=====================
1 июля 2016
=====================
«Я нашел поистине сказочное доказательство этой замечательной теоремы, но, к сожалению, места на полях недостаточно, чтобы привести его здесь» /П.Ферма/.
========================
Памяти МАМЫ
В фонд Болотных митингов
========================
Теорема Ферма. Доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.
Обозначения и простейшие леммы:
A' – последняя цифра числа A; A_[t] – t-значное окончание числа A.
L.1. Лемма 1. A'=A^n'. Следствия: если A_[t]=B_[t], то A^n_[t+1]=B^n_[t+1]; и наоборот.
L.2. Следствие 1. A^n_[2]=A'^n_[2], A^{nn}_[3]=A'^{nn}_[3], A^{nnn}_[4]=A'^{nnn}_[4],
... A^{n^k}_[k+1]=A'^{n^k}_[k+1].
L.3. Следствие 2. Если A_[2]=b^n_[2], то A^n_[3]=b^{nn}_[3] и A^{n^k}_[k+2]=b'^{n^(k+1)}_[k+2].
L.4. Лемма 2. Если a'=/=0, то существует такое g_[2], что a_[2]*g_[2]==2^n_[2] (mod n^2).
Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где A'=/=0,
1°) A^n=C^n-B^n и A^n=(C-B)P, где, как известно,
1a°) C-B=a^n [и P'=1 и P_[2]=01];
1b°) (A+B-C)_[2]==0 (mod n^2) (простое следствие из малой теоремы Ферма);
1c°) A_[2]=a^n_[2] (следствие из 1b° и 1a°); следовательно (см. L.3)
1d°) A^n_[3]=a^{nn}_[3].
Доказательство ВТФ
Умножим равенство 1° на g^{nn}, где g есть решение уравнения в L.4. При этом обозначения всех чисел с новыми значениями оставим для удобства прежними. Теперь
2°) a_[2]==A_[2]==A^n_[2]==a^n_[2]==(C-B)_[2]==2^n_[2] (mod n^2).
Поскольку в 1d° a_[2]=A^n_[2], то, согласно L.3, A^n_[4]=A^{nnn}_[4]. Далее аналогично:
поскольку в числе A^{nnn}_[4] A_[2]*a^n_[2], то теперь A^n[5]=a^{n^4}_[5], где снова a_[2]=A^n [2]
и мы делаем следующую подстановку. И так до бесконечности.
То есть числа A и a бесконечны и равенство 1° невозможно. ВТФ доказана.
Мезос, 1 июля 2016
===============
Удобочитаемый текст в Worde: