Это научная статья, опубликованная в сборнике трудов Красноярского историко-родословного общества. Но вывод ее общеинтересен: все мы - родственники той или иной степени родства. Поэтому я решился предложить ее вниманию читателей, исключив почти все формулы и постаравшись общепонятным языком разъяснить все математические нюансы.
Генеалогия более других исторических дисциплин поддается математической формализации. Родословная схема сама по себе есть математический объект – граф (точнее, дерево). Возрастание числа предков по поколениям можно описать геометрической прогрессией. Возрастание числа потомков носит случайный характер, но в среднем описывается той же геометрической прогрессией. То есть в генеалогии осуществляются оба основных типа зависимостей, изучаемых математикой: функциональная (точная) зависимость – восходящая родословная и случайная зависимость – нисходящая родословная.
Известен так называемый генеалогический парадокс: в 30-м поколении (около 1000 лет назад) количество предков у каждого человека 2 в 30-й степени, т. е. более миллиарда, однако в то время на Земле жило только 250 млн. человек. Разгадка парадокса в том, что вследствие неизбежных родственных браков фактическое число предков значительно меньше. Отсюда также вытекает, что два любых человека могут найти общих предков. С помощью документов доказать этот тезис невозможно: родословные велись в основном по мужской линии, родство по женским линиям почти не учитывалось. Однако многие известные родословные позволяют частично проиллюстрировать данный тезис. Так, в восходящей родословной А. С. Пушкина повторение предков наступает уже в 4–5-м поколениях: П. П. Пушкин (1644–1692) является одновременно прадедом поэта по мужской линии и прапрадедом по женской.
Теоретическое количество предков N равно 2 в степени n, где n – номер поколения. На эту закономерность накладывается случайность, обусловленная повторяемостью предков. Если все N предков в каком-то поколении являлись членами замкнутой совокупности людей (города, сословия, страны, человечества), содержащей M человек, то методами теории вероятностей (распределение Пуассона) нетрудно получить формулу, дающую реальное число предков. Например, в небольшом городе (M = 10000) в 10-м поколении (n = 10) у человека не N = 1024 предка, а в среднем m = 973, т. е. имена 51 предка повторяются – в родословной произошло около 25 родственных браков.
Если исходить из упрощенной модели (в семье в среднем 2 детей, что необходимо для воспроизводства поколений), то у человека в среднем 4 двоюродных братьев и сестер и по мужской, и по женской линиям, 16 троюродных, 64 четвероюродных, т. е. на каждой следующей ступени в 4 раза больше. На 14-й ступени число братьев и сестер сравнимо с населением России. То есть все россияне в среднем 14-юродные братья и сестры. Другими словами, у любых двух жителей России найдется общий предок – в среднем в 14-м поколении, т. е. 400–500 лет назад. Так как количество предков в 30-м поколении сравнимо с численностью населения Земли, то большинство людей, живших тогда на планете, являются нашими прямыми предками по тем или иным линиям. Другими словами, любой человек, живший 1000 и более лет назад, с определенной вероятностью (почти 100%) может оказаться нашим предком, если, конечно, его потомки живут до сих пор.
Мы пока не учитываем изменения численности населения города, страны, мира. Но поскольку численность, как правило, возрастает, то эти выводы даже усиливаются. С. П. Капица [1] приводит формулу численности человечества
M = 186 / (2025 – t) млрд. чел.
(t – номер года), хорошо согласующуюся с историческими данными вплоть до 1960 г. Впрочем, моделирование ситуации на компьютере (в программе Excel) показало, что учет изменения численности населения мало влияет на общий вывод: именно 900–1100 лет оказываются тем «порогом», при прохождении которого число предков одного человека становится того же порядка, как и население Земли в целом.
Мы не учитывали пока и границы между сословиями. Впрочем, за сотни лет многие дворянские роды, имевшие богатые родственные связи, обеднели, смешались с другими сословиями, родилось множество внебрачных детей, произошли грандиозные миграции населения. В результате основные выводы останутся теми же, только цифры могут быть несколько скорректированы. Существует общенаучный принцип (отражение философского закона «единства противоположностей»): множество случайностей, накладываясь друг на друга, рождают закономерность. Огромное количество случайных факторов (границы между сословиями, относительная замкнутость регионов) именно в силу своей случайности «взаимно уничтожаются», и появляются закономерности, которые можно выразить четкими математическими формулами. В генеалогии есть убедительная иллюстрация этого тезиса: рождение мальчика или девочки у данной женщины – случайное, непредсказуемое явление, но в целом в обществе (хотя бы в масштабах города) рождается примерно 51% мальчиков и 49% девочек, и эта закономерность соблюдается очень четко. Поэтому думается, что, когда идет речь о 20–30 поколениях (500–1000 лет), основную роль начинают играть не случайные исторические и географические факторы, а законы, выразимые математическими формулами.
Г. Секей [2] дает формулу, позволяющую вычислить долю людей, имеющих 1, 2, 3… сыновей. Она имеет вид показательного распределения. Но автор данных строк выяснил, что эта формула противоречит важному требованию: она должна иметь такой же вид и для числа дочерей (так как пол ребенка предвидеть невозможно), и для общего числа детей (меняются только параметры формулы); однако это невозможно, так как сумма двух показательных распределений уже не является показательным распределением. Единственная формула, которая согласуется с требованием независимости от пола детей, получается из распределения Пуассона. Это соответствует и смыслу задачи: распределение Пуассона всегда получается, когда в каждом отдельном случае вероятность какого-то события мала, но случаев происходит много. Вероятность рождения ребенка в семье именно в данном году не очень велика, но лет супружеской жизни много. Используя критерий Пирсона, общеизвестный в статистике, автор выяснил, что количество детей в семьях потомков Пушкина гораздо лучше соответствует распределению Пуассона, чем показательному распределению.
Для генеалогии интересен вопрос: почему любая правящая династия рано или поздно вырождается и насколько это неизбежно. Здесь играют роль исторические факторы (борьба за власть), биологические (наследственные болезни ввиду родственных браков), но интересно выяснить «процент ответственности» математики, то есть насколько велика роль математической (неизбежной, обусловленной законами нашего мира, не зависящей ни от каких конкретных факторов) закономерности в реальном прекращении фамилий. Если численность рода не меняется с течением поколений, т. е. каждое следующее поколение содержит примерно столько же и людей, сколько и предыдущее (другими словами, семья имеет в среднем 2 детей), то любая фамилия (передаваемая по мужской линии) рано или поздно исчезает; но если в каждом следующем поколении больше людей, чем в предыдущем, то определенный процент фамилий теоретически может сохраняться вечно. Например, если с каждым поколением численность населения возрастает на 10% (что в среднем имело место для всего человечества в течение 2-го тысячелетия), то сохраняются примерно 18% фамилий. Математически решение этого вопроса дает уравнение, которое содержит параметр k – коэффициент роста, показывающий, во сколько раз больше людей содержит следующее поколение по сравнению с предыдущим (в вышеприведенном примере k = 1,1). Уравнение трансцендентно, т. е. не решается алгебраическими методами, но его можно решить приближенно, в частности используя возможности компьютера (функция «Подбор параметра» в программе Excel). Уравнение имеет очевидный корень x = 0, что соответствует нулевой вероятности сохранения фамилий. В 1874 г. Ватсон [4] предположил, что других корней это уравнение не имеет. Если k равно 1, это действительно так, но затем выяснилось, что если k больше 1, уравнение имеет и другой корень, показывающий, что в этом случае существует вероятность «бессмертия» некоторых фамилий (при k = 1,1 корень равен 0,18, т.е. 18% фамилий сохранятся и через сотни лет).
Опыт развития науки, особенно в XX веке, показывает, что наиболее перспективные и плодотворные исследования рождаются на стыке различных наук. Математическая генеалогия познакомит историков с могущественными методами математики. Будет доказано генеалогическое единство человечества, факт всеобщего родства людей как в целом по планете, так и внутри коренного населения какого-либо региона – страны, области, города.
Математическая генеалогия будет иметь практическое значение для генетики. С точки зрения медицины, родственные браки вредны для потомства: рождаются неполноценные дети. Но как доказывает генеалогия, фактически все браки являются родственными, хотя люди обычно не подозревают об этом. Значит, при достаточно далекой степени родства подобные браки не наносят вреда потомству, более того, могут оказаться полезными.
Люди недостаточно осознают свое генеалогическое единство, доказательство этого факта будет иметь и социальную значимость. Оно в какой-то степени будет способствовать установлению мира на земле, добрососедских отношений между различными народами, устранению национальных предрассудков. Осознание себя членами единой родословной поможет россиянам возродить чувство национального достоинства, гордость за свою историю, интерес к прошлому своего рода, стремление жить достойно предков.
Конкретный результат математической генеалогии – то, что любая фамилия сохраняется лишь при условии возрастания численности населения – напомнит о необходимости иметь в семье 2–3 детей, чтобы следующее поколение восстанавливало предыдущее и население России не уменьшалось, а увеличивалось.
Литература
1. Капица С.П. Общая теория человечества. М., 1989.
2. Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1990.
3. Lotka A. J. The extinction of families I–II. Wash. Fcad. Sci. 1931, 21, 377–380, 453–549.
4. Watson H. W., Galton F. On the probability of the extinction of families. J. Antropol., Inst. Great Britain and Ireland. 1874, 4, 138–144.