Калиниченко Н. Н. Открытие истины Парадоксы науки Лекция 3 Математика
5. ПАРАДОКСЫ НАУКИ
Лекция 3 Математика
Пожалуй, все парадоксы математики связаны с её главным парадоксом. А он состоит в том, что математика – не математика.
С греческого математику переводят то как науку, то как познание. На самом деле математика – это просвещение. Или – воспитание. В крайнем случае – образование. Но в любом случае не наука о количественных отношениях и пространственных формах, как её определяют математики вслед за Энгельсом. Вот и выходит, что математика математиков – это не математика, а какая–то иная наука. Какая, математик не знает, потому что это – не его дело. Математик – не знаток. Поэтому даже в своём деле математики мало что знают. Зато смыслят много.
2 х 2 = ?
Самый простой, а потому и самый неожиданный парадокс “математики” – это что дважды два – не четыре. Точнее, парадокс даже не в этом. Он как раз в том, что математики не умеют умножать. Это ведь уму непостижимо! Кто же тогда умеет?
Пока что не будем говорить о тех, кто умеет умножать. Покажем, что математики действительно не знают, что такое умножение. Если нам это удастся, то тем самым мы докажем, что 2 х 2 – вовсе не 4.
То, что в математике именуется умножением, на самом деле является упрощённой записью сложения. То есть по сути математическое умножение на самом деле – всего лишь сложение. Поэтому математическое умножение всегда можно записать как сложение. И только в этом случае, т.е. когда 2 и 2 складываются, а не умножаются, мы получим 4. Если же речь идёт об умножении, то тут уже математических правил сложения мало. Тут уже надо знать законы умножения того, что умножается. Например, если дважды умножаются две крольчихи, то итог может быть умопомрачительным даже для самого твердолобого математика, потому что одна крольчиха за один раз умножается до двух десятков. Крольчат, разумеется. Представляете, у кролей математика такая: 1 х 1 = 20. Поэтому 2 х 2 = 80. А кто говорил, что четыре?
У людей 1 х 1 может быть и 1, и 2, и 3, и 4, и 5, и 6, и 7... И, к сожалению, даже 0.
1 : 1 = ?!
Было бы несправедливо, сказав об умножении, промолчать о делении. Тем более, что здесь у математиков положение ничуть не лучше.
Математики думают, что деление – это операция, обратная умножению. И, естественно, ошибаются, причём сразу дважды. Во–первых, потому, что деление – это на самом деле умножение. Далеко за примерами не будем ходить, возьмём деление клеток. Что получаем в итоге деления одной клетки? Правильно, две клетки. То есть в два раза больше, чем было до деления. Во вторых, потому, что деление – не дробление на произвольное количество равных дробей, а, как уже можно было догадаться, удвоение. Или – раздваивание, потому что существительное “доля” – от существительного “два”. Не от числительного, а от существительного. Именно поэтому один никак не делится на один. И это уже не парадокс, а укор.
мнимая единица!
Кому охота признавать свою беспомощность? Неохота и математикам. Поэтому когда они столкнулись с необходимостью извлечь квадратный корень из минус единицы и не смогли это сделать, то пошли на хитрость. Они придумали мнимую единицу, которая при возведении во вторую степень даёт минус единицу. И здесь они тоже совершили две ошибки. Во–первых, они не заметили, что в математике все единицы – мнимые, хотя и именуются действительными числами. Никто ведь из математиков не знает, что значит, один и почему он так похож на раз. А их, т.е. математические, единицы – чистейшей воды выдумки. Во вторых, они забыли, что извлечение корня – это действие, обратное возведению в степень. В свою очередь, возведение в степень – это ещё один способ упрощения записи сложения. Из–за этой роковой забывчивости, именуемой философами абстрагированием, математики вынудили сами себя хитрить там, где никакой хитрости не надо, и в итоге усложнили и без того сложную “математику” так называемыми комплексными числами, состоящими из мнимых чисел, именуемых действительными, и мнимой единицы, называемой мнимой.
Что можно сказать о мнимой единице? По существу, это – единственное знание, которым обладает “математика”. Правда, она его до конца не знает, а лишь обладает им. То есть математика не знает, что мнимая единица – это половина с минусом. Или минус одна вторая. Но это незнание ничуть не мешает математикам получать из мнимой единицы путём возведения её в квадрат минус единицу. Точно так же тем же математикам, когда они не на работе, ничуть не мешает незнание того, как умножаются люди, с успехом осуществлять это умножение. И наоборот, самые запутанные и только математикам понятные математические теории ничуть не мешают жить людям. Правда, они мешают математикам стать людьми. И в этом – самый трагичный парадокс “математики”.
Великая теорема Ферма
Французский математик Ферма записал уравнение: а в степени n + b в степени n = с в степени n. И на полях той же книги, где записал своё уравнение, отметил, что решение этого уравнения элементарно. С тех пор математики его и ищут, это доказательство. Точнее, любое доказательство. И многие сомневаются, что таковое вообще существует. Но Ферма не шутил и не ошибался. У этого уравнения, именуемого теоремой П.Ферма, доказательство действительно элементарное.
Первое, что буквально бросается в глаза, это то, что при n=2 теорема Ферма превращается в теорему Пифагора. Но теорема Пифагора – это теорема об отношении гипотенузы к катетам прямоугольного треугольника, и это отношение выражается нецелыми числами. Есть лишь одно исключение – так называемый египетский треугольник, у которого стороны a, b и c относятся друг к другу как целые числа 3, 4 и 5. Три в квадрате плюс четыре в квадрате равны пяти в квадрате. Правда, три в кубе плюс четыре в кубе уже не равны пяти в кубе. Три в четвёртой стенени плюс четыре в четвёртой степени тоже не равны пяти в четвёртой степени. И так далее. Здесь сразу напрашивается предположение, что при увеличении степени n больше двух мы уходим от прямоугольных треугольников, включая и египетский, поэтому где–то должен быть такой непрямоугольный треугольник, для которого справедливо уравнение Ферма. А, возможно, его и нет нигде. Но это надо ещё проверить, поэтому будем проверять. И, говорят, уже проверены числа до 100 000. Осталось совсем ничего – вся математическая бесконечность. И, конечно же, эта проверка вряд ли похожа на ту простоту, которую имел в виду П.Ферма. Но самое смешное состоит в том, что она и не нужна. Не нужны эти дебри вычислений, в которых пропадают лучшие математические умы и бездны машинного времени. Дростаточно увеличить всё тот же египетский треугольник в два, в три, в четыре раза, чтобы получить новые решения Великой теоремы Ферма. С другой стороны, стоит немножко иначе взглянуть на числа, чтобы убедиться, что других решений и не существует. Достаточно вспомнить, что все числа – это производные от одного числа. И от второго. Один и два – это всё, от чего происходят числа. Иначе говоря, у всех без исключения чисел – одни и те же основания, и все без исключения числа сводятся к этим двум. Или к одному из двух. Следовательно, всё, что свойственно этим двум числам, свойственно и всем остальным, и все те действия, которые мы можем производить с ними, мы можем производить и со всеми остальными, т.е. производными, а также наоборот. Отсюда и проистекает простота гениальных вычислений. В том числе – и доказательства Великой теоремы Ферма.
В уравнении Ферма а мы заменяем единицей. Тогда b там станет двойкой, а с – не меньше тройки. При n = 1 уравнение Ферма верно: 1 + 2 = 3, но при n = 2 мы получаем 1 + 4 = 9, что, конечноже, не так. При n = 3 мы имеем 1 + 8 = 27, что тоже не то. Причём здесь мы уже видим, что дальнейшее увеличение n лишь увеличивает неравенство левой и правой частей, потому что 1 + 4 лишь в два с небольшим раза меньше 9, а 1 + 8 – уже в три с небольшим раза меньше 27.
Если мы а заменим на 2, b у нас будет равно 3, а с – 4. При n = 1 мы получаем неравенство: 2 + 3 = 4; при n = 2 – тоже: 4 + 9 = 16; при n = 3 – тоже: 8 + 27 = 64. И здесь чем больше n, тем больше неравенство левой и правой частей уравнения.
При а = 3 b = 4, a c = 5. При n = 1 мы имеем неравенство, так как 3 + 4 = 7, а не 5, но при n = 2 – равенство: 9 + 16 = 25. Исключение? Возможно. Значит, надо проверять дальше. При n = 3 – опять неравенство: 27 + 64 = 91, а не 125. И дальше – ещё хуже. Да ещё и дальше.
При а = 4 b = 5, а с = 6. При n = 1 получается неравенство, так как 4 + 5 = 9, а не 6. При n = = 2 – тоже, так как 16 + 25 = 41, а не 36. 64 + 125 = 189, а не 216. И опять дальше – хуже.
5 + 6 = 11, хотя по нашему условию должно быть 7. 25 + 36 = 61, а не 49. 125 + 216 = 341, а не 336. 625 + 1296 = 1921, а не 2352.
И здесь уже можно сделать сам собой напрашивающийся вывод, что сумма третьей и более степени любых чисел не равна той же степени суммы тех же чисел. И с этим не будет спорить ни один математик мира. Но с может быть и не равно a + b. Да и b может быть больше или меньше а на сколько угодно. Может быть, в этом случае существуют такие b и c, которые удовлетворяют уравнению Ферма? И математики, вооружившись компьютерами, проверяют эту версию.
А мы поступим иначе. Мы, наконец, выясним, с чем имеют дело математики. Они говорят, с числами. А что есть число?
Математически число есть... Математики утверждают, что число есть точка на числовой оси. И сейчас нам придётся доказать, что это утверждение, мягко говоря, ошибочно. Для этого мы возведём некоторое число в степень. Например, во вторую. По сути вторая степень любого числа – это упрощённая запись умножения числа на самоё себя. Называется эта вторая степень квадратом. Прочему квадратом? Точнее было бы назвать её площадью квадрата, потому что семь во второй степени – то же самое, что площадь квадрата со стороной семь. Чего семь, неважно. Важно то, что семь – это линия, а не точка на линии.
Вот такое простое доказательство. И для нас, а ещё больше – для математиков оно важно потому, что даёт, наконец, понять, что числа – это не математические абстракции и условности, а их степени – вполне осязаемые, а не только умозримые вещи. Правда, чтобы это понять, надо отвлечься от традиционной умственной, надуманной, искусственной математики, надо суметь выйти из плена её стереотипов. И помочь нам в этом может только язык.
Мы уже знаем, что вторая степень числа – это площадь квадрата. Несложно догадаться, что третья степень числа или его куб – это объём. Сложнее понять, что четвёртая степень числа – это прямоугольная призма, в основании которой – квадрат. Иначе говоря, это удвоенный куб или прямоугольный объём. Пятая степень – это тоже не какое–то фантастическое пространство, а квадратная плита толщиной в исходное число. Шестая степень – это куб второй степени, если считать первый куб кубом первой степени.
После такой математической подготовки уже можно говорить о сути Великой теоремы Ферма. И она такова. Среди целых чисел есть только один набор из трёх квадратов, удовлетворяющий Теореме, хотя найти два квадрата, сумма площадей которых равна площади третьего квадрата – не проблема. Точно так же легко можно найти два куба, сумма объёмов которых равнялась бы объёму третьего куба. Ну, и так далее. То есть на уровне механики Великая теорема Ферма имеет множество решений, но не в целых числах.