Мысли порождаемые математикой об основных законах жизни
Теорема Геделя о неполноте и противоречивости
Гедель доказал:
«Всякая формальная система либо неполна, либо противоречива».
Сложное доказательство, сложные построения.
Но! Но!
Джек Лондон «Боги смеются»
«Насыщаться и испытывать одновременно чувство голода – этого человеку никогда не удавалось достичь.
Насыщаться, сидя за уставленным яствами столом, и удерживать голод на самой острой его грани, – вот какая задача стояла перед ними.
Любовь – это желание, это сладостная боль, которая жаждет утоления, и, найдя его, умирает. Любовь жаждущая продолжает жить вечно. Любовь утоленная умирает».
Не одно ли и тоже написали математик и писатель.
С другой стороны, эта теорема рождает и другие мысли. Сколько было тех, кто приближался к смыслу мироздания и объяснял его, но, сколько бы фундаментальны были открываемые наукой законы через некоторое время приходили другие ученые и открывали их продолжение.
". Был этот мир глубокой тьмой окутан,
"Да будет свет!" - И вот явился Ньютон!
Александр Поуп (1688—1744), .
Эпитафия: предназначалась сэру Исааку Ньютону
Но сатана не долго ждал реванша:
Пришел Эйнштейн - и стало все, как раньше
Джон Сквайр (1884—1958).
Перевод С. Маршака
Известно, что после Ньютона создалась уверенность, что математика знает все.
Путем вычислений был открыт Нептун, рассчитывали скорости не только планет, но движущихся экипажей. Даже считали скорость света.
Но! Но! Пришел Эйнштейн, которому пришла в голову мысль, как раз насчет скорости света.
Он себе никак не мог представить, что кто - то может развить скорость большую, чем скорость света.
А это было бы здорово. Человек летел, опережая все изображения. Он видел бы их наоборот.
Вот сражение при Ватерлоо. Отступающие войска возвращаются на свои позиции. Ядра влетают обратно в пушки. Вот такое кино.
Альберт остановил свою фантазию, решив, что скорость света – это предел. Но дальше было простое применение техники и знаний. Применяя уравнения Лоренца, мы можем показать, что время и масса изменяется в зависимости от скорости движения объекта.
Триумф, который подтвержден ядерной физикой.
Но! Но! Теперь уже нашли объекты, которые двигаются со скоростью выше скорости света (черные дыры). Поэтому их и не видно нашим глазом. И опять выход один - исследовать, что происходит в этом новом мире.
Если в математике и физике невозможно достичь окончательной истины, то в жизни и подавно.
Давно уже люди пытаются научно доказать существование Бога.
Одним из них был Гегель. Его вдохновил математическое открытие Нептуна на «кончике пера», когда характеристики этой планеты были получены без наблюдений, с помощью одних вычислений.
Гегель думал, что также можно доказать существование Бога. Конечно, вычисление массы, скорости передвижения было бы богохульством, поэтому он выбрал другие пути.
До него великий математик Лейбниц также занимался этой проблемой. Он был убежден, что мир и высший разум устроены математически, а знание есть логика плюс математическое доказательство. В своих произведениях Лейбниц неоднократно выражал надежду на то, что его идеи дают шанс враждующим философским системам отыскать пути согласия. Он также верил, что скоро исчезнут войны. Достаточно враждующим сторонам сесть рядом и сказать: «Давай докажем!».
Он переписывался с монахом иезуитом Гримальди, пребывавшим в это время в Китае. Сообщения ученого иезуита навели его на мысль придумать новую арифметику, в которой достаточно лишь двух цифр: 1 и 0. По его мнению, "двоичная" система есть символ творческого акта, потому что она показывает воочию, что единица или "монада", играющая основную роль во всей философии Лейбница, достаточна для построения вселенной: стоит комбинировать единицы и нули (изображающие отсутствие бытия),
В это время Лейбниц изучал сходимость знакопеременных рядов. Между других рядов он нашел «чудесный» ряд, 1-1+1-1......
Сумма этого ряда зависела от того, как поставить скобки. И была равна либо 0, либо 1. Но если этот ряд рассматривать, как геометрическую прогрессию, то его сумма равна 1/2.
Провожая монахов в Китай, он снабдил их исследованиями этого ряда и написал, что Бог из «ничего» и «всего» создает «нечто».
Панматематизм – вера в высшее предназначение математики была характерна для всего 19-ого века. Математика позволяла определять ход планет, рассчитывать движение экипажей, полет снарядов, прочность.
Но! Но! Грянул гром.
Немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс построил всюду непрерывную, но нигде не дифференцируемую функцию. До этого понятие непрерывности использовалось без какого-либо определения. Отсутствовала полная теория сходимости. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.
После это математики мира сошли с ума, и при доказательствах требовали доказывать самые очевидные утверждения. Поэтому возникла потребность определить, что такое «доказать».
Вейерштрасс в России известен еще по одному поводу. Всю жизнь он пронес нежные безответные чувства к Софье Ковалевской (он всю жизнь ждал ее и так и не женился). Вейерштрасс помогает Ковалевской выбрать тему диссертации и метод подхода к решению, в дальнейшем регулярно консультирует её по сложным вопросам анализа, содействует в получении научного признания.
Теорией доказательств занялся «сам» Давид Гильберт. Этому известному в мире ученому была оказана честь, и он сделал доклад на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900году. Он огласил список из 23 кардинальных проблем математики, в 20 –ом веке. На данный момент решены 16 проблем.
Как человека Гильберта характеризует широко известный эпизод.
После прихода национал-социалистов к власти в Германии жил в Гёттингене, в стороне от университетских дел. Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать. Однажды нацистский министр образования, спросил Гильберта: «Как теперь математика в Гёттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил: «Математика в Гёттингене? Её больше нет».
К 1922 году у Гильберта сложился обширный план обоснования всей математики путём её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики.
Формально математика была определена, как набор объектов и правил их преобразований. Как, например, шахматы, где фигуры определяются правилами их ходов. Короля можно нарисовать на бумаге, сделать из дерева, из золота, но на шахматной доске он будет король, и им будут «оперировать» как предписывают правила игры.
Далее оставалось «пустяк» доказать:
1.Полноту такой системы, т.е. что она может доказать любую теорему.
2. Непротиворечивость. Это означало, что система позволяет, исходя из исходных данных, доказать истину и одновременно не позволяет, исходя из тех же данных доказать её отрицание.
В это же время в математике происходили события, требующие своего обоснования.
В частности в начале века (1893 год) немецкий математик Готлиб Фреге выдвинул предложение не просто аксиоматически утвердить основные свойства исследуемых объектов, но и формализовать, кодифицировать сами методы рассуждений, что позволяло записать любое математическое рассуждение по определенным правилам в виде цепочки символов. Свои результаты Фреге опубликовал в труде «Основные законы арифметики», первый том, которого вышел в 1893 году, а второй потребовал еще десяти лет напряженной работы и был полностью завершен лишь в 1902 году.
С именем и научными изысканиями Фреге связана, пожалуй, одна из самых драматических историй в развитии науки о числах. Когда второй том был уже в печати, ученый получил письмо от молодого английского математика Бертрана Рассела. Поздравив коллегу с выдающимися результатами, Рассел, тем не менее, указал на одно обстоятельство, прошедшее мимо внимания автора. Коварным «обстоятельством» был получивший впоследствии широкую известность «парадокс Рассела», представлявший собой вопрос: будет ли множество всех множеств, не являющихся своими элементами, своим элементом?
Примером таких множеств в литературе множество. Приведем только два.
Парадокс брадобрея.
В одной деревне жил брадобрей, который поклялся не брить всех, кто бреется сам.
Может ли он брить самого себя?
Задача о стражниках.
При входе в город стояли стражники. Всем, кто входил в город, они задавали один и тот же вопрос: «Зачем пришел?»
Если человек говорил ПРАВДУ, его ВЕШАЛИ?
Если ЛГАЛ, то ему ОТРУБАЛИ ГОЛОВУ?
В город вошел человек и на вопрос ответил: « Я пришел, чтобы мне отрубили голову?»
Что должны были сделать стражники?
Если ему отрубят голову, то он говорил правду, и должен быть повешен.
Если повесят, то он сказал ложь и ему должны отрубить голову.
Также нельзя определить истину предложения, которое утверждает:
«Это предложение есть ложь».
Фреге не смог немедленно разрешить загадку. Ему не оставалось ничего другого, как только добавить в послесловии к выходящему из печати второму тому своей книги полные горечи слова: «Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение…» Огорченный математик взял академический отпуск в своем университете, потратил массу сил, пытаясь подправить свою теорию, но всё было тщетно. Он прожил еще более двадцати лет, но не написал больше ни одной работы по законам арифметики.
В 1931 году Гедель доказал теорему, взорвавшую математику. Этот очкастый и болезненный молодой человек, пошел, казалось, по проторенному пути.
Да математика, - это набор символов и правил манипуляции с ними.
Да! Доказательства – это цепочки таких символов. При этом одна цепочка символов приводится к другой. Последняя доказывает истину первоначального утверждения.
Первая гениальная мысль заключалась в нумерации сначала символов (если их число конечно), а потом нумерации цепочек.
В современной интерпретации – это попытка написать на заданном языке программирования все программы.
Для математики – это просто. Напишем в столбик все команды этого языка. Это будут все программы длиной 1.
Попробуем теперь написать все программы длиной 2. Для этого перечислим все пары команд и т.д.
Гедель применил это правило к арифметике.
Еще одна особенность доказательства, чтобы, пронумеровав, команды добиться того, чтобы их цепочки давали также разные номера. Так появилась Геделевская нумерация. Таким образом, перечислив, все цепочки мы получим номера всех программ (формул).
Таким образом, на основании всех цепочек мы получили полную систему. Теперь покажем, что из любой цепочки можно получить другую.
Простейшим способом (хотя и не очень строгим) было бы составить таблицу соответствия каждой цепочки другим. Но тут и возникает проблема. Каждая цепочка может быть сопоставлена любой цепочке. Тогда возникает противоречие одной - цепочке может быть противопоставлены несколько цепочек, в том числе и отрицание её самой, либо мы должны при таком сопоставлении запретить ( а может быть исключить какие–то цепочки). Как же тогда люди выходят из этого противоречия. Чаще всего они (сознательно или не понимая этого) употребляют неполные системы.
Например, понятно, что A+B=C правильно, а цепочка тех же знаков +=ABC бессмысленна (пока никто не придумает применение этой записи).
Интересно, что возможность перенумеровать все программы привела к понятию универсальная программа. Суть её состоит не в том, что она содержит все программы, а в том, что она может декодировать номер программы в последовательность номеров команд и выполнить их.
Чем не старый анекдот про анекдоты по номерам?