В шаре (и продуктах его непрерывной трансформации), любые две точки можно соединить геодезической кривой (кратчайшей линией, т.е. - не поддающейся непрерывной деформации в ещё более короткую) - и только одной (остальные - сводятся к ней непрерывной деформацией).
В торе (и продуктах его непрерывной деформации), любые две точки можно соединить двумя (ровно двумя) геодезическими кривыми, в общем случае - различной длины.
Попросту, кроме действительно кратчайшей кривой, можно ещё и через весь тор кривую "протянуть" - и её - тоже ведь непрерывными деформациями не сократишь ;) А все остальные - можно свести к одной из этих двух непрерывной деформацией.
Я бы - разделил "сводимый к шару" и "сводимый к тору" именно так.
А, говорят, Пуанкаре и Перельманы - именно над этой "проблемой" заморачивались...
Ну... с другой стороны, топология - оч далека от области моих математических интересов. Могу допустить, что в их заморочках есть какой-то смысл, что они не делают вещи просто - не просто так.