее. В Секте. 4, мы возвратимся к этому в больше
шпигуйте) в предыдущем разделе. Мы на мгновение допустим предложенное моделирование
2. энтропические шпигуют F, выпущенный из крупной-graining процедуры и который является rem -
Мы проникли во многие детали о втором явлении (энтропическое
70 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
то, где ; обозначает результат тензора (r ; F (r) является матрицей с (я, j) - компонент
сокращение штатов j (r)), и np обозначает общее количество полимерной цепочки за единичный объем. Обратить внимание
то, что первый термин только изменяет давление добавочной константой.
Полная система уравнения объединяет уравнение сохранения импульса
на макроскопическом уровне, incompressibility ограничении, составе Kramers,
и уравнение Fokker-Planck для сбыта непрерывного вектора:
;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;
r
¶ u
¶ t
+ (u · Е) u
;hD u+;p;divt p =r f,
divu = 0,
t p (t, x) = np
Z
(r ; F (r)) y (t, x, r) dr;npkTId,
¶y (t, x, r)
¶ t
+u (t, x) · ;xy (t, x, r)
= ;divr
;x u (t, x) r ;
2
z
F (r)
y (t, x, r)
+
2kT
z
Сухой (t, x, r).
(49)
Для будущей ссылки давайте перепишем эту систему уравнений в безразмерном
форма (см. Секту. 4.3 и (97) для происхождения безразмерных уравнений и
четкость безразмерных чисел Ре, ми и Нас):
;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
+ (u · Е) u
; (1;e) D u+;p;divt p = f,
divu = 0,
t p (t, x) =
ми
Мы
Z
(r ; F (r)) y (t, x, r) dr;Id
,
¶y (t, x, r)
¶ t
+u (t, x) · ;xy (t, x, r)
= ;divr
;x u (t, x) r ;
1
2We
F (r)
y (t, x, r)
+
1
2We
Сухой (t, x, r).
(50)
Природа Themultiscale этого systemis очевидный. В определенном окружении комплекса
жидкости, такую систему называют микромакро-моделью. Это одинаково очевидно на (50) это
вычислительное задание будет требовать. Формально, система (50) пары Navier-
Топит уравнение типа (то есть, уравнение, моделирование которого является одним из мажора
испытания научных вычислений, и были темой тысяч лет
усилия исследователей - историков), и, в каждом очке (то есть, немного ожидая дискретизацию,
в каждом узле петли, используемой для дискретизации пространства макроуравнения), один
параболическое частичное отличительное уравнение установлено на пространстве r. Это таким образом интуитивно прозрачно
это, в природе, такая микромакро-стратегия будет ограничено настолько простым насколько возможно
прецеденты. Мы возвратимся к этому позже.
В целях обобщения подхода, сопровождаемого выше к различным другим окружениям,
это интересно написать систему (50) как особая форма более абстрактной системы.
Просто макроскопическое описание неньютоновых жидкостей, выпущенных от уравнений
из типа (13) - (15) как правило читает:
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 71
n
Рис. 8. Состав Kramer: вклад всех полимерных цепочек к напряжению получен
подведение итогов по всем цепочкам, сокращенным плоскостью, рассматривают.
;;;;
;;;
Du
Dt
= F (t p, u),
Dt p
Dt
= Соль (t p, u).
(51)
Напротив, подход мультимасштаба вводит дополнительный промежуточный шаг, где
тензор напряжения вычислен как средняя величина поля S описание микроструктуры.
Уравнение развития написано на последнем:
;;;;;;;
;;;;;;
Du
Dt
= F (t p, u),
t p = среднее число по S,
DS
Dt
= G; (S, u).
(52)
Структура системы (52) является общим знаменателем ко всем мультимакетам
для сложных жидкостей. Вне этого это также иллюстрирует природу всего мультимасштаба
подходы, в совсем других окружениях (см. До. Ле Бри [77]). Глобальное макроскопическое
уравнение вместе с местным (микроскопическим) уравнением через состав усреднения.
Например, читатель, знакомый с теорией гомогенизации formaterials, признает
в (52) гомогенизированное уравнение, значение гомогенизированного тензора, и корректор
уравнение, соответственно. На числовом фронте это - также структура, совместно использованная с
мультимасштабируйте алгоритмические подходы: глобальный крупный solver соединился с местным тонким
использование процесса усреднения (думают о замысле Годунова решения Риманна
проблема в вычислительной гидрогазодинамике).
4 стохастический подход
Мы теперь должны дополнить происхождение предыдущего раздела в трех направлениях:
• Мы должны ввести определенное стохастическое описание полимерной цепочки это
выровняет по ширине выражения, используемые для удлинения, шпигуют и броуновское
шпигуйте в (47).
72 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
• Мы должны обеспечить, другое энтропическое шпигует, альтернатива простому Hookean шпигуют
(46).
• Мы должны подготовиться к эффективной вычислительной стратегии, которая учитывает
практическое моделирование систем типа (50), даже когда конфигурация
пространство для цепочки является богато-мерным.
Для всех трех аспектов играет роль стохастический анализ. Это - то, почему мы посвящаем
следующий раздел к краткой вводной части главных ингредиентов от стохастического
анализ необходим в продолжении. Такие ингредиенты традиционно не обязательно
известный читателями, более знакомыми с классическим анализом обертона differto
Секта. 4.2. В любом случае Подраздел 4.1 является не больше, чем заместителем для больше
всестороннее блюдо Стохастического Анализа, как содержащийся в классических учебниках
F. Кометы и Т. Меир [26], я. Karatzas и S.E. Shreve [69], физическое воспитание. Kloeden
и Э. Плэтен [73], Б. Эксендэл [101], L.C.G. Роджерс и Д. Уильямс [114, 115],
D. Revuz и М. Йор [113], Д. Струк и S.R.S. Varadhan [117]. Мы также обращаемся к
Диджей Хигем [58] для привлекательного практического инициирования.
4.1 Инициирование к Стохастическим Отличительным Уравнениям
Мы предполагаем, что читатель знаком со следующими элементарными понятиями Вероятности
Теория: понятие пространства вероятности (W, A, P), где W - пространство, A
s-алгебра, и P - мера по вероятности, которая обеспечивает пространство; понятие
оцененные вектору или оцененные скаляру случайные переменные определены на этом пространстве вероятности;
понятие значения ожидания и понятие правила.
Довольно абстрактное понятие мы должны определить прежде, чем добраться до сути дела
понятие фильтрации: фильтрация (Футы, t ; 0) является увеличивающимся эпизодом, индексированным
ко времени t ; R +, подмножеств s-алгебры A. Футы фильтрации должны думаться
как набор информации, доступной во время t.
Метод Монте Карло
Метод Монте Карло - стохастический метод, чтобы вычислить значение ожидания
случайная переменная. Позвольте X быть случайной переменной с конечным различием:
Вар (X) = Ми
;;
(X ;E (X)) 2
= МИ (X2) ; (МИ (X)) 2 <;.
Принцип метода Монте Карло должен приблизить значение ожидания
Ми (X) эмпирическим скупым
ИК =
1
K
K
;
k=1
Xk,
где (Xk) k;0 являются свободным художником, тождественно распределил (i.i.d). случайные переменные,
правило Xk, являющегося правило X.
уравнения ential и их методы дискретизации в технических науках
(методы конечных элементов, и т.д...). Конечно, читатель, уже знакомый с
основы стохастического анализа могут легко пропустить следующий раздел и непосредственно продолжиться
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 73
Организация theMonte метода Карло основана на двух математических результатах.
Правило больших количеств заявляет что (если E|X | <;)
почти, конечно, lim
; K;
ИК = МИ (X).
Центральная теорема предела дает уровень конвергенции (если Ми ((X) 2) <;): ;a> 0,
lim
; K;
P
|IK ;E (X) | ; a
r
Вар (X)
K
!
=
1
;2p
Z a
;a
exp (;x2/2) дуплекс.
Эта оценка включает, чтобы создать по опыту ошибочные оценки (так называемые доверительные интервалы)
выбирая как правило = 1.96 так, чтобы 1 ;2p
R a
;a
exp (;x2/2) дуплекс
оценка Вара различия (X) эмпирическим различием
VK =
1
K
K
;
k=1
(Xk) 2 ; (ИК) 2.
Эта оценка показывает, что уровень конвергенции метода Монте Карло имеет
порядок
q
Вар (X)
K
: чтобы уменьшить ошибку, нужно добавить, больше точных копий (увеличьте K), или
уменьшите различие случайной переменной (который является основанием снижения различия
методы, см. Секту. 5.4 ниже).
Вероятностные процессы, Броуновское движение и простой стохастический дифференциал
уравнения
Теперь давайте вводить понятие (непрерывного вовремя) вероятностного процесса, как a
семейство случайных переменных (Xt) t;0 индексированный временем t ; R +. Учитывая вероятностный процесс
Xt, мы можем считать естественную фильтрацию произведенной Xt, который является фильтрацией
Футы формировались, для каждого t, самой маленькой s-алгеброй для который карты w ;; Xs (w),
0 ; s ; t, измеримые функции.
Наоборот, будучи данным Футы фильтрации, вероятностный процесс, таким образом, что, для всего t,
Xt - измеримая функция относительно Футов, назван, Футы - инсценировали стохастический
процесс.
Замечательный вероятностный процесс - Броуновское движение, который мы теперь кратко
ввести.
Формальное побуждение для вводной части Броуновского движения - потребность
для того, чтобы смоделировать случайные траектории. Для таких траекторий, случайных волнений в
время t должно быть свободным художником тех во время t ; <t, и по существу то же самое.
это мы подразумеваем, что эти два должны совместно использовать то же самое правило. Математическая манера к
формализуйте вышеупомянутый несколько неопределенный объект, понятие Броуновского движения. Там
несколько способов определить Броуновское движение. В один конец должен взять предел случайных
идет вперед решетки, с соответствующим правилом масштабирования на размере решетки и время.
четкость, которую мы хотим давать здесь, является очевидной четкостью. Мы определяем броуновское
движение как реально оцененный randomprocess наслаждение следующими тремя свойствами. Во-первых,
~ - 95 %, и
74 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
ее траектории, то есть, карты s ;; Xs (w) непрерывны для почти всего w ; W. Во-вторых, у этого есть независимые инкременты, то есть, когда s ; t, случайная переменная
Xt ;Xs является свободным художником Фс s-алгебры: иначе заявленный, для всего ; Фс, и все
boundedmeasurable функционируют f, Ми (1A f (Xt ;Xs)) = Ми (f (Xt ;Xs)) P (A). В-третьих, это имеет
постоянные инкременты, это - то, когда s ; t, Xt ;Xs и Xt;s;X0 совместно используют то же самое правило.
Фактически, соединение этих трех свойств подразумевает, что, обязательно, Xt ;X0
Гауссовская переменная, со скупым rt (для некоторого r) и различие s2t (для некоторого s).When
r = 0 и s = 1, Броуновское движение называют стандартным Броуновским движением.
Мы теперь хотим определить отличительные уравнения, как правило моделируя движение
из частиц, которые подчинены случайным волнениям. Соответствующее математическое
понятие с этой целью - понятие стохастических отличительных уравнений. Давайте установим вероятность
пространство (W, A, P), где иногда полезно думать о W как о результате
W = W1 ;W2, где модели W1 хаотичность из-за начального условия поставляется
для отличительного уравнения, и моделей W2 хаотичность связывалась с
волнения, происходящие во все положительные времена.
Также давайте рассматривать Футы фильтрации и Футы - инсценированное Броуновское движение Купленный. Позволить
s> 0 обозначают неподвижный параметр, названный распространением, и си (t, x) неподвижная регулярная функция,
названный дрейф. Что касается проблем регулярности самая соответствующая установка должна рассмотреть
си функций, измеримая относительно времени t, Lipschitz относительно пространства
переменная x, и с ростом, самое большее линейным в бесконечности, которая является | f (t, x) | ; До (1 + | x |)
для всего t, x. Для простоты приняты постоянные Lipschitz и постоянный рост
униформа на t ; [0, T]. Мы затем определяем стохастическое отличительное уравнение:
dXt = си (t, Xt) dt + s dBt, (53)
с начальным условием X0 (w1). Уравнение (53) формально. Это должно быть понято в
следующий смысл: Xt сказан раствор (53) когда
Xt (w1, w2) = X0 (w1) +
Z t
0
си (s, Xs (w1, w2)) ds+s Купленный (w2), (54)
почти, конечно. Наша установка в (53) - (54) является одномерной, но понятие с готовностью
расширенный на более высокое размерное окружение (см. (64) ниже).
Обратите внимание, что мы не подвергаем сомнению здесь существование и уникальность растворов
к вышеупомянутым стохастическим отличительным уравнениям. Это вне контекста этого
упрощенное представление. Только давайте скажем, что мы принимаем для остальной части этого описательного
обзор, что как правило упомянутая выше регулярность Lipschitz достаточна, чтобы определить
в уникальной манере раствор к (53). Для менее регулярных дрейфов и связанных вопросов,
мы отсылаем внимательного читателя к Секте. 6. Моделирование сложных жидкостей может действительно
естественно вовлеките нерегулярные дрейфы.
Стохастическая интеграция
Вышеупомянутая форма (53) является фактически простой формой стохастические отличительные уравнения.
Эта форма достаточна, чтобы иметь дело с окружением гибких полимеров, которое является основным
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 75
тема этого представления. Однако, для твердых полимеров, которые кратко обращаются в Секте. 7,
и некоторые другие типы сложных жидкостей, полезно определить общую форму
стохастические отличительные уравнения. Это - цель этого короткого раздела.
Кроме того, рассмотрение этой общей формы стохастического отличительного уравнения
позволит нам вводить техническое краткое введение, которое будет кардинально полезно, даже
в нашей простой установке.
Используя стандартное Купленное Броуновское движение, Это может быть создан ;o интеграл.
gral, продолжаясь сначала для кусочных постоянных функций, и затем делая вывод
понятие к более общим функциям приближением. Рассмотрите разложение
{s0 = 0..., s j..., sn = t} амплитуды [0, t] и кусочный постоянный процесс
Ys (w) =
n;
j=1
;Y
j;1 (w) 1] s j;1, s j] (s)
;
j (таким образом, что Ми (| ;Yj |) <+ ;).
Затем мы определяем
Z t
0
Децибелы Ys =
n
;
j=1
;Y
j;1 (Бакалавр наук j ;Bs j;1). (55)
Z t T
0
Yt (w) 2 dt <+ ;, это позволяет, приближением, для четкости стохастического
обработайте Z t
0
Децибелы Ys.
В простом случае, когда Yt ; 1, это совпадает с уже известным понятием Z t
0
децибелы = Купленная Заметка, что, беря ожидание (55), мы имеем, для всего t ; [0, T]
МИ
Z t
0
Децибелы Ys
= 0, (56)
который фактически держится (параметром приближения) для любого произвольный стохастический
обработайте Yt, таким образом что Ми
Z T
0
Yt (w) 2 dt
< +;.
Определив интеграл It;o, мы находимся в позиции для любой регулярной си дрейфа и
распространение s, чтобы определить стохастическое отличительное уравнение:
dXt = си (t, Xt) dt + s (t, Xt) dBt, (57)
поставляемый начальным условием X0. Математически:
Xt (w1, w2) = X0 (w1) +
Z t
0
си (s, Xs (w1, w2)) ds +
Z t
0
s (s, Xs) децибелы
(w1, w2), (58)
почти, конечно. В правой стороне первый интеграл - интеграл Lebesgue,
второй - интеграл It;o.
Затем, для любого arbitraryF - инсценировал вероятностный процесс Y (w) таким образом что, почти конечно,
Конструкция этого понятия интеграла подобна тому из Риманна inte-
;Y
j Fand s - измеримый созданный из случайных переменных Y
t
j
76 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
Это ;o исчисление и уравнение Fokker-Planck
Мы теперь хотим связать вышеупомянутое стохастическое отличительное уравнение (57) с обертоном
отличительное уравнение. Последний - действительно уравнение Fokker-Planck
¶ p
¶ t
(t, x) +
¶
¶ x
(си (t, x) p (t, x)) ;
¶ 2
¶ x2
s2 (t, x)
2
p (t, x)
= 0. (59)
В окружении детерминированных уравнений читатель, возможно, знаком с
близкая ссылка между обычными отличительными уравнениями и линейными транспортными уравнениями.
Это - известный метод характеристик, которые мы кратко вспоминаем здесь. Рассмотреть
линейное транспортное уравнение
¶ u
¶ t
(t, x) ;b (x)
¶ u
¶ x
(t, x) = 0 (60)
поставляемый начальным условием u0 в начальное время. Его чтения раствора
u (t, x) = u0 (X (t; 0, x)) (61)
где X (t; 0, x) раствор во время t обычного отличительного уравнения
дуплекс (t)
dt
= си (X (t)) (62)
запуск с начального условия X (0) = x. Доказательство этого факта элементарно. Для
s ; [0, t], мы имеем (где X (s) = X (s; 0, x))
¶
¶ s
(u (t ;s, X (s))) = ;
¶ u
¶ t
(t ;s, X (s)) +
дуплекс
dt
(s)
¶ u
¶ x
(t ;s, X (s)),
= ;
¶ u
¶ t
(t ;s, X (s)) +b (X (s))
¶ u
¶ x
(t ;s, X (s)) = 0.
Объединяя это отношение от s = 0 к s = t, мы таким образом получаем (61).
Подобный тип параметра, основанного на так называемом Составе Feynman-Kac, был бы
покажите отношение, держащееся между стохастическим отличительным уравнением (57) и a
частичное отличительное уравнение, названное обратным уравнением Кольмогорова. Двойная точка обзора
к выше каждый иллюстрирует отношение между стохастическим отличительным уравнением
(57) и уравнение Fokker-Planck (59).We теперь представляет это.
Во-первых, мы должны установить цепочечный состав правления в окружении вероятностных процессов.
Это - цель знаменитого Это ;o состав (заявил здесь в простом
одномерная установка).
Краткое введение 1. Это ;o Состав Позволяло Кст решать
dXt = си (t, Xt) dt + s (t, Xt) dBt,
в смысле (58). Затем, для всей регулярной функции C2 j,
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 77
ди-джей (Xt) =
j ; (Xt) си (t, Xt) +
1
2
j ;; (Xt) s (t, Xt) 2
dt + j ; (Xt) s (t, Xt) dBt
в смысле
j (Xt) =j (X0) +
Z t
0
j ; (Xs) си (s, Xs) +
1
2
j ;; (Xs) s (s, Xs) 2
ds
+
Z t
0
j ; (Xs) s (s, Xs) децибелы. (63)
Очко должно, конечно, сравниться с детерминированной установкой, соответствующей
к s = 0, и для которого никакие вторые производные j появляется с тех пор
d
dt
j (Xt) =j ; (Xt)
dXt
dt
.
Мы находимся теперь в позиции, чтобы иметь отношение (57) и (59). Предположите что все условия регулярности
удовлетворены, который дает смысл формальным манипуляциям, которые мы теперь исполняем.
Давайте предполагать, что X0, у начального условия для (57) есть правило p0, где p0 - начальная буква
условие, данное (59). Давайте обозначим p (t, x) плотность вероятности (с уважением
к мере Lebesgue) случайного переменного Xt.
Поскольку любые произвольные C2 функционируют j, пишем мы
Z
j (x)
¶ p
¶ t
(t, x) дуплекс =
d
dt
Z
j (x) p (t, x) дуплекс =
d
dt
Ми (j (Xt)).
Теперь, беря ожидание (63), мы получаем
Ми (j (Xt)) = Ми (j (X0)) +E
Z t
0
j ; (Xs) си (s, Xs) +
1
2
j ;; (Xs) s (s, Xs) 2
ds
+E
Z t
0
j ; (Xs) s (s, Xs) децибелы
.
Под подходящим успением регулярности последний термин исчезает навсегда (см. (56)).
Мы таким образом имеем
Z
j (x)
¶ p
¶ t
(t, x) дуплекс = Ми
j ; (Xt) си (t, Xt) +
1
2
j ;; (Xt) s (t, Xt) 2
,
=
Z
j ; (x) си (t, x) +
1
2
j ;; (x) s2 (t, x)
p (t, x) дуплекс,
=
Z
j (x)
;
¶
¶ x
(свинец) (t, x) +
1
2
¶ 2
¶ x2 (s2p)
дуплекс.
Это точно показывает, что p - раствор к (59), который запускается с p0 в начальной букве
время.
Подобный параметр, основанный на многомерном Составе It;o (прямое
выпрямление Краткого введения 1), позволяет устанавливать ту же самую корреспонденцию между,
на одной руке, векторном стохастическом отличительном уравнении
78 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
dXt = си (t, Xt) dt + s (t, Xt) dBt, (64)
где Xt - вероятностный процесс со значениями в RN, си (t, ·) векторное поле на RN для
все случаи, s - N ;K матрица, оцененной функцией, и Купленный является K мерного броуновский
движение, и, с другой стороны, уравнение Fokker-Planck.
¶ p
¶ t
(t, x) +div ((си (t, x) p (t, x)) ;
1
2
Е2:
;;
ssT p
(t, x) = 0, (65)
где ;2:
;;
ssT p
=
N;
я, j=1
¶ 2
¶ xi ¶ xj
K;
k=1
си, ksj, k p
!
.
При соответствующих условиях регулярности (который мы опустили делать точным
выше), мы можем поэтому утверждать что правило любого процесса, решая стохастическое
отличительное уравнение решает уравнение Fokker-Planck. Обратное утверждение
ложный. Давайте приводить следующий простой пример. Рассмотрите стохастический дифференциал
уравнение
dXt = ;
1
2
Xt dt +dBt, (66)
с начальным условием X0, обычно распределенный со скупым нолем и различие один (и
свободный художник Купленных), и ассоциированное уравнение Fokker-Planck
¶ p (t, x)
¶ t ;
1
2
¶
¶ x
(x p (t, x)) ;
1
2
¶ 2
¶ x2 p (t, x) = 0. (67)
Ясно, раствор к (66) чтения
Xt = e;t/2X0 +
Z t
0
ми (s;t)/2dBs.
Поэтому, для всего t ;0, Xt - Гауссовский randomvariable с zeromean и различием
один и конечно, поскольку предыдущий параметр показывает, p (t, x) = 1 ;2p
exp (;x2/2) действительно
решает уравнение Fokker-Planck (67). Однако, любой вероятностный процесс Yt, таким образом, что
его маргиналии вовремя (а именно, правило Yt, для неподвижного t) обычно распределяются с
скупой ноль и различие один, такое как постоянный процесс Yt = X0, не решает
(66). Процесс кодирует больше информации чем правило маргиналий времени, и
это таким образом интуитивно прозрачно, что познание правила маргиналий времени не
достаточный, чтобы знать траекторию о процессе. Иначе заявленный, зная правило
из времени маргиналии позволяет вычислять все значения ожидания Ми типа (j (Xt)),
но, например, не количества, такие как Ми (y (Xt, Xs)).
Однако, для большинства ситуаций интереса, и в особенности для многих физически
соответствующие ситуации, только познание значений ожидания, такие как Ми (j (Xt))
достаточно. В таких ситуациях, решая уравнение Fokker-Planck, когда это фактически
выполнимый, предоставляет всю необходимую информацию. В нашем окружении моделирования
из сложных жидкостей мы можем поэтому эквивалентно использовать стохастическую отличительную точку обзора,
или точка обзора Fokker-Planck. Соображения эффективности указывают, который является
лучшая стратегия, в зависимости от измерения проблемы под рукой, и другие параметры.
Мы возвратимся к этому ниже.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 79
Дискретизация SDEs
Мы теперь кратко даем здесь некоторые профилирующие упражнения числового анализа для стохастического
отличительные уравнения. С этой целью мы предполагаем, что читатель знаком с
методы дискретизации для обычных отличительных уравнений и ассоциированного
анализ (см. Э. Хэрера, S.P. N;rsett и G. Более бледный [55, 56]).
Для простоты мы спорим на одномерном простом случае (53), который является
dXt = си (t, Xt) dt +s dBt,
с, кроме того, постоянный s. Мы не принимаем во внимание вопросы, связанные с общим случаем
dXt = си (t, Xt) dt +s (t, Xt) dBt, который, вследствие зависимости s на раствор
Xt, могло бы быть значительно более техническим чем простой случай, который рассматривают здесь
(см. Замечание 8 ниже). Аналогично, мы предполагаем, что си является регулярной и что все вопросы
из существования и уникальности были улажены.
Критический момент, чтобы принять во внимание то, что, в отличие от детерминированной установки,
есть два понятия конвергенции для замысла discretizing стохастический дифференциал
уравнение.
Понятие конвергенции, аналогичной детерминированному понятию:
Четкость 1. Числовой замысел сказан решительно сходящийся и, как говорят, имеет
сильный порядок convergencea> 0, когда там существует constantC, возможно зависящий
на антракте интеграции [0, T], такой, что, в течение всех тактов Dt и для всего целого числа
n ; [0, T/Dt],
МИ
;;
Xn ;Xtn
;C (Dt) a, (68)
где Xtn обозначает точное решение во время tn = nDt, и Xn обозначает свое числовое
приближение.
Более слабое понятие, которое является лучшей метрикой, чтобы оценить конвергенцию в практических ситуациях,
:
Четкость 2. При тех же самых условиях как вышеупомянутая четкость сказан замысел
слабо сходящийся и, как говорят, имеет слабый порядок конвергенции b> 0 когда для
все целое число n ; [0, T/Dt],
МИ
;;
j (Xn)
;E (j (Xtn))
;C (Dt) си, (69)
поскольку все C; функционируют j с многочленным ростом в бесконечности, и таким образом что все ее производные
также имейте многочленный рост в бесконечности.
Последняя четкость, определенная для стохастической установки, мотивируется фактом это
во многих приложениях, как уже упомянуто выше, стохастическом отличительном уравнении
моделируется только, чтобы оценить некоторую Ми значений ожидания (j (Xt)). Это будет
случай для сложного моделирования потоков жидкости (см. выражение (82) тензора напряжения
ниже). Понятие слабой конвергенции скроено с этой целью. В отличие от
сильная конвергенция, это не измеряет точность приближения каждого
80 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
реализация (каждая "траектория") (обращают внимание действительно что P (|Xn;Xtn | ;a) ;
1
a
Ми (|Xn;Xtn |)),
но только точность скупого. Конечно, сильная конвергенция ясно подразумевает
слабая конвергенция.
Теперь давайте упоминать самый простой замысел числовой интеграции
из (57). Это - передовое (или явный) замысел Euler:
Xn+1 = Xn+b (tn, Xn) Dt +s (Btn+1 ;Btn). (70)
Начиная с инкремента Btn+1 ;Btn
центрированная Гауссовская случайная переменная с различием
tn+1;tn =Dt, замысел также пишет
Xn+1 = Xn +b (tn, Xn) Dt +s ;DtGn, (71)
где (Gn) n;0 обозначают i.i.d. стандартные нормальные случайные переменные.
Легко видеть, что замысел (70) является результатом приближения
Xtn+1 ;Xtn =
Z tn+1
tn
си (t, Xt) dt +s
Z tn+1
tn
dBt,
; си (tn, Xtn) Dt +s (Btn+1 ;Btn).
Вторая интеграция в правой стороне, являющейся точным, порядок точности точно
это приближения интеграла Lebesgue, и поэтому = 1. Это
сильный порядок конвергенции, и мы оставляем читателю задание, чтобы проверить это
это - также слабый порядок конвергенции.
Замечание 8. Фактически, вышеупомянутый параметр является немного вводящим в заблуждение. Это является определенным для
случай постоянного распространения s как в (53) или, более соответственно заявил, к детерминированному
распространение s, который может зависеть вовремя, но это не зависит от раствора
Xt. Когда последний зависит от раствора, который является
dXt = си (t, Xt) dt + s (Xt) dBt,
затем замысел Euler
Xn+1 = Xn+b (tn, Xn) Dt +s (Xn) (Btn+1 ;Btn) (72)
(фактически также названный замыслом Euler-Maruyama), имеет только сильный порядок a = 1/2,
но это остается от слабой си порядка = 1. Причина находится в различии между It;o
исчисление и обычное детерминированное исчисление. Фактически, чтобы получить сильную конвергенцию
с порядком 1, соответствующий замысел использовать (по крайней мере, для одномерных процессов)
замысел Эулер-Милштайна:
Xn+1;Xn = си (tn, Xn) Dt +s (Xn) (Btn+1 ;Btn)
+
1
2
s (Xn) s ; (Xn)
;;
(Btn+1 ;Btn) 2 ;Dt
.
(73)
Это имеет сильный порядок конвергенции = 1, и конечно соглашается с Euler-
Замысел Maruyama, когда s - свободный художник Xt.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 81
4.2 Назад к моделированию
Учитывая понятия предыдущего раздела, мы находимся теперь в позиции, чтобы возвратиться к некоторым
ключевые вопросы в шаге моделирования, который кратко обращаются ранее в Секте. 3. Наша цель
был только, чтобы сконцентрироваться на проблеме мультимасштаба, и достигнуть как можно скорее
формирующая прототип форма такой системы. Это было исполнено с (50) в
цена некоторых упрощений и ярлыков. Теперь давайте возьмем более пешеходное
приблизьтесь к проблеме, и пребывайте в некоторые проблемы, основанные на нашем математическом подарке
познание стохастического формализма.
Микроскопическое уравнение движения
Сначала давайте сконцентрируемся на этих двух, шпигует проявленный растворителем на цепочку,
а именно, трение шпигует удлинение цепочки, и броуновские шпигуют столкновения моделирования.
С этой целью мы изолируем одну одиночную бусину, обозначаем м. ее мессы, Vt ее скорость,
и напишите следующее уравнение движения, названного уравнением Langevin:
mdVt = ;zVt dt +DdBt, (74)
где Купленный обозначает норму, d-dimensional, Броуновское движение и D скалярный параметр
быть определенным. Раствором (74) является так называемый Орнстейн-Ахленбек
процесс:
Vt =V0 exp
;
z
м.
t
+
D
м.
Z t
0
exp
;
z
м.
(t ;s)
децибелы,
то, где V0 - начальная скорость, принимало свободного художника Купленных. Следовательно, Вермонт - a
Гауссовский процесс со скупым
Ми (Vt) = Ми (V0) exp
;
z
м.
t
,
и матрица ковариации
Ми ((Vt ;E (Vt)) ; (Vt ;E (Vt)))
= Ми ((V0;E (V0)) ; (V0;E (V0))) exp
;
2z
м.
t
+
D2
2zm
1;exp
;
2z
м.
t
Id. (75)
Для вышеупомянутого происхождения мы предположили, что жидкость в покое. Процесс Vt
таким образом ожидаемый быть постоянным, который верстает:
;;
;
Ми (Vt) = Ми (V0) = 0,
Ми (Vt ;Vt) = Ми (V0;V0) =
D2
2zm
Id.
(76)
82 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
2
1
X
X
X
R
Рис. 9. dumbbell модель: непрерывный вектор X является вектором, соединяющим две бусины,
в то время как R дает позицию центра мессы.
Используя принцип equipartition энергии, скупая кинетическая энергия 1
2mE (kVtk2)
должно быть равным d
2 kT (где d - измерение окружающего пространства), таким образом
Отношение Нернст-Эйнштейна:
D =
p
2kTz. (77)
Затем давайте рассматривать две бусины, творя dumbbell. Мы обозначаем Xi
t
(случайный)
позиция бусины i, i=1,2, и Xt =X2
t ;X1
t
непрерывный вектор (см. Рис. 9).
Мы также обозначаем R = 1
2
;;
X1 +X2
позиция центра мессы. В дополнение к
выше два шпигует испытанный каждой из бусин, шпигование F (Xt) энтропической природы
должен составляться. Мы теперь знаем это углубление (см. Секту. 3.1).
Уравнения Langevin для этих простых двух систем частицы чтения:
;;;;
;;;
md
dX1
t
dt
= ;z
dX1
t
dt ;u (t, X1
t)
dt +F (Xt) dt +
p
2kTz dB1
t,
md
dX2
t
dt
= ;z
dX2
t
dt ;u (t, X2
t)
dt ;F (Xt) dt +
p
2kTz dB2
t,
(78)
где B1
t
и B2
t
два свободных художника, d-dimensional Броуновские движения. В пределе
из исчезающего м.
z
, (это то, когда характерная шкала времени релаксации к равновесию
поскольку непрерывный вектор намного больше чем это значение), мы получаем линейным
сочетание вышеупомянутых двух уравнений Langevin:
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 83
;;;;;;
;;;;;
dXt =
;;
u (t, X2
t) ;u (t, X1
t)
dt ;
2
z
F (Xt) dt +2
s
kT
z
dW1
t,
dRt =
1
2
;;
u (t, X1
t) +u (t, X2
t)
dt +
s
kT
z
dW2
t,
(79)
где W1
t = 1 ;2
;;
B2
t ;B1
t
и W2
t = 1 ;2
;;
B1
t +B2
t
также два свободных художника, ddimensional
Броуновские движения. Мы предполагаем, что они не зависят от пространства.
На данном этапе следующее успение в порядке:
• поскольку продолжительность полимера в любом случае намного меньше чем пространственные изменения
из скорости растворителя мы можем исполнить расширение Тэйлора
u (t, Xi
t) ; u (t, Rt) +;u (t, Rt) (Xi
t ;Rt)
поскольку я = 1,2,
• как 1
2
;;
u (t, X1
t) +u (t, X2
t)
dt имеет макроскопический размер, по сравнению с микроскопическим
изменение
q
kT
z dW2
t
, noiseW2
t = 0 пренебрегается.
Обозначая byWt =W1, мы получаем:
;;;
;;
dXt = ;u (t, Rt) Xt dt ;
2
z
F (Xt) dt +2
s
kT
z
пеннивейт,
dRt = u (t, Rt) dt.
(80)
Вышеупомянутая система - suppliedwith начальные условия X0 и R0. Процессы Xt и
Вес естественно индексирован траекториями плавных частиц. Описание Eulerian
соответствие вышеупомянутым лагранжевым чтениям описания, для Xt (x) обозначение
структура в x во время t:
dXt (x) +u (t, x).;Xt (x) dt =;u (t, x) Xt (x) dt ;
2
z
F (Xt (x)) dt+2
s
kT
z
пеннивейт. (81)
Уравнение (81) является просто стохастической версией модели, уже введенной
в Секте. 3 в форме уравнения (47). Действительно, последний - Fokker-Planck
связанный к стохастическому дифференциалу (81). Функция y раствор к (47)
плотность вероятности Xt (x) раствор к (81). Мы отсылаем читателя к предыдущему
раздел для большего количества деталей об ингредиенте стохастического анализа необходим для доказательства
из этого факта (см. Секту. 4.1).
Тензор напряжения
Используя четкость тензора напряжения, вспомненного в Секте. 3, состав Kramers может
показать. На стохастическом языке мы принимаем здесь, он читает
84 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
t p (t) = np
Ми (Xt ;F (Xt)) ;kTId
, (82)
где ; обозначает tensorial результат, и np - сосредоточение полимеров.
См. H.C. ;Ottinger [102, pp158-159], М. Дои и S.F. Эдвардс [36, раздел 3.7.4],
R.B. Птица и др. [12, раздел 13.3]. Конечно, это выражение подобно, с точки зрения
Xt, к выражению ранее найден с точки зрения функции плотности вероятности
y (t, ·) Xt, а именно, (48) в Секте. 3.
Используя исчисление It;o, интересное альтернативное выражение может быть найдено для
тензор напряжения. Действительно, вводя так называемый тензор структуры Xt (x) Xt (x), мы
имейте:
d (Xt (x) Xt (x)) = (dXt (x)) ;Xt (x) +Xt (x) (dXt (x)) +
4kT
z
Iddt
=
;u (t, x).; (Xt (x) Xt (x))
+;u (t, x) (Xt (x) Xt (x)) + (Xt (x) Xt (x)) (;u (t, x)) T
;
2
z
F (Xt) ;Xt ;
2
z
Xt ;F (Xt) +
4kT
z
Id
dt
+2
s
kT
z
((Xt (x) dWt) + (пеннивейт ;Xt (x))). (83)
Скупой из тензора структуры
(t, x) = Ми (Xt (x) Xt (x)) (84)
поэтому решает, под некоторым математическим успением на Xt,
¶ A
¶ t
(t, x) +u (t, x).;A (t, x) ;;u (t, x) (t, x) ;A (t, x) (;u (t, x)) T
= ;
4
z
Ми (Xt ;F (Xt)) +
4kT
z
Id. (85)
Используя (82), следующее выражение тензора напряжения, названного составом Giesekus,
получен, который только явно зависит от вторых моментов Xt:
t p (t, x) =
;
z
4
np
¶ A
¶ t
(t, x) +u (t, x).;A (t, x) ;;u (t, x) (t, x) ;A (t, x) (;u (t, x)) T
.
Напряжение t p таким образом пропорционально верхней-convected производной A.
Шпигование
Мы теперь должны сделать шпигование F определенным. В полной общности предполагается, что F
градиент выпуклого, радиально симметричного, potentialP (X) =p (kXk). Таким образом,
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 85
F (X) =p ; (kXk)
X
kXk
. (86)
Выпуклость P (X) относительно X, конечно, количество к тому из p (l) с
уважайте л, вместе с p ; (0) ; 0.
Самым простым примером потенциала p является квадратный потенциал pHook (l) = H
l2
2
,
который, конечно, соответствует Hookean, шпигуют введенный в (46). Есть два
главные ловушки с моделью Hookean dumbbell: сначала это не мультимакет
в природе, и второй (и возможно что еще более важно), у этого есть чрезвычайно не медосмотр
полнометражный фильм.
Давайте начнем, проверяя, что модель Hookean фактически эквивалентна
просто макроскопическая модель Си Oldroyd введена в (22).
Больше на модели Hookean
Для Hookean dumbbell, мы имеем: Ми (X ;F (X)) = ОН (X ;X), таким образом следующий
уравнение получено на тензоре структуры = Ми (X ;X):
¶ A
¶ t
(t, x) +u (t, x).;A (t, x) ;;u (t, x) (t, x) ;A (t, x) (;u (t, x)) T
= ;
4-ЫЙ
z
(t, x) +
4kT
z
Id, (87)
то есть, с точки зрения t p:
z
4-ЫЙ
¶t p
¶ t
(t, x) +u (t, x).;t p (t, x) ;;u (t, x) t p (t, x) ;t p (t, x) (;u (t, x)) T
= ;t p (t, x) +npkT
z
4-ЫЙ
;;
;u (t, x) + (;u (t, x)) T
. (88)
Представление времени релаксации
l =
z
4-ЫЙ
, (89)
и вязкость
hp = npkTl, (90)
мы признаем макроскопического Максвелла (или Oldroyd B) модель (22), то есть,
л
¶t p
¶ t
+u · ;t p;;ut p;t p (;u) T
+t p =hp
; соль.
У нескольких других мультимакетов есть макроскопический эквивалент. Это например
случай модели FENE-P (см. Уравнение (92) ниже), который является сознательно
созданный, чтобы иметь макроскопический эквивалент. Но для большинства других мультимакетов реальных
интерес (в особенности те, которые вовлекают FENE, шпигуют, см. Уравнение (91) ниже), нет
макроскопическая эквивалентная рецептура известна. И считается что никакая такая рецептура
существует. В этом последнем смысле мультимакеты более сильны чем просто
макроскопические модели.
86 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
В дополнение к вышеупомянутому, главному теоретическому недостатку dumbbell модели, иллюстрируемой
в (46), то, что ничто не предотвращает непрерывный вектор в модели Hookean,
достигнуть произвольно большой продолжительности |r |. Это, конечно, не совместимо с фактическим
конечная продолжительность цепочки. Это действительно прибывает от метода происхождения где
мы взяли предел большого N, каждую ссылку, являющуюся продолжительности a. В пределе,
полная продолжительность цепочки поэтому взрывается, таким образом состав (46). Для весь
выше причин, модели Hookean dumbbell, хотя совершенный прецедент для предварительного
математические параметры, не полностью соответствующая точка отсчета, физически,
математически и в цифровой форме представитель, для мультимакетов.
Составление конечной расширяемости цепочки является важной проблемой, для который
существуют соответствующие модели. Мы теперь переворачиваем к двум из них.
Другой шпигует
Модель FENE, где FENE - акроним для Конечной Расширяемой Нелинейной Резинки,
возможно, самое известное силовое поле, используемое в моделировании полимерных
жидкости. Это соответствует потенциалу (см. Рис. 10):
pFENE (l) = ;
скобка
2
ln
1;
l2
bkT/H
. (91)
Успех этого потенциала - признанное углубление. В этом математическом тексте, этом
не наша цель спорить на физической законности и уместности моделей.
Однако, интересный момент, чтобы сделать является следующим. dumbbell модель - a
очень крупная модель цепочки полимера. Взятие двух бусин, чтобы смоделировать тысячу атомов
цепочка кажется упрощением. Когда equippedwith соответствующее энтропическое шпигуют, как
FENE шпигуют, эта модель однако результаты чрезвычайно хорошие результаты. От a
общая точка обзора, это показывает это
• мультимакет намного более силен чем просто макроскопическая модель,
• описание микроструктуры не должно быть сложным, чтобы дать
превосходные результаты,
• это только должно получить правильную физику (см., что FENE шпигует в отличие от
Hookean шпигуют).
Обратите внимание также что, как копия вышеупомянутому, образцовые подъемы FENE огромное
число challengingmathematical и числовых вопросов. Мы обратимся к некоторым
из них в Секте. 6.
Модель FENE не может быть перефразирована в форме просто макроскопического
модель. Нет никакого доказательства этого требования, но оно, как сильно полагают, имеет место.
В некоторых определенных целях идея воскресла, чтобы найти модификацию FENE
модель (так называемое приближение крышки), у которого был бы макроскопический эквивалент.
Это рождает модель FENE-P, где P обозначает Peterlin. Следующий
A. Peterlin [105] и R.B. Птица, P.J. Дотсон и N.L. Джонсон [13], это имеет действительно
предложил заменить знаменатель FENE, шпигуют (91) скупым значением
из удлинения:
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 87
FFENE;P (Xt) =
HXt
1;
Ми (kXtk2)
bkT/H
. (92)
Соответственно, микроскопическое описание жидкостей теперь читает:
;;;;;;;;;
;;;;;;;;
t p = np
ОН (Xt ;Xt)
1;E (kXtk2) / (bkT/H) ;kTId
,
dXt +u · ;Xt dt =
;uXt ;
2H
z
Xt
1;E (kXtk2) / (bkT/H)
dt
+2
s
kT
z
пеннивейт.
(93)
Используя выражение t p
¶ A
¶ t
(t, x) +u (t, x).;A (t, x) ;;u (t, x) (t, x) ;A (t, x) (;u (t, x)) T
= ;
4-ЫЙ
z
(t)
1;tr ((t)) / (bkt/H)
+
4kT
z
Id. (94)
Вставка этого в:
A =
1
ГЦ (концерн (t p))
t p
np
+kTId
,
где Z определен (29), следующее уравнение получено для t p:
z
4-ЫЙ
¶t p
¶ t
(t, x) +u (t, x).;t p (t, x) ;;u (t, x) t p (t, x) ;t p (t, x) (;u (t, x)) T
+Z (концерн (t p)) t p ;
z
4-ЫЙ
(t p+npkTId)
¶
¶ t
+u. ;
ln (Z (концерн (t p)))
= npkT
z
4-ЫЙ
;;
;u (t, x) + (;u (t, x)) T
, (95)
который является точно моделью FENE-P, упомянутой в (28) (когда л и hp соответственно
данный (89) и (90)). Модель FENE-P может таким образом видеться как модификация
из модели FENE, чтобы получить мультимакет, у которого есть эквивалент
просто макроскопическая рецептура. Другие разновидности модели FENE существуют в литературе.
4.3 Мультимакет
У нас теперь есть все кирпичи для стохастической разновидности нашей системы мультимасштаба (49).
Собирая материал предыдущего раздела, мы получаем:
, (82) и (87), мы получаем:
88 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
p ; (l)
л
q
скобка
H
Рис. 10. Сравнение Hookean шпигует (непрерывная строка), и FENE шпигуют (пунктирная линия).
;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;
r
¶ u
¶ t
(t, x) +u (t, x) · ;u (t, x)
;hDu (t, x) +;p (t, x)
= отделение (t p (t, x)) +r f (t, x),
отделение (u (t, x)) = 0,
t p (t, x) = np
Ми (Xt (x) F (Xt (x))) ;kTId
,
dXt (x) +u (t, x).;Xt (x) dt
= ;u (t, x) Xt (x) dt ;
2
z
F (Xt (x)) dt +2
s
kT
z
пеннивейт.
(96)
Как имел место для уравнения Fokker-Planck, стохастических отличительных уравнений
должны быть решены в каждом очке макроскопического потока. Процесс Xt поэтому
неявно зависит от x.
Это известно, который formof уравнения фактически использовали в числовой тренировке
безразмерная форма. Поскольку это вовлекает вводную часть нескольких безразмерных
числа, которые имеют физическое значение и присутствуют в литературе,
кратко давайте установим теперь эту безразмерную форму для (96) (и таким образом для (49),
аналогия, см. (50)).
Мы вводим следующую характеристику quantities:U характерная скорость,
Л характерной продолжительности, л =
z
4-ЫЙ
, как в (89), характерное время релаксации,
hp = npkTl, как в (90), вязкость полимеров. Затем, мы рассматриваем следующий
безразмерные числа:
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 89
;;;
;;
Ре =
rUL
h
, ми =
hp
h
,
Мы =
лютеций
Л
, ; =
L2H
kT
(97)
соответственно число Рейнолдса, Ре измеряющее отношение инерции по вязкости
(обычно для сложных жидкостей на рассмотрении, Ре ; 10), ми, измеряющая отношение
из вязкости полимеров по полной вязкости (обычно ми ; 0.1), Мы
время laxation полимеров против характерного времени потока (обычно
0.1 ;We ; 10), и ;, измеряющий отношение продолжительности.
Non-dimensionalizing также шпигование F (X) =
F (LX)
ГЕКТОЛИТР
, и взятие (который является
обычно используемое значение) ; = 1, мы получаем:
;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶t
+u · ;u
; (1;e) Du+;p = divt p + f,
divu = 0,
t p =
ми
Мы
Ми (Xt ;F (Xt)) ;Id
,
dXt +u. ;Xt dt = ;uXt dt ;
1
2We
F (Xt) dt +
1
;We
пеннивейт.
(98)
Важное практическое замечание происходит от фактической амплитуды упомянутых параметров
выше. В отличие от обычной установки вычислительной плавной механики, где
испытание должно иметь дело с потоками с богатыми числами Рейнолдса, испытание здесь
не число Рейнолдса (сохраненный относительно маленьким), но число Weissenberg.
Огромный практичный (и также, фактически, теоретический) элементы, имеющие степень трудности связаны с
так называемая Богатая проблема числа Weissenberg ("богатое" значение, превышающее, скажем,
10).
4.4 Схематический общий обзор моделирования
Наш фокус до сих пор был элементами, имеющие степень трудности моделирования для вязкоупругих жидкостей. Другой
вопрос - дискретизация моделей, и их числовые моделирования. Это
должен быть исполнен очень осторожно, так как модель как правило утверждается некоторыми
сравнения между экспериментами и числовыми моделированиями на простом или сложном
потоки.
Существующий раздел суммирует проблемы и методы на доступном языке
читателям, знакомым с научными вычислениями и числовым анализом. Очень
более элементарное представление будет дано в Секте. 5.
Численные методы
Большинство численных методов основано на дискретизации конечного элемента в
пространство и замыслы Euler вовремя, используя полуявный замысел: в каждый такт,
Число Weissenberg (также названный числом Деворы), который является отношением заново
,
90 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
скорость сначала решена для данного напряжения, и затем напряжение скорректировано для неподвижного
скорость.
В случае микромакро-моделей такой как (50) и (98), другая дискретизация
шаг необходим, чтобы приблизить ожидание или интеграл на четкости
тензор напряжения t p. Есть в основном два метода дискретизации, в зависимости от
рецептура использовала: стохастические методы для (98), и детерминированные методы для (50).
К discretize ожидание в (98), используется метод Монте Карло: в каждом
макроскопическое очко x (то есть в каждом узле петли, как только проблема - discretized),
много точных копий (или реализация) (Xk, K
t) 1;k;K вероятностного процесса Xt моделируются,
управляемый независимыми Броуновскими движениями (Wk
t) k;1, и тензор напряжения
полученный как эмпирическое скупое к этим процессам:
tKp
=
ми
Мы
1
K
K;
k=1
Xk, K
t ;F (Xk, K
t) ;Id
!
.
В этом окружении, это сцепление метода дискретизации метод конечных элементов и a
Метод Монте Карло называют CONNFFESSIT для Вычисления неньютоновых
Поток: Конечные элементы и Стохастический Метод Моделирования (см. М. Лэзо и
H.C. ;Ottinger [75]). В Секте. 5, мы осуществим этот метод в простой геометрии.
Уже давайте упоминать, что один важный полнометражный фильм дискретизации - это, в
дискретный уровень, весь unknowns (u, p, t p) становится случайными переменными. Следствие
это, различие результатов как правило - узкое место для точности
из метода. В частности методы снижения различия очень важны.
К discretize уравнение Fokker-Planck в (50), спектральные методы как правило
используемый (см. А. Лозинского [92] или J.K.C. Suen, Y.L. Joo и R.C. Армстронг [118]). Это
не легко найти подходящую вариационную рецептуру уравнения Fokker-Planck,
и соответствующая дискретизация, которая удовлетворяет естественные ограничения на вероятность
плотность y (а именно, не отрицательность, и нормализация). Мы обращаемся к К. Чови `до
и А. Лозинский [25, 93] для соответствующей дискретизации в случае FENE. Один мажор
степень трудности комбинации в дискретизации уравнений Fokker-Planck то, когда конфигурационное
пространство является богато-мерным. В окружении полимерного моделирования потока жидкости,
когда цепочка полимера смоделирована цепочкой бусин N, соединенных веснами,
уравнение Fokker-Planck - параболическое уравнение, изложенное на 3N-dimensional домене.
Некоторые численные методы были развиты к discretize такое богатое размерное
проблемы. Идея состоит в том, чтобы использовать соответствующее основание Galerkin, чье измерение
не взрывается, когда измерение растет. Мы обращаемся к П. Делонею, А. Лозинскому
и R.G. Оуэнс [33], Т. фон Петерсдорфф и К. Шваб [120], H.-J. Bungartz и
M. Griebel [20] для подхода результата редкого тензора, Л. Макхилсу, И. Мэдею,
и A.T. Patera [94] для уменьшенного основания приближаются и А. Аммэру, Б. Мокдэду,
F. Chinesta и Р. Кеунингс [2, 3] для сцепления метода результат редкого тензора
дискретизация с уменьшенным базисным подходом приближения.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 91
Основные элементы, имеющие степень трудности
Это фактически переворачивает это дискретизация микромакро-моделей такой как (50)
и (98) или та из макромакро-моделей такой как (23) не тривиально. Давайте упоминать
три вида элементов, имеющие степень трудности:
1. Некоторое условие inf-глотка должно быть удовлетворено пробелами, соответственно используемыми для
дискретная скорость, давление и напряжение (если Вы хотите, чтобы дискретизация была устойчива
для ми близко к 1).
2. Адвективные условия должны быть discretized правильно в сохранении импульса
уравнения, в уравнении на t p в (23), в уравнении на y в (50),
на в SDE в (98).
3. Нелинейные условия требуют, как всегда, специальный уход. С одной стороны, некоторые
нелинейные условия происходят от сцепления: ;ut p+t p (;u) T в (23), ;uXt в (98)
или divX (;uXy (t, x, X)) в (50). С другой стороны, для rheologicalmodels больше
сложный чем Oldroyd-си или Hookean dumbbell, некоторые нелинейные условия прибывают
от модели непосредственно (см., что энтропическое шпигует F (Xt) в (98) для модели FENE для
пример).
Кроме того, и для микромакро-моделей и для просто макроскопических моделей, одного центрального
степень трудности комбинации моделирования вязкоупругих жидкостей - так называемый Богатый Weissenberg
Проблема числа (HWNP). Действительно замечено, что числовые моделирования не делают
сходитесь, когда Мы являемся слишком крупными. Максимальное значение, которое может быть фактически правильно
моделируемый зависит от геометрии проблемы (4:1 сокращение, поток мимо
цилиндр...), на модели (Модель Oldroyd-си, модель FENE...) и также на
метод дискретизации. Как правило, замечено, что это максимальное значение уменьшается
с обработкой петли.
Мы возвратимся к этим вопросам в Секте. 6.
4.5 Верх и нижние стороны мультимасштаба, моделирующего для сложных жидкостей
Микромакро-против макромакро-моделирования
Мы находимся теперь в позиции, чтобы сравнить микромакро-подход и макромакрос
подход, чтобы моделировать полимерные жидкости (andmore вообще сложные жидкости). Рисунок 11
суммирует themain полнометражные фильмы этих подходов. Давайте обсуждать это fromtwo точки обзора:
моделирование и численные данные.
От точки обзора моделирования, интереса микромакро-штилей подхода
от факта это основано на прозрачном понимании физики в действии. Кинетическое
уравнения имели обыкновение моделировать, развитие полимеров установленное углубление
и предел законности этих уравнений известен. Константы, вовлеченные в
микромакро-модели имеют прозрачное физическое значение, и могут быть оценены от
некоторые микроскопические свойства цепочек полимера. С этой точки зрения,
микромакро-подход кажется более прогнозирующим, и включает исследованию ссылки
между микроскопическими свойствами цепочек полимера (или более широко
микроструктуры в жидкости) и макроскопическое поведение сложной жидкости.
92 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
Методы
из интеграла
использование уменьшения
Феноменологическое моделирование
Стохастические модели
Микроскопические модели (кинетическая теория)
Макроскопические моделирования
Составные модели Дифференциала моделей
Конечный элемент
Дискретизация
функция памяти
FEM (жидкость)
Монте Карло (полимеры)
Моделирования Micro;macro
использование принципов плавной механики
Рис. 11. Макромакро-и микромакро-модели для сложных жидкостей.
Тренировка подтверждает это. Это действительно кажется это моделирования с микромакромоделями
вообще сравнитесь лучше с экспериментами (см. Р. Кеунингса [71, 72]). Однако, для
комплекс течет и общие неньютоновы жидкости, все еще трудно согласиться количественно
с экспериментами. Короче говоря, остается много делать от моделирования
точка обзора, но вообще признано, что микромакро-подход наиболее
многообещающий способ улучшить модели.
С числовой точки зрения, главного недостатка микромакро-подхода
его вычислительная стоимость. Вводная часть дополнительного поля, чтобы описать
конфигурация микроструктуры в жидкости подразумевает дополнительные вычисления
и дополнительное хранение памяти.
Например, для микромакро-моделей, введенных выше в их стохастическом
форма (98), дискретизация подходом CONNFFESSIT требует хранения в
каждый узел петли ансамбля конфигураций (Xi, М.
t) 1;i;M полимера
цепочки. Даже при том, что SDEs связывался к каждой конфигурации, и в различном узле
очень богатая сеть. Микромакро-подход в настоящее время не достаточно эффективен к
используйтесь в торговых кодексах в индустриальных целях.
Ввиду параметров выше, это кажется бекаром, чтобы попытаться разработать некоторых числовых
методы, которые соединяют макромакрос и микромакро-подходы.
макромакро-модель используется, где поток прост, и подробный микромакрос
модель используется в другом месте. Идея адаптивного моделирования, основанного на моделировании ошибки a
анализ posteriori (см. J.T. Oden и K.S. Vemaganti [100], J.T. Oden и С. Прюдом
[99] или М. Браак и А. Эрн [19] были недавно инсценированы в этом окружении
Мы упоминали выше проблем, поднятых дискретизацией макромакро-
и микромакро-модели. Кажется этим в сложных потоках, базируемые численные методы
из петли может быть решен параллельно на каждом такте, вычислительной узде стоимости
предварительная работа А. Эрном и Т. Лелиэвром [40].
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 93
HWNP все еще ограничивает амплитуду применимости вычислений, даже с микромакро-
модели. Главный интерес микромакро-подходов по сравнению с макромакро-
подходы находятся на уровне моделирования. Это может стать предпочтительным методом
для закулисной стратегии. Подход позволяет проверять и утверждать просто макромоделирования
для фактических приложений реального мира, вследствие чрезвычайно вычисление -
Fokker-Planck против рецептуры SDE
Чтобы завершить этот раздел, мы хотели бы обсудить преимущества и недостатки
из двух числовых подходов, введенных выше для микромакро-подхода:
то основанное на детерминированной рецептуре (50) и что основанный на стохастическом
рецептура (98).
Заключения этого сравнения (см. Секту. 5 и также А. Лозинский и
подход istic (дискретизация Fokker-Planck PDE), это намного более эффективно
чем стохастический подход (методы Монте Карло, чтобы приблизить ожидание).
Главная причина для этого состоит в том, что конвергенция метода Монте Карло медленнее
чем тот из детерминированного метода приближения.
proach? Как мы упоминали выше, разрабатывая численный метод, который удовлетворяет
естественные требования неотрицательности и нормализация y не легкое задание. В
считайте граничные условия на y. Практически, замечено что стабильность
из числовых замыслов ухудшается, когда ;u становится слишком крупным. Но есть другой
(больше основного тона) ограничение к детерминированному подходу. Мы упоминали выше
то, что dumbbell модель может быть фактически слишком сырой, чтобы описать правильно полимер
цепочечная конфигурация в некоторых определенных ситуациях. Могло бы быть лучше, затем, использовать цепочку
из бусин и весны. Для такой модели, стохастического подхода и ассоциированного
дискретизация может оба быть обобщена прямо. Однако, детерминированное
подход намного более проблематичен. Уравнение Fokker-Planck становится highdimensional
PDE, и дискретизация являются очень трудными. Мы упоминали выше некоторых
численные методы, чтобы иметь дело с таким PDEs (подход результата редкого тензора,
уменьшенный базисный подход приближения), но они все еще ограничены относительно маленьким
число весен, и aremuchmore трудный осуществить thanMonte методы Карло.
Резюме сравнения различных подходов к образцовым сложным жидкостям
дан в Таблице 1.
Следующий вопрос затем: что является пределами Fokker-Planck ap-
C. Chauvi;re [93]), являются фактически очень общими: когда возможно использовать determinthe
Случай FENE, надлежащие вариационные рецептуры должны использоваться, которые берут в
союзник, требующий природу.
модели scopic, чтобы поставлять такие модели соответствующими и надежными граничными условиями,
и т.д..., даже если, в самой современной технологии, это не позволяет давать представление
на микромакро-подходе являются более здравыми чем основанные на макромакросе
подход (см. A.P.G. Ван Хил [119, p.38], J.C. Bonvin [18, p.115] или К. Човиер
[24]). Однако, это еще не хорошо понято математически. Кроме того,
94 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
МАКРО-МИКРОМАКРОС
моделирование способностей, низко богатых
текущие промышленные лаборатории использования
дискретизация дискретизации
Монте Карло Fokker-Planck
вычислительная стоимость, низко богатая умеренный
вычислительное узкое место различие HWNP, измерение HWNP, HWNP
Таблица 1. Резюме характеристик макромакро-и микромакро-подходов для
моделирование сложных жидкостей.
5 Числовых моделирований прецедента: поток Couette
5.1 Установка проблемы
Мы считаем в этом разделе простую ситуацию начала деятельности потоком Couette (см.
Рис. 12). Потоки жидкости между двумя параллельными плоскостями. Такая модель как правило
полученное рассмотрение потока в rheometer, между двумя цилиндрами, и взятием
предел больших радиусов и для внутреннего и для внешних цилиндров (см. Рис. 1). В начальной букве
время, жидкость в покое. Более низкая плоскость (y = 0, моделируя внутренний цилиндр
rheometer), затем смещен со скоростью V (t), который, для простоты, будет установлен в a
постоянная величина V (синусоидальные скорости могут также быть применены):
V (t) =V.
С другой стороны, верхняя плоскость (y = Л, моделируя внешний цилиндр
rheometer), сохранен неподвижным. Такую установку называют потоком начала деятельности, и потому что это
заключенный между двумя параллельными плоскостями, потоком Couette.
Мы обозначаем x и y горизонтальные и вертикальные оси, соответственно. Поток
принятый инвариант в перпендикуляре направления к (x, y).
Полимерная жидкость, информирующая пространство между плоскостями, повинуется уравнениям (13),
который мы воспроизводим здесь для удобства в их безразмерной форме:
;;
;
Ре
¶ u
¶ t
+ (u · Е) u
; (1;e) Du+;p;divt p = f,
divu = 0.
(99)
Для потока Couette у нас есть f = 0.
Это - бекар, чтобы предположить, что поток является пластинчатым, то есть, скорость пишет
u = ux (t, x, y) исключая, где исключая унитарный вектор вдоль оси X. incompressibility
ограничение (8) немедленно подразумевает что u = ux (t, y) упражнение. Мы теперь обозначаем:
u = u (t, y) упражнение (100)
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 95
y=0
x
y=L
y
V
Рис. 12. Поток Couette.
В ньютоновом случае (t p = 0), можно легко показать что естественное успение
на давлении приводит
;;;;;;
;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
(t, y) = (1;e)
¶ 2u
¶ y2 (t, y),
u (0, y) = 0,
u (t, 0) =V,
u (t, L) = 0.
(101)
Теперь давайте считать случай неньютоновой жидкости смоделированным, но Hookean
модель dumbbell. Мы обработаем эту модель как мультимакет, даже если мы будем знать
от Секты. 4.2, что это эквивалентно просто макроскопической модели Oldroyd-си. Наш
цель состоит в том, чтобы действительно иллюстрировать числовой подход для таких мультимакетов,
и модель Hookean dumbbell - хорошая установка для возношения. Для других моделей,
ситуация является более запутанной, но по крайней мере все элементы, имеющие степень трудности Hookean
модель dumbbell присутствует.
В полной общности, версии Fokker-Planck системного описания мультимасштаба
поток для чтений модели Hookean dumbbell (снова в безразмерной форме),
мы вспоминаем:
;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
+ (u · Е) u
; (1;e) Du+;p;divt p = 0,
divu = 0,
t p (t, x, y) =
ми
Мы
Z
(r ; r) y (t, x, y, r) dr;Id
,
¶y
¶ t
(t, x, y, r) +u (t, x, y) · ;x, yy (t, x, y, r)
= ;divr
;x, y u (t, x, y) r ;
1
2We
r
y (t, x, y, r)
+
1
2We
r r
(102)
поставляемый
D y (t, x, y, r),
96 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
;;
;
u (0, x, y) = 0,
u (t, x, y = 0) =Vex, ;t> 0,
u (t, x, y = L) = 0, ;t> 0.
(103)
Вследствие определенной установки Couette, и успения, которое происходит из этого
(особенно (100)), вышеупомянутая общая система упрощает в намного более простой:
;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
(t, y) = (1;e)
¶ 2u
¶ y2 (t, y) +
¶t
¶ y
(t, y),
t (t, y) =
ми
Мы
Z
R2
PQy (t, y, P, Q) dPdQ,
¶y
¶ t
(t, y, P, Q) = ;
¶
¶ P
¶ u
¶ y
(t, y) Q ;
1
2We
P
y (t, y, P, Q)
+
¶
¶Q
1
2We
Q y (t, y, P, Q)
+
1
2We
¶ 2
¶ P2 +
¶ 2
¶Q2
y (t, y, P, Q),
(104)
где P и Q - два компонента непрерывного вектора r вдоль x и
оси Y соответственно. В вышеупомянутой системе, t (t, y) обозначает xy вход тензора
t p. Фактически, поле давления, и другие записи тензора напряжения могут быть затем
выведенный, независимо.
Давайте подчеркнем на данном этапе огромные упрощения что Couette
модель учитывает. Вследствие простой геометрической установки и факта, что поток
принятый пластинчатый, ограничение без расхождения (8) выполнено конструкцией
скоростное поле и может быть устранено из системы. Кроме того, транспортные условия
(u · Е) u и (u · Е) y уравновешиваются, снова из-за геометрических соображений. Это
объясняет чрезвычайно простая форма уравнения сохранения импульса
в этом окружении, которое действительно упарилось к простому одномерному уравнению высокой температуры.
Этот набор упрощений является определенным для потока Couette. Воскресают питательные элементы, имеющие степень трудности
иначе.
Мы теперь описываем числовой подход для (104). Для начала мы представляем
(простая) дискретизация конечного элемента макроскопического уравнения. Затем мы переворачиваем к
числовой подход используется для уравнения Fokker-Planck. Различное использование
стохастическое отличительное уравнение затем следует.
5.2 Дискретизация макроскопического уравнения
Давайте полагать, что напряжение t (t, y) известно, и исполните вариационную рецептуру
из уравнения в (104) определение скорости
Ре
¶ u
¶ t
(t, y) = (1;e)
¶ 2u
¶ y2 (t, y) +
¶t
¶ y
(t, y)
с целью, затем, к discretize это использующий конечные элементы. Наша рецептура
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 97
;;;;
;;;
Поиск u: [0, T] ;; H1
1 (0, L) таким образом, что
;v ; H1
0 (0, L), Ре
d
dt
(u (t), v) L2 = ; (1;e)
¶ u
¶ y
(t),
¶ v
¶ y
L2 ;
t (t),
¶ v
¶ y
L2
,
u (0, y) = 0,
(105)
где мы обозначили
H1
0 (0, L) =
v ; H1 (0, L), v (0) = 0, v (L) = 0
и
H1
1 (0, L) =
v ; H1 (0, L), v (0) = 1, v (L) = 0
.
Что касается дискретизации мы вводим функции формы для конечных элементов P1
(для скорости)
ji (y) =
;;;;;;;
;;;;;;
1 wheny = я
N,
аффинно на
i;1
N
,
я
N
и
я
N
,
i+1
N
,
0 wheny ;
0,
i;1
N
;
i+1
N
,1
,
(106)
(для 0 ; i ; N), с очевидной адаптацией, когда я = 0 и я = N, и форма
функции для конечных элементов P0 (для напряжения)
ci (y) =
;;
;
1 wheny ;
i;1
N
,
я
N
,
0 иначе,
(107)
(для 1 ; i ; N), оба на регулярной петле по [0, Л], с meshsize h =Dy =
1
N
.
приближения для t и u затем читают
t h (t, y) =
N;
i=1
(t h) я (t) ci (y), (108)
мм (t, y) =
N;1
;
i=1
(мм) я (t) ji (y) +V jN (y),
соответственно. Обратите внимание действительно, который из-за граничного условия мы имеем для всех
t> 0, (мм) 0 (t) = 0 и (мм) N (t) =V.
Это остается к discretize вовремя, которого мы делаем использование обратного замысла Euler
вязкий термин. Полностью дискретная рецептура таким образом
98 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
Решите для (мм) nj
для j = 1..., N ;1and forn ; 0
таким образом, что (мм) 0
j ; 0and ;i = 1..., N ;1,
Ре
;
;;;;;
N;1
;
j=1
(мм) n+1
j jj ;
N;1
;
j=1
(мм) nj
jj
Dt
, ji
;
;;;;;
L2
= (1;e)
¶
¶ y
N;1
;
j=1
(мм) n+1
j jj + VjN
!
,
¶
¶ y
ji
!
L2 ;
(t h) n,
¶
¶ y
ji
L2
(109)
где (t h) n обозначает приближение t h во время tn.
В алгебраических условиях пишет это
R.E.M
Un+1;Un
Dt
= ; (1;e) AUn+1;GSn+B, (110)
где
Un =
h
(мм) n
1..., (мм) n
N;1
это
неизвестное,
Sn =
h
(t h) n
1..., (t h) n
N
это
,
и Соль - матрица с (я, j) - вход
Gi, j =
Z Л
0
¶ji
¶ y
до j dy. (111)
Векторная Си = ; (1;e) V
h
0, . . . ,0,
R Л
0
¶jN
¶ y
¶jN;1
¶ y dy
это
связан с Dirichlet
граничное условие. matrices М. и соответственно обозначает matrices
месса и жесткость конечных элементов P1:
Ми, j =
Z Л
0
jijj dy, (112)
Ай, j =
Z Л
0
¶ji
¶ y
¶jj
¶ y
dy. (113)
5.3 Микроскопическая проблема: детерминированный подход
Мы теперь переворачиваем к дискретизации уравнения Fokker-Planck в (104), который является
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 99
¶y
¶ t
(t, y, P, Q) = ;
¶
¶ P
¶ u
¶ y
(t, y) Q ;
1
2We
P
y (t, y, P, Q)
(114)
+
¶
¶Q
1
2We
Qy (t, y, P, Q)
+
1
2We
¶ 2
¶ P2 +
¶ 2
¶Q2
y (t, y, P, Q).
Так как y - только параметр, мы опускаем упоминать явную зависимость y на
этот параметр всюду по этому параграфу.
Мы вводим раствор равновесия (114) (то есть раствор устойчивого состояния
из (114) для u = 0), а именно,
y; (P, Q) =
1
2 пункта
exp
;
P2+Q2
2
. (115)
Мы затем изменяем неизвестную функцию в (114) установка
j =
y
y;
(116)
и перезапись (114) как
y;
¶j
¶ t
(t, P, Q) = ;
¶
¶ P
¶ u
¶ y
Qy; j
+
1
2We
¶
¶ P
y;
¶
¶ P
j
+
1
2We
¶
¶Q
y;
¶
¶Q
j
(117)
который является с готовностью semi-discretized вовремя как
y;
jn+1;jn
Dt
= ;
¶
¶ P
¶ u
¶ y
Qy; jn
+
1
2We
¶
¶ P
y;
¶
¶ P
jn+1
+
1
2We
¶
¶Q
y;
¶
¶Q
jn+1
. (118)
Вариационная рецептура (118) на соответствующем функциональном пространстве V (видят
;;;;;;;;
;;;;;;;
Решите для jn ; V для n ; 0 таким образом что ;q ; V,
Z
jn+1;jn
Dt
q y; =
Z
¶ u
¶ y
Q
¶q
¶ P
jny;
;
1
2We
Z
¶q
¶ P
¶jn+1
¶ P
y; ;
1
2We
Z
¶q
¶Q
¶jn+1
¶Q
y;,
j0 = 1.
(119)
Самым соответствующим основанием, чтобы использовать для основания Galerkin в (119) является основание, состоящее
из (результаты тензора) полиномиалы Hermite Привет:
ci, j (P, Q) = Привет (P) Hj (Q), (120)
пример Б. Журден, До. Ле Бри, Т. Лелиэвр и Ф. Отто [65, Си Аппендикса]), затем:
100 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
где
H0 (P) = 1, H1 (P) = P, H2 (P) =
1
;2
(P2 ;1). (121)
Действительно, с тех пор
1
;2p
Z
R
Привет (P) Hj (P) exp (;P2/2) разность потенциалов =di j, (122)
и так как Гауссовская функция - точно постоянный раствор к уравнению
на рассмотрении основание полиномиалов Hermite - углубление, инсценированное к проблеме
на рассмотрении. В частности массовая матрица имела отношение к дискретизации
из
R jn+1;jn
y; Dt q в (119) является единичной матрицей. Матрица связывалась с дискретизацией
из условий распространения
R ¶q
¶ P
¶jn+1
¶ P y; +
R ¶q
¶Q
¶jn+1
y; ¶Q в (119) является диагональным.
Кроме того, использование такого спектрального основания позволяет обходить практическую степень трудности комбинации
связанный с фактом, что уравнение изложено на целом пространстве.
5.4 Микроскопическая проблема: стохастический подход
Вместо того, чтобы использовать точку обзора уравнения Fokker-Planck, мы можем либо ввести
несколько стохастических отличительных уравнений
;;;;
;;;
разность потенциалов (t, y) =
¶ u
¶ y
(t, y) Q (t) ;
1
2We
P (t, y)
dt +
1
;We
dVt,
dQ (t) = ;
1
2We
Q (t) dt +
1
;We
пеннивейт,
(123)
где Vt и Wt - два независимых одномерных Броуновских движения, и затем
оцените напряжение с
t (t, y) =
ми
Мы
Z
R2
PQy (t, y, P, Q) dPdQ =
ми
Мы
Ми (P (t, y) Q (t)). (124)
Обратите внимание, что в этой простой геометрии и для Hookean dumbbells, Q (t) не зависит
на y.
Чтобы решить (123), мы поставляем это начальными условиями, гомогенными в y,
и используйте передовой замысел Euler:
;;;;
;;;
Pn+1
i = Dt
Un+1
я ;Un+1
i;1
Dy
Qn +
1;
Dt
2We
Pn
я +
r
Dt
Мы
DVn
я,
Qn+1 =
1;
Dt
2We
Qn +
r
Dt
Мы
DWn,
(125)
для 1;i;N, где DVn
я
и DWn - стандартный нормальный randomvariables. Напряжение
затем дают
(t h) n+1
i =
ми
Мы
Ми (Pn+1
я Qn+1). (126)
После стандартного метода Монте Карло, (126) приближен, заменяя
из случайных переменных Pn
я
и Qn произведен: (для 1 ; i ; N)
значение ожидания empiricalmean. Предположительно, большое количество K реализации
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 101
Pn+1
я, k =Dt
Un+1
я ;Un+1
i;1
Dy
Qk
n +
1;
Dt
2We
Pn
я, k +
r
Dt
Мы
Vn
я, k, (127)
Qn+1
k =
1;
Dt
2We
Qn
k +
r
Dt
Мы
Wn
k, (128)
для 1 ; k ; K, и
(t h) n+1
i =
ми
Мы
1
K
K
;
k=1
Pn+1
я, k Qn+1
k
(129)
вычислен. Для развития (127) - (128), начальные условия P0
я
и Q0
выбранный в качестве стандартных нормальных случайных переменных, так как жидкость принята в покое в
начальное время.
Эта дискретизация - подход CONNFFESSIT, упомянутый выше, осуществленный
в простом случае.
Важное замечание - следующий. Начиная с напряжения (t h) n+1
я
эмпирическое скупое
(129), это - таким образом также случайная переменная. Из этого следует, что макроскопическая скорость
непосредственно, который решает полностью discretized, версия (109) является randomvariable. На
обратное, в пределе K ; ;, напряжение и скорость является детерминированными количествами
(так как значение ожидания (126) является детерминированным количеством).
Следовательно, когда каждый говорит о вычислениях скорости или напряжения, используя
стохастический подход, это подразумевает исполнение набора моделирований, и усреднения
по результатам.
Немедленно, это приносит в проблемы различия изображения. Кратко давайте объясним в
существующее окружение, как шум, неотъемлемо существующий в числовом моделировании, может
быть несколько уменьшенным. Это - известная проблема снижения различия.
Основной подход состоит в корреляции Пи траекторий от, каждый индексирует меня к
другой. С этой целью мы сначала берем как начальные условия для нормальной нормы Пи
randomvariables P0
я, k =P0
k
это не зависит от меня, и второго использования Brownianmotions
Vn
k
, униформа в я: Vn
я, k =Vn
k
. Уравнение (127) таким образом заменено
Pn+1
я, k =Dt
Un+1
я ;Un+1
i;1
Dy
Qk
n +
1;
Dt
2We
Pn
я, k +
r
Dt
Мы
Vn
k. (130)
Замечено, что этот метод уменьшает различие на скорости u. Кроме того,
это обеспечивает эмпирическое скупое, которое является меньшим количеством колебательного w.r.t. переменная пространства y чем
это получило из оригинального подхода (см. Секту. 6.3 ниже для большего количества деталей).
Другой метод, с большим спектром приложений, является методом варьируемой величины управления.
Нижняя строка должна избежать вычислять Ми (PQ) непосредственно, и скорее вычислять каждого
из условий суммы
МИ (PQ) = МИ (;P
;Q
) +E (PQ ; ;P
;Q
)
где ;Pet ;Q являются двумя процессами, таким образом что
102 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
• МИ (;P
;Q
) легко вычислить или приблизиться, аналитически или в цифровой форме,
• ;P
;Q
достаточно близко к PQ так, чтобы Вар (PQ ; ;P
;Q
) ;Var (PQ).
Две экстремальных ситуации
• ;P = ;Q = 0, то есть, Ми (;P
;Q
) очень легко вычислить, но никакое снижение различия не
достигнутый,
• ;P = P и ;Q = Q, так, чтобы Вар (PQ ; ;P
;Q
) = 0, но затем Ми (;P
;Q
) не легче к
вычислите чем Ми (PQ)!
Несколько в стиле кондиционирующих средств для волос, применяемых перед мытьем шампунем для разрешения алгебраических систем,
некоторый компромисс должен быть найден. В конкретном случае на рассмотрении, эффективном
выбор состоит в определении (;P, ;Q) (t) как раствор к стохастическому тому же самому
отличительные уравнения (123) для нулевой скорости и (;P, ;Q) (0) = (P, Q) (0) ((; P, ;Q) (t)
d ;P (t) = ;
1
2We
;P
(t) dt +
1
;We
dVt,
d ;Q (t) = ;
1
2We
;Q
(t) dt +
1
;We
пеннивейт.
Ясно, и ;Q и Q удовлетворяют то же самое уравнение, и ;P не зависит от y. На
другая рука, Ми (;P
;Q
) = 0, так как ;P и ;Q - свободный художник (так как они в начальное время),
и оба из скупого ноля (спорящий на вышеупомянутых стохастических отличительных уравнениях). В
порядок моделировать Ми (PQ ; ;P
;Q
), передовой замысел Euler используется: для каждого n,
мы устанавливаем ;Qn
k = Qn
k
и
;P
n+1
я, k =
1;
Dt
2We
;P
n
я, k +
r
Dt
Мы
Vn
я, k (131)
Конечно, для эффективного снижения различия, которое будет достигнуто, Гауссовское то же самое
переменные Vn
я, k
должны использоваться для того, чтобы моделировать и ;P и P. Если случайный свободный художник
переменные использовались для того, чтобы моделировать ;P и P, ;P, и P будет случайным свободным художником
переменные и таким образом Вар (P ; ; P) = Вар (P) +Var (;P)> Вар (P).
Моделирование (t h) n+1
я
состоит в решении
(t h) n+1
i =
ми
Мы
МИ (PQ),
=
ми
Мы
(МИ (;P
;Q
) +E (PQ ; ;P
;Q
)),
=
ми
Мы
(0+E (PQ ; ;P
;Q
)),
;
ми
Мы
1
K
K
;
k=1
(Pn+1
я, k Qn+1
k ; ;Pn+1
я, k
;Q
n+1
k),
;
ми
Мы
1
K
K;
k=1
((Pn+1
я, k ; ;Pn+1
я, k) Qn+1
k), (132)
остается в равновесии):
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 103
вместо (129).
n h n
h) n), чтобы усовершенствовать вперед вовремя Dt:
(1) Знание всех (t h) ni
макроскопическое уравнение (110), чтобы получить скорость valuesUn+1
я
(1 ; i ; N ;1).
(2) На каждом антракте пространства с продолжительностью Dy,
(2.1) Ансамбль K реализации случайных переменных Vn
я, k
и Wn
k (1 ;
k ; K) моделируется; Если снижение различия варьируемой величиной управления используется,
случайные переменные ;Pi, k скорректирован после (131);
(2.2) Используя valuesUn+1
я
(1 ;i ; N;1) в замыслах (127) - (128) discretizing
SDEs (123), значения Pn+1
я, k
и Qn+1
k
получены;
(2.3) Вычисляя эмпирическое скупое (129) по K реализации, напряжения
(t h) n+1
я
получен в следующий такт.
5.5 Выпрямление к модели FENE
В модели FENE SDE, который должен быть discretized,
dXt +u. ;Xt dt = ;uXt dt ;
1
2We
Xt
1;kXtk2/b
dt +
1
;We
пеннивейт. (133)
В определенной геометрической установке этого раздела, обозначая Xt = (P (t), Q (t)) andWt =
(Vt, Вес), (133) пишет:
;;;;;;;;;
;;;;;;;;
разность потенциалов (t, y) =
¶ u
¶ y
(t, y) Q (t, y) ;
1
2We
P (t, y)
1 ; (P (t, y) 2+Q (t, y) 2)/b
dt
+
1
;We
dVt,
dQ (t, y) = ;
1
2We
Q (t, y)
1 ; (P (t, y) 2+Q (t, y) 2)/b
dt +
1
;We
пеннивейт.
(134)
В отличие от случая Hookean dumbbell, дайте обзор, что Q теперь также в зависимости от
переменная пространства y.
Теперь давайте обсуждать как к discretize этот SDE, и какой варьируемая величина управления
По сравнению со случаем Hookean dumbbell, дополнительной степенью трудности комбинации дискретизации
из (133) особенность шпигования, когда kXtk2 идет в си. Это может быть
процесс тика Xt не ударяет границу Си (0, ;b) в конечный промежуток времени, обеспечил b> 2.
Дайте обзор, что без броуновского термина, это было бы прозрачно, что Xt остается внутри
Си (0, ;b), но этот факт не настолько прозрачна в случае SDE, и фактически требует aserty
для дискретного процесса Xn. na;;ve замысел Euler такой как (127) - (128) не делает
для всех антрактов, индексированных я, эти значения используются в
Суммируя вышеупомянутое, вычисление давало представление во время t, зная ((u),
(t
метод может использоваться, чтобы уменьшить различие.
показанный (см. Б. Журдена и Т. Лелиэвра [66]), что, на непрерывном уровне, stochassumption
на си. Когда discretizing (133), каждый интересуется наложением также этого prop104
C. Ле Бри, Т. Лели `evre
удовлетворите это свойство. Одна опция должна просто накрыть, привлекает таким образом что kXn+1k2> си.
альтернативная опция была предложена H.C. ;Ottinger [102, p. 218-221]. Это состоит
в обработке неявно шпиговать термин, и можно показать что это результаты дискретный процесс
Xn с фактическими значениями в Си (0, ;b). Давайте напишем этот замысел SDE (133)
без адвективного термина u. ;Xt dt:
;;;;;;;;
;;;;;;;
Xn+1 = Xn+;unXnDt ;
1
2We
Xn
1;kXnk2/b
Dt +
r
Dt
Мы
Gn,
1+
1
4We
Dt
1;kXn+1k2/b
Xn+1 = Xn
+
1
2
;unXn +;un+1Xn+1 ;
1
2We
Xn
1;kXnk2/b
Dt +
r
Dt
Мы
Gn,
(135)
где Gn - i.i.d. Гауссовские переменные с матрицей ковариации Id.
Мы затем рассматриваем вопрос снижения различия варьируемой величиной управления. Как упомянуто
выше, идея состоит в том, чтобы вычислить тензор напряжения как
t p =
ми
Мы
МИ
Xt ;Xt
1;kXtk2/b ; ;XXt ; ;FF (;XXt)
+E
;; ;XXt ; ;FF (;XXt)
,
;X
t
;F
;F
F = F), таким образом, что различие термина в первом ожидании,
МИ
Xt ;Xt
Xt
2 ; ;XXt ; ;FF (;XXt)
,
как можно меньше, и вычисление второго expectationE
;; ;XXt ; ;FF (;XXt)
легко. Для различия первого термина, который будет маленьким, ;XXt должен быть настолько близким насколько возможно
к Xt (в стохастических условиях, ;XXt должен быть соединен с Xt). В частности один
требует, чтобы X0 = ;XX0 и управление Броуновского движения Xt был тем же самым как тем
управление ;XXt.
Затем две варьируемых величины типов контроля классически используются (см. Дж. Бонвина и М. Пикассо
[16]). Как в предыдущем разделе для Hookean dumbbells, ;XXt может быть процессом
“в равновесии”. Это состоит в вычислениях ;XXt как раствор к тому же самому SDE как Xt
(и таким образом ;FF = F) без термина ;uXt dt. Если X0 = ;XX0 распределен согласно
инвариантное правило SDE, затем правило ;XXt не зависит вовремя и таким образом
МИ
;XXt ; ;XXt
1;k ;XXtk2/b
= МИ
;XX0 ; ;XX0
1;k ;XX0k2/b
который может быть аналитически вычислен. Этот метод как правило работает когда система
остается близко к равновесию.
Когда система выходит из равновесия, другая идея состоит в том, чтобы использовать приближение крышки
получить модель, которая является близко к модели FENE, но у которой есть a
макроскопический эквивалент так, чтобы вторая Ми термина
;; ;XXt ; ;FF (;XXt)
может быть вычислен
discretizing PDE (который очень дешев по сравнению с методом Монте Карло).
где X
1;kX k/b
подходящий выбранный вероятностный процесс, и F, который шпигует соответствующее (например
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 105
Например, можно взять модель Hookean dumbbell (;FF (;XXt) = ;XXt) и вычислить
МИ
;; ;XXt ; ;XXt
решая PDE для модели Oldroyd-си. Можно также выбрать
Модель FENE-P (;FF (;XXt) =
;X
Xt ; ;XXt
1;Ek ;XXtk2/b
) и вычислите Ми
;; ;XXt ; ;FF (;XXt)
решая
связанный PDE (28). Отношения крышки таким образом важны не только, чтобы получить макроскопический
модели с микроскопическим истолкованием, но также и создавать эффективное различие
методы снижения. Для отношений крышки для модели FENE мы обращаемся к К. Дю,
C. Луи и П. Ю [37, 32].
5.6 Коды MATLAB
В этом разделе мы даем MATLAB codes3 для вычисления скорости и
напряжение в потоке Couette для Hookean dumbbellmodel (начало деятельности стригут поток).
Мы вспоминаем, что эта модель эквивалентна модели Oldroyd-си. Мы таким образом имеем три
рецептуры проблемы:
• Макромакро-рецептура:
;;
;
Ре
¶ u
¶ t
(t, y) ; (1;e)
¶ 2u
¶ y2 (t, y) =
¶t
¶ y
(t, y),
¶ t
¶ t + 1
Мы t = ми
Мы
¶ u
¶ y.
(136)
• Микромакро-рецептура с SDEs:
;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
(t, y) ; (1;e)
¶ 2u
¶ y2 (t, y) =
¶t
¶ y
(t, y),
t (t, y) =
ми
Мы
Ми (Xt (y) Yt),
dXt (y) =
¶ u
¶ y
(t, y) Yt dt ;
1
2We
Xt (y) dt +
1
;We
dVt,
dYt = ;
1
2We
Yt dt +
1
;We
пеннивейт.
(137)
• Микромакро-рецептура с уравнением Fokker-Planck:
;;;;;;;
;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
(t, y) ; (1;e)
¶ 2u
¶ y2 (t, y) =
¶t
¶ y
(t, y),
t (t, y) =
ми
Мы
Z
XY p (t, y, X, Y) dXdY,
¶ p
¶ t
= ;div (X, Y)
(
¶ u
¶ y
Y, 0) ; (X, Y)
1
2We
p
+
1
2We
D (X, Y) p.
(138)
Мы теперь вставляем источник MATLAB Couette Oldroyd B.m для дискретизации
из (136).
3 коды доступны в следующем, обратитесь:
http://hal.inria.fr/inria-00165171
106 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
очистите все;
% Физические параметры
Re=0.1; Eps=0.9; We=0.5;
v=1.;
T=1.; % Максимальное время
% Дискретизация
% Пространство
I=100;
dx=1/I; сцепитесь = [0:dx:1];
% Тайм
N=100;
dt=T/N;
% Matrices
D1=diag ((1, I-1),-1); D1=D1 (2:I:); D1 = [D1, ноли (I-1,1)];
D2=diag ((1, I-1)); D2 = [ноли (I-1,1), D2, ноли (I-1,1)];
D3=diag ((1, I-1), +1); D3=D3 (1: (I-1):); D3 = [ноли (I-1,1), D3];
% Массовая матрица
M = (1/6) *D1 + (2/3) *D2 + (1/6) *D3;
M=M.*dx; M=sparse (M);
MM=M (: 2:I);
% Матрица чопорности
A = (-1) *D1+2*D2 + (-1) *D3;
A=A./dx; A=sparse (A);
AA=A (: 2:I);
BB=Re*MM./dt + (1-Eps) *AA;
% Векторы
u=zeros (I+1,1); Начальная скорость %
tau=zeros (я, 1); напряжение Начальной буквы %: \E (PQ) =0 в t=0
gradtau=zeros (I-1,1);
CLL=zeros (I+1,1);
% Итерации Тайма
для t=dt:dt:T,
uold=u;
gradtau=tau (2:I)-tau (1: (I-1));
если ((t/T) <0.1)
CLL (1) =v*10 * (t/T);
еще
CLL (1) =v;
конец;
CL = (Re*M./dt + (1-Eps) *A) *CLL;
F = (Re*M./dt) *u-CL + (Eps/We) *gradtau;
u (2:I) =BB\F;
если ((t/T) <0.1)
u (1) =v*10 * (t/T);
еще
u (1) =v;
конец;
для l=1:I
tau (l) = (1-dt/We).*tau (l) + (dt/dx) * (u (l+1)-u (l));
% tau (l) = (1-dt/We).*tau (l) +dt/dx * (uold (l+1)-uold (l));
конец;
% Рисунки
график (петля', u, петля', [(Eps/We) *tau; (Eps/We) *tau (I)]);
ось ([0 1 - 1 1.2]);
drawnow;
конец;
легенда ('скорость', 'напряжение');
Упражнение 1. Сравнитесь в цифровой форме и теоретически стабильность двух timediscretizations:
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 107
;;;;
;;;
Ре
d t
(un+1 (y) ;un (y)) ; (1;e)
¶ 2un+1
¶ y2 (y) =
¶tn
¶ y
(y),
1
d t
(tn+1 (y) ;tn (y)) +
1
Мы
tn+1 (y) =
ми
Мы
¶ un+1
¶ y
,
(139)
и ;
;;;
;;;
Ре
d t
(un+1 (y) ;un (y)) ; (1;e)
¶ 2un+1
¶ y2 (y) =
¶tn
¶ y
(y),
1
d t
(tn+1 (y) ;tn (y)) +
1
Мы
tn+1 (y) =
ми
Мы
¶ un
¶ y
,
(140)
для нулевых граничных условий Dirichlet на un.
Подсказка: Для численных данных выберите достаточно большой такт. Для числового
анализ, считайте количество En = Ре
R 1
0 |un|2 (y) dy + Мы
ми
R 1
0 |tn|2 (y) dy и доказывают
это En+1 ; En, в течение достаточно маленького такта для замысла (139). Можете Вы доказывать
подобный результат для замысла (140)? Как изменить эти замыслы получить a
устойчивый замысел вообще такт?
Ниже источник MATLAB Куетт МАК Варредюк.м для дискретизации
из (137).
очистите все;
% Физические параметры
Re=0.1; Eps=0.9; We=0.5;
v=1.;
T=1; % Максимальное время
% Числовые параметры
% Пространство
I=100;
dx=1/I; сцепитесь = [0:dx:1];
% Тайм
N=100;
dt=T/N;
% Число полимеров за обитель (Монте Карло)
J=1000;
% Matrices
D1=diag ((1, I-1),-1); D1=D1 (2:I:); D1 = [D1, ноли (I-1,1)];
D2=diag ((1, I-1)); D2 = [ноли (I-1,1), D2, ноли (I-1,1)];
D3=diag ((1, I-1), +1); D3=D3 (1: (I-1):); D3 = [ноли (I-1,1), D3];
% Массовая матрица
M = (1/6) *D1 + (2/3) *D2 + (1/6) *D3;
M=M.*dx; M=sparse (M);
MM=M (: 2:I);
% Матрица чопорности
A = (-1) *D1+2*D2 + (-1) *D3;
A=A./dx; A=sparse (A);
AA=A (: 2:I);
BB=Re*MM./dt + (1-Eps) *AA;
% Векторы
u=zeros (I+1,1); Начальная скорость %
Y=zeros (J, 1); X=zeros (J, I);
X_var_controle=zeros (J, 1); варьируемая величина Управления %
Y=randn (размер (Y));
% Начальное условие не в зависимости от переменной пространства
108 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
X=randn (J, 1) *ones (1, I);
X_var_controle=X (: 1);
tau=zeros (я, 1);
gradtau=zeros (I-1,1);
CLL=zeros (I+1,1);
% Итерации Тайма
для t=dt:dt:T,
для l=1:I,
tau (l) =sum (Y. * (X (: l)-X_var_controle))/J;
конец;
tau = (Eps/We) *tau;
gradtau=tau (2:I)-tau (1: (I-1));
если ((t/T) <0.1)
CLL (1) =v*10 * (t/T);
еще
CLL (1) =v;
конец;
CL = (Re*M./dt + (1-Eps) *A) *CLL;
F = (Re*M./dt) *u-CL+gradtau;
u (2:I) =BB\F;
если ((t/T) <0.1)
u (1) =v*10 * (t/T);
еще
u (1) =v;
конец;
% Y, X и X_var_controle
r=randn (J, 1);
для l=1:I,
X (: l) = (1-dt / (2*We)) *X (: l) + (dt/dx) * (u (l+1)-u (l)) *Y+sqrt (dt/We) *r;
конец;
X_var_controle = (1-dt / (2*We)) *X_var_controle+sqrt (dt/We) *r;
Y = (1-dt / (2*We)) *Y+sqrt (dt/We) *randn (J, 1);
% Рисунки
график (петля', u, петля', [tau; tau (I)]);
ось ([0 1 - 1 1.2]);
drawnow;
конец;
легенда ('скорость', 'напряжение');
Упражнение 2. Исследуйте в цифровой форме влияние числа dumbbells в каждом
обитель. Сравните результаты с и без снижения различия. Измените программу
использовать Броуновские движения Vt для Xt, которые являются свободным художником от одной обители до другого
(againwith и без снижения различия).Discuss результаты (см. Секту. 6.3 ниже).
Упражнение 3. Измените программу, чтобы обработать FENE dumbbells. Вы можете использовать любого Euler
замысел к discretize SDE и шаг блок-шота, или замысел (135). Программа
снижение различия, используя модель FENE-P для варьируемой величины управления.
Источник MATLAB Couette FP.m для дискретизации (138) следует.
очистите все;
%%%% Этот файл содержит некоторые интегралы полиномиалов Hermite
выполненный Ortho_HD_normalise_20
%%%% Физические параметры
d=2; измерение % пространства ambiant
n=1; число % весен
% Предупреждение: Только d=2 и n=1 осуществлены здесь
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 109
T=1; % Максимальное время
Re=0.1; Eps=0.9; We=0.5; v=1.;
%%%% Дискретизация
% Пространство
I_esp=100; число % spacesteps
dx=1/I_esp; mesh=0:dx:1;
% Тайм
N=100; число % тактов
dt=T/N; % timstep
l_max=2; % Максимальный градус полиномиалов Hermite
% Discretisation для q: ПОЛНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ТЕНЗОРА
тускнейте = (l_max+1) * (l_max+1);
disp ('Измерение основания Galerkin для Fokker-Planck:'); (тусклый) disp;
% Чтобы получить tensorial индексируют, как функция абсолюта индексирует
% 0 \leq ню (1) \leq l_max
get_nu = (i) [этаж ((i-1) / (l_max+1)), i-1-floor ((i-1) / (l_max+1)) * (l_max+1)];
% Чтобы получить абсолют индексируют, как функция tensorial индексирует
% 1 \leq я тусклый \leq
get_i = (ню) 1+nu (1) * (l_max+1) +nu (2);
% Матрица S
D1=diag ((1, n*d),-d); D1=D1 ((d+1): (n+1) *d:);
D2=diag ((1, n*d), d); D2=D2 (1:n*d:);
S =-D1+D2;
% Матрица D
D=S*S';
% Здесь, D=2 Id
%%%% Действующие компании
disp ('Вычисляющий matrices...');
%%%% Действующие компании для Fokker-Planck
M=zeros (тусклый, тусклый);
G_de_base=zeros (тусклый, тусклый);
A=zeros (тусклый, тусклый);
% \int_X (1/dt q ; {n+1}) r \omega
% с тех пор int_P_P = Id, это - только Id
M=eye (тусклый, тусклый);
% Соль = Nabla_u: \int_X (\nabla_X r \otimes X) q \omega
% Соль зависит от такта
% G=nabla_u*G_de_base, где nabla_u - недиагональный компонент
% из матрицы \nabla u
для i=1:dim % r_i
для j=1:dim % q_j
% +1: получить указатели Ortho_HD_normalise.m
nu_i=get_nu (i) +1;
nu_j=get_nu (j) +1;
G_de_base (я, j) =int_DP_P (nu_i (1), nu_j (1)) *int_P_X_P (nu_i (2), nu_j (2));
конец
конец
% = D: \int_X (\nabla_X q \otimes \nabla_X r) \omega
% Здесь, D=2 Id
% D (1,1) * \int \partial _ {X_1} P _ {я} (x) \partial _ {X_1} P _ {j} (x) \omega
для i=1:dim % r_i
для j=1:dim % q_j
nu_i=get_nu (i) +1;
nu_j=get_nu (j) +1;
(Я, j) =A (я, j) +D (1,1) *int_DP_DP (nu_i (1), nu_j (1))...
*int_P_P (nu_i (2), nu_j (2));
конец
конец
% D (2,2) * \int \partial _ {X_2} P _ {я} (x) \partial _ {X_2} P _ {j} (x) \omega
для i=1:dim % r_i
для j=1:dim % q_j
110 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
nu_i=get_nu (i) +1;
nu_j=get_nu (j) +1;
(Я, j) =A (я, j) +D (2,2) *int_P_P (nu_i (1), nu_j (1))...
*int_DP_DP (nu_i (2), nu_j (2));
конец
конец
% Вычисление \int X_1 X_2 P _ {я} (x) \omega
% Этот вектор полезен, чтобы вычислить tau
int_X_X_q_1_2=zeros (тусклый, 1);
для i=1:dim
nu_i=get_nu (i) +1;
int_X_X_q_1_2 (i) =int_X_P (nu_i (1)) *int_X_P (nu_i (2));
конец;
%%%% Действующие компании для скорости
D1=diag ((1, I_esp-1),-1); D1=D1 (2:I_esp:); D1 = [D1, ноли (I_esp-1,1)];
D2=diag ((1, I_esp-1)); D2 = [ноли (I_esp-1,1), D2, ноли (I_esp-1,1)];
D3=diag ((1, I_esp-1), +1); D3=D3 (1: (I_esp-1):); D3 = [ноли (I_esp-1,1), D3];
% Массовая матрица
M_esp = (1/6) *D1 + (2/3) *D2 + (1/6) *D3;
M_esp=M_esp.*dx;
M_esp=sparse (M_esp);
MM_esp=M_esp (: 2:I_esp);
% Матрица чопорности
A_esp = (-1) *D1+2*D2 + (-1) *D3;
A_esp=A_esp./dx;
A_esp=sparse (A_esp);
AA_esp=A_esp (: 2:I_esp);
BB_esp=Re*MM_esp./dt + (1-Eps) *AA_esp;
%%%% Векторы
% начальные условия
u=zeros (I_esp+1,1); скорость % - ноль
q=zeros (тусклый, I_esp);
q (1:) =ones (1, I_esp); равновесие % в каждом очке
tau=zeros (I_esp, 1);
gradtau=zeros (I_esp-1,1);
nabla_u=0;
CLL=zeros (I_esp+1,1);
%%%% Итерации Тайма
disp ('итерации Тайма);
для t=dt:dt:T,
q_old=q;
u_old=u;
% Вычисление u
gradtau=tau (2:I_esp)-tau (1: (I_esp-1));
если ((t/T) <0.1)
CLL (1) =v*10 * (t/T);
еще
CLL (1) =v;
конец;
CL = (Re*M_esp./dt + (1-Eps) *A_esp) *CLL;
F = (Re*M_esp./dt) *u-CL+gradtau;
u (2:I_esp) =BB_esp\F;
если ((t/T) <0.1)
u (1) =v*10 * (t/T);
еще
u (1) =v;
конец;
% вычисление tau
для l=1:I_esp итерации % на обителях
nabla_u = (u (l+1)-u (l)) / дуплекс;
nabla_u_old = (u_old (l+1)-u_old (l)) / дуплекс;
% вычисление q (: l)
G=nabla_u*G_de_base;
G_old=nabla_u_old*G_de_base;
% Чудак Николсон
M_n_p_1 = (1/dt) *M - 0.5 * (G-A / (4*We));
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 111
M_n = (1/dt) *M + 0.5 * (G_old-A / (4*We));
q (: l) =M_n_p_1 \(M_n*q_old (: l));
% Вычисление tau (l)
% tau = \int_X (X \otimes X) q \omega
tau (l) = (Eps/We) * (q (: l) '*int_X_X_q_1_2);
конец;
% Рисунки
график (петля', u, петля', [tau; tau (I_esp)]);
ось ([0 1 - 1 1.2]);
drawnow;
конец;
легенда ('скорость', 'напряжение');
Упражнение 4. Сравните результаты, полученные с этими тремя рецептурами. Какая рецептура
является самым эффективным в вычислительном отношении? Обсудите применимость этих трех
рецептуры к следующим двум более общим настройкам: цепочка N> 2 бусины соединялась
с веснами Hookean, FENE dumbbell модель.
6 Математических и числовых проблем
Как упомянуто ранее, существующий раздел намного более тщательно продуман математически
чем preceeding разделы.
6.1 Общий обзор основных элементов, имеющие степень трудности
Сначала формально давайте суммировать элементы, имеющие степень трудности, поднятые математическим анализом
из систем такой как (50) и (98) (для микромакромоделей) или (23) (для макромакро-
модели).
Эти системы уравнений включают, Navier-топит уравнения, с дополнительным
назовите divt p в правой стороне. Уравнение на t p является по существу транспортом
у уравнения и, формально, t p есть самое большее регулярность ;u (этот факт будет прозрачен
на выборе соответствующих функциональных пробелов для результатов существования, и дискретизации
пробелы для численных методов). Термин divt p в правой стороне в
themomentumequation маловероятен к bringmore регулярности на u. Это таким образом ожидается
то, что исследование этих двойных систем содержит, по крайней мере, известные элементы, имеющие степень трудности
из Navier-топит уравнения. Вспомните, что для (3-мерного) Navier-топит
уравнения, известно, что глобальные вовремя слабые растворы существуют, но регулярность,
и таким образом уникальность, таких растворов является открытой проблемой. Только местный вовремя
существование и результаты уникальности сильных растворов доступны.
В дополнение к элементам, имеющие степень трудности, уже содержавшимся в, Navier-топит уравнения
(которые по существу происходят из u термина Navier · ;u), сцепление с уравнением
на t p подъемы другие проблемы. Во-первых, эти уравнения (и для макромакро-и
микромакро-модели), содержат транспортный термин (u · ;t p, u · ;y или u · ;Xt) без
условия распространения (в переменной пространства). Они являются гиперболическими в природе. Регулярность
на скорости u как правило не достаточен, чтобы обработать этот транспортный термин
характерный метод. Кроме того эти уравнения вовлекают нелинейное мультипликативное
термин (;u;t p, divX (;uX;y) или ;uXt). Наконец, за исключением очень простых моделей
112 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
(Oldroyd-си или Hookean dumbbell), уравнения, определяющие t p вообще, содержат объявление -
F
Подводить итог, элементы, имеющие степень трудности, поднятые математическим анализом этих моделей
связаны с:
•
• нелинейные условия, прибывающие любой от сцепления между уравнениями и
(u, p) и t p t
p.
numericals методы (выбор пробелов дискретизации, стабильность числового
замыслы...). Фактически, проблемы, поднятые дискретизацией, мы упоминали
в Секте. 4.4 может видеться как копии элементов, имеющие степень трудности, поднятых математическим
анализ. Много вопросов все еще открыты, и математический анализ и
числовой анализ для вязкоупругих жидкостей - очень живые поля.
В следующем мы обеспечиваем более подробные результаты для макромакро-моделей, и,
следующие, микромакро-модели. Рассмотрение фокуса данной статьи, большего акцента
положен на последнем.
6.2 Макроскопические модели
Мы обращаемся к М. Ренарди [112] или Э. Фернандес-Кэра, Ф. Гильен и R.R. Ортега [44]
для повторения математического анализа макроскопических моделей. Для числового
методы, мы обращаемся к Р. Кеунингсу [70] F.P.T. Baaijens [6] Р. Оуэнс и
T. Филлипс [104].We вспоминает prototypicalmacroscopicmodel, а именно, Oldroyd-
Модель си:
;;;;;;
;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
+u · ;u
; (1;e) Du+;p = divt p + f,
divu = 0,
Мы
¶t p
¶ t
+u · ;t p;;ut p;t p (;u) T
+t p =e (;u+;uT).
(141)
Математические результаты
Касающиеся результаты существования для макроскопических моделей, четыре типа результатов могут быть
найденный в litterature:
• местные вовремя результаты (волнение начального условия),
• глобальные вовремя результаты для маленьких данных (волнение постоянного раствора),
• существование имеет результатом для постоянных растворов близко к растворам равновесия,
• результаты существования для постоянных растворов близко к Navier-топят постоянные растворы.
местное вовремя существование и результаты уникальности. У них также есть много значений на
, или неотъемлемо содержавшийся в уравнениях, определяющих ditional нелинейность (для микромакро-модели, шпигование вообще нелинейно
транспортируйте условия,
Эти элементы, имеющие степень трудности ограничивают современный математический анализ углубления-posedness
и как правило фотографические увеличения, когда продолжительность полимера достигает критического значения).
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 113
Для иллюстрации только давайте упоминать результат, полученный М. Ренарди в [110].
Автор рассматривает следующую двойную проблему в ограниченной области D R3:
;;;;;;
;;;;;
r
¶ u
¶ t
+u. ;u
= divt p;;p + f,
d ivu = 0,
¶
¶ t
+u. ;
(t p) я, j = Ай, j, k, л (t p)
¶ Великобритания
¶ xl
+gi, j (t p),
(142)
с соглашением суммирования по повторным указателям. Жидкость является невязкой (h = 0). Это
система - suppliedwith homogeneousDirichlet граничное условие на скорости u,
и начальные условия. Отличительные модели введены в Секте. 2.3 действительно входят
эта структура. Введите четвертый тензор порядка:
Ci, j, k, л = Ай, j, k, л ; (t p) я, ldk, j, (143)
где d - символ Kronecker. Примите следующее сильное свойство эллиптичности
на До: ;z, h ; R3
Ci, j, k, л (t p) zizkhjhl ;k|z |2|h|2 (144)
где k> 0 является константой не в зависимости от t p. Под дополнительным успением о
симметрия на тензоре A, регулярности и совместимости на начальных условиях, этом
показан М. Ренарди в [110] что:
Теорема 1. Там существует время T ;> 0, такой, что система (142) допускает уникальное
раствор с регулярностью:
u ;
\4
k=0
Ck ([0, T ;], H4;k (D), t p ;
\3
k=0
Ck ([0, T ;], H3;k (D)).
результаты Танса для менее регулярных растворов получены там для вязкости отличной от нуля
растворитель h> 0. В серии работ, Э. Фернандес-Кэры, Ф. Гильена и R.R. Ортега
изучите местное углубление-posedness в пробелах Соболева (см. [44] и ссылки там).
вовремя существование и уникальность имеют результатом и глобальное вовремя существование и уникальность
Единственный глобальный вовремя результат существования, о котором мы знаем, является работой P.-L. Львы
и Н. Мазмоуди [89], где модель подобная Oldroyd изучена, но с
corotational конвективная производная на тензоре напряжения, а не верхнем convected
производная.
Кроме того, там существуйте много исследований стабильности вязкоупругих потоков, и
изменение математической природы уравнений (связующая партия от параболического до гиперболического).
Мы обращаемся к М. Ренарди [112], Р. Оуэнс и Т. Филлипс [104] и ссылки
там.
результаты для маленьких данных доказаны для моделей подобных Oldroyd.
Работы К. Гуиллопе и J.C. Saut [53, 54] должны также быть упомянуты. Exis-
Мы также упоминаем работу F.-H. Лин, К. Луи и P.W. Занг [86], где local114
C. Ле Бри, Т. Лели `evre
Численные методы
Большинство численных методов, используемых практически, чтобы моделировать такие модели,
основанный на дискретизации конечного элемента в пространстве (см. однако Р. Оуэнса и
T. Филлипс [104] для спектральных методов) и дискретизация конечной разности вовремя
(обычно замыслы Euler), с расцепленным вычислением (u, p) и t p. Более точно,
в каждый такт, уравнение для (u, p) сначала решено, дано текущее напряжение
тензор t p. Это позволяет корректировать скорость. Затем, уравнение для t p решено, и
напряжение скорректировано.
Мы уже упомянули в Секте. 4.4 основные три элементов, имеющие степень трудности, поднятые
дискретизация: (i) условие совместимости необходим между дискретизацией
пробелы для u и для t p, (ii) транспортные условия должны быть правильно discretized, (iii)
опишите, как иметь дело с этими элементами, имеющие степень трудности для макроскопических моделей. Дайте обзор этого, как
наблюдаемый в Секте. 4.4, эти три упомянутые выше элементов, имеющие степень трудности также присутствуют для
дискретизация микромакромоделей. Большинство методов, описанных ниже, таким образом
также полезный для дискретизации микромакро-моделей.
Касающаяся степень трудности комбинации (i), фактически кажется, что условие inf-глотка требуется
для трех пробелов дискретизации для соответственно давления, скорости и
тензор напряжения. Более точно, в дополнение к обычному условию inf-глотка, требуемому для
дискретизация располагает с интервалами для скорости и давления, совместимости между
пространство дискретизации для скорости и который для тензора напряжения обязан
получите устойчивые замыслы, когда h является маленьким по сравнению с hp
Эти условия совместимости были проанализированы J.C. Бонвин М. Пикассо и
R. Sternberg в [18, 17] на с тремя полями Топит систему:
;;
;
;hDu+;p;divt p = f,
divu = 0,
t p;hp
; соль = соль.
(145)
Много методов были предложены в литературе, чтобы обработать проблему:
• Используйте пробелы дискретизации, которые удовлетворяют условие inf-глотка. Они являются обычно трудными
осуществить (см. например J.M. Маршал и M.J. Вязание крючком [96]),
• Введите дополнительное неизвестное, чтобы избежать этого условия совместимости (см.
Метод EVSS в R. Gu;enette и М. Фортин [52]),
• Используйте методы стабилизации, как Наименьший квадрат Galerkin (GLS) метод, который
включает, чтобы использовать то же самое пространство дискретизации для трех неизвестных полей (см.
J.C. Бонвин М. Пикассо и Р. Штернберг в [18, 17]).
Вторая степень трудности комбинации (ii) поднята дискретизацией адвективных условий
и в уравнении для u и для t p. Это известно это na;;ve дискретизация
методом конечных элементов приводит к непостоянным замыслам. Много методов были
используемый, чтобы обойти эту проблему: методы стабилизации как Направление потока Против ветра
Petrov-Galerkin (SUPG) или GLS, Прерывистые методы Galerkin (см. М. Фортина
и А. Фортин [46]), или числовой характерный метод (см. J.C. Bonvin [18] или
Назад отслеживающий лагранжевый Метод Частицы П. Уопперома, Р. Кеунингса и
дискретизация нелинейных условий требует особого внимания. Позвольте нам теперь кратко
(то есть когда ми близко к 1).
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 115
V. Legat [121]). Мы обращаемся к Р. Оуэнсу и Т. Филлипсу [104, Парень. 7] или Р. Кеунингсу
[71] для ссылок об этих методах в окружении вязкоупругой жидкости
моделирования (см. также Т. Мин, J.Y. Ю и Х. Чой [98] для сравнения между
различные числовые замыслы). Эти элементы, имеющие степень трудности являются видными для богатого числа Рейнолдса
(который не фактически релевантен в окружении вязкоупругих плавных моделирований),
или для highWeissenberg числа (который релевантен).
Третья степень трудности комбинации (iii) wementioned касается дискретизации нелинейного
условия. Рассмотрите термин ;ut p +t p (;u) T в конвективной производной t p. В
большинство численных методов, этот термин обработан явно, беря его значение в
прежний такт. Линеаризование этого термина, обрабатывая скорость явно и
напряжение неявно приводит к плохо изложенному problemif theWeissenberg problemis слишком богатый.
Мы упоминали, что два из этих элементов, имеющие степень трудности являются видными для крупного Weissenberg
число. Действительно кажется, что численные методы становятся непостоянными в этом последнем
режим. Это уже - так называемая Богатая проблема Числа Weissenberg (HWNP) мы
упомянутый в Секте. 4.4. Много работ связаны с HWNP (мы относимся за
пример Р. Оуэнсу и Т. Филлипсу [104, Парень. 7]). HWNP, конечно, нет
только связанный с замыслом дискретизации. Это действительно наблюдалось это для некоторых
конфигурации, критическое число Weissenberg (выше которого замысел непостоянен),
уменьшения с размером шага петли (см. Р. Кеунингса [71]), который мог указать на поражение
из регулярности для непрерывного раствора непосредственно (см. Д. Сандри [116]). Это - все еще открытое
проблема точно характеризовать HWNP, и различить неустойчивость
пришествие от модели непосредственно, или ее дискретизации. Для теоретического исследования
ограничьте Нас ; ;, мы обращаемся к М. Ренарди [112, Парень. 6].
Мы хотели бы tomention recentworks [42, 43, 60] где Р. Фэттэл, Р. Капфермен
и M.A. Хулсен предлагает новую рецептуру для макроскопических моделей, основанных на
замена переменной: вместо того, чтобы использовать (u, p, t p) как unknowns, они устанавливают проблему
с точки зрения (u, p, f), где
f = lnA
и A - тензор структуры, определенный:
A =
Мы
ми
t p+Id. (146)
лучше поймите проблему.
6.3 Мультимакеты
Давайте вспоминать микромакро-модель, которой мы интересуемся:
численные методы. В этой дополнительной рецептуре числовая неустойчивость воскресает только
[43, 60] и И. Куон [74] для variousmodels, различных геометрических настроек, и различный
Этот новый formulationwas, осуществленный в Р. Фэттэле, Р. Капфермене andM.A. Хулсен
для намного выше числа Weissenberg. Это таким образом, кажется, многообещающий метод к
116 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
;;;;;;;;;
;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
+u · ;u
; (1;e) Du+;p = divt p + f,
divu = 0,
t p =
ми
Мы
(Ми (Xt ;F (Xt)) ;Id),
dXt +u. ;Xt dt = ;uXt dt ;
1
2We
F (Xt) dt +
1
;We
Вес
(147)
с F (Xt) = Xt для Hookean dumbbells, F (Xt) = Xt
1;kXtk2/b
для FENE dumbbells,
или F (Xt) = Xt
1;E (kXtk2)/b
для FENE-P dumbbells. Переменная пространства x изменяется по a
ограниченная область D ; Резерфорд. Эта система поставляется граничными условиями на
скорость, и начальные условия на скорости и вероятностных процессах. В
следующий, мы предполагаем ми ; (0,1).
Мы вспоминаем версию Fokker-Planck (147):
;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
(t, x) +u (t, x) · ;u (t, x)
; (1;e) Du (t, x) +;p (t, x)
= отделение (t p (t, x)),
отделение (u (t, x)) = 0,
t p (t, x) =
ми
Мы
Z
X
(X ;F (X)) y (t, x, X) дуплекс ;Id
,
¶y
¶ t
(t, x, X) +u. ;xy (t, x, X)
= ;divX
;u (t, x) X ;
1
2We
F (X)
y (t, x, X)
+
1
2We
DXy (t, x, X).
(148)
Есть растущая литература по анализу микромакро-моделей для полимерного
жидкости. Первой работой, о которой мы знаем, является М. Ренарди [111], где микромакрос
модель в ее рецептуре Fokker-Planck (50) изучена. Начиная с этой ранней работы,
много групп изучили эти модели, возможно потому что они являются формирующими прототип для a
класс мультимакетов, где некоторые параметры необходимы в макроскопических уравнениях
вычислены некоторыми микроскопическими моделями (см. общую рецептуру (52)).
Давайте вспоминать два основных элементов, имеющие степень трудности, которые мы уже упоминали в Секте. 6.1,
• транспортируйте условия (u · ;u, u · ;Xt и u. ;y),
• нелинейные условия, прибывающие любой от сцепления между уравнениями и
(u, p) и t p (;uXt или divX (;uXy)), или неотъемлемо содержавшийся в уравнениях
определение t p F
В следующих разделах мы объясняем, как эти элементы, имеющие степень трудности обратились оба от
и Т. Ли и P.W. Занг [85]).
Упрощения уравнений
Систему (147) довольно трудно изучить как таковой. Два упрощения этого генерала
установку обычно рассматривают для предварительных параметров: гомогенные потоки
и постригите потоки.
собственный вес,
математическая точка обзора и числовая точка обзора (см. также Т. Лелиэвра [82],
(из-за нелинейного энтропического шпигуют F).
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 117
Чтобы специально изучить микроскопические уравнения, можно считать гомогенным
потоки. Мы вспоминаем, что в таких потоках, ;u не зависит от переменной пространства, и
поэтому Xt t
p) не зависит от переменной пространства также. Раствор
к (147) затем получен, решая SDE без термина advective. Для скорости
поле u (t, x) =k (t) x, (147) становится:
;;;
;;
t p =
ми
Мы
(Ми (Xt ;F (Xt)) ;Id),
dXt =k (t) Xt dt ;
1
2We
F (Xt) dt +
1
;We
пеннивейт.
(149)
и микроскопические уравнения, но устранить элементы, имеющие степень трудности имели отношение к транспорту
условия, много авторов (см. М. Лэзо и H.C. ;Ottinger [75], J.C. Bonvin и M. PiorW.
Ми, Т. Ли и P.W. Занг [38]), рассматривают, стригут потоки (см. Рис. 1). В этой геометрии,
(147) пишет:
;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;
Ре
¶ u
¶ t
(t, y) ; (1;e)
¶ 2u
¶ y2 (t, y) =
¶t
¶ y
(t, y) + f (t, y),
t (t, y) =
ми
Мы
Ми (Xt (y) FY (Xt (y))),
dXt (y) =
¶ u
¶ y
(t, y) Yt (y) dt ;
1
2We
FX (Xt (y)) dt +
1
;We
dVt,
dYt (y) = ;
1
2We
FY (Xt (y)) dt +
1
;We
пеннивейт,
(150)
где (Xt (y), Yt (y)) два компонента вероятностного процесса Xt (y), (Vt, Вес)
два независимых Броуновских движения и (FX (Xt), FY (Xt)) эти два компонента
из шпигования F (Xt). В этом случае, y ; (0,1), и граничные условия Dirichlet
приняты на скорости в y = 0 и y = 1. Начальные условия (X0, Y0)
предполагаемый быть свободным художником от друг друга и свободным художником от броуновского
движения.
Математический Анализ
Фундаментальная энергетическая оценка
Чтобы понять математическую структуру системы (147), мы сначала происходим
энергетическая оценка. Такую оценку называют априорной оценкой, так как это формально
полученная принимающая достаточная регулярность на растворах для всех манипуляций к
сохраняться. Эти оценки затем используются, чтобы доказать существование и результаты уникальности,
и, возможно, изучите давние свойства растворов.
Умножая уравнение импульса u и объединяющийся в пространстве и времени, один
получает с одной стороны
Ре
2
Z
D |u|2 (t, x) + (1;e)
Z t
0
Z
D |;u|2 (s, x) (151)
=
Ре
2
Z
D |u|2 (0, x) ;
ми
Мы
Z t
0
Z
D
Ми (Xs (x) F (Xs (x))): ;u (s, x),
(и таким образом casso [16], К. Гуиллопе и J.C. Saut [54], Б. Журден, До. Ле Бри и Т. Лелиэвр [68]
Сохранить степень трудности комбинации имело отношение к сцеплению между макроскопическим уравнением
118 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
принятие гомогенных граничных условий Dirichlet на u.
С другой стороны, используя исчисление It;o на P (Xt) (где P - потенциал
шпигуйте F весны), объединяясь в пространстве, время и беря значение ожидания, это
видится это
Z
D
Ми (P (Xt (x))) +
1
2We
Z t
0
Z
D
Ми (kF (Xs (x)) k2) (152)
=
Z
D
Ми (P (X0 (x))) +
Z t
0
Z
D
Ми (F (Xs (x)) · ;u (s, x) Xs (x))
+
1
2We
Z t
0
Z
D
РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ (Xs (x)).
Подведение итогов эти два равенства (151) и (152), и использование
Ми (Xs (x) F (Xs (x))): ;u (s, x) = Ми (F (Xs (x)) · ;u (s, x) Xs (x)), (153)
следующая энергетическая оценка получена:
Ре
2
d
dt
Z
D |u|2 (t, x) + (1;e)
Z
D |;u|2 (t, x) +
ми
Мы
d
dt
Z
D
Ми (P (Xt (x)))
+
ми
2We2
Z
D
Ми (kF (Xt (x)) k2) =
ми
2We2
Z
D
РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ (Xt (x)). (154)
Дайте обзор, что эта энергетическая оценка не помогает в исследовании давнего поведения
начиная с термина в правой стороне (который прибывает форма исчисление It;o и является
неотрицательный, так как P выпукл), приносит энергию к системе. Мы возвратимся к этому
вопрос ниже.
Как сказано выше, эта энергетическая оценка - первый шаг к существованию и уникальности
результат. Например, в случае Hookean dumbbells в постричь потоке, это позволяет
доказать следующее глобальное вовремя существование и результат уникальности (см. Б. Джура -
Теорема 2. Принятие u0 ; L2
y и fext ; L1
t (L2
y), система (150) для Hookean
dumbbells допускает уникальный раствор (u, X) на (0, T), ;T> 0. Кроме того, следующий
оценка держится:
kuk2
L;
t (L2y
) +kuk2
L2
t (H1
0, y) +kXtk2
L;
t (L2y
(L2
w)) +kXtk2
L2
t (L2y
(L2
w))
;C
kX0k2
L2y
(L2
w) +ku0k2
L2y
+T +k fextk2
L1
t (L2y
)
.
Дайте обзор что в этом случае, Yt =Y0 e;t/2 +
R t
0 ми
s;t
2 собственного веса аналитически известен, так, чтобы
результат существования и уникальности только касается (u, X). Понятие раствора используется
: уравнение на u удовлетворено в смысле сбыта, и SDE держится
для почти каждого (y, w). Доказательство полагается на вариационную рецептуру PDE,
и следует за очень классической строкой. Это состоит в (i), создающем эпизод приблизительных
растворы (процедурой Galerkin), (ii) использование энергетической оценки (который действительно
имеет затем строгое, лучше чем формальный, означая) получить некоторые границы на этом эпизоде
из которого выводит существование предела (до извлечения a
dain, До. Ле Бри и Т. Лелиэвр [67]):
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 119
подэпизод), (iii) прохождение к пределу в вариационной рецептуре PDE.
Этот подход интересен с тех пор, как известно, также полезно доказать
конвергенция численных методов, основанных на вариационных рецептурах (такой как конечный
методы элемента).
Эта установка (Hookean dumbbell в постричь потоке) является фактически чрезвычайно определенной.
Глобальный вовремя результат существования и уникальности получен начиная с термина сцепления
;uXt оригинальной проблемы (147) упрощает до ¶ u
¶ yYt в (150), где Yt известен
независимо от (u, X). Другими словами этот термин сцепления больше не нелинеен.
Для FENE dumbbell, нужно обратиться два новых элементов, имеющие степень трудности: во-первых, SDE
содержит взрывчатый термин дрейфа и во-вторых, даже в постричь потоке, термине сцепления
;uXt по-настоящему нелинеен.
FENE SDE
В этом параграфе мы рассматриваем FENE SDE в данном гомогенном потоке. Как мы
упомянутый ранее, FENE шпигуют, был введен, чтобы предотвратить продолжительность
dumbbell от превышения максимальной продолжительности полимера. Что может быть фактически
Суждение 1. Давайте полагать, что SDE в (149) для FENE шпигуют: F (X) = X
1;kXk2/b
.
• Для k ; L1
местоположение (R +) и b> 0, этот SDE допускает сильный раствор со значениями в Си =
Си (0, ;b), который уникален в классе растворов со значениями в Си =B (0, ;b).
• Примите k ; L2 (R +). Если си ;2, то раствор не касается границы Си
в конечный промежуток времени. Если 0 <си <2, касания раствора (a.s). граница Си в конечном
время.
• Возьмите k ; 0 (для простоты) и 0 <си <2. Возможно создать два отличающийся
вероятностные процессы, удовлетворяющие SDE.
Практически, си как правило больше чем 10, так, чтобы у SDE было действительно уникальное сильное
раствор.
Модель FENE в потоке Couette
Как упомянуто выше, для модели FENE в потоке Couette, термине сцепления
¶ u
¶ yYt действительно нелинеен, так как Yt зависит от Xt (через шпиговать термин FY (Xt)) и
таким образом на u. Эта нелинейность подразумевает дополнительные элементы, имеющие степень трудности в результате существования, и
априорная оценка, которую мы получили выше, не обеспечивает достаточно регулярности на
скорость, чтобы пройти к пределу в нелинейном термине ¶ u
¶ y (t, y) Yt.
Вопрос затем: для данной регулярности u (говорят u ; L;
t (L2
y) ;L2
t (H1
0, y), если мы
рассмотрите первую энергетическую оценку), какова регулярность t? Формально, вследствие
присутствие нелинейного термина у ;uXt в SDE, t есть регулярность exp (
R t
0
¶ u
¶ y)
который может быть очень нерегулярным, если одно единственное принимает u ;; L;
t (L2
y) ;L2
t (H1
0, y).
В один конец, чтобы обратиться к этой степени трудности комбинации должен получить дополнительную априорную регулярность на
скорость. Это может быть исполнено, умножая уравнение для u в (150) ; ¶ 2u
¶ y2
и использование теоремы Гирсанова, чтобы явно получить зависимость t с точки зрения u:
доказанный следующий (см. Б. Журдена и Т. Лелиэвра [66]):
120 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
t (t, y) = Ми
Xt (y) Yt (y)
1 ; (Xt (y)) 2 + (Yt (y)) 2
си
!
,
= МИ
;X
t
;Y
t
1;
;X
2
t + ;Y2
t
си
!
МИ
1
;We
Z
•
0
¶ u
¶ y
(y) ;Ys dVs
T
!
, (155)
где расширение = (;Xt, ;Yt) является вероятностным процессом, удовлетворяющим FENE SDE с ¶ u
¶ y = 0:
d расширение = ;
1
2We
расширение
1;keXtk2/b
dt +
1
;We
пеннивейт,
и Ми - показательный мартингал:
МИ
1
;We
Z
•
0
¶ u
¶ y
;Y
s dVs
t
= exp
1
;We
Z t
0
¶ u
¶ y
;Y
s dVs ;
1
2We
Z t
0
¶ u
¶ y
;Y
s
2
ds
!
.
Вследствие показательной зависимости t на u в (155), это дополнительное априорно
оценочные результаты ограничивают на u в L;
t (H1
0, y) ;L2
t (H2
y) - норма, но только в местном масштабе вовремя.
Следующее местное вовремя существование и результат уникальности могут затем быть доказаны
Теорема 3. Под успением b> 6, fext ; L2
t (L2
y) и u0 ; H1
y, ;T> 0 (зависящий
на данных), s.t. система допускает уникальный раствор (u, X, Y) на [0, T). Это
раствор таков что u ; L;
t (H1
0, y) ;L2
t (H2
y). Кроме того, мы имеем:
• P (;t> 0, ((Xy
t) 2 + (Yy
t) 2) = b) = 0,
• (Xy
t, Yy
t) инсценирован относительно фильтрации FV, W
t связанный с броуновским
движения.
Для подобного результата в более общей установке (3-мерный поток) и шпигует
с многочленным ростом мы обращаемся к W. Ми, Т. Ли и P.W. Занг [39]. Авторы
докажите местное вовремя существование и результат уникальности в богатых пробелах Соболева. Мы
Hookean dumbbells, пренебрегая адвективными условиями. Когда скоростное поле не
достаточно регулярный, трудно дать смысл транспортному термину в SDE (который
фактически Стохастическое Частичное Отличительное Уравнение). Мы обращаемся к До. Ле Бри и
P.-L. Львы [78, 79].
Давнее поведение
ми
2We2
R
D РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ (Xt (x))
в правой стороне. Фактически кажется, что устранение этого термина требует, чтобы добавить
энтропия termto энергия. Изучить давнее поведение, соответствующую точку обзора
должен рассмотреть бесплатную энергию, а не энергию.
Чтобы ввести энтропию, нужно считать плотность вероятности функциональной
из вероятностного процесса Xt, и таким образом система (148) сцепление импульс
давнее поведение systembecause неотрицательного термина
(см. Б. Журдена, До. Ле Бри и Т. Лелиэвр [68]):
также обратитесь к А. Бонито, Ph Клеман и М. Пикассо [15] для результатов существования для
Как мы упоминали выше, априорная оценка (154) не может использоваться, чтобы понять
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 121
уравнение с уравнением Fokker-Planck, введенным в Секте. 3.2. Давайте принимать
нулевое граничное условие Dirichlet на скорости u. Ожидаемое устойчивое состояние
(равновесие)
u (;, x) = 0,
y (;, x, X) =yeq (X) =Cexp (;P (X)),
где До - коэффициент нормализации. Используя оценки энтропии (см. До. An;e и др. [4],
F. Malrieu [95], А. Арнольд, П. Маркоуич, Г. Тоскэни и А. Антерреитер [5]), показательный
конвергенцию к равновесию можно показать (см. Б. Журдена, До. Ле Бри,
Первая производная кинетической энергии
Ми (t) =
Ре
2
Z
D |u|2 (t, x) (156)
пишет (как в (151))
dE
dt
= ; (1;e)
Z
D |;u|2 (t, x) ;
ми
Мы
Z
D
Z
Резерфорд
(X ;;P (X)): ;u (t, x) y (t, x, X).
Энтропия
H (t) =
Z
D
Z
Резерфорд
P (X) y (t, x, X) +
Z
D
Z
Резерфорд
y (t, x, X) ln (y (t, x, X)) ; |D|lnC,
=
Z
D
Z
Резерфорд
y (t, x, X) ln
y (t, x, X)
yeq (X)
(157)
затем введен. Дайте обзор что H (t) ; 0 (начиная с xln (x) ; x;1). Используя (153) и
divu = 0, простое вычисление показывает:
разность высот
dt
= ;
1
2We
Z
D
Z
Резерфорд
y (t, x, X)
;X ln
y (t, x, X)
yeq (X)
2
+
Z
D
Z
Резерфорд
(X ;;P (X)): ;u (t, x) y (t, x, X).
Таким образом, бесплатная энергия F (t) = Ми (t) +
ми
Мы
H (t) (неотрицательное количество) удовлетворяет:
dF
dt
= ; (1;e)
Z
D |;u|2 (t, x) ;
ми
2We 2
Z
D
Z
Резерфорд
y (t, x, X)
;X ln
y (t, x, X)
yeq (X)
2
.
(158)
Сравниваясь с (154), мы замечаем, что вводная часть энтропии позволяет
устраните правую сторону. В частности (158) шоу, что единственное устойчивое состояние
u = 0 и y =yeq u 1
0
Z
|u|2 ;C
Z
|;u|2
и Логарифмическое неравенство Соболева: для всей плотности вероятности функциональный y,
T. Leli;vre и Ф. Отто [64, 65]). Давайте объясним это с большим количеством деталей.
. Кроме того, используя неравенство Poincar;: для всего u ; H (D),
122 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
Z
y ln
y
yeq
;C
Z
y
;ln
y
yeq
2
, (159)
показательная конвергенция к нолю для F u 2
x
eq (X) =Cexp (;P (X))
если P - a-convex например (который имеет место для Hookean и FENE dumbbells).
Неравенство Csiszar-Kullback (см. До. An;e и др. [4]), затем показывает, что y сходится
к yeq по экспоненте постятся в L2
x (L1
X) - норма.
Для обобщений этих вычислений к негомогенной границе condiu
u x 6 Ф. Отто [65].
Мы хотели бы также упомянуть что эти оценки на микромакро-системе
может использоваться в качестве направляющей линии, чтобы получить новые оценки на связанных макромакро-моделях
Заметьте 9 (Относительно выбора энтропии). Если Вы рассматриваете уравнение Fokker-Planck
с u = 0, это известно (см. А. Арнольда, П. Маркоуича, Г. Тоскэни и
A. Unterreiter [5]), что показательная конвергенция к равновесию может быть получена, используя
более общие функции энтропии формы
H (t) =
Z
D
Z
Резерфорд
h
y
yeq
yeq
где h: R ;R ; +
выпуклая функция C2, такая что h (1) = 0. Однако, это кажется
это, чтобы получить оценку энтропии (158) на двойной системе (150), это необходимо
выбрать “физическую энтропию” соответствие выбору h (x) =xln (x) (x;1).
Заметьте 10 (Относительно успения на шпиговании F). Вспомните, что мы принимали это F =
;P, где P - радиальная выпуклая функция. Кратко давайте обсуждать успение на
F мы до сих пор использовали.
• Факт, что F может быть написан как градиент потенциала P, важен для
получите простое аналитическое выражение для yeq.
• Фактом, что P является радиальным, является очень важное успение, чтобы убедиться симметрию
из тензора напряжения.
• Успение выпуклости на P важно в анализе SDEs (в
особый для уникальности сильных растворов).
• Выпуклость потенциала P использовалась, чтобы получить Логарифмическое
Неравенство Соболева (159).
Существование имеет результатом на двойной проблеме с Fokker-Planck PDE
Много авторов получили существование и результаты уникальности для микромакроса
проблема (148), который является двойной моделью, вовлекающей уравнение Fokker-Planck.
Для местного существования и результатов уникальности, мы обращаемся к М. Ренарди [111],
T. Литий, Х. Занг и P.W. Занг [83] (полиномиал шпигует), и Х. Зангу и
P.W. Занг [123] (FENE шпигуют b> 76). В недавней работе Н. Мазмоуди [97],
от (158). Логарифмическое неравенство Соболева (159) держит fory
(и таким образом для в Л - норма), получен
tions на u (и таким образом u (;, x) = 0), мы обращаемся к Б. Журдену, До. Ле Бри, Т. Лелиэвр и
(см. Д. Ху и Т. Лелиэвра [59]).
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 123
местный житель в результате существования времени получен для модели FENE без любого успения
на си (использующий отражающий граничные условия). Автор также показывает глобальный в
результат существования времени для исходных данных близко к равновесию (см. также F.-H. Лин, К. Луи
и P.W. Занг [87] для подобного результата под успением b> 12).
Глобальные результаты существования были также получены для тесно связанных проблем:
• Существование имеет результатом для упорядоченной версии: В J.W. Барретт, К. Шваб и
E. S;uli [7, 8], глобальный результат существования получен для (148) (Hookean и FENE
шпигуйте), использование регуляризации некоторых условий, которая учитывает более регулярные растворы.
Более точно скорость u в Fokker уравнение Планка заменена
выровненной скоростью, и той же самой действующей компанией выравнивания используется на напряжении
тензор t p в правой стороне уравнений импульса. См. также Л Занга,
H. Занг и P.W. Занг [124].
• Существование имеет результатом с corotational производной: В J.W. Барретт, К. Шваб и
E. S;uli [7, 8] (снова с некоторой регуляризацией) и P.-L. Львы и Н. Мазмоуди
[90, 97] (без любой регуляризации), авторы получают глобальный вовремя
замена результатов существования ;u в уравнении Fokker-Planck ;u;;uT
2
(который
подобно рассмотрению corotational производной t p вместо верхнего convected
производная в отличительных макромакро-моделях). Более точно, в [90], a
глобальный вовремя результат существования слабых растворов получен в измерении 2 и
3, в то время как в [97], доказано, что в измерении 2, там существует уникальное глобальное-intime
сильный раствор. Связанный недавний результат F.-H. Лин, П. Занг и З. Занг
[88].
Мы хотели бы также упомянуть связанные работы [27, 28, 31] (результаты существования
поскольку двойной Navier-топит Fokker-Planck микромакро-модели) П. Константеном,
C. Fefferman, Н. Мазмоуди и E.S. Titi, и также работа До. Ле Бри и P.-
L. Львы [78, 79] о существовании и уникальности растворов к типу Fokker-Planck
уравнения с нерегулярными коэффициентами.
Численные методы
В этом разделе мы рассматриваем литературу для числового анализа методов к
discretize (98). Для дискретизации микромакро-проблемы в Fokker -
Версия Планка, мы обращаемся к Секте. 4.4.
Идея сцепления метод конечных элементов для дискретизации в пространстве и a
стохастический метод (Монте Карло, чтобы приблизить ожидание и замысел Euler
на SDE), был сначала предложен М. Лэзо и H.C. ;Ottinger [75]. Такой
метод называют Вычислением неньютонова Потока: Конечные элементы и Стохастический
Метод моделирования (CONNFFESSIT). Сначала, лагранжевые методы использовались
на SDE, и независимых Броуновских движениях на каждом траектории (см. М. Лэзо
и H.C. ;Ottinger [76]). Алгоритм затем состоит в: (i) вычисляющий (u, p), (ii)
вычисления траекторий плавных частиц, переносящих dumbbells (характеристика
метод), (iii) объединение SDEs вдоль этих траекторий и (iv) вычисления
тензор напряжения t p эмпирическим местным означает в каждом конечном элементе. Эта функция Лагранжа
подход - самый естественный, так как это естественно получено из происхождения
124 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
из модели (см. Секту. 4.2). Однако, вследствие термина divt p, числовых результатов
являются очень шумными в пространстве, используя независимые Броуновские движения на каждой траектории.
Кроме того такой подход требует, чтобы поддержать достаточно большое количество
dumbbells за обитель петли, которую не легко удовлетворить (есть потребность добавить
некоторый dumbbells и разрушить других во время моделирования).
Идея затем подходила, чтобы использовать версию Eulerian SDE, и представление
поля непрерывных векторов: Xt (x). Это - понятие броуновской Конфигурации
Поле введено M.A. Хулсен, А.П.Г ван Хил и B.H.A.A. van den
Brule в [61]. В этом описании Eulerian самый естественный и простой выбор к
используйте то же самое Броуновское движение в каждой позиции в пространстве. Это уменьшает шум в
пространство и различие скорости (но не различие напряжения, см. ниже
транспортный термин может затем быть сделан, используя Прерывистый метод Galerkin (см.
M.A. Хулсен, А.П.Г ван Хил и Б.Х.Э.А ван ден Брьюл [61]), характеристика
методы (см. J.C. Bonvin [18] или Назад отслеживающая лагранжевая Частица
Метод P.Wapperom, Р. Кеунингса и V. Legat [121]), или классический конечный элемент
методы со стабилизацией.
Давайте вспоминать, как метод CONNFFESSIT пишет в постричь потоке (см.
Секта. 5.4). В этом особом случае, и функция Лагранжа и подходы Eulerian
приведите к той же самой дискретизации: для данного un
h
, Xk
h, n
и Yk
h, n
, вычислите un+1
h ; Спидобарограф такой
это для всего v ; Спидобарограф,
;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;
Ре
d t
Z
y
(un+1
h ;un
h) v = ; (1;e)
Z
y
¶ un+1
h
¶ y
¶ v
¶ y ;
Z
y
th, n
¶ v
¶ y
+
Z
y
f v,
th, n =
ми
Мы
1
K
K
;
k=1
Xk
h, nFY (Xk
h, n, Yk
h, n),
Xk
h, n+1;Xk
h, n =
¶ un+1
h
¶ y
Yk
h, n ;
1
2We
FX (Xk
h, n, Yk
h, n)
!
d t
+
1
;We
Vk
h, tn+1 ;Vk
h, tn
,
Yk
h, n+1;Yk
h, n = ;
1
2We
FY (Xk
h, n, Yk
h, n) d t +
1
;We
Wk
h, tn+1 ;Wk
h, tn
.
(160)
Индексирование n является тактом, и индексировать k является числом реализации в SDE
(1 ; k ; K, где K является числом dumbbells в каждой обители). Наконец, Спидобарограф - конечное
пространство элемента. Мы предполагаем в следующем, что Спидобарограф = P1 является пространством конечного элемента
из непрерывных кусочных линейных функций так, чтобы Сверхтяжелый, n, Yh, n и th, n были кусочны
постоянные функции в пространстве (они принадлежат функциональному пространству P0). Мы обращаемся к
Рис. 13.
Конвергенция метода CONNFFESSIT
В методе CONNFFESSIT должны быть выбраны три числовых параметра:
такт d t, spacestep h и число dumbbells (или реализация) K. Это
ожидаемый, что метод сходится в пределе d t ;0, h;0 и K ; ;.
и работа [63] Б. Журденом, До. Ле Бри и Т. Лелиэвр). Дискретизация
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 125
t
U0 = 1
u
u: P1
t: P0
yI = 1
y0 = 0
UI = 0
h
th, n = ми
Мы
1
K ;K
k=1 (Xk
h, nFY (Xk
h, n, Y k
h, n))
Рис. 13. Метод CONNFFESSIT в постричь потоке.
T. Литий и P.W. Занг [38] для Hookean dumbbells в постричь потоке.
Теорема 4. Принятие u0 ; H2
y, fext ; L1
t (H1
y), ¶ fext
¶ t ; L1
t (L2
y) и d t <1
2, мы имеем
(для Спидобарографа = P1): ;n <T
d t,
u (tn) ;un
h
L2y
(L2
w)
+
Ми (XtnYtn) ;
1
K
K; k=1
X
k
h, nY
k
n
L1y
(L1
w)
;C
h+d t +
1
;K
.
u (tn) ;un
h
L2y
(L2
w) ;C
h2+d t +
1
;K
.
Основные элементы, имеющие степень трудности в доказательстве Теоремы 4 происходят из следующего
факты:
• Скорость un
h
случайная переменная. Энергетическая оценка на непрерывном уровне
не может быть непосредственно преобразован в энергетическую оценку на дискретном уровне (который
был бы результат стабильность замысла).
• Непрерывные векторы (X
k
h, n, Y
k
n) 1;k;K соединены случайные переменные (даже
хотя Броуновские движения управления (Vk
h, t, Wk
h, t) 1;k;K свободный художник).
Это было доказано в Б. Журдене, До. Ле Бри и Т. Лелиэвр [67] и W. Ми,
Leli;vre [81]):
Замечание 11. Можно показать, что конвергенция в пространстве оптимальна (см. T.
126 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
• Стабильность числового замысла требует почти уверенный, привязывал Yk
n
:
d t
1
K
K
;
k=1
(Yk
n) 2 <1.
Доказать конвергенцию, процедуру перемаха на Yk
n
используется:
Y
k
n+1 = max (;A, минута (A, Yk
n+1)) (161)
с 0 <<
q
3
5d t
. В Теореме 4, un
h
, X
k
n Y
k
n
обозначает случайные переменные, полученные
замысел (160) CONNFFESSIT с процедурой (161) среза. Это может быть проверено
это для достаточно маленького d t или достаточно большого K, эта процедура перемаха не используется.
Для результата без перемаха мы обращаемся к Б. Журдену, До. Ле Бри и
дискретизация замыслом конечной разности, мы обращаемся к Т. Ли и P.W. Занг [84].
M. Пикассо [14].
Различие результатов и зависимость Броуновских движений в пространстве
из результата. Если различие является слишком большим, численный метод в основном бесполезен.
Мы уже упоминали выше (см. Секту. 5.5) методы снижения различия. Это также
интересование, чтобы заняться расследованиями, как различие результатов зависит от числового
параметры. В структуре метода CONNFFESSIT это различие особенно
чувствительный к зависимости Броуновского движения на переменной пространства.
Можно проверить (по крайней мере, на регулярные растворы) что зависимость броуновского
движение на переменной пространства не влияет на макроскопические количества
(u, p, t p) на непрерывном уровне. Это может быть строго доказано для Hookean dumbbells
в постричь потоке. Это может также быть проверено что результат конвергенции Теоремы 4
нечувствительно к зависимости Броуновского движения на переменной пространства. Однако,
на дискретном уровне эта зависимость сильно влияет на различие
результаты. Замечено что, используя свободного художника Броуновских движений от одной обители
петля другому, а не Броуновским движениям не в зависимости от увеличений пространства
различие скорости, но уменьшает различие на напряжении (см. П. Хэлина,
G. Lielens, Р. Кеунингс, и V. Legat [57], J.C. Bonvin и M. Picasso [16] и
Это может быть точно проанализировано для случая Hookean dumbbells в постричь потоке.
a) Различие на скорости минимально для Броуновского движения не в зависимости от
пространство.
b) Используя свободного художника Броуновских движений от одной обители до другого не является лучшим
метод, чтобы уменьшить различие на t.
c) Возможно уменьшить различие на t с той же самой вычислительной стоимостью как
используя Броуновское движение не в зависимости от пространства. Это состоит в использовании a
Броуновское движение, либо умноженное на +1 или ;1 на самом близком соседе
обители.
T. Leli;vre [67]. Для выпрямления этих результатов к более общей геометрии и
Одно важное практическое количество, когда использование методов Монте Карло является различием
B. Jourdain, До. Ле Бри и Т. Лелиэвр [63]).
Можно показать что (см. Б. Журдена, До. Ле Бри и Т. Лелиэвр [63]):
Поскольку конвергенция имеет результатом пространство и время, мы обращаемся к А. Бонито, Ph Клеман и
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 127
7 Других типов сложных жидкостей
7.1 Жидкие кристаллы
До сих пор мы только рассмотрели разведенные растворы гибких полимеров. Некоторый другой
полимеры ведут себя больше как твердые удочки. Это вводит анизотропию в системе. Растворы
из таких твердых полимеров названы полимерными жидкими кристаллами. Один из мажора
аспект, чтобы составлять в моделировании растворов подобных удочке полимеров то, что
взаимодействие полимеров становится важным на очень более низком сосредоточении чем
с гибкими полимерами.
Моделирование жидких кристаллов, наряду с математическими и числовыми исследованиями,
сегодня очень живое и активное поле исследования. Существующий короткий раздел не делает
отразите разновидность научных предприятий, имеющих дело с жидкими кристаллами. Это - только резюме
вторжение в этом мире, чтобы видеть, однажды, базовые модели. Одна соответствующая модель - Дои
модель (см. М. Дои и S.F. Эдвардс [36] и H.C. ;Ottinger [102]). Это описывает
развитие для вектора конфигурации Rt стохастическим отличительным уравнением:
dRt +u · ;Rt dt
=
Id ;
Rt ;Rt
kRtk2
;uRt ;
1
2
B2;V (Rt)
dt +BdWt
!
;
d;1
2
B2 Rt
kRtk2 dt, (162)
где Си - положительная константа, и d = 2 или 3 является измерением окружающего пространства.
Дайте обзор, что Си может также быть функциональной Си (Rt) в некоторых моделях (с затем дополнительным
термин, вовлекающий ; (B2) в термине дрейфа). Дайте обзор также, что мы предполагаем что вся начальная буква
у условий R0 (x) есть фиксированная длина Л так, чтобы ; (t, x), || Rt (x) || = || R0 (x) || = Л.
Потенциал V счетов на взаимодействие поля осредненных величин между полимерами. Для
пример, потенциал Майера-Сопа:
V (R) = ;
1
L4
Ми (Rt ;Rt): R;R. (163)
Тензором напряжения затем дают:
t p (t) = Ми (единое время ;ut) +E
единое время ;
;;
(Id;ut ;ut) ;V (единое время)
;Id (164)
где единое время =
Rt
Л
ориентация удочки. Мы пренебрегли вязким вкладом
в (164). Полностью двойная система затем состоит в первых двух уравнениях (49)
с (162) - (164). Дайте обзор что основные отличия для уравнений, видевших до сих пор в
эта вещь - нелинейность в смысле Маккина из-за присутствия
значение ожидания в потенциале V и факте, что термин распространения зависит от
процесс Rt.
Для анализа двойной системы с версией Fokker-Planck (162) -
(164) в особом случае стригут поток, мы обращаемся к Х. Зангу и P.W. Занг [122].
128 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
Давнее поведение уравнения Fokker-Planck было изучено П. Константеном,
I. Kevrekidis и E.S. Titi в [30] (см. также [29]). Полный анализ
разновидность возможных устойчивых состояний и их стабильности изучена Г. Форестом, К. Ваном
и Р. Жоу в [45]. Некоторые численные методы, чтобы решить стохастический дифференциал
уравнение (162) предложено H.C. ;Ottinger в [102]. С другой стороны мы не
зная о любом строгом числовом анализе численных методов, чтобы решить эту систему
без приближения крышки.
7.2 Временные дисквалификации
Мы теперь немного изменяем окружение. Моделирование мультимасштаба сложных жидкостей очень
усовершенствованный для потоков полимера. Это - установленная научная активность углубления. Однако, это
также растущая активность для некоторых других типов жидкостей, далеких от потоков полимера. Мы
дайте здесь иллюстративный пример жидкостей гражданского строительства с грязями и глинами. Это
не запрещен полагать, что другие материалы гражданского строительства, как цемент, будут
извлеките выгоду много из подходов моделирования мультимасштаба в ближайшем будущем.
Для сконцентрированных временных дисквалификаций (таких как грязи или глины), одна модель, доступная в
литература - Hebraud-Lequeuxmodel [62]. Эта модель описывает реологию
из жидкости с точки зрения уравнения Fokker-Planck, управляющего развитие во время
вероятность открытия, в каждом очке, жидкости в данном государстве напряжения. До настоящего времени,
хотя текущее исследование направлено к построению многомерных разновидностей,
модель ограничена одномерной установке, то есть, потоку Couette.
напряжение в очке y и во время t таким образом определено одной скалярной переменной s:
;;;;;
;;;;
¶ p
¶ t
(t, y, s) = ;
¶ u
¶ y
(t, y)
¶ p
¶s
(t, y, s) +D (p)
¶ 2 пункта
¶s2 (t, y, s)
;H (|s | ; 1) p (t, y, s) +D (p) d0,
D (p) =
Z
|s | ;1
p (t, y, s) ds.
(165)
В вышеупомянутой системе, где мы специально опустили все физические константы,
функция H обозначает функцию Heaviside. Это стремится моделировать присутствие a
пороговое ограничение (здесь установленный на один): когда ограничение выше порога,
подчеркните отдых к нолю, который преобразовывает в два последних условия Fokker-Planck
уравнение. На распространение в пространстве напряжения также влияют нелинейно полным
государство напряжения, как обозначено четкостью D (p). С другой стороны,
функция
¶ u
¶ y
(t, y), составляет постричь термин уровня, здесь обеспеченный макроскопическим
поток. Вклад в напряжение в очке y на рассмотрении затем дан
средним числом
t (t, y) =
Z
R
s p (t, y, s) ds. (166)
Полностью двойная система, состоящая из уравнения Fokker-Planck (165),
выражение (166) тензора напряжения, и макроскопическое уравнение для Couette
поток (первая строка (104)) был изучен математически в серии работы
E. Canc;s, я. Catto, И. Гати и До. Ле Бри [21, 22, 23].
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 129
Поочередно к прямой атаке уравнения Fokker-Planck (165), каждый мог бы
желание моделировать ассоциированное стохастическое отличительное уравнение со скачками, которое читает
dst =
¶ u
¶ y
dt +
p
2P (|st | ; 1) пеннивейт ; 1 {|st ; | ; 1} святой ; dNt, (167)
где Вес - Brownian motion, и Nt - процесс свободного художника Поиссона с модулем
интенсивность. Обратите внимание, что в дополнение к скачкам уравнение (167) нелинейно в смысле
из Маккина, поскольку коэффициент распространения зависит от крайнего правила раствора
во время t.
Двойная система, чтобы моделировать затем чтения
;;;;;;
;;;;;
¶ u
¶ t
(t, u) ;
¶ 2u
¶ y2 (t, y) =
¶t
¶ y
(t, y)
;y,
;;
;
t (t, y) = Ми (святой (y))
dst (y) =
¶ u
¶ y
dt +
p
2P (|st (y) | ; 1) пеннивейт ; 1 {|st ; (y) | ;1} святой ; (y) dNt,
(168)
где нужно обратить внимание, что у стохастического отличительного уравнения есть скачки.
Числовые моделирования этой системы были вынесены успешно (см.
Y. Gati [49]). Для числового анализа приближения частицы мы обращаемся к
M. Бен Алая и Б. Журден [9].
7.3 Кровотоки
Кровь - сложная жидкость, состоящая из временной дисквалификации обителей в плазме. Эти обители
главным образом, эритроциты или эритоциты, лейкоциты или лейкоциты, и пластинки.
Эритроциты составляют 98 % обителей во временной дисквалификации. Эти микроструктуры
главным образом ответственны за неньютоново поведение крови. Эритроцит
двояковогнутый диск диаметра 8.5;m и толщина 2.5;m. Это состоит из чрезвычайно
гибкая мембрана, которая заполнена раствором (гемоглобин). Окружающий поток
изменяет форму мембраны. Это явление позволяет хранение и освобождение
энергия в микроструктурах, как для полимерных жидкостей. В низком стригут уровни, красную кровь
скопление обителей в длинные структуры назвало стопки.
Замечено, что в богатом стригут уровни (как для пульсирующего потока в здоровых артериях,
см. например J.F. Gerbeau, М. Видрэску и П. Фрэй [50] или А. Куартерони и
L. Formaggia [107]), кровь ведет себя по существу как ньютонова жидкость. В низком стригут
уровни (в мелких артериях, venules, перециркулирующих областях в аневризмах и stenoses), кровь
неньютонова жидкость: это экспонирует стригший разбавленный, вязкоупругие и thixotropic эффекты.
Это может интерпретироваться следующим образом: в потоках с богатым стригут уровни, красную кровь
обители не могут собраться, и реология не под влиянием микроструктур,
в то время как в потоках с низким стригут уровни, скопление эритроцитов, и это влияет
реология. Дайте обзор, что мы здесь обсуждаем простые механические свойства, пренебрегая
важные биохимические факторы (как в схеме расположения игроков комка например).
В [41, 103], R.G. Оуэнс и Дж. Фэнг предлагают микромакро-модель для крови,
который очень подобен модели, представленной в Секте. 4. Эта модель применяется в некоторых
130 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
достаточно большие домены потока, так, чтобы статистика по конфигурациям красной крови
обители в каждом макроскопическом очке имеют смысл. В другом окружении это может быть важно для
рассмотрите каждый эритроцит как разделенный объект как в работе [80] А. Лефевром
и Б. Мори.
Сначала давайте предположим, что скоростное поле дано и гомогенное. Микроскопическое
переменные имели обыкновение описывать микроструктуру (а именно, эритроциты)
вектор X (подобный непрерывному вектору для полимерных жидкостей) и целое число k ;1
который измеряет размер совокупности, эритроцит принадлежит. Рассмотрите затем
неотрицательная функция yk (t, X) таким образом, что yk (t, X) дуплекс - число красной крови
обители (за единичный объем жидкости) принадлежащий совокупности размера k наличия от начала до конца
вектор между X и X +dX. Мы обозначаем Nj = 1
j
R
yj (t, X) дуплекс число
совокупности k эритроцитов за единичный объем.
Следующее уравнение Fokker-Planck управляет развитие (yk (t, X)) k;1:
¶yk
¶ t
= ;divX
;uX ;
2
zk
F (X)
yk
+
2kT
zk
DXyk
+hk (g;) yeq
k ;gk (g;) yk. (169)
В Уравнении (169),
hk (g;) =
(g;)
2Neq
k
k;1
;
i=1
NiNk;i +
си (g;)
Neq
k
;;
j=1
Nk+j
коэффициент уровня скопления и
греческий (g;) =
си (g;)
2
(k;1) +a (g;)
;;
j=1
Nj
коэффициент уровня фрагментации. Оба зависят от постричь уровня g; =
q
1
2
; соль: ; соль с
g; = ;u+;uT. В равновесии (а именно, для ноля стригут уровень: g; = 0), число совокупностей
из k эритроцитов за единичный объем Neq
k
. Аналитическое выражение для Neq
k
может быть получен, с точки зрения (0), си (0) и общее количество эритроцитов за модуль
N0 объема (который является сохраненным количеством). Функция yeq
k = Z;1 exp (;P) kNeq
k
описывает статистику эритроцитов в равновесии (P, потенциал
шпигуйте F). Дайте обзор этого, объединяясь (169) относительно X (и делясь на k),
следующее уравнение Смолучовского на (Nk (t)) k;1 получено:
dNk
dt
= hk (g;) Neq
k ;gk (g;) Nk.
Параметры модели - N0, коэффициент трения zk (который как правило является
выбранный в качестве zk = kz1) и функции a и си, которая может быть калибрована, используя эксперименты
(см. R.G. Оуэнс и Дж. Фэнг [103, 41]).
В сложных потоках (для которого ;u зависит от переменной пространства x), функции
yk также зависят от x и производной ¶
¶ t
в (169) заменен конвективной производной
¶
¶ t +u · ;. Микро модель соединена с уравнениями импульса через
Выражение Kramers для дополнительного тензора напряжения:
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 131
t =
;;
k=1
t k,
t k (t, x) =
Z
F (X) Xyk (t, x, X) дуплекс ;kNk (t, x) kBTId.
Давайте упоминать одно испытание моделирования: замечено что сбыт красных
клетки крови не однородны через судно (исчерпанная обителью область около стенок сосуда),
и это не прозрачно, как объяснить это явление в микромакро-модели. В
случай Hookean шпигует, возможно получить макромакро-версию этого
модель, которая может затем быть далее упрощена (см. R.G. Оуэнс и Дж. Фэнг [41, 103]).
Только эта макромакро-версия до сих пор использовалась в моделированиях для сравнений
с экспериментальными данными (см. снова R.G. Оуэнс и Дж. Фэнг [41, 103]).
Ссылки
1. M.P. Аллен и диджей Тилдесли. Компьютерное моделирование жидкостей. Оксфордские Научные Публикации,
1987.
2. A. Ammar, Б. Мокдэд, Ф. Чинеста, и Р. Кеунингс. Новое семейство solvers для некоторых
с классами многомерных частичных отличительных уравнений сталкиваются в кинетической теории
моделирование сложных жидкостей. J. Неньютонов Плавный Механик, 139:153-176, 2006.
3. A. Ammar, Б. Мокдэд, Ф. Чинеста, и Р. Кеунингс. Новое семейство solvers для
некоторые классы многомерных частичных отличительных уравнений, с которыми сталкиваются в кинетическом
моделирование теории комплекса, второй части: Переходное моделирование, используя пространство-время разделено
представления. J. Неньютонов Плавный Механик, 144:98-121, 2007.
4. До. An;e, С. Блак `до, D. Chafa;;, П. Фуг` eres, я. Gentil, Ф. Мальрие, К. Роберто, и
G. Scheffer. Sur les in;egalit;es де Соболев logarithmiques. Soci;et;e Math;ematique de
Франция, 2000. На французском языке.
5. A. Арнольд, П. Маркоуич, Г. Тоскэни, и А. Антерреитер. На выпуклых неравенствах Соболева
и уровень конвергенции к равновесию для Fokker-Planck вводит уравнения. Коммуникация.
Партия. Различный Eq., 26:43-100, 2001.
6. F.P.T. Baaijens. Смешанные методы конечных элементов для вязкоупругого анализа потока: повторение.
J. Неньютонов Плавный Механик, 79:361-385, 1998.
7.
полимерные модели потока. Математика. Модели и Методы в прикладных науках, 15 (6):939-
983, 2005.
8.
полимеры. Мультимакет. Simul., 6 (2):506-546, 2007.
9. М. Бена Алая и Б. Журдена. Вероятностное приближение нелинейного параболического
уравнение, происходящее в реологии. Журнал Прикладной Вероятности, 44 (2):528-546, 2007.
10. Д. Бернарден. Вводная часть ля rh;eologie des fluides: approche macroscopique, 2003.
Ecole de printemps, G.D.R. Mat;eriaux vitreux, disponible http://www.lmcp.
jussieu.fr/lmcp/GDR-verres/html/Rheologi \_1.pdf. На французском языке.
11. R.B. Птица, R.C. Армстронг, и О. Хассаджер. Движущие силы полимерных жидкостей, объем 1.
Вайли Интерсайенс, 1987.
12. R.B. Птица, C.F. Curtiss, R.C. Армстронг, и О. Хассаджер. Движущие силы полимерных жидкостей,
объем 2. Вайли Интерсайенс, 1987.
J.W. Барретт и Э. Сюли. Существование глобальных слабых растворов к кинетическим моделям для разведенного
J.W. Барретт, К. Шваб, и Э. Сюли. Существование глобальных слабых растворов для некоторых
132 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
13. R.B. Птица, P.J. Дотсон, и N.L. Джонсон. Реология раствора полимера, основанная на конечно
расширяемая весенняя бусиной цепочечная модель. J. Неньютонов Плавный Механик, 7:213-235, 1980.
Опечатки: J. Неньютонов Плавный Механик, 8:193 (1981).
14. A. Скумбрия, Ph. Cl;ement, и М. Пикассо. Анализ конечного элемента упрощенного стохастического
Модель Hookean dumbbells, являющаяся результатом вязкоупругих потоков. Математика M2AN. Модель.
Numer. Анальный., 40 (4):785-814, 2006.
15. A. Скумбрия, Ph. Cl;ement, andM. Пикассо. Математический анализ упрощенного стохастического
Модель Hookean dumbbells, являющаяся результатом вязкоупругого потока. Дж. Эвол. Equ., 6 (3):381-398,
2006.
16. Дж. Бонвин и М. Пикассо. Методы снижения различия для моделирований подобных CONNFFESSIT.
J. Неньютонов Плавный Механик, 84:191-215, 1999.
17. Дж. Бонвин, М. Пикассо, и Р. Штернберга. GLS и методы EVSS для трех поля
Топит проблему, являющуюся результатом вязкоупругих потоков. Обязательная программа. Денатурат. Прикладной Инженер Механика,
190:3893-3914, 2001.
18. J.C. Bonvin. Числовое моделирование вязкоупругих жидкостей с mesoscopic моделями.
Диссертация, Многометод Ecole F;ed;erale де Лозанн, 2000. Доступный в http:
//library.epfl.ch/theses/? nr=2249.
19. М. Braack и А. Эрн. По опыту управление моделирования ошибок и ошибок дискретизации.
Мультимакет. Simul., 1 (2):221-238, 2003.
20. H.-J. Bungartz и М. Грибель. Редкие сетки. Деяния Numer., 13:147-269, 2004.
21. Ми. Аннулированный `es, я. Catto, и И. Гати. Математический анализ нелинейного параболического уравнения
воскресение в моделировании неньютоновых потоков. СИАМ J. Математика. Анальный., 37:60-82, 2005.
22. Ми. Аннулированный `es, я. Catto, И. Гати, и До. Ле Бри. Микромакро-описание модели Couette
потоки сконцентрированных временных дисквалификаций. Мультимакет. Simul., 4:1041-1058, 2005.
23. Ми. Аннулированный `es и До. Ле Бри. Конвергенция к равновесию мультимакета для временных дисквалификаций.
Дискретные и Непрерывные Динамические Системы - Си Серии, 6:449-470, 2006.
24. До. Chauvi `до. Новый метод для микромакро-моделирований вязкоупругих потоков. СИАМ
25. До. Chauvi `до и А. Лозинский. Моделирование разведенных растворов полимера, используя Fokker -
26. Ф. Кометс и Т. Меир. Calcul stochastique и модник `eles de распространение. Dunod, 2006. В
Французский язык.
27. П. Константен.
3(4):531-544, 2005.
28. Регулярность двумерных двойных
нелинейный Fokker-Planck и Navier-топит системы. Commun. Математика.
Физика, 270 (3):789-811, 2007.
29.
tion. Заархивируйте Рациональный Анализ Механика, 174 (3):365-384, 2004.
30. П. Константен, я. Kevrekidis, и E.S. Titi. Замечания по уравнению Смолучовского. Диск.
и Продолжение следует. Dyn. Система, 11 (1):101-112, 2004.
31.
32. П. Дегонд, М. Лемоу, и М. Пикассо. Вязкоупругие плавные модели произошли из кинетического
уравнения для полимеров. СИАМ J. Прикладная Математика., 62 (5):1501-1519, 2002.
33. П. Делоней, А. Лозинский, и R.G. Оуэнс. Редкий результат тензора Fokker-Planck-based
ceedings и Примечания Лекции, Объем 41, 2007.
P. Константен, я. Kevrekidis, и E.S. Titi. Асимптотические государства Смолучовского equa-
Глобальное углубление-posedness для уравнения Смолучовского
P. Константен, К. Феффермен, А. Тити, и А. Зарнеску.
методы для нелинейных весенних бусиной цепочечных моделей разведенных растворов полимера. Про-CRM
Нелинейный Fokker-Planck Navier-топит системы. Commun. Математика. Наука,
J. Наука. Comput., 23 (6):2123-2140, 2002.
P. Константен и Н. Мазмоуди.
Уравнение Планка. Компьютеры и жидкости, 33 (5-6):687-696, 2004.
2008.
вместе с Navier-топит уравнения в 2-ом. Commun. Математика. Физика, 278, 179-191,
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 133
34. Ф. Девреукс. Mati `до и d;esordre: polym` eres, гели, verres. Кур де л'Эколь Политешник,
2000. На французском языке.
35. М. Дои. Вводная часть к Физике Полимера. Международная Серия Монографий на
Физика. Издательство Оксфордского университета, 1996.
36. М. Дои и S.F. Эдвардс. Теория Движущих сил Полимера. Международная Серия
Монографии на Физике. Издательство Оксфордского университета, 1988.
37. К. Дю, К. Луи, и П. Ю. FENE dumbbell модель и ее несколько, линейные и нелинейные
приближения крышки. Мультимакет. Simul., 4 (3):709-731, 2005.
38. W. Ми, Т. Ли, и P.W. Занг. Конвергенция стохастического метода для моделирования
полимерные жидкости. Деяния Мэзэмэтикэ Аппликэйта Синика, английская Серия, 18 (4):529-536,
2002.
39. W. Ми, Т. Ли, и P.W. Занг. хорошо-posedness для dumbbell модели полимерных
жидкости. Commun. Математика. Физика, 248:409-427, 2004.
40. A. Эрн и Т. Лели `evre. Адаптивные модели для полимерного моделирования потока жидкости. До. R.
Acad. Наука Париж, Сер. Я, 344 (7):473-476, 2007.
41. Дж. Фэнг и R.G. Оуэнс. Числовые моделирования пульсирующего кровотока, используя новое
учредительная модель. Биореология, 43:637-770, 2006.
42. Р. Фэттэл и Р. Капфермен. Учредительные правила для матричного логарифма структуры
тензор. J. Неньютонов Плавный Механик, 123:281-285, 2004.
43. Р. Фэттэл и Р. Капфермен. Моделирование с временной зависимостью вязкоупругих потоков в богатом
Число Weissenberg, используя представление структуры журнала. J. Неньютонов
Плавный Механик, 126:23-37, 2005.
44. Ми. Ферн'андес-Кэра, F. Guill;en, и R.R. Ортега. Справочник числового анализа. Издание
8: Раствор уравнений в Rn (Партия 4). Методы научных вычислений (Партия 4).
Численные методы жидкостей (Партия 2)., разбейте на главы Математическое моделирование и анализ
вязкоупругие жидкости вида Oldroyd, нумерует страницы 543-661. Амстердам: Северная Голландия /
Elsevier, 2002.
45. Соль. Лес, К. Ван, и Р. Жоу. Диаграмма фазы потока теории Дои-Гесса для
постригшие нематические полимеры II: конечный стригут уровни. Rheol. Деяния, 44 (1):80-93, 2004.
46. М. Fortin и А. Фортин. Новый подход для моделирования FEM вязкоупругих потоков.
J. Неньютонов Плавный Механик, 32:295-310, 1989.
47. Д. Френкель и Си. Сразил. Понимание молекулярных движущих сил: от алгоритмов до приложений.
Академическое издание, Лондон, 2002.
48. Х. Гэо и П. Кляйн. Числовое моделирование первоклассного роста в изотропическом твердом веществе с
рандомизированные внутренние связные связи. Твердые вещества Физики Дж. Меча, 46 (2):187-218, 1998.
49. И. Гати. Mod;elisation math;ematique и моделирования num;eriques de fluides не newtoniens.
Диссертация, Экоул Натиональ де Понц и Chauss;ees, 2004. Доступный в
http://pastel.paristech.org/883/01/these.pdf. На французском языке.
50. J.-F. Gerbeau, М. Видрэску, и П. Фрэй. Взаимодействие плавной структуры в кровотоках на
конфигурации, прибывающие от медицинской обработки изображений. Компьютеры и Структура, 83 (2-3):155-165,
2005.
51. Х. Гисекус. Простое учредительное уравнение для полимерных жидкостей, основанных на понятии
зависимая от деформации tensorial подвижность. J. Неньютонов Плавный Механик, 11:69-109,
1982.
52. R. Gu;enette andM. Fortin. Новый смешанный метод конечных элементов для того, чтобы вычислить вязкоупругий
потоки. J. Неньютонов Плавный Механик, 60:27-52, 1999.
53. До. Guillop;e и J.C. Saut. Существование имеет результатом для потока вязкоупругих жидкостей с a
отличительное учредительное правило. Нелинейный Анализ, Теория, Методы & Прикладной, 15 (9):849-
869, 1990.
134 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
54. До. Guillop;e и J.C. Saut. Глобальное существование и одномерная нелинейная стабильность
из стрижки движений вязкоупругих жидкостей типа Oldroyd. Математика RAIRO. Модель. Цифра.
Анальный., 24 (3):369-401, 1990.
55. Ми. Hairer, S.P. N;rsett, и Соль. Более бледный. Решение обычных отличительных уравнений I.
Спрингер, 1992.
56.
57.
макроскопические и микромакро-вязкоупругие вычисления потока. J. Неньютонова Жидкость
58. Диджей Хигем. Алгоритмическая вводная часть к числовому моделированию стохастического дифференциала
уравнения. СИАМСКОЕ Повторение, 43 (3):525-546, 2001.
59. Д. Ху и Т. Лели `evre. Новая энтропия оценивает для модели Oldroyd-си, и связанный
60. M.A. Хулсен, Р. Фэттэл, и Р. Капфермен. Поток вязкоупругих жидкостей мимо цилиндра
в highWeissenberg числе: устойчивые моделирования, используя матричные логарифмы. Журнал
61. M.A. Хулсен, А.П.Г ван Хил, и Б.Х.Э.А ван ден Брьюл. Моделирование вязкоупругих
потоки используя броуновские поля конфигурации. J. Неньютонов Плавный Механик, 70:79-101,
1997.
62. P. H;ebraud и Ф. Лекукс. Теория сцепления режима для вязкой реологии гладких мягких
материалы. Преподобный Физики Летт., 81:2934-2937, 1998.
63. Си. Jourdain, До. Ле Бри, и Т. Лели `evre. На методе снижения различия для микромакро-
моделирования полимерных жидкостей. J. Неньютонов Плавный Механик, 122:91-106,
2004.
64. Си. Jourdain, До. Ле Бри, и Т. Лели `evre. Элементарный параметр относительно давнего
поведение раствора к стохастическому отличительному уравнению. Летопись Крайовы
Университет, Математика и серия Информатики, 32:1-9, 2005.
65. Си. Jourdain, До. Ле Бри, Т. Лели `evre, и Ф. Отто. Давний asymptotics мультимасштаба
модель для полимерных потоков жидкости. Архив для Рациональной Механики и Анализа,
181(1):97-148, 2006.
66. Си. Jourdain и Т. Лели `evre. Математический анализ стохастического отличительного уравнения
воскресение в микромакро-моделировании полимерных жидкостей. В I.M. Дэвис, Н. Иаков,
A. Трумэн, О. Хассан, K Моргана, и N.P. Weatherill, монтажеры, Вероятностные Методы
на Слушаниях Жидкостей Студии Суонси 2002 года, нумерует страницы 205-223. Научный мир,
2003.
67. Си. Jourdain, Т. Лели `evre, и До. Ле Бри. Числовой анализ микромакро-моделирований
из полимерных потоков жидкости: простой случай. Математика. Модели и Методы в прикладных науках,
12(9):1205-1243, 2002.
68. Си. Jourdain, Т. Лели `evre, и До. Ле Бри. Существование раствора для микромакро-модели
из полимерной жидкости: модель FENE. Журнал Функционального Анализа, 209:162-193,
2004.
69. Я. Karatzas и S.E. Shreve. Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер-Верлэг,
1988.
70. Р. Кеунингс. Основные тоны Компьютера, Моделирующего для Обработки Полимера, главы
Моделирование вязкоупругого потока жидкости, нумерует страницы 402-470. Hanser, 1989.
71. Р. Кеунингс. Обзор вычислительной реологии. В D.M. Связывая и др., монтажер, Прок.
13-ый Интервал. Congr. на Реологии, нумерует страницы 7-14. Британское Общество Реологии, 2000.
Неньютонова Плавная Механика, 127 (1):27-39, 2005.
E. Hairer и Соль. Более бледный. Решение обычных отличительных уравнений II. Спрингер, 2002.
P. Halin, Г. Лиленс, Р. Кеунингс, и V. Legat. Лагранжевый метод частицы для
Механик, 79:387-403, 1998.
модели. Связи в Математических Науках, 5 (4), 909-916, 2007.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 135
72. Р. Кеунингс. Микромакро-методы для моделирования мультимасштаба вязкоупругих потоков
использование молекулярных моделей кинетической теории. В D.M. Связывая и K Уолтерса, монтажеров,
Повторения реологии 2004. Британское Общество Реологии, 2004.
73. Физическое воспитание. Kloeden и Э. Плэтен. Числовой Раствор Стохастических Отличительных Уравнений,
объем 23 из Приложений Математики. Спрингер, 1992.
74. И. Куон. Анализ конечного элемента плоских 4:1 поток сокращения с tensorlogarithmic
рецептура отличительных учредительных уравнений. Реология Кореи-Австралии
Журнал, 16 (4):183-191, 2004.
75. М. Laso и H.C ;Ottinger. Вычисление вязкоупругого потока, используя молекулярные модели:
Подход CONNFFESSIT. J. Неньютонов Плавный Механик, 47:1-20, 1993.
76. М. Laso, М. Пикассо, и H.C. ;Ottinger. Двумерный, с временной зависимостью вязкоупругий
вычисления потока, используя CONNFFESSIT. AIChE J., 43:877-892, 1997.
77. До. Ле Бри. Система `emes multi;echelles: mod;elisation и моделирование, объем 47 из
Math;ematiques и Приложения. Спрингер, 2005. На французском языке.
78. Повторно нормализованные растворы к некоторым транспортным уравнениям с
частично скорости W1,1 и приложения. Аннали ди Математика pura редактор applicata,
183:97-130, 2004.
79.
80. A. Лефевр и Б. Мори. Очевидная вязкость смеси ньютоновой жидкости и
взаимодействующие частицы. Comptes Rendus Acad;emie де Ссианк, M;ecanique, 333 (12):923-
933, 2005.
81. Т. Лели `evre. Оптимальная ошибочная оценка для CONNFFESSIT приближается в простом случае.
Компьютеры и Жидкости, 33:815-820, 2004.
82. Т. Лели `evre. Probl` emes math;ematiques и num;eriques pos;es паритет ля моделирование
d ’; ecoulement de fluides polym;eriques. Диссертация, Экоул Натиональ де Понц
и Chauss;ees, 2004. Доступный в http://cermics.enpc.fr / ; lelievre/
rapports/these.pdf. На французском языке.
83. Т. Ли, Х. Занг, и P.W. Занг. Местное существование для dumbbell модели полимерных
жидкости. Партия Коммуникации. Различный Eq., 29 (5-6):903-923, 2004.
84. Т. Ли и P.W. Занг. Анализ конвергенции метода BCF для Hookean dumbbell
модель с замыслом конечной разности. СИАМСКИЙ MMS, 5 (1):205-234, 2006.
85. Т. Ли и P.W. Занг. Математический анализ мультимакетов сложных жидкостей.
Математика Коммуникации. Наука, 5 (1):1-51, 2007.
86. F.-H. Лин, К. Луи, и P.W. Занг. На гидродинамике вязкоупругих жидкостей. Коммуникация.
Чистая Прикладная Математика., 58 (11):1437-1471, 2005.
87. F.-H. Лин, К. Луи, и P.W. Занг. На микромакро-модели для полимерных жидкостей рядом
равновесие. Коммуникация Чистая Прикладная Математика., 60 (6):838-866, 2007.
88.
89. P.L. Львы и Н. Мазмоуди. Глобальные растворы для некоторых моделей Oldroyd не -
Ньютоновы потоки. Подбородок. Энн. Математика., Сер. Си, 21 (2):131-146, 2000.
90. P.L. Львы и Н. Мазмоуди. Глобальное существование слабых растворов к микромакро-моделям.
C. Р. Мэт. Acad. Наука, 345 (1):15-20, 2007.
91. A.S. Гостиница. Упругие Жидкости. Академическое издание, 1964.
92. A. Лозинский. Спектральные методы для кинетических моделей теории вязкоупругих жидкостей. Доктор философии
тезис, Многометод Ecole F;ed;erale де Лозанн, 2003. Доступный в http://
library.epfl.ch/theses/? nr=2860.
93. A. Лозинский и К. Чови `до. К посту solver для уравнения Fokker-Planck относятся
вязкоупругие вычисления потоков. J. Обязательная программа. Физика, 189 (2):607-625, 2003.
C. Ле Бри и П. Л. Лайонс.
уравнения с нерегулярными коэффициентами. Партия Коммуникации. Различный Eq., 33 (7), 1272-1317, 2008.
C. Ле Бри и П. Л. Лайонс. Существование и уникальность растворов к типу Fokker-Planck
F. Лин, П. Занг и З. Занг. На глобальном существовании гладкого раствора к 2-ому
FENE dumbbell модель, Математика Коммуникации. Физика, 277, 531-553, 2008.
136 До. Ле Бри, Т. Лели `evre
94. Л. Machiels, И. Мэдей, и A.T. Patera. Вывод ограничивает для приближений уменьшенного порядка
из овальных частичных отличительных уравнений. Comput. Методы Прикладной Механик Энгрг.,
190(26-27):3413-3426, 2001.
95. Ф. Мальрие. In;egalit;es де Соболев logarithmiques вылили des probl `emes d’ ;развитие нет
lin;eaires. Диссертация, Universit;e Павел Сэбэтир, 2001.
96. J.M. Маршал и M.J. Вязание крючком. Новый смешанный конечный элемент для того, чтобы вычислить вязкоупругий
97.
98. Т. Мин, J.Y. Ю, и Х. Чой. Эффект пространственных замыслов дискретизации на числовом
растворы вязкоупругих потоков жидкости. J. Неньютонов Плавный Механик, 100:27-47, 2001.
99. J.T. Oden и С. Прюдом. Оценка моделирования ошибки в вычислительной механике.
J. Comput. Физика, 182:496-515, 2002.
100. J.T. Oden и K.S. Vemaganti. Оценка местной ошибки моделирования и целенаправленный
адаптивное моделирование гетерогенных материалов. я. ошибочные оценки и адаптивные алгоритмы.
J. Comput. Физика, 164:22-47, 2000.
101. Си. ;ksendal. Стохастические отличительные уравнения. Вводная часть с приложениями.
Спрингер, 2003.
102. H.C. ;Ottinger. Вероятностные процессы в Полимерных Жидкостях. Спрингер, 1995.
103. R.G. Оуэнс. Новая основанная на микроструктуре учредительная модель для человеческой крови. J. Не -
Ньютонов Плавный Механик, 140:57-70, 2006.
104. R.G. Оуэнс и T.N. Филлипс. Вычислительная реология. Имперская Пресса колледжа / Мир
Научный, 2002.
105. A. Peterlin. Гидродинамика макромолекул в скоростном поле с продольным
градиент. Дж. Полим. Научная Си, 4:287-291, 1966.
106. Н. Фэн-Тхиен и Крем для загара Род-Айленда. Новое учредительное уравнение произошло из сетевой теории.
J. Неньютонов Плавный Механик, 2:353-365, 1977.
107. A. Quarteroni и Л. Формэггия. Математическое моделирование и числовое моделирование
из сердечно-сосудистой системы., объем 12 из Справочника Числового Анализа, Парня. 1,
нумерует страницы 3-127. Elsevier, 2004. Соль. Сиарлет Эд. Гость Н. Аяча Эд.
108. С. Риз. Meso-макро-моделирование укрепленного волокном подобного резине показа соединений
большая elastoplastic деформация. Международный журнал Твердых веществ и Структур,
40(4):951-980, 2003.
109. С. Риз. Микромеханически мотивируемая материальная модель для thermo-вязкоупругого
материальное поведение подобных резине полимеров. Международный журнал Пластичности,
19(7):909-940, 2003.
110. М. Renardy. Местное существование растворов начальной краевой задачи Dirichlet
для несжимаемых hypoelastic материалов. СИАМ J. Математика. Анальный., 21 (6):1369-1385, 1990.
111. М. Renardy. Теорема существования для образцовых уравнений, следующих из кинетических теорий
из растворов полимера. СИАМ J. Математика. Анальный., 22:313-327, 1991.
112. М. Renardy. Математический анализ вязкоупругих потоков. СИАМ, 2000.
113. Д. Ревуз и М. Йор. Непрерывные мартингалы и Броуновское движение. Спрингер-Верлэг,
1994.
114. L.C.G. Роджерс и Д. Уильямс. Распространение, Марков Процессес, и Мартингалы, Объем
1: Организации. Издательство Кембриджского университета, 2000.
115. L.C.G. Роджерс и Д. Уильямс. Распространение, Марков Процессес, и Мартингалы, Объем
2: Исчисление It;o. Издательство Кембриджского университета, 2000.
116. Д. Сандри. Не интегрируемый дополнительный раствор тензора напряжения для потока в ограниченной области
жидкость Oldroyd. Механик деяний, 135 (1-2):95-99, 1999.
Связи на Чистой и Прикладной Математике, 61 (12), 1685-1714, 2008.
потоки. J. Неньютонов Плавный Механик, 26:77-114, 1987.
N. Masmoudi. хорошо-posedness для FENE dumbbell модель полимерных потоков.
Моделирование мультимасштаба Сложных Жидкостей 137
117. Д. Струк и S.R.S. Varadhan. Многомерные диффузионные процессы. Спрингер, 1979.
118. J.K.C. Suen, Y.L. Joo, и R.C. Армстронг. Молекулярные эффекты ориентации в viscoelasticity.
Annu. Преподобный Флуид Меч, 34:417-444, 2002.
119. A.P.G. Ван Хил. Моделирование вязкоупругих жидкостей: от микроскопических моделей до макроскопического
сложные потоки. Диссертация, Дельфтский Технологический университет, 2000.
120. Т. фон Петерсдорфф и К. Шваб. Числовой раствор параболических уравнений в богатом
размеры. Математика M2AN. Модель. Numer. Анальный., 38 (1):93-127, 2004.
121. П. Уоппером, Р. Кеунингс, и V. Legat. Назад отслеживающая лагранжевая Частица
Метод для переходных вязкоупругих потоков. J. Неньютонов Плавный Механик, 91:273-295,
2000.
122. Х. Занг и P.W. Занг. Теоретическое и числовое исследование для подобной удочке модели
полимерная жидкость. Журнал Вычислительной Математики, 22 (2):319-330, 2004.
123. Х. Занг и P.W. Занг. Местное существование для модели FENE-dumbbell полимерных
жидкости. Архив для Рациональной Механики и Анализа, 2:373-400, 2006.
124. Л Занга, Х. Занга, и П. Занга. Глобальное существование слабых растворов к упорядоченному
Модель Hookean dumbbell. Commun. Математика. Наука, 6 (1), 83-124, 2008.
Быстрые Алгоритмы для Граничных Интегральных уравнений
Lexing Ying
Отдел Математики, университет Техаса, Остин, Техаса 78712, США,
lexing@math.utexas.edu
Резюме. Эта вещь рассматривает несколько быстрых алгоритмов для граничных интегральных уравнений. После
краткая вводная часть граничных интегральных уравнений для лапласовского и уравнений Helmholtz,
мы обсуждаем в порядке быстрый метод многополюсника и его разновидность свободного художника косточки,
иерархическая матричная структура, небольшая волна базировала метод, высокочастотный быстрый многополюсник
метод, и недавно предложенный мультинаправленный алгоритм.
Ключевые слова. Граничные интегральные уравнения, лапласовское уравнение, уравнение Helmholtz, быстро
алгоритмы, быстрый метод многополюсника, иерархический matrices, небольшие волны, мультимасштабируют методы,
мультинаправленные методы.
AMS подвергают системы зачета. 45A05, 65R20.
1 Краткое содержание
Много физических проблем могут быть сформулированы как частичные отличительные уравнения (PDEs)
на определенных геометрических доменах. Для некоторых из них PDEs может быть повторно сформулирован, используя
так называемые граничные интегральные уравнения (BIEs). Они - интегральные уравнения который
только вовлеките количества на границе домена. Некоторые преимущества работы с
BIEs - автоматическое обслуживание граничного условия в бесконечности, лучшем условии
числа, и меньше чисел unknowns в числовом растворе. На другом
рука, одни из главных элементов, имеющие степень трудности BIEs - то, что имеющие результатом линейные системы
плотный, который находится на прямом контрасте по отношению к редким системам PDEs. Для крупного масштаба
проблемы, прямое решение этих плотных линейных систем становится чрезвычайно отнимающим много времени.
Следовательно, как решить эти плотные линейные системы, эффективно стал
один из центральных вопросов. Много методов были развиты в последних двадцати
годы, чтобы обратиться к этому вопросу. В этой вещи мы рассматриваем некоторые из этих результатов.
Мы запускаем в Секте. 2 с краткой вводной частью граничной составной рецептуры
с лапласовским и уравнениями Helmholtz как наши примеры. Ля-мажорное различие между
эти два уравнения - то, что косточка лапласовского уравнения является неколебательной
в то время как тот уравнения Helmholtz является колебательным. Для неколебательных косточек,
мы обсуждаем быстрый метод многополюсника (FMM) в Секте. 3 и его косточка indepen140
L. Ying
вдавите разновидность в Секте. 4, иерархические matrices структурируют в Секте. 5, и небольшая волна
основанные методы в Секте. 6. Для колебательных косточек мы рассматриваем высокую частоту
быстрый метод многополюсника (ПОЛОВИНА-FMM) в Секте. 7 и недавно развитый мультинаправленный
метод в Секте. 8.
Цель этой вещи состоит в том, чтобы обеспечить вводную часть этим методам для
усовершенствованный студент и аспиранты. Поэтому, наше обсуждение, главным образом, сосредоточивается
на алгоритмических идеях, а не теоретических оценках. По той же самой причине, нам
главным образом обратитесь только к оригинальным статьям этих методов и сохраните размер
ссылочный список к минимуму. Много важных результатов не обсуждены здесь из-за
различные ограничения и мы приносим извинения за это.
2 Граничных Составных Рецептуры
У многих линейных частичных отличительных проблем уравнения есть граничное интегральное уравнение
рецептуры. В этом разделе мы сосредотачиваемся на двух из самых важных примеров и
продемонстрируйте, как преобразовать рецептуры PDE в рецептуры BIE. Наш
обсуждение главным образом следует за представлением в [11, 18, 20]. Мы обозначаем ;; 1 со мной
2.1 Лапласовское уравнение
Позвольте D быть ограниченной областью с гладкой границей в Резерфорде (d = 2,3). n - натура
нормальный к D. Лапласовское уравнение на D с граничным условием Dirichlet
;Du = 0 в D (1)
u = f на ¶D (2)
где f определен на ¶D. Геометрию проблемы показывают в Рис. 1. Мы ищем
представлять u (x) для x ; D в составной форме, которая использует только количества на
граница ¶D.
Функция Зеленого цвета для лапласовского уравнения
Соль (x, y) =
(
1
2 пункта
ln 1
|x;y |
(d = 2)
1
4 пункта
1
|x;y |
(d = 3)
(3)
Некоторые из важных свойств Соль (x, y)
• Соль (x, y) симметрична в x и y,
• Соль (x, y) является неколебательной, и
• ;DxG (x, y) =dy (x) и ;DyG (x, y) =dx (y)
где Dx и Dy берут производные с уважением x и y, соответственно, и дуплекс
функция Dirac расположена в x. Следующая теорема - простое следствие
Теорема Стоукса.
и предположите, что все функции достаточно гладки.
Быстрые Алгоритмы 141
Рис. 1. Домен краевой задачи Dirichlet лапласовского уравнения.
Теорема 1. Позвольте u и v, чтобы быть двумя достаточно гладкими функциями на ;D. Затем
Z
D
(uDv;vDu) дуплекс =
Z
¶D
u
¶ v (y)
¶ n (y) ;v
¶ u (y)
¶ n (y)
ds (y).
Простое приложение предыдущей теоремы дает следующий результат.
Теорема 2. Позвольте u быть достаточно гладкой функцией на ;D, таким образом что ;Du = 0 в D.
Для любого x в D,
u (x) =
Z
¶D
¶ u (y)
¶ n (y)
Соль (x, y) ;u (y)
¶G (x, y)
¶ n (y)
ds (y).
Доказательство. Выберите маленькую Си мяча в x, который содержится в D (см. Рис. 2). От последнего
теорема, мы имеем
R
D\B (u (y) ДЕЦИГРАММ (x, y) ;G (x, y) Du (y)) ds (y) =
R
¶ (D\B)
u (y) ¶G (x, y)
¶ n (y) ;G (x, y) ¶ u (y)
¶ n (y)
ds (y).
С тех пор ;Du (y) = 0 и ;DG (x, y) = 0 для y ; D\Си, левая сторона равна
ноль. Поэтому,
R
¶D
u (y) ¶G (x, y)
¶ n (y) ;G (x, y) ¶ u (y)
¶ n (y)
ds (y) =
;
R
¶ СИ
u (y) ¶G (x, y)
¶ n (y) ;G (x, y) ¶ u (y)
¶ n (y)
ds (y)
где n указывает на x на ¶ Си. Теперь позвольте радиусу Си мяча идти в ноль. Первое
термин правой стороны идет в ;u (x), в то время как второй термин приближается 0.
От последней теоремы мы видим, что u (x) для x в D может быть представлен как сумма
два граничных интеграла. В граничной составной рецептуре мы стремимся представить
u (x) использование только один из них. Этот градус свободы дает начало следующим двум
подходы.
142 Л. Иинга
Рис. 2. Доказательство Теоремы 2.
Метод 1
Мы представляем u (x) для x ; D использование интеграла, который содержит Соль (x, y)
u (x) =
Z
¶D
j (y) Соль (x, y) ds (y) (4)
где j - неизвестная плотность на ¶D. Эту рецептуру называют одиночным уровнем
форму и j часто называют одиночной плотностью уровня. Можно показать что любой достаточно
хороший u (x) может быть представлен, используя одиночную форму уровня (см. [20] для получения подробной информации). Разрешение
x приближаются к z ; ¶D, мы добираемся
f (z) = u (z) =
Z
¶D
j (y) Соль (z, y) ds (y),
который является интегральным уравнением, которое вовлекает только граничные количества j и f. Поэтому,
шаги, чтобы решить лапласовское уравнение, используя одиночную форму уровня:
1. Сочтите j (z) на ¶D таким образом что
f (z) =
Z
¶D
j (y) Соль (z, y) ds (y). (5)
Это уравнение - уравнение Fredholm первого вида (см. [20]).
2. Для x в D вычислите u (x)
u (x) =
Z
¶D
j (y) Соль (x, y) ds (y). (6)
Быстрые Алгоритмы 143
Метод 2
Мы можем также представить u (x) для x ; D использование интеграла, который содержит ¶G (x, y)
¶ n (y)
u (x) = ;
Z
¶D
j (y)
¶G (x, y)
¶ n (y)
ds (y) (7)
где j - снова неизвестная плотность на ¶D. Эту рецептуру называют номером на двоих человек
форма уровня и j - двойная плотность уровня. Фактически, двойная форма уровня способна
из представления любого достаточно хорошего u (x) в D [20]. Если мы теперь позволяем x приближаться к z ; ¶D,
мы получаем следующее уравнение на границе:
f (z) = u (z) =
1
2
j (z) ;
Z
¶D
¶G (z, y)
¶ n (y)
j (y) ds (y).
Статист 1
2j (z) термин подходит, потому что интеграл (7) не однородно интегрируем
рядом z ; ¶D. Следовательно, нельзя просто обменять предел и составные знаки. С тех пор
граница ¶D гладка, составная действующая компания с косточкой ¶G (z, y)
¶ n (y)
компактное
действующая компания. Шаги, чтобы решить лапласовское уравнение, используя двойную форму уровня:
1. Сочтите j (z) на ¶D таким образом что
f (z) =
1
2
j (z) ;
Z
¶D
¶G (z, y)
¶ n (y)
j (y) ds (y). (8)
Это уравнение - уравнение Fredholm второго вида.
2. Для x в D вычислите u (x) с
u (x) = ;
Z
¶D
¶G (x, y)
¶ n (y)
j (y) ds (y). (9)
Между этими двумя подходами мы часто предпочитаем работать с двойным уровнем
форма (Метод 2). Главная причина состоит в том что уравнение Fredholm второго вида
имеет намного лучшее число условия, таким образом резко сокращая количество итераций
требуемый в типичном повторяющемся solver.
2.2 Уравнение Helmholtz
Мы теперь переворачиваем к уравнению Helmholtz. Позвольте D быть ограниченной областью с гладким
граница в Резерфорде (d = 2,3) и n быть натурой, нормальной к D. Бесконечное
Уравнение Helmholtz на Резерфорде \;D (d =2,3) с граничным условием Dirichlet описывает
посыпающее поле звукового мягкого объекта:
;Du;k2u = 0 в Резерфорде \;D (10)
u (x) = ;uinc (x) для x ; ¶D (11)
144 Л. Иинга
Рис. 3. Домен краевой задачи Dirichlet уравнения Helmholtz.
lim
; r;
r
¶ u
¶ r ;iku
= 0 (12)
где k является числом волны, uinc - поступающее поле, и u - посыпающее поле.
посыпающее поле размножается к бесконечности. Геометрия проблемы описана
в Рис. 3. Наша цель состоит в том, чтобы снова представить u (x) для x ; Резерфорд \;D в составной форме который
количества использования, определенные на границе ¶D.
Функция Зеленого цвета уравнения Helmholtz
Соль (x, y) =
(
я
4H1
0 (k|x;y |) (d = 2)
1
4 пункта
exp (ik|x;y |)
|x;y |
(d = 3)
(13)
Некоторые из важных свойств Соль (x, y)
• Соль (x, y) симметрична,
• Соль (x, y) является колебательной,
• (;Dx;k2) Соль (x, y) =dy (x) и (;Dy;k2) Соль (x, y) =dx (y).
Теорема 3. Позвольте До быть ограниченной областью с гладкой границей. Предположите, что u
достаточно гладкий в ;C и удовлетворяет (;D ;k2) u = 0 в До. Затем для любого x в До
u (x) =
Z
¶C
¶ u (y)
¶ n (y)
Соль (x, y) ;u (y)
¶G (x, y)
¶ n (y)
ds (y).
Доказательство. Выберите маленькую Си мяча, центрированную в x. Затем мы имеем
R
C\B (u (y) ДЕЦИГРАММ (x, y) ;G (x, y) Du (y)) dy =
R
¶ (C\B)
u (y) ¶G (x, y)
¶ n (y) ;G (x, y) ¶ u (y)
¶ n (y)
ds (y).
Левая сторона равна
Z
C\B
(u · (DG+k2G) ;G (Du+k2u)) dy = 0.
Остальная часть доказательства является тем же самым как той Теоремы 2.
2
Последнее уравнение называют условием излучения Зоммерфельда, которое гарантирует это
d-1
Быстрые Алгоритмы 145
Рис. 4. Доказательство Теоремы 4.
Вышеупомянутая теорема обращается к До ограниченной области. Однако, что мы действительно
заинтересованный бесконечный Резерфорд домена \; D.
Теорема 4. Предположите, что u достаточно гладок и удовлетворяет (;D ;k2) u = 0 в
Резерфорд \D. Затем для любого x в Резерфорде \D,
u (x) =
Z
¶D
¶ u (y)
¶ n (y)
Соль (x, y) ;u (y)
¶G (x, y)
¶ n (y)
ds (y).
Доказательство. Выберите большую Соль мяча, которая содержит D. Рассмотрите Соль домена \;D (см. Рис. 4).
Позвольте t быть внешним нормальным направлением Соль \; D. От предыдущей теоремы мы имеем
u (x) =
Z
¶G
¶ u (y)
¶ t
Соль (x, y) ;u (y)
¶G (x, y)
¶ t
ds (y) +
Z
¶D
¶ u (y)
¶ t
Соль (x, y) ;u (y)
¶G (x, y)
¶ t
ds (y).
Используя условие Зоммерфельда в бесконечности, можно показать что интеграл по ¶G
мы имеем
u (x) =
Z
¶D
u (y)
¶G (x, y)
¶ n (y) ;
¶ u (y)
¶ n (y)
Соль (x, y)
ds (y).
От последней теоремы мы видим, что u (x) для x в Резерфорде \;D может быть представлен как a
сумма двух интегралов. В граничной составной рецептуре уравнения Helmholtz,
одна опция должна представить u (x) двойной формой уровня:
u (x) =
Z
¶D
¶G (x, y)
¶ n (y)
j (y) ds (y)
идет в ноль, поскольку каждый продвигает радиус Соль к бесконечности [11]. Замечание, что t = ;n на
¶D,
146 Л. Иинга
Отличающийся от двойной формы уровня лапласовского уравнения, двойной формы уровня
из Helmholtz уравнение не способно к представлению произвольного поля u (x) для x ; Резерфорд \; D. Если k является одним из внутренних резонансных чисел, таким образом что внутренний Нойман
у граничного условия ноля problemwith есть нетривиальный раствор, затем этот двойной уровень
форма исключительна (см. [11]). Практически, мы используем
u (x) =
Z
¶D
¶G (x, y)
¶ n (y) ;ihG (x, y)
j (y) ds (y).
где h - действительное число (например, h = k). Поскольку мы позволяем x приближаться к z на ¶D, нас
добраться
;uinc (z) = u (z) =
1
2
j (z) +
Z
¶D
¶G (z, y)
¶ n (y) ;ihG (z, y)
j (y) ds (y)
где дополнительный термин 1
2j (z) - то, вследствие того, что интеграл является неподходящим в z ; ¶D.
Шаги, чтобы решить уравнение Helmholtz, используя эту двойную форму уровня:
1. Сочтите функцию j (z) на ¶D таким образом что
;uinc (z) =
1
2
j (z) +
Z
¶D
¶G (z, y)
¶ n (y) ;ihG (z, y)
j (y) ds (y). (14)
2. Для очка x в R3 \D, вычислите u (x) с
u (x) =
Z
¶D
¶G (x, y)
¶ n (y) ;ihG (x, y)
j (y) ds (y). (15)
Мы видели происхождения BIEs для внутренней лапласовской границы Dirichlet
проблема значения и натура Helmholtz Dirichlet краевая задача.
Хотя оба случая используют функции Грина основного уравнения и
Теорема Стоукса, происхождение для уравнения Helmholtz осложнено существованием
из внутренних резонансных чисел. Для других овальных краевых задач,
происхождения рецептур BIE часто отличаются от случая до случая.
2.3 Дискретизация
В обоих BIEs до сих пор обсуждал, мы должны решить проблему следующей формы: найти
j (x) на ¶D, таким образом, что
f (x) =j (x) +
Z
¶D
K (x, y) j (y) ds (y), то есть, f = (I+K) j
или
f (x) =
Z
¶D
K (x, y) j (y) ds (y), то есть, f = Kj.
где K (x, y) является или функцией Грина или ее производной основного PDE.
Чтобы решить эти уравнения в цифровой форме, мы часто используем один из следующих
три метода дискретизации: Nystr ;om метод, метод словосочетания, и
Метод Galerkin. Давайте обсуждать эти методы, кратко используя уравнение Fredholm
из второго вида.
Быстрые Алгоритмы 147
Рис. 5. Метод Nystr;om
Метод Nystr;om
Идея Nystr ;om метод состоит в том, чтобы приблизить интеграл operatorswith квадратура
действующие компании. Шаги:
1. Приблизьте составную действующую компанию (Kj) (x): =
R
K (x, y) j (y) dy с квадратурой
действующая компания
(KNj) (x): =
N
;
j=1
K (x, xj) л jj (xj)
где {xj} - очки квадратуры и {л j} являются отягощениями квадратуры (см.
Рис. 5). Здесь мы делаем успение, что {л j} являются свободным художником x. Практически,
{л j} часто зависят от x, когда xj находится по соседству x если косточка K (x, y)
имеет особенность в x = y.
2. Сочтите j (x) таким образом что j +KNj = f. Мы записываем уравнение в {xi}:
ji +
n
;
j=1
K (xi, xj) л jjj = fi, я = 1, ···, N (16)
и решите для {ji}. Здесь fi = f (xi).
3. Значение j (x) в x ; ¶D вычислено, используя
j (x) = f (x)
n;
j=1
K (x, xj) л jjj. (17)
Метод словосочетания
Идея метода словосочетания состоит в том, чтобы использовать приближение подпространства. Шаги:
1. Приблизьте j (x) ;N
j=1 cjjj (x), где {jj (x)} основные функции на ¶D.
j j часто - центр
supp (jj).
Позвольте x {x} быть рядом очков на ¶ D (см. Рис. 6), где
148 Л. Иинга
Рис. 6. Collocation и методы Galerkin
2. Найдите {cj} таким образом, что j +Kj = f удовлетворен в {xj}, то есть,
N
;
j=1
cjjj (xi) + (K (
N
;
j=1
cjjj)) (xi) = f (xi), я = 1, ···, N (18)
Метод Galerkin
Идея метода Galerkin состоит в том, чтобы использовать приближение пространства с orthogonalization.
Шаги:
1. Приблизьте j (x) ;Nj
=1 cjjj (x), где {jj (x)} часто ограничиваемое основание
функции на ¶D.
j
j
hji,
N
;
j=1
cjjj +K (
N
;j
=1
cjjj) ; f i = 0, я = 1, ···, N (19)
2.4 Повторяющийся раствор
Следующее обсуждение находится в установке Nystr ;om метод. Ситуации для
другие методы подобны. В матричной форме, линейная система, к которой каждый нуждается
решите
(I+KL) j = f
где я - единичная матрица, K является матрицей с записями K (xi, xj), Л является диагональю
матрица с диагональными записями, равными {л j}, j является вектором {jj}, и f
вектор {f j}.
2. Найдите {до} таким образом, что j +Kj ; f является ортогональным ко всему подпространству, произведенному
j (x).
Быстрые Алгоритмы 149
Так как K является плотной матрицей, прямое решение этого уравнения берет O (N3) шаги.
Для большого N это становится чрезвычайно отнимающим много времени и решающим эту систему непосредственно
не выполнимо. Поэтому, мы должны обратиться к повторяющемуся solvers.
Так как составная действующая компания, K компактен, его собственные значения, распадается к нолю. Это
также истина для discretized версии, thematrix K. Поэтому, число условия
Я +KL являюсь маленьким и независимым от числа N очков квадратуры. В результате
число итераций - также свободный художник N. В каждой итерации каждый вычисляет
Ky для данного вектора y. Так как K плотен, наивное выполнение этого matrixvector
умножение берет O (N2) шаги, которые могут быть все еще довольно дорогими для большого
значения N. Как вычислить результат, Ky - вопрос, в котором мы обратимся
следующие разделы.
Прежде, чем мы будем идти дальше, давайте сравним PDE и рецептуры BIE. Для
Рецептуры PDE, числовой раствор часто требует O ((1/h) d) unknowns для a
данный размер дискретизации h. Специальный уход необходим для бесконечных внешних проблем.
Так как имеющая результатом линейная система редка, каждая итерация повторяющегося solver
вполне быстро, хотя число итераций могло бы быть большим. Наконец, рецептуры PDE
работа для доменов с произвольной геометрией и проблем с переменной
коэффициенты.
Для рецептур BIE числовой раствор вовлекает только O ((1/h) d;1) unknowns
на границе домена для данного размера дискретизации h. Никакой специальный уход
необходим для внешних доменов. Имеющая результатом система всегда плотна так быстрые алгоритмы
необходимы для эффективных повторяющихся растворов рецептур BIE. Как мы
уже видели, функции Грина - основной тон в получении интеграла
уравнения. Так как функции Зеленого цвета часто неизвестны для проблем с переменной
коэффициенты, большинство приложений рецептур BIE для проблем с
постоянный коэффициент.
3 Быстрых Метода Многополюсника
В каждом шаге повторяющегося раствора рецептуры BIE мы сталкиваемся со следующим
проблема. Данный ряд расходов {fi, 1 ; i ; N} расположенный в очках {пи, 1 ; i ; N} (см. Рис. 7) и функциональная Соль Грина (x, y) основного уравнения, мы хотим к
вычислите в каждом пи потенциал
ui =
N;
j=1
Соль (пи, pj) f j. (20)
Когда мы указали ранее, наивный алгоритм берет O (N2) шаги, которые могут быть довольно дорогими
для больших значений N. В этом разделе мы вводим быстрый метод многополюсника
Greengard и Rokhlin [15, 16] для функции Грина лапласовского уравнения.
Этот замечательный algorithmreduces сложность от O (N2) к O (N) для любого установленного
ми точности.
150 Л. Иинга
Рис. 7. Сбыт очков квадратуры {пи} на границе домена D.
3.1 Геометрическая партия
Два набора A и Си, как говорят, разделены от углубления, если расстояние между A и Си
больше чем их диаметры. Давайте рассматривать взаимодействие от ряда очков {y j} в Си к ряду очков {xi} в A, где и {yj} и {xi} - подмножества {пи}.
геометрию показывают в Рис. 8.
Рис. 8. Два поля A и Си разделены от углубления. Прямое вычисление берет O (N2) шаги.
Предположите, что {f j} расходы в {yj}. Давайте рассматривать следующее приближение
для потенциала ui в каждом xi
ui ; u (приблизительно) =;
j
Соль (приблизительно, yj) f j ; Соль (приблизительно, cB) ;
j
f j. (21)
Это приближение довольно точно, когда A и Си далеко друг от друга и
фактически используется довольно часто в вычислительной астрофизике, чтобы вычислить взаимодействие
между отдаленными галактиками. Однако, для двух наборов A и Си, которые являются просто wellseparated
(расстояние между ними сопоставимо с их диаметрами), это приближение
вводит существенную ошибку. Давайте не волноваться слишком много о точности
Быстрые Алгоритмы 151
Рис. 9. Три шага приблизительной процедуры. Операции общего количества - O (N).
в этот момент и мы вернемся к этому вопросу позже. Геометрическое описание
это приближение дано в Рис. 9.
Мы ввели два представления в этом простом приближении:
• fB, далекое полевое представление Си, которая позволяет тому приблизительно воспроизводить
в далеком поле Си потенциал, произведенный источником, взимает в Си.
• uA, местное полевое представление, который позволяет тому приблизительно воспроизводить
в потенциал, произведенный источником, взимает в далеком поле A.
Вычисление uA от fB
uA = Соль (приблизительно, cB) fB
j i
очки, наивное прямое вычисление взаимодействия берет O (n2) шаги. Предложенный
приближение намного более эффективно:
• fB = ;j f j берет O (n) шаги.
• uA = Соль (приблизительно, cB) fB берет O (1) шаги.
• ui = uA для всего xi ; A берет O (n) шаги также.
Следовательно, сложность этих трех процедур шага - O (n). Рассмотрение взаимодействия
между A и Си в матричной форме, мы видим, что это взаимодействие приблизительно низко
займите место, если A и Си разделены от углубления. Фактически, в вышеупомянутом приближении, чин 1
приближение используется.
Однако, в проблеме мы хотим обратиться, все очки {пи} смешаны
и каждое пи - и источник и цель. Поэтому, нельзя обратиться
выше процедуры непосредственно. Раствор должен использовать адаптивную древовидную структуру, а именно,
octree в трехмерном или quadtree в 2-ом (см. Рис. 10). Мы сначала выбираем поле, которое содержит
все очки {пи}. Запускаясь с этого высокоуровневого поля, каждое поле quadtree
рекурсивно деливший, если число очков в этом не меньше чем предписанный
постоянный (практически это число может измениться от 50 до 200). Предположение, что очки
{пи} распределено вполне однородно на ¶D, число уровней quadtree
назван далеким-к-местному переводом. Принятие и {y} и {x} содержит O (n)
152 Л. Иинга
Рис. 10. quadtree произведен от домена в Рис. 7. Разные уровни quadtree
показанный слева направо.
O (logN). Для данного поля B в quadtree все смежные поля, как говорят, попадают
близкое поле, в то время как остальные находятся в далеком поле. Список взаимодействия Си содержит
поля на том же самом уровне, которые находятся в далеком поле Си, но не далеком поле родителя Си. Это
не является трудным видеть, что размер списка взаимодействия всегда O (1).
Никакое вычисление не необходимо в нулевом и первых уровнях. На втором уровне
(см. Рис. 11), у каждого поля B есть O (1) разделенные от углубления поля (например. A). Эти поля
покрашенный в сером и в списке взаимодействия Си. Взаимодействие между Си и каждым полем
в его взаимодействии список может быть приближен, используя три описанные процедуры шага
выше. То же самое вычисление повторено по всем полям на этом уровне.
Чтобы обратиться к взаимодействию между Си и ее смежными полями, мы идем в следующее
уровень (см. Рис. 12). Предположите, что Си ; является дочерним элементом Си. Начиная со взаимодействия между Си ;
и далекое поле Си уже заботилось о в предыдущем уровне, мы только нуждаемся
Рис. 11. Вычисление на втором уровне.
Быстрые Алгоритмы 153
Рис. 12. Вычисление на третьем уровне.
обратиться к взаимодействию между Си ; и полями в Си ;’s список взаимодействия (например. ;).
Эти поля также покрашены в сером и взаимодействии между Си ; и каждым из
их может быть приближен, снова используя три процедуры шага, описанные выше.
Чтобы обратиться к взаимодействию между Си ; и ее смежными полями, мы снова идем в
следующий уровень (см. Рис. 13). У си ;; (дочерний элемент Си ;) есть O (1), окружает его список взаимодействия.
Взаимодействие между Си ;; и каждым из них (например. ;;), еще раз вычислен
использование трех процедур шага, описанных выше. Предположите теперь, когда Си ;; является также листом
поле. Мы затем должны обратиться к взаимодействию между Си ;; и ее смежными полями.
Так как число очков в каждом листовом поле является довольно маленьким, мы просто используем прямое
вычисление для этого.
Рис. 13. Вычисление на четвертом (последнем) уровне.
154 Л. Иинга
Алгоритм получен в итоге следующим образом:
1. На каждом уровне, для каждого поля B, вычисляют fB = ;pj;B f j.
A, cB) f
к uA. Это - далекий-к-местному перевод.
3. На каждом уровне, для каждого поля A, добавляют uA в uj для каждого pj ; A.
4. На заключительном уровне, для каждого листового поля B, вычисляют взаимодействие с его смежным
поля непосредственно.
Сложность этого алгоритма - O (N logN) основанный на следующих соображениях.
1. Каждое очко принадлежит, каждый окружает каждый из O (logN) уровни. Сложность
первый шаг - O (NlogN).
2. Есть O (N), окружает octree. У каждого поля есть O (1), окружает взаимодействие
список. Так как каждый далекий-к-местному перевод берет O (1) операции, сложность
второй шаг - O (N).
3. Каждое очко принадлежит, каждый окружает каждый из O (logN) уровни. Сложность
O (N logN).
4. Есть O (N) листовые поля всего. У каждого есть O (1) соседи. Начиная с каждого листа
поле содержит только O (1) очки, прямое вычисление стоит O (N) шаги.
Как мы упомянули ранее, цель - O (N). Мы можем добиться большего успеха? Ответ
да. Давайте смотреть на поле B и его дочерние элементы Б1, ···, B4. Основанный на четкости
из fB мы имеем
fB = ;
pj;B
f j = ;
pj;B1
f j + ;
pj;B2
f j + ;
pj;B3
f j + ;
pj;B4
f j = fB1 + fB2 + fB3 + fB4.
Поэтому, однажды {ФБР} все известны, fB может быть вычислен, используя только O (1) операции.
Этот шаг называют далеким-к-далекому переводом. Зависимость между fB и {ФБР} предлагает, чтобы мы пересекли quadtree вверх дном во время конструкции далекого
полевые представления.
Точно так же вместо того, чтобы поместить uA в каждое из его очков, достаточно добавить uA
к {uAi}, где {Ай} дочерние элементы A. Причина - это uAi
будет в конечном счете
будьте добавлены к отдельным очкам. Этот шаг добавления uA к {uAi}, очевидно, берет
O (1) операции также и это называют местным-к-местному переводом. С тех пор {uAi} теперь
зависьте от uA, мы должны пересечь octree сверху вниз во время вычисления
местные полевые представления.
Объединение далеких-к-далекому и местных-к-местному переводов с вышеупомянутым алгоритмом,
у нас есть полное описание геометрической структуры FMM.
1. Восходящее пересечение octree. На каждом уровне, для каждого поля B,
• если лист, вычислите fB от очков в Си,
• если нелист, вычислите fB от далеких полевых представлений его дочерних элементов.
A, cB) fB
к uA.
3. Нисходящее пересечение octree. На каждом уровне, для каждого поля A,
2. На каждом уровне, для каждой пары А и Си в списке взаимодействия друг друга, добавляют Соль (Си до
2. На каждом уровне, для каждой пары А и Си в списке взаимодействия друг друга, добавляют Соль (до
Быстрые Алгоритмы 155
• если лист, добавьте uA в uj для каждого очка pj в A,
• если нелист, добавьте uA в местные полевые представления его дочерних элементов.
4. На заключительном уровне, для каждого листового поля B, вычисляют взаимодействие с его смежным
поля непосредственно.
По сравнению с предыдущей версией единственные изменения произведены в первом и
третьи шаги, в то время как второе и четвертые шаги остаются тем же самым. Давайте оценим
сложность. Очевидно, что мы исполняем один далекий-к-далекому перевод и одного местного-жителя-tolocal
перевод к каждому из O (N) окружает octree. Начиная с каждого из далеких-к-далекому
и местные-к-местному переводы берут только O (1) операции, сложность первого
и третьи шаги ясно O (N). Поэтому, полная сложность алгоритма
O (N).
3.2 Аналитическая партия
В обсуждении геометрической партии FMM мы не волновались слишком много
о точности. Фактически, просто беря далекое полевое представление fB = ;pj;B f j
и местное полевое представление uA = Соль (приблизительно, cB) fB дает очень низкую точность. Затем,
мы обсуждаем аналитическую партию FMM, который обеспечивает эффективные представления
и переводы, которые достигают любой предписанной ми точности. Фактически можно рассмотреть
fB = ;pj;B f j, чтобы быть нулевым моментом сбыта расхода {f j} в {pj} в Си.
Идея позади аналитической партии FMM состоит в том, чтобы просто использовать более высокий порядок
моменты и представляют их сжато использование свойства основного PDE.
2-ой случай
В двумерном случае мы можем расценить {пи}, чтобы быть очками в сложной плоскости.
До константы,
Соль (x, y) = ln|x;y | = Ре (ln (x;y))
для x, y ; До. Поэтому, мы расценим косточку, чтобы быть Соль (x, y) = ln (x;y) и бросок
далеко воображаемая партия в конце вычисления.
Далекое полевое представление
Предположите, что {y j} исходные очки в поле (см. Рис. 14), и {f j} расходы
расположенный в {yj}.
С тех пор
Соль (x, y) = ln (x;y) = lnx+ln
1;
y
x
= lnx +
;;
k=1
;
1
k
yk
xk,
мы имеем для любого x в далеком поле этого поля
u (x) =;
j
Соль (x, yj) f j =
;j
f j
!
lnx +
p
;
k=1
;
1
k;
j
ykj
f j
!
1
xk +O (e)
156 Л. Иинга
Рис. 14. Далекое полевое представление.
где p = O (журнал (1/ми)), потому что |yj/x | <;2/3. Мы определяем далекое полевое представление
быть коэффициентами {ak, 0 ; k ; p} данный
a0 =;
j
f j и ak = ;
1
k;
j
ykj
f j (1 ; k ; p). (22)
Очевидно, что от {ak} мы можем приблизить потенциал для любого очка x в
далекое поле эффективно в пределах точности O (e). У этого представления ясно есть сложность
O (журнал (1/ми)) и также назван расширением многополюсника.
Местное полевое представление
Предположите, что {yj} - исходные очки в далеком поле поля (см. Рис. 15), и {f j} расходы, расположенные в {yj}.
От расширения Тэйлора косточки
Соль (x, y) = ln (x;y) = ln (;y) +ln
1;
x
y
= ln (;y) +
;;
k=1
;
1
k
xk
yk,
мы имеем для любого x в поле,
u (x) =;
j
Соль (x, yj) f j =;
j ln (;yj) f j +
p
;
k=1
;
1
k;
j
f j
ykj
!
xk +O (e)
где p = O (журнал (1/ми)), потому что |x/yj | <;2/3. Мы определяем местное полевое представление
быть коэффициентом {ak, 0 ; k ; p} данный
a0 =;
j ln (;yj) f j и ak = ;
1
k;
j
f j
ykj
(1 ; k ; p). (23)
Основанный на {ak}, мы можем приблизить потенциал для любого очка x в поле
эффективно в пределах точности O (e). У этого представления есть сложность O (журнал (1/ми))
и также назван местным расширением.
Быстрые Алгоритмы 157
Рис. 15. Местное полевое представление.
Далекий-к-далекому перевод
Теперь давайте рассматривать далекий-к-далекому перевод, который преобразовывает далекое полевое представление
из дочернего поля B ; к далекому полевому представлению его родительского поля B (см. Рис. 16).
Мы предполагаем, что Си ; центрирована в очке z0, в то время как Си центрирована происхождение. Предположить
то, что далекое полевое представление дочерней Си ; {ak, 0 ; k ; p}, то есть,
u (z) = a0 ln (z;z0) +
p
;
k=1
ak
1
(z;z0) k +O (e)
для любого z в далеком поле Си ;. Далекое полевое представление {кипа, 0 ; л ; p} Си
данный
b0 = a0 и кипа = ;
a0zl
0
л
+
л
;
k=1
akzl;k
0
l;1
k;1
(1 ; л ; p) (24)
и для любого z в далеком поле Си
u (z) = b0 lnz +
p
;
l=1
кипа
1
zl +O (e).
Из четкости {кипы} это прозрачно, что каждый далекий-к-далекому перевод берет O (p2) =
O (log2 (1/ми)) операции.
Рис. 16. Далекий-к-далекому перевод.
158 Л. Иинга
Далекий-к-местному перевод
Далекий-к-местному перевод преобразовывает далекое полевое представление поля B к
местное полевое представление поля A в списке взаимодействия Си. Мы предполагаем, что Си
центрированный в z0, в то время как A центрирован в происхождении (см. Рис. 17). Предположите что далекое
Рис. 17. Далекий-к-местному перевод.
полевое представление Си {ak, 0 ; k ; p}, то есть,
u (z) = a0 ln (z;z0) +
p
;
k=1
ak
1
(z;z0) k +O (e)
для любого z в далеком поле Си. Местное полевое представление {кипа, 0 ; л ; p} A
данный
b0 = a0 ln (;z0) +;p
k=1 (;1) k ak
zk
0
и
кипа = ; a0
lzl
0
+ 1
zl
0
;p
k=1
ak
zk
0
;; l+k;1
k;1
(;1) k (1 ; л ; p).
и для любого z в A
u (z) =
p
;
l=0
blzl +O (e).
Это прозрачно, что каждый далекий-к-местному перевод берет O (p2) = O (log2 (1/ми)) операции
также.
Местный-к-местному перевод
Местный-к-местному перевод преобразовывает местное полевое представление родителя
поле A к местному полевому представлению его дочернего элемента ;. Мы предполагаем что центр
A - z0, в то время как центр ; - происхождение (см. Рис. 18). Предположите что местное поле
представление A {ak, 0 ; k ; p}, то есть,
u (z) =
p
;
k=0
ak (z;z0) k +O (e)
для любого z в A. Затем местное полевое представление {кипа, 0 ; л ; p} в ; дают
Быстрые Алгоритмы 159
Рис. 18. Местный-к-местному перевод.
кипа =
n
;
k=l
ak
k
л
(;z0) k;l (0 ; л ; p)
и для любого z в ;
u (z) =
p
;
l=0
blzl +O (e).
Сложность местного-к-местному перевода снова O (p2) = O (log2 (1/ми)). К
суммируйте 2-ой случай, и далекие и местные полевые представления имеют размер O (p) =
O (журнал (1/ми)) для предписанной ми точности. Все три перевода имеют сложность
O (p2) = O (log2 (1/ми)). Поэтому, сложность алгоритма FMM, основанного на
эти представления и переводы - O (N), где константа зависит от ми в a
логарифмический путь.
Трехмерный случай
До константы функция трехмерного Грина лапласовского уравнения
Соль (x, y) =
1
|x;y |
.
Для двух очков x = (r, q, j) и x ; = (r ;, q ;, j ;) в сферических координатах, мы имеем
важная личность
1
|x;x ; |
=
;;
n=0
n;
m = ; n
(r ;) nY;m
n (q ;, j ;)
1
rn+1Ym
n (q, j)
для r ; r ;.
Далекое полевое представление
Предположите, что {yj = (r j, q j, jj)} исходные очки с расходами {f j} в поле
центрированный в происхождении. Давайте считать потенциал произведенным {yj} в очке
x = (r, q, j) в далеком поле (см. Рис. 14). Используя данную личность, мы добираемся
160 Л. Иинга
u (x) =;
j
Соль (x, yj) f j =
p
;
n=0
n;
m = ; n
;j
f jrnj
Y;m
n (q j, jj)
!
1
rn+1Ym
n (q, j) +O (e)
где p = журнал (1/ми), потому что |yj/x | <; 3/3. Мы определяем далекое полевое представление
будьте коэффициентами {
n, 0 ; n ; p, ;n ; м. ; n} данный
n = ;
j
f jrnj
Y;m
n (s j).
От этих коэффициентов {
n}, можно приблизить u (x) для любого x в далеком поле
эффективно.
Местное полевое представление
Предположите, что {yj = (r j, q j, jj)} исходные очки с расходами {f j} в далеком поле
из поля. Давайте считать потенциал произведенным {yj} в очке x в поле.
Мы предполагаем, что поле центрировано в происхождении (см. Рис. 15). После вышеупомянутого
личность, мы имеем в x
u (x) =;
j
Соль (x, yj) =
p
;
n=0
n
;
m = ; n
;j
f j
1
rn+1
k
Ym
n (q j, jj)
!
rnYm
n (q, j) +O (e)
где p = журнал (1/ми), потому что |x/yj | <;3/3. Мы определяем местное полевое представление
быть коэффициентами {си м.
n, 0 ; n ; p, ;n ; м. ; n} данный
си м.
n = ;
j
f j
1
rn+1
k
Ym
n (s j).
Это прозрачно что от этих коэффициентов {си м.
n}, можно приблизить u (x) для любого x
в поле эффективно.
Далекие-к-далекому, далекие-к-местному и местные-к-местному переводы
Подобный 2-ому случаю, у нас есть явные составы для этих трех переводов.
происхождение этих составов зависит в большой степени от специальных функциональных теорий. Мы указываем
к [16] для деталей.
И начиная с у далеких полевых и начиная с местных полевых представлений есть O (p2) коэффициенты, a
наивное выполнение этих переводов требует O (p4) операции, который является вполне
большой даже для умеренных значений p. Если мы смотрим на FMM тесно, мы обнаруживаем
то, что самый отнимающий много времени шаг должен исполнить далекие-к-местному переводы.
Это - то, вследствие того, что для каждого поля B может быть asmany как 63;33 =189 полей
в его списке взаимодействия. Для каждого из этих полей требуется далекий-к-местному перевод.
Поэтому, вычисления далеких-к-местному переводов с намного более низкой сложностью
императив для успеха трехмерного выполнения FMM.
В [9], Ченг и др. вводит очень эффективные пути к вычислениям этих переводов.
Для далеких-к-далекому и местных-к-местному переводов “очка и броска” метод
Быстрые Алгоритмы 161
используемый, чтобы уменьшить сложность от O (p4) к O (p3). Давайте рассматривать например
далекий-к-далекому перевод между дочерним полем B ; и его родительской Си. Основная идея - это
если оси Z сферических систем координат в Си ; и Си совпали, преобразование
от далекого полевого представления Си ; тем Си был бы вычислен в
O (p3) шаги. Поэтому, далекий-к-далекому перевод делится в три шага:
• "Вращайте" систему координат в Си ; так, чтобы ось Z указала центру
B. Далекое полевое представление в Си ; преобразовано соответственно. Этот шаг берет
O (p3) операции.
• Исполните далекий-к-далекому перевод с Си ; к Си во вращаемой системе координат.
Этот шаг берет O (p3) работа также.
• Наконец, "вращайте" систему координат в Си назад к оригинальной конфигурации
и преобразуйте далекое полевое представление в Си соответственно. Этот шаг берет O (p3)
операции также.
Для далекого-к-местному перевода основная идея состоит в том, чтобы использовать (показательную) плоскую волну
расширение, который diagonalizes далекий-к-местному перевод. Учитывая два wellseparated
поля A и Си, шаги
• Преобразуйте далекое полевое представление шести расширениям плоской волны, один для каждого
из этих шести направлений ±x, ±y, ±z. У этого шага есть O (p3) сложность.
• В зависимости от места съемок A используйте одно из шести расширений плоской волны к
вычислите далекий-к-местному перевод от Си до A. После этого шага, местного поля
представление в A сохранено в форме плоской волны. Начиная с расширения плоской волны
diagonalizes далекий-к-местному перевод, сложность этого шага
O (p2).
• Преобразуйте расширения плоской волны в задней части к местному полевому представлению.
Дайте обзор, что в есть также шесть расширений плоской волны для шести различных направлений.
Этот шаг берет O (p3) операции также.
Так как первый шаг - свободный художник целевого поля A, единственные потребности исполнить это
однажды для каждого поля B. То же самое - истина для последнего шага, как это - свободный художник
исходное поле B. С другой стороны, второй шаг, который можно назвать столько, сколько
189 раз для каждого поля, относительно дешево, поскольку его сложность - O (p2).
4 Свободных художника Косточки Быстрый Метод Многополюсника
FMMintroduced в предыдущем разделе очень эффективен все же довольно технический. Как
мы видели, и представления и переводы в трехмерном случае зависят в большой степени
на следствиях специальных функций и их происхождений совсем не тривиальны.
Лапласовское уравнение - только один из овальных PDEs с неколебательными косточками: другой
примеры включают, Топит уравнения, уравнение Navier, уравнение Yukawa
и так далее. Получение расширений и переводов для косточек этих уравнений
один за другим может быть утомительное задание. В этом разделе мы представляем свободного художника косточки
быстрый метод многополюсника, который обращается ко всем этим косточкам в объединенной структуре [27].
Некоторые из идей в этой структуре появились ранее в [1, 4].
162 Л. Иинга
Геометрическая партия свободного художника косточки быстрый метод многополюсника точно
то же самое как стандартный FMM. Следовательно, наше обсуждение сосредоточивается только на аналитическом
партия. Мы запустим с 2-ого случая и затем прокомментируем различие для трехмерного
случай.
4.1 2-ой случай
Далекое полевое представление
Давайте рассматривать простой эксперимент физики сначала (см. Рис. 19). Предположите, что Си
поле с радиусом r и что у нас есть ряд расходов {f j} в {yj} в Си. Они
расходы производят потенциал отличный от нуля в далеком поле. Теперь давайте помещать металлический круг
из радиуса ;2r вокруг этих расходов и соединяют этот металлический круг с основой.
В результате сбыт расхода, казалось бы, на этом металлическом круге уравновешивался бы
потенциальное поле, произведенное расходами в поле. Из-за линейности
проблема, мы видим, что потенциальное поле из-за расходов в поле может быть
воспроизведенный сбытом расхода на круге, если мы переворачиваем его знаком. Этот эксперимент
шоу, которые объем взимает в поле, могут быть заменены эквивалентом
появитесь сбыт расхода на круге, если Вы только интересуетесь потенциалом в
далекое поле.
Рис. 19. Существование эквивалентного сбыта расхода.
Естественный вопрос спросить, учитывая предписанную ми точности, сколько градусов
из свободы нужно описать эквивалентный сбыт расхода. Давайте вспоминать
то, что далекое полевое представление только необходимо для далекого поля. Это известно это
потенциал, произведенный высокочастотными режимами сбыта расхода на
круг вымирает очень быстро в далеком поле: это распадается как (;2/3) n для энного
режим. В результате мы только должны получить режимы низкой частоты расхода
сбыт. Наш раствор должен поместить O (log1/e) равномерно распределенные очки {иттербий, F
k} k на
круг. Эквивалентные расходы {f Си, F
k} k поддержанного в этих очках используется в качестве далекого
полевое представление (см. Рис. 20).
Быстрые Алгоритмы 163
Рис. 20. Эквивалентные расходы {f Си, F
k} k поля B.
Следующий вопрос состоит в том, как создать эквивалентные расходы {f Си, F
k} k. Один из
растворы должны выбрать большой круг радиуса (4 ;; 2) r, натура которого содержит
далекое поле Си. Если потенциальные поля, произведенные исходными расходами и {f Си, F
k} k
идентичны на этом круге, затем они должны соответствовать в далеком поле также из-за
уникальность внешней проблемы лапласовского уравнения. Основанный на этом соблюдении,
процедура построения {f Си, F
k} k состоит из двух шагов (см. Рис. 21).
• Выбранный игрок О (журнал (1/ми)) равномерно распределенные места съемок {xB, F
k} k на большом круге. Используйте косточку
оценка, чтобы вычислить потенциалы {uB, F
k} k в этих местах съемок, произведенных
расходы в Си.
• Инвертируйте матрицу взаимодействия между {иттербий, F
k} k и {xB, F
k} k, чтобы найти {f Си, F
k} k так, чтобы
они производят потенциалы {uB, F
k} k. Эта проблема инверсии могла бы быть плохо изложена,
таким образом, возможно, должен был бы упорядочить это с регуляризацией Тихонова [20].
Рис. 21. Конструкция эквивалентных расходов {f Си, F
k} k.
164 Л. Иинга
Местное полевое представление
Предположите, что A - поле с радиусом r и что у нас есть ряд расходов {f j} расположенный
в очках {yj} в далеком поле A. Представлять потенциальное поле, произведенное ими
расходы внутри A, мы сначала помещаем круг радиуса ;2r вокруг (см. следующий
число). Давайте назовем потенциал на круге полем потенциала проверки. От
свойство уникальности внутренней проблемы лапласовского уравнения, мы знаем это,
если мы в состоянии получить поле потенциала проверки, мы затем можем создать потенциал
всюду в поле.
Подобный случаю эквивалентного сбыта расхода, следующий вопрос состоит в том как
много градусов свободы мы должны представить поле потенциала проверки. Начиная с
потенциал произведен очками в далеком поле, это довольно гладко на круге как
богатые frequencymodes вымирают очень быстро. Поэтому, мы только нуждаемся в нескольких образцах к
получите поле потенциала проверки. Мы помещаем O (журнал (1/ми)) образцы {xA, Л
k} k на круге.
Потенциалы {uA, Л
k} k в этих местах съемок взят, чтобы быть местным полевым представлением.
Рис. 22. Потенциалы проверки {uA, Л
k} k поля B.
Чтобы восстановить потенциальную внутреннюю часть поле A от потенциалов проверки
{uA, Л
k k
круг радиуса (4 ;; 2) r вокруг поля A и соединяет это с основой. В результате
сбыт расхода, будет казаться, на большом круге будет отменять потенциальное произведенное поле
далеким полем взимает внутри A. Снова из-за линейности проблемы, нас
сбыт расхода на большом круге, если мы переворачиваем знаком поверхностного сбыта расхода.
Этот эксперимент показывает это, если можно найти соответствующий поверхностный расход
сбыт на большом круге, потенциальная внутренняя часть поле A может затем быть восстановлено.
Мотивируемый этим примером, мы предлагаем следующую процедуру, чтобы вычислить
потенциал в данном потенциалы проверки {uA, Л
k} k (см. Рис. 24).
пример в Рис. 23. Как прежде, расходы в}, мы сначала смотрим на
далекое поле A ставит потенциальное поле внутри A. Теперь давайте помещать большой металл
придите к заключению, что потенциал из-за расходов в далеком поле может быть воспроизведен
Быстрые Алгоритмы 165
Рис. 23. Существование эквивалентных расходов для местного полевого представления.
• Выбранный игрок О (журнал (1/ми)) очки {yA, Л
k} k на большом кольце. Инвертируйте матрицу взаимодействия
между {yA, Л
k} k и {xA, Л
k} k, чтобы найти расходы {f A, Л
k} k, которые ставят {uA, Л} k.
Эта инверсия могла бы быть плохо изложена, таким образом, возможно, должен был бы упорядочить ее с
Регуляризация Тихонова.
• Используйте оценку косточки, чтобы вычислить потенциальную внутреннюю часть использование расходов
{f A, Л
k} k.
Чтобы подвести итог, мы использовали эквивалентные расходы в качестве далекого полевого представления
и потенциалы проверки как местное полевое представление. Теперь давайте рассматривать
три перевода свободного художника косточки FMM.
Рис. 24. Оценка местного поля от потенциалов проверки {uA, Л
k} k.
166 Л. Иинга
Далекий-к-далекому перевод
Учитывая эквивалентные расходы дочернего поля B ;, далекий-к-далекому перевод вычисляет
эквивалентные расходы родительского поля B. Ситуация подобна конструкции
из эквивалентных расходов, который описан прежде, если Вы готовы рассмотреть
эквивалентные расходы Си ; как источник взимают в Си. Шаги этого перевода
:
• Используйте эквивалентные расходы {f Си ;, F
k} k как источник взимает, чтобы оценить потенциал
{uB, F
k} k в {xB, F
k} k (см. Рис. 25).
• Инвертируйте взаимодействие между {иттербий, F
k} k и {xB, F
k} k, чтобы найти эквивалентные расходы
{f Си, F
k} k. Этот шаг мог бы снова быть плохо изложен, таким образом, регуляризация Тихонова могла бы быть
необходимый.
Рис. 25. Далекий-к-далекому перевод.
Далекий-к-местному перевод
Учитывая эквивалентные расходы поля B, далекий-к-местному перевод преобразовывает их
к потенциалам проверки поля A в списке взаимодействия Си (см. следующее число).
Этот перевод особенно прост для свободного художника косточки FMM. Это состоит из
только одиночный шаг:
• Оцените потенциал {uA, Л
k} k использования эквивалентных расходов {f Си, F
k} k (см. Рис. 26).
Местный-к-местному перевод
Учитывая потенциалы проверки родительского поля A, местный-к-местному перевод преобразовывает
их к потенциалам проверки ее дочернего поля ;. Шаги местного-к-местному
перевод:
• Инвертируйте взаимодействие между {yA, Л
k} k и {xA, Л
k} k, чтобы найти эквивалентные расходы
{f A, Л
k} k, которые ставят потенциалы проверки {uA, Л
k} k (см. Рис. 27). Регуляризация Тихонова
вызван всякий раз, когда необходимый.
Быстрые Алгоритмы 167
Рис. 26. Далекий-к-местному перевод.
• Проверьте потенциалы {uA ;, Л
k} k затем вычислен, используя косточку evaluationwith {f A, Л
k} k
как исходные расходы.
Так как matrices, используемые в далеких-к-далекому и местных-к-местному переводах только, зависят
на размере полей их инверсии могут быть предварительно вычислены и сохранены. Поэтому,
свободный художник косточки алгоритм FMM только использует матричное векторное умножение
и оценки косточки. Эти общие рамки подходят не только для косточек PDE
такой как функции Грина лапласовского уравнения, Топит уравнения,
уравнение Navier и уравнение Yukawa, но также и для различных радиальных основных функций
после небольшой модификации.
4.2 Трехмерный случай
В трехмерном мы нуждаемся в O (p2) = O (log2 1/ми), указывает, чтобы представить эквивалентный сбыт расхода
и поле потенциала проверки. Если мы помещаем эти очки на сферу, три
переводы потребовали бы O (p4) операции. Это стойки та же самая проблема мы столкнулись
в обсуждении трехмерного алгоритма FMM.
Чтобы уменьшить эту сложность, мы хотим заменять сферу
граница поля. Это поле далее discretized с Декартовой сеткой и обоими
Рис. 27. Местный-к-местному перевод.
168 Л. Иинга
эквивалентные расходы и потенциалы проверки расположены в граничных точках
из Декартовой сетки. Основное преимущество выбора Декартовой сетки то, что
далекий-к-местному перевод, который является наиболее часто используемым шагом, становится дискретным
действующая компания скручивания начиная с функции Грина основного PDE - перевод
инвариант. Это дискретное скручивание может быть ускорено, используя стандартный FFT
методы, и имеющая результатом сложность этих действующих компаний перевода уменьшены
к O (p3 регистрируют p).
5 Иерархических Matrices
Давайте вспоминать вычислительную проблему, с которой мы сталкиваемся в каждом шаге повторяющегося
раствор. Данный ряд расходов {fi, 1 ; i ; N} расположенный в очках {пи, 1 ; i ; N} (см. Рис. 28) и функциональная Соль Грина (x, y) лапласовского уравнения, мы хотим к
вычислите в каждом пи потенциал
ui =
N;
j=1
Соль (пи, pj) f j.
Из обсуждения выше, мы знаем это, если два набора A и Си разделены от углубления,
Соль взаимодействия взаимодействия (x, y) для x ; A и y ; Си является приблизительно низким чином.
иерархическая матричная структура помещает это соблюдение в алгебраическую форму. Наше представление
в этом разделе совсем не полно, и мы обращаемся к [6] для всестороннего
обслуживание.
Рис. 28. Сбыт очков квадратуры {пи} на границе домена D.
5.1 Конструкция
Давайте рассматривать следующий простой пример, где домен D является 2-ым диском.
граница ¶D подразделена на иерархическую структуру, таким образом что каждый внутренний узел
имеет два дочерних элемента, и каждый лист содержит O (1) очки в {пи}.
Быстрые Алгоритмы 169
Вначале уровень, ¶D делится в с 4 большими частями программы (см. следующий
число). Некоторые пары (например, A и B) разделены от углубления. Предположите очки
{пи} упорядочено согласно их позициям на круге. В результате взаимодействие
от Си до A соответствует подкварталу полной матрицы взаимодействия
G = (Соль (пи, pj)) 1;i, j;N. Начиная со взаимодействия между Си и A приблизительно низко
чин, этот подквартал может быть представлен в низком чине сжатая форма. Все подкварталы
на этом уровне, у которых есть сжатые формы низкого чина, покрашены в сером (см.
Рис. 29).
Рис. 29. Оставленный: две разделенных от углубления партии на втором уровне иерархической партитуры. В
матричная форма, взаимодействие между ними соответствует недиагональному подкварталу. Право: все
кварталы, которые соответствуют разделенным от углубления партиям на этом уровне.
Чтобы рассмотреть взаимодействие между Си и ее соседями, мы спускаемся
к следующему уровню. Предположите, что Си ; является дочерним элементом Си. Подобный случаю FMM,
взаимодействие между Си ; и далеким полем Си уже заботилось о в предыдущем
уровень. Мы теперь должны рассмотреть взаимодействие между Си ; и частями программы, которые являются
в далеком поле Си ;, но не далеком поле Си. Есть только O (1) части программы в этом
область (покрашенный в сером также) и ; является одним из них. Как Си ; и ; теперь wellseparated,
взаимодействие от Си ; к ; является приблизительно низким чином. Поэтому,
подквартал, который соответствует этому взаимодействию, может быть сохранен в низком сжатом чине
форма. Все подкварталы на этом уровне, у которых есть сжатые формы низкого чина,
снова покрашенный в сером (см. Рис. 30).
Мы спускаемся по одному уровню далее, чтобы обратиться к взаимодействию между Си ; и ее соседями.
По той же самой причине Си ;; (дочерний элемент Си ;) имеет только O (1) части программы в ее далеком поле
но не в Си ;’s далекое поле. Подкварталы, которые соответствуют взаимодействию между
Си ;; и эти части программы может быть сохранена в сжатых формах низкого чина (см. Рис. 31).
Предположите теперь, когда Си ;; является также листовой частью программы. Начиная со взаимодействия между Си ;; и
его смежные части программы - не обязательно низкий чин, соответствие подкварталов
эти взаимодействия сохранены плотно. Давание обзор, что каждая листовая часть программы содержит только
O (1) очки, партия Соль, которая требует плотного хранения, является O (N).
170 Л. Иинга
Рис. 30. На третьем уровне.
От этого простого примера мы видим, что иерархическая матричная структура - a
способ делить полную матрицу взаимодействия в подкварталы, основанные на иерархическом
подразделение очков. Недиагональные кварталы иерархической матрицы сжаты
в низких формах чина, в то время как диагональ и кварталы рядом с диагональю
сохраненный плотно.
Естественный вопрос в этом очке - какой низкий чин прессованная форма каждый должен
используйте, чтобы представить недиагональные кварталы. Первый ответ должен создать из этих offdiagonal
кварталы сначала и затем исполняют усеченное сингулярное разложение
(SVD), чтобы сжать их. Имеющая результатом форма дает лучшее сжатие для предписанного
ми точности как сингулярное разложение оптимальна в сжатии
matrices. Однако, есть два главных недостатка. Во-первых, SVD обычно требует
один, чтобы создать недиагональные кварталы сначала, который стоит, по крайней мере, O (N2) операции.
Во-вторых, так как исключительные векторы следовали из SVD, не непосредственно
связанный с векторами подкварталов Соль, хранение этих векторов требует большого количества из
место в памяти. Чтобы преодолеть эти две проблемы, мы обращаемся к нескольким другим методам.
Рис. 31. На четвертом уровне.
Быстрые Алгоритмы 171
Рис. 32. Расширение Тэйлора приближается для того, чтобы создать низкие представления чина между два
разделенные партии A и Си.
Расширение Тэйлора
Предположите, что приблизительно и cB должен быть центр частей программы A и Си соответственно (см.
Рис. 32). От усеченного расширения Тэйлора мы имеем
Соль (x, y) = ;
|a | <p
1
a!
¶ a
x Соль (приблизительно, y) (x;cA) +O (e) (25)
где мультииндексирования и p =O (журнал (1/ми)). В этом происхождении мы использовали факты
это
¶aG (приблизительно, y) ;
1
|y;cA || |
и |x;cA |
|y;cA | ;
;2/3.
Это разложение на множители предоставляет нам прессованную форму чина O (фунт).
Есть два недостатка этого подхода. Во-первых, для сложных косточек,
¶ a
x Соль (x, y) не легко получить. Даже для фундаментального раствора лапласовского
уравнение, это совсем не тривиально для большого a. Во-вторых, расширение Тэйлора не делает подвига
специальная структура косточки. Поэтому, у имеющего результатом расширения есть O (фунт)
условия, где d = 2,3 является измерением проблемы. Это - довольно расточительное сравнение
к O (pd;1) коэффициенты используется в FMM.
Интерполяция результата тензора
В этом подходе мы выбираем Декартову сетку, чтобы закрыть, один из домена (скажите A).
Декартова сетка - результат тензора d одномерных сеток, каждая из которых содержит
pth упорядочивают очки Чебышева на закрытом антракте где p = O (журнал (1/ми)). Предположить
это {ай} - эти узлы решетки. Так как Соль (x, y) гладка для x ; A и y ; Си когда A
и Си разделена от углубления, мы имеем
Соль (x, y) =;
я
Соль (ай, y) LAi
(x) +O (e) (26)
где {LAi
(x)} d-dimensional Lagrange interpolants сетки {ай} по A.
Точно так же мы выбираем сетку, чтобы покрыть Си вместо A. Позвольте {bj} быть узлами решетки. Для
та же самая причина, мы имеем
Соль (x, y) =;
j
Соль (x, bj) LBj
(y) +O (e) (27)
172 Л. Иинга
где {LBj
(y)} d-dimensional Lagrange interpolants сетки {bj} по Си. Один
может также хотеть покрывать и A и Си с Декартовыми сетками. В этом случае мы имеем
Соль (x, y) =;
я
;j
LAi
(x) Соль (ай, bj) LBj
(y) +O (e). (28)
Этот подход интерполяции результата тензора (иллюстрированный в Рис. 33) является довольно общим
так как это только использует оценку косточки. Однако, подобный расширению Тэйлора
подход, это использует O (фунт) условия, который более чем необходим.
Рис. 33. Интерполяция результата тензора приближается для того, чтобы создать низкие представления чина
между двумя разделенными партиями A и Си.
Псевдоскелетон или перекрестное приближение
Предположите {xi, я, что I} и {yj, j ; J} наборы очка в A и Си соответственно. В нашем
установка, они - подмножества {пи}. Мы будем использовать GI, J, чтобы обозначить подквартал Соль это
соответствует взаимодействию от Си до A. Начиная с матричного GI J приблизительно
низкий чин, там существуйте несколько столбцов GI, J, которые охватывают его пространство столбца. Точно так же
там существуйте несколько строк Соль, которые охватывают ее пространство строки также. Идея позади псевдоскелетона
приближение (или перекрестное приближение) должны найти эти столбцы и строки
и используйте их в прессованном представлении. Предположите, что эти столбцы переписываются
к очкам {yj, j ; L;J}, в то время как эти строки соответствуют очкам {xi, я ; K ;I}.
Приближение псевдоскелетона [14] является разложением на множители матричного GI, J в
следующая форма:
GI, J = GI, LMGK, J +O (e) (29)
где GI, Л является подматрицей GI, J, который содержит столбцы очков {yj, j ; Л}, в то время как вратарь, J является подматрицей GI, J, который содержит строки очков {xi, я ; K} (см.
Рис. 34).
Severalmethods были предложены, чтобы создать такое приближение псевдоскелетона
для GI, Дж. Аппроэчеса для того, чтобы выбрать наборы {xi, я ; K} и {yj, j ; Л} включают
жадные методы, адаптивные методы, и случайные методы дискретизации по времени (см. [6] для
детали). Средний матричный М. часто вычисляется, используя методы наименьшего квадрата.
Быстрые Алгоритмы 173
Рис. 34. Подход псевдоскелетона для того, чтобы создать низкие представления чина между два
разделенные партии A и Си.
5.2 Иерархическая матричная арифметика
Так как hierarchicalmatrix структура - алгебраический подход, возможно определить
матричная арифметика (добавление, умножение и инверсия) для иерархического
matrices. Здесь, мы обсуждаем эти операции кратко.
Добавление
Учитывая два иерархических matrices A и Си с той же самой иерархической структурой, нами
ищите иерархическую матричную До, таким образом что До ; A+B. И начиная с у A и начиная с Си есть то же самое
структура, мы можем исполнить квартал добавления кварталом. Предположите, что P, Q и R
кварталы A, Си и До в том же самом месте съемок. Есть два случая, чтобы рассмотреть. В
первый случай, P и Q - оба плотные кварталы. Затем R - просто сумма P и Q.
Во втором случае и P и Q сохранены в прессованной форме. Позвольте нам далее
примите это P = P1Pt
2
и Q = Q1Qt
2
где P1, P2, Q1 и Q2 - высокий matrices. Затем
мы имеем
R =
;;
P1 Q1
;;
P2 Q2
t.
matrices
;;
P1 Q1
и
;;
P2 Q2
t
далее сжаты, используя вертевшийся QR
разложение на множители и SVD.
Умножение
Учитывая два иерархических matrices A и Си с той же самой иерархической структурой, нами
иерархический matrices подобен тому для квартала matrices. Основной шаг к
умножьтесь два, блокируют matrices P и Q. Есть четыре различных случая, чтобы рассмотреть. В
первый случай, и P и Q сохранен в низком чине сжатая форма, говорит P = P1Pt
2
и Q = Q1Qt
2
. Затем
PQ = P1 (Пинта
2Q1) Кварта
2.
Во втором случае P находится в низком P формы чина = P1Pt
2
в то время как Q находится все еще в a
иерархическая форма. Без поражения общности мы принимаем
ищите иерархическую матричную До, таким образом что До ; АВ. Алгоритм умножения для
174 Л. Иинга
Q =
Q1 Q2
Q3 Q4
.
Разделяя Пинту
2
в
Пинта
2 =
;;
Пинта
2,1 Пинты
2,2
,
мы можем вычислить PQ как
PQ = P1
;;
Пинта
2,1 Пинты
2,2
Q1 Q2
Q3 Q4
.
где умножение в круглых скобках вынесено рекурсивно.
В третьем случае P находится в иерархической форме, в то время как Q находится в низкой форме чина
Q = Q1Qt
2
. Давайте принимать это
P =
P1 P2
P3 P4
.
Разделяя Q1 на
Q1 =
Q1,1
Q1,2
,
мы можем вычислить PQ как
PQ =
P1 P2
P3 P4
Q1,1
Q1,2
Кварта
2.
где умножение в круглых скобках вынесено рекурсивно.
В последнем случае и P и Q находятся в иерархической форме. Мы затем обращаемся к
алгоритм умножения блочной матрицы и уменьшает свое умножение до первых трех
случаи.
Инверсия
Учитывая иерархическую матрицу A, мы хотим вычислить иерархическую матричную До такой
та До ; A;1. Раствор должен просто применить версию блочной матрицы ЛЮТЕЦИЯ
разложение на множители. Добавление Regularmatrix andmultiplication операции теперь заменено
с теми иерархического matrices, описанного выше.
6 Небольших волн Основанные Методы
В этом разделе мы считаем еще один подход к той же самой проблеме обсужденным
в предыдущих разделах. Данный ряд расходов {f j, 1 ; i ; N} расположенный в очках
{пи, 1 ; i ; N} (см. следующее число), и функциональная Соль Грина (x, y)
Лапласовское уравнение, мы хотим вычислить в каждом пи
ui =
N;
j=1
Соль (пи, pj) f j.
Быстрые Алгоритмы 175
Наше обсуждение в этом разделе сосредотачивается на 2-ом случае. Предположите что граница ¶D
параметризуется периодической функциональной соль () для s ; [0,1]. Матричная Соль с записями
Соль (пи, pj) может быть рассмотрена как соответственно выбранное изображение непрерывного периодического
2-ая функциональная Соль (соль (), соль (t)). Это изображение гладко кроме в диагонали где s = t
(см. Рис. 35).
Рис. 35. Оставленный: сбыт очков квадратуры {пи} на границе домена Д. Райт:
качественное описание 2-ой функциональной Соль (соль (), соль (t)).
Наша комплексная сделка состоит в том, чтобы найти лучший способ сжать эту матрицу и затем видеть ли
сжатие может помочь нашей вычислительной проблеме. Представление этого раздела
следует [3].
6.1 Сжатие небольшой волны
Один хороший способ сжать такое изображение состоит в том, чтобы использовать 2-ые небольшие волны. Давайте запустим наш
обсуждение с 1D небольшие волны на модуле периодический антракт. Следующее обсуждение
о небольших волнах довольно кратки, и мы отсылаем читателей к [12, 21] для подробного
возношение. Предположите, что j - индексирование уровня, и k является пространственным, индексируют.
масштабирующиеся функции анализа небольшой волны масштабируются и смещенные копии матери
масштабирование функции j (x):
{jj, k (x): = 2;j/2j (2;jx;k)} ; ; <j;0,0;k <2;j
Точно так же функции небольшой волны масштабируются и смещенные версии небольшой волны матери
функционируйте y (x):
{yj, k (x): = 2;j/2y (2;jx;k)} ; ; <j;0,0;k <2;j.
Давайте предполагать, что наши небольшие волны являются ортогональными и сжато поддержанными. Поэтому,
у небольшой волны или масштабирующейся функции в масштабе jth есть поддержка размера O (2j). Из-за
условие ортогональности, масштабирующаяся функция на 0th уровне j0,0 и небольшие волны
176 Л. Иинга
{yj, k} ; ; <j;0,0;k <2;j творит ортогональное основание L2 ([0,1]).We далее принимают это
у наших небольших волн есть М. исчезающих моментов, то есть,
Z
y (x) xmdx = 0, м. = 0,1, ···, M;1
2-ые небольшие волны созданы из 1D небольшие волны, используя конструкцию результата тензора.
2-ая небольшая волна orthobasis содержит следующие функции
j0, (0,0) (s, t): =j0,0 (s) j0,0 (t),
{y1
j, (k1, k2) (s, t): =jj, k1 (s) yj, k2 (t)} ; ; <j <0,0;k1, k2 <2;j,
{y2
j, (k1, k2) (s, t): =yj, k1 (s) jj, k2 (t)} ; ; <j <0,0;k1, k2 <2;j,
{y3
j, (k1, k2) (s, t): =yj, k1 (s) yj, k2 (t)} ; ; <j <0,0;k1, k2 <2;j.
Мы теперь передаем преступление небольшой волны: вместо того, чтобы изучить, как дискретное изображение
Соль сжата дискретной 2-ой небольшой волной, преобразовывают, мы изучаем коэффициенты небольшой волны
из непрерывной функциональной Соль (соль (), соль (t)) связывался с первыми элементами N2
orthobasis:
j0, (0,0),
{y1
j, (k1, k2)} ;log2 N+1;j;0,0;k <2;j,
{y2
j, (k1, k2)} ;log2 N+1;j;0,0;k <2;j,
{y3
j, (k1, k2)} ;log2 N+1;j;0,0;k <2;j
Так как особенность находится только на диагонали, мы только должны сосредоточиться на ее ржании -
Соль (соль (), соль (t)), чтобы быть ln|s;t |.
Сначала давайте оценим коэффициенты первого вида небольших волн {y1
j, (k1, k2)}. Предположить
y1
j, (k1, k2) = jj, k1 (s) yj, k2 (t) и эти два компонента jj, k1 (·) и yj, k2 (·) иметь
ZZ
y1
j, (k1, k2) (s, t) ln|s;t|dsdt
=
Z Z
jj, k1 (s) yj, k2 (t) ln|s;t|dsdt
;
Z
|jj, k1 (s) |
Z
yj, k2 (t) ln|s;t|dt
ds
;
Z
|jj, k1 (s) |
max
s;supp (j j, k1), t;supp (yj, k2)
2jM
|s;t|M ·
Z
yj, k2 (t) dt
!
ds
; До · max
s;supp (j j, k1), t;supp (yj, k2)
2j (M+1)
|s;t|M
; До · max
s;supp (j j, k1), t;supp (yj, k2)
2jM
|s;t|M
borhood. Около диагонали у Соль косточки (соль (), соль (t)) = ln|g (s) ;g (t) | есть то же самое
поведение особенности как ln|s;t |. Поэтому, мы можем просто взять 2-ую функцию
неналожение поддержек. Так как у наших небольших волн есть М. исчезающих моментов, мы добираемся
Быстрые Алгоритмы 177
для некоторой постоянной До. Здесь мы используем факт это j ; 0. Для ми заданной точности мы устанавливаем
Си, чтобы быть (1/ми) 1/м. Предположите, что поддержка jj, k1 (s) и yj, k2 (t) разделена так
та минута
s;supp (j j, k1), t;supp (yj, k2) |s;t | ; Си · 2j, затем
ZZ
y1
j, (k1, k2) (s, t) ln (|s;t |) dsdt = O (B;M) = O (e),
который незначителен.
Теперь давайте посчитаем число ненезначительных коэффициентов. Для уровня затруднительного положения j и
неподвижное индексирует k2, число указателей k1 таким образом что
минута
s;supp (j j, k1), t;supp (yj, k2) |s;t | ; Си · 2j
O (B). Поэтому, для неподвижного j и неподвижного k2, есть в большинстве O (B) небольшие волны
{y1
j, (k1, k2) (s, t)}, чьи внутренние productswith косточка больше чем ми. Тот же самый argumentworks
для других двух видов небольших волн {y2
j, (k1, k2) (s, t)} и {y3
j, (k1, k2) (s, t)}
потому что они все содержат 1D небольшие волны (или в переменной s или в t). В результате там
O (3 · 2;j · B) ненезначительные коэффициенты на каждом уровне j. Подведение итогов этого по всем
уровни log2N, мы имеем всего
0
;
j = ; log2N+1
O (3 · 2;j · B) = O (Си · N) = O (N)
ненезначительные коэффициенты.
Чтобы вычислить O (N) ненезначительные коэффициенты, мы сначала даем обзор этого
каждая небольшая волна или масштабирующий функцию может быть представлена как сумма небольшого числа
из масштабирующихся функций следующего уровня. Поэтому, все, что мы должны вычислить, является внутренним
результат функции с масштабирующейся функцией. Давайте полагать 1D случай иллюстрировать
идея.
Z
f (x) jj, k (x) дуплекс = 2;j/2
Z
f (x) j (2;jx;k+1) дуплекс
= 2;j/2
Z
f (x+2j (k;1)) j (2;jx) дуплекс
Давайте предполагать, что для некоторой ТМ наши функции масштабирования удовлетворяют
Z
j (x+tM) xmdx = 0, м. = 1, ···, M;1 и
Z
j (x) дуплекс = 1.
Масштабирующиеся функции с этими свойствами были созданы в [3]. Со справкой
из этих свойств мы имеем
2;j/2
Z
f (x+2j (k;1)) j (2;jx) дуплекс ; 2j/2 f (2j (k;1+tM)) +O (2j (M+1/2))
где последнее уравнение использует только одну квадратуру очка f.
178 Л. Иинга
Чтобы подвести итог, у нас теперь есть следующее приближение
Соль (соль (), соль (t)) =
O (N)
;
i=1
cihi (s, t) +O (e) (30)
где привет (s, t) = h1
я (s) h2
я (t) являюсь 2-ой небольшой волной с ненезначительным коэффициентом ci для
каждый я. Это приближение называют нестандартной формой Beylkin, Coifman и
Rokhlin. Если мы графически изображаем поддержек небольших волн с ненезначительными коэффициентами,
число очень походит на тот из иерархического matrices (см. Рис. 36).
Рис. 36. Поддержки ненезначительных условий в нестандартной форме.
6.2 Быстрое матричное векторное умножение
Мы до сих пор сосредотачивались на сжатии матрица косточки с 2-ой небольшой волной
основание. Давайте обсуждать, почему это дает нам быстрый матричный векторный алгоритм умножения.
Используя нестандартную форму матрицы косточки, мы имеем
Z
Соль (соль (), соль (t)) f (t) dt ;
O (N)
;
i=1
Z
cihi (s, t) f (t) dt
=
O (N)
;
i=1
Z
cih1
я (s) h2
я (t) f (t) dt
=
O (N)
;
i=1
h1
я (s) ·
ci
Z
h2
я (t) f (t) dt
где {h1
я (s)} и {h1
я (t)} являюсь или небольшими волнами или масштабирующимися функциями в 1D.We отзыв
то, что быстрая небольшая волна преобразовывает, ставит в ее промежуточных шагах внутренние результаты
Быстрые Алгоритмы 179
входная функция со всеми масштабирующимися функциями и небольшими волнами. Поэтому, условия
{
R
h2
я (t) f (t) dt} для всего, я могу быть вычислен, используя одиночную быструю небольшую волну, преобразовываю
хранение всех промежуточных результатов.
Основанный на этом простом соблюдении, небольшая волна базировала быстрое матричное умножение
у алгоритма есть следующие шаги:
• Вычислите {ай =
R
h2
я (t) f (t) dt} использование быстрой небольшой волны преобразовываю, сохраняя все
промежуточные результаты. Сложность этого шага - O (N).
• Вычислите {bi = ciai}. Этот шаг берет только O (N) операции.
• Синтезируйте ;ih1
я (s) bi использование расширенной быстрой небольшой волны преобразовываю. Это преобразование
расширен в том смысле, что это включает не только коэффициенты небольшой волны, но также и
масштабирующиеся функциональные коэффициенты начиная с части из {h1
я (s)} масштабирую функции.
сложность этого шага снова O (N).
В результате полная сложность - O (N), который является тем же самым как FMM. Прежде, чем мы
закончите этот раздел, давайте подводить итог, основные идеи позади небольшой волны базировали метод
• Рассмотрите матрицу взаимодействия как изображение. Так как особенность только приезжает
диагональ, хорошее сжатие с O (N) ненезначительные коэффициенты может быть
достигнутые использующие 2-ые небольшие волны.
• Конструкция результата тензора 2-ых небольших волн позволяет использовать 1D быстро
небольшая волна transformto computematrix vectormultiplication в оптимальное время O (N).
7 Высокочастотных FMM для Косточки Helmholtz
В остальных два раздела этой вещи мы обсуждаем вычисление колебательного
косточка уравнения Helmholtz в трехмерном случае.
;Du;k2u = 0 в Резерфорде \; D.
Сначала давайте повторно масштабировать геометрию так, чтобы k был равен 1. Уравнение затем становится
;Du;u = 0 в Резерфорде \; D.
Мы сталкиваемся со следующей проблемой в каждом шаге повторяющегося solver. Данный ряд
расходы {fi, 1 ; i ; N} расположенный в очках {пи, 1 ; i ; N} и функция Грина
Соль (x, y) = h0 (|x;y |) =
exp (i|x;y |)
i|x;y |
из косточки Helmholtz (до постоянного множителя), мы хотим вычислить в каждом пи
ui =;
j
Соль (пи, pj) f j (31)
(см. Рис. 37).
В этом разделе мы представляем высокочастотный FMM (ПОЛОВИНА-FMM) Rokhlin и
al. [25, 26, 8], который вычисляет весь {ui} в O (NlogN) время. Предположите что размер
180 Л. Иинга
Рис. 37. Сбыт очков квадратуры {пи} на границе домена D.
объект - K длин волны. Так как каждый обычно использует постоянное число очков за
длина волны в большинстве посыпающих приложений, N = O (K2).
Для двух очков x = (r, q, j) и x ; = (r ;, q ;, j ;) в сферических координатах, мы имеем
следующая важная личность:
Соль (x, x ;) = h0 (|x;x ; |) =
;;
n=0
n
;
m = ; n
Y;m
n (q ;, j ;) jn (r ;) Ym
n (q, j) hn (r)
когда r> r ;.
Далекое полевое представление
Предположите, что ряд взимает {f j}, расположены в {yj = (r j, q j, jj)} в поле
центрированный в происхождении. Давайте считать потенциал произведенным {y j} в очке
x = (r, q, j) в далеком поле (см. Рис. 38). Используя личность, только упомянутую, мы имеем
u (x) =;
j
Соль (x, yj) f j =
p
;
n=0
n
;
m = ; n
;j
f jY;m
n (q j, jj) jn (r j)
!
Ym
n (q, j) hn (r) + ···
где p управляет числом условий, чтобы сохранить в расширении, и мы прибудем
отступите к этому позже. Далекое полевое представление определено, чтобы быть коэффициентами {
n} данный
n = ;
j
f jY;m
n (q j, jj) jn (r j). (32)
Это представление также называют h-расширением (см. [8]).
Местное полевое представление
Предположите, что ряд взимает {f j}, расположены в {yj = (r j, q j, jj)} в далеком поле
поле. Давайте считать потенциал произведенным {yj} в очке x = (r, q, j) внутри
Быстрые Алгоритмы 181
Рис. 38. Далекое полевое представление.
поле (см. Рис. 39). Мы предполагаем снова, что центр поля в происхождении.
От личности, данной выше, мы имеем
u (x) =;
j
Соль (x, yj) f j =
p
;
n=0
n
;
m = ; n
;j
f jYm
n (q j, jj) hn (r j)
!
Y;m
n (q, j) jn (r) + ···.
Местное полевое представление определено, чтобы быть {си м.
n} данный
си м.
n = ;
j
f jYm
n (q j, jj) hn (r j). (33)
Это представление называют j-расширением.
Первый вопрос, к которому мы должны обратиться, состоит в том тем, что является значением p, то есть, сколько
условия, чтобы сохранить в этих двух расширениях для предписанной ми точности. Для поля с
u (x) =
;;
n=0
n
;
m = ; n
;j
f jY;m
n (q j, jj) jn (r j)
!
Ym
n (q, j) hn (r)
Рис. 39. Местное полевое представление.
радиус R, энный термин h-расширения
182 Л. Иинга
ведет себя как hn (3R) jn (;3R). Этот результат только распадается когда n ; 3R. Чтобы к
получите точное расширение, мы нашпигованы, чтобы выбрать p = O (R) и сохранить все условия для
n = 0,1, ···, p, ;n ; м. ; n. Поэтому, число коэффициентов в h-расширении
O (R2). То же самое - также истина для j-расширения. Давайте вспоминать, что очко установило
{пи} распределено на пограничной поверхности ¶D. Не трудно видеть, что есть
O (R2) указывает в поле с радиусом R также. Это означает что от информации
теоретическая точка зрения, нет никакого сжатия вообще, когда каждый преобразовывает
расходы {f j} к коэффициентам h-расширения {
n}.
Когда радиус поля R - O (1), h-расширение и j-расширение оба
имейте сложность O (1). Поэтому, все еще разумно использовать их в качестве далекого поля и
местные полевые представления. Далекие-к-далекому, далекие-к-местному, и местные-к-местному переводы
очень подобны случаю трехмерной лапласовской косточки:
• Далекие-к-далекому и местные-к-местному переводы. “Очко и бросок” подход используются.
Сложность сокращена от O (p4) к O (p3) если число условий в
h-расширение - O (p2).
• Далекий-к-местному перевод. Плоская волна (показательное) расширение привыкла к diagonalize
далекий-к-местному перевод. Перевод между h-расширением (или
j-расширение), и расширение плоской волны берет O (p3) операции, в то время как
2
Для больших полей, для examplewhen R=O (K), ситуация решительно отличается.
Число условий в h-расширении или j-расширении равно O (R2) =
O (K2). В результате сложность этих трех переводов - O (R3) = O (K3) =
O (N3/2), который уже выше чем O (N logN) сложность, к которой мы стремимся.
Раствор к этой проблеме, так называемому высокочастотному быстрому методу многополюсника
(ПОЛОВИНА-FMM), должен представить h расширение и j расширение в форме, таким образом что
далекие-к-далекому, далекие-к-местному, и местные-к-местному переводы - весь diagonalized.
Далекая полевая подпись
Для h-расширения мы преобразовываем его коэффициенты {
n} к
f (q, j): =
p
;
n=0
n;
m = ; n
n (;1) n+1Ym
n (q, j).
Эта функция - фактически далекая полевая подпись потенциала
u (x) =
p
;
n=0
n;
m = ; n
n Ym
n (q, j) hn (r)
где x = (r, q, j). Подобный, для j-расширения, мы преобразовываем его коэффициенты {си м.
n} к
соль (q, j): =
p
;
n=0
n
;
m = ; n
си м.
n (;1) n+1Ym
n (q, j).
Эта функция, которая также вызвана далекая полевая подпись, может быть рассмотрена как источник
сбыт на сфере модуля, которая воспроизводит потенциальную внутреннюю часть поле если один
каждый далекий-к-местному перевод в расширении плоской волны использует только O (p) шаги.
Быстрые Алгоритмы 183
и соль (q, j). Мы обращаемся к [8, 10, 24] для составов этих переводов.
В алгоритме ПОЛОВИНЫ-FMM octree разделен на низкую частоту и высокую частоту
радиус <1, в то время как у полей в высокочастотном режиме есть радиус ; 1. hexpansion
и j-расширение служит далекими полевыми и местными полевыми представлениями в
режим низкой частоты, в то время как далекие полевые подписи f (q, j) и соль (q, j)
представления в высокочастотном режиме. Выключатель представлений появляется
в полях с радиусом ; 1.
Мы хотели бы прокомментировать, что далекие полевые подписи f (q, j) и соль (q, j) не могут
используйтесь для поля низкой частоты с радиусом r <1. Причина состоит в том что далекое-tolocal
перевод далеких полевых подписей вовлекает чрезвычайно большой numberswhen
поле является слишком маленьким. Поэтому, учитывая неподвижную точность вычисления и предписанного
ми точности, можно только использовать далекие полевые подписи на достаточно больших полях в
порядок избежать числовой неустойчивости. Полная структура алгоритма ПОЛОВИНЫ-FMM
показан в Рис. 40.
Рис. 40. Полная структура алгоритма ПОЛОВИНЫ-FMM.
Большая часть вычисления ПОЛОВИНЫ-FMM посвящена высокочастотному режиму,
в то время как вычисление в режиме низкой частоты подобно тому трехмерного
Лапласовская косточка. Так как набор очка {пи} выбран fromthe двумерная граница
¶D, есть O ((K/r) 2) поля с неподвижным радиусом r. Для каждого из них, вычисления
вовлекает далекие-к-далекому, далекие-к-местному и местные-к-местному переводы. Начиная со всех
эти переводы - diagonalized, у каждого из них есть сложность O (r2). Поэтому,
число операций, потраченных на поля с радиусом r, является O ((K/r) 2) · O (r2) =
O (K2). Суммируя это по всему logK уровню, мы приходим к заключению что сложность
ПОЛОВИНА-FMM
O (K2 logK) = O (N logN).
продвигает радиус сферы к бесконечности и повторно масштабирует исходный сбыт approregimes.
В типичном случае режим низкой частоты содержит все поля с
priately. Все три перевода - diagonalized в далеких полевых подписях f (q, j)
184 Л. Иинга
8 Мультинаправленных Методов
Посредством нашего обсуждения быстрых алгоритмов для лапласовского уравнения мы видим это
у взаимодействия между Си домена и ее далеким полем есть низкий чин разделения, который является
почти свободный художник размера Си. Это низкое свойство чина играло основной тон
роль в быстром методе многополюсника, его разновидности свободного художника косточки, и иерархическом
матричная структура.
Поскольку мы видели от предыдущего раздела, ситуация вполне противоположна для
Уравнение Helmholtz. Предположите, что Си - домен, таким образом, что его радиус намного больше
чем длина волны. Взаимодействие между Си и ее далеким полем (см. Рис. 41), через
косточка Helmholtz
Соль (x, y) = h0 (|x;y |) =
exp (i|x;y |)
i|x;y |
не низкий чин больше. Фактически, чин пропорционален площади радиуса
из Си. Естественный вопрос спросить является этим, возможно ли возвратить низкий чин
Рис. 41. Взаимодействие между Си и ее далеким полевым полным пансионом не низкий чин для косточки Helmholtz.
побуждение позади мультинаправленного алгоритма недавно развилось в [13].
Направленное параболическое разделение
2 r
8.1 Анализ
Давайте запустим, рассматривая геометрическую конфигурацию в Рис. 42. Предположите, что Си - a
домен с радиусом r. Кусок A, у которого есть открывающийся угол O (1/r), в disproperty
в установке косточки Helmholtz. Ответ положителен, и это
tance или больше от Си. Всякий раз, когда два набора A и Си следуют за этой геометрической конфигурацией,
мы говорим, что они удовлетворяют направленное параболическое условие разделения.
Быстрые Алгоритмы 185
Рис. 42. Направленное параболическое разделенное условие.
Теорема 5. Предположите, что Си и A удовлетворяют направленное параболическое условие разделения.
Затем там существуйте целое число T (e) и два набора функций {ай (x), 1 ; i ; T (e)} и {bi (y), 1 ; i ; T (e)} таким образом что, для любого x ; A и y ; Си
exp (i|x;y |)
i|x;y | ;
T (e)
;
i=1
ай (x) bi (y)
<ми
где число условий T (e) расширения является свободным художником радиуса Си.
Основная идея позади этой теоремы довольно проста, и не трудно видеть почему это
может работать. В куске A, излучение, произведенное очками в Си, смотрит почти как
плоская волна начиная с открывающегося угла куска A обратно пропорционально пропорциональна
радиус Си. После того, как каждый выносит плоскую волну за скобки (у которого непосредственно есть чин 1 разделенный
представление), остальная часть взаимодействия гладка и следовательно имеет приблизительное
низко оцените разделенное представление.
Конструкция {ай (x)} и {bi (y)} подобна подходу псевдоскелетона
обсужденный в иерархической матричной структуре. Практически, следующий
рандомизированная процедура работает вполне хорошо.
• Беспорядочно произведите выборку Си набора, чтобы найти позиции {беккерель} таким образом что функции
{Соль (x, беккерель)} q охватывают пространство функций {Соль (x, y)} y в пределах предписанной точности
e.
• Беспорядочно произведите выборку набора, чтобы счесть позиции {ap} таким образом что функции
{Соль (ap, y)} p охватывают пространство функций {Соль (x, y)} x в пределах предписанной точности
e.
• Сочтите матрицу D = (dqp) таким образом что
ei|x;y |
i|x;y | ;;
q
ei|x;bq |
i|x;bq |
;p
dqp
ei|ap;y |
i|ap;y |
= O (e).
Первые два шага используют вертевшиеся разложения на множители QR, в то время как последний шаг может быть
рассматриваемый как проблема наименьшего квадрата.
186 Л. Иинга
Рис. 43. Направленные эквивалентные расходы.
Направленные эквивалентные расходы
Предположите, что Си и A удовлетворяют направленное параболическое условие разделения. Позвольте {yj} быть рядом очков в Си. Мы считаем потенциал в x ; произведенным расходами
{f j} в {yj} (см. Рис. 43).
Используя низкое представление чина, произведенное выше, мы имеем
;i
ei|x;yi |
i|x;yi |
fi;;
q
ei|x;bq |
i|x;bq |
;p
dqp;
я
ei|ap;yi |
i|ap;yi |
fi
= O (e).
Это уравнение предполагает, что, размещением взимает
(
;p
dqp;
я
ei|ap;yi |
i|ap;yi |
fi
)
в очках {беккерель} можно воспроизвести потенциал в x точно. Мы называем их
взимает направленные эквивалентные расходы Си в направлении A. Вышеупомянутое
состав также обеспечивает способ вычислить направленные эквивалентные расходы от
исходные расходы {f j}:
• p j
• Умножьте потенциалы с матрицей D = (dqp), чтобы получить направленный эквивалент
расходы.
Направленные потенциалы проверки
Теперь давайте полностью изменять роли Си и (см. Рис. 44). Предположите, что {y j} ряд
очки в Си. Мы считаем потенциал в x ; произведенным расходами {f j} в
{yj}. Используя низкое представление чина косточки, мы имеем
;i
ei|x;yi |
i|x;yi |
fi;;
q
ei|x;bq |
i|x;bq |
;p
dqp;
я
ei|ap;yi |
i|ap;yi |
fi
= O (e).
Оцените потенциалы в произведенном {f}.
Быстрые Алгоритмы 187
Рис. 44. Направленные потенциалы проверки.
Это уравнение показывает это от потенциалов
(
;i
ei|ap;yi |
i|ap;yi |
fi
)
в {ap} мы можем восстановить потенциал в любом очке x ; эффективно и точно.
Шаги:
• Умножьте эти потенциалы с матрицей D = (dqp)
• Используйте результат в качестве расходов в {беккереле}, чтобы вычислить потенциал в x.
Мы называем эти потенциалы направленными потенциалами проверки в направлении Си.
8.2 Алгоритмическое описание
Геометрическая партия
Подобный ПОЛОВИНЕ-FMM, octree разделен на режим низкой частоты (где
ширина поля <1) и высокочастотный режим (где ширина
поле ;1). Однако, четкость далекой полевой области является намного более сложной:
• Для поля B с шириной r <1 в режиме низкой частоты, далекий полевой полный пансион содержит
все разделенные от углубления поля.
• Для поля B с шириной r ; 1 в высокочастотном режиме, далеком полевом полном пансионе
содержит поля, которые являются, по крайней мере, r2 далеко. Список взаимодействия Си содержит
поля, которые находятся в далеком поле Си, но не в далеком поле родителя
из Си. Все эти поля принадлежат оболочке с радиусом от r2 до 4r2. Далекое поле
далее делится в O (r2) куски {ВБ, ;} индексированный {;}, каждым с
открывая угол размера O (1/r) (см. Рис. 45).
.
188 Л. Иинга
Рис. 45. Далекое поле Си делится в многократные куски, каждого с открывающимся углом
размер O (1/r).
Далекие полевые и местные полевые представления
Для поля B с шириной r <1 в режиме низкой частоты, далеком полевом представлении
(ненаправленные) эквивалентные расходы {f Си, F
k} k свободного художника косточки FMM.
Из предыдущего обсуждения мы знаем, что его сложность - O (1).
Для поля B с шириной r ; 1 в высокочастотном режиме, далеком полевом представлении
состоит из направленных эквивалентных расходов {f Си, F, ;
k} k всего O (r2) куски
{ВБ, ;}. Чтобы вычислить потенциал в очке x в далеком поле, мы должны использовать
расходы {f Си, F, ;
k} k связывался с ВБ куска, ;, что x принадлежит. Поскольку мы используем
O (1) направленные эквивалентные расходы для каждого направления, сложности далекого поля
представление - O (r2).
Для поля A с шириной r <1 в режиме низкой частоты, местном полевом представлении
(ненаправленные) потенциалы проверки {uA, Л
k} k свободного художника косточки
FMM. Его сложность - O (1).
Для поля A с шириной r ; 1 в высокочастотном режиме, местном полевом отельном гиде -
A, Л, ;
k} k всего O (r2) куски
{WA, ;}. Для очка x в A, чтобы вычислить потенциал в x, произведенном
источник взимает в куске WA, ;, мы должны использовать потенциалы проверки {uA, Л, ;
k} k. С тех пор
направленные потенциалы проверки для каждого направления содержат O (1) коэффициенты, сложность
из местного полевого представления O (r2).
Далекие-к-далекому, далекие-к-местному, и местные-к-местному переводы
Переводы в режиме низкой частоты - точно то же самое как те
свободный художник косточки FMM. Поэтому, мы только обсуждаем эти переводы в богатом
режим частоты.
resentation состоит из направленных потенциалов проверки {u
Быстрые Алгоритмы 189
Далекий-к-местному перевод довольно прост. Рассмотрите два поля A и Си в каждом
список взаимодействия других. Предположите, что A - inWB, ;, и Си - inWA, ;;. Далекий-к-местному перевод
от Си до просто оценивает {uA, Л, ;;
k} k использования {f Си, F, ;
k} k.
Для далекого-к-далекому перевода мы создаем направленные эквивалентные расходы a
родительское поле B от его дочернего поля B ;. Давайте считать куски {ВБ, ;} один за другим.
Важное соблюдение, которое прозрачно от следующей фигуры, состоит в том, что ВБ, ;
содержавшийся в wedgeWB ;, ;; его дочерней Си ;. Поэтому, чтобы создать {f Си, F, ;
k} k в Си, нас
может просто расценить {f Си ;, F, ;;
k} k как источник взимает (см. Рис. 46).
Рис. 46. Далекий-к-местному перевод между Си и Си ;.
В результате шаги далекого-к-местному перевода в высокочастотном режиме
:
• Используйте направленные эквивалентные расходы {f Си ;, F, ;;
k} k Си ; как источник взимает с
вычислите потенциалы в местах съемок {ap} поля B.
• Умножение с матрицей (dqp), чтобы получить {f Си, F, ;
k} k.
Местный-к-местному перевод осуществлен похожим способом. Основные компоненты
из этого алгоритма иллюстрирован в Рис. 47.
Теперь давайте обсуждать вычислительную сложность этого мультинаправленного алгоритма.
Для поля ширины r, большая часть вычисления посвящена этим трем переводам.
• Есть O (r2) далекие-к-далекому переводы, один для каждого куска. Начиная с каждого далекого-к-далекому
перевод берет O (1) операции, сложность - O (r2).
• Есть O (r2) местные-к-местному переводы, снова один для каждого куска. С тех пор
каждый местный-к-местному перевод берет также O (1) работа, сложность снова
O (r2).
• Давайте посчитаем число далеких-к-местному переводов для поля B. Все поля в
Список взаимодействия си принадлежит оболочке с радиусом между r2 и 4r2. Это прозрачно
то, что есть O (r2), окружает эту оболочку, так как очки выбраны от
190 Л. Иинга
Рис. 47. Полная структура мультинаправленного алгоритма.
появитесь граница ¶D. Так как каждый далекий-к-местному перевод берет O (1) операции,
сложность также O (r2).
Для данного размера r, есть O (K2/r2) поля этого размера. Поэтому, число
шаги, потраченные на каждый уровень, являются O (K2/r2) · O (r2) = O (K2). Наконец, подведение итогов по всем
O (logK) уровни, мы приходим к заключению что сложность этого мультинаправленного алгоритма
O (K2 logK) = O (N logN),
который является тем же самым как сложностью алгоритма ПОЛОВИНЫ-FMM.
9 Заканчивающихся Замечаний
Эта работа рассматривала несколько быстрых алгоритмов для граничных интегральных уравнений. В
случай неколебательных косточек, мы рассмотрели быстрый метод многополюсника (FMM) и
его разновидность свободного художника косточки, иерархическая матричная структура, и waveletbased
метод. В каждом из этих методов, мы подвиг факт, что взаимодействие
между двумя разделенными от углубления областями приблизительно низкий чин. Для колебательного
косточки, мы обсуждали высокочастотный быстрый метод многополюсника (ПОЛОВИНА-FMM) и
недавно предложенный мультинаправленный алгоритм. ПОЛОВИНА-FMM использовала далекую полевую подпись
к diagonalize разделенное от углубления взаимодействие, в то время как мультинаправленный алгоритм
анализирует взаимодействие в направленном способе использовать так называемое направленное
параболическое условие разделения.
Быстрые Алгоритмы 191
Наш выбор методов является довольно личным. Много других эффективных алгоритмов
были не учтены, такие как кластеризирующий панель метод [19], FFT-на-основе методы
[4, 5, 7, 23], местный базисный метод Фурье [2], и прямой solver метод [22].
часто обеспечивайте эффективные способы решить линейный параболический и гиперболический PDEs. Мы указываем
читатели к [10, 17] для быстрых алгоритмов для этих граничных интегральных уравнений.
Подтверждение. Автор благодарит организаторов Летней школы 2007 года в Мультимасштабе
Моделирование и Моделирование в Науке для их гостеприимства и студентов в этом то же самое
школа для их комментариев и предложений на рукописи. Автор особенно преклоняется
Штефан Энгблом и За L;otstedt для того, чтобы считать раннюю версию этой вещи и
исправление многочисленных ошибок и опечаток. Автор поддержан Альфредом П. Слоаном
Научное сотрудничество и запуск предоставляют из университета Техаса в Остине.
10 Упражнений
Упражнение 1. Решите лапласовское уравнение
;Du = 0 в D
u = f на ¶D
на домене D = {(x1, x2): x2
1+4x2
2 <1} использование второго доброго интегрального уравнения
f (z) =
1
2
j (z) ;
Z
¶D
¶G (z, y)
¶ n (y)
j (y) ds (y).
Давайте параметризовать границу ¶D как
x1 =, потому что (q) x2 = 0.5sin (q), q ; [0,2p].
R
¶D
¶G (z, y)
¶ n (y) j (y) dy. Для этой проблемы, limy;z
¶G (z, y)
¶ n (y)
• Решите для j (z), когда граничное условие - f (q) = потому что (4q) в угловом
параметризация. Позвольте числу N очков квадратуры быть 128.
• Пожалуйста, графически изобразите раствора u (x) для x в {(x1, x2): x2
1 +4x2
2 < 0.92}.
Упражнение 2. Решите уравнение Helmholtz
;Du;k2u = 0 в Резерфорде \;D
u (x) = ;uinc (x) для x ; ¶D
lim
; r;
r
¶ u
¶ r ;iku
= 0
используйте трапециевидное, которое Вы можете управлять, чтобы в цифровой форме приблизить интеграл
условия сабельности ¶D в z.
существует и может быть выражен в
Кроме того мы опустили важное поле интегральных уравнений временного интервала, который
2
d-1
192 Л. Иинга
на домене R2 \;D, где D = {(x1, x2): x2
1 +4x2
2 <1} использование второго вида
интегральное уравнение
;uinc (z) =
1
2
j (z) +
Z
¶D
¶G (z, y)
¶ n (y)
j (y) ds (y).
где h установлен быть нолем. Давайте использовать ту же самую параметризацию для ¶D как предыдущее
проблема и снова трапециевидное правление к discretize интеграл. Следующий
состав будет полезен для вычисления ¶G (z, y)
¶ n (y)
d
доктор
Hn
0 (r) =
nH1
n (r)
r ;H1
n+1 (r).
Предел limy;z
¶G (z, y)
¶ n (y)
существует также в этом случае и равен тому
предыдущий пример.
• Выберите k = 64 и N = 8 k. Данный uinc (x) = exp (ik (x · d)) с d = (1,0), пожалуйста
решите для j (z).
• Нравится графику посыпающее поле u (x) для x в {(x1, x2): x2
1+4x2
2 > 1.12}.
Упражнение 3. Давайте полагать, что небольшая волна базировала метод. Граница - параметризовавший круг
соль () = (потому что (2ps), грех (2ps)) для s ; [0,1]. Возьмите косточку, чтобы быть
Функция зеленого цвета лапласовского уравнения:
ln|g (s) ;g (t) |.
• Пожалуйста, discretize косточка с очками N. Для диагонали, просто помещенной 0. Это
дает Вам N ;N изображение.
• Сожмите это изображение с 2-ыми небольшими волнами Daubechies.
• Сравнитесь для различных значений N и ми, сколько коэффициенты небольшой волны
больше чем ми.
Ссылки
1. До. Р. Андерсон. Выполнение быстрого метода многополюсника без многополюсников.
СИАМ J. Научный Статистик. Comput., 13 (4):923-947, 1992.
2. A. Averbuch, Э. Брэвермен, Р. Коифмен, М. израильтянина, и А. Сиди. Эффективное вычисление
колебательные интегралы через адаптивный мультимасштаб местные основы Фурье. Прикладной. Comput. Хармон.
Анальный., 9 (1):19-53, 2000.
3. Соль. Beylkin, Р. Коифмен, и V. Rokhlin. Быстрая небольшая волна преобразовывает и числовые алгоритмы.
I. Коммуникация Чистая Прикладная Математика., 44 (2):141-183, 1991.
4. Ми. Блесзынский, М. Блесзынского, и Т. Яросзевича. НАЦЕЛЬТЕСЬ: Адаптивный составной метод для
решение крупномасштабного электромагнитного рассеивания и проблем излучения. Радио-Наука,
31:1225-1252, 1996.
5. Н. Боярский. K рецептуры пространства электромагнитных проблем рассеивания. Технический
сообщение, Лаборатория Относящегося к авионике Воздушных сил. Технический отчет AFAL-TR-71-75, 1971.
Быстрые Алгоритмы 193
6. S. B;orm, Л. Грэзедик, и В. Хэкбуш. Иерархический matrices. Технический отчет 21,
Макс-Планк-Институт f;ur Mathematik в логове Naturwissenschaften, Лейпциг, 2003.
7. О. П. Бруно и Л. А. Кунянский. Быстрый алгоритм старшего разряда для раствора поверхности
рассеивание проблем: основное выполнение, тесты, и приложения. Дж. Компьют. Физика,
169(1):80-110, 2001.
8. Х. Ченг, В. И. Кручфилд, З. Джимбутас, Л. Ф. Грингард, Дж. Ф. Этриддж, Дж. Хуань,
V. Rokhlin, Н. Ярвин, и Дж. Жао. Широкополосный быстрый метод многополюсника для Helmholtz
уравнение в трех измерениях. Дж. Компьют. Физика, 216 (1):300-325, 2006.
9. Х. Ченг, Л. Грингард, и V. Rokhlin. Быстрый адаптивный алгоритм многополюсника в три
размеры. Дж. Компьют. Физика, 155 (2):468-498, 1999.
10. W. Жуйте, Э.Мичилссен, Дж. М. Сонг, и Дж. М. Чжин, монтажеры. Быстрые и эффективные алгоритмы
в вычислительном electromagnetics. Artech House, Inc., Норвуд, Массачусетс, США, 2001.
11. Д. Колтон и Р. Кресс. Обратная акустическая и электромагнитная теория рассеивания, объем
93 из Прикладных Математических Наук. Спрингер-Верлэг, Берлин, второе издание, 1998.
12. Я. Daubechies. Десять лекций по небольшим волнам, объем 61 из CBMS-ННФ Региональная Конференция
Серия в Прикладной Математике. Общество Индустриальной и Прикладной Математики (СИАМ),
Филадельфия, Пенсильвания, 1992.
13. Си. Engquist и Л. Иинг. Быстрые направленные многоуровневые алгоритмы для колебательных косточек.
СИАМ J. Наука. Comput., 29 (4):1710-1737 (электронный), 2007.
14. С. А. Горейнов, Э. Э. Тыртышников, и Н. Л. Замарэшкин. Теория псевдоскелетона
приближения. Линейная Прикладная Алгебра, 261:1-21, 1997.
15. Л. Greengard. Быстрая оценка потенциальных полей в системах частицы. Выдающийся ACM
Диссертации. Нажатие Массачусетского технологического института, Кембридж, Массачусетс, 1988.
16. Л. Greengard и V. Рохлин. Быстрый алгоритм для моделирований частицы. Дж. Компьют. Физика,
73(2):325-348, 1987.
17. Л. Greengard и Дж. Стрэйн. Быстрый алгоритм для оценки потенциалов высокой температуры. Коммуникация.
Чистая Прикладная Математика., 43 (8):949-963, 1990.
18. В. Хэкбуш. Интегральные уравнения, объем 120 из Международной Серии Числовых
Математика. Birkh;auser Verlag, Базель, 1995. Теория и числовое обслуживание, Преобразованное
и пересмотренный автором от оригинального немца 1989 года.
19. В. Хэкбуш и З. П. Ноуок. На быстром матричном умножении в граничном элементе
метод кластеризацией панели. Numer. Математика., 54 (4):463-491, 1989.
20. Р. Кресс. Линейные интегральные уравнения, объем 82 из Прикладных Математических Наук.
Спрингер-Верлэг, Нью-Йорк, второе издание, 1999.
21. С. Маллэт. Гастроли небольшой волны по обработке сигналов. Academic Press Inc., Сан-Диего, Калифорния,
1998.
22. П. Г. Мартинссон и V. Rokhlin. Пост прямой solver для граничных интегральных уравнений в
два размеров. Дж. Компьют. Физика, 205 (1):1-23, 2005.
23. K. Nabors, Ф. Корсмейер, Ф. Лейтон, и Дж. К. Вайт. Предобусловленный, адаптивный,
tions потенциальной теории. СИАМСКИЙ Журнал на Научных и Статистических Вычислениях, 15:713-
735, 1994.
24. Быстрый многополюсник ускорял граничные методы интегрального уравнения. Прикладной
Повторения механики, 55 (4):299-324, 2002.
25. V. Rokhlin. Раствор Рапида интегральных уравнений посыпающей теории в двух размерах.
J. Comput. Физика, 86 (2):414-439, 1990.
26. V. Rokhlin. Диагональные формы действующих компаний перевода для уравнения Helmholtz в три
размеры. Прикладной. Comput. Хармон. Анальный., 1 (1):82-93, 1993.
27. Л. Ying, Г. Бирос, и Д. Зорин. Независимый от косточки адаптивный быстрый алгоритм многополюсника
в два и три измерения. Дж. Компьют. Физика, 196 (2):591-626, 2004.
ускоренные многополюсником повторяющиеся методы для трехмерного интеграла первого вида equa-
N. Nishimura.
Небольшие волны andWavelet Основанный Числовой
Гомогенизация
Олоф Рунборг
Отдел Числового Анализа, KTH, 100 44 Стокгольма, Швеция,
olofr@nada.kth.se
1 Вводная часть
Небольшие волны - инструмент для того, чтобы описать функции в различных масштабах или уровне детализации. В
математические условия, небольшие волны - функции, которые творят основание для L2 (R) со специальным
свойства; основные функции пространственно ограничены и соответствуют отличающийся
уровни масштаба. Обнаружение представления функции в этом основании количество к созданию
разложение мультиразрешения функции. Такое представление небольшой волны
предоставляет себя естественно анализу тонких и крупных масштабов так же как локализации
свойства функции. Небольшие волны использовались во многих приложениях от изображения
и анализ сигнала к численным методам для частичных отличительных уравнений (PDEs).
В этой обучающей программе мы сначала проходим основную теорию небольшой волны и затем показываем больше
определенное приложение, где небольшие волны используются для числовой гомогенизации. Мы будем
главным образом дайте ссылки на первоисточники представленных идей. Есть также a
большое количество книг и статей повторения, которые затрагивают тему небольших волн, где
упомяните некоторых.
2 Небольших волны
Основы небольшой волны анализируют функцию в партии, которые описывают ее в различных масштабах.
Запускаясь с примера, мы показываем в этом разделе, как могут быть созданы такие основы
систематическим способом через анализ мультиразрешения; в особенности мы подарок в немного
больше детали конструкция известных сжато поддержанных небольших волн Добечиса.
Мы также обсуждаем свойства приближения небольших волн и рассчитываем локализацию частоты,
так же как быстрая небольшая волна преобразовывает. Фокус находится на основной теории и идеях
небольшие волны первого поколения. Более поздние выпрямления будут упомянуты, но не разработаны.
2.1 Пример
Мы начинаем, обсуждая разложение мультиразрешения функции в неофициальном
путь через пример иллюстрирован в Рис. 1. Начальная точка - функция наверху
внимательный читатель может найти дополнительную информацию, например, [25, 51, 48, 7, 39, 26, 23], только к
196 О. Ранборга
u
3
(x) u
2
(x)
d
2
(x)
u
1
(x)
d
1
(x)
u
0
(x)
d
0
(x)
Рис. 1. Разложение мультимасштаба функции.
оставленный в Рис. 1 графически изображал в антракте [0,1]. Это - кусочная постоянная функция где
у каждого предмета есть та же самая продолжительность. Мы вызываем эту функцию u3 (x) с 3 указаниями что
продолжительность предметов - 1/8 = 2;3. Мы можем теперь создать новую кусочную константу
функция, беря среднее число смежных предметов в u3 (x). Это - функция в
второе подчисло. Мы называем это u2 (x), так как продолжительность предметов теперь удвоена,
1/4 = 2;2. Ниже во второй строке различие между u3 (x) и u2 (x) который
мы называем d2 (x). Следовательно,
u3 (x) = u2 (x) +d2 (x).
Ясно, этот процесс может быть продолжен многократно, как обозначено в числе. Мы создаем
u1 (x), беря местные средние числа u2 (x) и позволяют d1 (x) = u2 (x) u1 (x) и т.д. В
конец у нас только есть u0 (x), полное среднее число u3 (x), и различия, таким образом что
u3 (x) = u0 (x) +d0 (x) +d1 (x) +d2 (x).
Различия могут интерпретироваться точно как объемы информации функции
на различных уровнях масштаба.
Этот вид разложения мультиразрешения полезен во многих приложениях, и
в основе теории небольших волн. Некоторые из преимуществ разложения a
функция таким образом:
• Приближения uj (x) дают явное описание как оригинальная функция
похож если рассматривающийся в различных масштабах. Чем больший j, тем больше деталей
функция присутствует. Ди-джей различий (x) содержит партии функции
это принадлежит различным масштабам. Это часто имеет большое использование в понимании и
анализ явлений.
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 197
• Размер ди-джея (x) функции быстро идет в ноль как j увеличения, если оригинал
функция гладка. Можно поэтому приблизить функцию с только некоторыми
из ди-джея (x).
• j
используемый во многих приложениях от укладки текста края в анализе изображения, чтобы поймать в сети обработку
алгоритмы в числовом растворе PDEs.
2.2 Небольшая волна Хаара и масштабирующиеся пробелы
Мы теперь обсудим пример выше и поместим его в систематическую структуру
рассмотрение пробелов, что uj (x) и ди-джей (x) принадлежат, и основные функции это
охватите те пробелы. Мы обращаем внимание сначала, что начальная функция u3 (x) может быть написана как a
линейное сочетание кусочных постоянных функций {f3, k} обозначенный в верхнем левом
фрейм Рис. 2,
u3 (x) =;
k
u3, kf3, k (x)
для некоторых коэффициентов {u3, k}. Функции f3, k (x) является основными функциями для
пространство всех кусочных постоянных functionswith предметов продолжительности 2;3. Мы называем это пространство
V3. Доказательство таким же образом для других функций uj, у нас есть это uj (x) ; Vj,
пространство кусочных постоянных функций с продолжительностью предмета 2;j, заполненный f j, k (x)
как показано в первой строке Рис. 2. Пробелы Vj называют, масштабируя пробелы и
вообще они содержат функции, "рассматриваемые в масштабе j”, где больше detailed1
функции принадлежат пробелам с большим j. По практическим и техническим причинам мы будем
впредь ограничьте нас кусочными постоянными функциями, которые находятся также в L2 (R),
пространство квадратных интегрируемых функций.
Ди-джей функций различия (x) может быть обработан подобным способом, но с различным
основные функции yj, k (x). Они обозначены во второй строке Рис. 2. Таким образом
ди-джей (x) =;
k
ди-джей, kyj, k (x),
для некоторых коэффициентов {ди-джей, k}. Пространство, заполненное {yj, k}, назовут Wj.
функции {yj, k} называют, небольшие волны andWj - пробелы небольшой волны или детализируют пробелы.
Мы можем теперь сделать много соблюдений об этих пробелах и основных функциях.
Во-первых, основные функции для пробелов Vj фактически все преобразованы и расширены
версии одной функции. То же самое - истина для пробелов theWj. Фактически, мы можем написать
f j, k (x) = 2j/2f (2jx;k), yj, k (x) = 2j/2y (2jx;k),
где
f (x) =
(
1, если 0 ; x ; 1,
0, иначе,
y (x) =
;;;
;;
1, если 0 ; x ; 1/2,
;1, если 1/2 <x ; 1,
0, иначе.
(1)
1 Примечание, что это - противоположное соглашение по сравнению с обучающей программой Lexing Ying в этом
объем, где более подробные функции принадлежат пробелам с меньшим j.
Различия d (x) указывают, где оригинальная функция негладка. Это
,
198 О. Ранборга
f
3, k
f
2, k
f
1, k
f
0, k
y
2, k
y
1, k
y
0, k
Рис. 2. Основные функции для Vj (выше) andWj (ниже).
Предварительный фактор 2j/2 несколько произволен и выбран здесь, чтобы нормализовать норму L2
из функций к единству. В небольшой волне теорию f (x) называют функцией формы andy (x)
назван небольшой волной матери системы небольшой волны. Их показывают в верхнем левом
фрейм Рис. 3. У нас таким образом есть это
{f j, k; k ; Z} является orthonormal основанием для Vj, (2)
{yj, k; k ; Z} является orthonormal основанием forWj. (3)
Второе соблюдение состоит в том, что каждая функция uj+1 в Vj+1 может уникально анализироваться
как сумма uj +dj, где uj ; Vj и ди-джей ;Wj. Что больше, uj и ди-джей
ортогональный в L2 (R). Это следует начиная с основных функций f j, k и yj, k является ортогональным
в L2 (R) для неподвижного j; это легко проверено это
половина j, k, yj, k ; i =
Z
f j, k (x) yj, k ; (x) = 0, ; j, k, k ;.
Это означает, что Vj+1 j andWj, которые являются также ортогональными. Следовательно
Vj+1 =Vj ;Wj, Vj ;Wj. (4)
Небольшая волна spaceWj является таким образом "различием" между двумя последующими пробелами масштабирования
Vj ;Vj+1. Больше preciselyWj - ортогональное дополнение Vj в Vj+1 и в
разложение uj+1 выше, uj и ди-джей является ортогональными проектированиями uj+1 на
Vj andWj соответственно.
прямая сумма V
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 199
Мы можем сделать несколько выводов из этих соблюдений. От (2), (3) и
(4) из этого следует, что
{yj, k} k;Z ; {f j, k} k;Z является orthonormal основанием для Vj+1.
Кроме того, повторяя на (4), мы видим что для любого j0 <j,
Vj+1 =Wj ;Wj;1; ··· ;Wj0+1;Wj0 ;Vj0.
Если мы формально позволим j склоняться к бесконечности в этой сумме, то это будет содержать функции со все более и более
тонкие масштабы, и если мы также позволяем j0 идти в минус бесконечность, это будет сумма по всем
пробелы небольшой волны. Фактически, можно показать строго это
М.
j;Z
Wj = L2 (R). (5)
Кроме того,
{yj, k; j, k ; Z} является orthonormal основанием для L2 (R). (6)
Следовательно, если мы интерпретируем каждый Wj как пространство, содержащее функции, у которых только есть тот
определенный масштаб, L2 (R), содержа функции со всеми масштабами, является бесконечной суммой
Пробелы Wj.
Третье соблюдение состоит в том, что у масштабирующейся функции есть интеграл один,
Z
f (x) дуплекс = 1, (7)
и у небольшой волны матери есть скупой ноль,
Z
y (x) дуплекс = 0. (8)
Это, переворачивается, важные основные требования для всего масштабирования и функций небольшой волны
гарантировать основную регулярность и свойства приближения.
Конструкция выше была введена Альфредом Хааром в начале 20-ого столетия
[34], и это теперь известно как система небольшой волны Хаара. От числового очка
рассмотрите это, имеет некоторые хорошие свойства, как компактная поддержка и ортогональность
основные функции, но также и некоторые недостатки, главным образом факт, что основные функции
прерывисты. Это взяло до 1980-ых перед практическим обобщением Хаара
конструкция была сделана. Более плавные небольшие волны с лучшими числовыми свойствами были
затем обнаруженный. Это было запуском современного обслуживания небольших волн.
2.3 Анализ мультиразрешения
В предыдущем разделе мы идентифицировали некоторые из основных свойств небольшой волны Хаара
система и описала их с точки зрения пробелов функций и orthonormal базисных комплектов.
Мы можем теперь обобщить идеи, иллюстрированные в начальном примере выше. Эти обобщения
будет вести до новых типов небольших волн с лучшими свойствами чем
простые небольшие волны Хаара. Чтобы сделать это, мы используем понятие (ортогонального) Мультиразрешения
Анализ (MRA), сначала введенный Мейером [47] и Mallat [45]. MRA - a
семейство закрытых функциональных пространств Vj и реальная оцененная функция формы f (x) с
следующие свойства:
200 О. Ранборга
(a) ··· ;Vj ;Vj+1 ; ··· ; L2 (R),
(b) f (x) ; Vj ; f (2x) ; Vj+1,
(c) {f (x;k)} k;Z - orthonormal основание для V0,
(d) ;Vj = L2 (R) и ;Vj = {0}.
Вообще, это следует (a) и (b), что Vj содержит функции с более тонким и более тонким
детали, когда j увеличивается. Свойство (c) обеспечивает основные функции, и (d) техническое
требование, чтобы убедиться законченность системы.
Эти четыре свойства - фактически все, что необходимо, чтобы творить систему небольшой волны
тот же самый тип как в Секте. 2.2; оставшиеся партии систем небольшой волны могут быть
созданный fromf (x) и Vj располагают с интервалами в MRA следующим образом.
Как в случае Хаара, мы определяем f j, k (x): = 2j/2f (2jx ; k). Вместе (b) и (c)
подразумевает (2), это {fj, k} k;Z является orthonormal основанием forVj
покажите, что f (или ;f) удовлетворяют (7). Небольшая волна spacesWj определена как ортогональное
дополнение Vj в Vj+1
существует небольшая волна матери y (x), и она может быть создана довольно явным способом. С тех пор
V0 ;V1 и {f1, k} является основанием для V1, который мы можем написать
f (x) =;
k
hkf1, k (x) = ;2;
k
hkf (2x;k), (9)
для немного {hk} значения. Масштабирующаяся функция таким образом удовлетворяет уравнение обработки.
{hk} значения называют (низкий проездной документ) коэффициенты фильтра для системы небольшой волны. От
они, которые мы вычисляем (богатый проездной документ) коэффициенты фильтра {греческие} чередованием, переворачивают правлением,
греческий = (;1) kh1;k, (10)
и определите небольшую волну матери как
y (x): =;
k
gkf1, k (x) = ;2;
k (;1) kh1;kf (2x;k). (11)
(Выравнивание этого выбора дано в Упражнениях 2 и 3 ниже.) Затем (8) держится.
Settingyj, k: =2j/2y (2jx;k) также (3) держится, и (d) мы также добираемся (6). Для подробного
описание MRA мы отсылаем читателя к книге Daubechies [25].
Самый простой MRA - тот, основывался на основании Хаара, которое было введено в
пример выше. В этом случае (a) удовлетворен начиная с кусочных постоянных функций
с продолжительностью предмета 2;j подмножество кусочной постоянной functionswith продолжительности предмета
2 ; (j+1). Кроме того (b) - истина конструкцией и функцией формы в (1) ясно
удовлетворяет (c). Наконец, (d) держится, так как кусочные постоянные функции плотны в L2 (R).
Коэффициенты фильтра для Хаара
{hk} =
1
;2
,
1
;2
, {греческий} =
1
;2
, ;1
;2
.
. Затем (4) и (5) следуют за использованием (d). Кроме того, там
(см. Упражнение 1). Каждый может также
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 201
(a) Хаар (b) Daubechies 4
(c) Daubechies 6 (d) Daubechies 8
Рис. 3. Масштабирование функций f (x) (оставленный) и небольшие волны матери y (x) (прямо) для первых семейств
Daubechies ортогональные сжато поддержанные небольшие волны [24].
Есть, однако, много других примеров. Фактически, в большинство систем небольшой волны вписываются
структура MRA и это обеспечивают хорошее основание для того, чтобы оно создало новые небольшие волны. AlbyMeyer
[46], Сражение [5] и Lemari;e [43], это было с вводной частью ofMRA это
конструкция небольших волн отрывалась. Новые небольшие волны были разработаны, чтобы иметь желательный
свойства как ортогональность, компактная поддержка, гладкость, симметрия и исчезновение
моменты (см. Секту. 2.5). Не все те свойства могут быть получены в том же самом
время, но например возможно иметь гладкий orthonormal, сжато поддержанный
небольшие волны, как показано Daubechies [24]. Эти небольшие волны, изображенные в Рис. 3,
естественные обобщения небольших волн Хаара; их формы, однако, скорее больше
нетрадиционный. В Секте. 2.7 мы покажем, как они могут быть получены. Множество
другие небольшие волны были созданы с тех пор. Мы обращаемся к [7] для большего количества деталей и примеров.
Позвольте нам furthermoremention, который преобразовывает ранняя работа над continuouswavelet
Гроссман и Морлет [33], кто также вводил термин "небольшая волна". Коэффициенты фильтра
{hk} и {греческий} для многих небольших волн доступна в пакетах MATLAB как НЕБОЛЬШАЯ ВОЛНА
ПАНЕЛЬ ИНСТРУМЕНТОВ, WAVELAB и WAVEKIT; см. также классическую книгу [25] для коэффициентов
из более ранних небольших волн.
Основная теория небольшой волны, что мы сосредотачиваемся в этой обучающей программе, может быть обобщена в
много путей. Ограничение ортогональности в MRA может быть смягчено и небольшая волна
могут быть созданы системы, где основные функции не являются ортогональными. Одно важное
пример - bi-orthogonal небольшие волны [18], в котором некоторые свойства ортогональности
хотя первые гладкие небольшие волны были созданы ранее Stro;mberg [52] и позже
202 О. Ранборга
поддержанный, но не все. Это дает больше свободы в конструкции, и это например
возможный создать сжато поддержанные симметрические небольшие волны таким образом, который
не возможно для строго ортогональных систем. В полуортогональных небольших волнах [16]
даже больше свойств ортогональности сохранено. У пакетов небольшой волны есть улучшенный
локализация частоты по сравнению со стандартными небольшими волнами, полученными, размещая timefrequency рядом
плоскость (см. Секту. 2.6) в пути, лучше инсценированном к функции под рукой [21].
В мультинебольших волнах несколько масштабирующихся функций и небольших волн матери используются, чтобы создать a
система небольшой волны [1, 31]. Для более высоких размеров много небольших волн как системы
был создан, где, основные функции индексированы не только локализацией
и масштаб, но также и ориентация; curvelets [13] и ridgelets [12] являются примерами этого
подход. Существенное обобщение основной теории небольшой волны является вторым
небольшие волны поколения, выдвинутые Sweldens [53]. Центральные идеи мультиразрешения
анализ сохранен, но структура расширения/перевода и двухэлементная передача
антракты, заменены общими вложенными подмножествами та партитура пространство. Это позволяет
для конструкции небольших волн в более широкой амплитуде настроек, например на нерегулярном
сетки (например, триангуляции) и на поверхностях в трехмерном. Небольшие волны этого типа (и также
небольшие волны первого поколения), может быть создан, естественно используя систематическое вознесение Свелдена
алгоритм.
Замечание 1. Больше чем в одном измерении MRA расширен, рассматривая тензор
пробелы результата. В двух размерах мы устанавливаем
V j =Vj ;Vj... ;V j ;V j+1 ;... ; L2 (R2) j ; Z,
с Vj, являющимся одномерными пробелами, введенными выше. Как прежде, мы позволяем
небольшая волна располагает W с интервалами j быть ортогональными дополнениями V j в V j+1, так, чтобы V j+1 =
V j ;W j и V j ;W j. В этом caseW j составлен из трех партий,
W j = (Wj ;Wj) ; (Vj;Wj) ; (Wj;Vj),
где, пробелы Wj - таковые из одномерного случая, данного (4). Подобный
выпрямления результата тензора могут быть сделаны также для более высоких размеров.
Упражнение 1. Предположите, что Vj и f (x) являются масштабирующимися пробелами и масштабирующий функцию для
aMRA. Используйте свойство (b) и (c) theMRA, чтобы показать, что {f j, k (x) =2j/2f (2jx;k)} с k ; Z является orthonormal основанием для Vj.
2.4 Коэффициенты фильтра
Коэффициенты фильтра кодируют и обобщают идею взять местные средние числа (через
{hk}) и различия, (через {греческий}) в каждом шаге обработки, описанном для случая
из небольших волн Хаара во вводной части. {hk} коэффициенты могут фактически привыкнуть к
непосредственно характеризуйте систему небольшой волны. В принципе они определяют функцию формы
через (9) и затем небольшая волна матери через (10) и (11). Не каждый {hk} эпизод
позволенный, как бы то ни было. (9) основное требование - то, что {hk} - квадратный summable, то есть.
принадлежите ;2. Фактически ;k |hk|2 =1 с тех пор || f || L2 =1. Чтобы определить разумную форму
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 203
функции andmotherwavelets нужно ограничить {hk} далее. Здесь мы принимаем это
|hk | распады достаточно постятся как |k | ; ;, чтобы позволить манипуляции, которые мы делаем. Мы затем
получите два необходимых условия. Во-первых, после объединения (9) мы получаем это
Z
f (x) дуплекс = ;2;
k
hk
Z
f (2x;k) дуплекс =
1
;2
Z
f (x) dxЖ
k
hk,
и это
Z
f (x) f (x;k) дуплекс = 2;
м., n
hmhn
Z
f (2x;m) f (2x;2k;n) дуплекс
= ;
м., n
hmhn
Z
f (x) f (x+m;2k;n) дуплекс.
Вместе с (2) и (7) мы получаем необходимые условия на {hk}
;k
hk = ;2, (12)
;n
hn+2khn =dk. (13)
Альтернативная характеристика коэффициентов фильтра дана, вводя
Фурье преобразовывает {hk} в этом окружении, также известном как функция производства
из {hk},
;h
(x): =
1
;2;
k
hkeikx. (14)
Требование (12) затем просто написано как
;h
(0) = 1. (15)
Чтобы преобразовать требование (13), мы обращаем внимание на это
| ; h (x) |2 + | ; h (x +p) |2 =
1
2;
n, k
hneinx hke;ikx +hnein (x+p) hke;ik (x+p)
=
1
2;
n, k
hnhkei (n;k) x
1+ei (n;k) p
=
1
2;
n, k
hnhn+ke;ikx
1 + (; 1) k
=;
n, k
hnhn+2ke;i2kx =;
k
e;i2kx
;n
hnhn+2k
.
Из этого следует, что (13) эквивалентно
| ; h (x) |2 + | ; h (x +p) |2 = 1. (16)
204 О. Ранборга
Таким образом, чтобы найти новые ортогональные системы небольшой волны нужно сначала найти {hk} удовлетворение эпизодов
(12) и (13), или либо находят функцию 2p-periodic ; h (x) ; L2 ([0,2p])
удовлетворение (15) и (16). Определить MRA {hk} также должно удовлетворить некоторых технических
требования, что конвергенция гарантий. Например, достаточное условие - это
там существуйте e> 0 таким образом что
;k
|hk || k|e <;, и ;h (x) 6 = 0, ; |x | ;
p
2
. (17)
В этом случае мы можем создать MRA из {hk}, определяя f (x) от (9) и Vj как
крышка линейного промежутка передачи {f j, k}, видит [24, 45]. Как прежде,
{греческие} коэффициенты определены (10) и y (x) (11).
Упражнение 2. Покажите это, если yj, k (x) является ортогональным к f j, k ; (x) для всего j, k, k ; необходимое
условие для {греческих} коэффициентов - это
;n
hn+2kgn = 0, ;k.
Также покажите, что с выбором gn = (;1) nh1;n это условие удовлетворено. (Подсказка: Позволить
= hn+2kgn и примечание, что затем a1;n;2k = ;an.)
Упражнение 3. Покажите, что (7) и (8) подразумевает это
;k
греческий = 0.
Кроме того покажите, что это удовлетворено, держится ли (10) и если {hk} удовлетворяет (12) и (13).
(Подсказка: Определите ; соль (x) от {греческого} в том же самом, был, поскольку ;h (x) был определен от {hk}. Иметь отношение
; соль (x) к ; h (x). Затем используйте (15) и (16).)
2.5 Свойства приближения
Мы уже упомянули хорошие свойства приближения небольших волн. Позвольте нам
теперь объясните это более подробно и сделайте проведение темы более точным. Основной ap-
Это - обобщение (8) определенный следующим образом.
Четкость 1. У небольшой волны матери y есть М. исчезающих моментов если
Z
y (x) xmdx = 0, м. = 0..., M;1. (18)
Мы обращаем внимание, что это подразумевает, что также yj, у k (x) есть М. исчезающих моментов (см. Упражнение
4).
Другое важное свойство - локализация пространства небольших волн. Этим мы
подразумевайте, что большая часть энергии небольшой волны концентрируется в маленьком домене. Это
следует автоматически от конструкции, если небольшая волна матери распадается быстро в
бесконечность, |y (x) | ;0 как |x |; ;. Например, если у y (x) есть компактная поддержка в [;a,]
механизм proximation полагается на наличие небольшой волны матери, исчезающее моменты.
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 205
1
(a) y (x)
2;j
k2;j
(b) yj, k (x)
Рис. 4. Примеры переводов и расширения Daubechies 8 небольших волн матери y (x). Для
yj, k (x) локализация в пространстве изменяется на приблизительно k2;j, и поддержка сужается к размеру 2;j.
затем из перевода и расширения, yj, у k = 2j/2y (2jx;k) есть компактная поддержка
в [k2;j ;2;ja, k2;j +2;ja]; см. Рис. 4. Мы обращаем внимание здесь на это сжато поддержанное
системы небольшой волны с произвольным много исчезающих моментов действительно существуют [24]. Мы
будет делать набросок, как они могут быть получены ниже в Секте. 2.7.
Видеть значение исчезающего момента и свойств локализации пространства
мы запускаем с функции u (x), у которого есть расширение небольшой волны
u (x) =;
j, k
uj, kyj, k (x),
где мы предполагаем, что у небольшой волны матери есть компактная поддержка в [;a,]. Позвольте нам
сосредоточьтесь на отдельном коэффициенте uj, k. Мы обозначаем W (компактную) поддержку
yj, k. Затем,
uj, k =
Z
W
u (x) yj, k (x) дуплекс.
Предположите, что ограничение u (x) к W находится в Cp (W), то есть в поддержку yj, k (x) мы
предположите, что u (x) гладок с p непрерывными производными. Мы можем затем Тэйлор расширяться
u (x) вокруг очка x0 ;W. Позвольте ;M = минута (p, M). Мы добираемся
uj, k =
Z
W
;M
;1
;
m=0
u (m) (x0)
(x;x0) м.
м.!
yj, k (x) дуплекс +
Z
W
R (x)
(x;x0)
;M
;M
!
yj, k (x) дуплекс,
где R (x) является термином остатка Тэйлора, удовлетворяя
глоток
x;W |R (x) | ; глоток
x;W |u (;M) (x) |.
С тех пор ;M ; М. первого термина ноль из-за исчезающих моментов yj, k (x).
Кроме того, обращая внимание на это неравенством Каухи-Шварца,
206 О. Ранборга
Z
W |yj, k (x) |dx ;
Z
W
12dx;
Z
W |yj, k (x) |2dx
1/2
= |W|1/2,
мы получаем
|uj, k | ; |W |
;M
;M
!
глоток
x;W
u (;M) (x)
Z
W |yj, k (x) |dx ; |W |
;M
+1/2
;M
!
глоток
x;W
u (;M) (x)
.
Из обсуждения выше мы видим, что |W | = 2;j+1a и наконец имеем
|uj, k | ; c2 глоток
x;W
u (минута (p, M)) (x)
,
для некоторой постоянной до, которая является свободным художником j.
От этого мы можем прийти к заключению, что пока u (x) гладко в поддержку yj, k,
то есть p является большим, затем коэффициенты небольшой волны uj, k распада быстро с j когда число
из vanishingmoments является большим. Коэффициенты uj, k может, однако, быть большим, когда p
маленький, следовательно в очках, где u (x) негладок. Для кусочных гладких функций
это только происходит в некоторых, помещает. Таким образом большинство коэффициентов тонкого масштаба является очень маленьким
и может пренебречься. Единственные потребности сохранить тех, где u (x) изменениями резко или
прерывисто. В этом смысле небольшие волны способны приближаться также кусочный
выровняйте функции, в отличие от основ Фурье, которые экспонируют большие ошибки при наборе Гиббса
когда приближенная функция негладка. Это причина для успеха
небольшие волны в сжатии например, отображают, который может быть смоделирован как двумерный
кусочные гладкие функции.
Упражнение 4. Покажите это, если у небольшой волны матери y (x) есть М. исчезающих моментов, удовлетворяя
(18), затем то же самое - истина для каждой основной функции небольшой волны yj, k (x) =
2j/2y (2jx;k).
2.6 Частотный анализ Тайма
Мы здесь обсудим другое особое свойство основ небольшой волны, а именно, их локализация
вовремя и частота. Мы интересуемся какой партии частоты времени
(t, w)-plane2, который покрыт основными функциями, следовательно существенная поддержка
|v (t) ; v (w) | для функции v. Давайте рассматривать функцию
u (t) =;
n
unvn (t),
и сравните представления с тремя различными типами основных функций {vn (t)}.
Основные функции и их существенные локализации частоты времени иллюстрированы в
Рис. 6.
2, Так как мы интерпретируем независимую переменную как время здесь, мы обозначаем это t вместо x.
;j (минута (p, M) +1/2)
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 207
1. Представление Тайма
В этом случае основные функции - набор преобразованных (приблизительных) функций дельты,
vn (t) ;d (t ;tn) с Фурье преобразовывают ; vn (w) ; e;iwtn. Таким образом поддержка
из |vn (t) ; vn (w) | сконцентрирован вокруг t = tn и по существу намазан по всем
частоты. Мы можем интерпретировать это как полную локализацию в пространстве и никакую локализацию
в частоте, cf. левые фреймы Рис. 6.
2. Представление частоты
В этом случае мы используем основание Фурье, vn (t) = eiwnt, с Фурье преобразовывают ; vn (w) =
d (w ;wn). Это - противоположная ситуация к случаю представления времени, и
поддержка |vn (t) ; vn (w) | сконцентрирована вокруг w = wn и по существу распространена
за все время, то есть полную локализацию в частоте и никакую локализацию вовремя,
как обозначено средними фреймами Рис. 6.
3. Представление небольшой волны
Здесь у нас есть vn (t) = yj, k (t). Как уже обсуждено в Секте. 2.5 поддержка
функция небольшой волны yj, k (t) центрирован вокруг k2;j и имеет пропорциональную ширину
к 2;j. Фурье преобразовывает небольших волн,
y ; j, k (w) =
Z
2j/2y (2jt ;k) e;iwtdt = 2;j/2e;i2;jwky ;
;;
2;jw
.
Мы обращаем внимание кроме того что ; y (p) \p
исчезающие моменты, затем
y ; (p) (0) =
Z
(это) py (t) dt = 0, p = 0..., M;1. (19)
Следовательно, y ; (w) таким образом имеет М. th, упорядочивают ноль в w = 0. Вместе это означает что
поддержка | y ; j, k (w) | по существу центрирован вокруг |w | = 2j в антракте размера
2j, см. Рис. 5. Небольшие волны таким образом ограничены и вовремя и частота, с
существенная поддержка |yj, k (t) y ; j, k (w) | центрировала в (t, w) ; (k2;j, 2j); см.
правильные фреймы Рис. 6.
Три различных представления таким образом делят плоскость частоты времени на вполне
различные пути. В один конец, чтобы интерпретировать небольшие волны как ограниченное музыкальное сопровождение, где
каждая основная функция, как музыкальная нота, соответствует особой локализации оба
различные представления. Ограниченный пакет волны слева отражен в
размер коэффициентов небольшой волны.
2.7 Ортогональные сжато поддержанные небольшие волны
В этом разделе мы показываем как гладкие ортогональные сжато поддержанные небольшие волны
со многими исчезающими моментами может быть создан. Они были сначала обнаружены
Daubechies [24]. Мы по существу следуем за ее происхождением, которое сделано непосредственно от
функция производства (14), который характеризует систему небольшой волны. Мы таким образом смотрим
для ;h (x), который удовлетворяет (15) и (16), так же как (17).
(w) = (это) y (t) и если у небольшой волны матери есть М.
во времени и пространстве. Рисунок 7 показывает разложение в качестве примера функции, используя
208 О. Ранборга
1
(a) |y ; (w) |
2j
2j
(b) | y ; j, k (w) |
Рис. 5. Примеры эффекта переводов и расширений на Фурье преобразовывают
Daubechies 8 небольших волн матери y ; (w). Для y ; j, k (w) локализация в изменениях частоты к
вокруг 2j и поддержка увеличивается до размера 2j.
(a) Основная функция Тайма (b) основная функция Частоты (c) основная функция Небольшой волны
Тайм
Частота
Тайм
Частота
Тайм
Частота
(d) Локализация
Рис. 6. Основные функции и локализации частоты времени
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 209
(a) Сигнал (b) в качестве примера представление Тайма
(c) Представление Фурье (d) представление Небольшой волны
Рис. 7. Различные представления примера сигнализируют в (a): Локализация вовремя (b), частота
(c), время и частота (d). Уровни серого указывают на размер соответствующего коэффициента.
Сжато поддержанные небольшие волны эквивалентны конечной продолжительности или конечному импульсу
ответ (ЕЛЬ) фильтры, где все кроме конечного числа {греческого} и {hk} коэффициенты
ноль. Кроме того мы обращаем внимание что, если ;h (x) удовлетворяет (15) и (16), то так делает eimx ;h (x),
для любого реального м. Это означает, что мы должны счесть ; h (x) из формы
; h (x
)
=
1
;2
N;
k=0
hkeikx =
1
;2
N;
k=0
hkzk =: P (z), z = z (x) = eix,
где P (z) является полиномиалом градуса N (чтобы быть определенным) с реальными коэффициентами.
Беря Фурье преобразовывают (11), мы получаем
y ; (2x) =
1
;2;
k (;1) kh1;keikx ;f (x) = e;i (x+p) ;h (x +p) ;f (x) = ;
P (;z) ;f (x)
z
.
(20)
То, когда у y (x) есть М. исчезающих моментов (19), держится. Это следует (см. Упражнение 5), это
P (у z) есть М. th, упорядочивают ноль в z = ;1, и мы можем написать
210 О. Ранборга
P (z) =
1+z
2
М.
Q (z), (21)
для некоторого полиномиала Q (z) градуса N ;M с реальными коэффициентами. Условия (15)
и (16) для ;h (x) затем эквивалентно следующим условиям для Q (z):
Q (1) = 1, (22)
1+z
2
2M
|Q (z) |2 +
1;z
2
2M
|Q (;z) |2 = 1, ; |z | = 1. (23)
Позвольте ck, n быть двучленными коэффициентами
n
k
и определите энный градус реальный полиномиал
Tn (y) следующим образом:
1 = (y+1;y) 2n+1 =
2n+1
;
k=0
ck, 2n+1y2n+1;k (1;y) k
= yn+1
n;
k=0
ck, 2n+1yn;k (1;y) k + (1;y) n+1
n;
k=0
ck+n+1,2n+1yn;k (1;y) k
= yn+1
n
;
k=0
ck, 2n+1yn;k (1;y) k + (1;y) n+1
n
;
k=0
ck, 2n+1 (1;y) n;kyk
=: yn+1Tn (1;y) + (1;y) n+1Tn (y).
Здесь мы использовали симметрию ck, 2n+1 = c2n+1;k, 2n+1. Мы обращаем внимание на это
Tn (0) = c0,2n+1 = 1, и Tn (y)> 0, y ; [0,1], (24)
начиная со всех коэффициентов ck, n положительны. Кроме того,
1+z
2
2
+
1;z
2
2
= 1, ; |z | = 1.
Поэтому, если мы можем счесть полиномиал Q (z) с реальными коэффициентами таким образом что
|Q (z) |2 = TM;1
1;z
2
2
!
, ; |z | = 1,
это удовлетворит (22) и (23) выше. Теперь давайте докажем, что это всегда возможно.
Обозначьте Sn (z) энный полиномиал Чебышева, который удовлетворяет тригонометрическое
личность Sn (cosq) =, потому что (nq). С тех пор {Sk (z)} являются линейно свободным художником, есть коэффициенты
{ak}, таким образом, что
Tn
1;z
2
2
!
= Tn
1;cosx
2
=
n;
k=0
akSk (cosx) =
n;
k=0
ak, потому что (kx)
=
1
2
n;
k=0
ak
eikx +e;ikx
=
e;inx
2
n;
k=0
ak
zn+k +zn;k
=: e;inx T;n (z),
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 211
когда |z | = 1. Это определяет 2n-th полиномиал градуса T;n (z) с реальными коэффициентами.
Ключевое свойство T;n (z) следует (24),
Tn
1;z
2
2
!
=
Tn
1;z
2
2
!
= | ;Tn (z) |, ; |z | = 1. (25)
Мы таким образом должны найти Q (z), который является по существу квадратным корнем T;M;1 (z).
Всякий раз, когда z 6 = 0 у нас есть личность
;T
n (1/z) =
1
2
n;
k=0
ak
z;n;k+z;n+k
=
z;2n
2
n;
k=0
ak
zn;k +zn+k
= z;2nT;n (z).
Нет никакого основного тона в origin3 и поэтому, если z ; является основным тоном T;n, то так 1/z ;.
Кроме того, так как {ak} реальны, ;Tn (z;) = T;n (z), так, чтобы, если z ; является основным тоном, то также ;z ; - a
основной тон. Таким образом основные тоны встречаются в группах четыре, {z ;, 1/z ;, ;z ;, 1/;z ;}, если z ; сложен, и
парами {z ;, 1/z ;}, если z ; реален. Позвольте {zk} определять nc группы сложных основных тонов и
{rk} номер пар реальных основных тонов, с 4nc+2nr = 2n. Затем
;T
n (z) =
2
nr;
k=1
(z;rk) (z;1/rk)
!
nc;
k=1
(z;zk) (z ; ;zk) (z;1/zk) (z;1/;zk)
!
.
Мы теперь замечаем что когда |z | = 1, затем |z;1/;z ; | = |z;z ; | / | z ; |. Используя (25) мы добираемся
Tn
1;z
2
2
!
= |an |
2
nr;
k=1
|z;rk|2
|rk |
!
nc;
k=1
|z;zk|2|z ; ;zk|2
|zk|2
!
= |Q (z) |2,
для всего |z | = 1, где
Q (z) = q0
nr;
k=1
(z;rk)
!
nc;
k=1
(z;zk) (z ; ;zk)
!
,
и
q0 = ±
"
|an |
2
nr;
k=1
1
|rk |
!#1/2
nc;
k=1
1
|zk |
!
,
со знаком, выбранным таким образом, что Q (1) = +1. Наконец, с тех пор
(z;zk) (z ; ;zk) = z2;2z ;zk + |zk|2,
коэффициенты Q (z) реальны. Градус - номер +2nc = n. Применение конструкции
к ;TM;1 (z) мы получаем желаемый Q (z). Градус полиномиала P (z) в (21)
N = 2M;1, и таким образом число коэффициентов фильтра отличных от нуля 2M.
3 Это может быть проверено, что Tn (y) имеет действительно точно градус n, и не меньше. Кроме того, с тех пор
градус Sk (z) является точно k, это следует из конструкции что 0 6=an = 2T;n (0).
212 О. Ранборга
Остается проверять техническое условие (17). Левая сумма тривиально ограничена
с тех пор есть только N hk отличная от нуля. Правильное условие преобразовывает в P (z) 6 = 0 для
|z | = 1 и ;z ; 0. (21) это достаточно, который это держит для |Q (z) |2. Это в свою очередь
средства, что мы нуждаемся в TM;1 (y) 6 = 0 для y ; [0,1/2], который обеспечен (24).
В заключение для любого М. мы можем явно создать Q (z) удовлетворение (22) и
(23) следующим шаги выше. Это дает нам желаемый P (z) и затем ;h (x).
Фактически, есть много возможных Q (z) начиная с выбора zk и rk в пределах основного тона
группы произвольны. Они приводят к различным системам небольшой волны. Мы заканчиваем этот раздел
несколько примеров.
Пример 1. Когда М. = 1 мы имеем просто что T0 = T;0 = Q ; 1. Затем
; h (x
)
=
1+eix
2 ; h0 = h1 = 1 / ; 2,
который дает небольшие волны Хаара.
Пример 2. Когда М. = 2 мы получаем T1 (y) = 1+2y и
; T1 (z) =
z
2;
z+1/z
2
= ;
1
2
+2z ;
1
2
z2 = ;
1
2
(z;2 ;
;3) (z;2 + ; 3).
Установка Q (z) = q0 (z;2 ;; 3) =: a+bz, мы находим это
a = ;q0 (2 + ; 3) =
1+;3
2
, си = q0 =
1;;3
2
, q0 = ;1 q
2(2+;3)
.
Это приводит
; h (x
)
=
1+eix
2
!
a+beix
=
a
4
+
2a+b
4
eix +
2b+a
4
ei2x +
си
4
ei3x,
или
h0 =
a
2;2
, h1 =
2a+b
2;2
, h2 =
2b+a
2;2
, h3 =
си
2;2
.
Они - коэффициенты фильтра для Daubechies 4 небольших волны, изображенные в верхней части
правильный фрейм Рис. 3.
Упражнение 5. Покажите, что (19) и (20) подразумевает (21).
Подсказка: Сначала покажите, что (19) и (20) подразумевает ;h (p) (p) = 0 для p = 0..., M;1. Затем
проверьте что когда p> 0,
;h
(p) (x) = ip
p
;
k=1
dk, pzkP (k) (z),
для некоторых коэффициентов dk, p с разностью потенциалов, p 6 = 0. Придите к заключению от этого, что (21) должен держаться.
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 213
2.8 Небольшая волна преобразовывает
Мы теперь проходим, как разложение функции сделано в дискретном случае
использование коэффициентов фильтра. В числовом computationswe хотел бы избежать иметь
оценить сложные функции f j, k (x) и yj, k (x). Это очень часто возможно.
Для уровня достаточно мелких деталей мы можем приблизить масштабные коэффициенты
величины сэмпла. Фактически, если u (x) у C1 (R) и f (x) есть компактная поддержка, то каждый может
покажите от (7) это
uj, k =
Z
u (x) f j, k (x) дуплекс = 2;j/2u
;;
k2;j
+O
2;3 j/2
. (26)
В приложениях каждый как правило идентифицирует 2j/2uj, k точно с величинами сэмпла.
Предположите теперь, когда мы приблизили функцию таким образом и имеем
u (x) =;
k
uj+1, kf j+1, k (x) ;Vj+1.
Мы хотим анализировать u в его крупную партию масштаба в Vj и его тонкую партию масштаба в Wj,
u (x) =;
k
uc
j, kf j, k (x)
| {z}
;Vj
+;
k
uf
j, kyj, k (x)
| {z}
;Wj
. (27)
Мы таким образом хотим найти коэффициенты {uc
j, k} и {uf
j, k}, где верхние индексы имеют значение
"крупный" и "тонкий" масштаб, соответственно. Мы имеем
uc
j, k =
Z
u (x) f j, k (x) дуплекс = 2j/2
Z
u (x) f (2jx;k) дуплекс
=;
;
h;2 (j+1)/2
Z
u (x) f (2j+1x;2k ;;) дуплекс
=;
;
h;hu, f j+1, ; +2ki =;
;
h;u ; +2k =;
;
h ;; 2ku ;.
Мы получаем подобное выражение для uf
j, k
с hk заменял греческим,
uc
j, k =;
;
h ;; 2kuj+1, ;, uf
j, k =;
;
соль ;; 2kuj+1, ;. (28)
Следовательно, преобразование {uj+1, k} ; {uc
j, k} ; {uf
j, k}, то есть разложение (27), может
будьте сделаны, только используя содействующую hk фильтра и греческие. Мы не должны вовлечь
функции f j, k (x) и yj, k
есть только конечное число отличных от нуля {hk} и {греческие} коэффициенты так преобразование
может быть сделан очень быстро с только fewmultiplications и добавлениями за коэффициент,
число, являющееся свободным художником j.
В цифровой форме мы можем только рассмотреть конечное описание. Стандартная установка
то, что мы принимаем u (x) ; Vj+1 и что у нас есть N = 2j+1 масштабные коэффициенты это
соответствуйте величинам сэмпла в компактном антракте, скажите [0,1]. От этого мы хотим
(x). Кроме того, если небольшие волны сжато поддержаны,
j+1, j+1,
214 О. Ранборга
анализировать u (x) в N ;1 коэффициент небольшой волны forWj и один масштабный коэффициент
для V0, все еще соответствуя антракту [0,1]. Мы рассматриваем случай Хаара как
пример. Позвольте Uj+1 = {uj+1, k} быть вектором продолжительности 2j+1 содержащий масштабирование
коэффициенты для Vj+1. Точно так же мы устанавливаем Uf
j = {uf
j, k} и Uc
j = {uc
j, k}. С небольшим
злоупотребление нотацией мы напишем что содействующий вектор Uj+1 j+1 и т.д.
замечание, что в этой ограниченной установке, фактически, оба Vj andWj изоморфны к Rj.We
может затем написать (28) в матричной форме,
WjUj+1 =
Uf
j
Uc
j
, Uj+1 ;Vj+1 Uf
j ;Wj, Uc
j ; Vj, (29)
где
Wj =
1
;2
;
;;;;;;;;;;;;;
1 ;1 0 ··· 0 0 1 ;1 0 ··· ...
...
. . .
. . .
0 0 ··· 0 1 ;1
1 1 0 ··· 0 0 1 1 0 ··· ...
...
. . .
. . .
0 0 ··· 0 1 1
;
;;;;;;;;;;;;;
; R2j+1;2j+1
. (30)
С простым матричным векторным умножением мы можем таким образом извлечь крупное и тонкое
партия u (x). Матричный Wj называют, небольшая волна преобразовывают для уровня j. Мы обращаем внимание на это
это редко и orthonormal, W T
j
Wj = я. Умножение поэтому устойчиво и
j+1) операции.
От этой начальной точки мы можем теперь анализировать u (x) в полное представление небольшой волны
подобный примеру в Секте. 2.1,
u (x) = u0 (x) | {z}
;V0
+
j
;
j ; = 0
ди-джей ; (x)
| {z}
;Wj ;
=;
k
uc
0, kf0, k (x)
| {z}
;V0
+
j
;
j ; = 0
;k
uf
j ;, kyj ;, k (x)
| {z}
;Wj ;
.
Извлекая Uc
j
и Uf
j
от использования Uj+1 Wj мы можем продолжить иерархически
извлекать Uf
j;1 = {uf
j;1, k} и Uc
j;1 = {uc
j;1, k} от Uc
j
использование Wj;1, и т.д.
вычислительная стоимость этой работы - O (2j). Повторяя на этом мы имеем
Uj+1 ; Uf
j
; Uc
j ; Uf
j;1
; Uc
j;1 ; Uf
j;2
; Uc
j;2 ; ···
; ··· ; Uf
0
; Uc
0
O (2j+1) + O (2j) + O (2j;1) + ··· + O (1)
(31)
принадлежит V
затраты O (2
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 215
Общая стоимость для этого разложения дана последней строкой, которая суммирует до O (N)
операции, где N = 2j+1 является продолжительностью преобразованного вектора. Разложение
назван быстрая небольшая волна преобразовывают, и у нее есть оптимальная сложность. (С коэффициентами N
чтобы вычислить, сложность не может быть лучше.) Это должно быть по сравнению с
быстрый Фурье преобразовывает, который вычисляет коэффициенты Фурье от величин сэмпла
по стоимости O (NlogN).
Есть соответствующая быстрая обратная небольшая волна transformthat, восстанавливает оригинал
{uj+1, k ;1
j = W T
j
это количество
W T
j
вместо Wj, и в противоположном порядке. У этого есть тот же самый O (N) сложность.
Для более высоких небольших волн порядка общая форма Wj
Wj =
;
;;;;;;;;;;;;;
; g0 ; g1 ; g2 ··· 0 0 g0 g1 g2 ···...
...
. . .
. . .
0 0 ··· gn;2 gn;1 gn
;h
0
;h
1
;h
2 ··· 0 0 h0 h1 h2 ···...
...
. . .
. . .
0 0 ··· hn;2 hn;1 hn
;
;;;;;;;;;;;;;
; R2j+1;2j+1
. (32)
Коэффициенты фильтра {hk} и {греческий} являются более длинными эпизодами, который создает проблему
вычисляя коэффициенты, которые соответствуют местам съемок близко к границам
из intervalwhere u (x) дан. В принципе нужно знать о u (x) внешняя сторона
антракт, чтобы вычислить их, но u (x), успением, только данным внутри
антракт. Есть несколько способов иметь дело с этой дилеммой. Каждый может например
набор u (x) к нолю снаружи, продолжите u (x) периодически (u (x+1) = u (x)) или зеркально отражая
(u (;x) = u (x) и u (x+2) = u (x)). Можно также непосредственно изменить {hk} и {греческий} для
граничные коэффициенты [19]. В конце для всех методов это означает что первое
и средние немного строк изменения Wj, обозначенного греческой модификацией, hk ; ; греческий, ;hk в
уравнение выше. Небольшая волна преобразовывает (29) и (31) работа таким же образом с
измененный Wj как прежде. Когда небольшие волны и масштабирующиеся функции сжато
поддержанный коэффициенты фильтра имеют конечную продолжительность, и Wj - разреженная матрица;
стоимость, чтобы исполнить матричное векторное умножение поэтому все еще O (2j+1) и
сложность передового и обратного преобразования небольшой волны - O (N).
Замечание 2. Двумерная небольшая волна преобразовывает соответствие двумерному
масштабирование и небольшая волна располагает с интервалами в 1 банке Замечания быть написанным как результат тензора
одномерные преобразования,
Wj ;Wj. (33)
Быстрая небольшая волна преобразовывает, делает вывод легко к более высоким размерам, основанным на этом.
Упражнение 6. Напишите программу MATLAB, основанную на каскадном алгоритме, чтобы приблизиться
и графически изобразите масштабирующейся функции и небольшой волны матери для Daubechies 4 системы
к исполнению того же самого матричного умножения как в передовом преобразовании, но с} оценивает от коэффициентов небольшой волны. С тех пор W
216 О. Ранборга
с двумя исчезающими моментами. Этот алгоритм - просто быстрая обратная небольшая волна, преобразовывают
относившийся uc
0, k =dk, uf
j, k =0 для масштабирующейся функции и к uc
0, k =0, uf
j, k =d jdk
для небольшой волны матери. С тех пор
f (x) =;
k
dkf0, k (x), y (x) =;
j
;k
dkd jyj, k (x),
(26), обратное преобразование к достаточно тонкому масштабу J дает хорошее приближение
f (k2;J) ; 2J/2uc
J, k,
и так же для y (x). Используйте коэффициенты фильтра, полученные в Примере 2 из Секты. 2.7.
3 Небольших волны базировали числовую гомогенизацию
Небольшие волны использовались несколькими способами к числовому раствору частичного дифференциала
и интегральные уравнения. Многие из этих проблем вовлекают Кальдерона-Зигманда
или псевдо дифференциальные операторы, которые могут быть углублением, сжатым когда продемонстрировано на
пробелы небольшой волны; свойства косточки действующей компании позволяют сжатие параметрами
подобный тем в Секте. 2.5. Это - основание для многих быстрых алгоритмов для интеграла
уравнения и граничные составные рецептуры PDEs [10, 23]; для большего количества деталей,
см. вклад Lexing Ying в этом объеме. Это будет также играть роль в
небольшая волна базировала числовую гомогенизацию, обсужденную здесь. Для дискретизации
Небольшая волна PDEs методы Galerkin часто используется, в который приблизительный конечный элемент
пробелы и основные функции взяты, чтобы быть тонкими пробелами масштабирования и небольшими волнами,
области получены при использовании более тонкого уровня масштаба небольших волн там. Это может видеться
как располагают с интервалами обработку, а не обычную обработку петли. См. например, [35, 20] для гиперболического
проблемы и [17] для овальных проблем.
В этом заключительном разделе мы будем интересоваться использованием небольших волн, чтобы упростить числовой
моделирование PDEs, где существование подсетки масштабируют значительные стойки явлений
элементы, имеющие степень трудности. С явлениями масштаба подсетки мы имеем в виду те процессы который
мог влиять на раствор на вычислительной сетке, но у которых есть шкалы расстояний
короче чем размер сетки. Очень колебательные исходные данные могут, например, взаимодействовать
с тонкими масштабами в свойствах материала и ставят крупные вклады масштаба в
раствор.
Мы рассматриваем общую проблему, где Le - линейный дифференциальный оператор для
какая ми указывает на мелкие масштабы в коэффициентах. Раствор ue дифференциала
уравнение
Le ue = fe, (34)
будет как правило наследовать мелкие масштабы от действующей компании Le или данные fe. Бетон
примером могла быть простая образцовая проблема
[57]. Способность небольших волн обнаружить местную регулярность и особенности сделала
их особенно полезный в адаптивных замыслах, где лучшее разрешение в негладком
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 217
Le ue = ;
d
дуплекс
ge (x)
d
дуплекс
ue (x) = fe (x), 0 <x <1, (35)
ue (0) = ue (1) = 0,
где у коэффициента ge (x) и правой стороны fe (x) есть тонкая структура масштаба; это
май например быть очень колебательным, или иметь ограниченный резкий переход. Числовой
элементы, имеющие степень трудности происходят из мелких масштабов в Le и fe. Позволить
Lehueh = feh. (36)
будьте дискретизацией (34) с типичным размером элемента или размером шага h. Если ми обозначает
типичная длина волны в ue затем h должна быть существенно меньшей чем ми чтобы к
решите, что ми - масштабируется в числовом приближении. Это может быть дорогостоящим, если ми является маленькой
по сравнению с полным размером вычислительного домена.
Есть много традиционных способов иметь дело с этой многократной проблемой масштаба.
Несколько методов основаны на физических соображениях для определенного приложения, такого
как модели бури в вычислительной гидрогазодинамике, [56], и аналитически полученный
местные модели подобители в вычислительном electromagnetics, [54]. Геометрическая оптика или
геометрическая теория приближений дифракции высокочастотного распространения волны
другие классические методы, чтобы преодолеть степень трудности комбинации очень колебательных
растворы, [40]. Все эти методы имеют результатом новые наборы приблизительных уравнений
это не содержит мелкие масштабы, но которые так или иначе пытаются взять эффект
эти масштабы во внимание. Более общий аналитический метод для того, чтобы достигнуть этой цели
классическая гомогенизация, обсужденная ниже.
Если мелкие масштабы ограничены, есть некоторые прямые числовые процедуры
которые применимы. Местная обработка петли является довольно распространенной, но могла быть дорогостоящей
если мелкие масштабы являются очень небольшими или распределенными. Есть также проблемы с искусственным
размышления в неоднородностях размера петли и ограничениях такта для явного
методы. Числовое отслеживание шока или приспособление шока могут также видеться как подсетка
модели, [2].
В остатке от этой статьи мы представим базируемую процедуру небольшой волны для
построение моделей подсетки, которые будут использоваться на крупной сетке, где самые маленькие масштабы
не решены. Объектив состоит в том, чтобы найти конечное размерное приближение (34),
;L
ми ;h
; ue ;h = ; fe ;h,
это точно воспроизводит эффект масштабов подсетки и который в некотором смысле подобен
к дискретизации отличительного уравнения. Дискретная действующая компания ;L ми ;h
если таким образом
напомните discretized дифференциальный оператор, и он должен быть разработан таким образом что ; ue ;h
хорошее приближение ue, даже если ;h не является маленьким по сравнению с ми. Эта цель напоминает
это классической аналитической гомогенизации, которую мы теперь кратко обсудим.
3.1 Классическая гомогенизация
Гомогенизация - установленный аналитический метод углубления, чтобы приблизить эффект
из меньших масштабов на более широкие масштабы в уравнениях дифференциала мультимасштаба. Проблема
218 О. Ранборга
часто формулируется следующим образом. Считайте ряд действующих компаний Le индексированный маленьким
ми параметра. Найдите раствор предела ; u и гомогенизированная действующая компания ;L определенный
Le ue = f, lim
e;0
ue = ; u, ;L ; u = f, (37)
для всего f в некотором функциональном классе. В определенных случаях конвергенция выше и существование
из гомогенизированной действующей компании может быть доказан, [6].
Для простых образцовых проблем, с коэффициентами, которые являются периодическими в тонком масштабе,
могут быть получены точные закрытые растворы формы. Например, с соль (x, y) положительный, 1-
периодический в y и ограниченный далеко от ноля, мы имеем для одномерного овального
пример (35),
Le = ;
d
дуплекс
соль (x, x/e)
d
дуплекс
, ;L = ;
d
дуплекс
; соль (x)
d
дуплекс
, ; соль (x) =
Z 1
0
dy
соль (x, y)
;1
.
(38)
С той же самой ; соль мы добираемся для гиперболических действующих компаний,
Le =
¶
¶ t
+g (x, x/e)
¶
¶ x
, ;L =
¶
¶ t
+ ; соль (x)
¶
¶ x
. (39)
В более высоких размерах является более сложным раствор к (37). Для (39), даже
тип гомогенизированного уравнения зависит сильно от свойств коэффициентов,
см. [28, 37]. Для многомерного овального случая (35) структура
гомогенизированная действующая компания может все еще быть записана, пока коэффициенты
периодический или стохастический. Позвольте Соль (y): Резерфорд 7 ; Rd;d
каждый из его параметров. Позвольте Id обозначать площадь модуля в d размерах. Это может затем быть
показанный, [6], это
Le = ;; ·
СОЛЬ
x
ми
;
, ;L = ;; · (; G;), ;G =
Z
Id
Соль (y) ;G (y)
dc (y)
dy
dy, (40)
где dc/dy - якобиан функциональной до (y): Резерфорд 7 ; Резерфордов, данных, решая так
названная проблема обители,
; · Соль (y)
dc (y)
dy
= ; · Соль (y), y ; Id,
с периодическими граничными условиями для до.
3.2 Числовая гомогенизация
Классическая гомогенизация очень полезна, когда это применимо. Оригинальная проблема
с мелкими масштабами уменьшен до гомогенизированной проблемы, которую намного легче приблизить
в цифровой форме. См. левый путь в Рис. 8. Заключительная дискретизация ;L
;h
; u;h = ; f;h
удовлетворяет критерии мы осанка в конце вводной части Секте. 3; с тех пор там
;
независимо от ми и ; u ; ue для маленькой ми.
будьте однородно овальны и 1-периодическими в
не мелкие масштабы в гомогенизированном уравнении (37), размер h может быть выбран
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 219
Le ue = fe
HHHHHj
A
A
A
A
A
A
A
AU
;L
; u = ; f
?
Lehueh = feh
?
;L
;h
; u;h = ; f;h
;L
ми ;h
; ue ;h = ; fe ;h
Рис. 8. Схематические шаги в гомогенизации.
Если аналитическая гомогенизация не возможна, можно вместо этого в цифровой форме вычислить
подходящая дискретная действующая компания ;L ми ;h
у которого есть желаемые свойства. Мы называем такой
процедура числовая гомогенизация. Числовая гомогенизация может быть сделана
непосредственно как обозначено средним путем в Рис. 8, или первым discretizing оригинал
проблема и затем сжатие действующей компании Leh и данные feh как обозначено
правильный путь. В этой статье мы следуем за последней стратегией, и presentwavelet базировал методы
чтобы достигнуть числовой гомогенизации. Есть другие подобные методы
основанный на огрублении методов от алгебраического, многосеточного [41, 49]. В конечном элементе
установка эффекта микроструктуры может быть включена в структуру Galerkin
[38, 36]. Большое преимущество этих процедур в происходящих моделях подсетки
их общность. Они могут использоваться на любой системе отличительных уравнений и сделать нет
потребуйте разделения в отличный O (e) и O (1) масштабы или периодические коэффициенты. Они
может также использоваться, чтобы проверить, если физически разумно представить эффект тонких
масштабы на крупной сетке масштаба с местным оператором.
Оригинальные идеи для небольшой волны базировались, числовая гомогенизация от Beylkin
и Брюстер, [8 лет]. См. также [27, 32, 3, 15]. Метод был применен к нескольким
проблемы. Мы отсылаем читателя к [50] для фильтра волновода, содержащего тонкий масштаб
структура, с примерами того, как использовать числовой метод гомогенизации для
создайте модели подсетки, в особенности 1d модели от 2-ых моделей. В [44, 29]
в цифровой форме гомогенизированная действующая компания использовалась в качестве крупной действующей компании сетки в многосеточном
методы. Заявления к пористому потоку СМИ были рассмотрены в [55]. Выпрямление
процедура к нелинейным проблемам может быть найдена в [9, 42]. Для обзора небольшой волны
основанная числовая гомогенизация видит [30].
3.3 Получение в цифровой форме гомогенизированной действующей компании
Давайте считать дискретное приближение PDE в пространстве Vj+1,
Lj+1U = F, U, F ;Vj+1, Lj+1 ;L (Vj+1). (41)
Здесь Л (Vj+1) обозначает пространство ограниченных линейных действующих компаний от Vj+1 до себя,
который в нашем случае изоморфен к matrices в R2j+1;2j+1
. Уравнение может origi220
O. Runborg
nate от конечной разности, конечного элемента или конечной дискретизации объема данного
отличительное уравнение. В случае Хаара U может быть идентифицирован как кусочная константа
приближение u (x), раствора к непрерывной проблеме. Мы ищем действующую компанию
определенный на более крупной сетке, которая извлекает только крупную партию раствора. Для a
функция в пространстве Vj+1 это количество к партии в Vj.
Мы запускаем, применяя небольшую волну, преобразовывают матричный Wj в (30) или (32) к (41) от
левые и использование отношение W T
j
Wj = я. Мы добираемся
WjLj+1W T
j (WjU) = WjF.
Если мы анализируем WjLj+1W T
j
в четырех равных кварталах размера мы имеем
Aj Bj
Cj Lj
Uf
Uc
=
И следующие
ФК
, Uf, И следующие ;Wj, Uc, Fc ; Vj. (42)
Как прежде, “f” означает, что проектирование на тонкий масштаб подрасполагает с интервалами Wj, и трибуны “c” для
проектирование на крупный масштаб подрасполагает Vj с интервалами. Для простоты мы примем это F
дискретизация гладкой функции, таким образом что И следующие = 0. После eliminatingUf в (42)
через квартал Гауссовское устранение мы затем получаем
(Lj ;CjA;1
j Bj) Uc = ФК. (43)
В этом уравнении мы позволяем
;L
j: = Lj ;CjA;1
j Bj, ;L j ; Л (Vj). (44)
Эта действующая компания - половина размера оригинального Lj+1, определенного на дважды как крупная сетка.
Кроме того данный ;L j и ФК мы можем решить (43), чтобы получить крупную партию раствора,
Uc, беря влияние тонких масштабов не представляют inVj во внимание. По этим причинам
мы называем ;L j в цифровой форме гомогенизированной действующей компанией.
Мы обращаем внимание, что квартал в (42) названный Lj может быть письменным Lj = PjLj+1Pj, где Pj
ортогональное проектирование на Vj. Это может поэтому интерпретироваться как один тип прямых
дискретизация в крупном масштабе. Мы можем затем видеть CjA;1
j Bj как термин исправления к
эта дискретизация, которая включает явления подсетки в ;L j. В овальном случае, там
поразительное сходство между классической гомогенизированной действующей компанией в (40) и ;L j в
(44). Оба написаны как среднее число оригинальной действующей компании минус исправление
термин, который вычислен похожим способом к обеим действующим компаниям. Для аналитического случая,
местная овальная проблема обители решена, чтобы получить G¶yc, в то время как в (44), уверенная действующая компания
Aj, определенный на subspaceWj ;Vj+1, инвертирован, чтобы получить CjA;1
j Bj. Среднее число
условия получены интеграцией в аналитическом случае, и применяя Pj в
случай небольшой волны.
Процедура, чтобы получить ;L j может быть применена рекурсивно на ;L j непосредственно, чтобы получить ;L j;1 и
так на,
;L
j ; ;L j;1 ; ;L j;2 ;..., ;L j ; Л (Vj). (45)
То, что это возможно, может легко быть проверено, когда Lj+1 - симметрический определенный позитив
(см. Упражнение 7). Кроме того усовершенствование числа условия k часто
полученный. Как правило для стандартных дискретизаций
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 221
k (;Lk) <k (Lj+1),
когда k ; j.
Выше размерные проблемы могут быть обработаны похожим способом. Предположить
Lj+1U = F, U, F ; V j+1, Lj+1 ; Л (V j+1)
где V j+1 - двумерное пространство масштабирования в Замечании 1. При использовании двумерного
небольшая волна преобразовывает (33), каждый получает то же самое, в цифровой форме гомогенизированное
действующая компания (44) с Vj, замененным V j. Для этого случая тонкая партия масштаба U может быть
анализируемый как
Uf =
;
;
Uff
Ucf
Ufc
;
;, Uff ;Wj ;Wj, Ucf ; Vj ;Wj, Ufc ;Wj ;Vj.
В некоторых случаях гомогенизированная действующая компания сохраняет важные свойства оригинала
действующая компания. Позвольте передовым и обратным неделимым различиям быть определенными как
D+ui = ui+1;ui, D;ui = ui;ui;1.
В [27] было показано что одномерное овальное образцовое уравнение ; (gu ;) ; = f
discretized как
Lj+1U = ;
1
h2D+diag (g) D;U = F (46)
сохранит его форму расхождения во время гомогенизации. Таким образом, мы доберемся
;L
j = ;
1
(2h) 2D+HjD ;, (47)
где Hj - решительно диагональная доминантовая матрица, которая может интерпретироваться как
эффективный материальный коэффициент имел отношение к соль. Аналогично, для первого дифференциала порядка
соль действующей компании (x) ¶
¶ x
диагональ формы discretized (g) D ;/h консервирована во время гомогенизации,
;L
j =
1
2h
HjD ;. (48)
В двух размерах овальное образцовое уравнение ;; (соль (x, y) ;u) = f может быть discretized
как
Lj+1 = ;
1
h2
;;
Дуплекс +
GDx ;
+Dy
+GDy
;
, Lj+1U = F.
Затем ;L j больше не находится на точно той же самой форме как Lj+1. Поперечные производные должны
также будьте включены. Мы добираемся
;L
j = ;
1
(2h) 2
;;
Дуплекс +
HxxDx ;
+Dy
+HyxDx ;
+Dx +
HxyDy
; +Dy
+HyyDy
;
, (49)
для некоторого matrices Hxx, Hyx, Hxy, и Hyy.
222 О. Ранборга
j+1 - симметрический позитив, определенный затем, так ;L j. Завершить
от этого, что повторенная гомогенизация (45) возможна.
W T
j Lj+1Wj положителен определенный если и только
если Lj+1
;;
вес vT
W T
j Lj+1Wj
v
w
> 0, ;v, w 6 = 0.
;1
j
существует и затем возьмите v = ;A;1
j Bjw.
3.4 Компактное представление продемонстрированных действующих компаний
Когда действующая компания Lj+1 получена из конечной разности, конечного элемента или конечная
дискретизация объема, это редко и определенной структуры. В одном измерении это
мог бы, например, быть tridiagonal. Однако, в общем ;L j не будет представлен
разреженная матрица, даже если Lj+1, потому что A;1
j
как правило было бы плотно. Вычисления
все компоненты ;L j были бы неэффективны. К счастью, ;L j будет диагональной доминантой
во многих важных случаях и мы можем затем найти разреженную матрицу, которая является близким приближением
из ;L j. Если эта разреженная матрица имеет ленточную форму, она может видеться как дискретизация
из местного дифференциального оператора, действующего на крупное пространство.
Диагональное господство ;L j
Мы теперь рассматриваем некоторые случаи, где ;L j будет решительно диагональной доминантой. Это
связанный с соответствующими свойствами Aj.
В некоторых простых случаях матричный Aj является фактически диагональным. Примеры включают интеграл
действующие компании Л формы
Лютеций =
Z x
0
(t) u (t) dt+b (x) u (x). (50)
Как прежде, позвольте Pj быть ортогональным проектированием на Vj. Предположите, что Л является discretized в Vj+1
как Lj+1 = Pj+1LPj+1 с в (50) замененный Pj+1aPj+1, и подобный для си. Когда
система Хаара используется, Aj диагональный, и ;L j имеет ту же самую форму как Lj+1. Позвольте ;Ak
будьте связаны с ;Lk+1 через (42) таким же образом, поскольку Aj касается Lj+1. Прологом ;Ak
также диагональ для k <j. Действующие компании в (50) переворачивают вверх например в проблемах с
системы обычных отличительных уравнений и одномерных овальных уравнений,
см. [8, 32]. В этих случаях явное отношение повторения между уровнями масштаба может быть
установленный, который разрешает вычисление ;Lk на любом фиксированном уровне k как запуск
уровень, j+1, склоняется к бесконечности.
Для более общих проблем нужно вместо этого положиться на быстрый распад элементов
в Aj и ;L j от диагонали, которая является следствием хороших пробелов небольшой волны
свойства приближения обсуждены в Секте. 2.5. Скорость затухания Aj для Кальдерона -
Zygmund и псевдодифференциальным операторам дали Beylkin, Coifman и
Rokhlin в [10]. Позволяя Lj+1 = Pj+1LPj+1, Aj = {aj
k ;}, Bj = {bj
k ;} и Cj = {cj
k ;},
они показывают это
Упражнение 7. Покажите это если Л
. Затем
Объясните почему A
Подсказка для положительности: матрица
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 223
|aj
k ; | + | bj
k ; | + | cj
k ; | ;
2;l jCM
1 + | k ;; |M+1, |k ;; | ;n, (51)
когда у системы небольшой волны есть М. исчезающих моментов. Для действующих компаний Кальдерона-Зигманда
l = 0 и n = 2M. Для псевдодифференциального оператора n = 0 и символ
s (x, x) и его примыкающее должен оба принадлежать классу символа Sl
1 ,1
, то есть они должны
удовлетворите оценку
| ¶ a
x ¶ си
x s (x, x) | ;Ca, си (1 + | x |) l;a+b,
для некоторых констант Приблизительно, си. Например, во втором порядке овальный случай л = 2. Кроме того,
Beylkin и Coult, [11], показали это, если (51) держится одинаковых взглядов с л = 0 для Aj, Bj и
Cj, данный Lj+1 в (42), затем та же самая оценка также, держится для ;A j ;, ;B j ; и ;C j ;, здесь
данный Pj ;
;L
k+1Pj ; для j ; ; k <j с j+1, являющимся запускающимся уровнем гомогенизации.
Следовательно, скорость затухания консервирована после гомогенизации.
Оценка распада в [11] для ;A j ; однородна в k и, возможно, не диез для a
неподвижный k. Есть, например, общий результат Concus, Golub и Meurant, [22],
для диагональной доминанты, симметричной и tridiagonal matrices. Для тех случаев, который
включайте Aj, соответствующий дискретизации в (46) из одномерных овальных
действующая компания, у инверсии есть показательный распад,
A;1
j
k ;
;Cr|k ;; |, 0 <r <1.
Это держится также, когда у овальной действующей компании есть термин более низкоуровневый си типа (x) Їx
discretized с upwinding, [44].
Приближение ;L j
Мы теперь обсуждаем различные стратегии приближения ;L j. Простой подход
основной метод пороговой обработки использовал в [10], где маленькие элементы ;L j установлены на ноль.
Это, однако, не практично здесь, так как место съемок элементов отличных от нуля не может
управляйте, и мы хотим получить ленточное приближение ;L j, который переписывается
к дискретизации местного дифференциального оператора.
Первый, и самый простой, метод приближения, который мы используем, должен вместо этого установить все
компоненты вне предписанной пропускной способности n равный нолю. Это мотивируется
распад элементов от диагонали в ;L j. Давайте определим
trunc (М., n) я j =
(
Ми j, если 2|i ; j | ;n ;1
0, иначе.
(52)
Для n = 1 матрица является диагональной. Для n = 3 это - tridiagonal и так далее. Мы обращаемся к
это как усечение.
Во втором методе приближения матрица ;L j продемонстрирована на ленточный
форма в более эффективной манере. Цель состоит в том, что продемонстрированная матрица должна дать
тот же самый результат как оригинальная матрица на данном подпространстве, например, когда относился к векторам
224 О. Ранборга
представление гладких функций. Позвольте {vj} n
j=1
будьте рядом линейно независимых векторов
в RN. Обозначьте Tn подпространство RN;N с matrices essentially4 пропускной способности
n. Кроме того позволить
Ln = {М. ; RN;N: промежуток {v1, v2..., vn} ; N (M)},
где N (M) представляет нулевое пространство М. Затем
RN;N = Tn ;Ln
и мы определяем проектирование диапазона матричного М. ; RN;N как проектирование М. на
Tn вдоль Ln, с нотацией
диапазон (М., n) = ProjTnM. (53)
Как следствие,
Mx = диапазон (М., n) x, ;x ; промежуток {v1, v2..., vn}.
В нашей установке M будет обычно воздействовать на векторы, представляющие гладкие функции, для
растворы случая к овальным уравнениям, и естественный выбор для vj векторов таким образом
первые n полиномиалы,
vj = {1j;1,2j;1..., Nj;1} T, j = 1..., n.
Гладкие растворы к гомогенизированному problemshould быть углублением, приближенным ими
векторы. Для случая n =1 мы получаем норму “masslumping” amatrix, часто используемого
в окружении методов конечных элементов.
Этот метод подобен методу исследования, используемому Чаном и др., [14]. В
тот случай векторы vj является суммами векторов модуля. Другие методы исследования были
предложенный Акселссоном, Pohlman и Wittum; см. [4, Парень. 8]. Выбор vj
векторы могли быть оптимизированы, если есть некоторое априорное познание гомогенизированного
раствор.
Два метода усечения, описанные выше, еще более эффективны когда применено
к Hj, эффективному коэффициенту, вместо непосредственно к гомогенизированной действующей компании
;L
j. Для (46, 47) мы могли например приблизиться
;L
j ; ;
1
(2h) 2-ой + trunc (H, n) D ;.
Следующее суждение показывает что когда раствор к гомогенизированной проблеме
принадлежит H1 пространства Соболева (R), точность этого подхода - один порядок
выше.
4 Мы должны потребовать, чтобы у каждой строки matrices в Tn было то же самое число элементов.
Поэтому, первому и последнему n ;1 строка определят местонахождение дополнительных элементов немедленно
направо и оставленный диапазона, соответственно.
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 225
Суждение 1. Предположите Л = D+HD ; и ЛЮТЕЦИЙ = h2 f. Рассмотрите встревоженные проблемы
(L+d L) (U +dUL) = h2 f, D + (H +dH) D ; (U +dUH) = h2 f.
Для достаточно маленьких волнений, и той же самой постоянной До,
|| dUL || ;C || d Л ||
|| Л || || U ||, || dUH || ;
h
2
До || разность высот ||
|| H || || u || H1,
где || · || обозначает дискретную L2-норму, и u - любая H1-функция, таким образом что Uj =
u (jh).
См. [3] для доказательства.
Другой подход, предложенный Chertock и Levy [15], должен только приблизиться
A;1
j
, высокочастотная партия продемонстрированной действующей компании. В этом случае мы приблизились бы
;L
j ; Lj ;Cj trunc (A;1
j, n) Bj.
Числовые данные в [15] сильно свидетельствуют, что это дает лучшее приближение
чем усечение полной действующей компании. В особенности стратегия работает лучше когда усечение
сделан в каждом шаге гомогенизации, вместо только в заключительном шаге. Это также
более простой чем приближение Hj в более высоких размерах.
Вычисления полной инверсии Aj дороги, и уменьшать вычислительную стоимость
можно вычислить усечение trunc (;L j, n) непосредственно. Написанием прописными буквами на почти
редкая структура matrices вовлекала, это показали в [11], которым может быть стоимость
уменьшенный до O (N) операции для N unknowns и установленной точности. Кроме того, то же самое
гомогенизированная действующая компания будет как правило снова использоваться многократно, например с различным
правые стороны, или в различном помещает геометрии как модель подсетки.
Вычисление диапазона (;L j, n) может быть основано на trunc (;L j, ;), ;> n. Дополнительное
вычислительная стоимость пропорциональна (n3 + ;n) N. Термин n3N соответствует
решая N n ;n системы и ;nN к вычислениям правых сторон, см. также [4].
В двух усечениях размеров к простой ленточной форме является вообще не соответствующим,
так как полная действующая компания как правило будет соединенным кварталом. Однако, оба сырое усечение
и проектирование диапазона делает вывод легко, чтобы обработать квартал соединенная форма вместо этого
из только ленточного. Позвольте М. быть результатом тензора двух N ;N matrices. Затем мы определяем
усечение как
trunc2 (М., n) я j =
(
Ми j, если 2|i ; j;rN | ;n ;1 ; | 2r |,
0, иначе, |2r | + 1 ;n. (54)
Это подражает типичной блочной конструкции discretized дифференциального оператора. Для
проектирование диапазона, пространство Tn ленточного matrices на одномерной четкости,
просто заменен пространством matrices с соединенным изображением разреженности квартала
определенный в (54).
В двух размерах распутывая различные компоненты H (49) от ;L j больше
сложный чем обнаружение H в (47) и (48) для одномерных проблем. Хотя,
в принципе это может все еще быть сделано, может быть легче усечь A;1
j
чем
H компоненты для двумерных проблем, как предложено в [15].
226 О. Ранборга
Точный
n=13
n=15
n=17
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
trunc (Л, n)
Точный
n=3
n=5
n=7
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
trunc (H, n)
Точный
n=1
n=3
n=5
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
диапазон (H, n)
Точный
n=3
n=5
n=7
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
диапазон (Л, n)
Рис. 9. Результат для овальной образцовой проблемы, соль (x) случайный, когда гомогенизированная действующая компания
приближен по-разному. "Точный" раствор обращается к раствору с полным
32;32 гомогенизированная действующая компания
4 Числовых примера
В этом разделе мы представляем числовые результаты для алгоритмов, описанных выше. Мы
сначала рассмотрите овальные проблемы в одном измерении и уравнение Helmholtz в одном
и два размеров. Однородная, центральная, конечная дискретизация объема используется в
числовые эксперименты. Шаги гомогенизации сделаны в норме Хаар
основание. Вычислительный домен - единичный интервал (площадь в 2-ом). Размер сетки
обозначенный n, и размер обители h = 1/n. Еще для многих числовых примеров см. [30]
и, для стратегии приближения, вовлекающей A;1
j
, [15].
4.1 1D овальное образцовое уравнение
Мы приближаемся
; ¶xg (x) Їxu = 1, u (0) = ux (1) = 0,
где у содействующей соль (x) есть однородное случайное распределение в антракте [0.5,1].
Мы берем n=256 узлы решетки и делаем три шага гомогенизации. Самый крупный уровень
затем содержит 32 узла решетки.
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 227
Точный
n=13
n=15
n=17
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
trunc (Л, n)
Точный
n=3
n=5
n=7
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
trunc (H, n)
Точный
n=1
n=3
n=5
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
диапазон (H, n)
Точный
n=7
n=9
n=11
0 0.5 1
;1
;0.8
;0.6
;0.4
;0.2
0
диапазон (Л, n)
Рис. 10. Результат для овальной образцовой проблемы, соль (x) разрез, когда гомогенизированная действующая компания
приближен по-разному. "Точный" раствор обращается к раствору с полным
32;32 гомогенизированная действующая компания
В Рис. 9 сравнены различные стратегии усечения. Точный контрольный раствор
дан в цифровой форме гомогенизированной действующей компанией на самом крупном уровне без
любое усечение. Это эквивалентно проектированию на крупный масштаб раствора
в самом тонком масштабе. В лучших двух побочных сюжетах мы используем усечение (52). В дне
два побочных сюжета мы используем проектирование диапазона, описанное в Секте. 3.4. Приближение
исполнен на H, см. (47), и на ;L после всех трех гомогенизаций. Мы видим это
проектирование диапазона дает лучшее приближение. Мы также видим, что это более эффективно к
усеките H чем усечь ; Л.
Затем, коэффициент в отличительном уравнении изменен на
соль (x) =
(
1/6, 0.45 <x <0.55,
1, иначе.
(55)
Все другие характеристики сохранены. Результат дан в Рис. 10, и это показывает что
относительные заслуги различных методов - более или менее то же самое. Структуры
неусеченный ;L и H matrices показывают в Рис. 11. Это должно быть примечательно что
местная неоднородность полной действующей компании намазала по более крупной штрафной, но это
все еще чрезвычайно местный.
228 О. Ранборга
Рис. 11. Структура неусеченных гомогенизированных действующих компаний ;L (оставленный) и H (прямо) для
овальная образцовая проблема, соль (x) разрез. Уровень серого указывает на абсолютное значение элементов
4.2 1D уравнение Helmholtz
В этом разделе мы решаем уравнение Helmholtz
¶xg (x) Їxu+w2u = 0, u (0) = 1, ux (1) = 0.
Мы используем w =2p и та же самая соль (x) как в (55), и снова мы берем n = 256 и используем три
гомогенизации. Мы добираемся
; Лу =
(
;L
;w2I) u = 0.
Усечение исполнено на ;L (или ;H) а не на ;L. Результат находится в Рис. 12. Мы видим это
Уравнение Helmholtz дает результаты, подобные таковым из образцового уравнения. Снова диапазон
проектирование более эффективно, чем усечение и приближающийся H более эффективно
чем приближение ; Л.
4.3 2-ое уравнение Helmholtz
Мы рассматриваем двумерную версию уравнения Helmholtz,
; · соль (x, y) ;u+w2u = 0, (x, y) ; (0,1) 2,
с периодическими граничными условиями в y-направлении, и в левых и правых границах,
u (0, y) = 1, ux (1, y) = 0 соответственно. Это - простая модель плоскости timeharmonic
волна амплитуды один ввод вычислительного домена в строке x=0,
проходя через среднего размера, определенное coefficent соль (x, y) и вытекая в x = 1.
Как пример мы выбираем соль (x, y) показанный в Рис. 13, который представляет стенку с
маленькое отверстие, куда поступающая волна может пройти. С w = 3 пункта и n = 48,
мы получили результаты, представленные в Рис. 14.
Действующая компания гомогенизирована после теории для двумерных проблем
в Секте. 3.3. После того, как один шаг гомогенизации является усеченным согласно (54). Мы показываем
результаты усечения в Рис. 15, для различных значений n. Случай n = 9 переписывается
к сжатию приблизительно к 7 % первоначального размера. Структура
эту действующую компанию показывают в Рис. 16.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Л
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
H
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 229
Точный
n=7
n=9
n=11
0 0.5 1
;2
;1
0
1
2
trunc (Л, n)
Точный
n=3
n=5
n=7
0 0.5 1
;2
;1
0
1
2
trunc (H, n)
Точный
n=1
n=3
n=5
0 0.5 1
;2
;1
0
1
2
диапазон (H, n)
Точный
n=7
n=9
n=11
0 0.5 1
;2
;1
0
1
2
диапазон (Л, n)
Рис. 12. Результат для уравнения Helmholtz, соль (x) разрез, когда гомогенизированная действующая компания
приближенный по-разному. "Точный" раствор обращается к раствору с полным 32;32
гомогенизированная действующая компания
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x y
соль (x, y) =
;;;
;;
10;4, 0.4 <x <0.5 и
|y;0.5 |> 0.05,
1, иначе.
Рис. 13. Переменная содействующая соль (x, y) используемый в 2-ом примере Helmholtz
230 О. Ранборга
0
0.5
1 0
0.5
1
;2
;1
0
1
2
Оригинальный
0
0.5
1 0
0.5
1
;2
;1
0
1
2
1 гомогенизация
0
0.5
1 0
0.5
1
;2
;1
0
1
2
2 гомогенизации
0
0.5
1 0
0.5
1
;2
;1
0
1
2
3 гомогенизации
Рис. 14. Результат для 2-ого примера Helmholtz. Раствор, показанный для 0..., 3 гомогенизации
шаги
0
0.5
1 0
0.5
1
;2
0
2
Неусеченная действующая компания
x y
0
0.5
1 0
0.5
1
;10
0
10
n=5
x y
0
0.5
1 0
0.5
1
;2
0
2
n=7
x y
0
0.5
1 0
0.5
1
;2
0
2
n=9
x y
Рис. 15. Результаты для 2-ого примера Helmholtz, используя один шаг гомогенизировали действующую компанию,
усеченный с различным n
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 231
0 100 200 300 400 500
0
100
200
300
400
500
nz = 19026
Рис. 16. Структура гомогенизированной действующей компании ;L, после одного шага гомогенизации, для 2-ого
Пример Helmholtz. Элементы, больше чем 0.1 % показанного значения max
Компьютерное упражнение
Мы заканчиваем эту обучающую программу предложенным компьютерным упражнением, которое может быть сделано например, в
MATLAB. Рассмотрите образцовую овальную краевую задачу в одном измерении
; ¶xge (x) Їxu = f, u (0) = ux (1) = 0. (56)
Введите сетку {xk} N;1
k=0
где xk = (k+1/2) h и h = 1/N. Позвольте Великобритании приближаться
u (xk) и setU = (u0..., uN;1) T ; RN, F = (f (x0)..., f (xN;1)) T ; RN. Затем используйте
стандартные центральные различия,
1
h2D+GD;U = F. (57)
Здесь Соль - диагональная матричная дискретизация по времени ge (x) в x = kh, k = 0..., N ; 1 и D±
передовые/обратные действующие компании различия. Приближая границу
у условий u;1 +u0 = 0 и uN = uN;1 действующие компании различия есть матрица
представления
D + =
;
;;;;;;
;1 1
;1 1
. . .
. . .
;1 1
;1
;
;;;;;;
D ; =
;
;;;;;;
2
;1 1
. . .
. . .
;1 1
;1 1
;
;;;;;;
.
Затем (57) второй метод порядка для (56).
Поскольку числовой homogenizationwe будет только использовать небольшие волны Хаара. Кроме того, мы будем
не касаться вычислительных затрат, а скорее свойств приближения
из в цифровой форме гомогенизированной действующей компании. Позвольте N = 2n для некоторого n, достаточно
232 О. Ранборга
большой, чтобы решить ми - масштабируются в (56). В случае Хаара функции u ; Vn кусочны
постоянный и их масштабные коэффициенты un, k удовлетворяет un, k = 2;n/2u (xk) ; 2;n/2uk. После
соответствующее перемасштабирование мы можем поэтому интерпретировать (57) как дискретизацию в Vn,
LnUn = Fn, Un, Fn ; Vn, Ln: = 22nD+GD ;,
где Un и Fn содержат масштабирующиеся коэффициенты u (x) и f (x) в Vn.
1. Позвольте соль (x, y) =0.55+0.45sin (2py) си (x;0.5), с си (x) =exp (;20x2) и f (x) =
грех (2px) +1/2. Используйте ge (x) = соль (x, x/e) для некоторой маленькой ми. Моделируйте подробное
уравнение и сравнивает это с a) постоянное содействующее уравнение, используя арифметику
имейте в виду ge (x), то есть ; соль ; 0.55, и b) гомогенизированное уравнение (38). (Определите,
по крайней мере, в цифровой форме, гомогенизированный коэффициент ; соль (x) использование состава
в (38).)
2. Вычислите в цифровой форме гомогенизированную действующую компанию ;Lm использующий (44, 45) основанный на (30).
Позвольте м. <n быть выбранным так, чтобы ми - масштаб составил в среднем, то есть 2;m ; ми. (Удостоверьтесь
n является достаточно большим хотя, 2;n ; ми.) Исследуют структуру ;Lm и проверяют
то, что это его элементы распадается быстро далеко от диагонали. Приблизьте ;Lm
усечение (52) к n диагоналям. Проверьте, сколько диагоналей, которых Вы должны придерживаться, добирается
приемлемый раствор.
3. (47) мы можем написать в цифровой форме гомогенизированной действующей компании на той же самой форме
как оригинал,
;L
m = 22mD+HD ;, (58)
для некоторой матрицы H, который соответствует “эффективному материальному коэффициенту” в
масштаб м. Вычисляет H и проверяет, что это - решительно диагональная доминанта. Приблизительный
H усечением (52) и восстанавливают приближение ;Lm от состава
(58). Сколько диагоналей Вы должны сохранить теперь? Приблизьте H диапазоном
проектирование (53) к одиночной диагонали, то есть “массовому смешиванию,” H ; диапазон (H, 1) =
диагональ (H1), где 1 постоянный вектор. Насколько хороший соответствующий раствор?
Как делает диапазон (H, 1) сравниваются с оригинальным коэффициентом ge (x) и с
гомогенизированный коэффициент ; соль (x)?
4. Проверьте несколько других типов коэффициентов:
a) Система с тремя масштабами, например.
ge (x) =
1
2
(соль (x;0.1, x/e1) +g (x+0.1, x/e2)), e1 ;e2 ;1.
Используйте различный м. = m1, m2, чтобы получить поведение в различных масштабах, то есть.
2;m1 ;e2 ;2;m2 ;e1.
b) Случайный коэффициент,
ge (x) = 0.1+b (x;0.5) U (x),
где си (x) - поскольку выше, andU (x) однородно распределенные случайные числа
в антракте [0,1] для каждого x. (Используют команду рэнда MATLAB.)
c) Ограниченный коэффициент,
ge (x) =
(
0, |x;0.5 | ; ми,
1
ми, |x;0.5 | <ми.
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 233
Ссылки
1. Си. Олперт. Класс основ в L2 для редкого представления составных действующих компаний. СИАМ
J. Математика. Анальный., 24 (1):246-262, 1993.
2. Дж. Андерсон. Вычислительная Гидрогазодинамика, Основы с Приложениями. Макгроу -
Хилл, 1995.
3. У. Андерсон, Б. Энгкуист, Г. Ледфелт, и О. Ранборг. Вклад в основанный на небольшой волне
моделирование подсетки. Прикладной. Comput. Хармон. Анальный., 7:151-164, 1999.
4. О. Акселссон. Повторяющиеся Методы Раствора. Издательство Кембриджского университета, 1994.
5. Соль. Сражение. Конструкция вращения квартала ondelettes. Математика Коммуникации. Физика, 110:601-615,
1987.
6. A. Bensoussan, J.-L. Львы, и Г. Пэпэниколо. Асимптотический Анализ для Периодических Структур.
Северно-голландский Publ. Обязательная программа, Нидерланды, 1978.
7. Дж. Берг, Ф. Экштедт, и М. Линдберга. Небольшие волны. Studentlitteratur, Лунд, 1999.
8. Соль. Beylkin и M. Brewster. Стратегия мультиразрешения числовой гомогенизации.
Прикладной. Comput. Хармон. Анальный., 2:327-349, 1995.
9. Соль. Beylkin, М. Э. Брюстер, и А. К. Гильберт. Стратегия мультиразрешения числового
гомогенизация нелинейных ПЕСНЕЙ. Прикладной. Comput. Хармон. Анальный., 5:450-486, 1998.
10. Соль. Beylkin, Р. Коифмен, и V. Rokhlin. Быстрая небольшая волна преобразовывает и числовые алгоритмы
I. Коммуникация Чистая Прикладная Математика., 44:141-183, 1991.
11. Соль. Beylkin и Н. Ко. Стратегия мультиразрешения снижения овального PDEs и
проблемы собственного значения. Прикладной. Comput. Хармон. Анальный., 5:129-155, 1998.
12. Ми. Дж. Кэнд `es и Д. Л. Донохо. Ridgelets: ключ к более многомерным перебоям?
Фил. Сделка. Р. Сок. Lond. A., 357:2495-2509, 1999.
13. Ми. Дж. Кэнд `es и Д. Л. Донохо. Curvelets - удивительно эффективное неадаптивное представление
для объектов с краями. В А. Коэне, К. Рэбуте, и Л. Л. Шумэкере, монтажерах,
Изгибы и Поверхности, нумерует страницы 105-120. Нажатие Унив Вандербилта, 2000.
14. Т. Чан и T.Mathew. Метод исследования интерфейса в разложении домена. СИАМ
J. Анальная матрица. Прикладной, 13 (1):212-238, январь 1992.
15. A. Chertock и Д. Леви. На основанной на небольшой волне числовой гомогенизации. Мультимасштаб
Модель. Simul., 3 (1):65-88 (электронный), 2004/05.
16. До. K. Chui и Дж. З. Ван. Кардинальный сплайн приближается к небольшим волнам. Proc. Amer. Математика.
Soc., 113:785-793, 1991.
17. A. Коэн, В. Дэхмен, и Р. А. Девор. Адаптивные методы небольшой волны для овальной действующей компании
уравнения: уровни Конвергенции. Математика. Обязательная программа, 70:27-75, 2001.
18. A. Коэн, я. Daubechies, и Дж. Фово. Ортогональные висмутом основы сжато поддержанного
небольшие волны. Коммуникация Чистая Прикладная Математика., 45:485-560, 1992.
19. A. Коэн, я. Daubechies, Б. Джейрт, и П. Виэл. Анализ мультиразрешения, небольшие волны и
быстрые алгоритмы на антракте. До. Р. Акэд. Научный Париж S;er. Я Математика., я (316):417-421, 1993.
20. A. Коэн, С. М. Кэбер, S. M;uller, и М. Постель. Полностью адаптивное конечное мультиразрешение
замыслы объема правил сохранения. Математика. Обязательная программа, 72 (241):183-225, 2003.
21. Р. Р. Коифмен, И. Мейер, С. Куэк, и М. V. Wickerhauser. Обработка сигналов и
сжатие с пакетами волны. В И. Мейере, монтажере, Слушаниях Международного
Конференция по Небольшим волнам, Марселю, 1989. Массон, Париж, 1992.
22. До. Concus, Г. Х. Голуб, и Г. Меурэнт. Предварительное создание условий квартала для сопряженного градиента
метод. СИАМ J. Наука. Stat. Обязательная программа, 6:220-252, 1985.
23. В. Дэхмен. Небольшая волна и методы мультимасштаба для уравнений действующей компании. Деяния Numerica,
6:55-228, 1997.
24. Я. Daubechies. Основы Orthonormal сжато поддержанных небольших волн. Коммуникация, Чистая Прикладной.
Математика., 41:909-996, 1988.
234 О. Ранборга
25. Я. Daubechies. Десять Лекций по Небольшим волнам. СИАМ, 1991.
26. Р. А. Девор и Б. Дж. Лукир. Небольшие волны. Деяния Numerica, 1:1-56, 1991.
27. М. Dorobantu и Б. Энгкуист. Основанная на небольшой волне числовая гомогенизация. СИАМ J.
Numer. Анальный., 35 (2):540-559, апрель 1998.
28. Гомогенизация В. Э. линейных и нелинейных транспортных уравнений. Коммуникация, Чистая Прикладной.
Математика., 45 (3):301-326, 1992.
29. Си. Engquist и Э. Луо. Конвергенция многосеточного метода для овальных уравнений с
очень колебательные коэффициенты. СИАМ J. Numer. Анальный., 34 (6):2254-2273, 1997.
30. Си. Engquist и О. Ранборг. Основанная на небольшой волне числовая гомогенизация с приложениями.
В Т. Дж. Барте, канале Т. Ф., и Р. Хэймесе, монтажерах, Мультимасштаб andMultiresolution Методы,
объем 20 из Lect. Примечания Comput. Научный Инженер, нумерует страницы 97-148. Спрингер, Берлин, 2002.
31. Дж. Джеронимо, Д. Хардин, и П. Р. Мэссопаст. Рекурсивные функции и расширения небольшой волны
основанный на нескольких масштабирующихся функциях. J. Приблизительно Теория, 78 (3):373-401, 1994.
32. A. До. Гильберт. Сравнение мультиразрешения и классической одномерной гомогенизации
замыслы. Прикладной. Comput. Хармон. Анальный., 5 (1):1-35, 1998.
33. A. Гроссман и Дж. Морлет. Decompostion Выносливых функций в интегрируемую площадь
небольшие волны постоянной формы. СИАМ J. Математика. Анальный., 15 (4):723-736, 1984.
34. A. Хаар. Zur Theorie der orthogonalen Funktionen-Systeme. Математика. Энн., 69:331-371,
1910.
35. A. Harten. Адаптивные замыслы мультиразрешения вычислений шока. Дж. Компьют. Физика,
115(2):319-338, 1994.
36. Т. И. Ху и X. Х. Ву. Метод конечных элементов мультимасштаба для овальных проблем в
композиционные материалы и пористые СМИ. Дж. Компьют. Физика, 134 (1):169-189, 1997.
37. Т. И. Ху и X. Xin. Гомогенизация линейных транспортных уравнений с колебательным
векторные поля. СИАМ J. Прикладная Математика., 52 (1):34-45, 1992.
38. Т. Дж. Р. Хьюз. Явления мультимасштаба: функции Зеленого цвета, Dirichlet-к рецептура Ноймана,
подсетка, макеты, пузыри и происхождение устойчивых методов. Comput.
Методы Прикладной Механик Энгрг., 127:387-401, 1995.
39. Си. Jawerth и В. Свелденс. Общий обзор небольшой волны базировал исследования мультиразрешения.
СИАМСКИЙ Преподобный, 36 (3):377-412, 1994.
40. Дж. Келлер. Геометрическая теория дифракции. Дж. Опт. Soc. Amer., 52, 1962.
41. С. Нэпек. Матрично-зависимая многосеточная гомогенизация для проблем распространения. СИАМ J.
Наука. Stat. Обязательная программа, 20 (2):515-533, 1999.
42. Дж. Кришнэн, О. Ранборг, и I.G. Kevrekidis. Анализ раздвоения нелинейного reactiondiffusion
проблемы используя основанные на небольшой волне методы снижения. Comput. Chem. Инженер,
28:557-574, 2004.
43. P.-соль. Lemari;e. Une nouvelle базируют d’ondelettes de L2 (R). Дж. Мэт. Прикладной Pures,
67(3):227-236, 1988.
44. Д. Д. Леон. Действующие компании небольшой волны, Относившиеся Многосеточные Методы. Диссертация, Отдел
из Математики, UCLA, 2000.
45. С. Г. Маллэт. Приближения мультиразрешения и небольшая волна orthonormal основы L2 (R).
Сделка. Amer. Математика. Soc., 315 (1):69-87, 1989.
46. И. Мейер. Принсипе d’incertitude, Hilbertiennes основ в alg `ebres d’op;erateurs. S;eminaire
Bourbaki 662, 1985-1986.
47. И. Мейер. Ondelettes и fonctions сплайны. S;eminaire ;уравнения aux d;eriv;ees partielles 6,
;МИ
Многометод капусты, 1986-1987.
48. И. Мейер. Небольшие волны: Алгоритмы и Приложения. СИАМ, Филадельфия, Пенсильвания, 1993.
49. Н. Неусс, W. J;ager, и G.Wittum. Гомогенизация и многосеточный. Вычисления, 66 (1):1-
26, 2001.
Небольшие волны и Числовая Гомогенизация 235
50. Отделение связи Перссон и О. Ранборг. Моделирование фильтра волновода, использующего основанный на небольшой волне
числовая гомогенизация. Дж. Компьют. Физика, 166:361-382, 2001.
51. Соль. Странг и Т. Нгуиен. Небольшие волны и Наборы фильтров. Wellesley, Кембридж, 1996.
52. Дж. О. Штр•омберг. Измененная система Франклина и более высокие системы сплайна порядка на Rn как
безоговорочные основы для пробелов Харди. В Beckner и др., монтажере, Конференции по Гармонике
Анализ в честь Антони Сигмунда, объем II, нумерует страницы 475-494, Чикаго, 1981. Унив.
из Чикагского Нажатия.
53. В. Свелденс. Возносящийся замысел: конструкция небольших волн второго поколения. СИАМ
J. Математика. Анальный., 29 (2):511-546, 1997.
54. A. Taflove. Вычислительный Electromagnetics, Временной интервал Конечной разности
Метод, глава 10. Фирма Artech, 1995.
55. C.-M. Ван. Основанная на небольшой волне Числовая Гомогенизация с Приложением, чтобы Втечь
Пористые СМИ. Диссертация, Отдел Математики, UCLA, 2005.
56. Д. Вилкокс. Буря, Моделирующая для CFD. DCW Industries, Inc., 1993.
57. J.-до. AndW.-до Ксу. Shann. Методы Galerkin-небольшой-волны для краевых задач с двумя очками.
Numer. Математика., 63 (1):123-142, 1992.
3
1 университет Техаса в Остине, Остине, Техаса 78712,
{ariel, engquist, ytsai} @math.utexas.edu
2 Отдела Числового Анализа, KTH, 100 44 Стокгольма, Швеция
3 Института Tr;ask;o-Stor;o Математики
Резюме. Мы рассматриваем выбор существенных методов для того, чтобы создать вычислительный мультимасштаб
методы для очень колебательных ПЕСНЕЙ. Вопреки типичным подходам та попытка
чтобы увеличить область стабильности для специализированных проблем, эти примечания лекции подчеркивают как
свойства мультимасштаба очень колебательных систем могут быть характеризованы и приближены в
истинная мода мультимасштаба, подобная настройкам усреднения и гомогенизации. Важный
понятия, такие как резонанс, медленные постом взаимодействия масштаба, усреднение, и методы для преобразований
к нежестким формам обсуждены в элементарной манере так, чтобы материалы могли
будьте легкодоступны для начинающихся аспирантов в прикладной математике или вычислительны
науки.
1 Вводная часть
Колебательные системы составляют широкое и активное поле научных расчетов.
Одно из типичных числовых испытаний воскресает когда частота колебаний
богато или по сравнению со временем или по сравнению с пространственным масштабом интереса. В этом случае,
из колебаний дискретизации по времени соответственно числовыми дискретизациями по относительно
большой домен. Несколько общих стратегий контакта с колебаниями могут быть найдены
в литературе, например, асимптотический анализ [5, 22, 23], составляя в среднем [20, 29], envetions,
которые не являются колебательными в домене интересов. Например, центр
или частота генераторов может измениться медленно вовремя. Действительно, это часто имеет место это
количества интереса связаны с этими неколебательными структурами. Снижение
вычислительные затраты таким образом возможны, избегая прямого разрешения oscillathe
уравнение волны формы (x, t) exp (S (x, t)/e) вычислено через растворы
уравнение eikonal для фазы S и транспортные уравнения для амплитуды A. С тех пор
eikonal и транспортные уравнения не зависят от ми - колебания масштаба, стоимость
Вычисления мультимасштаба для Очень Колебательного
Проблемы
lope, отслеживающий [27, 28], явные решения соседних колебательных проблем [25, 30, 31].
Эти стратегии как правило используют некоторые глубинные структуры, связанные с oscillacost
поскольку вычисления могут как правило становиться чрезвычайно дорогими из-за потребности
tions. Возьмите геометрическую оптику [13, 21] например. Высокочастотный раствор
Хайнц-Отто Крайсс, и Ричард Тсай 1,2 Джила Арил1, *, Bjo ; rn Engquist, *,
* Ариэль, Engquist, и Tsai частично поддержаны DMS-0714612 гранта ННФ.
1,*
238 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
вычисление формально независимо от быстрого масштаба также. Они текущая лекция
примечания сосредотачиваются на том, чтобы создавать эффективные численные методы мультимасштаба, которые только производят выборку
быстрые колебания. Выбранная информация используется, чтобы описать развитие полезного времени
для системы в более длинных шкалах времени. Общий подход, лежащий в основе их
методы прибывают из теории усреднения.
В этих примечаниях мы рассматриваем системы обычных отличительных уравнений (ПЕСНИ)
которые развиваются в двух широко разделенных шкалах времени. Типичные примеры
1. Встревоженные линейные колебания:
ми x ; = Ax+eg (x), (1)
где A - diagonalizable и имеет просто воображаемые собственные значения. Класс
примеры включают уравнение Ньютона движения для встревоженных гармонических генераторов
ми x ;; = ;W2x+eg (x),
которые найдены во многих приложениях. Здесь, ми параметра, 0 <ми ;1, характеризует
разделение шкал времени в системе.
2. Полностью нелинейные колебания вызваны от разложения в системах. Примеры
включайте генераторы Ван дер Пола и другие генераторы релаксации.
3. Слабо двойные нелинейные генераторы, которые являются близко к медленному периодическому изменению
орбиты. Примеры включают Ван дер Пола (с маленьким увлажнением) и Волтерра-Lotka
генераторы.
Эффективные и точные вычисления колебательных проблем требуют существенный
познание об основных быстрых колебаниях. Или Используя аналитичный или Используя числовой
методы, наш общий основной принцип должен смоделировать колебания и образец
их взаимодействия. Очень часто аналитические методы не делают явных решений результата, и
должны быть применены подходящие численные методы.
Один из толчков currentmajor находится в развитии numericalmethods, которые позволяют
долговременное вычисление колебательных растворов к гамильтоновым системам. Интерес
в таких системах прибывает от молекулярных движущих сил, который пытается моделировать некоторых
основная физика в шкале времени интереса. Эти методы как правило пытаются к
приблизительно сохраните некоторое аналитическое постоянство растворов; например, общее количество
энергия системы, symplectic структуры, или обратимость потока. Подробный
повторения и дальнейшие ссылки на этом активном поле “геометрической интеграции” могут быть
найденный в [18] и [26].
Метод Verlet и другие подобные геометрические интеграторы - методы
выбор для многих очень колебательных моделирований. Они требуют, однако, тактов
это короче чем колебательная ми длины волны и поэтому не может использоваться когда
ми является очень маленькой.
ми длины волны, но они применяются только к ограниченным классам отличительных уравнений [18].
В пути, который напоминает обсуждение геометрической оптики выше начиная с этих методов
явно используйте показательную функцию, чтобы представить ведущие условия в колебаниях.
Они подходят для проблем, которые являются гладкими волнениями проблем
с постоянными коэффициентами.
Показательные интеграторы учитывают такты, которые более длительны чем колебательное
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 239
Другой общий подход для того, чтобы иметь дело с явлениями мультимасштаба в вычислительном отношении
может упоминаться как повышение [33]. Общее представление состоит в том, чтобы искусственно "понять" или
"рекламируйте" маленькую ми параметра так, чтобы чопорность проблемы была уменьшена. Известный
методы, которые попадают в эту категорию, являются искусственной сжимаемостью Шорина [7] и
Автомобильный-Parrinello метод, используемый в молекулярных движущих силах [6].
Эта обучающая программа отклоняется от предыдущих текстов в этом, мы не полагаемся или предполагаем некоторых
определенные свойства или специальный класс ПЕСНЕЙ, такие как гармонические колебания или гамильтониан
движущие силы. Вместо этого методы мультимасштаба, обсужденные здесь, вычисляют эффективное
поведение колебательной системы, объединяя колебания в цифровой форме в
кратковременные окна и дискретизация по времени их взаимодействия подходящим усреднением. Действительно,
одна из основных целей этого текста состоит в том, чтобы сделать идеи обсужденными выше математически
значащий. Последующие разделы определят то, что мы подразумеваем эффективным
поведение данной очень колебательной системы, опишите теорию усреднения,
структура наших алгоритмов мультимасштаба и его вычислительной сложности.
Объективы вычислений мультимасштаба
Одна из основных проблем в проблемах, вовлекающих многократные масштабы, то, что точное
вычисления, пытаясь решить самые тонкие масштабы, вовлеченные в dynamicsmay быть
в вычислительном отношении неосуществимый. В классическом числовом анализе для ПЕСНЕЙ, важного
элементы - стабильность, надежность и в конечном счете конвергенция. В норме
размер идет в ноль. Ошибки зависят от сил собственных значений якобиана
из правой стороны ПЕСНИ и размера шага. Однако, в нашей установке мультимасштаба,
рассмотрите асимптотические случаи когда частота самых быстрых колебаний, который
потребность заново продумать, что надежность и конвергенция означают в установке мультимасштаба.
Одна возможность - следующее: позвольте Ми (t; ;, e) обозначьте ошибку числового приближения
во время t, используя размер шага ; и для проблем с e;1 колебаниями, нами
рассмотрите конвергенцию Ми для 0 <ми <ми ;
lim
;;;0
глоток
0 <ми <ми ;
Ми (t; ;, e)
!
.
Другими словами, с предписанной ошибочной Ми переносимости, тот же самый размер шага D может использоваться
для достаточно маленькой ми. В то время как это понятие конвергенции, возможно, не возможно для
растворы многих проблем, мы можем попросить конвергенцию некоторых функций или
functionals растворов. Всюду по примечаниям мы обсуждаем следствия prespective
из нескольких ключевых вопросов: что является побуждением для того, чтобы создать мультимасштаб
Первым примером, предложенным Germund Dahlquist, является путь дрейфа механического
будильник, перемещаясь должный поститься колебания, когда это выделено на твердой поверхности. Если
путь дрейфа зависит только в местном масштабе вовремя от быстрых колебаний, затем это разумно
пропорционально 1/
подобный высокочастотному распространению волны или гомогенизации, мы хотели бы к
ми, склоняется к бесконечности, прежде, чем размер шага пошлют в ноль. Следовательно, мы
теория, любой устойчивый последовательный метод сходится к аналитическому раствору как шаг
от традиционных числовых вычислений?
алгоритм? Что приближается? Как делает наш подход мультимасштаба, отличаются
240 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
разрабатывать замысел, который развивает медленно изменение, составляло в среднем путь дрейфа, имея размеры
эффекты быстрых растворов только в местном масштабе вовремя. Здесь находится возможность
сокращение вычислительной сложности.
Второй пример - маятник Кэпицы - твердый маятник, ключевой игрок которого
присоединенный к сильному периодическому шпигованию вибрирует вертикально с ми амплитуды и частотой
1/ми. Когда колебания достаточно быстры, маятникообразные движения медленно
назад и вперед, указывая вверх, с медленным периодом, который фактически независим
из ми. Очевидно, в отсутствие колебательного шпигования, маятник только устойчив
обращение вниз. Петр Капица (физика Нобелевский Лауреат в 1978) использовал это
пример, чтобы иллюстрировать общую стабилизацию механизмы [17]. Это, и подобный простой
динамические системы часто используются в качестве проблем оценки характеристик системы в качестве примера учиться как
различные методы приближают очень колебательные проблемы.
Следующее успение сделано всюду по этим примечаниям: в самом быстром масштабе,
данная система экспонирует колебания со свободным художником амплитуд ми, и этого в a
большая шкала времени, некоторые медленно изменяющиеся количества могут быть определены колебательным
растворы системы. Чтобы облегчить наше обсуждение, мы теперь представляем наш образцовый сценарий
описанный следующими двумя двойными системами. Рассмотрите очень колебательное
система в Rd1 вместе с медленной системой в Rd2:
ми x ; = f (x, v, t) +eg (x, v, t), (2)
v ; = h (v, x, t), x (0) = x0 ; Rd1, v (0) = v0 ; Rd2. (3)
Мы предполагаем, что x является очень колебательным, и v - медленное количество интереса. Однако,
без надлежащей информации о x не может быть найден v. Мы также интересуемся некоторыми
медленно переменное количество, которое определяется вдоль траекторий x:
си ; =y (си, t; x (·)). (4)
В следующем разделе мы будем видеть это для совершенно особых начальных условий, растворов
из (2) может быть очень гладким и не экспонировать колебания. Проблема инициализации,
то есть обнаружение подходящих исходных данных так, чтобы медленно переменные растворы
может быть вычислен появляются в метеорологии. Мы отсылаем читателей к статье Kreiss
и Лоренц [25] для дальнейшего чтения на теории для медленных копий. Однако,
во многих автономных уравнениях, например, линейные уравнения, единственные медленно переменные растворы
в системе равновесие системы. Для проблем как инвертированный
маятник, это прозрачно, что медленно переменные растворы не имеют интереса. Затем некоторые
сложные взаимодействия между колебаниями должны иметь место, и нужно смотреть
в различные стратегии, чтобы характеризовать эффективное влияние колебаний
в x в развитии v.
Наш объектив состоит в том, чтобы точно вычислить медленно изменяющееся количество v в длинном
шкала времени (то есть 0 ; t ; T, для некоторого постоянного свободного художника T e). Кроме того, мы
желание вычислить это со стоимостью, которая, по крайней мере, подлинейна к (идеально независимый от)
стоимость для того, чтобы решить все быстрые колебания в этой шкале времени. Вообще, наш объектив
может быть достигнут, если быстрые колебания вычислены только в очень кратковременных антрактах и
все же движущие силы для тех, которые медленно изменяют количества, последовательно развиваются. Иллюстрация
1 изображает две возможных схематических структуры для такого алгоритма. В этом разделе, нас
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 241
дайте несколько примеров того, где такой тип медленно изменяющихся количеств происходит; они
состойте из систем с резонансными режимами и слабо встревоженных систем Гамильтонианов
так, чтобы постоянства изменились медленно. Кроме того мы будем видеть в следующем разделе
то, что эти медленно изменяющиеся количества могут быть оценены удобно к короткому времени
усреднение с подходящими косточками.
h
x (0)
x
x
h
micro;solver
Macro;solver
H
{d
t
*
T=tn
tn+h
Рис. 1.
Кратко давайте прокомментируем отношение этих примечаний к стандартной жесткой ПЕСНИ
solvers для проблем мультимасштаба с переходными растворами, [8, 19]. Типичный пример
возможный как в macro-solver в Рис. 1. Специальные свойства жестких методов ПЕСНИ
режимы присутствуют навсегда и могут взаимодействовать, чтобы дать вклады в медленнее
режимы.
1.1 Пример колебательные проблемы
Линейные системы с воображаемыми собственными значениями
x ; = il x, л ; R.
Раствор с готовностью дан x (t) = x (0) eil t. Обратите внимание, что эта система эквивалентна
к системе в R2:
x
y
;
=
0 л
;l 0
x
y
.
подавите быстрые режимы, и только более медленные режимы должны быть приближенным углублением.
из таких жестких проблем уравнение (1), где собственные значения A - или негатив или
тип micro-solver в Рис. 1. После транзитных пассажиров намного более длительные такты
Проблемы с очень колебательными растворами намного более трудно моделировать начиная с поста
ноль. Начальные такты являются достаточно вообще небольшими, чтобы решить транзитные пассажиры и
242 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
Гамильтоновы системы
Гамильтоновы движущие силы определены частными производными гамильтоновой функции
H (q, p), которые представляют полную энергию системы. Здесь, q - обобщенный
система координат и p ассоциированный импульс. Уравнения движения
данный
q ; = Hp (q, p),
p ; q (5)
где Hp и Hq обозначают частные производные H относительно p и q, соответственно.
В гамильтоновой механике, H (p, q) = 1
2 p2 +V (q) и движущие силы определены в (5)
уравнение Ньютона результата движения q ;; q
затем растворы этого уравнения являются типично колебательными. Важный класс
уравнения этого типа появляются в молекулярных движущих силах с попарными потенциалами
H (p, q) =
1
2
N;
i=1
1
ми
pTi
пи +
1
2
N;
я, j=1
Вай j i j
Известные примеры
Вай j (r) = ;Gmimj
r
(электрический или гравитационный потенциал)
и
Вай j (r) = 4ei j
си j
r
12
;
си j
r
6
, (Потенциал Леннард-Джонса)
для всего я 6 = j, и т.д.
Волтерра-Lotka
Это - упрощенная модель для проблемы добычи грабителя в демографической динамике.
В этой модели x обозначает население разновидности грабителя, в то время как y обозначает
население разновидности добычи
x ; = x
1;
y
n
, (6)
; =
y
n
(x;1).
Траектория в качестве примера изображена в Рис. 2.
Генераторы релаксации
Генератор Ван дер Пола - другой типичный пример нелинейных генераторов. Один
версия уравнения для генератора Ван дер Пола принимает форму
= ;; V (q). Если V (x) выпуклая функция
где пи
и qi
компоненты векторов p и q.
y
= ;H (q, p),
(|q ;q |),
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 243
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
y
t=0
t=0.046, 3.373
t=3.284
t=3.31
Рис. 2. Траектория генератора Волтерры-Lotka (6) с n =0.01, x (0) =0.5 и y (0) =
1.
x ; = y ; (x2;1) x,
y ; = ;x.
резистор, катушка индуктивности, и конденсатор; параметр состояния x соответствует потоку в
катушка индуктивности и y напряжение в конденсаторе. Можно показать, что есть уникальное
периодический раствор этого уравнения и другие неравновесные растворы приближаются к этому
как рассчитывают увеличения. Этот периодический раствор называют циклом предела или инвариантом
копия системы. Общий результат для того, чтобы обнаружить периодические растворы для такого
периодическая траектория раствора.
x ; = ;1;x+8y3, (7)
y ; =
1
n
;;
;x+y;y3
,
где 0 <n ; 1. Для маленького n траектории быстро почти достигли цикла предела
определенный ;x+y;y3 = 0. Верхние и более низкие ответвления этого кубического полиномиала
устойчивы до поворотных моментов в который dx/dy = 0. Для любого начального условия,
раствор (7) быстро привлечен к одному из устойчивых ответвлений по O (n) время
масштаб. Траектория затем перемещается тесно вдоль ответвления, пока это не становится непостоянным.
В этом очке раствор быстро привлечен к другому устойчивому ответвлению. Траектория
изображен в Рис. 3.
тип систем на плоскости - Poincare ;-Bendixson теорема, которая говорит это если a
Как второй пример, рассмотрите [9]
Это уравнение может интерпретироваться как модель основной схемы RLC, состоя из a
компактный набор предела в плоскости не содержит равновесия, это - закрытая орбита; то есть это - a
244 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
;0.8 ;0.6 ;0.4 ;0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
;1.5
;1
;0.5
0
0.5
1
1.5
x=y;y3
Рис. 3. Траектория и медленная копия генератора релаксации (7)
1.2 Постоянство
Гамильтоновы системы:
энергия H (p, q)
d
dt
H (p (t), q (t)) = Hpp ; + Hqq ; = 0
= ; H (p (t), q (t)) = H (p0, q0) = константа.
Давайте докажем теорему Лайоувилла на сохранении объема гамильтоновых систем.
Рассмотрите гладкий гамильтониан H (p, q). Позволить
jt (p0, q0) =
p (t; p0, q0)
q (t; p0, q0)
.
Следовательно,
d
dt
¶jt
¶ (p0, q0)
=
;Hpq Hqq
Hpp Hqp
¶jt
¶ (p, q)
(p (t), q (t))
!
, q, p ; R
=;
d
dt
det
¶jt
¶ (p0, q0)
= 0. (8)
Рассмотрите t в качестве параметра для семейства координатных изменений (diffeomorphisms)
футы: (p0, q0) 7 ; (p (t; p0, q0), q (t, p0, q0)). Затем у нас есть следующая смена системы координат
состав, для любого установил t,
Z
V
f (p, q) dqd p =
Z
U
f (футы (p0, q0)) Jd p0dq0,
Уравнения TheHamiltonian ofmotion (5) допускают несколько постоянств. Прежде всего
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 245
где V =ft (U) и
J: = det
¶ft
¶ (p0, q0)
.
Таким образом, (8) подразумевает это
ди-джей
dt ; 0
В частности взятие f ; 1 подразумевает, что у U и V есть тот же самый объем в фазе
(p, q) - пространство.
Генераторы Волтерры-Lotka
Позвольте мне (u, v) = logu;u+2logv;v. Занимая место (6) результаты (d/dt) я (u (t), v (t)) = 0 для
t> 0.
Позвольте u (t) = (потому что (t), грех (t)) и v (t) = (потому что (t +f0), грех (t +f0)) быть растворами
некоторые генераторы. Затем
x (t) = u (t) · v (t) = cosf0
измеряет разность фаз между u (t) и v (t) и остается постоянным вовремя.
Ввиду вышеизложенного примеры, следующие вопросы естественно появляются:
• Можно разработать числовые замыслы так, чтобы важные постоянства были консервированы?
Что стоится вычислительное, или извлеките выгоду?
Как хорошо делают общие числовые приближения сохраняют известные постоянства
интерес и для во сколько масштаб?
• Каково значение сохранения постоянств? Как это понятие может быть определено количественно?
• Как маленькие волнения затрагивают постоянства? Например, в следующем
линейная система, которая сохраняет энергию для ми = 0: x ;; = ;w2x+e, потому что (л t). Как
слабое периодическое шпигование затрагивает энергию? В какое время масштаб делает шпигование
станьте важными? Эти эффекты могут быть вычислены эффективно?
1.3 Резонанс
Резонансы среди колебаний появляются во многих ситуациях. Например, в продвижении
дочерний элемент на махе сферы действий. Это интуитивно прозрачно это, если мах не продвинут
в частоте, которая является близко к естественной частоте колебания маха,
дочерний элемент будет раздражаться. Однако, когда мах продвинут в правильной частоте,
амплитуда маха постепенно увеличивается. В этом подразделе мы рассматриваем некоторых
основные примеры резонанса.
Относительная фаза между двумя линейными генераторами
Некоторые аспекты этих проблем и других обсуждены в [18] и [26].
246 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
Резонанс нашпигованной линейной весной
Мы запускаем с линейной весны при периодическом шпиговании,
x ;; = ;w2x+cosl t.
d
dt
x
x ;
=
0 1
;w2 0
x
x ;
+
0
cosl t
,
с начальным условием
x0
x;0
. Можно показать что действующая компания раствора для гомогенного
проблема
Святой =
coswt w;1 sinwt
;w sinwt coswt
так, чтобы раствор для неоднородной проблемы был
x
x ;
= Святой
x0
x;0
+
Z t
0
St;s
0
cosl s
ds
=;
x
x ;
= Святой
x0
x;0
+
Z t
0
грех w;1 (вес ;ws) cosl s
потому что (вес ;ws) cosl s
ds.
Когда л =w, резонанс происходит. Более точно мы видим это
x (t) = x0 coswt +
x;0
w
sinwt +
1
w
Z t
0
грех (вес ;ws) coswsds
= ; x (t) = x0 coswt +
x;0
w
sinwt +
t
2
sinwt.
Кроме того,
Z t
0
грех (вес ;ws) coswsds =
Z t
0
(sinwt cosws;sinwscoswt) coswsds
= грех (вес)
Z t
0
cos2 (ws) ds;cos (вес)
Z t
0
грех (ws), потому что (ws) ds
= грех (вес)
Z t
0
1
2
(1+cos2ws) ds;cos (вес)
Z t 1
2
грех (2ws) ds
=
t
2
sinwt
| {z}
результат резонанса
+
1
2
Z t
0
=
t
2
sinwt
| {z}
+
1
2
Z t
0
грех (вес ;2ws) ds
| {z}
.
Если л 2 6=w2, мы имеем
x =
x0 ;
1
w2 ;l 2
coswt +
x;0
w
sinwt +
1
w2;l 2
cosl t.
Переписывая в первую систему порядка, мы получаем
(вес греха, потому что () (2ws) ;, потому что (вес) грех (2ws)) ds
результат резонанса
0
= 0
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 247
Упражнение 1. Вычислите раствор вынужденного колебания при трении: для ;> 0
x ;; = ;2;x ;; w2x+cosl t.
Покажите что, если л =w, амплитуда колебаний остается ограниченной и является самой большой
когда л =
p
w2;2;2.
Резонанс в первых системах порядка
Рассмотрите,
x ; =
я
ми
Lx + f
x,
t
ми
, x (0, e) = x0,
где Л является диагональной матрицей. Мы делаем замену:
x (t) = ми
то есть
Ltw (t), w (0) = x0,
и получите соответствующее уравнение для w:
w ; = ми ; i
ми Лейтенант f
ми
то есть
Ltw,
t
ми
, w (0) = x0.
Самый простой тип резонанса может быть получен, беря f (x, t/e) = x, то есть, w ; = w.
Мы видим, что резонанс происходит из-за линейности f в x, и что это имеет результатом |x | изменяющийся в свободном художнике уровня ми. Если f (x, t/e) = fI (x) +exp (эта/ми) и один из
диагональные элементы ofL 1, затем подобны резонансу нашпигованной линейной весной,
резонанс со шпигующим термином вносит линейное в росте времени |x |.
Резонансы могут произойти из-за нелинейного взаимодействия. После вышеупомянутого примера,
взять
L =
и f (x, t) =
0
;x4
1x;1
2
.
Следовательно,
x =
eit/ew1
e2it/ew2
=;
w ; =
e;it/e
e;2it/e
0
;e4it/e e;2it/ew4
1w;1
2
=
0
;w4
1w;1
2
.
Снова, из-за резонанса в системе, |x2 | изменяется на уровне, который является свободным художником
из ми.
2 Медленно переменных функции растворов
В этом разделе мы изучим эффект нелинейных взаимодействий. Мы делаем выдержки важный
следствия [24] и [1, 2, 14].
1 0
0 2
0
0
248 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
2.1 Проблемы с доминантой постятся линейные колебания и нелинейные взаимодействия
Мы запускаем со многих примеров.
x ; =
il
ми
x+x2, x (0) = x0. (9)
Раствор (9) может быть получен явно. Представление новой переменной x
x = ми
il
ТВт ми
дает нам новое уравнение, правая сторона которого ограничена свободный художник ми
w ; = ми
il
ми tw2, w (0) = w0 = x0.
w (t) =
1
1
w0
+ то есть
л (ми
il
ми t ;1)
=
w0
1 + то есть
л w0 (ми
il
ми t ;1)
.
В результате
w (t) = w0
1;
то есть
л
w0 (ми
il
ми t ;1)
+O (ми 2). (10)
Таким образом нелинейный термин изменяет раствор только O (e) в произвольно длительное время
w; ; = f; (w), f; (w) =
Z 1
0
eitw2dt = 0.
Следовательно, w; (t) = w0. Действительно, мы видим что |w (t) ; w; (t) | = |w (t) ;w0 | ;C0e для 0 ;t ;
T1.
Альтернатива solutionmethod вовлекает procedurewhich, легче сделать вывод.
От (9) мы имеем,
w (t) ;w0 =
Z t
0
ми
il
ми sw2ds = ;
то есть
л
ми
il
ми sw2|t
0 +
2ie
л
Z t
0
ми
il
ми sww;ds
= ;
то есть
л
ми
il
ми tw2 (t) ;w2
0
+
2ie
л
Z t
0
ei 2l
ми sw3ds. (11)
Объединение партиями снова результаты интегральное уравнение для w (t)
w (t) +
то есть
л
ми
il
ми tw2 (t) ;
4e 2
л 2 ei 2l
ми w3 (t) = w0 +
то есть
л
w2
0 ;
4e 2
л 2 w3
0 +
4e 2
л 2
Z t
0
ei 3l
ми sw4 (s) ds.
Раствор w (t) может затем быть создан, используя итерации фиксированной точки
w (k+1) (t) = F (w (k), w0, t) +
4e 2
л 2
Z t
0
ei 3l
ми sw4
(k) (s) ds, k = 0,1,2, ···, (12)
усреднение:
Раствором с готовностью дают
антракты. В Секте. 3.2, мы покажем, что w (t) близко к эффективному уравнению от
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 249
где w (0) = w0 и
F (w, w0, t) = w0 ;
то есть
л
ми
il
ми tw2 (t) +
то есть
л
w2
0+
4e 2
л 2 ei 2l
ми w3 (t) ;
4e 2
л 2 w3
0.
Прологом можно показать, что итерации сходятся для t ; 0, 0 ;e ;e0 и
w (t) +
то есть
л
ми
il
ми tw2 (t) = w0 +
то есть
л
w2
0 +O (ми 2).
От (11), у нас есть w (t) = w0+O (e). Следовательно,
w (t) = w0
1;
то есть
л
w0
ми
il
ми t ;1
+O (ми 2). (13)
Теперь, рассмотреть
x ; =
il1
ми
x+y, y ; =
il2
ми
y+y2.
Замена переменных к
x = ми
il1
ми Турция,
il2
ТВт ми
результаты
u ; =, w ; = ми
il2
ми tw2.
w = w0 +
;;
j=1
ми jb jei
jl2
ми t.
u = ми
то есть
(l2;l1) t
0+
;;
j=1
ми jb je
то есть
((j+1) l2;l1) t.
Если nl2;l1 6 = 0 для всего n = 1,2..., затем
u (t) = u0+O (e).
Однако, если nl2 =l1, то резонанс происходит и
u (t) =
u0+en;1bn;1t, если n> 1,
u0+tw0, если n = 1.
Таким образом раствор не ограничен навсегда.
Как обобщение, рассмотрите систему
x ; =
я
ми
Lx+P (x), x (0) = x0, (14)
где
Поэтому:
; w
ми i (w 1
y = ми
;l ++ l2) t ми
От (10), мы можем получить асимптотическое расширение для w:
250 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
L =
;
;;;;
l1
l2
. . .
ld
;
;;;;
, l1, ···, ld ; R,
и P = (p1 (x), ···, (x) фунты), вектор полиномиалов в x = (x1, ···, xd). Позволить
x = ми
то есть
Ltw.
Мы затем имеем
w ; = ми ; i
ми LtP
ми
то есть
Ltw
, w (0) = w0 = x0. (15)
Правая сторона (15) состоит из выражений формы
ми
то есть
(;mjl j) t p (w), (16)
где mj - целые числа, и p - полиномиал в w. Есть две возможности.
1. t = ;mjl j = 0 для некоторых условий. Мы называем эти условия резонансными режимами. В этом
у случая (15) есть форма
w ; = Q0 (w) +Qe
t
ми
, w
, (17)
где Q0 содержит условия, соответствующие резонансным режимам, и Qe сохранение
условия, вовлекающие колебательный exponentials. Можно показать что раствор
из
w; ; = Q0 (w;), w; (0) = w0 = x0, (18)
очень близко к w в течение долгого времени; то есть.
|w (t) ; w; (t) | ;C0e, 0 ; t ; T1, (19)
и в общем w (t) не остается близко к первоначальному значению w0.
2. t = ;mjl j 6 = 0 для всех условий. Никакой резонанс не происходит в системе. Раствор
остается близко к первоначальному значению:
w (t) = w0 +O (e). (20)
Мы отмечаем здесь что термин
f
t
ми
, w
= ми ; i
ми LtP
ми
то есть
Ltw
является вообще не строго периодическим, даже при том, что это составлено из многих очень колебательных
условия. Тем не менее, сам усреднение эффекта очень колебательных условий может
наблюдайтесь, используя интеграцию партиями:
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 251
w (t) = w0+;t
Z t
0
ми
это
ми x пинта (w) дуплекс
= w0;ie;t
1
t
ми
это
ми x пинта (w) |t
0 +ie;t
1
t
Z t
0
ми
это
ми x ¶ пинта
¶ p
w;dx
= w0;ie;t
1
t
ми
это
ми x пинта (w) |t
0 +ie;t
1
t
Z t
0
ми
это
ми x ; пинта (w) ;dx. (21)
Интегралы в (21) по условиям типа (16), и мы можем поэтому повториться
выше параметров. Если некоторые из условий не будут иметь показательного типа, то они будут, в
общий, быть порядка O (и). Для и ;1 мы можем заменить (21)
; w (t) = w0 ;ie;t
1
t
ми
это
ми x пинта (w ;) | t
0,
то есть,
w ; (t) = w0+O (e) foret ;1.
Более точный результат
; w (t) = w0 ;ie;t
1
t
ми
это
ми x ;1
пинта (y0) +ie ; p0 (y0) t +O (ми 2t2).
Если все условия имеют показательный тип, то мы можем использовать интеграцию партиями, чтобы упариться
их, по крайней мере, к порядку O (ми 2t). Мы получаем следующую теорему.
Теорема 1. Предположите это для всех целых чисел aj линейные сочетания
;ajl j 6 = 0.
Затем
w ; = w0 +O (e)
во временных интервалах 0 ; t ; T. T = O (e;p) для любого p.
Нет никаких элементов, имеющие степень трудности в обобщении результата и методов к более общему
уравнения
x ; =
1
ми
Л (t) x+P (x, t).
Здесь Л (t) медленно изменяется, и P (x, t) является полиномиалом в x с медленным изменением
коэффициенты вовремя.
Замечание 1. Мы видим это без присутствия резонанса, очень колебательного раствора
x системы (14) остается тесно к
ei Л
ми tx0,
в течение очень долгого времени. Относительно к нашей конечной цели развития эффективных алгоритмов,
мы можем прийти к заключению это, если никакой резонанс не происходит в системе, никаком вычислении
необходим, с тех пор ei Л
ми tx0 уже является хорошим приближением к раствору.
252 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
Однако, если резонанс происходит, то "окутывание" колебаний в растворе,
x (t) изменяется нетривиально. В этом случае эффективные алгоритмы могут быть разработаны от
решение задачи с начальными условиями уравнения (17):
w ; = Q0 (w) +Qe
t
ми
, w
, w (0) = x0.
Когда мы показали выше, можно даже просто понизить колебательный термин и решить
уравнение, которое полностью независимо от быстрого масштаба:
w ; = Q0 (w), w (0) = x0
и все еще получите точные приближения. Мы отсылаем читателей к статье Scheid
сторона. В более поздней партии этих примечаний мы сначала покажем, что термин Qe может быть легко
"усредненный", даже не используя его явную форму. Это, может оказаться, очень полезно
для того, чтобы разработать наши алгоритмы мультимасштаба для более сложных систем.
временные интервалы trary. Следуйте за шагами:
1. Для 0 ; t <T, различие ek (t): = w (k) (t) ;w (k;1) (t) сходятся к 0 как k
бесконечность подходов.
(k) однородно ограничен для k = 1,2....
3. Установите оценку в (13).
4. Параметры в предыдущих шагах могут быть повторены, чтобы расширить раствор на больший
временные интервалы.
2.2 Медленно переменные растворы
Рассмотреть
ми x ; = ((t) +eB (x, t)) x+F (t), (22)
x (0) = x0,
где 0 <ми ;1 и (t), F (t) удовлетворяют те же самые условия как в линейном случае, то есть.
A, A;1, F и их производные имеют порядок один. Кроме того, для x порядка один, Си и
производные относительно x и t имеют порядок один, и
|B | ;C|x |,
для некоторого постоянного C> 0. Формально, беря ми = 0, результаты ведущее уравнение порядка
Топор + f = 0. Обозначая раствор F0 = ;A;1F мы занимаем место
x = F0 (t) +x1,
и получите расширением Тэйлора
Упражнение 2. Покажите, что итерации фиксированной точки, определенные в (12), сходятся для arbi-
[31] для интересного алгоритма, который исследует эту специальную структуру правой руки
2. Покажите этому w
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 253
ми x;1 = ((t) +eB (x1+F0, t)) (x1+F0) +F (t) ;eF;0
= (A1 (t) +eB1 (x1, t)) x1+eF1 (t),
где у B1 есть те же самые свойства как Си и
A1 (t) = (t) +O (e), F1 = Си (F0, t) F0 ;F;0.
Таким образом новая система имеет ту же самую форму как оригинальный со шпигующей функцией
уменьшенный до O (e). Повторите, что процесс p рассчитывает результаты
x =
p;1
;
n=0
enFn +xp,
ми x;p = (Ap (t) +eBp (xp, t)) xp+e pFp, Ap = A+O (e), (23)
xp (0) = x (0) ;
p;1
;
n=0
enFn (0).
Поэтому, мы имеем
Теорема 2. У раствора (22) есть p производные, ограниченные независимо от ми если и
только если
x (0) =
p;1
;
n=0
enFn (0) +O (ми p),
то есть x (0), за исключением условий порядка O (ми p), уникально определен.
x (0) = 0
ми v;p = Ap (t) v,
ограничен, затем xp = O (ми p;j) во временных интервалах продолжительности O (e;j).
Обобщение (22), рассмотреть
ми x ; = ((t) +eC (v, t) +eB (v, x, t)) x+F (t), (24)
v ; = D (v, x, t) x+G (v, t).
Здесь A, A;1, Си, До, D, F, Соль и их derivativeswith уважают x, v, t имеют порядок O (1),
если x, v, t имеют порядок O (1). После того же самого доказательства как прежде, запасной игрок
;1 (t) F (v, t) +x1
Если F и все его производные числа исчезают в t = 0, то начальное условие
providedwe может расширить F гладко на негатив t. Если действующая компания раствора linedefines
раствор, для которого любое число производных ограничены свободный художник ми.
проблема arized,
x =-A
Мы можем создать такой раствор, даже если F и его производные не исчезают в t=0,
254 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
1
ми x;p = ((t) +eCp (v, t) +eBp (v, xp, t)) xp+e pFp (t),
v ; = Разность потенциалов (v, xp, t) xp+Gp (v, t). (25)
Мы завершаем следующее:
dently ми, если мы выбираем
xp (0) = O (ми p),
то есть, x (0), за исключением условий порядка O (ми p), уникально определено v (0).
Обобщения. Более широко мы можем рассмотреть системы
ew ; = h (w, t).
Если есть раствор w (t) с w ; (t) = O (1), то h (w (t), t) = O (e). Это предлагает
существование C; - функционирует f (t) с
h (f (t), t) = 0, t ; 0.
Представление новой переменной
w ; = w;f,
каждый получает
ew ; ; = h (w ; +f, t) ;h (f, t) ;ef ; (t)
= (М. (t) +N (w ;, t)) w ; ;ef ; (t)
где
М. (t) = hw (f (t), t), |N (w ;, t) | ; константа | w ; |.
Если мы далее принимаем это
w ; (0) = w (0) ;f (0) =e z0, z0 = O (1),
затем мы можем повторно масштабировать уравнение для w ;, вводя новую переменную, z =e;1 w ;. Один
получает для z (t)
ми z ; = (М. (t) +eZ (z, t)) z;f ; (t).
Так как мы интересуемся очень колебательными проблемами, предполагаем, что у thatM (t) есть м. просто
воображаемые собственные значения, которые являются свободным художником t. Обозначить
k j = i; j, | ; j | ;d> 0, j = 1..., м.,
и n собственные значения
km+1 =... =km+n = 0.
получить систему той же самой формы с F, замененным eF. Повторение процесса
p
Теорема 3. У раствора (24) есть производная времени p, которые ограничены indepentimes
результаты
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 255
Без поражения общности принять
M =
0
0 0
, |A;1 | = O (1),
где A - m;m матрица с собственными значениями k j, j = 1..., м. Если мы делим z
соответственно,
z =
x
v
,
затем мы получаем
ми x ; =
;;
A+eZI (v, x, t)
x ;
;;
f ;
Я,
v ; = ZII (v, x, t) ;
1
ми
;;
f ;
II.
Если (f ;) II = O (e), то у имеющей результатом системы есть форма (24).
ми x ; = ((t) +eC (v, t) +eB (v, x, t)) x,
v ; = D (v, x, t) x+G (v, t), (26)
x (0) = x0, v (0) = v0.
Мы получаем медленный раствор против, если мы устанавливаем x0 = 0, то есть,
v;S = Соль (против, t), против (0) = v0, x ; 0. (27)
Давайте сделаем следующее успение.
Успение 1. Действующие компании раствора S, S2
v;L =
¶G
¶ v
(против) vL
и
ми x;L = ((t) +eC (против, t)) xL,
соответственно, однородно ограничены.
Если x0 6 = 0, то медленный раствор будет встревожен и мы хотим оценить v;vS.
Мы запускаем со скорее примерная оценка. Мы принимаем это x0
S 0
2
0
во временных интервалах 0 ; t ; T с T ; |x0 | ; 1. Мы линеаризуем (26) вокруг v = против и
x = 0. Позвольте v = vS+vL, x = xL, затем у линеаризовавших уравнений есть форма
2.3 Взаимодействие между постом и медленными масштабами
Продолжая наше обсуждение и игнорирование условий, которые являются более высоким порядком в ми, мы рассматриваем
следующее образцовое уравнение:
1
|v;v | = O (|x | t +e |x |)
Здесь, действующая компания раствора S1 (t, s) для t> s отображается V
Л
(s) к V
Л
(t), и S2 (t, s) действует
является маленьким, и хотят показать
тот же самый путь к XL.
256 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
ми x;L = ((t) +eC (против, t)) xL,
v;L = ;D (против, t) xL +
¶G
¶ v
(против) vL, ;D = D (против, 0, t),
xL (0) = x0, vL (0) = v0.
Успением
|xL | ; константа | x0 |.
Принцип Духэмеля и интеграция партиями дают нам
vL (t) =
Z t
0
S1 (t, x) ;DxLdx
= ми
Z t
0
S1 (t, x) ;D (A+eC) ;1x;Ldx
= eS1 (t, x) ; D (A+eC) ;1xL|t
0 ;e
Z t
0
¶
¶x
(S1 (t, x) ;D (A+eC) ;1) x;Ldx.
Последний интеграл может быть обработан таким же образом. Поэтому, Успение 1 дает нам,
для любого p,
|vL (t) | ; константа (ми |x0 | + O (ми пинта)).
Примите теперь, когда A является постоянным, имеет отличные просто воображаемые собственные значения и
та Си, D - полиномиалы в x. Наша цель состоит в том, чтобы дать условия, таким образом что наша оценка
будет улучшен до
|v;vS | = O (ми x0) во временных интервалах 0 ; t ; T, T ; (ми |x0 |) ; 1. (28)
Без ограничения мы можем предположить, что у системы есть упрощенная форма
ми x ; = (iL +eL1 (t) +eB (x, t)) x, (29)
v ; = D (x, t) x+G (v, t), (30)
где Л, L1 - диагональный matrices andL1+L ; 1 ; 0. Мы вводим новые переменные
x = ми
то есть
Лейтенант z.
Затем (29) становится
z ; =L1 (t) z + ; Bz, (31)
где
;B = ми ; то есть
LtB
ми
то есть
Лейтенант z, t
ми
то есть
Лейтенант.
Мы разделяем
;B
= B1+B2,
где B1 - полиномиал в z без exponentials, и все условия B2 содержат
exponentials. B2 ставит O (ми |x0|2t) - изменение z и, поэтому, мы пренебрегаем этим.
Таким образом мы можем упростить (31) до
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 257
z ; =L1z+B1 (z, t) z.
Если B1 6 = 0, то мы не можем вообще ожидать, что |z | ; K|x0 | держится во временных интервалах
T ; |x0 | ; 1. Мы доказали, что раствор (29) имеет форму
x (t) = ми
то есть
Лейтенант z (t), (32)
где z (t) изменяется медленно. Мы вводим (32) в (30).We может также разделить
D (x, t) x = D1 +De, (33)
где D1 не содержит exponentials, и все условия De содержат exponentials.
Заметьте, что D1 является квадратным в z, то есть. D1 = O (|x0|2). Мы можем далее вывести
это d
dtD1 (x (t), t) - свободный художник ми, в то время как d
dtDe ; O (e;1). У нас есть следующий
важное заключение:
• Если D1 6 = 0, то вообще
|v;vS | = O (|x0|2t).
• Если D1 = 0, то
|v;vS | = O (ми |x0 |),
и (28) держится.
Мы должны смотреть на вышеупомянутый результат вместе с тем, что мы получили в Секте. 2.1, в
особый, оценка (19) для случая, когда резонанс происходит в уравнении для
x, и (20) для случая без резонанса в системе.
2.4 Медленные переменные и медленный observables
Рассмотрите следующую систему ПЕСНИ
x ; = ;e;1y+x, x (0) = 1,
y ; =e;1x+y, y (0) = 0.
(34)
Раствор этой линейной системы (x (t), y (t)) = (и cose;1t, и sine;1t) чей
t
анализируйтесь в “быстрые и медленные составляющие”: быстрая вращательная фаза и медленно
изменение амплитуды. Обозначение x = x2 2
x ; =
d
dt
x (x (t), y (t)) = 2xx ; + 2yy ; = 2x2+2y2 = 2x.
Три важных момента привлекают внимание:
• x ; ограничен свободный художник ми. Соответственно, мы обращаемся к функции x (x, y) как
медленная переменная для (34).
траектория творит медленно расширяющуюся спираль: то есть раствор вращается вокруг
время ми. Хотя и x (t) и y (t) изменение в шкале времени ми, система может
+y, мы имеем
происхождение с быстрой частотой 2 пункта/e и расстоянием до происхождения растет в
258 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
• x ; может быть написан в функцию медленной переменной x только. Соответственно, говорим мы
то, что уравнение для медленной переменной x закрыто.
• Предположите, что есть другая (медленная) функция z (x, y) таким образом что d
dt z (x (t), y (t)) =
zxx ; +zyy ; ограничен свободный художник ми. Затем, далеко от происхождения, ;z (x, y)
параллельно ;x (x, y). Иначе, в каждом очке далеко от происхождения, ;z и
;x творят местное основание для двумерного векторного пространства. Следовательно,
скоростное поле F (x, y; e): = (;e;1y+x, e;1x+y) может быть написан как линейное сочетание
из ;z и ;x; мы пишем F = a;x +b;z. Из гипотез на
медлительность x и z, F · ;x и f · ;z оба ограничены свободный художник ми, подразумевая
то, что коэффициенты a и си также ограничены. Однако, это приводит к F
быть ограниченным, которое противоречит с данным уравнением (34).
Эти три соблюдения, описанные выше, важны для создания числового мультимасштаба
методы введены в следующем разделе.
Более широко рассмотрите системы ПЕСНИ
x ; =e;1 f (x) +g (x), x (0) = x0, (35)
где x ; Резерфорд. Мы предполагаем это для 0 <ми <e0, и для любого x0 в регионе ; Резерфорд,
0
0 всякий раз, когда это прозрачно от окружения.
Четкость 1. LetU быть непустым открытым подмножеством A. Гладкая функция x: Резерфорд 7 ; R
как говорят, является медленным относительно (35) в U, если там существует постоянная До, таким образом что
max
x0;U, t ; [0, T]
d
dt
x (x (t; ми, x0))
;C.
Иначе, x (x), как говорят, быстр. Точно так же мы говорим, что количество или постоянный имеет
упорядочьте тот, если он ограничен свободный художник ми. Это не также никакая проблема, обобщая это
понятие к медленным переменным с временной зависимостью x (x, t).
Свободно разговор, x (x) являющийся медленным означает что, к ведущему порядку в ми, количестве
от макроскопического домена (радиус не сжимается с e).
x = f
t
ми
, x
, f ограниченный,
каждый скалярный компонент параметров состояния x считают медленной переменной. Inprevious
обсуждение, что x (t) остается очень близко к его первоначальному значению для всех 0 ; t ; T.
Кроме того, в случае резонанса обсужден в Секте. 1.3, x (t) дрейфует далеко от
1
уникальный раствор (35), обозначенный x (t; ми, x), существует в t ; [0, T] и остается в деле некоторые
ми и x
ограниченная область Д. Для краткости мы опустим явную зависимость раствора на
;
Как другой пример, в Секте. 2.3 функции D (y, t) можно рассмотреть как медленное
переменная для (29).
дело, для тех функций f, которые являются периодическими в первом параметре, мы знаем от нашего
Следующая Четкость 1, для систем формы
Гамильтоновы системы, переменные действия - медленные переменные для систем.
первоначальное значение в среднем расстоянии, которое растет линейно вовремя. Для интегрируемого
x (x (t)) развивается в шкале времени, которая является свободным художником ми для всего выделения траекторий
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 259
В этом очке это - бекар, чтобы спросить, сколько медленных переменных существует для данного чрезвычайно
колебательная система? Очевидный ответ - бесконечно многие, начиная с любого постоянного умножения
из найденного медленного переменного результата другой новый. Более разумный вопрос
должен спросить, каково измерение набора всех медленных переменных. В приготовлении
к отвечанию на этот вопрос мы должны сделать бетон еще несколькими понятиями. В
следующим разделам этот вопрос отвечают для некоторых конкретных случаев.
Четкость 2. Leta1, ···, ak:A ;Rn7;R быть k гладких функций, k;n.a1 (x)..., ak (x)
названы функционально независимыми, если у якобиана есть полный чин; то есть.
чин
¶ (a1, ···, ak)
¶ x
= k.
Позвольте (x) = (a1 (x)..., ak (x)) T быть вектором, содержащим k функционально независимый
компоненты.
Когда вместе с системой (35), (x) назван максимальным вектором функционально
свободный художник замедляет переменные, если, для любого другого вектора размера n, чьи компоненты
функционально свободный художник, затем k ;n.
Наш объектив состоит в том, чтобы использовать соответствующий набор медленных переменных вместе с некоторым другим
выровняйте функции, чтобы обеспечить новую систему координат для подмножества пространства состояний
из системы (35). Такая система координат разделяет медленное поведение от поста
колебания и обеспечивают способ приблизить многочисленный класс медленного поведения (35).
См. Рис. 4 для иллюстрации; в местном масштабе около траектории, пространство анализируется в
три специальных направления, ;f определяет быстрое направление, и две медленных переменные x1
и справка x2, измеряющая медленное поведение очень колебательной системы.
;1
;2
;
Рис. 4. Иллюстрация медленной диаграммы. Медленные переменные x1 и x2 обеспечивают местную координату
система около траектории.
260 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
Четкость 3. Позвольте x = (x1 (x)..., xk (x)), обозначают максимальный вектор функционально независимого
медленные переменные относительно (35) в A, и f: ; Резерфорд 7 ; Rd;k быть
некоторые гладкие функции. Если якобиевская матрица ¶ (x), / ¶ x неисключительна в A, один
получает местного жителя системы координат, то есть, диаграмма пространства государств. Мы обращаемся к такому
диаграмма как медленная диаграмма для относительно ПЕСНИ (35).
Другими словами медленная диаграмма - местная система координат в который максимальное
число координат является медленным относительно (35).
Краткое введение 1. Позвольте (x), обозначьте медленную диаграмму для ; Резерфорда и (x): ; R медленное
переменная. Затем, там существует функция ; (x): Rk ;R таким образом, что (x) =a ; (x (x)).
Доказательство. Иначе, (x) новая медленная переменная, которая функционально независима от
координаты x, в противоречии к максимальному успению.
Другой тип медленного поведения может наблюдаться через интегралы траектории,
называемый медленным observables.
Четкость 4. Си ограниченного функционала: C1 (; [0, T]) ; L1 (; [0, T]) 7 ; R
названный (глобальным) медленным заметным, если
си (t) =
Z t
0
;b
(x (t; ми, x0), t) dt.
Дифференцирование относительно времени показывает, что глобальные observables являются медленными.
Из обсуждения в Секте. 4.2, мы выводим это с соответствующим выбором косточки
си (t) =
Z + ;
;
1
h
K
t ;t
h
;b
(x (t; ми, x0), t) dt,
может также быть медленным. Мы именуем их как местный observables.
Мы замечаем, что вдоль траектории, проходящей y0, медленная переменная определяет
медленное изменяющееся количество J. Мы сначала рассматриваем невозмутимое уравнение
ми y ; = f (y, t),
и медленная переменная a.
d
dt
(y (t)) = ;a|y (t) · y ; (t) =
1
ми
;a|y (t) · f =: фа, f (t; y0). (36)
f 0 1
0
ми ; y ; = fe (; y, t) +eg (; y, t).
d
dt
J = фа, fe (t; y0), J (0) =J0.
Мы можем непосредственно считать объединение медленного заметного J (t) удовлетворением
и h, местные средние числа формы
|f
0 <ми ;e, затем ;a · f = 0
a,
для соседства y (t). Теперь рассмотрите
f
Дайте обзор, что с тех пор медленная переменная,
f
(t; y) | ; До. Если это связывало, допустимо для
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 261
Дайте обзор этого
f fe =
1
ми
;a | ; y (t) · f (; y (t), t) +;a|y (t) · соль (; y (t), t) = ;a|y (t) · соль (; y (t), t).
Так J (t) медленно изменяется по O (1) шкала времени.
2.5 Создание медленных переменных, параметризуя время
Переменная времени может использоваться, чтобы создать медленные переменные, которые соединяют различные генераторы
если мы можем в местном масштабе использовать координаты пространства состояний, чтобы параметризовать время
так, чтобы время было обработано как зависимая переменная. Рассмотрите уравнения формы
ми y ; = f (y, t) и предполагает, что там существует функция t, свободный художник ми, такой что
и (y (t)) =t. Функция t по ее четкости не является медленной с тех пор
d
dt
t (y (t)) =
t
ми
.
Однако, если мы имеем и ; (z (t)) = t для растворов, z (t), другого колебательного prob-
;
d
dt
q (y (t), z (t)) ; 0.
держитесь глобально. Во многих проблемах, даже при том, что обратная функция t не существует
объедините медленное количество. Например, производная arctan (z) определена на
целая реальная строка. Точно так же на сложной плоскости, производной функции аргумента
определение непрерывного q (t) на простыне Риманна.
Одно преимущество использования времени как медленная переменная находится в определении относительной фазы между
два плоских генератора. Рассмотреть
ми z;k = ilkzk, k = 1,2.
Мы формально определяем
(z1, z2): = аргумент (z1) ;arg (z2)
и получите уравнение для медленного заметного. Посредством этого подхода мы можем определить
и объедините медленно изменяющуюся относительную фазу между двумя генераторами.
2.6 Эффективная крышка
Позвольте U (t) ; Rn и V (t) ; Комната быть двумя гладкими функциями. Предположите что для всех 0 ; t ;
T, и U (t) и V (t) ограничены выше C0 и этим
Существование обратных функций зависит от монотонности во время любого
определен всюду кроме в происхождении. В последнем случае, (36) может быть расценен
lem, затем функция q (y, z): =t (y) ;t (z) является медленной переменной с тех пор
координата траекторий. Для колебательных проблем не может монотонность
глобально, его производная может быть определена глобально. В этом случае мы можем использовать (36) к
262 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
dU
dt
= Соль (U) +eH (U, V, t),
для некоторой ограниченной гладкой функции H: Rn ;Rm;R + 7 ; [;C1, C1]. Мы говорим что
движущие силы U эффективно закрыты. Это означает это для 0 ;t ; T и ми достаточно
маленький, можно проигнорировать влияние V (t) и вычислить вместо этого
d ;U
dt
= СОЛЬ (;U), ;U (0) =U (0),
как приближение U (t); то есть.
|U (t) ; ;U (t) | ;C1e.
В спиральном примере (34), замедляется уравнение для номера на одного человека, переменная x =x2+y2
эффективно закрытый. Следующее дает пример медленных variableswhose движущих сил
вдоль траекторий эффективно не закрыты. В сложной плоскости рассмотрите
система
x ; =
я
ми
x+x;y,
y ; =
2i
ми
y. (37)
Здесь x ; обозначает комплекс, сопряженный из x. Очевидно, x1: = xx ; и x2: = yy ;
две медленных переменные. Однако, отличительное уравнение для x1 вдоль неравновесия
траектории (37) даны x ; 1 = 2Re ((x ;) 2y), который не может быть описан
с точки зрения x1 и x2 один. Следовательно, уравнение для x1 не эффективно
закрытый. Фактически, это легко проверено, что x3 = (x ;) 2y является также медленной переменной и что
1 2 2
Позже, мы будем видеть это во многих колебательных системах, эффективных уравнениях для
медленные координаты в медленной диаграмме эффективно закрыты.
3 Усреднения
Один из самых важных аналитических инструментов для изучения очень колебательных систем
усреднение методов, см. например, [5, 20, 29]. В этом разделе мы представляем несколько ключевых результатов
и обсудите их использующий упрощенные примеры.
3.1 Усреднение во времени и интеграция партиями
1
Я (t) =
Z t
0
потому что
s
ми
(s) ds =e грех
t
ми
(t) ;e
Z t
0
грех
s
ми
; (s) ds.
функционируйте, чья производная является готовой -
(x, x, x, argx), медленная диаграмма.
ded на реальной строке. Рассмотрите интеграл
Мы запускаем с простого примера. Позвольте (t) быть До
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 263
Затем |I (t) | ; C0 (1+t) ми для некоторого постоянного C0, прибывающего от максимального значения
из a и ; в [0, t]. Позвольте (t) быть л - периодическая функция в Cp, p ; 1; и позвольте a;: =
max0;t;l |a (t) |. Если (t) имеет нулевое среднее число,
R л
0 (s) ds = 0, затем для всего T ; 0,
Z T
0
(t) dt
a; ;l.
Мы определяем деталь антипроизводные (t) следующим образом
[0] (t) = (t) и [k] (t) =
Z t
0
[k;1] (s) ds+ck, k = 1,2,3... (38)
где постоянный ck выбран таким образом что
R л
0 [k] (s) ds = 0. В результате [k] (t) также
l - периодический с тех пор
[k+1] (t+l) ;a [k+1] (t) =
Z t+l
t
[k] (s) ds =
Z л
0
[k] (s) ds = 0, k = 1,2,3, ···. (39)
Следовательно, все антипроизводные однородно ограничены:
|a [k] (t) | ;l a;, ;t. (40)
Z T
0
a
s
ми
f (s) ds =
h
земля [1]
s
ми
f (s)
это
s=0;e
Z T
0
[1]
s
ми
f (1)
• Если f (T) = f (0) = 0, и f ; До, то
Z T
0
a
s
ми
f (s) ds
; глоток
0;t;T | f (p) (t) |a; · ми p.
• Если f - inC;, мы можем далее получить формальное асимптотическое приближение расширения
для интеграла
Z T
0
a
s
ми
f (s) ds =;
k
h
(;1) k;1e ka [k]
s
ми
f (k;1) (s)
это
s=0
.
• Если ; a: =
R л
0 (x) дуплекс 6 = 0, затем
То есть: =
Z T
0
a
s
ми
f (s) ds ;; ; I: = ; a
Z T
0
f (s) ds
ase ;0. (41)
• Подобные результаты усреднения могут быть получены для функций (t), которые являются не обязательно
периодический, но чьи антипроизводные, тем не менее, ограничены.
Упражнение 3. Докажите (41).
(s) ds,
p
Если f дифференцируем, мы можем исполнить интеграцию партиями
где f
(k)
k th производная f. Процесс может быть повторен в зависимости от
дифференцируемость f.
264 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
3.2 Как делает усреднение в колебательной системе, появляются?
Рассмотреть
x ; = f
t
ми
, x
, x (0) = x0, (42)
где f (t, x) является Lipschitz и в t и в x с постоянным Л и является л - периодический, f (t +
л, x) = f (t, x). Кроме того, рассмотреть
y ; = ; f (y), y (0) = y0, где ; f (x) =
1
л
Z л
0
f (t, x) dt. (43)
Мы звоним (43) усредненное, или эффективное уравнение полученный от (42). Следующий
ми 1
Наблюдайте это
x (t) ;x0 =
Z t
0
f
t
ми
, x (t)
dt
=
Z t
ТМ
f
t
ми
, x (t)
dt +
M;1
;
j=0
Z (j+1) эль
гель
f
t
ми
, x (t)
dt,
где t ;tM <эль. В каждом антракте t j = гель ; t ; t j+1 = (j+1) эль,
Z (j+1) эль
f
t
ми
, x (t)
dt =
Z (j+1) эль
je p
f
t
ми
, x (t j)
+O (e) dt
=
Z (j+1) эль
гель
f
t
ми
, x (t j)
dt +O (ми 2)
= ми p ·
1
л
Z л
0
f (s, xj) ds+O (ми 2)
= эль f (xj) +O (ми 2).
Следовательно,
x (t) ;x0 =
Z t
0
f
t
ми
, x (t)
dt
=
Z t
ТМ
f
t
ми
, x (t)
dt +
M;1
;
j=0
Z (j+1) эль
гель
f
t
ми
, x (t)
dt
=
Z t
0
f (x (t)) dt +O (e).
Теперь, с тех пор
y (t) ;x0 =
Z t
0
; f (y (t)) dt,
Z t
0 |x (t) ;y (t) |dt +Ce.
кратким введением Гронвола мы имеем
|x (t) ;y (t) | ; Л
гель
|x (t) ;y (t) | ;C ми в течение долгого времени, которую вычисление показывает этому, является свободным художником ми.
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 265
Этот результат может быть обобщен следующим образом. Позволить
x ; =
M;
j=1
f j
t
ми
, x
, x (0) = x0,
где f j является л j-periodic во время. Затем, вычисление, подобное вышеупомянутым шоу
то, что раствор
y ; = ; f (y), y (0) = x0,
с
; f (x) =;
j
1
л j
Z л j
0
f j (t, x) dt,
близко к x (t) на части программы времени.
Теорема 4. Для t ; [0, T], T <; и свободный художник ми (принимают x (t), y (t) существуют в
такой антракт)
|x (t) ;y (t) | ;C1e.
Обратите внимание, что y ; = f (y) является свободным художником ми. В то время как ксенон (t) является очень колебательным, есть
никакая ми - не масштабирует колебания в y (t). Мы приходим к заключению что стоимость объединения усредненного
уравнение - свободный художник ми и вообще намного более эффективно чем вычисления
ксенон. Если мы только выберем произвольный t ;, z ; = f (t ;, z), z (0) =x0 вообще, то мы не можем ожидать
это x (t) = z (t) +O (e).
Усреднение по колебаниям может появиться многими различными способами и должно быть
какие средние гармонические получены как параметры для эффективного уравнения.
Упражнение 4. В следующей проблеме высокочастотные колебания в одном взаимодействуют с
те в d
дуплекс ue и создает поведение низкой частоты ue (x):
;;;
;;
d
дуплекс
;;
один (x) d
дуплекс ue
= f (x), 0 <x <1,
ue (0) = ue (1) = 0,
один (x) = (x
e)> 0.
Мы получаем эффективное уравнение для ue (x), исполняя следующие шаги.
1. Объедините уравнение относительно x и покажите это
(
один
должный
дуплекс =
R x
0 f (x) дуплекс +C,
ue (x) =
R x
0 (один (x)) ;1F (x) дуплекс, где F (x) =
R x
0 f (h) горячекатаный +C.
Определите До от граничных условий.
2. Покажите это
lim
e;0
Z x
0
a
x
ми
;1
F (x) дуплекс =
Z 1
0
(y) ;1dy
Z x
0
F (x) дуплекс, F ; До [0,1].
обработанный с осторожностью. Следующая проблема представляет случай в гомогенизации, в
266 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
3. Покажите это
ue ;; ; u = A;1
Z x
0
Z x
0
F (h) горячекатаный +C
дуплекс как ми ;; 0,
где
A =
1
R 1
0 (y) ;1dy
A
d2 ; u
dx2 = f (x), 0 <x <1, ; u (0) = ; u (1) = 0
В общих словах мы представляем следующие факты об усреднении, доказательство которого может быть
найденный, например, в [20] и [29].
Теорема 5. Позвольте x, y, x0 ; D ; Rn, ми ; (0, e0]. Предположить
1. f, соль, и |;f | ограничены М., который является свободным художником ми.
3. f (t, x) л - периодический в t, л свободного художника ми.
Затем, раствор
x ; = f
t
ми
, x
+eg
t
ми
, x, ми
, x (0) = x0 (44)
близко к раствору усредненного уравнения
y ; = ; f (x), y (0) = x0, f (y) =
1
л
Z л
0
f (t, y) dt
в шкале времени порядка один. Более точно, для всего t ; [0, T], T <свободный художник ;
ми,
|x (t) ;y (t) | ;CeTeeLt,
где C> 0 и Л обозначают Lipschitz, постоянный для ; f.
Кроме того уравнение (44) может быть написано в форме [20]
x ; = ; f (x) +e f1
t
ми
, x, ми
, x (0) = x0, (45)
где f1 (t, x, e) является л - периодический в t и f1 ;0 как ми ;0.
Мы приходим к заключению, что u; (x) удовлетворяет эффективное уравнение:
2. соль - Lipschitz в ограниченной области D.
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 267
3.3 Эффективная крышка в двойных генераторах
Учитывая систему (35), и по соседству траектории, запускающейся с x0, которому позволяют
(x, f) быть медленной диаграммой, в которой f - быстрая угловая координата на круге модуля S1,
то есть, 0 <C1/e <f ; 2
x ; = gI (x, f),
f ; =e;1gII (x, f),
(46)
где C1 <gII (x, f) <C2. Применяя результат усреднения (45), Уравнение (46) может быть
переписанный как
x ; =
R
gI (x, f) df +egIII (x, f) = ; gI (x) +egIII (x, f),
f ; =e;1gII (x, f).
Следовательно, уравнение для x эффективно закрыто.
4 Вычислительных соображения
В этом разделе мы опишем несколько вычислительных методов, которые получают эффективность
принимая во внимание некоторые из специальных свойств системы, обсужденной в
предыдущие разделы. Мы будем главным образом обеспокоены уравнениями формы
x;e = соль
t
ми
, ксенон
, x (0) = x0,
где соль (t, x) является л - периодический, и его усредненная форма
x; ; = g; (x;), x; (0) = x0.
Принципом усреднения у нас есть это
|xe (t) ; ; x (t) | ;Ce, 0 ; t ; T.
4.1 Стабильность и эффективность
Предположите, что однородное время, ступая используется в вычислениях 4 типичное местное усечение
ошибка метода p'th-порядка - O ((;tL) p), где Л является униформой, направляющейся в
p+1 производная правой стороны. Относившийся эти два уравнения выше,
ошибка изменяется чрезвычайно. Для ксенона остаточный член
E1 = O
;t
ми
p
,
4 С колебательными системами, переменные алгоритмы такта не столь выгодны в улучшении
эффективность как в жестких, рассеивающих системах.
<До/e. Затем, этими гипотезами, мы знаем это
268 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
в то время как для ; x, ошибка усечения
E2 = O (;t p).
Таким образом, для раствора, чтобы быть разумно точным, размер шага ;t должен быть
маленький по сравнению с ми. Кроме того, типичный явный немультимасштаб числовые замыслы
пострадайте от линейной неустойчивости, используя размеры шага, которые являются слишком большими по сравнению с
Lipschitz, постоянный из правого размера. Это ограничение ограничивает размер шага
e. С другой стороны, эффективность решения ПЕСНИ
более эффективный, чтобы решить усредненное уравнение для ; x чем оригинальный для ксенона.
чтобы создать мультимасштаб, algorithmthat решает усредненное уравнение без фактически
получение этого. Вместо этого идея Неоднородного Метода Мультимасштаба состоит в том, чтобы приблизиться
усредненное уравнение, на лету используя кратковременную интеграцию уравнения для
ксенон.
4.2 Усреднение косточек
Во многих числовых вычислениях, вовлекающих колебания с различными частотами,
правая сторона, возможно, не является строго периодической. Как пример см. (15). Поэтому
так же как для соображений эффективности, это удобно для среднего числа, используя некоторого генерала
косточки цели. В предыдущем разделе мы видим потребность вычислить среднее число
f (t, x) за период в t
; f (x): =
1
л
Z л
0
f (t, x) dt.
В этом разделе мы показываем, что ; f (x) может быть точно и эффективно приближен
усреднение относительно сжато поддержанной косточки, поддержка которой больше, но
свободный художник л. Для простоты мы проигнорируем x зависимость в f.
Мы будем использовать Kp, q, чтобы обозначить функциональное пространство для косточек, обсужденных в этой статье.
Четкость 5. Позвольте Kp, q (I) обозначают пространство нормализованных функций с поддержкой во мне,
q непрерывные производные и p исчезающие моменты, то есть, K ; Kp, q (I), если K ; Уравнение
до (R),
supp (K) = я, и
Z
R
K (t) trdt =
(
1, r = 0;
0, 1 ; r ; p.
Кроме того мы будем использовать Kh (t), чтобы обозначить масштабирование K как
Kh (t): =
1
h
K
t
h
.
Для стенографии мы будем также использовать Kp, q, чтобы обозначить функцию в Kp, q ([;1,1]).
Kexp ; K1, ; ([;1,1]):
такой метод, чтобы быть порядка
В следующем мы разовьем и обсудим некоторые из инструментов и требуемых идей
чтобы рассчитать T, использующий размер шага, ;t - O (T / ; t). Следовательно, это прозрачно, что это обычно очень
косточка tial
Большинство числовых примеров в этой рукописи получено, используя exponenMultiscale
вычисления для очень колебательных проблем 269
Для удобства мы пишем f (t) = ; f +g (t) где
; f =
1
л
Z л
0
f (s) ds.
Следовательно, соль (t) является л - периодический с нулевым средним числом.
Следующий анализ показывает, что скручивание Kh ; f хорошо приближается
;
Z
R
1
h
K
t ;s
h
f (
s
ми
) ds =
Z t+h
t;h
1
h
K
t ;s
h
; f +g
s
ми
ds
= ; f
Z t+h
t;h
1
K
t ;s
h
ds +
1
h
Z t+h
t;h
K
t ;s
h
соль
s
ми
ds
= ; f +
1
h
Z t+h
t;h
K
t ;s
h
соль
s
ми
ds.
Объединяясь партиями, мы имеем
1
h
Z t+h
t;h
K
t ;s
h
соль
s
ми
ds
=
ми
h
K
t ;s
h
СОЛЬ
s
ми
|t+h
s=t;h ;
ми
h2
Z t+h
t;h
K ;
t ;s
h
СОЛЬ
s
ми
ds
= ;
ми
h2
Z t+h
t;h
K ;
t ;s
h
СОЛЬ
s
ми
ds,
где Соль - антипроизводная соль, данной (38). Следовательно,
1
h
Z t+h
t;h
K
t ;s
h
соль
s
ми
ds
;
ми
h || K ; || ; || Соль || ;.
Так как соль является периодической и ограничена, ее антипроизводная - также ограниченная функция. Для
пример, беря h = ;e, ; f приближен, чтобы упорядочить ;e. Повторение этого процесса q
результаты времен
Z
h (t ;s) f (s) ds ; ; f
;CK, соль
ми
h
q
. (48)
среднее число f,
h
K
Для удобства мы обозначим Kh ; f (t) <f (t)> h
Kexp (t) =C0c [;1,1] (t) exp (5 / (t2 (47)
exp || L1 (R)
Kcos (t) =
1
2
до [;1,1] (t) (1+cos (пинта)) ; K1,1 (I).
до [;1,1] C0
нормализация, постоянная таким образом, что || K =1. Вторая обычно используемая косточка
Здесь, характерная функция антракта [-1, 1] и a
;1)).
270 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
4.3 Что приближает алгоритм мультимасштаба?
Свободно говоря, наша цель состоит в том, чтобы создать алгоритм, который приближает медленное
поведение очень колебательной системы ПЕСНИ. Важное соблюдение состоит в том что
медленное поведение системы может быть результатом внутренней взаимной отмены колебаний.
Это, например, имеет место с резонансами. Следовательно, это, возможно, не прозрачно
каковы эти медленные аспекты. Поэтому мы проявляем широкий подход и требуем
то, что наш алгоритм приближает все переменные и observables, которые являются медленными с
уважайте ПЕСНИ.
Как это возможно? Мы теперь доказываем, что алгоритм, который приближается
замедлите координаты в медленной диаграмме (x, f) приближает все медленные переменные и observables.
Медленные переменные: Позвольте (x), обозначают медленную переменную. От Краткого введения 1 у нас есть это
(x) = ; (x (x)) для некоторой функции ;. Поэтому, значения (x) зависят только от x.
Кроме того не необходимо знать, что ;, для предполагают x =x (x (t)) в некоторое время t.
Затем, (x (t)) =a ; (x) =a ; (x (x (t)))). Другими словами, все очки x, которые переписываются
Медленный observables - глобальные средние во времени: Мы замечаем, что это для любого выравнивает
функционирует (x, t), у нас есть это a; (t) =
R t
0 (x (s), s) ds является медленным с тех пор | (d/dt) a; (t) | =
|a (x (t), t) |, который ограничен свободный художник ми. В форме ПЕСНИ мы имеем
a; ; =a (x, t)
который подчиняется к форме, требуемой теоремой усреднения. Поэтому, a; может быть
интегрированный как пассивная переменная на макроскопическом уровне. Другими словами это может быть
приближенный
a; (t) =
Z t
0
<(x (s), s)> h ds
Медленный observables - средние числа местного времени: Рассмотрите средние во времени формы
<(x (s))> h. С тех пор (x, f) диаграмма, у нас есть это (x (s)) = ; (x, f) для некоторых
функционируйте ;. Однако, как доказано в Секте. 4.2, скручивание с косточками приближается
усреднение относительно быстрой угловой фазы f. Здесь,
<(x (s))> h
= <; (x, f)> h =
Z
; (x, f) df +error =a; (x (t)) +error,
где ошибка оценена в Секте. 4.2. Следовательно, последовательное приближение x
подразумевает последовательное приближение <(x (s))> h. Кроме того, в Секте. 5 мы будем
покажите, что явная форма ; или a; не требуется начиная со всех средних чисел местного времени
4.4 Повышение методов
В окружении усреднения идея рекламировать особенно проста. Рассмотрите, для
пример, Теорема усреднения 5, который заявляет что, с функциями f (t, x), который
являются 1-периодическими вовремя, раствор
к тому же самому x результату то же самое значение для (x).
может быть вычислен как результатом шагов micro-solver в алгоритме.
d
ds
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 271
x ; = f
t
ми
, x
, x (0) = x0 (49)
и
y ; = ; f (y), y (0) = x0, ; f (y) =
Z 1
0
f (s, y) ds, (50)
близко к ми порядка:
|x (t) ;y (t) | <Ce,
в шкале времени порядка один. Предположите, что мы интересуемся решением (49) с предписанным
точность D, который является маленьким, но не как маленький чем ми, то есть, ми ;D ;1. Рассмотреть
измененное уравнение
z ; = f
t
D
, z
, z (0) = x0. (51)
После того же самого параметра усреднения z (t) близок, к порядку D, к усредненному
уравнение (50). Следовательно, неравенством треугольника
|z (t) ;x (t) | ; |z (t) ;y (t) | + |y (t) ;x (t) | <До (ми +D) <2CD. (52)
который имеет порядок D. С другой стороны чопорность уравнения очень уменьшена.
Обсуждение в Секте. 4.1 шоу, что эффективность решения рекламируемого уравнения
(51) O (D;1), который может быть значительным усовершенствованием по O (e;1) требуемый
решить (49). Кроме того, (51) имеет ту же самую форму как (49) и варенье
то же самое постоянство. Например, если оригинальная система является гамильтоновой, что рекламируемый
версия является также гамильтоновой.
Несмотря на их простоту, повышение страдает от двух главных недостатков. Первое
связанный с природой асимптотического расширения имел обыкновение получать усредненное уравнение.
Подобный расширению функций в серии силы, асимптотического расширения в
у усреднения Теоремы 5 есть “радиус конвергенции”. Это подразумевает что усредненный
уравнение может обеспечить плохое приближение для (49), если ми не является достаточно маленькой. В
0
обычно неизвестно. Следовательно, ошибочная оценка (52) терпит неудачу если D> e0.
;1),
независимо от того, каков порядок интегратора. Дело обстоит не так с ХМ, как будет
определите эффективность, чтобы проверить и оценить эффективность нашего алгоритма.
5 Гетерогенных Методов Мультимасштаба
другие слова, близость между x (t) и y (t) "умирают" в некоторой ми значения, который
Решение рекламируемого уравнения (51) вместо оригинального, (49) вводит ошибку
Другой недостаток состоит в том, что эффективность метода обязана быть O (D
будьте обсуждены в следующем разделе. Тем не менее, повышение служит важным
Гетерогенный Метод Мультимасштаба (ХМ) - общие рамки для систем
усредненное уравнение, и micro-solver, приближая усредненное использование уравнения
ХМ состоит из двух компонентов: macro-solver, объединяя вообще неизвестное
развитие на многократном, хорошо разделенные шкалы времени. Мы сосредоточимся на проблемах с
кратковременная интеграция полной системы ПЕСНИ.
две шкалы времени, которые упоминаются как медленные/быстрые, или макро-/микро масштабы.
272 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
5.1 Ваниль ХМ пример
Рассмотрите, например, уравнения формы
x ; = f
t
ми
, x
, x (0) = x0,
где x ; Резерфорд и f (t, x) является гладкой функцией, которая является 1-периодической в t. Мы переписываем
система как гомогенное уравнение на Резерфорде ; [0,1],
x ; = f (f, x), x (0) = x0,
f ; =e;1, s (f) = 0,
(53)
1
в x являются медленными относительно (53), в то время как f быстр. Следовательно, (x, f) медленная диаграмма для
(53). Кроме того, от Секты. 3, раствор для x близок (к порядку e) к эффективному
уравнение, которое эффективно закрыто:
; x ; = ; f (; x), ; x (0) = x0,
где
; f (z) =
Z 1
0
f (t, z) dt.
усредненное шпигование ; f (·) обычно неизвестно. Поэтому следующая Секта. 4.2
мы приближаем ; f (·) как половина (t, x (t) ih
. Применение передового замысла Euler x с a
макроскопический размер шага H подразумевает взятие xn+1 = xn +Hhf (t, x (t) ih
rized в следующем алгоритме. Позвольте xn обозначать наше приближение (53) во время
tn = nH.
1. n = 0
n h,
tn
n
3. Шпигуйте оценку: вычислите Fn = h xn ih
.
4. Макрошаг (отправляют пример Euler): возьмите xn+1 = xn +HFn.
5. n = n+1. Повторите шаги 2-4, чтобы рассчитать T.
Эффективность алгоритма - O (Th/Hh). Это далее проанализировано в Секте. 5.4.
5.2 Систематически создающие гетерогенные методы мультимасштаба
du
dt
= fe (u, t), (54)
где u: (0, T), 7 ; Резерфордов, и подмножество собственных значений ¶ fe / ¶ u обратно пропорционально пропорциональны
к маленькой положительной ми параметра. Когда ми является очень маленькой, сложность
Ранее мы видели, что это очень благоприятно, чтобы решить для x;, а не для x. Однако,
изоморфно к кругу модуля S. По определению 1, это прозрачно что все координаты
. Это - свод -
Рассмотрите жесткие обычные отличительные уравнения (ПЕСНИ) формы
Обозначьте +h] с размером шага h и x 0 замененный xn раствор x (t).
f.
ми (), (·)
где f - угловая переменная, определенная на R пространства фактора / [0,1]. Последнее пространство
2. Микромоделирование: приблизительный (53) в цифровой форме в уменьшенной части программы времени [t ;
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 273
в цифровой форме решение таких систем становится предельно богатым. Однако, во многих
ситуации, каждый интересуется только рядом количеств U, которые получены из
раствор данной жесткой системы (54), и как правило, эти количества медленно изменяются
вовремя; то есть bothU и dU/dt ограничены свободный художник ми. Например, U мог
будьте усредненной кинетической энергией системы частицы u.
Наш объектив состоит в том, чтобы создать и проанализировать ПЕСНЬ solvers, которые объединяют систему
d
dt
U = F (U, D), (55)
где D - данные, которые могут быть вычислены местным раствором (54). U называют
медленная (макроскопическая) переменная, которая является также некоторой функцией или функциональный из u; то есть.
U = U (u, t).
стратегия вовлекает установку формальная числовая дискретизация для (55), и оценивает
F от кратковременной истории u с должным образом выбранным начальным условием.
F (U, D) = 0, (M) (56)
который не может быть явно дан, но может быть оценен от данного микроскопического
модель,
j (u, d) = 0, u ;W (m) (57)
где u - микроскопические переменные. D = D (u) и d = d (U) обозначают набор
данные или вспомогательные условия, которые далее соединяются макро - и микроскопические модели.
Модель (56) формально discretized в макроскопическом масштабе, и принятом числовом
замысел диктует, когда необходимая информация D (u) должна быть приобретена от решения
(57), в местном масштабе в микроскопическом масштабе со вспомогательными условиями d (U). Как партия
d (U) и D (u), макро - и микроскопические переменные связаны реконструкцией
и действующие компании сжатия:
R (U, ДОКТОР) = u, Q (u) =U, Q (R (U, ДОКТОР)) =U,
где ДОКТОР - необходимые данные, которые могут быть оценены от u. Ошибки этого типа
замыслы вообще берут структуру [10, 14]
Ошибка = А +Eh,
где А ошибка макроскопической модели (56), и А содержит ошибки
от решения (57) и прохождение информации через R и Q. Этот подход
использовался во многих приложениях, таких как проблемы строки контакта, эпитаксиальные
рост, тепловые расширения, и сгорание. См. статью [12] повторения.
Рисунок 1 показывает две типичных структуры такой ПЕСНИ solvers. ПЕСНЬ solver forU
находится на верхней оси и создает приближения U в изображенных узлах решетки
Если F является четким и имеет удобное явное математическое выражение, то
U ;W
много ситуаций, зависимость F на U не явно доступна. Наш предложенный
методы мультимасштаба. В этой структуре каждый принимает макроскопическую модель
нет никакой потребности решить жесткую систему (5 4) - единственные потребности решить (55). В
Мы будем следовать за структурой E и Engquist [11] в построении эффективного
274 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
там. Мелкие сетки на более низкой оси изображают очень короткое развитие (54)
с первоначальными значениями, определенными R (U (tn)). Действующая компания реконструкции затем берет
каждый раз развитие u и оценивает F и U. Алгоритмы в [10, 16, 15], и
[28] имеют также подобную структуру. Как простой пример, передовой замысел Euler
относившийся (55), казалось бы, был бы
Un+1 =Un+H · ;F (Un), (58)
где ;F содержит пассаж QFtR (Un) - reconstructionR, evolutionFt, и
• С системой для u, и выбором U (u), F четкий процедурой
определенный выше? В противном случае, как это может быть должным образом определено?
• Каков R и Q?
• Сколько времени должен каждое развитие быть вычисленным?
• Что означает надежность?
• Что относительно стабильности и конвергенции?
Для неподвижного данного e> 0, все углубление knownmethodswill сходится как неродной размер H ;0,
и между жесткими и нежесткими проблемами нет никакого различия. В [11], конвергенция
для жестких проблем (ми ;H) определен следующей ошибкой:
Ми (H) = max
0;tn;T
(глоток
0 <ми <e0 (H) |U (tn) ;Un |). (59)
Здесь, e0 (H) - положительная функция H, служа верхней границей для амплитуды ми,
andU (tn) andUn обозначают соответственно аналитический раствор и дискретный раствор
в tn
переменное свойство ofU и производит точное приближение со сложностью, которая является
подлинейный в e;1.
Проблемы, которыми мы интересуемся, могут быть описаны следующим образом. Система полного масштаба
(54) написанный в неизвестной переменной u дан, и колебания в u имеют
частота порядка e;1
принятый, что тонкая система масштаба описывает полное поведение проблемы. Мы
хочу вычислить эффективное поведение данной системы полного масштаба, используя число
functionals u, и их управляющие уравнения могут иметь нет
явный аналитичный для
используйте числовые растворы u, чтобы получить недостающую информацию
должен был оценить формальную дискретизацию управляющих уравнений.
Нотация 1. Позвольте u (t; a) обозначьте раствор задачи с начальными условиями:
du
dt
= fe (u, t), u (t ;) =a, (60)
Существенные вопросы, которые должны быть решены для такого замысла, включают:
mula. Наш подход - к discretize эффективные уравнения для
(U, V) формально и
из медленно изменяющихся количеств, (U, V). Эти медленно изменяющиеся количества вообще
определенный как функции или
compressionQ, и H - размер шага. Если каждое развитие системы полного масштаба (54)
разумно короткометражный фильм, полная сложность такого типа solvers была бы меньшей
5.1 использует действующую компанию личности и для Q и для R.
чем решение жесткой системы (54) навсегда. Ваниль ХМ представлена в Секте.
= nH. С этим понятием это прозрачно, что благоразумный метод должен использовать медленно
. Мы также назовем эту систему тонкой системой масштаба. Это
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 275
для некоторого произвольного начального условия во время t ;.
Нотация u (t) или u будет зарезервирована для раствора той же самой ПЕСНИ, Уравнения
(60), для t> 0 с данным начальным условием u0.
Четкость 6. Позвольте Соль (·, t) быть функциональным из u. Исходные данные сказанного, чтобы быть последовательным
с u под Соль, если Соль (u (·; a), t) = Соль (u, t) +O (ми r), для некоторого r> 0.
В проблеме маятника Кэпицы ключевом игроке твердого маятника с продолжительностью присоединен л
к сильному периодическому шпигованию, вибрируя вертикально с ми периода. Система
имеет один градус свободы, и может быть описан углом, q, между маятником
рука и восходящее вертикальное направление:
lq ;; =
соль +
1
ми
грех
2 пункта
t
ми
грех (q), (61)
с начальными условиями q (0) =q0, q ; (0) =w0. С большой ми, единственным устойчивым равновесием
q0 = np, соответствуя маятнику, указывающему вниз. Когда ми достаточно
маленький и и q0 и w0 близко к 0, маятник будет медленно колебаться
назад и вперед, указывая вверх, с замещением q <qmax. Осанка
маятник и раствор в качестве примера изображены в Рис. 5. Период медленного
колебание к ведущему порядку в ми, ограничил свободного художника шпигующей ми периода.
Вдобавок к медленному движению вокруг устойчивого q = 0 конфигураций, траектория q
выставки постятся колебания с амплитудой и периодом, пропорциональным ми.
В [32], второе уравнение порядка написано как первая система порядка, используя u =
(q, w), где w - производная q. Медленная переменная U = (Q, W) состоит из
слабый предел угла q и его производной ; q, и эффективного шпигует для U, может
будьте соответственно приближены к этому времени усреднение правой стороны (61).
Однако, действующая компания реконструкции R больше не может быть действующей компанией личности.
первоначальные значения u в tn для каждого тонкого развития масштаба должны быть осторожно созданы
таким образом, что средние числа q соответствуют с Q, чтобы сохранить правильный резонанс
между грехом условий (2pt/e) и грехом (q). С этой целью, действующая компания реконструкции
должен перенести термин исправления когда установка w в tn:
w0
n = Wn ;
1
ми
Z tn+e/2
tn;e/2
Z t
tn
один
s
ми
грех (qn (s)) dsdt.
Надежность описанного мультимасштаба solver к этому типу системы таким образом установлена.
d ;Rs, чей
раствор U (t) ПЕСНИ
d
dt
U =
d
dt
V
W
=F (U, t) +O (e), (62)
эквивалентно его оценке, используя целый раствор масштаба u, то есть,
7
Проблема 1 (Крышка). Учитывая V, который состоит из ряда медленных переменных или functionals
из u определите набор расширенных переменных U = (V, W): [0, T] ;R
вмятина таким образом, что
компоненты - функции или functionals u, так, чтобы там существовал functionF indepen-
ми
276 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
Маятник Кэпицы рис. 5. (a); (b) медленные растворы масштаба к уравнению (61); Три заказов
из величины (ми = 10;6) разделяют период медленного колебания, очевидного в графиках
от быстрого колебания.
U (t) =U (u, t) =
V (u, t)
W (u, t)
,
где U (t) обозначает раствор ПЕСНИ, и U (u, t) функциональное использование оценки
u (t), и так же для V andW.
Когда эти функции составлены из u (t) и рассмотрены как функции времени,
один (t) =a (u (t)) и Вы (t) =y (u (t)), они должны удовлетворить следующие условия:
1. a и y - линейные сочетания некоторых простых функций u;
2. dae/dt ограничен свободный художник ми;
3. dn hye i/dtn>> 0 приблизительно для 0 ;n и для некоторого свободного художника ми;
4. один (t) сходится pointwise к гладкой функции a; (t), и Вы слабо к непрерывному
functionY.
Здесь, hye i обозначает скользящее среднее значение относительно косточки, как описано в
Секта 4.2. Эти подходы мотивируются анализом резонанса, усреднением
методы, см. например, [25, 5, 1, 3], и наша предыдущая работа над маятником Кэпицы и a
немного других образцовых проблем. Другой интересный момент вида использует идею
из мер Янга [4].
Практически, у нас нет u (t), так как мы не решаем жесткое уравнение для a
долговременный свободный художник антракта ми. Однако, раствор U к проблеме крышки
определяет класс эквивалентности для начальных условий для u. Пока исходные данные
выбран таким образом, что это последовательно к u (t) относительно U (t), U (t) должным образом
развитый. Вместо этого наша стратегия состоит в том, чтобы вычислить раствор u (·; a) для продолжительности это
исчезает с ми, запускающейся с требуемого времени и использующей некоторые первоначальные значения a. Однажды
U (t) приближен, мы можем приблизить dU/dt в цифровой форме без явно
W (u, t).
Одна из наших стратегий состоит в том, чтобы искать алгебраические функции a и y, создавая
± ±
(a)
0 5 10 15
;0.4
;0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
(b)
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 277
к functionalU (u, t):
Un в tn, который определяет ряд ограничений.
Сочтите ; Резерфорд таким образом что U (u (·;), tn) =Un+O (ми p) для некоторого p> 0.
Обратите внимание на это в отличие от общих ограничений сохраненных интегралов в вычислениях
j)
известный в t = t j,
1. Найдите aj, который решает U (u (·; aj), t) ;U (t j) (Переинициализация);
2. Решите данное жесткое уравнение и получите u (t; aj) для t j ;t ;t j +he (Микромасштаб
раствор);
3. Оцените F (t j) = dU/dt в t j использующий u (t; aj);
4. Используйте F (t j) и U (t j), чтобы получить U в t j +Dt. (Раствор макромасштаба)
Обратите внимание, что Dt должен быть свободным художником ми, и он исчезает с ми.
В следующих примерах медленное поведение приближено, используя функции
только (медленная диаграмма) и не functionals.
5.3 Пример: расширяющаяся спираль
Рассмотрите систему (34) описание расширяющейся спирали
x ; = ;e;1y+x, x (0) = 1,
y ; =e;1x+y, y (0) = 0.
(63)
Ранее, в Секте. 2.4, было показано, что (x, f) = (x2 +y2, tan;1 (y/x)) медленное
диаграмма для (63). Развитие времени единственной медленной переменной x принимает форму
x ; =
x ;
h +O (e) =
2xx ; + 2yy ;
h. (64)
Это побуждает следующий алгоритм мультимасштаба для того, чтобы приблизить x ; (t). Для sim -
Мы обозначаем tn = nH и
xn, yn и xn наш n n n n
и у yn нет n n
Алгоритм изображен в Рис. 6.
1. Начальные условия: (x (0), y (0)) = (x0, y0), n = 0.
2. Микромоделирование: Решите (63) в [tn ;h/2, tn+h/2] с начальными условиями
(x (tn), y (tn)) = (xn, yn).
evaluatingF. Естественно, эта начальная буква valuea должна быть совместимой с u с уважением
компоненты U, который может медленно изменяться вовремя.
Проблема 2 (Reintialization/reconstruction).Given functionalU (u, t) и его значение
В общих словах наш метод мультимасштаба выделен, как следуйте: Принятие U (t
j
sistent и устойчивый интегратор могут использоваться в качестве micro-solver.
plicity, мы применяем макроскопический передовой Euler solver с размером шага H. Любой conapproximation
для x (t), y (t) и x (t), соответственно. Обратите внимание на это x
чтобы быть близко к x (t) и y (t).We только требуют что медленная переменная
приближен.
из гамильтоновых систем мы рассматриваем ограничения, такие как определенные
278 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
micro;solver
micro;solver
H
H
x1
x2
Рис. 6. Два макроскопических шага для ХМ алгоритма в расширяющемся спиральном примере (63).
3. Шпигуйте оценку: Приблизьте x ; Dxn = h2xx ; + 2yy;ih
. Шаг вовлекает
convoluting 2xx ; + 2yy ; с косточкой усреднения как обсуждено в Секте. 4.2.
4. Макрошаг (отправляют Euler): xn+1 =xn +HDxn.
5. Реконструкция (второй точный порядок): (xn+1, yn+1) = (xn, yn) +HFn, где Fn
решение методом наименьших квадратов линейной системы
Fn · ;x (xn, yn) =Dxn
6. n = n+1. Повторите шаги 2-5, чтобы рассчитать T.
5.4 ХМ использование медленных диаграмм
Предположите, что система ПЕСНИ формы (35) допускает медленную диаграмму (x, f), где x =
(x 1..., x k) ; Rk являются медленными, и f ; S1 быстр. В следующем разделе мы будем видеть это
много очень колебательных систем действительно допускают медленную диаграмму той формы. Затем,
алгоритм, предложенный в предыдущем разделе, может быть легко обобщен следующим образом.
Как прежде, для простоты мы концентрируемся на передовом случае Euler. Более высокий порядок
методы рассматривают в [1]. Приближенные количества в n‘th макроскопическое время
шаг обозначен припиской n.
1. Начальные условия: x (0) = x0, n = 0.
2. Микромоделирование: Решите (35) в [tn ;h/2, tn +h/2] с начальными условиями
x (tn) = xn
3. Шпигуйте оценку: Приблизьте x ; Dxn = h;x · x;ih
использование скручивания с
косточка усреднения.
4. Макрошаг (отправляют Euler): xn+1 =xn +HDxn.
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 279
5. Реконструкция (второй точный порядок): xn+1 = xn +HFn, где Fn наименее
раствор площадей линейной системы
Fn · ;x (xn) =Dxn. (65)
6. n = n+1. Повторите шаги 2-5, чтобы рассчитать T.
Сложность
В этом разделе мы анализируем точность предложенного метода, выделенного выше.
Каждый шаг приближений, предварительно сформированных в нашем алгоритме, вводит числовое
ошибка. Чтобы оптимизировать выполнение, различные источники ошибок сбалансированы
с неподвижной предписанной точностью D. Мы показываем как различные параметры: ми, h, h
и H масштабируются с D, чтобы иметь глобальную точность порядка D. Обратите внимание что
максимальная возможная точность - D =e, так как это - ошибка, введенная, моделируя
усредненное уравнение, а не оригинальный. Мы также изучаем зависимость D
из сложности алгоритма.
Мы начинаем с оценки, что ошибка в нашей оценке усредненного шпигует Dxn.
Есть несколько источников ошибок:
• Глобальная ошибка в каждом микромоделировании. Используя m’th ordermethod с размером шага
h глобальная ошибка hhm/em+1.
• Ошибка квадратуры в K;h ;x: Используя состав квадратуры градуса r ошибка
hhm/e (m+1). Однако, из-за регулярности косточки использовал K ; Уравнение,
подынтегральное выражение является гладким и периодическим. Следовательно, коэффициенты его разложения Фурье
распадитесь очень быстро. В результате выгодно использовать трапециевидное правление,
который точен для e2pikx, k ; N. Это подразумевает, что ошибка квадратуры как правило
очень маленький и может пренебречься.
• ApproximatingDxn h;x · x;ih
: Используя косточку K ; Kp, q ошибка является большим
между h p q
(48) так как Dxn найден через интеграцию партиями (cf. Секта. 5.4). Вышеупомянутые два
границы к ошибке усреднения равны если h p+q+1 = ми q, где, для большого h,
termh p доминирует, в то время как для маленького h другой. Так как мы хотели бы оптимизировать
наша сложность, всегда предпочтительно разогреваться последний режим. Следовательно, мы
может взять ошибку усреднения быть (e/h) q/h.
Балансирование всех результатов условий оптимальное масштабирование параметров моделирования с D.
Глобальная точность объединения оригинальной полной ПЕСНИ, чтобы рассчитать T = O (1) использование
macro-solver порядка s с размером шага H, принимающие ошибки накапливаемы,
Ми ; Dmax
Hs,
hhm
em+1,
ми q
hq+1
, (66)
Для некоторого D> 0. Для стенографии мы понижаем константу во всем после выражений.
Балансирование различных источников ошибок с предписанной точностью D результаты
и (e/h)/h. Обратите внимание, что мы теряем один порядок h по сравнению с
280 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
h = ми
q
q+1D ; 1
q+1,
H = D
1
s,
h = ми
1+ 1
м. (q+1) D
s+1
см + 1
м. (q+1).
(67)
Сложность затем
C =
h
h
T
H
=e ; m+1
м. (q+1) D;1
s ;s+1
см ; m+1
м. (q+1). (68)
С гладкой косточкой мы можем считать q ; пределом ;. В этом случае сложность
оценка уменьшена до
До (q; ;) =D;1
s ;s+1
см. (69)
Рисунок 7 изображает относительную ошибку ХМ приближение по сравнению с
аналитический раствор расширяющегося спирального примера (34). Косточка была создана
от полиномиалов, чтобы иметь точно две непрерывных производные и одиночное исчезновение
моменты, то есть, q = 2 и p = 1. Четвертый порядок замыслы Runge-Kutta использовался
и для микро - и для macro-solvers. Параметры моделирования выбраны к
сбалансируйте все ошибки как обсуждено выше.
10
;3
10
;2
10
;1
10
;1
10
0
10
1
10
2
ln (D)
ln (относительная ошибка в %)
slope=1.02
Рис. 7. График журнала журнала относительной ошибки ХМ приближения к линейной ПЕСНИ сравнился
к точному решению: Ми = max
tn ; [0, T] 100 ;|xHMM (tn) ;xexact (tn) | / |xexact (tn) |, как a
функция D.
От параметра, масштабирующегося (67), это прозрачно что размер шага macro-solver,
H, не зависит от ми чопорности, но только от предписанной точности D. Наш
0
[11]. Более точно обозначьте типовые времена macro-solver t0 =0..., tN =
T и соответствующие числовые приближения для x x0..., xN. Точное
раствор обозначен x (t). У нас есть это для любой переменной (x), который является медленным с уважением
к x (t)
lim
H;0
глоток
k=0..., N
глоток
ми <e0 |a (x (tk)) ;a (xk) | ;0. (70)
алгоритм - thereforemultiscale, смысл, что это сходится однородно для всей ми <ми
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 281
Обратите внимание, что порядок пределов важен.
5.5 Почти линейные генераторы в резонансе
Рассмотрите систему ПЕСНИ формы
x ; =
1
ми
Топор + f (x), (71)
где, x ; Резерфорд
1 r
я j и ni j, такой, что ми jwi =
ni jwj.
Теорема 6. Там существует медленная диаграмма (x, f) в Резерфорде \{xi 6 = 0, ;i} для (71) таким образом что
все координаты x - полиномиал в x и f ; S1.
Теорема доказана в [1]. Как пример, рассмотрите (71) с
Замена переменных так, чтобы A был diagonalized результатами сложная система
где z = (z1, z;1, z2, z;2) T и z ; обозначают комплекс, сопряженный из z. Это легко
проверенный, что следующее - медленные переменные
x1 = z1z;1,
x2 = z2z;2,
x3 = z2
1z;2.
Преобразовывая назад к оригинальным координатам x = (x1, v1, x2, v2) медленные переменные
станьте реальными полиномиалами
x1 = x2
1+v2
1,
x2 = x2
2+v2
2,
x3 = x1x2
2 +2v1x2v2;x1v2
2.
1 и x2 соответствуют площади амплитуды
1 1 2 2
x3, соответствует относительному распространению фазы в этих двух генераторах.
(x2, v2), увеличивается дважды как быстро
1 1
Первые две переменные, x
два гармонических генератора, описанные (x, v) и (x, v), соответственно. Третье
переменная,
Это медленно потому что, к ведущему порядку в ми, фазе
как это (x, v).
z
0
= z + ~f (x):
и A - d ; d реальная diagonalizable матрица с просто воображаемым
собственные значения ±iw..., ±iw, 2r = d. Кроме того, мы предполагаем что все колебательные
режимы находятся в резонансе. Это подразумевает, что отношение каждой пары частот
рациональный, то есть, для всего я, j = 1... r, там существуйте целые числа м.
A =
0
BB@
1
;1
2
;2
1
CCA
.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1
ми
0
BB@
я
;i
2i
;2i
1
CCA
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
282 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
Упражнение 5. Проверьте, что ;x1, ;x2, и ;x3 линейно не зависят ни в каком регионе
в R4 \Q, где Q - ноли x1, x2, и x3.
Полностью нелинейные генераторы
Контакт с нелинейными генераторами является более сложным чем линейные. Однако,
медленное поведение слабо двойных систем генераторов, таких как Ван дер Пол,
релаксация и Волтерра-Lotka могут все еще быть описаны, используя некоторое обобщение
амплитуда и относительная фаза. Это вне контекста этих примечаний. Мы обращаемся к [2]
для дальнейшего чтения.
6 Вычислительных упражнений
Компьютерное упражнение 1. Позвольте u = (x, y, z) и
fe (x, y, z) =
;
;
1
ми
0
;1
си ми 0
0 0 ; 1
10
;
;
;
;
x
y
z
;
;+
;
;
0
0
x2+cy2
;
;. (72)
Уравнение для u
u ; = fe (u), u (0) = (1,0,1).
Возьмите ми = 10;4, = си = 0 и до = 1. Найдите приближения для z (t) в 0 <t ; 1 использование
следующие замыслы и сравниваются с аналитическим раствором. Графически изобразите траекторий
из Ваших приближений x (t) и y (t) на xy-плоскости, и графике z (t) как a
функция времени. Объясните, что Вы наблюдаете в каждом случае.
(a) Отправьте Euler, использующий ;t =e/50.
(b) Назад Euler для x и y и Вперед Euler для z, используя ;t = 0.1.
(c) Метод Verlet или Середина управляют для x и y, и Вперед Euler для z, используя ;t =
ми/50.
(d) Решите эту проблему методом HMM-FE-fe (см. ниже), с Q = R = я
(см. Секту. 5.2). h =e/50, H = 0.1, и гм = 2 · 10;3.
(e) Получите линейные критерии стабильности на H для HMM-FE-fe, предполагая это h = c0e.
(f) Позвольте = си = 1 в системе, определенной выше. Решите это тем же самым HMM-FE-fe
замысел с теми же самыми параметрами как в (d). Делает этот замысел, правильно приближаются
поведение z во временном интервале 0 <t ; 1? Объяснить.
Замысел HMM-FE-fe u ; = fe (u).
• Макромасштаб с Передовым Euler (FE)
Un+1 =Un+HFn, U0 = Q (u0)
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 283
• Микромасштаб с Передовым Euler (fe)
un
k+1 = un
k +h fe (un
k), k = 0,±1, ···, ±M,
un
0 = R (Un).
• Усреднение
Fn: =
1
2M
M;
k = ; М.
Kcos
k
2M
fe (un
k),
Kcos (t) =
1
2
до [;1,1] (t) (1+cos (пинта)),
до [;1,1] (x) =
(
1, ;1 ; x ; 1,
0, иначе.
Компьютерное упражнение 2. После предыдущей проблемы определите медленную переменную
x (x, y) = x2 +y2 и x (t): = x2 (t) +y2 (t),
где x (t) и y (t) определены в (72).
(a) Покажите, что дуплекс/dt может быть приближен, составляя в среднем:
дуплекс
dt
(tn) ;
Z ;
;;;
d
dt
Kcos
tn;t
2 миллигенри
;;
x2 (t) +y2 (t)
dt
;Ch p.
Найдите p.
(b) Измените свой предыдущий код HMM-FE-fe к HMM-FE-rk4 (см. ниже), следующим образом
и определите, приближены ли движущие силы z точно этим новым
замысел. Графически изобразите своих приближений как в предыдущей проблеме. Объясните свои результаты.
(c) Сделайте ту же самую вещь как в предыдущей проблеме, но с до = 0. Делает Ваш мультимасштаб
работа алгоритма? Почему?
Ограниченный замысел HMM-FE-rk4 u ; = fe (u).
• Макромасштаб с Передовым Euler
Un+1 =Un+HFn, U0 =Q (u0).
• Микромасштаб с Runge-Kutta 4 (rk4)
un
k+1 = rk4 (un
k, h), k = 0,±1, ···, ±M,
un
0 = R (Un).
Здесь rk4 - явный Runge-Kutta 4 обычных размера шага использования h.
rk4 (y, h) = y +
1
6
(k1 +2k2+2k3+k4),
k1 = h fe (y), k2 = h fe (y +
1
2
k1), k3 = h fe (y +
1
2
k2), k4 = h fe (y+k3).
284 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
• Усреднение
dzn: =
1
2M
M;
k = ; М.
Kcos
k
2M
xn
k · xn
k +cyn
k · yn
k ;
цинк
k
10
.
дуплекс n: =
1
2M
М.
;
k = ; М.
СОЛЬ
k
2M
(xn
k · xn
k +yn
k · yn
k),
где Соль (k
2M): = ;1
2 миллигенри
d
dt Kcos (t
2 миллигенри).
• Оцените эффективный, шпигуют
Сочтите вектор модуля dXn таким образом что
дуплекс n = ;x, yx |xn
k, yn
k · dXn.
Fn: =
dXn
dzn
.
Компьютерное упражнение 3. Рассмотрите инвертированное уравнение маятника:
lq ;; =
соль +
1
ми
грех
2 пункта
t
ми
грех (q). (73)
Позвольте w = q ;, перепишите его в систему первых уравнений порядка для (q, w). Позвольте Wn+1
2
обозначьте усредненный макроскопический момент инерции во время (n + 1
2) H и Qn быть
усредненный макроскопический угол. Вычислите инвертированные растворы маятника при использовании
ми параметров =10;6, (Q0, W0) = (0.0, ;0.4), соль = 0.1, л =0.05. Experimentwith
h = 10e и 30e.
Эта проблема проанализирована в [32].
ХМ для инвертированной проблемы маятника.
• Макромасштаб с Verlet
Данный Un = (Qn, Wn), для n = 0,1,2, ldots
Wn+1
2 = Wn +
H
2 · ;F n,
Qn+1 = Qn+H · Wn+1
2 ,
Wn+1 = Wn+1
2 +
H
2 · ;F n+1,
Здесь, ;F [q n, wn] обозначает, что усредненные шпигуют использование растворов чьи значения в
tn = nH (q n, wn).
• Развитие микромасштаба
Решите lq ;; = (соль + 1
ми
грех (2 пункта t
e)) грех (q) для tn;h ;t ; tn+h с “восстановленный
начальная буква”
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 285
q (tn) = Qn,
w (tn) =q ; (tn) = R (Qn, Wn): =Wn ;sin (Qn)
потому что
;;
2 пункта tne
2pl
.
w (tn) ; Wn ;
Z t
tn
один
s
ми
грех (q (s)) ds
• Среднее число
Используя раствор, вычисленный в развитии микромасштаба вокруг tn. Оценить
;F
n =
(соль +
1
ми
грех
2 пункта
t
ми
) грех (q)
h
= Kh ; f (tn),
где
Kh (t) =
422.11
h
exp
"
5
4t2
h2 ;1
;1#
,
и
f (t) =
соль +
1
ми
грех
2 пункта
t
ми
грех (q (t)).
Используйте Трапециевидное правление приблизить вышеупомянутые скручивания.
Компьютерное упражнение 4. Следующее - изученная система углубления, взятая из теории
из звездных орбит в галактике
r ;; 1 +a2r1 =e r2
2
r ;; 2 +b2r2 = 2e r1r2
.
Перепишите вышеупомянутое уравнение в стандартную форму (35).
(a) Видеть, как резонансы происходят, изменение в полярные координаты и берут = ±2b.
(b) Позвольте = 2 и си = 1. Найдите максимальную медленную диаграмму.
(c) Обратитесь ХМ алгоритм, описанный в Секте. 5.4, чтобы приблизить медленное поведение
из системы.
Ссылки
1. Соль. Ариэль, Б. Энгкуист, и Y.-H. Tsai. Метод мультимасштаба для очень колебательного дежурного блюда
отличительные уравнения с резонансом. Математика. Обязательная программа, 2008. Появиться.
2. Соль. Ариэль, Б. Энгкуист, и Y.-H. Tsai. Числовые методы мультимасштаба для двойного oscilla-
3. V.I. Arnol’d. Математические методы классической механики. Нью-Йорк, Спрингер-Верлэг,
2 издания, 1989.
4. Z Артштайн, Дж. Линшиз, и E.S. Titi. Молодой подход меры к вычислениям медленно совершенствующийся
быстрые колебания. Мультимакет. Simul., 6 (4):1085-1097, 2007.
5. Н. Н. Боголюбов и Ю. А.Митропольский. AsymptoticMethods в Теории Нелинейных
Колебания. Гордон и Нарушение, Нью-Йорк, 1961.
6. Р. Кэр andM. Parrinello. Объединенный подход formolecular движущие силы и функциональная плотность
теория. Преподобный Физики Летт., 55 (22):2471-2475, 1985.
скалистые вершины. Мультимакет. Simul., 2008. Принятый.
286 Г. Ариэля, Б. Энгкуист, H.-O. Kreiss и Р. Тсай
7. A.J. Шорин. Численный метод для того, чтобы решить несжимаемые вязкие проблемы потока. J.
Обязательная программа. Физика, 2:12-26, 1967.
8. Соль. Dahlquist. Специальная проблема стабильности для линейных многошаговых методов. Nordisk Tidskr.
Информация-Behandling, 3:27-43, 1963.
9. Соль. Dahlquist, Л. Эдсберг, Г. Сколлермо, и Соль. S;oderlind. Численные методы
и программное обеспечение, удовлетворительное для химического kinetics? В Числовой Интеграции Дифференциала
Уравнения и Большие Линейные Системы, объем 968 из Примечаний Лекции в Математике., нумерует страницы 149-
164. Спрингер-Верлэг, 1982.
10. Анализ В. Э. гетерогенного метода мультимасштаба для обычных отличительных уравнений.
Commun. Математика. Наука, 1 (3):423-436, 2003.
11. W. Ми и Б. Энгкуист. Гетерогенные методы мультимасштаба. Commun. Математика. Наука,
1(1):87-132, 2003.
12. W. Ми, Б. Энгкуист, X. Литий, В. Рен, и Ми. Vanden-Eijnden. Гетерогенный мультимасштаб
методы: повторение. Commun. Comput. Физика, 2 (3):367-450, 2007.
13. Си. Engquist и О. Ранборг. Вычислительное высокочастотное распространение волны. Деяния
Numerica, 12:181-266, 2003.
14. Си. Engquist и Y.-H. Tsai. Гетерогенные методы мультимасштаба для жесткого обычного дифференциала
уравнения. Математика. Обязательная программа, 74 (252):1707-1742, 2003.
15. C.W. Принадлежности и я. Соль. Kevrekidis. Проективные методы для жестких отличительных уравнений: проблемы
с проломами в их спектре собственного значения. СИАМ J. Наука. Comput., 24 (4):1091-1106
(электронный), 2003.
16. До. В. Гир и я. Соль. Kevrekidis. Определенные ограничением копии: подход кода наследия
к низко-мерному вычислению. Дж. Счи. Comput., 25 (1-2):17-28, 2005.
17. D. Тер Хаар, монтажер. Собранные Статьи P.L. Kapitza, объем II. Pergamon Press, 1965.
18. Ми. Hairer, К. Лубич, и Соль. Более бледный. Геометрическая числовая интеграция, объем 31 из
Спрингер Серис в Вычислительной Математике. Спрингер-Верлэг, Берлин, 2002. Structurepreserving
алгоритмы для обычных отличительных уравнений.
19. Ми. Hairer и G. Более бледный. Решение обычных отличительных уравнений. II, объем 14 из
Спрингер Серис в Вычислительной Математике. Спрингер-Верлэг, 1996.
20. Дж. Хейл. Обычные отличительные уравнения. Нью-Йорк, Wiley-межнаука, 1969.
21. Дж. Б. Келлер. Геометрическая теория дифракции. Дж. Опт. Soc. Amer., 52:116-130, 1962.
22. Дж. Кеворкиэн и Дж. Д. Коул. Методы волнения в Прикладной Математике, объем 34 из
Прикладные Математические Науки. Спрингер-Верлэг, Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин, 1980.
23. Дж. Кеворкиэн и Дж. Д. Коул. Многократный Масштаб и Исключительные Методы Волнения, объем
114 из Прикладных Математических Наук. Спрингер-Верлэг, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг,
1996.
24. H.-O. Kreiss. Проблемы с различными шкалами времени. Деяния Numerica, 1:101-139, 1992.
25. H.-O. Kreiss и Дж. Лоренц. Копии медленных растворов для очень колебательных проблем.
Журнал Математики Университета Индианы, 42 (4):1169-1191, 1993.
26. Си. Leimkuhler и С. Реич. Моделируя гамильтоновы движущие силы, объем 14 из Кембриджа
Монографии на Прикладной и Вычислительной Математике. Издательство Кембриджского университета,
2004.
27. Л. Р. Пецолд. Эффективный численный метод для очень колебательного обычного дифференциала
уравнения. СИАМ J. Numer. Анальный., 18 (3):455-479, 2003.
28. Л. Р. Пецолд, О. Дж. Лорент, и И. Дженг. Числовой раствор очень колебательного дежурного блюда
отличительные уравнения. Деяния Numerica, 6:437-483, 1997.
29. Дж. А. Сандерс и Ф. Верхалст. Усреднение Методов в Нелинейных Динамических Системах,
объем 59 из Прикладных Математических Наук. Спрингер-Верлэг, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг,
Токио, 1985.
Вычисления мультимасштаба для очень колебательных проблем 287
30. Р. Э. Шеид. Точный числовой раствор очень колебательного обычного дифференциала
уравнения. Математика. Обязательная программа, 41 (164):487-509, 1983.
31. Р. Э. Шеид. Методы различия для проблем с различными шкалами времени. Математика. Обязательная программа,
44(169):81-92, 1985.
32. Р. Шарп, Y.-H. Tsai, и Б. Энгкуист. Многократные численные методы шкалы времени для
инвертированная проблема маятника. В Б. Энгкуисте, P. L;otstedt, и О. Ранборг, монтажеры, Мультимасштаб
методы в науке и разработке, объем 44 из Lect. Примечания Comput. Научный Инженер,
нумерует страницы 241-261. Спрингер, Берлин, 2005.
33. Ми. Vanden-Eijnden. На ХМ ПОДОБНЫХ интеграторах и проективных методах интеграции для
системы с многократными шкалами времени. Commun. Математика. Наука, 5 (2):495-505, 2007.
из Биологических Систем
H°akanW. Хугоссон и Ганс °Agren
Отдел Теоретической Химии, Школа Биотехнологии, Королевский Институт
agren@theochem.kth.se
1
Объектив проекта состоял в том, чтобы дать общий обзор и практическое понимание
современное биотехнологическое моделирование в и через несколько масштабов (и размеры),
от Квантовой механики до Классической Механики, от Молекулярной Механики до
Молекулярные Движущие силы, и от Одиночных Молекул до Биологических Систем. Здесь мы
проведите запускающуюся экскурсию использования классического Молекулярного пакета программ Движущих сил
www.
cpmd.org) [2]. Вводные части к некоторому полезному программному обеспечению программного обеспечения визуализации специализировались
поскольку биологические системы были также даны (Визуальные Молекулярные Движущие силы) [3].
Фокус Themain этого проекта должен применить мультимасштаб, здесь так называемый QM/MM
молекулярные движущие силы, методы к биологической системе. В текущем биофизическом моделировании
существуют два основных ответвления; классическое силовое поле MD и статические вычисления QM.
Хотя к обоим методам регулярно и успешно относятся биологические системы,
много свойственных ограничений существуют, некоторые из которых очень уменьшены или решены при использовании
мультимасштабируйте QM/MM MD. В классическом MD, безусловно наиболее распространенном подходе,
поверхность потенциальной энергии параметризована посредством приспособления к эмпирическому и/или
теоретические данные. Они поэтому свойственно ограничены ситуациям где не существенный
изменения электронной структуры происходят, но например химические реакции
может только быть обработан соответственно квантом механическое описание. Дальнейшие ограничения
включайте это, параметры силового поля предопределены и не изменяются когда
системные изменения, или от конформационных изменений или от изменений в местном жителе
обстановка. Во-вторых, если Вы хотите смоделировать например, металлические центры или более необычный
органические молекулы, никакие параметры не могут быть доступными и иногда трудный
и нетривиальная параметризация необходима.
Исследование наших физических окрестностей, делая механический квант
электронные вычисления структуры - быстро растущее поле исследования. В последнее время электронный
вычисления структуры нарушили в биологию, науку о жизни непосредственно.
Этот подход, оказалось, был очень силен и смоделировал химическую реакцию
Технология, SE-100 44 Стокгольма, Швеция,
hakan@theochem.kth.se,
АМБРА [1], и квант механический Автомобильный-Parrinello пакет CPMD (
Квантовая механика / Классическое Моделирование Механики
От Волн до Частиц, от Статического до Движущей силы и от
Одиночные Молекулы к Биологическим Системам
292 Х. В. Хугоссона, H. °Agren
тропы также в сложных ферментах. Досягаемость вычислений QM далее улучшена
в первоосновах молекулярные движущие силы (FP-MD). Здесь дискретизация по времени MD
конформационное пространство сделано, давая систему изучил больше градусов свободы,
таким образом, делая моделирования, менее смещенные на выборы например, начальных условий
и координаты реакции. Так как кристаллические структуры - неотъемлемо не биологический бекар
условия/обстановка, и как структуры NMR, являются законченными средними во времени
структуры, эта увеличенная независимость может быть жизнеспособной для правильного исследования. Кроме того,
в отличие от вычислений, которые обеспечивают карту потенциальной поверхности в ноле
температурный предел, FP-MD позволяет включение конечных температурных эффектов. Наконец, a
мультимасштабируйтесь метод QM/MM позволяет точное моделирование систем, больше чем
100-200 атомов. С тех пор дело обстоит так для фактически всех биологических систем, особенно
если Вы включаете растворитель, это выпрямление жизнеспособно в биофизике/биохимии.
Рис. 1. Графическая иллюстрация того, как дипептид смоделирован сначала в классическом forcefield
(ММ) описание (мяч и весны), затем в механическом кванте (функция волны)
студия студентами.
2.1 От Квантовой механики до Молекулярных Движущих сил
В первой партии проекта, моделирований для одиночного маленького дипептида, используя также
квантовая механика или классический (силовое поле - и следующие) механика, чтобы описать intra и
предайте молекулярные взаимодействия земле, была осанка. Моделирования исполнены в 0K и
в вакууме, используя любого люкс АМБРЫ программ (классическая механика) или
Люкс CPMD программ (для моделирований QM). Дипептид был выбран с тех пор
вода [4]
изображение и, наконец, способом QM/MM, с дипептидом QM, взаимодействующим с ММ
2 Упражнения
pleted более чем 3 дня исследований. Студенты были снабжены письменной инструкцией
excercises были разделены на четыре отдельных, но партии, к которым присоединяются, которые были commanual,
справочная литература и типовые входные файлы. Наконец, отчет по проекту в
форма группового представления и 10 сообщений страницы была сделана и представлена в
Моделирование QM/MM Биологических Систем 293
это является достаточно маленьким, чтобы учесть полный QMmodeling (очень компьютерный интенсивный ресурс),
также сохраняя некоторые из основных характеристик биологических систем, например, богатых
гибкость и некоторый белок функциональные группы.
Иллюстрировать многосторонность люкса АМБРЫ, модуль "ВЕСТИБЮЛЬ"
и так называемое Обобщенное Силовое поле Амбры (ОСТРОГА) параметры было
используемый. Запуск с.pdb (База данных Белка) файл дипептида (аланиновый глицин),
.pdb-формат, являющийся нормой для биологических структур, о которых сообщают, и использующий
Программа "ПРЫЖКА" АМБРЫ, все необходимые входные файлы для АМБРЫ minimisation
и программа движущих сил "Сандер" (драйвер MD) может быть создана в близко к aumolecules,
и даже если меньше хорошо параметризовавшее чем специализированные параметры силового поля
доступный для белков и нуклеиновых кислот, они - часто хорошо исполнение. Используя
Сандер мы затем исполняли простую оптимизацию геометрии системы. От
ulation использование пакета программ CPMD. Иллюстрировать степень трудности комбинации в обнаружении
минимальная энергетическая структура, мы предложили, чтобы студенты также исполнили геометрию
оптимизация используя алгоритм отжига, то есть короткометражный фильм молекулярные выполненные движущие силы была
полная энергия отожженной структуры ниже).
Вторая партия вводила измерение времени (в форме температуры
и движение) в моделирования. В Сандера вводит файлы для геометрии opat
300 K, все еще в вакууме. Энергия оптимизировала структуру, и файлы перезапуска, от Партии
1 использовались в качестве начальных точек. Во входной файл CPMD мы также добавили необходимое
термостат MD. Мы начали с выполненного "Подавленный отожженного" (то есть вычисление op-
2.2 От Одиночных Молекул до Биологических Систем
уравновешивать surroundingwater систему, сначала используя classicalMD. Возвращение к
еще раз визуализировались, используя VMD, обращая внимание на развитие конфигураций (как в
предыдущий раздел), также различие, исполняя MD с начальной буквой
воздержание на молекуле раствора.
В суммировании предшествующих событий и навыков от этого проекта; мультимасштаб
quantummechanics/molecularmechanics (QM/MM) моделирования были установкой и exand
более целесообразная обработка (менее критического) молекулярного водного растворителя. Используя
исполненный, где температура системы постепенно уменьшалась до ноля (
timization мы nowadded ключевые слова к performmolecular движущим силам (MD) моделирования
волна timized функционирует для запускающейся геометрии и затем также сокращения начала
мода tomated. Используя ОСТРОГУ произведет параметры силового поля для наиболее органического
наша система.
тот же самый.pdb файл дипептида мы также создали необходимый ввод для QM simtemperature
из системы к нолю), чтобы расслабить связи и удалить лишнюю энергию из
В третьей партии более биологически реалистическая система была смоделирована, погружаясь
предшествующий раздел - по причинам доступных компьютерных средств и доступных отрезков времени,
ecuted. Это позволило надежное quantummechanical моделирование дипептида раствора
дипептид в водном растворе. Здесь это было необходимо, как видящийся от анализа
ключевые слова, чтобы исполнить первую температуру, масштабирующую MD (в 300 K), но также и Пылесос носа
Программа ПРЫЖКА дипептид была установкой с окружающим водным полем. Движущие силы
уравновешенные системы от предыдущей партии мы транспортировали имеющие результатом структуры
294 Х. В. Хугоссона, H. °Agren
в добавление QM/MM к пакету программ CPMD. Как выпрямление, возможно
система в QM и область ММ, используя так называемые атомы компоновщика может быть дана.
3 Заключения
Объектив проекта состоял в том, чтобы дать общий обзор и практическое понимание современного
биотехнологическое моделирование в и через несколько масштабов (и размеры), от
Квантовая механика к Классической Механике, от Молекулярной Механики до Молекулярного
Движущие силы, и от Одиночных Молекул до Биологических Систем. Очень пошаговое
подход к учению этих методов был проявлен. У этого было преимущество что студенты,
происходя из очень разнообразной среды в вычислительной науке, мог запуститься
на уровне, самом подходящем для каждого и затем, прогрессируют вперед оттуда.
Ссылки
1. D.A. Случай, D.A. Перлмен, P.A. Kollman, и соратники, АМБРА 6, Калифорнийский университет, (
1999).
2. Р. Кэр, М. Парринельо, Преподобный Физики Летт. 55, 2471 (1985); Дж. Хуттер, А. Алэви, Т. Деуч,
M. Bernasconi, С. Гоедекер, Д. Маркс, М. Такермен, и М. Парринельо, MPI f;ur
Festk;orperforschung и IBM Z;urich Research Laboratory (1995-1999); П. Карлони и
U. Rothlisberger, Теоретическая Биохимия - Процессы и Свойства Биологических Систем,
L. A. Эрикссон (Эд), Наука Elsevier, Амстердам (2001).
3. Хамфри, W., Dalke, A. и Schulten, K., “VMD - Визуальные Молекулярные Движущие силы,” J.
Molec. Графика, 1996, издание 14, стр 33-38.
4. Иллюстрация, взятая из группового отчета по проекту Э. Брандтом, Э. Эрдтменом, А. Хелландером, T.
луг в Науке 2007.
установка система прототипа, иллюстрация того, как можно делить также связанное
Murtola, K Мусы и С. Катри, Летней школы для Много Моделирования Масштаба и ModelMultiple
Масштабы в Физике Полупроводника
Эрик Кох и Эва Пэвэрини
E.Koch@fz-juelich.de, E.Pavarini@fz-juelich.de
Поиски точные моделирования материального мира, наиболее ярко выраженного
в видении нечистого духа Лэплэса [1], почти столь же старо как количественная наука. Естественно,
такое моделирование требует познания всех соответствующих физических правил, то есть, a
Теория Всего. Для явлений, вовлекающих масштабы, больше чем атомное ядро
и меньший чем звезда, или, эквивалентно, для процессов в обычных энергиях, это
известный. Эта Теория почти Всего является сочетанием ньютоновой силы тяжести,
Schr ;odinger уравнение, Дирэк отметил что теория позади атомного и полупроводника
физика, так же как химия полностью известна [4]. Фундаментальное уравнение
чтобы быть решенными для того, чтобы описать свойства атомов, молекулы, или твердые вещества невинно
смотрящая проблема собственного значения
H|Yi = E|Yi (1)
где гамильтонианом для ряда атомных ядер и их электронов дают
H = ;
1
2m;
j
Е2
j ;;
a
1
2Ma
Е2
;;
a, j
Зона действий e2
|r j ;Ra |
+;
j <k
e2
|r j ;rk |
+ ;
<си
Зона действий Zb e2
|Ra ;Rb
Здесь Зона действий и мама - атомное число и месса ath ядра, Ра - его место съемок,
ми и м. являются расходом и мессой электрона, и r j является местом съемок
jth
явления нашего каждодневного опыта. Кроме того, это составляет довольно парадоксальный
явления, самое эффектное, возможно, быть макроскопическими квантовыми состояниями
сгиб определяет типы атомов в системе, записывает гамильтониан для
соответствующие ядерные расходы и электроны и находят стандартное состояние системы
находя самое низкое собственное значение Schr ;odinger уравнение (1). В то время как простой в
Institut fu;r Festko;rperforschung, Forschungszentrum Ju;lich, D-52425 Ju;lich, Германия,
Теория Максвелла electrodynamics, статистическая механика Болцмана, и quanelectron.
Это уравнение, увеличенное гравитационными потенциалами, и includ-
|
как сверхпроводимость, или запутанные государства, которые включают квантовым вычислениям.
механика tum [2, 3]. Следовательно, уже вскоре после рецептуры
.
Рецепт для моделирования, например, сверхпроводник является затем прямым: Siming
релятивистские исправления как микроскопическое основание магнетизма, объясните
296 Э. Коха, Э. Паварини
принцип, практически такой подход не выполним. Чтобы понять почему, давайте рассматривать
одиночный атом утюга. Имея 26 электронов, его wavefunctionY (r1, r2..., r26)
функция 78 координат. Что это берет, чтобы сохранить такую функцию волны?
Если мы - контент с деланием запись Y в просто десяти значениях для каждой координаты, нас
должен был бы сохранить 1078 значений. Хранение их на DVD со способностью 10 Великобритании,
мы нуждались бы больше чем в 1068 DVD. С весом 10 граммов за DVD, этим
соответствовал бы 1066 кг DVD - больше чем месса видимой вселенной.
Только для сравнения, месса земли - минута 5 · 1024 кг. Таким образом нет
достаточно содержания в видимой вселенной для того, чтобы сохранить даже самое сырое из представлений
из функции волны одиночного железного атома. Эта сложность функции волны
эссенция проблемы со много-телом.
Но был бы это действительно быть желательным знать полную функцию волны твердого вещества, даже если это
было возможно? С одной стороны, да, потому что fromthe волна functionwe могла с готовностью
вычислите все значения ожидания. Таким образом мы были бы в состоянии сделать надежные предсказания
из свойств материала. Физика была бы, однако, похоронена в мессах данных.
В некотором смысле ситуация походила бы на ситуацию картографов в Лоис Борхес
НА ТОЧНОСТИ В НАУКЕ... В той империи достигнуто ремесло картографии
такое совершенство, что карта одиночной епархии закрыла зону всего города,
и карта империи непосредственно вся епархия. Со временем, они обширные
карты были найдены, так или иначе желая, и таким образом, колледж картографов развился
карта империи, которая имела тот же самый масштаб как, империя и это совпала с
это по всем пунктам. Менее внимательный к исследованию картографии, последующим поколениям
прибывал, чтобы судить карту такой тяжелой величины, и, не без непочтительности,
они оставили это к суровости солнца и дождя. В западных пустынях, изодранных фрагментах
из карты должны все еще быть найдены, защищая случайного зверя или нищего; в
вся страна, никакую другую реликвию не оставляют наказания географии.
От Путешествий Достойных похвалы Мужчин (1658) J.A. Суарес Миранда
То, что мы действительно ожидаем от хорошего моделирования помимо надежности, является способностью проникновения в суть,
например, в механизм гигантского магнитосопротивления. Только такое понимание будет
дайте указания, когда мы пытаемся оптимизировать материалы, например, когда мы пытаемся найти материалы
с когда-либо более высоким магнитосопротивлением, которое может использоваться в считывающих головках жестких дисков
из увеличивающейся способности.
Только, обнаруживая такой механизм, мы можем понять природу без всегда
необходимость запуститься с первооснов. Этот подход основан на понятии появления,
который рассматривает науку как иерархию структур [6]: соглашения о физике высокой энергии
со взаимодействиями среди элементарных частиц в более низких энергиях они уплотняют
в связанные состояния, сюжет ядерной физики. В энергетических масштабах everydaylife
мы вводим сферу химических связей, изученных в химии и condensedmatter
физика. В еще более низких энергетических масштабах мы наконец сталкиваемся с причудливым макроскопическим квантом
эффекты, как сверхпроводимость, учились в физике низкой температуры. На каждом уровне
в этой иерархии появляются полностью новые свойства, которые в значительной степени независимы от
детали о предыдущем уровне: химическая связь, например, является понятием, которое может едва
будьте поняты как тонкое следствие уравнений поля физики элементарных частиц. Inshort
сюжет [5]:
Многократные Масштабы в Физике Полупроводника 297
дело, для изучения химической связи, расположения кварка в атомном
ядра в значительной степени не важны. Это - то, почему мы можем базировать наши исследования твердых веществ на
эффективная Теория Всего (1).
Практический подход, чтобы приблизительно решить уравнение (1), не имея необходимость иметь дело
с полной сложностью много-тела проблема - функциональная плотностью теория [7].
Фактические моделирования основаны на изображении отдельных электронов, заполняющихся атомный - или
молекулярные-orbitals, или расширенные государства в твердых веществах. Подход доказал чрезвычайно
успешный в описании химического связывания, признанного с Нобелевской премией 1999 года в
химия.
Природой приближений используемые, функциональные плотностью вычисления,
однако, в значительной степени ограниченный материалами, где изображение отдельных электронов
соответствующий. Эта модель слабо взаимодействующих квазичастиц - Жидкая ферми теория.
Есть, однако, замечательная разновидность решительно коррелированых материалов для который
эта стандартная модель электронной теории структуры портится. Фирменная марка
эти материалы - то, что некоторые из их электронов отлично ни не ограничены, ни полностью
странствующий. Эти электроны, из-за толчка Кулона, больше нельзя рассмотреть
индивидуально. Имеющее результатом поведение представляет часть самого глубокого интеллектуала
испытания в физике. В то же самое время интерес в этих материалах питается, изумляя
возможности для технологических приложений. Видные примеры сильно
коррелированые материалы - металлические связующей партией окиси, включая высокотемпературное
сверхпроводники, andmolecular кристаллы, включая низко-мерных органических дирижёров
и сверхпроводники [8].
Имея дело с решительно коррелироваными электронами мы должны столкнуться со много-телом
проблема. Поскольку мы видели, что это представляет огромные практические проблемы, таким образом, только приблизительные
растворы, как динамическая теория [9] поля осредненных величин, которая отображает бесконечную решетку
к проблеме примеси, которая должна быть решена последовательно, возможны.
Чрезвычайно уменьшая стоимость моделирования, таких невызывающих волнение вычислений
все еще ограничены довольно простыми образцовыми гамильтонианами [10]. Это поэтому
важный, чтобы создать модели, которые являются как можно меньше, все еще получая
существенная химия реального материала.
Практический подход к изучению интригующего взаимодействия структуры решетки,
вращение - расход - и орбитальное упорядочивание так же как сверхпроводимость и магнетизм в
решительно коррелированые материалы разогреваются два шага. В первом шаге, с начала вычисления,
основанный на функциональной плотностью теории, используются, чтобы получить кинетическую энергию (oneelectron)
партия гамильтониана. Затем, высокоэнергетические государства объединены,
только низкоэнергетические, частично заполненные (d или f) диапазоны, сохранены, и основание firstprinciples
Функции Wannier созданы. Эти функции Wannier (Рис. 1),
конструкция, перенесите информацию о решетке и химии; кроме того, они
ограничены, так, чтобы толчок Кулона был очень малой дальностью в этом основании. В
второй шаг, определенные для материала Гамильтонианы много-тела небольшого-количества-диапазонов созданы
посредством этих Wannier функции решены методами много-тела, такой как
динамическое приближение поля осредненных величин. Эти два подхода шагов использовались очень
успешно, например, чтобы составлять связующую партию металлического изолятора в 3dn металл связующей партии
окиси [11]. Однако, даже низкоэнергетические модели небольшого-количества-диапазонов могут быть решены в настоящее время только
благодаря высокопроизводительным компьютерам [12]. Задание решения полного много-тела
298 Э. Коха, Э. Паварини
Рис. 1. Wannier функционирует и орбитальный порядок в моноклиническом LaVO3.
проблема в реалистической установке останется основным испытанием в конденсированном веществе для
последующие годы. Перекрывание богатой и низкой энергии электронные градусы freedomis нет
только одна из самой глубокой проблемы в современной физике, но должна также обеспечить a
богатство захватывающих материалов для новых технологий.
Ссылки
1. Лапласовский, P.S.: Зэори Аналитик де Пробабилит', Курьер, Париж (1820)
2. Ceperley, D.M.: Микроскопические моделирования в физике, Повторения Современной Физики 71,
S438-S443 (1999)
3. Лафлин, R.B. и Сосны, D.: Теория Всего, Слушания Соотечественника
Академия наук (США) 97, 28-31 (2000)
4. Dirac, P.M.A.: Системы ofMany-электрона Квантовой механики, Слушания Королевской особы
Общество (Лондон) 123, 714-733 (1929)
5. Борхес, J.L.: Всеобщая История Позора, Пингвина, Лондона, 1975.
6. Андерсон, P.W.: Больше Отличается, Наука 177, 393-396 (1972)
7. Кон, W.: Нобелевская Лекция: Электронная структура содержания - функции волны и плотность
functionals, Повторения Современной Физики 71, 1253-1266 (1999)
8. Осборн, I.S.: Электронное Сотрудничество, Наука (Тематический выпуск: Коррелированые Электронные Системы)
288, 461 (2000)
9. Джорджес, A., Kotliar, G., Krauth, W., и Rozenberg, M.J.: Динамическая теория поля осредненных величин
из решительно коррелированых fermion систем и предела бесконечных размеров, Повторений
Современная Физика 68, 13-125 (1996)
10. Кох, E.: Электронные корреляции. В: Bl;ugel, S., Gompper, G., Кох, E., M;uller-
Krumbhaar, H., Spatschek, R., andWinkler, R.G. (редакторы) Вычислительное Конденсированное вещество
Физика, FZ-J;ulich (2006)
11. Pavarini, E., Бирман, С. Потеряев, A., Лихтенштейн, A.I., Джорджес, A., и Андерсен
O.K., Связующая партия Mott и Прекращение публикации или продажи книги Орбитальных Колебаний в Призматическом 3d1 Перовскиты,
Преподобный Физики Летт. 92, 176403 (2004); Pavarini, E., Yamasaki, A., Nuss J. и
Андерсен, O.K., Как химия управляет электронной локализацией в 3d1 перовскиты: Wannier
исследование функций, Новый Дж. Фис 7 188 (2005).
12. Dolfen, A., Pavarini, E. и Кох, E.: Новые Горизонты для Реалистического Описания
Материалы с Сильными Корреляциями, Innovatives, Супервычисляющий в Deutschland 4, 16
(2006)
Хайнер К•орнич и Erland K;all;en
heiner@misu.su.se,
erland@misu.su.se
1 система климата и ее моделирование
Система климата покрывает большой промежуток пространственной и временной шкалы времени, который
диапазон от молекулярной шкалы расстояний и фракций секунды к глобальному выпрямлению и
тысячи лет. Прежний выведен на экран в микро физике капли облака,
в то время как последний может быть найден в глубоком тираже океана. Взаимодействие масштаба
дает начало сложности системы климата. В представленных проектах,
исследуются два важных аспекта системы климата: его чувствительность к внешнему
шпигование и его внутренняя изменчивость.
Система климата расценена, чтобы состоять из нескольких компонентов, то есть обстановки,
гидросфера (океаны), cryosphere (ледяные простыни), литосфера (почва,
рок), и биосфера. Вследствие формы Земли поступающее солнечное излучение создает
градиент температуры экватора стойке для сетки, который управляет так называемым общим cirestimates
покажите, что это, главным образом, выполнено атмосферными водоворотами [3].
самый большой вклад прибывает от midlatitudinal богатой и низкой системы давления
которые описывают нашу ежедневную погоду. Эти водовороты являются результатом baroclinic неустойчивости
из обстановки, которая непосредственно связана с широтным температурным градиентом.
Так как система климата объединяет многократные масштабы так же как различные поля
наука, система обычно исследуется, используя численные модели, то есть мировой климат
модели (GCM). Там, центральная проблема состоит в том, чтобы пойти на компромисс между решенными процессами
и вычислительное время. Поскольку наш интерес заключается в глобальных пространственных масштабах и климатологический
шкалы времени по крайней мере нескольких десятилетий, многих процессов маленьких и быстрых
число параметров. Выбор правильного значения оставляет некоторую свободу
образцовый дизайнер. Однако, это могло бы затронуть внутренние движущие силы и чувствительность к
внешний шпигует очень.
Чтобы достигнуть количественного понимания системы климата, Земля
глобальный энергетический баланс [1] пересмотрен, где поглощенное солнечное излучение и выход
земное излучение сбалансировано:
Отдел Метеорологии, Стокгольмский университет, SE-106 91 Стокгольм, Швеция,
вызванный температурный градиент установкой по направлению к полюсу перенос тепла. Последний
масштабы не могут быть решены в модели, но параметризуются, давая начало большому
culation океана и обстановки. Цель этого тиража состоит в том, чтобы уменьшиться
в Модели Мирового климата
Чувствительность климата и Исследованная Изменчивость
300 H. K;ornich, Ми. K;all;en
S0
4
(1;ap) =esT4
s
. (1)
Солнечный постоянный S0 измеряет поступающее солнечное излучение в Wm;2, который распределен
по поверхности Земли, таким образом разделенной на четыре. Планетарный albedoap описывает
сколько солнечного излучения отражено в космос облаками, льдом или другими. Земное
температура, видевшая от пространства, касается середины атмосферного уровня вследствие
излучающие свойства обстановки. Использование глобальной поверхностной температуры
Ts
эффективная температура излучаемости системы климата. Прямое отношение следует
от вертикального обмена высокой температуры, которым управляет конвекция и скрытое освобождение высокой температуры.
Модель, используемая в представленных исследованиях, является Тренажером Планеты [2], который является
развитый Отделом Метеорологии в университете Гамбурга.
Тренажер планеты принадлежит семейству Земных системных моделей с промежуточным звеном
сложность. Атмосферный компонент решает примитивные уравнения с точки зрения
сферические гармоники, где, в представленных результатах, треугольное усечение применено
в полном числе волны 21. Вертикально, модель применяет конечные разности на 10
уровни от поверхности приблизительно до 16 километров. Чтобы смоделировать климат Земли, a
реалистическое представление погодных систем жизнеспособно. Таким образом, фокус Планеты
Тренажер находится на обстановке, в то время как другие компоненты океана, земли, льда и
растительность сильно упрощена. Образцовый пакет в свободном доступе, портативен,
параллель, и обеспечивает графический интерфейс пользователя. Студенты устанавливали пакет
или на их собственном ноутбуке, рабочих станциях в их домашних учреждениях, или на Linux
кластер в Национальном Суперкомпьютерном Центре (СНБ) в Link;oping.
2 Проекта: чувствительность Климата
Первый проект оценил чувствительность климата к предписанным изменениям атмосферного
углекислый газ (CO2) сосредоточение. Эта проблема касается темы
температурный ответ, моделируя в цифровой форме процессы отзыва меньшего масштаба
из системы климата, например, облака или ледяная крышка.
в пределах от половины сегодняшнего сосредоточения к 4.5 разам это. Модель была объединена
50 лет, чтобы достигнуть устойчивого государства климата. Прошлые 20 лет были затем avertemperature
увеличение, которое сопоставимо с результатами последнего сообщения IPCC.
Левая панель Рис. 1 показывает эффект CO2-контента на альбедо.
самое большое воздействие происходит здесь от поверхностного альбедо, и таким образом от ледяного альбедо
сосредоточения усиливают температурное увеличение. Изменение в атмосферном
альбедо из-за облаков имеет незначительное значение.
Из-за неуверенности в будущих экономических сценариях, предложил Павел Константин
описать будущее сосредоточение CO2 как си - распределенный между 200 и 1000 ppm
в (1) требует ми параметра, которая связывает поверхностную температуру непосредственно с
антропогенным образом вызванное изменение климата. Здесь, фокус лежит в глобальном масштабе
Студенты дирижировали 9 сценариями климата с различными сосредоточениями CO2
отзыв (не показанный). Согласно (1), уменьшенное альбедо в выше CO2-
в возрасте как ответ на данное шпигование. Модель ставит для того, чтобы увеличить CO2 a
Чувствительность климата и Изменчивость 301
200 400 600 800 1000
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Сосредоточение CO2 [ppm]
Альбедо
Планетарный
Поверхность
Атмосферный
Рис. 1. Оставленный: Планетарный (твердое вещество), атмосферная (штриховая) поверхность (усеянное тире) альбедо как функция
из сосредоточения CO2. Воспроизведенный любезностью Оскара Бдж•орнхэма, Эмануэля Рубенсзона, Сары
Zahedi. Право: Различие температурного ответа для си - распределило CO2-сосредоточение
как функция географической долготы и свободы. Воспроизведенный любезностью Павла Константина.
(партии за миллион объема). Соответствующий температурный ответ затем обработан как a
случайная переменная. Здесь, мы исследуем только один случай, где максимум
CO2-сбыт находится в 600 ppm. Правильная панель Рис. 1 показывает различие
температурный ответ. Самые большие различия видятся в богатых свободах, вероятно
связанный с крышкой морского льда. В целом образцовые моделирования подчеркивают сильное влияние
из морского льда на образцовом климате.
3 Проекта: изменчивость Климата
Второй проект изучил проблему внутренней изменчивости климата. Это было исследовано
как внешнее изменение поступающего солнечного излучения затрагивает способность
система климата, чтобы уменьшить перепад температур экватора стойке для сетки.
Пять образцовых моделирований были приготовлены студентами. Помимо эксперимента управления
с современным значением солнечной константы 1365Wm;2, следующий
фракции текущего солнечного выбранного constantwere: 25 %, 50 %, 75 %, и 125 %. Каждый
моделирование было объединено в течение 100 лет, но последний остановился после 33 лет для
неизвестные причины. Государство системы климата было сохранено каждые 6 часов, уступая
необработанные данные на в общей сложности 200 гигабайтов.
Левая панель Рис. 3 показывает нормализованное сетевое излучение для всех экспериментов.
Интересно, относительное количество по направлению к полюсу транспортируемой энергии уменьшается с уменьшением
солнечная константа. Спектр скорости ветра в произвольной точке в средних широтах
(правильная панель Рис. 3) результаты лучшее понимание. Только эксперименты
по крайней мере с 100 % солнечного постоянного результата настоящего момента местный максимум в шкале времени
из нескольких дней. Этот максимум связан с погодными системами, которые способствуют
кардинально к по направлению к полюсу переносу тепла. Должный масштабировать взаимодействия погода
системы также вызывают более высокое различие на более низких частотах в системе климата. Для
слишком низкие солнечные постоянные величины, baroclinic неустойчивость, кажется, отсутствует в
обстановка. Поэтому, широтные диапазоны почти выполняют местный излучающий баланс.
302 H. K;ornich, Ми. K;all;en
Рис. 2. Оставленный: Различие между поглощенным солнечным излучением и исходящим земным излучением как
функция географической свободы. Значения нормализованы глобальными скупыми из поглощенных
солнечное излучение. Право: Сила спектральная плотность горизонтальной скорости ветра в Остине, Техас как
;1 современный
солнечная константа.
Эксперименты демонстрируют, что baroclinic неустойчивость играет существенную роль для
глобальный температурный сбыт.
Подтверждение. В течение вдохновляющей недели авторы хотели бы благодарить студентов
обе группы: Альдо Бенавидес, Оскар Бдж•орнхэм, Magnar Bj;rkav°ag, Павел Константин, Анна
Джонссон, Роберт Какариджи, Dag Lindbo, Эмануэль Рубенсзон, Михаил Ст•окли, София Тапани,
Khoa Tran, Анна Рэмнеби, и Сара Цаеди. Мы являемся самыми благодарными За Lundgren в СНБ
для всей быстрой поддержки. Тренажер Планеты был развит и обеспечен theMeteorological
Институт университета Гамбурга, рабочей группы Теоретическая Метеорология.
Ссылки
1. Crafoord, C., и Ми. K;all;en: Включение воспроизведения назначенных номеров нот Условия для Существования больше чем Одного
(1978).
2. Fraedrich, K., Х. Янсен, Э. Кирк, У. Лукш, и Ф. Ланкеит: тренажер планеты: к -
3.
Транспортные средства. Дж. Климэйт, 14 лет, 3433-3443 (2001)
функция частоты в s для моделирования с 100%-ыми (серыми) и 25 % (черными) из
Trenberth, K.E., и J.M. Caron: Оценки Обстановки Южанина и Океана Хит
приходы удобная для пользователя модель. З. Метеорол., 14, 299-304 (2005).
Установившийся Раствор в Моделях Типа Budyko-продавцов. Дж. Атмос. Наука, 35, 1123-1125
10
;9
10
;8
10
;7
10
;6
10
;5
10
0
10
5
10
10
PSD
f (Гц)
;5/3
;3
Моделирование крупного масштаба Потока в Газовой инъекции
Процессы для Добычи нефти вторичным методом
Иаков V. Lambers
Разработка Средств министерства энергетики, Стэнфордский университет, Стэнфорд, Калифорния
1 Вводная часть
Подповерхностные схемы расположения игроков, которые воскресают в моделировании процессов газовой инъекции для улучшенного
отдых елея может экспонировать геометрически сложные полнометражные фильмы со сложным
крупномасштабная связь. Они должны быть включены в моделирования потока и транспорт
потому что они могут существенно воздействовать на результаты моделирования. Однако, чтобы упариться
вычислительные затраты, моделирования вообще исполнены на сетках, которые являются крупными
по сравнению с данными geocellular сетками, таким образом, точный upscaling требуется.
В этой работе мы обеспокоены заразностью upscaling. В присутствии
из эффектов полного тензора многоточечные приближения потока (MPFA) желательны для
польза точности, в противоположность приближениям потока с двумя очками (TPFA). Однако,
Методы MPFA добавляют вычислительные затраты и могут пострадать от немонотонности (см.
[5]).
В [4], была введена Переменная, Компактная Многоточечный (VCMP) upscaling. Это
метод создает localMPFA, который размещает анизотропию полного тензора, и гарантии
однообразный раствор давления (см. [3]). В то время как это было продемонстрировано это
VCMP дает представление вполне хорошо, по сравнению с другими upscaling методами, он не дает представление
также для чрезвычайно направленных доменов, которые, вероятно, воскреснут в моделировании
из газовых процессов инъекции.
В этой статье мы рассматриваем некоторые модификации к VCMP, чтобы улучшить
точность для таких случаев. Общий проект методов VCMP получен в итоге в
Секта. 2. В Секте. 3, мы представляем стратегии улучшения точности и/или эффективности
из VCMP. Мы обсуждаем результаты и будущие направления в Секте. 4.
2 Переменных Компактных Многоточечных Upscaling (VCMP)
В этом разделе мы кратко рассматриваем VCMP upscaling. Мы рассматриваем одиночную фазу, устойчивую
и несжимаемый поток в гетерогенном резервуаре. Безразмерное управление
уравнение давления, в тонких и крупных масштабах,
94305-2220, США,
lambers@stanford.edu
304 J. V. Lambers
; · (k · ;p) = 0. (1)
соответствующими ссылочными значениями.
Для простоты мы рассматриваем двумерный резервуар, и описываем howVCMP
заразность upscales к Декартовой крупной сетке. Чтобы создать MPFA, мы позволяем
трафарет, чтобы измениться за лицо обители. Наш MPFA использует подмножество шести значений давления pj,
соответствуйте очкам, которые использовались бы в TPFA. Для каждого j мы позволяем t j, обозначают
вес, которому поручят указать j в приближении потока, которое имеет
общая форма f = ;tT p, где t =
t1 ··· t6
T
, p =
p1 ··· p6
T
.
Мы решаем уравнение давления на местной области тонкой сетки, содержащей
шесть очков с двумя наборами родовых граничных условий. Мы позволяем p1 (x, y) и p2 (x, y)
будьте растворами этих местных проблем, и пи
j
обозначьте значение пи (x, y) в очке
j. Для i=1,2 мы позволяем fi обозначать поток крупного масштаба через лицо, полученное из
местное пи раствора (x, y). Чтобы вычислить отягощения t j, мы решаем общую оптимизацию
проблема
минута
t
2
;
i=1
a2
я |tT пи ; fi|2 +
6
;
j=3
си 2
j t2
j, (2)
подвергните существенным линейным ограничениям, чтобы максимизировать надежность. Выпрямление к квази -
Картезианец инсценировал сетки, обсужден в [4].
3 Модификации к VCMP
В этом разделе мы рассматриваем три стратегии улучшения точности и эффективности
из VCMP, особенно для направленных доменов.
3.1 Сочетание с MLLG Upscaling
Местно-глобальный (LG) upscaling, введенный в [1], предлагает улучшенную точность для проницаемости
поля, которые экспонируют сильную глобальную связь. Объединенный с местной сеткой
стратегии адаптации, LG помогает уменьшить зависимость от процесса и приводит улучшенный
эффективность. Это сочетание известно как Многоуровневый Местно-глобальный upscaling, введенный
в [2].
Различие между местными-globalmethods и местными методами, такими как VCMP,
тот местный-житель-globalmethods, вычисляют глобальные растворы уравнения давления (1) на
крупная сетка. Затем, эти глобальные растворы интерполированы в очках на границе
из каждой расширенной местной области. Эти граничные значения служат данными Dirichlet
поскольку местный тонкий масштаб решает, которые используются, чтобы вычислить upscaled transmissibilities.
Итерация используется, чтобы убедиться надежность между тонкими и крупными масштабами, и
потому что граничные условия для местного жителя решают, может составлять глобальную связь,
большая точность достигнута для чрезвычайно направленных доменов чем для местных методов,
включая VCMP.
Здесь p - давление и k тензора проницаемости, все ofwhich - non-dimensionalized
j = 1, ···, 6, в шести крупных обителях центрируется самый близкий лицо, где j = 1 и j = 2
Крупный масштаб, Моделирующий в Процессах Газовой инъекции 305
Как любой другой местный метод, VCMP легко изменен, чтобы использовать местный глобальный подход.
Однако, интерполяция глобальных растворов крупного масштаба к тонкому
сетка - важный шаг, который должен быть исполнен осторожно, чтобы убедиться ту же самую точность
и надежность, которую VCMP может доставить для других доменов. Принимая во внимание, что MLLG только использует
линейная интерполяция, мы рассматриваем и квадратную и кубическую интерполяцию сплайна. Предварительный
результаты ясно демонстрируют питательное (50%-ое) усовершенствование точности
из разрешения крупного масштаба скоростного поля тонкого масштаба для направленного
домены, по сравнению с использованием оригинального, местного метода VCMP или MLLG с линейным
интерполяция.
3.2 Критерии для Адаптивной Обработки Петли
MLLG включает замысел адаптивной обработки петли в который обители в богатом потоке
области усовершенствованы изотропическим образом (для получения подробной информации см. [2]). В дополнение к этому критерии, a
местно-глобальная версия VCMP очистится вокруг лиц, для которых это неспособно вычислить
отягощения ti с надлежащим знаком, основанным на местном потоке, или вычисленном MPFA
причины матрица для глобального давления решают, чтобы иметь недиагональный элемент с
неправильный знак. Чтобы определить, какие обители лежат в регионах богатого потока, мы вычисляем
потоки через каждое лицо в крупной сетке от глобальных полей давления, и сравниваются
их к полному потоку. Если величина потока через лицо, как полагают,
слишком богатый, затем обители, окружающие лицо, усовершенствованы.
Однако, эта обработка, возможно, не необходима, если богатый поток происходит в пределах
канал, который является почти ортогональным к лицу. Мы поэтому используем простой channeldetection
замысел, в котором не исполнена обработка, когда поток через лицо
почти равный, чтобы течь через соседние лица с той же самой ориентацией, и поток
через соседние лица с другими ориентациями незначительно. Экспериментирование имеет
продемонстрированный, к которому такой замысел укладки текста канала учитывает ту же самую точность
будьте достигнуты со скромным снижением (на 8 %) числа обителей.
3.3 Анизотропная Обработка
В интересах сокращения количества обителей в крупной сетке мы рассматриваем ли
возможно, в, по крайней мере, некоторых случаях, усовершенствовать anisotropicallywithout принесение в жертву точностью
или надежность. Начальное экспериментирование показало что, по крайней мере, маленькое снижение
в числе обителей может быть достигнут, без поражения точности, при условии, что
• Формат телевизионного изображения недавно создаваемых обителей ограничен,
• Обители в регионах богатого потока все еще усовершенствованы изотропическим образом,
• Усовершенствованы обители в регионах низкого потока, которые только усовершенствованы, чтобы улучшить надежность,
анизотропным образом найдите что-либо подобное к лицам, которые отмечены для обработки.
4 Заключения
Мы исследовали три авеню усовершенствования точности и эффективности a
предложенное сочетание двух новых методов, VCMP и MLLG, заразности
306 J. V. Lambers
upscaling для моделирования крупного масштаба одиночной фазы втекают очень гетерогенные
подповерхностные схемы расположения игроков. В экспериментах с различными направленными доменами, всеми тремя
стратегии, до переменных степеней, привели к улучшенной точности и/или эффективности в условиях
из снижения числа обителей в крупной сетке или более точном разрешении
из скоростного поля тонкого масштаба. В сочетании эти модификации должны улучшить
выполнение еще далее.
В будущей работе мы рассмотрим использование чрезвычайно неколебательных (ИНО)
замыслы интерполяции в вычислениях граничных условий Dirichlet для местного решают, так, чтобы
themonotonicity поля давления не потерян в связующей партии fromthe крупный масштаб
к тонкому масштабу. Кроме того, мы разовьем более сложные тесты на обнаружение
присутствие и ориентация каналов, чтобы вести adaptivity. Наконец,
различные adaptivity критерии включают параметры, которые должны быть настроены, чтобы достигнуть
оптимальное выполнение для данного поля проницаемости; методы для того, чтобы автоматически установить
эти параметры должны быть развиты.
В заключение это может видеться, что значительный прогресс делается к созданию
метод для того, чтобы автоматически произвести крупные макеты для газовой инъекции
процессы, которые являются и точными и здравыми для большого разнообразия полей проницаемости
и граничные условия.
Ссылки
1. Чен, Y., Durlofsky, L.J., Джерритсен, M.G., Жировик, X.H.: двойной местно-глобальный upscaling
подход для того, чтобы моделировать поток в очень гетерогенных схемах расположения игроков. Реклама. Вода Res. 26,
1041-1060 (2003)
2. Джерритсен, M.G., Lambers, J.V.: Интеграция Местно-глобального Upscaling и Сетки Adap-
3. Джерритсен, M.G., Lambers, J.V., Маллисон, B.T.: Переменная и CompactMPFA для транс -
Конференция по Математике Отдыха Елея (2006), чтобы появиться
4. Lambers, J.V., Джерритсен, M.G., Маллисон, B.T.: Точный Местный Upscaling с Переменной
масштабируйте Методы для Потока и Транспорта в Гетерогенных Пористых СМИ, чтобы появиться (2007)
5.
передозировки. Numer. Математика. 106 (2), 255-288 (2007)
tivity для Моделирования Подповерхностного Потока в Гетерогенных Схемах расположения игроков. Обязательная программа. Geo.,
Nordbotten, J.M., Aavatsmark, я., Eigestad, G.T.:Monotonicity Денатурата Объема Управления -
Компактные Многоточечные Вычисления Заразности. Обязательная программа. Geo., Тематический выпуск на Много-
12(2), 193-208, 2008.
missibility Upscaling с Гарантируемой Монотонностью. Слушания 10-ого европейца
Моделирование Движущих сил фотоионизации
Garrelt Mellema
Стокгольмская Обсерватория, университет Альбановой Центр, Стокгольмский университет, SE-106 91
1 Вводная часть
Излучение, поставленное звездами (и некоторые другие объекты, такие как срастание черного
лунки), взаимодействует с газом во вселенной. Так как большинство содержания - водород
(90 % числом), часто находимый в атомной форме, количестве излучения выше
13.6 eV (1 Rydberg, энергия ионизации H) является важным свойством звезд.
Такое излучение, названное экстремальным ультрафиолетовым излучением (EUV), главным образом поставлено
массивные звезды (больше чем ;10 солнечных месс). Первые звезды во вселенной были больше всего
вероятно, такие очень массивные звезды.
Излучение EUV делает две вещи к газу.
+ +
ми ;).
Теперь, очевидно, есть также другие элементы в астрофизических газах, nextmost
обилие, являющееся гелием (10 число), и затем До, N, O, и т.д. (все на уровне ; 10;4 или ниже). Из-за его относительно высокой концентрации гелий действительно также впитывает
некоторое количество фотонов, но этого мы пренебрежем здесь. Другие элементы имеют
слишком низкое сосредоточение, чтобы впитать много фотонов, но важны для излучающего
охлаждение.
Фазовый переход в газе из-за фотоионизации H возвращается в
движущие силы, потому что это изменяет давление. Давлением идеального газа дают
p = nkBT (1)
где n - общее количество частиц, КБ - Постоянная Больцмана (1.381;10;16
эрг/K), и T температура. Подъемы фотоионизации общее количество частиц
добавляя электроны в газ (так для чистого газа H число частиц удвоено
для полной ионизации), и поднимая температуру. Увеличение сигналов перехода в другое состояние давления
динамический ответ от газа, и фотоионизация приводят к интересному потоку
изображения, см. например, [2].
1. Это ионизирует атомы H, превращающие газ в плазму заряженных частиц (H
2. Это нагревает газ, используя лишнюю энергию фотона выше 1 Рая.
,
Стокгольм, Швеция,
garrelt@astro.su.se
308 Г. Меллем
Плавные динамичные уравнения для фотоионизации
¶r
¶ t
+; · (rv) = 0 (2)
¶rv
¶ t
+; · (rv;v) = ;;p (3)
¶ ми
¶ t
+; · ((ми + p) v) =H ;C (4)
где r - themass плотность, v - скорость, ми = 1
2rv2+p / (соль ;1) полная энергия
(кинетический плюс внутренний, соль - адиабатное, индексируют, 5/3 в этой проблеме), и H и До
отопление и охлаждение уровня. Эффекты фотоионизации встречаются в throughH и p.
Плотностью числа ионизированного водорода в газе n [H +] дают
dn [H +]
dt
= n [H0] Соль ;n [H +] nea (T) +n [H0] neC (T) (5)
где Соль - уровень фотоионизации (число ионизирующихся фотонов в секунду), ne
электрон (число), плотность, (T) является температурным зависимым пересочетанием
уровень, и До (T) являются температурным зависимым collisional уровнем ионизации.
Уровень фотоионизации следует из излучающего трансфертного уравнения
¶ В
до ¶ t
+; · (ПОБЕДА) = ;kn В + jn (6)
где В интенсивность излучения в твердом углу W и kn, и jn - амортизация
и уровни эмиссии. Мы упростим это уравнение, игнорируя jn (нет
ионизирующиеся фотоны поставлены за пределами звезды), и предполагая, что у звезды есть a
постоянная яркость, и размер ионизированного домена являются достаточно маленькими что конечное
скорость света не играет роль (¶ В
до ¶ t
=0). Затем вдоль одного луча фотоионизация
уровень может быть написан как
G =
1
4pr2
Z ;
n0
Ln
hn
e;tn (r) dn, (7)
где r - расстояние вдоль луча, Ln - звездная яркость, и tn - так называемое
оптическая глубина, характеризующая количество амортизации между звездой и
текущая позиция
tn (r) =
Z r
0
n [H0] доктор, (8 лет)
где поперечного сечения фотоионизации водорода.
Так же согревающий уровень фотоионизации становится
H =
n [H0]
4pr2
Z ;
n0
h (n ;n0)
Ln
hn
e;tn (r) dn (9)
Охлаждающаяся До уровня - вообще сложная функция температуры, в зависимости от
сосредоточения различных атомов и ионов в газе. Мы будем считать данным (в
форма таблицы). Больше всесторонних описаний физики фотоионизации может
будьте найдены в например [4, 1].
Моделирование Движущих сил фотоионизации 309
2 проблемы Мультимасштаба
Давайте рассматривать развитие ионизированной водородной плотности. Это - жесткая ПЕСНЬ, и
физически n [H +] должен находиться между 0 и n [H] (столь числовой под - и проскакивание
может поставить нефизические растворы). Для постоянного ne (ради параметра), это
У ПЕСНИ есть раствор
n [H +] (t) = n [H +] eq + (n [H +] (0) ;n [H +] eq) exp (;t/ti) (10)
с
n [H +] eq = n [H] Соль +neC (T)
Соль +neC (T) +nea (T)
(11)
ti = 1
Соль +neC (T) +nea (T)
(12)
то есть, это сходится к раствору равновесия n [H +] eq в типичное время ti. На сей раз
абсолютно не связано со свойственной шкалой времени для уравнений потока, thydro =
Доктор / (v+vs), где v2
s = соль p/r является звуковой скоростью. Это - первая проблема мультимасштаба
для гидродинамики фотоионизации. Так как мы интересуемся движущими силами, нами
хочу развить нашу систему в шкале времени thydro. Если ti ;thydro это не является проблемой,
но для более типичного случая ti ;thydro мы должны взять специальные меры.
Этот тип проблемы мультимасштаба является довольно общим, имея дело с реактивным
потоки, то есть это подобно этому, когда химические реакции - хэппенинг в потоке.
Это как правило решается с повторяющимся/неявным методом. Однако, в случае
фотоионизация, проблема является более сложной. Причина - та Соль в позиции
r зависит от оптической глубины t, который в свою очередь зависит от плотности нейтральных
водород между источником и позицией r. Уравнение (8) может быть переписано как
tn (r) =
Z r
0
n [H0] доктор = anN [H0] (r) (13)
где N [H0] (r) известен как плотность столбца нейтрального водорода между
источник и очко r. Если во время thydro, N [H0] (r) изменяется значительно, уровень фотонов
достижение позиции r не является постоянным, таким образом, Соль будет изменяться. Это то, почему
случай фотоионизации является более сложным чем случай химической реакции: это - a
нелокальный эффект.
Есть второй мультимасштабный эффект, на сей раз имея отношение к шкалам расстояний.
Мы решаем нашу проблему на discretized сетке с размером обители Доктор, Это означает это
у обители с центральной позицией r есть оптическая глубина
Dtn (r) =
Z r+1
2-ой r
r;1
2-ой r
n [H0] (r) доктор = n [H0] (r) Доктор (14)
Если этот Dt будет крупным, то Соль будет отличаться значительно между очком, где луч входит
обитель, и где это оставляет обитель. Используя одно значение ofG для всей обители даст
неправильный ответ.
Наша конечная цель должна найти раствор (ы) для этих двух проблем мультимасштаба,
сначала имея со шкалой времени, второе со шкалой расстояний.
310 Г. Меллем
3 Проекта
Методика для того, чтобы иметь дело с проблемами мультимасштаба была представлена в [3]. Шкала времени
с проблемой имели дело при использовании усредненных временем значений оптической глубины, и
проблема шкалы расстояний, проявляя конечный объем вводит подход для обителей. Этот метод
подходит для того, чтобы вычислить фракцию ионизации, но имеет некоторые проблемы, добираясь
согревающее право фотоионизации. Причина состоит в том что усредненная временем оптическая глубина
подразумевает использование одного значения для отопления за реакцию фотоионизации. В действительности
Чтобы изучить возможные затруднительные положения для этой проблемы, мы сначала попытаемся изменить метод
от [3], чтобы использовать усредненное временем значение exp (;t) вместо t, так как это - exp (;t)
это входит (7) и (9).
используйтесь вместо усредненного временем оптического метода глубины от [3]. Эффективность
из крайнего значения, так как эта проблема должна быть решена для каждого узла решетки,
объединенный должны покрыть антракт Dthydro. Этот подход - выполнение
идея микро тактов в пределах макро-тактов, как преподающийся в течение лета
школа.
Ссылки
1. М. A. Dopita и Р. С. Сазерленд. Астрофизика разбросанной вселенной. Астрофизика
из разбросанной вселенной, Берлина, Нью-Йорка: Спрингер, 2003. Астрономия и астрофизика
библиотека, ISBN 3540433627, 2003.
2. Соль. Mellema, С. Дж. Артур, В. Дж. Хенни, я. Т. Илиев, и П. Р. Шапиро. Динамический H II
Развитие области в Бурных Молекулярных Облаках. Астрофизический Журнал, 647:397-403,
Август 2006.
3. Соль. Mellema, я. Т. Илиев, М. А. Альварес, и П. Р. Шапиро. C2-луч: новый метод для
сохраняющий фотон транспорт атомной радиации. Новая Астрономия, 11:374-395, март
2006.
4. Д. Э. Остерброк. Астрофизика газообразных туманностей и активных галактических ядер. Университет
Научные Книги, 1989, 422 p., 1989.
Во-вторых, мы разовьем явный, но эффективный интегратор для (5), который может
в каждом гидродинамическом такте. Этот интегратор может использовать его собственные такты, который
эффективность нагревающихся изменений, процесс, известный как ‘фотон, укрепляющийся’ [4].
Шкалы времени в Молекулярных Движущих силах Реакции
Yngve ;Ohrn и Эрик Деуменс
Квантовый Проект Теории, Отделы Химии и Физики, университета Флориды,
deumens@qtp.ufl.edu
1 Вводная часть
Химические реакции оптом могут быть проанализированы с точки зрения элементарных шагов это на
молекулярный уровень просто состоит из молекулярных встреч. На очень базовом уровне такой
события описаны движущими силами участвующих электронов и атомных ядер.
Является общепринятым, что теория таких движущих сил содержится в timedependent
Schr ;odinger уравнение для полной реагирующей молекулярной системы,
HY = i;h
¶Y
¶ t
, (1)
где H - квант механический гамильтониан, t параметр времени, andY
функция волны, которая описывает развивающееся государство реагирующей системы.
Поскольку электронные движущие силы быстры с типичными временами цикла 10;17 секунд
1, и ядерные rovibrational времена цикла порядки величины медленнее,
то есть 10;13;10;14 секунд, распространено эффективно разделить электронные движущие силы
от того из атомных ядер. Практически это достигнуто первым решением
электронный Schr ;odinger уравнение
HelFk (x; X) =Uk (X) ФК (x; X), (2)
решения которого найдены для неподвижных ядерных позиций X.When электронная структура
вычисления вынесены для достаточно большого набора ядерных так называемых конфигураций
Перенесенные-Oppenheimer поверхности потенциальной энергии Великобритания (PES) (X) получены. PES
определяет среднее число, шпигует на атомных ядрах, и можно использовать классическую механику,
полуклассические методы или квантовая механика, чтобы изучить ядерные движущие силы на таком
потенциальная энергия появляется и когда электронное состояние изменяется во время реакции
это может быть изображено как как поверхностные подскоки.
прозрачные градусы свободы становятся важными, те, которые могут иметь место в электроне
1 атомная единица времени 2.41888;10;17 секунды, который является временем революции для
электрон в модели Бора так же как квантовой теории атомного водорода
Для химических реакций, где электронные движущие силы и его сцепление к ню -
Гейнсвилль, Флорида 32611-8435, США,
ohrn@qtp.ufl.edu,
312 Y. ;Ohrn, Э. Деуменс
процессы переноса, есть альтернативные теоретические и вычислительные подходы.
Наш проект в этой Летней школе на Моделировании Мультимасштаба и Моделированиях в Науке
используемый такой amethodology под названием Электронные Ядерные Движущие силы (КОНЕЦ) теория
[10, 2].
Начальная точка - действие
A =
Z t2
t1
Л (y, y ;) dt, (3)
с точки зрения кванта механическая функция Лагранжа (;h = 1)
L = hy|H ;i
¶
¶ t |yi/hy|yi. (4)
Временную зависимость переносят много параметров функции волны q (t), такой
как средние ядерные позиции и импульсы, и молекулярные орбитальные коэффициенты, и т.д.
Принцип наименьшего количества действия или вариационный принцип с временной зависимостью d = 0
результаты уравнения Euler-Lagrange
d
dt
¶ Л
¶ q;
=
¶ Л
¶ q
. (5)
Если функция волны является настолько общей, что ее изменения могут достигнуть всех партий
Гильбертово пространство, затем уравнения Euler-Lagrange стали бы с временной зависимостью
Schr ;odinger уравнение. Однако, для всех проблем химического интереса, обязательно,
приблизительная форма функции волны для молекулярной системы будет результат ряд
двойные отличительные уравнения первого порядка в параметре времени t, который в вариационном
смысл оптимально приближает Schr с временной зависимостью ;odinger уравнение.
параметры функции волны q (t), которые переносят временную зависимость, играют роль динамических
переменные и это становятся важными, чтобы выбрать форму развивающегося вектора состояния
с параметрами, которые непрерывны и дифференцируемы. Обобщенные единые государства
полезны в этом окружении [8, 2].
2 Минимальных КОНЦА
Теория КОНЦА может быть рассмотрена как иерархический подход к молекулярным процессам.
различные возможные выборы семейств молекулярных функций волны, представляющих
участвующие электроны и атомные ядра могут быть расположены в массиве увеличения
сложность в пределах от одиночного детерминантного описания электронов и классический
ядра к мультиконфигурационному квантовому представлению обоих электронов и
ядра [5]. Самый простой уровень теории КОНЦА осуществлен в пакете программы
[3] это включает эффективные молекулярные составные программы и хорошо проверенное распространение
алгоритмы, чтобы решить систему двойных уравнений КОНЦА.
Этот минимальный КОНЕЦ использует функцию волны
|y (t) я = |R (t), P (t) i|z (t), R (t), P (t) я, (6)
Шкалы времени в Молекулярных Движущих силах Реакции 313
где
hX|R (t), P (t) я =;
k exp [;
1
2
(
Xk ;Rk
си
) 2+iPk · (Xk ;Rk)] (7)
и
hx|z (t), R (t), P (t) я = detci (xj) (8)
с вращением orbitals
ci = ui +
K;
j=N+1
ujz ji (t) (9)
расширенный с точки зрения атомного вращения orbitals
{ui} K
1 (10)
которые в свою очередь расширены в основании путешествия Gaussians,
(x;Rx) л (y;Ry) м. (z;Rz) n exp [;a (x;R) 2 ;
я
;hM
P · (x;R)] (11)
центрированный на средних ядерных позициях R и перемещающийся со скоростью P/M.
В узком ядерном пакетном пределе волны, a;0, Lagrangianmay быть выраженным
как
L = ;
я, j {[Pjl +
я
2
(
¶ lnS
¶ Rjl ;
¶ lnS
¶ R ; jl
)] ;R jl +
я
2
(
¶ lnS
¶ Pjl ;
¶ lnS
¶ P ; jl
) ;Pjl}
+
я
2;
p, h
(
¶ lnS
¶ zph
;zph ;
¶ lnS
¶ z ; ph
;z;ph) ;E (12)
с S = гц, R ;, P ; | z, R, Пи и
E = ;
jl
P2
jl/2Ml +hz, R ;, P ; | Hel |z, R, Пи/гц, R ;, P ; | z, R, Пи. (13)
Здесь Hel - электронный гамильтониан включая ядерно-ядерные условия толчка,
Pjl - Декартов компонент импульса и Мл мессы ядра л. Один
должен обратить внимание, что лифчик зависит от z ;, в то время как Кеть зависит от z и что запущенное
R и P равный их незапущенные коллеги и начало просто обозначает что они
принадлежите лифчику.
Уравнения Euler-Lagrange
d
dt
¶ Л
¶ q;
=
¶ Л
¶ q
(14)
может теперь быть сформирован для динамических переменных
,
,
,
,
,
,
,
314 Y. ;Ohrn, Э. Деуменс
q = Rjl, Pjl, zph, z;ph
(15)
и собранный в матричное уравнение:
;
;;;
iC 0 iCR iCP
0 ;iC ; ;iC;R ;iC;P
iC †
R ;iCT
R CRR ;I+CRP
iC †
P ;iCT
P I+CPR CPP
;
;;;
;
;;;
;z
;z ;
;R
;P
;
;;;
=
;
;;;
¶ Ми / ¶ z ;
¶ Ми / ¶ z
¶ МИ / ¶ R
¶ МИ / ¶ P
;
;;;
, (16)
где динамическая метрика содержит элементы
(CXY) ik; jl = ;2Im
¶ 2 lnS
¶ Xik¶Yjl
R ; = R, P ; = P, (17)
(CXik) ph = (CX) ph; ik =
¶ 2 lnS
¶ z;ik ¶ Xik
R ; = R, P ; = P, (18)
которые являются неадиабатическими условиями сцепления, и
Cph; qg =
¶ 2 lnS
¶ z;ph ¶ zqg
R ; = R, P ; = P. (19)
В приближении КОНЦА thisminimal электронные основные функции центрированы на
средние ядерные позиции, которые являются динамическими переменными. В пределе классических
ядра они - обычные основные функции, используемые в молекулярной электронной структуре
теория, и они следуют за динамически меняющими ядерными положениями. Как может видеться
от уравнений движения, обсужденного выше развития ядерных позиций
и импульсами управляют Подобные Ньютону уравнения с Hellman-Feynman, шпигует,
в то время как электронные динамические переменные - сложные молекулярные орбитальные коэффициенты
которые следуют за уравнениями, которые похожи на таковые из Time-Dependent-Hartree-Fock
(TDHF) приближение [4]. Условия сцепления в dynamicalmetric - известное
неадиабатические условия вследствие того, что основание перемещается с динамически
менять ядерные положения.
Развитие времени молекулярных процессов в формализме КОНЦА использует a
Декартов лабораторный фрейм координат. Это означает это в дополнение к внутреннему
движущие силы полный перевод и ротация молекулярной системы обработаны. Шесть
дополнительные градусы свободы добавляют работу, но становятся меньшей партией полного усилия как
сложность системы растет. Преимущество - то, что кинетическая энергия называет
просты. Это означает что эффект маленьких кинетических энергетических условий, таких как месса
поляризация, часто заброшенное использование внутренних координат, включена. Кроме того,
осложнения необходимости выбрать различные внутренние координаты для каналов результата
участвующие в выставке различные фрагментации не присутствуют. Можно обработать все каналы результата
,
Шкалы времени в Молекулярных Движущих силах Реакции 315
на равной основе в том же самом лабораторном фрейме. Начиная с фундаментального постоянства
правила относительно полного перевода и ротации удовлетворены в пределах КОНЦА [2], это
прямой, чтобы извлечь внутренние движущие силы в любое время во время развития.
3 Поперечных сечения
Одну из половин реагента считают целью и помещена постоянная в orithe
оснуйте электронное состояние всей системы. Снаряду дают воздействие
государства. Финал развил государство |yimay быть продемонстрированным против многого возможного финала
постоянные электронные состояния | f я выражал в том же самом основании как то из начального состояния
к результату Pf o вероятности связующей партии (си, Ми, j) = |hf |yi|2, который является функцией
энергетическая Ми столкновения, относительные начальные ориентации, и посыпающие углы (q, j)
или параметр воздействия и угол (си, j).
Классическое отличительное поперечное сечение для особого канала результата с вероятностью
Pf o
dsf o (Ми, q, j)
собственный вес
=;
j
Pf o (bj, Ми, j)
bj
sinq |dQ/dbj |
(20)
где сумма переезжает все параметры воздействия bj приводящий к тому же самому рассеиванию
направление (q, j) для фрагмента, идущего в детектор. В этом выражении Q (b)
функция отклонения, которую, для первого ответвления посыпающей области, удовлетворяет
|Q | =q.
Для беспорядочно ориентируемых реагентов, как имеет место в газовых реакциях фазы, траекториях
поскольку достаточное число начальных относительных ориентаций используется, чтобы поставить угловое
dsf (Ми, q, j)
собственный вес
= h
dsf o
собственный вес io (21)
маленькое угловое рассеивание и под так называемыми углами радуги, где dq
dbj
= 0, так же как
нехватка эффектов взаимодействия между различными траекториями в сумме, может быть
удаленный с полуклассическими исправлениями, такими как униформа, Воздушная [6, 9] или Шифф
приближения [11].
доберитесь незначительно. Детерминант Thouless в подходящем основании создан для, скажем,
Траектории КОНЦА для молекулярного процесса получены, объединяясь (16) от
подходящие начальные условия для реагентов ко времени, где результаты - углубление
джин лабораторной Декартовой системы координат, в то время как другой партнер по столкновению,
разделенный или никакое дальнейшее изменение происходит в системе. В случае двойного мола -
Каждый набор начальных условий приводит к особому набору фрагментов результата и
cular реактивное столкновение, минимальный КОНЕЦ, который использует классические ядра, требует
рассмотренный снарядом, помещен достаточно отдаленный так взаимодействие с tarthat
для каждой траектории реагентам дают некоторую начальную относительную ориентацию.
си параметра и импульс, соразмерный с выбранной энергетической Ми столкновения.
,
,
сетка, чтобы вычислить ориентационным образом усредненные поперечные сечения [7, 1]
Известные недостатки классического поперечного сечения в (20), которые происходят для
316 Y. ;Ohrn, Э. Деуменс
Студенты в этом проекте завершали траектории КОНЦА для протонных столкновений с
атомный и молекулярный водород и полученные ориентационным образом усредненные поперечные сечения.
Они также сделали фильмы в цвете выбранных траекторий, показывая динамические электроны
как развивающееся облако вокруг участвующих ядер.
Подтверждение. Эта работа была завершена с поддержкой гранта ННФ 00057476.
Ссылки
1. ;
в Электронных Ядерных Движущих силах, Рекламе. Квант Chem. 47 (2004), 253-274.
2. Ми. Deumens, А. Диз, Р. Лонго, и Y. ;Ohrn, Теоретическое Обслуживание С временной зависимостью
Движущие силы Электронов и Ядер в Молекулярных Системах, Преподобном Моде. Физика 66 (1994),
№ 3, 917-983.
3. Ми. Deumens, Т. Хелгэкер, А. Диз, Х. Тэйлор, Дж. Ореиро, Б. Модженсен, морали Дж. А.,
M. Coutinho Neto, Р. Кабрер-Труджиллоа, и Д. Джекмин, программное обеспечение Endyne вариантов 5 для
Электронные Ядерные Движущие силы, Квантовый Проект Теории, университет Флориды, Гейнсвилля
FL 32611-8435, http://www.qtp.ufl.edu/endyne.html, 2002.
4. Ми. Deumens и Y. ;Ohrn, Общее гармоническое приближение для молекулярного с временной зависимостью
движущие силы, Интервал. Дж. Куэнт. Chem.: Шест для отталкивания. Chem. Symp. 23 (1989), 31.
5. Ми. Deumens и Y. ;Ohrn, Завершите Электронные Ядерные Движущие силы, Дж. Фиса. Chem. 105
(2001), 2660.
6. K. В. Форд и Дж. А. Уилер, Полуклассическое описание рассеивания, Энн. Физика 7
(1959), 259.
7. Д. Джекмин, морали Дж. А., Э. Деуменс, и Y. ;Ohrn, Электронные ядерные движущие силы
протонные столкновения с метаном в 30 ev, Дж. Чеме. Физика 107 (1997), 6146-6155.
8. Дж. Р. Клодер и B.-S. Skagerstam, единые государства, приложения в физике и математический
физика, Научный Мир, Сингапур, 1985.
9. Морали Дж. А., А. К. Диз, Э. Деуменс, и Y. ;Ohrn, Электронные ядерные движущие силы H + +
Столкновения H2 в Elab = 30eV, Дж. Чем. Физика 103 (1995), 9968-9980.
10. Y. ;Ohrn, Э. Деуменс, А. Диз, Р. Лонго, Дж. Ореиро, и Х. Тэйлор, развитие Тайма электронов
и ядра в молекулярных системах, Квант С временной зависимостью Молекулярные Движущие силы
(Дж. Броекхоув и Л. Лэтуверс, редакторы), Пленум, Нью-Йорк, 1992, стр 279-292.
11. Л. Я. Шифф, метод Приближения для высокоэнергетического потенциального рассеивания, Преподобный Физики 103
(1956), 443.
R. Cabrera-Трухильо, Дж. Р. Сэбин, Э. Деуменс, и И. Орн, Вычисления Поперечных сечений
Сложные Структуры Диапазона Материалов Spintronics
Петр Зэн1, Patrik Thunstr ;om2, и Томас Джонсон3
1 Отдел Physik, Мартина-Лютера-Универзит•ата Холли-Виттенберга, D-06099 Галле,
2 Отдела Физики, Theoretical Magnetism Group, университет Упсалы, P O Поле 530,
3
johnson@math.uu.se
1 Вводная часть
магнитосопротивление в 1988. Эксплуатируя вращение электронов это привело к новым принципам устройства
для обработки информации, передачи и хранения [7]. Первооткрыватели
поле, француз Альберт Ферт и немецкий Петр Гр ;unberg были удостоены с
Нобелевская премия в 2007. Это требует детального знания свойств материала
разрабатывать новые устройства, работающие на основе новых эффектов, включающих вращение и
градус расхода свободы. Вероятность туннелирования иждивенца вращения между два
электроды определены свойствами государств в ширине запрещенной зоны изолятора.
Эти государства могут быть описаны сложным вектором волны, и для этого они
запрещенный в оптовом материале. Напротив, они определяют электронную структуру в интерфейсах
и поверхности, вообще в системах со сломанным переводным постоянством [2].
В экспериментах на различных материалах электрода с эпитаксиальными барьерами MgO каждый имеет
наблюдаемые колебания вероятности передачи [8, 4]. Во-первых, мы рассматриваем одномерное
модель, чтобы составлять наблюдаемые колебания. Во-вторых, комплекс
bandstructures изоляторов MgO и ZnO сравнены.
Одно-dimensionalmodel с двумя металлическими областями, соединенными центральным барьером
область с функциями correspondingwave рассматривают как делающийся набросок в Рис. 1. Мы
требуйте, чтобы wavefunction системы был непрерывно дифференцируем, который
t =
e;ikd
потому что (kd) ;i k2+k2
2kk
грех (kd)
. (1)
Германия, peter.zahn@physik.uni-halle.de
Отдел Математики, университет Упсалы, P O Поле 480, 751 06 Упсала, Швеция,
751 21 Упсала, Швеция, patrik.thunstrom@fysik.uu.se
Запуск spintronics исследования был зажжен открытием эффекта игрока клуба Джайентс
2 Колеблющихся Вероятности Туннелирования: 1-мерная Модель
результаты, после некоторых вычислений, коэффициента передачи
318 П. Зэна, P. Thunstr;om, Т. Джонсон
- z
МИ
k k =k1+ik2 2 = Ми k2 = Ми
Металлический Металл Барьера
Рис. 1. 1-мерная образцовая система. Вектор волны wavefunction - реальное значение k в
металлические электроды, но берет сложные значения k в барьере.
Воображаемая партия k2
wavefunction, в то время как реальная партия k1 дает колебательное поведение, как может видеться
увеличения. Простая 1D-модель не может воспроизвести экспериментально найденные колебания.
ZnO - многообещающий кандидат, чтобы получить магнитные полупроводники, сплавляя с
магнитные примеси [1]. Другая цель состоит в том, чтобы спроектировать ширину запрещенной зоны, сплавляя MgO
обеспечивает высокую производительность выбора симметрии в процессе туннелирования.
имеющий результатом фильтр вращения вызывает большое магнитосопротивление [3]. Вычисления
комплекс bandstructure основан на плотности функциональная теория в структуре
многократное рассеивание Korringa-Kohn-Rostoker Зеленые функционирует формализм [9]. MgO
и ZnO рассматривают в структуре каменной соли с константами решетки 4.052 °A и
4.216 °A, соответственно. Продуманная кубическая фаза ZnO могла бы быть стабилизирована в
слоистый heterostructures как туннельные соединения. Ширина ширины запрещенной зоны находится под -
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
d ~
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
d ~
Рис. 2. Колебательное поведение вероятности передачи |t|2 2 (оставленный)
2
2
k1 = 8 и ; (k) =k2 = 1
в Рис. 2. Колебания, описанные (1), заглушены по экспоненте когда d
из волны вектор дает начало показательному распаду
3 Материала и Электронное Вычисление Структуры
и ZnO [5]. Туннельные соединения Fe/MgO/Fe показывают хороший эпитаксиальный рост [8, 6]. Это
в 1D модель: |t | и |t | exp (2dk) (право) графически изображены как функция толщины барьера d для k = 20, ; (k) =
Сложные Структуры Диапазона Материалов Spintronics 319
-10
-5
0
5
10
15
20
E-E
V
(eV)
MgO
Соль k М.
|| kZ kZ
-4
-2
0
2
4
E-E
V
(eV)
k Соль R Z
ZnO
kZ
Рис. 3. Комплекс bandstructure MgO и ZnO. Четырёхугольная симметрия инсценирована к (001)
геометрия интерфейса. Диапазоны для реальных векторов волны k показывают в центральной панели.
очки М. и R соответствуют X и Л очка в fcc симметрии, соответственно. Передача
диапазоны с воображаемым wavevector kz показывают в левой и правой панели.
оцененный в местном приближении плотности относительно эксперимента, но
топология структуры диапазона правильно воспроизведена.
4 Сложных Структуры Диапазона
от Рис. 3. MgO показывает прямую ширину запрещенной зоны, тогда как в ZnO ширина запрещенной зоны является косвенной.
Воображаемая партия государств, доступных в энергетическом кризисе, ответственна за
распад потока туннелирования с толщиной барьера как показано в Рис. 2, оставленном
векторы волны происходят в различных частях зоны Brillouin в зависимости от энергии
электроны туннелирования. Воображаемая партия в зависимости от вектора волны вперед
(100) направление и энергия в ширине запрещенной зоны даны в Рис. 4. Как ожидалось это
0.72
2.07
3.43
4.79
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
k || Ми (eV)
Im (kz)
;0.20
0.48
1.15
1.83
0.1 0.0 0.3 0.2 0.5 0.4
0
0.5
1
1.5
Ми (eV)
k ||
Im (Kz)
Рис. 4. Комплекс bandstructure MgO (оставил) и ZnO (право). Самая маленькая воображаемая партия k1
показан в зависимости от kk вдоль ;G ; ;X строка и энергетическая Ми относительно валентности
край диапазона EV.
bandstructures проанализированы относительно вектора волны вперед (001) direcpanel.
Как может видеться от левых и правых панелей в Рис. 3, самом маленьком воображаемом
tion. Осмотр структуры диапазона вдоль строки в k пространства, соединяющего минимум
и максимум энергетического кризиса, поразительное различие MgO и ZnO очевидны
320 П. Зэна, P. Thunstr;om, Т. Джонсон
сочтен этим в MgO для энергий в запрещенной зоне, над которой доминирует государство симметрии D1
транспорт. Однако, в ZnO государства D1 доминируют только близко к максимуму ширины запрещенной зоны.
В более низких энергиях вклад вокруг очка ;X выращивает и перевешивает
вклад D1 вокруг ;G, чтобы полностью доминировать над транспортом около запрещенной зоны
минимум.
В общих словах мы показали, что сложная структура диапазона изоляторов доминирует
поведение потока туннелирования. Для ZnO в структуре каменной соли это найдено,
то, что позиция государств, переносящих поток туннелирования, меняет их положение в
поверхностная зона Brillouin в зависимости от энергии в ширине запрещенной зоны.
Ссылки
1. K Андо. Поиск полупроводников ферромагнетика комнатной температуры. Наука, 312:1883,
2006.
2. V. Хейн. На общей теории поверхностных государств и рассеивании электронов в твердых веществах.
Proc. Физика. Soc., 81:300, 1963.
3. Кристиан Хеилиджер, Мартин Грэдхэнд, Петр Зэн, и Ингрид Мертиг. Магнитосопротивление туннелирования
в масштабе подмиллимикрона. Преподобный Физики Летт., 98:acc. 22 июня 2007.
4. Реактивное ионное травление Мацумото, Akio Фукусима, Колоказия Nagahama, Yoshishige Suzuki, Коджи Андо, и
Синдзи Юаса. Колебание гигантского магнитосопротивления туннелирования относительно туннелирования
толщина барьера в полностью эпитаксиальных Fe/MgO/Fe магнитных туннельных соединениях. Прикладная Физика.
Латыш., 75:252506, 2007.
5. J Narayan, K Шармы, Kvit, До Чжин, J FMuth, и OWHolland. Новый кубический znxmg1-
xo эпитаксиальные структуры гетеросексуала на си (100) субстраты. Коммуникация Полупроводника, 121:9, 2001.
6. С. С. П. Имбирная коврижка, К. Кэйсер, А. Пэнчула, пополудни Рис, Б. Хьюз, М. Самант, и S.-H.
Ян. Тоннельное магнитосопротивление игрока клуба Джайентс при комнатной температуре с MgO (100) туннель
барьеры. Мат природы., 3:862, 2004.
7. Волк С. А., Д. Д. Ошалом, Р. А. Бахрмен, Дж. М. Догтон, С. фон Молн'ар, М. Л.
Roukes, А. И. Ччельканова, и Д. М. Треджер. Spintronics: основанная на вращении электроника
видение для будущего. Наука, 294:1488, 2001.
8. С. Юаса, Т. Нэгэхама, А. Фукушима, И. Судзуки, и K Андо. Комнатная температура игрока клуба Джайентс
магнитосопротивление в одиночном кристалле Fe/MgO/Fe магнитные туннельные соединения. Мат природы.,
3:868, 2004.
9. П. Зэн, я. Mertig, Р. Зеллер, и П. Х. Дедеричс. Экранированный KKR с потенциалами ядра.
Фил. Мэг. Си, 78:411, 1998.
Редакционная политика
1. Объемы в следующих трех категориях будут изданы в LNCSE:
i) Монографии исследования
ii) Лекция и примечания семинара
iii) Слушания конференции
Тем, которые рассматривают книгу, которая могла бы быть подходящей для серии, сильно советуют связаться
издатель или монтажеры серии на ранней стадии.
2. Категории i) и ii). Эти категории будут подчеркнуты LectureNotes в Вычислительном
Наука и Разработка. Представления междисциплинарными группами авторов ободрены.
Цель состоит в том, чтобы сообщить о новых разработках - быстро, неофициально, и в пути, который сделает
их доступный для неспециалистов. В оценке своевременности представлений работы
важный критерий. Тексты должны быть круглыми углублением, написаны углублению и разумно отдельным.
В большинстве случаев работа будет содержать результаты других так же как таковых из автора (ов). В каждом
случитесь автор (ы) должен обеспечить достаточное побуждение, примеры, и приложения. В этом
уважение, кандидатские диссертации будут обычно считать неподходящими для серии Примечаний Лекции. Предложения
поскольку объемы в этих категориях должны быть представлены или одному из монтажеров серии или
Спрингер-Верлэг, Гейдельберг, и будет рецензироваться. Временный суд на приемлемости
из проекта может быть основано на частичной информации о работе: подробное описание краткого содержания
содержание каждой главы, предполагаемой продолжительности, библиографии, и одного или двух образцов
главы - или черновик. Окончательное решение, уверовать ли, отдохнет на оценке
завершенная работа, которая должна включать
- по крайней мере 100 нумеруют страницы текста;
- atableofcontents;
- информативная вводная часть, возможно, с некоторыми историческими замечаниями, которые должны быть
доступный для читателей, незнакомых с обработанной темой;
- предметный указатель.
3. Категория iii). Слушания конференции рассмотрят для публикации при условии, что они
имеют оба исключительный интерес и посвящены одиночной теме. (ormore) опытные участники
будет действовать как научный монтажер (ы) объема. Они выбирают статьи, которые являются подходящими для
включению и рецензировали их индивидуально что касается журнала. Статьи, не тесно связанные с
центральная тема должна быть исключена. Организаторы должны связаться с Примечаниями Лекции в Вычислительном
Наука и Разработка в перспективном проектировании.
В исключительных случаях некоторые другие "много объемы автора" можно рассмотреть в этой категории.
4. Формат. Только разогревается, англичан рассматривают. Они должны быть представлены в готовом для тиражирования
форма согласно техническим требованиям Спрингер-Верлэга.
Электронный материал может быть включен если приспособлено. Пожалуйста, свяжитесь с издателем.
Технические инструкции и/или макроопределение LaTeX доступны через http://www.springer.com/
запрос.
authors/book+authors?SGWID=0-154102-12-417900-0. Макроопределение может также быть переслано
Общие Замечания
Примечания лекции распечатаны фотосмещением из основной копии, доставленной в готовом для тиражирования
форма авторами. С этой целью Спрингер-Верлэг обеспечивает технические инструкции для
приготовление рукописей. См. также Редакционную политику.
Осторожное приготовление рукописей поможет сохранить короткометражный фильм производственного времени и убедиться удовлетворительное
появление законченной книги.
Следующие положения и условия держатся:
Категории i), ii), и iii):
Авторы получают 50 произвольных копирований своей книги. Никакой авторский гонорар не заплачен. Обязательство издать
сделанный по буквам из намерения, а не подписывая формальный контракт. Спрингер - Верлэг обеспечивает
авторское право для каждого объема.
Для слушаний конференции монтажеры получают в общей сложности 50 произвольных копирований своего объема для сбыта
способствующим авторам.
Все категории:
Авторы наделены правом приобрести дальнейшие копии своей книги и другой математики Спрингера
книги для их личного использования, со скидкой 33.3 % непосредственно от Спрингера-Верлэга.
Обращается:
Тимофей Дж. Барт
НАСА Исследовательский центр Эймса
Подразделение NAS
Поле Moffett, Калифорния 94035, США
электронная почта: barth@nas.nasa.gov
Михаил Грибель
Institut f;ur Numerische Моделирование
der Universit;at Бонн
Wegelerstr. 6
53115 Бонна, Германия
электронная почта: griebel@ins.uni-bonn.de
Давид Э. Кейс
Отдел Прикладной Физики
и Прикладная Математика
Колумбийский университет
200 S.W. Здание Mudd
500W. 120-ая улица
Нью-Йорк, Нью-Йорк 10027, США
электронная почта: david.keyes@columbia.edu
Ристо М. Ниминен
Лаборатория Физики
Хельсинский Технологический университет
02150 Эспо, Финляндия
электронная почта: rni@fyslab.hut.fi
Дирк Руз
Факультет информатики
Кэзолик Университеит Леувен
Celestijnenlaan 200A
3001 Левен-Heverlee, Бельгия
электронная почта: dirk.roose@cs.kuleuven.ac.be
Тэмэр Шлик
Отдел Химии
Бегущий Институт Математических
Науки
Нью-Йоркский университет
и Говард Хьюз Медицинский Институт
251 Мерсер-Стрит
Нью-Йорк, Нью-Йорк 10012, США
электронная почта: schlick@nyu.edu
Монтажер математики в Спрингере:
Мартин Петерс
Передовая статья математики IV
Tiergartenstrasse 17
D-69121 Гейдельберг, Германия
электронная почта: martin.peters@springer.com
Спрингер-Верлэг
Тел.: *49 (6221) 487-8409
Факс: *49 (6221) 487-8355
Примечания лекции
в Вычислительной Науке
и Разработка
1. Д. Фунаро, Спектральные Элементы для Доминируемых над транспортом Уравнений.
2. Х. П. Лэнгтэнджен, Вычислительные Частичные Отличительные Уравнения. Numerical Methods и Diffpack
Программирование.
3. В. Хэкбуш, G.Wittum (редакторы)., Многосеточные Методы V.
4. П. Деуфлхард, Дж. Хермэнс, Б. Леимкахлер, А. Э. Марк, С. Реич, Р. Д. Скил (редакторы)., Вычислительный
Молекулярные Движущие силы: Испытания, Методы, Идеи.
5. Д. Кренер, М. Ольбергер, К. Рохд (редакторы)., Вводная часть к Недавним событиям в Теории и
Численные данные для Правил Сохранения.
6. С. Турек, Эффективный Solvers для Несжимаемых проблем Потока. Алгоритмическое и Вычислительное
Подход.
7. Р. фон Шверин, Много Системное Моделирование Тела. Численные методы, Алгоритмы, и программное обеспечение.
8. H.-J. Bungartz, F. Смел, К. Зенджер (редакторы)., Высокая производительность Научные и Технические Вычисления.
9. Т. Дж. Барт, Х. Деконинк (редакторы)., Методы Старшего разряда для Вычислительной Физики.
10. Х. П. Лэнгтэнджен, утра Bruaset, Э. Куэк (редакторы)., Усовершенствования в Программных средствах для Научных вычислений.
11. Си. Кокберн, Г. Э. Карниадакис, C.-W. Shu (редакторы)., Прерывистые Методы Galerkin. Теория,
Вычисление и Приложения.
12. У. ван Ринен, Численные методы в Вычислительном Electrodynamics. Линейные Системы в Практическом
Приложения.
13. Си. Engquist, Л Джонссона, М. Хэммилла, Ф. Шорта (редакторы)., Моделирование и Визуализация на Сетке.
14. Ми. Дик, К. Римслаг, J.Vierendeels (редакторы)., Многосеточные Методы VI.
15. A. Фроммер, Т. Липперт, Б. Медек, K Шиллинга (редакторы)., Числовые Испытания в Кванте Решетки
Хромодинамика.
16. Дж. Ланг, Адаптивный Многоуровневый Раствор Нелинейных Параболических Систем PDE. Теория, Алгоритм, и
Приложения.
17. Си. I.Wohlmuth, Методы Дискретизации и Повторяющийся Solvers Основанный на Разложении Домена.
18. У. ван Ринен, М. Гюнтера, Д. Хечта (редакторы)., Научные вычисления в Электротехнике.
19. Я. Babu;ka, П. Г. Сиарлет, Т. Миеси (редакторы)., Математическое Моделирование и Числовое Моделирование в
Механика континуума.
20. Т. Дж. Барт, Т. Чан, Р. Хэймес (редакторы)., Мультимасштаб и Методы Мультиразрешения. Теория и
Приложения.
21. М. Breuer, F. Смел, К. Зенджер (редакторы)., Высокая производительность Научные и Технические Вычисления.
22. K Городского, Небольшие волны в Числовом Моделировании. Проблема Инсценированная Конструкция и Приложения.
23. Л. Ф. Пэвэрино, А. Тозелли (редакторы)., Недавние события в Методах Разложения Домена.
24. Т. Шлик, Х. Х. Гэн (редакторы)., Вычислительные Методы для Макромолекул: Испытания и
Приложения.
25. Т. Дж. Барт, Х. Деконинк (редакторы)., Ошибочная Оценка и Адаптивные Методы Дискретизации в
Вычислительная Гидрогазодинамика.
26. М. Griebel, М. А. Швеицер (редакторы)., Методы Meshfree для Частичных Отличительных Уравнений.
27. С. Мюллер, Адаптивные Замыслы Мультимасштаба Правил Сохранения.
28. До. Карстенсен, С. Фанкен, В. Хэкбуш, Р. Х.В. Hoppe, П. Монк (редакторы)., Вычислительный
Electromagnetics.
29. М. A. Schweitzer, Параллельная Многоуровневая Партитура Метода Единства для Овального Частичного Дифференциала
Уравнения.
30. Т. Биглер, О. Гэттас, М. Хеинкеншлосс, Б. ван Блоемен Уоэндерс (редакторы)., Крупномасштабный
PDE-принужденная Оптимизация.
31. М. Эйнсворта, П. Дэвиса, Д. Дункана, П. Мартина, Б. Ринна (редакторы)., Темы в Вычислительной Волне
Распространение. Прямые и Обратные проблемы.
32. Х. Эммерих, Б. Нестлер, М. Шрекенберг (редакторы)., Интерфейс и Транспортные Движущие силы. Вычислительный
Моделирование.
33. Х. П. Лэнгтэнджен, А. Твеито (редакторы)., Усовершенствованные Темы в Вычислительных Частичных Отличительных Уравнениях.
Численные методы и Программирование Diffpack.
34. V. Джон, Большое Моделирование Вихря Бурных Несжимаемых Потоков. Аналитичный и Числовой
Результаты для Класса ЛЕ Моделя.
35. Ми. B;nsch (редактор)., Испытания в Научных вычислениях - CISC 2002.
36. Си. Н. Хоромский, G.Wittum, Числовой Раствор Овальных Отличительных Уравнений Снижением к
Интерфейс.
37. A. Iske, Методы Мультиразрешения в Посыпанном Моделировании Данных.
38. S.-I. Никулеску, К. Гу (редакторы)., Усовершенствования в Системах Задержки.
39. С. Аттингер, P.Koumoutsakos (редакторы)., Моделирование Мультимасштаба и Моделирование.
40. R.Kornhuber, Р. Хопп, Дж. Перяю, О. Пиронно, O.Wildlund, Дж. Ксу (редакторы)., Разложение Домена
Методы в Науке и Разработке.
41. Т. Пльюа, Т. Линд, V.G.Weirs (редакторы)., Адаптивная Обработка Петли - Теория и Приложения.
42. A. Шмидт, K.G. Siebert, Проект Адаптивного программного обеспечения Конечного элемента. Панель инструментов Конечного элемента
АЛЬБЕРТА.
43. М. Griebel, M.A. Schweitzer (редакторы)., Методы Meshfree для Частичных Отличительных Уравнений II.
44. Си. Engquist, П. Лецтедт, О. Ранборг (редакторы)., Методы Мультимасштаба в Науке и Разработке.
45. П. Беннер, V. Мерман, Соренсен округа Колумбия (редакторы)., Снижение Измерения Крупномасштабных Систем.
46. Д. Кресснер, Численные методы для Общих и Структурированных проблем Собственного значения.
47. A. Bori;i, А. Фроммер, Б. Джоо, А. Кеннеди, Б. Пендлтон (редакторы)., QCD и Числовой Анализ III.
48. Ф. Грациани (редактор)., Вычислительные Методы в Транспорте.
49. Си. Leimkuhler, К. Чипот, Р. Элбер, А. Лааксонен, А. Марк, Т. Шлик, К. Шютт, Р. Скил (редакторы).,
Новые Алгоритмы для Макромолекулярного Моделирования.
50. М. B;cker, Г. Корлисс, П. Ховлэнд, У. Науман, Б. Норрис (редакторы)., Автоматическое Дифференцирование:
Приложения, Теория, и Выполнение.
51. Утра Bruaset, А. Твеито (редакторы)., Числовой Раствор Частичных Отличительных Уравнений на Параллели
Компьютеры.
52. K.H. Хоффман, А. Мейер (редакторы)., Параллельные Алгоритмы и Вычисления Кластера.
53. H.-J. Bungartz, М. Шефера (редакторы)., Взаимодействие Плавной структуры.
54. Дж. Беренс, Адаптивное Атмосферное Моделирование.
55. О. Видланд, Д. Кейс (редакторы)., Методы Разложения Домена в Науке и Разработке XVI.
56. С. Кэссинос, К. Лэнджер, Г. Иэккэрино, П. Моин (редакторы)., Сложные Эффекты в Больших Моделированиях Вихря.
57. М. Griebel, M.A Schweitzer (редакторы)., Методы Meshfree для Частичных Отличительных Уравнений III.
58. A.N. Gorban, Б. Кегл, D.C.Wunsch, А. Зиновьев (редакторы)., Основные Копии для Визуализации Данных
и Снижение Измерения.
59. Х. Аммари (редактор)., Моделирование и Вычисления в Electromagnetics: Объем, Освященный
Жан-Клод Неделек.
60. У. Лэнджер, М. Дискаччиати, Д. Кейс, О. Видланд, В. Зуленер (редакторы)., Разложение Домена
61. Т. Мэтью, Методы Разложения Домена для Числового Раствора Частичного Дифференциала
Уравнения.
62. Ф. Грациани (редактор)., Вычислительные Методы в Транспорте: Проверка и Проверка допустимости.
63. М. Bebendorf, Иерархический Matrices. Средство Решить Овальное Граничное значение
Проблемы.
64.
entiation.
Для получения дальнейшей информации на этих книгах, пожалуйста, взгляните на наш каталог математики в следующем
URL: www.springer.com/series/3527
Монографии в Вычислительной Науке
и Разработка
1. Дж. Санднес, G.T. Строки, X. Стоимость и страхование, B.F. Нильсен, К. А. Мардэл, А. Твеито, Вычисляя Электрическое
Активность в Сердце.
Для получения дальнейшей информации на этой книге, пожалуйста, взгляните на наш каталог математики в следующем
URL: www.springer.com/series/7417
65. М. Griebel, M.A. Schweitzer (редакторы)., Методы Meshfree для Частичных Отличительных Уравнений IV.
66.
Методы в Науке и Разработке XVII.
Эффективно
C.H. Bischof, H.M. B;cker, П. Ховлэнд, У. Науман, Дж. Атк (редакторы)., Усовершенствования в Автоматическом Отличаются -
B. Engquist, П. Лецтедт, О. Ранборг (редакторы)., Моделирование Мультимасштаба и Моделирование в Науке.
Тексты в Вычислительной Науке
и Разработка
1. Х. П. Лэнгтэнджен, Вычислительные Частичные Отличительные Уравнения. Numerical Methods и Diffpack
2. A. Quarteroni, Ф. Салери, Научные вычисления с MATLAB и Октавой. 2-ое Издание
3. Х. П. Лэнгтэнджен, Сценарии Питона для Вычислительной Науки. 3-ье Издание
4. Х. Гарднер, Г. Мандучи, Шаблоны для электронной науки.
5. М. Griebel, С. Нэпек, Г. Замбуш, Числовое Моделирование в Молекулярных Движущих силах.
Для получения дальнейшей информации на этих книгах, пожалуйста, взгляните на наш каталог математики в следующем
URL: www.springer.com/series/5151
Программирование. 2-ое Издание