Сказочное преобразование равенства Ферма
Красоту науки может понять лишь тот, кто на максимуме умственного напряжения просидел несколько дней к ряду над решением какой-либо логической проблемы. Именно для них я публикую этот материал.
Правильное представление задачи – это уже половина ее решения. И вот на днях я увидел равенство Ферма из Великой теоремы в необычайном ракурсе, позволяющем ПОНЯТЬ проблему. Всего-то два простейших преобразования, и свойства равенства становятся просто наглядными. Возможно, новое представление равенства позволит приблизиться к разгадке величайшей из тайн человеческой мысли...
==============
Представление основанно на простейших леммах:
Лемма 1. Если сумма взаимнопростых чисел p (>1) и q (>1) не кратна простому n>2, то числа p+q и (p^n+q^n)/(p+q) взаимнопростые. (Если p+q кратно n, а p и q не кратны n, то число (p^n+q^n)/(p+q) содержит один сомножитель n и, кроме этого, еще какие-то сомножители.)
Лемма 2. Если натуральные числа p (>1) и q (>1) взаимнопростые, то существует бесконечное множество таких t, что числа q^t-1 делятся на p, т.е. q^t-1=pg. (Примечание: вместо этой леммы с равным успехом можно использовать формулу решения линейного диофантова уравнения, что, по-видимому, и сделал П.Ферма.)
Введем также обозначение: A_1 – последняя цифра в числе A.
***
Допустим, что для натуральных и взаимнопростых A, B, C (C>A>B>0) и простого n>2 возможно равенство
1°) A^n+B^n=C^n, где
2°) U=A+B-C.
3°) Хорошо известно, что число U не имеет отличных от n общих сомножителей с числами (A^n+B^n)/(A+B), (C^n-A^n)/(C-A), (C^n-B^n)/(C-B).
Представим число B в виде: B=B*+U, и теперь
2a°) U=A+B-C=A+(B*+U)-C>0 и
4°) A+B*-C=0.
В качестве числа q из Леммы 2 возьмем отличный от n простой сомножитель числа C и с помощью умножения равенства 1° на g^n (тоже из Леммы 2) приведем число U к виду
5°) U=q^t-1, и теперь B=B*+U=B*+q^t-1.
Прежде всего отметим, что число C, следовательно и числа A+B* и C^n, делятся на q. Следовательно, делятся на q и числа
6°) A^n+B*^n [что естественно, т.к. (A_1+B_1)_1=0] и
7°) A^n+(B*+q^t-1)^n-C^n [т.к. A^n+(B*+q^t-1)^n-C^n=0 и (C^n)_1=0]).
Так как число q^t в формировании последних цифр в числах 6° и 7° не участвует, то при вычислении этих цифр число q^t можно в расчет не принимать.
Таким образом, и число
6a°) D=A^n+B*^n – с суммой оснований (A_1+B*_1)_1=0, и число
7a°) E=A^n+(B*-1)^n – с суммой оснований (A_1+B*_1-1)_1=-1 оканчиваются на ноль (т.е. в базе q делятся на q).
И здесь вполне логично возникает вопрос:
А не являются ли числа D и E взаимнопростыми?
Если ДА, то Великая теорема Ферма доказана.
=================
P.S. Всё гораздо проще:
см. http://www.proza.ru/2008/07/08/49