В.Л.Васюков
Метафора в прагматических матрицах
В статье рассматривается алгебраическая теория метафоры в пропозициональных языках, основывающаяся на так называемых прагматических матрицах - алгебраической конструкции, введенной М.Токажем в [1]. Вводится понятие предструктурной операции присоединения следствий, самоинтенсиональности логики и доказывается ряд теорем (в частности, теорема представления).
Понятие кореференциальности алгебраически изучалось с помощью специальной семантической конструкции, называемой референциальной матрицей, введенной в работе Р. Вуйчицкого в 1979 г. [2]. Обобщение референциальных матриц, так называемые прагматические матрицы (введенные в [1] М.Токажем), позволяет изучать не только кореференциальность, но также и синонимию в пропозициональных языках с прагматической точки зрения. Согласно [1, c. 93] разница между этими понятиями заключается в следующем.
Если предложение А высказываемое в ситуации а описывает факт, то есть, если ситуация описанная А (в а) действительной имеет место в реальном мире, то говорят, что А истинно (в а). Следовательно, существуют по меньшей мере два способа определения значения предложения в прагматике: согласно первому, значение А может быть определено как функция из множества ситуаций в {0,1}, имеющая значение 1 точно для тех ситуаций, в которых А истинно; согласно второму, значение А может определяться как функция из множество ситуаций в ситуации, принимающая для аргумента а значение b точно в том случае, когда А, будучи высказанным в ситуации а, описывает ситуацию b. Ясно, что эти два понятия значения не эквивалентны. Будем говорить, что предложения А и В кореференциальны, если их значения совпадают в первом случае, и синонимичны, если их значения совпадают во втором случае. Формальное определение выглядит следующим образом.
Под пропозициональным языком мы будем понимать абсолютно свободную алгебру S=<S,F1,...,Fn>, свободно порожденную счетным множеством, скажем {v1,v2,...}; Fi предполагается ki-местной. Структурное присоединение следствий будет называться логикой.
Пусть A=<A,f1,...,fn> , будет алгеброй, подобной S, и пусть D будет каким-либо семейством подмножеств А; тогда пара M=<A,D> будет называться обобщенной матрицей для S. Матрицы <A,D> и <B,E> называются изоморфными, тогда и только тогда, когда существует изоморфизм i из A на B, такой, что для любого X; A, X; D тогда и только тогда, когда i(X); E. Каждая матрица однозначно определяет логику в S, обозначаемую CnM; CnM определяется следующим образом: для каждого B; S для каждого X; S
B; CnM(X) тогда и только тогда, когда " h; Hom(S,A)" D; D[hX; D® hB; D].
Под референциальной алгеброй (для S) понимается любая алгебра R=<R,f1,...,fn>, подобная S, такая, что для некоторого множества U; ; , R является подмножеством множества всех функций из U в {0,1}. Для любого a; U мы полагаем Da=df {r; R:r(a)=1}и пусть D=df {Da:a; U}. Тогда пара R=<R,D> является обобщенной матрицей, называемой референциальной матрицей для S (над U).
Пусть T будет подмножеством U, называемым множеством фактов. Под прагматической алгеброй для S (над U) мы понимаем алгебру формы P=<P,f1,...,fn>, подобную S, где P является непустым подмножеством множества всех функций из U в U; P; UU. Под прагматической матрицей для S (над P,T) мы подразумеваем алгебру формы P=<P,D>, где D=df {Da:a; U}, Da=df {p; P:p(a); T}.
Будем говорить, что формулы А и В кореференциальны в P относительно h, символически , тогда и только тогда, когда для каждого a; U,h(A)(a); T тогда и только тогда, когда h(B); T (см. [1, p. 96]). Мы будем говорить, что язык S является экстенсиональным относительно к P, символически P; Ext(S), тогда и только тогда, когда для каждого h; Hom(S,P), для каждого i; n
влечет
А и В являются синонимами в P относительно h, символически , если h(A)=h(B); и S сильно экстенсионально относительно P, символически P; Ext(S), если для всех h; Hom(S,P). Классы Ext(S) и Ext(S) не совпадают; следовательно, поскольку очевидным образом всегда содержится в , Ext(S); Ext(S).
В духе нашего предыдущего рассмотрения, мы будем говорить, что формулы А и В подобны по смыслу в P относительно h, символически , тогда и только тогда, когда для некоторого (по меньшей мере одного) a; U, h(A)(a); T тогда и только тогда, когда h(B); T. Мы будем говорить, что язык S интенсионален относительно к P, символически P; Int(S), тогда и только тогда, когда для каждого h; Hom(S,P), для каждого i; n
влечет
А и В метафоричны в P относительно h, символически , если codomain(h(A)); codomain(h(B)); ; ; и S сильно интенсиональна относительно P, символически P; Int(S), если для всех h; Hom(S,P). Ясно, что Int(S); Int(S).
Ясно, что если формулы А и В синонимичны, то они также и метафоричны, однако обратное неверно. В подобной ситуации возникает следующая проблема: до какой степени (если это имеет место) метафоры будут, вообще говоря, независимы и самоопределимы.
Напомним, что операция присоединения C следствий называется структурной [33, p. 9] тогда и только тогда, когда для каждой подстановки е и для каждого X; S
eC(X); C(eX).
Определим теперь, что присоединение следствий С будет предструктурным (символически С*) тогда и только тогда, когда для каждого X; S существует (по меньшей мере одна) подстановка е, такая, что выполняется вышеприведенное условие. Очевидно, что структурное присоединение следствий является предструктурным, но не наоборот.
Для предструктурного присоединения следствий C*(X)=C*(Y) означает, что как C*(X), так и C*(Y) замкнуты относительно некоторой (по меньшей мере одной) подстановки e; End(S) (т. е. относительно некоторого эндоморфизма S). Однако, это должно означать, что из C*(X)=C*(Y) и C*(Y)=C*(Z) мы не можем заключить, что C*(X)=C*(Z), потому что C*(X) и C*(Z) (возможно) замкнуты относительно разных подстановок. Единственный способ обойти эти трудности заключается во введении отношения # (“то же самость”) на множестве предструктурных присоединений следствий (вместо =), которое очевидным образом является рефлексивным, симметричным и интранзитивным отношением. Таким образом, мы определяем, что C*(А) является тем же самым, что и C*(В) (символически C*(А)#C*(B), если C*(А)=C*(В) для некоторой подстановки e; End(S).
Логика C называется самоэкстенсиональной, если для всех формул A,B,D; S из C(А)=C(В) следует C(D[A/v1])=C(D[B/v1]); попросту говоря C самоэкстенсиональна, если логически эквивалентные формулы взаимно подстановимы. Мы будем говорить, что логика C* самоинтенсиональна, если для всех формул A,B,D; S из C*(А)#C*(В) следует C*(D[A/v1])#C*(D[B/v1]) (т. е. C* самоинтенсиональна, если логически эквивалентные формулы взаимноподставимы только в некотором специальном случае, когда они представляют ту же самую формулу). Однако мы должны ввести ограничения, природа которых очевидна: D не должна быть антитавтологией (т. е. отрицанием тавтологии) либо пропозициональной переменной, v1 не должна быть пустой переменной (т. е. она должна в явном виде фигурировать в D). Следующее предложение следует непосредственно из определений:
Предложение. Все самоэкстенсиональные логики самоинтенсиональны.
Следующий шаг заключается в модификации теоремы представления из [1, p. 95].
Теорема представления. Для каждой логики C* в существует прагматическая матрица P, слабо адекватная C*, т. е. такая, что .
Доказательство. Согласно [1] канонический изоморфизм определяется следующим образом. Мы полагаем U=2S, T={S-{A}: A; S} и для A; S, X; S мы определяем
и для каждого i=1,...,n
Мы полагаем P=<P,D>, где P=<P,f1,...,fn>, P={pA: A; S}. Пусть h0:S® P будет каноническим морфизмом, т. е. таким, что для всех i; w . Тогда (см. [1, p. 95]) для каждого h; Hom(S,Р) существует подстановка е, такая, что .
Чтобы доказать , нам нужно рассмотреть включение справа налево, поскольку доказательство обратного остается таким же, как и в [1]. Предположим, что A; C*(X) и что hX; DY для некоторого Y; S , т. е. h(B)(Y); T для всех B; X. Согласно вышеизложенному, существует такая e:S® S, что h0(eB)(Y)=peB(Y); T, для всех B; X, т. е. eB; C*(Y) для всех B; X , таким образом eX; C*(Y). Ввиду того, что каждое C* является предструктурным, eA; C*(eX) для некоторого e (т. е. замкнуто по e); таким образом eA; C*(Y). Наше рассмотрение теперь становится “относящимся” только к тем C*, которые замкнуты по e. Следовательно, h(A)(Y)=h0(eA)(Y)=S-{eA}; T. Отсюда h(A); DY , и. ч.т.д.
Немедленным следствием доказательства теоремы представления является то, что предыдущее определение CnM в случае предструктурного присоединения следствий нуждается в следующем ослаблении: для каждого B; S для каждого X; S
тогда и только тогда, когда $ h; Hom(S,A)" D; D[hX; D® hB; D].
Теорема самоинтенсиональности. Если P; Int(S), то является самоинтенсиональной.
Доказательство. Из определения интенсиональности S следует, что если , то для некоторой D; S, (используя индукционный аргумент). Следовательно, поскольку влечет для некоторого h. то для некоторой D; S, , что и завершает доказательство.
Когда A=<A,f1,...,fn>, есть алгебра, подобная S и M=<A,D> является обобщенной матрицей, мы полагаем . Очевидно, что для всех M, .
Теорема метафоричности. Для каждой референциальной матрицы R существует прагматическая матрица P; Int(S), такая, что изоморфна .
Доказательство. Как в [1, p. 96] пусть и пусть . Положим , и для каждого мы определяем
Для i=1,...,n мы получаем . Пусть теперь множеством P будет <Р,D>, где , , . Мы определяем I:R® P как . Согласно [1, p. 96] I является матричным изоморфизмом на .
Нашей целью является показать, что P; Int(S). Предположим, что , т. е. для некоторого ) a; U, h(A)(a)=w1 тогда и только тогда, когда h(B)(a)=w1. Функции из P двузначны, следовательно codomain(h(A)); codomain(h(B)); ; , то есть . Таким образом мы доказали, что . Отсюда P; Int(S).
Следствие. Для каждой логики C* следующие условия эквивалентны:
для некоторой референциальной матрицы R,
для некоторой прагматической матрицы P; Int(S),
для некоторой прагматической матрицы P; Int(S),
C* самоинтенсиональна.
Заметим, что то, до какой степени алгебраическая теория метафоры является жизнеспособной, полностью зависит от логического обоснования - чтобы обосновать наше исследование, нам нужно указать (или построить) логические системы, использующие понятие метафоры (если таковые вообще существуют). Но этот вопрос не входит в нашу задачу, по крайней мере в данной статье.
Литература
1. Tokarz M. Synonimy in Sentential Language: a Pragmatic View, Studia Logica, 47, №2, 1988, pp. 93-97.
2. Wуjcicki R. Referential Matrix Semantics for Propositional Calculi, Bulletin of the Section of Logic, 8, №4, 1979, pp. 170-179.