Ученые давно заметили, что галактики во Вселенной попросту распались бы, если бы они содержали только наблюдаемое вещество (всеми известными техническими средствами наблюдения). Поэтому, дабы не подвергать сомнению основные законы физики, была введена концепция так называемой скрытой (темной) материи. Впервые о ней заговорил в 30-х годах ХХ века швейцарский астроном Фриц Цвикки (1898–1974). В настоящее время скрытая материя – это головная боль для всех ученых. Ниже приводятся лишь некоторые общеизвестные факты, связанные со скрытой материей; факты, которые существенны в контексте данной статьи (посвященной миру… чисел).
В конце 1998 г. астрономы обнаружили ускоренное расширение нашей Вселенной. Параметром этого ускорения является ламбда-член (космологическая постоянная). Это было самое интересное и неожиданное открытие науки в конце ХХ века! Ламбда-член соответствует энергии вакуума, которая почти не изменяется при расширении Вселенной. Современный ламбда-член (в нашу эпоху) также может иметь «динамическое» происхождение, он может быть результатом неких физических процессов, которые ученые пока не понимают.
Возможно существование однородного фона скрытой материи (70 - 80% всей скрытой материи). Не исключено, что именно пустое пространство (вакуум) обладает такими свойствами. Если бы вакуум имел небольшую, но конечную плотность энергии, то именно она бы подходила для того, чтобы описать динамику Вселенной. Энергия вакуума из-за того, что у него отрицательное давление, должна ускорять разлет Вселенной. И наблюдателю видно, что расширение Вселенной ускоряется, то есть, вероятно, 2/3 жизни Вселенной в ней доминирует вакуумоподобная (скрытая) энергия. На долю обычной материи приходится менее 10% общей плотности во Вселенной (обычная материя по своим свойствам близка к пыли). На долю скрытой материи приходится свыше 90% общей плотности во Вселенной. На долю светящейся материи (звезд, газа, пыли) приходится менее 1% общей массы Вселенной. Проявления скрытой материи наблюдали впервые в нашей Галактике. Возраст Вселенной оказывается больше почти в два раза, если соглашаться с тем, что 90% общей плотности Вселенной приходится на скрытую материю, а 10% на обычное вещество. При расширении Вселенной плотность скрытой материи остается почти постоянной, а не убывает как плотность обычного вещества.
Существует так называемая проблема динамической генерации ламбда-члена. В физике есть понятие «физический вакуум» – это море виртуальных (эфемерных) частиц, которые проявляют себя странным образом: они как бы и не взаимодействуют с окружающим внешним миром, переопределяя только массы элементарных частиц, заряды и моменты. Но наиболее всего странно следующее свойство физического вакуума. В каждой точке пространства-времени содержится бесконечно много виртуальных частиц, и все они весят бесконечно много. Проблема бесконечной массы физического вакуума является проблемой номер один в теоретической физике.
А теперь мы обратимся к миру чисел, который, возможно, является неким «зеркалом»… реального мироздания.
Бесконечное множество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) включает в себя только две группы чисел: простые числа и все прочие (составные) числа. Простые числа – это бесконечный ряд чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, …), которые делятся только на самих себя и на единицу (N = 1). Важнейшая теорема общеизвестной теории чисел гласит, что на отрезке натурального ряда от 1 до числа N количество (Кр) простых чисел оценивается красивой (в своём предельном лаконизме) формулой:
Kр = N/lnN, (1)
где речь идет о так называемом асимптотическом равенстве (его обозначают тильдой – волнистой линий, но я для упрощения понимания поставил знак обычного равенства), то есть подлинное равенство достигается только при бесконечно большом числе N. Правильней будет говорить, что количество (Kр) простых чисел устремляется к выражению N/lnN (по мере роста правой границы N), а в самом начале натурального ряда формула (1) не работает – это своеобразная область… сингулярности в мире чисел (и всё сказанное легко проверить на компьютере). Из формулы (1) в частности вытекает, что в натуральном ряде на каждое простое число в среднем приходится lnN составных чисел (поскольку N/Kр = N/N/lnN = lnN).
В рамках виртуальной космологии (моей игры-теории) так называемый Большой отрезок (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 8*10^60) содержит столько натуральных чисел – сколько планковских времен содержится в возрасте Вселенной (13,7 миллиарда лет). То есть для Большого отрезка в формуле (1) мы имеем N = 8*10^60, поэтому на каждое простое число в среднем приходится около 140 составных чисел [поскольку lnN = ln(8*10^60) = ln8 + 60 ln10 = 140,2…] или, иначе говоря, на Большом отрезке в среднем каждое 140-е число является простым числом (однако на самом деле простые числа расположены весьма неравномерно в ряду всех чисел).
Простые числа – это кирпичики, из которых строятся все натуральные числа, поскольку любое натуральное число N можно представить в виде произведения простых чисел:
N = (P1^C1) * (P2^C2) * (P3^C3) * (P4^C4) * (P5^C5)*…, (2)
где P1, P2, P3, P4, Р5 …– простые числа (2, 3, 5, 7, 11,…); С1, С2, С3, С4, С5 …– показатели степени, то есть простое число Р1 умножается само на себя С1 раз; простое число Р2 умножается само на себя С2 раз и т.д. Например, N = 261360 = (2*2*2*2) * (3*3*3) * (5*1) * (11*11) = (2^4) * (3^3) * (5^1) * (7^0) * (11^2), и всякий другой набор простых чисел (и показателей степени) никогда не даст нам числа N = 261360. Формулу (2) называют каноническим разложением натурального числа N (на простые сомножители), и указанное разложение всегда единственное для любого натурального числа – это так называемая основная теорема арифметики (и её все мы проходили в школе).
Напомню, что любое число в степени 0 дает нам единицу (так, в указанном выше примере есть сомножитель 7^0 = 1) – это объясняет, почему в каноническом разложении обычно не пишут простые числа в нулевой степени – ведь умножение на единицу не изменяет конечного результата (не изменяет само число N). Поэтому в общеизвестной (в «обычной») математике всякое простое число не подлежит каноническому разложению (якобы это ни к чему не приводит). Однако в рамках виртуальной космологии я предлагаю рассмотреть и нулевые степени (всех простых чисел Р, меньших данного числа N) и, более того, даже рассматривать канонические разложения… простых чисел, например, для простого числа Р = 13 будем записывать: 13 = (2^0) * (3^0) * (5^0) * (7^0) * (11^0) * (13^1) = 1*1*1*1*1*13. Таким образом, впредь будем полагать, что в каноническом разложении любого натурального числа N имеют значение (некий «смысл») количество единиц, «предшествующих» старшему простому числу в каноническом разложении данного N (старшее число Р никогда не превосходит числа N – это важно понимать и помнить).
Далее я попробую раскрыть перед читателем («тайный») смысл такого взгляда на мир чисел.
В рамках виртуальной космологии введем ряд новых понятий (в «обычной» математике их пока нет).
Канон числа N – это сумма всех показателей степени в каноническом разложении числа N. Канон числа будем обозначать малой буквой k, то есть k = С1 + С2 + С3 + С4 + С5 +…, например, канон числа N = 261360 будет равен десяти: k = 4 + 3 + 1 + 2 = 10, а у первых натуральных чисел N = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 будут соответственно такие каноны k = 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2 (ясно, что у всех простых чисел канон равен единице).
Канон отрезка [2; N] – это сумма канонов у всех натуральных чисел от 2 до N (включительно). Канон отрезка будем обозначать большой буквой K. Ещё в конце 2004 года (в книге «Зеркало» Вселенной», на стр. 67) я показал, что канон отрезка можно оценить следующей формулой (точнее говоря, асимптотическим равенством):
K = G*N, (3)
где G = 1/(2 – 1) + 1/(3 – 1) + 1/(5 – 1) + 1/(7 – 1) + 1/(11 – 1) + … + 1/(P – 1) и все простые числа идут подряд вплоть до старшего простого числа Р, не превосходящего конец отрезка (число N). Выражение для G близко к сумме Гаусса-Мертенса, поэтому для наших оценок принимаем такое допущение: G = (lnlnN + 0,261497)(1 + 1/lnlnN). Коэффициент G растет чрезвычайно медленно и к концу Большого отрезка (при N = 8*10^60) достигает значения G = 6,26. Полученная формула (3) поначалу кажется несколько парадоксальной. В самом деле, ведь половина всех натуральных чисел N делится на 2, третья часть всех N делится на 3, одна шестая часть всех N делится и на 2, и на 3 и т.д. Поэтому мы интуитивно ожидаем, что много чисел N должны иметь и большие каноны (большое количество простых сомножителей в каноническом разложении), а большие отрезки натурального ряда – также должны иметь большие каноны… Однако полученная формула (3) показывает, что даже на Большом отрезке средний канон числа будет всего лишь около 6 (поскольку k = K/N = 6,26*N/N = 6,26) – это очередной яркий пример «магии семёрки» в мире чисел (и подобных примеров «магии семёрки» немало в виртуальной космологии). Таким образом, преобладают малые каноны и мир чисел очередной (уже который раз!) наилучшим образом «отражает» фундаментальное свойство реального мира – малые особи более распространены, чем крупные – здесь термин «особь» надо понимать максимально широко, как в мире чисел, так и в реальном (физическом) мире, где «особи» это: суперструны, кварки, элементарные частицы, атомы, молекулы и все прочие материальные объекты (и их разнообразные параметры).
Скрытый канон числа N – это количество всех нулевых показателей степени в каноническом разложении числа N или, иначе говоря, это количество «скрытых» единиц в каноническом разложении числа N. Скрытый канон числа будем обозначать малой буквой w; так, для чисел N = 261360 и N = 13 (см. выше) можно записать соответственно: w = 1 и w = 5. Если число N – это достаточно большое простое число, то его скрытый канон – это количество (Кр) всех предшествующих (то есть меньших) простых чисел, которое можно оценить по формуле (1), то есть скрытый канон достаточно большого простого числа N можно оценить по формуле: w = N/lnN. Так, даже для (совсем небольшого) простого числа N = 13 мы получаем вполне правдоподобную оценку скрытого канона: w = 13/ln13 = 5,07.
Говоря о скрытом каноне, скажем, числа N = 261360, мы как бы допускаем существование скрытого числа с каноническим разложением (2^0) * (5^0) * (11^0) * (13^0) * (17^0) * (19^0) *…. = 1*1*1*1*1*1*… . Таким образом, любой отрезок натурального ряда (в том числе и Большой отрезок) в этом смысле содержит почти в два раза больше чисел. Вероятно, каждое скрытое число – это одна из бесконечных ипостасей (сущностей) «многоликой» единицы – таинственного числа N = 1. Здесь уместно напомнить, что если скрытая (темная) материя действительно существует во Вселенной, то тогда возраст Вселенной следует признать почти в два раза большим (почти 17 миллиардов лет, см. выше про скрытую материю во Вселенной)
«Отражение» миром чисел проблемы так называемой динамической генерации ламбда-члена (из теоретической физики) можно усмотреть в «числовом вакууме» – море виртуальных (эфемерных) «скрытых» единиц в канонических разложениях натуральных чисел. Можно с полным правом сказать, что «скрытые» единицы проявляют себя странным образом: они как бы и не взаимодействуют с окружающим миром чисел, «переопределяя» только значения натуральных чисел, их делители и свойства чисел. Но наиболее всего странно следующее свойство числового вакуума. У каждого натурального числа N содержится как бы бесконечно много «скрытых» единиц (ведь сколько раз не умножай число N на единицу – ничего не меняется). В этом проявляется загадочная «многоликость» и «неисчерпаемость» единицы (числа N = 1). Познание тайны числа N = 1 является важной проблемой в виртуальной космологии.
Скрытый канон отрезка [2; N] – это сумма скрытых канонов у всех натуральных чисел от 2 до N (включительно). Скрытый канон отрезка будем обозначать большой буквой W. Очевидно, что суммарный скрытый канон всех простых чисел (Wp) на достаточно большом отрезке можно оценить асимптотическим выражением:
Wp = 2/ln2 + 3/ln3 + 5/ln5 + 7/ln7 + … + N/lnN = 0,5(N/lnN)^2 (4)
Признаюсь, что формулу (4) я просто… угадал («увидел» при исследованиях указанной суммы в программе «Excel» в марте 2012 года). При N = 7 относительная погрешность формулы (4) достигает максимума (90%), а далее, по мере роста N, относительная погрешность довольно быстро (и бесконечно?) убывает, например, до 8% при N = 120000.
Однако чему равен суммарный скрытый канон (W) всех чисел (а не только простых чисел) на данном отрезке? Для ответа на этот вопрос я рассуждал так (читатель может пропустить этот абзац, здесь я пишу скорее даже для себя, чтобы не забыть ход собственных мыслей). Формула (4) дает нам «неполное» («частичное») значение скрытого канона отрезка, а «полное» значение мы получим, если… проинтегрируем выражение (4). Для этого совершаем чисто формальные действия: пусть х = N/lnN и а = 0,5^0,5; b = 0, тогда Х = a*x + b или X^2 = 0,5(N/lnN)^2. Находим интеграл от выражения X^2 (стандартное выражение в математическом справочнике), который равен (1/3)*a^2*x^3 = (1/6)*x^3 = (1/6)(N/lnN)^3. Поэтому в конечном итоге я полагаю, что скрытый канон отрезка [2; N] близок к следующему:
W = 1/6*(N/lnN)^3 . (5)
Полученная формула (5) неплохо (близко по порядку числа) стыкуется с ранее сделанными мною оценками в части скрытого канона отрезка (в 2004 году в книге «Зеркало» Вселенной», см. стр. 67-69). Скрытый канон Большого отрезка по формуле (5) оценивается как W = 3*10^175.
Итак, теперь можно более-менее внятно сказать о тех фактах, которые наиболее убедительно подтверждают, что скрытый канон отрезка – это некое «отражение» миром чисел скрытой (темной) материи в реальной Вселенной.
При расширении Вселенной её объем увеличивается пропорционально кубу характерного размера Вселенной. В качестве последнего в рамках виртуальной космологии выступает правая граница числового отрезка [1; N], поэтому грубым «отражением» текущего объема Вселенной является параметр N^3 (длина числового отрезка, возведенная в 3-ю степень, то есть указанная длина «в кубе»). При этом можно оценить, скажем, среднюю плотность канона отрезка (K) – порядок такой плотности будет следующим K/N^3 = G*N/N^3 = G/N^2, то есть указанная плотность довольно быстро убывает по мере удаления (роста) правой границы N (по мере расширения Вселенной). Именно так ведет себя плотность видимой материи – плотность быстро убывает при расширении Вселенной.
Однако теперь мы можем оценить и, скажем, среднюю плотность скрытого канона отрезка (W) – порядок этой плотности будет следующим W/N^3 = 1/6*(N/lnN)^/N^3 = (1/6)/(lnN)^3, то есть указанная плотность остаются почти постоянной, несмотря на удаление (рост) правой границы отрезка (несмотря на расширение Вселенной). Именно так ведет себя плотность скрытой (темной) материи – плотность почти не меняется при расширении Вселенной.
В данной статье приводится лишь примерная «иллюстрация» того, как мир чисел «отражает» таинственную скрытую (тёмную) материю реальной Вселенной. Вероятно, подобные «отражения» помогут лучшему пониманию загадочной природы скрытой материи.