В каждой шутке есть доля шутки
Не может быть! И все-таки... 37. Полное доказательство Великой теоремы Ферма
Допустим, что для взаимнопростых натуральных a, b, c (c>a>b) и n>2 существует равенство:
1°) a^n+b^n=c^n, где, как известно, a-b>1.
Тогда число
2°) D=c^n+a^n=a^n+b^n+a^n, или
3°) 2a^n+b^n является суммой двух n-х степеней (см. D).
Однако совершенно очевидно, что ни при каких целых значениях чисел a и b этого быть не может, ибо число b^n является n-й степенью при любом b, в то время как число 2a^n не является n-й степенью ни в каком случае.
Таким образом, равенство 1° в целых числах не существует. ВТФ доказана.
(14 сентября 2010)
***
Показать неприменимость доказательства к случаю n=2 предоставляется читателям. Скажу лишь, что в этом случае, как известно, число a-b=1 и равенство Ферма сводится к виду: 2ab+1=c^2. И теперь число 4ab+1 может быть суммой квадратов, а сам случай n=2 является, так сказать, посторонним для Великой теоремы.