...как любителю "Изящной арифметики"
________________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
Привет тебе, мой друг!
Много было обещанного, о чём я намеревался тебе рассказать. Однако трудно переходить от одной темы к другой, не зная как хорошо было усвоено тобою и другими читателями всё то, о чём я весьма пространно когда-то излагал. Да к тому же, хочется знать, насколько хорошо и доступно я сумел передать тебе свои знания в письмах.
Вот, к примеру, если вновь затронуть Основную теорему арифметики, коей было посвящено 4(!) моих письма (7-е, 8-е, 10-е, 11-е), то можно было бы указать на большое количество всевозможных доказательств (и весьма заумных в том числе) этого важного утверждения. Самые короткие и среди них так называемые "прямые" основаны, в первую очередь, на свойстве натурального числа, которое можно было бы назвать "замкнутостью". О таких "прямых" доказательствах я уже сообщал в 10-ом письме. В них используется лишь то свойство простого натурального числа, которое "позволяет" (согласно классическому определению) каждому простому числу одно-единственное разложение на два множителя: оно же само вкупе лишь с единицей.
Допустим, что у нас образовалось некое семейство всех множителей a,b,c...,m некоторого разложения какого-нибудь натурального числа n в произведение (по крайней мере, в количестве трёх чисел; некоторые множители могут оказаться одинаковыми, к примеру, b=m, - естественно, в виде одного и того же числа - например, три числа в виде 4-х множителей: ab·cb или a·(bb)c). Оказывается, любой другой порядок перемножения всех этих же чисел a,b,c...,m нашего семейства неизбежно приведёт к уже заданному числу n, и заодно обнаружится некоторое новое разложение его с теми же множителями (в частности, имеем ab·cb=a·(bb)c). Именно это свойство натурального числа, в связи с разложением на множители, мы будем называть "замкнутостью", обозначая такое разложение числа, как обычно, в виде некоторого сплошного ряда надлежащих букв abc...m=n без пробелов и без какого-либо указания на способ (порядок) перемножения как на нечто совершенно необязательное. При этом предполагается, что каждый любопытный человек (читатель) способен убедиться самостоятельно в такой замкнутости любого числа на основе переместительного и сочетательного законов: ab=ba, a·bc=ab·c. (Однако я тоже пока не буду снисходить до какого-либо обоснования этого; при удачной возможности я подскажу, как это обосновать, и заодно укажу на то, где об этом можно прочесть.) Более того, каждый множитель из данного семейства, как известно, является делителем числа n, и такое число, к примеру, n/b уже непосредственно (автоматически) разложится на множители a,c...,m из данного семейства, за исключением означенного множителя b. Если разложение числа n содержит несколько одинаковых множителей, в частности, равных множителю b (b=m), тогда в соответствующем разложении числа n/b количество таких же одинаковых станет меньше в точности на единицу, например: (ab·cb)/b=a(bc).
Итак, все простые и прямые доказательства Основной теоремы обычно опираются на свойство замкнутости числа и при этом начинаются с предположения об отсутствии однозначности полного разложения каких-нибудь чисел - от противного. В таком (противном) случае, существует число, у которого два его полных разложения образуют разные семейства простых чисел (множителей). Причём найдётся минимальное с таким "противным" свойством, которое имеет два разложения, не имеющих ни одного общего простого множителя (делителя в виде одного и того же числа), поскольку после сокращения всех общих простых множителей полученное меньшее число должно оказаться вновь с таким же свойством неоднозначности разложения, а тогда в силу свойства замкнутости чисел получилось бы противоречие. Однако, такая "двоякость" именно для минимального числа в связи с полным(!) его разложением на простые множители невозможна, так как в силу нашей Леммы о двух делителях одного числа (10-е письмо) "двоякость" разложения минимального числа вновь привела бы к противоречию с его же минимальностью. Стало быть, эта наша Лемма под влиянием свойства замкнутости натурального числа и у нас здесь приводит к простому (и, по существу, к прямому!) доказательству Основной Теоремы арифметики. По этой причине, пожалуй, мы могли бы такую Лемму назвать "Основной леммой арифметики!" и, более того, относительно двух натуральных чисел заранее (ещё до Леммы) ввести определение "сопричастности" (совместной делимости).
Определение. Числа k,m будут называться "сопричастными" или "совместными" (делителями),
__________ если при любом n из двух делимостей n//k, n//m следует делимость n//km.
Если воспользоваться уже известной альтернативной делимостью простого числа, то весьма легко убедиться в том, что любые два разных(!) простых числа являются сопричастными (совместными делителями). Однако мы напрямую уже доказали, по существу, даже обобщение Леммы о двух простых делителях, не опираясь на их свойство альтернативной делимости: любое заданное простое число и какое-нибудь другое, которое не делится на это же простое (т.е. когда они взаимно простые), составляют пару сопричастных чисел (совместных делителей). Более того, относительно простых чисел справедливо и обратное утверждение - из сопричастности (совместной делимости) какого-нибудь простого числа p вкупе с любым другим простым числом вытекает альтернативная делимость простого p - как уже известный факт, обнаруженный лишь в новой формулировке. Такие весьма важные и, можно сказать, основные свойства любого простого числа оказываются в качестве побочных результатов, непосредственно появляющихся в процессе, например, нашего прямого(!) доказательства Основной теоремы арифметики - появляются как очевидные следствия из "главной" теоремы.
В следующий раз, мой друг, я напишу о прямом обосновании равнозначности двух свойств: альтернативная делимость и сопричастность (совместная делимость) простых чисел. А заодно, и о других простых и прямых доказательствах Основной Теоремы арифметики (ОТА). Этим и будет заканчиваться 1-ая глава моей будущей "Изящной арифметики" с надеждой на то, что она (как первая ступенька некой лестницы) поможет тебе легко усвоить результаты так называемой "высшей" арифметики, а заодно и глубокие факты такой науки как теория чисел.
Всего доброго!
PS:
а) однако, ради справедливости (исторической), Основной Леммой арифметики можно было бы назвать утверждение о замкнутости натурального числа как вспомогательного к простому(!) доказательству Основной Теоремы арифметики;
б) на всякий случай, напомню свойство альтернативной делимости простого числа p: если uv//p, т.е. когда uv делится без остатка на p, тогда либо u//p, либо v//p.