Циклоида (анимация) – http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Animation4
ПАРАДОКС АРИСТОТЕЛЕВО КОЛЕСО
ВСЕ ДЛИНЫ РАВНЫ
Единственная настоящая ошибка –
не исправлять своих прошлых ошибок.
Конфуций
(Афоризмы, цитаты, высказывания великих людей)
http://www.wisdoms.ru/112.html
«Самый хитроумный из всех связанных с колесом парадоксов сравнительно мало известен, хотя это и может показаться странным, если вспомнить, что впервые он был упомянут ещё в написанной на греческом языке «Механике». Этот труд обычно приписывают Аристотелю, но скорее всего он был создан кем-то из его учеников, живших позднее. О «колесе Аристотеля», как обычно называют этот парадокс, написано множество работ, среди авторов которых фигурируют такие выдающиеся математики, как Галилей, Декарт, Ферма и др. (…)
Предположим, что большее колесо катится без скольжения по прямой АВ. В каждый момент времени, когда та или иная точка на ободе большого колеса касается линии АВ, некая вполне определённая точка на ободе меньшего колеса соприкасается с прямой CD, Другими словами, все точки меньшей окружности можно привести во взаимно однозначное соответствие с точками большей окружности. При этом ни на одной из окружностей не остаётся «свободных» точек. Это рассуждение, казалось бы, доказывает, что обе наши окружности имеют одинаковую длину.
Колесо Аристотеля тесно связано с известными парадоксами движения Зенона и нисколько не уступает им по глубине. Современных математиков, однако, этот парадокс никак не ставит в тупик, поскольку им известно, что (…) точки отрезка длиной в 1 см могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие с точками прямой линии длиной в 1 млн. км или даже с точками линии бесконечной длины. (…) Конечно, до Кантора математики не были знакомы с необычными свойствами трансфинитных чисел, и потому так занятно читать теперь об их тщетных попытках разрешить парадокс колеса» (Гарднер М. Крестики – нолики: Мир, 1988. – гл. 1, с.6, )
РЕШЕНИЕ
Вывод о равенстве окружностей большего и меньшего радиуса был сделан из двух посылок:
1. длины всех параллельных отрезков с концами, лежащими на прямых, проходящих перпендикулярно к прямой AB через центры окружностей №1 и №9, равны между собой (La1 b9 = Lc1 d9);
2. путь, который проходит точка окружности любого радиуса на колесе между двумя соприкосновениями с одной и той же параллельной АВ касательной к этой окружности через данную точку, приравнивается к длине окружности этого радиуса;
Следовательно, если длины отрезков 1 - 9 на прямых AB, CD и параллельных им (например, La1 b9 или Lc1 d9), которые отражают пройденное расстояние точками окружностей разных радиусов на колесе (обода и меньших окружностей) между начальной и конечной точками движения колеса, равны между собой, то и окружности разных радиусов тоже равны между собой, потому что эти пути тождественны длинам окружностей соответствующих радиусов.
Но в это рассуждение прокралась та же логическая ошибка, что и у Зенона: подмена основания, а точнее подмена «точки опоры выводов».
Исходя из того, что точки окружностей меньшего и большего радиуса, расположенных на катящемся диске, проходят одинаковое РАССТОЯНИЕ от точки a1 к точке b9 делается вывод о равенстве длин ПУТЕЙ самих точек в виде дуг (циклоид). Но даже визуально можно заметить, что одна дуга не равна другой, то есть одна длиннее, другая короче, и обе они не равны по длине расстоянию a1 b9. И чем меньше радиус окружности на поверхности диска, тем сильнее длина её циклоиды (дуги), будет приближаться к длине отрезка, который проходит центр диска, то есть центр всех возможных окружностей, расположенных на диске. Только этот отрезок по длине равен отрезку a1 b9.
Ошибки рассуждения в том, что:
1) длины путей, пройденных центрами окружностей разных радиусов между начальным и конечным пунктами движения колеса, приравниваются к длине расстояния между этими пунктами (длина a1 b9) и к соответствующим длинам самих окружностей;
2) длины траекторий движения точек окружностей разных радиусов приравниваются к длинам расстояний, пройденных центрами этих окружностей между конечными и начальными пунктами движения диска (длина расстояния a1 b9 или c1 d9, а также других).
Поэтому выходит, что раз длины путей (траекторий движения точек) одинаковы, что не так, то и длины окружностей одинаковы, что тоже не так, а, значит, и сами окружности одинаковы, что совсем не так.
Длина расстояния между начальным и конечным пунктами, между которыми катится диск (a1 b9), совсем даже не совпадает с длинами путей (траекторий движения), проходимых точками окружностей разных диаметров. А те, в свою очередь, не совпадают между собой. Отрицание этого есть ошибка. Она аналогична той, что заключена в апориях Зенона, когда отрицается различие части пути и всего пути. Только центр всех окружностей, центр колеса, проходит путь той же длины, что и расстояние между пунктами a1 и b9.
Проще говоря, можно ехать в Москву из Нижнего Новгорода через Владимир, а можно через Архангельск или Астрахань. Расстояние от Нижнего до Москвы остаётся неизменным, но пути, которые придётся по трём указанным маршрутам проехать далеко не одинаковы. Следовательно, и радиусы территорий этих городов не одинаковы, а, значит, эти города разные. Шутка:).
Таким образом, прежде чем утверждать о равенстве или различии каких-либо вещей или явлений, нужно убедиться в равенстве критериев и подхода к проведению такого сравнения.
02.03.2011