Я о ней узнал еще когда учился в школе. Я тогда, помимо множества других вещей, увлекался также философией и теорией познания. Вот оттуда-то я и почерпнул сведения о теореме Геделя. С точки зрения философа она означает, что ни одна отрасль знания не способна изучать саму себя своими собственными методами. Ее должна изучать некая более широкая мета-теория. С ней дело обстоит точно так же, и образуется такая бесконечная "матрешка" мета-теорий. Звучит это очень разумно и убедительно. Я был несколько шокирован, когда некий математик удивился, а при чем здесь теорема Геделя? Это же теорема, касающаяся только арифметики.
На этой же теореме Дуглас Хофштадтер [1] основывает свой магический трюк, который должен был бы если не обосновать, то хотя бы проиллюстрировать как сознание могло бы быть порождено материей.
Только позднее, когда я начал самостоятельно разбираться в ее доказательстве (см. напр. [2]), я тоже понял, что философы трактуют эту теорему слишком расширительно. Однако, ее расширенная формулировка вряд ли вообще может быть доказана. Давайте посмотрим, что об этом утверждает,например , Википедия.
"Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, включающей формальную арифметику), существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни ¬F не являются выводимыми в этой теории."
и далее
"Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть."
Я не буду сейчас критиковать фразы типа "достаточно богатой", а только обращу внимание, что в формулировке теоремы явно присутствует формальная арифметика, а в пересказе "своими словами" уже говорится о любой теории.
Упоминание об арифметике - существено! Центральной частью доказательства теоремы Геделя является диагональный процесс Кантора. В математике, насколько мне известно, он нужен лишь в теории множеств, во время доказательства несчетности множества всех подмножеств счетного множества [3]. Так например, натуральный числовой ряд - счетное множество, его элементы можно перечислить, а вот все подмножества натурального ряда перечислить уже нельзя - это несчетное множество. Обычно мощность несчетного множества считается совпадающей с мощностью континуума.
Тут у меня возникает жуткое подозрение - если я неправ, пусть математики меня поправят!
Гедель доказал всего лишь следующее: арифметика изучает свойства чисел, образующих перечислимое (счетное) множество. Но предмет арифметики составляют те или иные утверждения о числах. Множество всех утверждений о числах невозможно перечислить, поскольку оно составляет уже несчетное множество. Это-то и доказал Гелель, пользуясь диагональным процессом Кантора. А раз так, то утверждения о числах невозможно изучать методами арифметики, поскольку их перенумеровать невозможно.
По-моему, утверждение совершенно тривиальное, и уж восхищаться тут точно нечем! А вот попытка доказательства того, что множество утверждений математического анализа, к примеру, который уже работает с несчетными множествами, невозможно изучать методами математического анализа, потерпит фиаско! Однако, философы в своей расширительной трактовке теоремы Геделя, уверены именно в том, что она как раз утверждает, что изучать конструкции математического анализа методами математического анализа невозможно.
Кстати, я и не утверждаю, что возможно! Но для этого надо доказать какую-то другую теорему! А теорема Геделя приложима лишь к дисциплинам, изучающим перечислимые множества.
Литература.
1. Д. Хофштадтер, Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда, Самара, Бахрах-М, 2001
2. В. А. Успенский, Теорема Гёделя о неполноте. «Популярные лекции по математике» М.: «Наука», 1982 г.
3. П.С. Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука, 1977, с. 31-32