На странице есть сокращённый вариант решения этого парадокса:
Бородатый брадобрей – решение парадокса Рассела
(http://www.proza.ru/2009/02/13/667)
Читайте также продолжение парадокса с новым условием:
Бритый брадобрей или снова о парикмахере
(http://proza.ru/2010/11/20/674)
глава из работы «Логические парадоксы. Пути решения»
ПАРИКМАХЕР
(Парадокс Рассела о цирюльнике, Парадокс брадобрея)
Анекдот в тему:
"Доктор, у меня борода не растёт.
- Ничего удивительного. Ведь вы - женщина.
- Что? Я ещё и женщина!?"
«Английский философ и логик Б.Рассел предложил следующий популярный вариант открытого им парадокса математической теории множеств.
Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера этой деревни: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, то он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только в том случае, когда он не бреет себя. Что, разумеется, невозможно.
Рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех её жителей, которые не бреются сами.
Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является всё-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский брадобрей, на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой нет в ней человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.
Рассуждение о парикмахере может быть названо псевдопарадоксом» Конец цитаты (3, c. 205 – 206).
РЕШЕНИЕ
Нет ничего проще, как назвать данную ситуацию невозможной и ложной, приклеив ярлык псевдопарадокса, как и в других подобных случаях. Но в таком случае следовало бы все парадоксы, или почти все, обозвать псевдопарадоксами и решить их все разом! Ведь не думает же кто-нибудь, что может в действительности существовать ситуация матери, спорящей с крокодилом, или составление каталога каталогов, или миссионера и людоедов или других. Значит, отрицание допущения не является выходом.
Из цитаты следует единственная истинная формулировка парадокса о парикмахере и, видимо, с точки зрения соответствия словам Б.Рассела, и с точки зрения валидности. Другие формулировки являются искажением исходной, о них далее.
Итак. Должен ли брить себя парикмахер (цирюльник), если он должен брить (тех и только тех) мужчин деревни, которые не бреются сами?
Ответить на поставленный вопрос можно только тогда, когда парикмахер будет отнесен к какому-либо классу: 1) либо к тем, кто «бреется сам»; 2) либо к тем, кто «не бреется сам». Попытаемся найти критерии такой классификации.
Точкой опоры понимания, основанием выводов и одновременно камнем преткновения в данной задаче является понимание, верная трактовка слов «бреются сами». Найдя истинное их понимание, получим истинное решение. Данные слова включают два аспекта:
1. временной – а) совет деревни относит к классу «бреются сами» всех мужчин, кто был отнесён к нему до момента определения обязанностей парикмахера – ПРОШЛОЕ; б) к этому классу относятся лишь те, кто подпадает под признаки определения класса в течение периода времени настоящего, включающего будущее относительно момента определения обязанностей, то есть время после него. Вариант настоящего, равного промежутку времени определения обязанностей парикмахера – СИЯ СЕКУНДА – не рассматривается из-за его несущественности для совета деревни, то есть из-за малой валидности. Ведь совет определяет обязанности парикмахера на будущее относительно всех мужчин, а данный вариант сужает границы класса (возможно до нуля) до количества бреющихся в момент заседания совета;
2. логический – отнесение к какому-либо классу на основании разных признаков: классы «бреется сам» и «не бреется сам» определяются по признаку а) начала бритья, поднесения бритвы; б) использования услуг парикмахера.
Таким образом, в случае 1-а, когда определение классов производится по ПРОШЛОМУ на основании любого признака бритья, ответ на вопрос будет зависеть от отнесения к одному или другому классу парикмахера, без изменения этой классификации в будущем. То есть: как раньше брился парикмахер – сам или не сам – к тем он и будет относиться. В случае 1-б уже необходимо рассмотрение признаков классификации для нахождения истинного из них.
Если принять за точку опоры выводов признак момента бритья, по которому обязанность парикмахера будет определяться – брить или не брить – в момент поднесения бритвы, начала бритья, то оказывается, что данный признак выбран неверно. Потому что возникает противоречивая закольцовка выводов. Ведь парикмахер до приступления к бритью клиента должен знать, бреется тот сам или нет, чтобы не нарушить свои обязанности. Но это выяснится лишь, когда начнётся бритьё, которое парикмахер начать не может, не определив клиента к классу «не бреются сами». Тупик, кольцо. Значит, необходима другая точка опоры выводов.
Расширением временного периода момента бритья, фактически, совершается переход и к другому качественному признаку классов. Примем за новый признак следующее основание выводов: к классу «не бреются сами» определим всех мужчин, которые демонстрируют, изъявляют желание побриться у парикмахера, то есть приходят к нему для бритья. Но и в данном случае выбор точки опоры выводов неверен, потому что тогда к классу «бреются сами» следует относить и тех, кто бреется у кого-либо помимо этого парикмахера (друг, жена и т.п.). Но ведь фактически они не бреются сами, то есть лично, собственноручно! Тогда отнесём к классу «бреются сами» всех собственноручно бреющихся мужчин, тогда к классу «не бреются сами» будут относиться все, кто бреется у кого-то другого помимо парикмахера. Но теперь в этой ситуации парикмахер по своим обязанностям должен брить и тех, кто не приходит к нему и не изъявляет желание использовать его профессиональные навыки, и тогда парикмахер должен будет себя брить, если его бреет кто-то другой. Но это опять нарушение условий: ведь он должен брить только тех, кто не бреется сам, то есть собственноручно, но если он начнёт себя брить, что и должен в этой вариации ситуации, то уже станет относиться к тем, «кто бреется сам», а их он брить не должен. Опять кольцо, парадокс.
Здесь неизбежно возникает необходимость прояснения ситуации – более точного определения признаков классов. Из вопроса следует, что включение в класс производится по длящемуся признаку бритья, продолжающемуся во времени процессу. То есть: каждый может сегодня бриться у парикмахера, а завтра сам. И к какому же классу он относится? И здесь возникает единственный истинный вывод: невозможно найти чёткий признак, определяющий классы «бреются сами» и «не бреются сами», потому что ни количество раз, ни длительность периода времени бритья не могут дать ответ на вопрос: «К какому классу относится мужчина, пришедший к парикмахеру побриться?». Ведь если он брился до этого сам, его не должен брить парикмахер, а если не сам, то должен, но тогда, начав бриться сам или же у кого-то другого, парикмахер в обоих случаях нарушает обязанности. Снова тупик: невозможность отнести к какому-либо классу самого парикмахера из-за отсутствия точного признака классов. Но если, помимо парикмахера, других мужчин можно включить в какой-либо из классов на основании даже нечёткого признака, например, определённого количества раз бритья (скажем, одного) и получить застывшую насовсем классификацию, которую при опоре на этот признак классификации изменить нельзя, то при попытке включить парикмахера в какой-либо класс получается расхождение фактического положения с принятым по классификации. Так, побрившись у кого-то другого, парикмахер относится к тем, кто «не бреются сами», значит, в следующий раз он сможет себя побрить. Но после этого он уже будет относиться к тем, кто «бреются сами» по факту, хотя по застывшей классификации он относится к другому классу. Противоречие.
Но если отсутствие точной классификации не даёт возможность чёткого отнесения мужчин к какому-то из классов, то парикмахер вообще не должен никого брить. Но ведь это опять нарушает его обязанности, так как он «должен брить тех и только тех, кто не бреется сам», где не сказано должен, если захочет. Тупик.
Таким образом, ни одно из кажущихся истинными определений таковым не оказалось. Возникает вопрос: возможно ли вообще выполнение таких обязанностей, существование такого парикмахера, такой деревни, такой ситуации вообще? По словам Ивина, ответ отрицательный. Но на самом деле выполнение обязанностей парикмахера возможно. Для этого нужно, если парикмахера невозможно отнести ни к одному из двух классов, включить его в третий класс. Таким классом будет «НЕ БРЕЮТСЯ».
Все мужчины деревни:
А. БРЕЮТСЯ 1-сами, 2- не сами Б. НЕ БРЕЮТСЯ
И независимо от выбора оснований отнесения к классам «бреются сами» и «не бреются сами» парикмахер НЕ ДОЛЖЕН БРИТЬ СЕБЯ САМ. Потому что он не относится к множеству «не бреются сами», также как и ко множеству «бреются сами», так как он вообще относится ко множеству «те, кто не бреются».
Для упрощения понимания данного парадокса достаточно было небольшой перестановки слов: «Должен ли брить себя цирюльник, если он должен брить только тех, кто(не) бреются НЕ сами», из которой ясно видна мысль о включении в этот класс тех, кто всё же бреется, хотя и не лично, не собственноручно. Новая классификация на два типа классов: бреются и не бреются – проясняет ситуацию и относительно тех, кто долгое время не брился вообще, молодёжи и женского пола. Ведь о них в парадоксе нет вообще ни слова, хотя малейшее упоминание могло бы сразу навести на решение.
Итак, ответ: парикмахер не должен бриться вообще, то есть он не должен брить себя.
Второй вариант Парадокса Рассела о парикмахере
Существует ещё одна формулировка парадокса. «Рассмотрим парадокс парикмахера, найденный Бертраном Расселом (1872-1970). Допустим, что в некотором посёлке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного парикмахера. Допустим также, что в этом посёлке принято правило, согласно которому парикмахер бреет тех и только тех, кто не бреется сам. Спрашивается: бреет ли парикмахер самого себя? Оказывается, что ни «да», ни «нет» ответить нельзя. Если парикмахер бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно принятому правилу, он не должен брить. Значит, он не должен себя брить. Если же парикмахер не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.
Получается странная, невозможная петля: если парикмахер бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которой нет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировке правила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтены иерархические различия. Правило должно относится ко всем жителям посёлка, кроме парикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другой иерархической категории.
Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говорит только о том, что такого парикмахера быть не может» Конец цитаты (4).
Это первая формулировка парадокса о парикмахере, которая, казалось бы, доводит ситуацию до противоречия условиями: 1) что в посёлке уже нет бородатых людей и 2) все мужчины бреются только двумя способами: либо собственноручно, либо у местного парикмахера. Кажется, что теперь-то уж парадокс точно не решаем. Но, однако, ответ на поставленный в данной формулировке парадокса вопрос остаётся тем же.
Итак, рассмотрим подробнее. Условия ситуации:
1. В посёлке нет бородатых мужчин, потому что они все бреются.
2. Все мужчины бреются двумя способами: собственноручно – сами – либо не сами – у местного парикмахера.
3. Принято правило, по которому парикмахер бреет только тех мужчин, которые бреются не сами.
4. Все события указаны в настоящем времени.
Вопрос: бреет ли парикмахер самого себя?
Чтобы ответить на вопрос, я применю те же методы, которыми пользовался ранее. А именно: для истинного решения любой задачи необходимо понимание самой задачи, её условий и вопроса. Чтобы добиться чёткого понимания, необходимо истинное определение ситуации и её условий. Для истинного рассуждения необходима истинная точка опоры выводов. В данной задаче точкой опоры выводов является отнесение парикмахера к одному из классов, множеств мужчин.
Из условий задачи вытекает, что парикмахер, как и все мужчины, тоже без бороды, а значит, он бреется каким-либо способом. Отнести его к какому-либо классу, как и любого другого мужчину посёлка, возможно только на основании способа бритья. Это основание выводов заложено в самом условии задачи. Ведь не сказано, что парикмахер должен брить только тех мужчин, которые пожелают бриться не сами (что по условию задачи равнозначно фразе «бриться у парикмахера», то есть у него), и не должен брить тех, кто пожелают бриться сами. Следовательно, он заранее уже знает распределение по классам мужчин. И, следовательно, он должен относиться тоже к какому-либо классу мужчин. Допустим, что он до введения правила брился сам. Значит, он после введения правила отнесен к классу мужчин, которые бреются сами. Но если учитывать то, что парикмахер при любом случае бритья является парикмахером (независимо от того берёт ли он плату, в рабочее ли время, на рабочем ли месте и т.п.), выходит, что он брился одновременно и другим способом – у местного парикмахера. А это приводит к невозможности отнесения его только к одному классу мужчин. Тупик.
Но ведь из условий задачи ясно видно, что парикмахер брился, а во-вторых, он мог бриться только своими руками, потому что друг друга в этом посёлке мужчины не бреют. Отсюда следует только единственный однозначный вывод: парикмахер после введения правила не должен брить себя сам, а также не бриться и ни у кого другого, чтобы не нарушить правило. Или прямой ответ – не бреет себя сам. Так как его нельзя отнести к одному из классов однозначно. И, таким образом, он создаёт новую категорию местных мужчин – бородатые мужчины. Ведь только так он не будет нарушать правило, потому что относится теперь к классу тех, кто не бреется вообще. А это и есть тот ответ, который я вывел в предыдущем решении.
Таким образом, ответом на вопрос «бреет ли парикмахер себя сам?» будет ответ:
«Нет, парикмахер не бреет себя сам и не должен, так как вообще не бреется».
Ведь имеется в виду время уже после введения правила, потому что ситуация с уже применяемым правилом и приведёнными фактами, условиями задачи, невозможна, так как тогда категории мужчин «не бреются сами» просто не существует, ведь не бреются сами только те, кого бреет парикмахер.
Если же принять во внимание, опять-таки, искажение формулировки данной ситуации, то решение будет следующим. Если фраза «все мужчины посёлка бреются, сами или у местного парикмахера» в истинном виде, исходя из валидности, звучит «бреются сами или не сами», это приводит к такому рассуждению.
Парикмахер без бороды, следовательно, он брился либо сам, либо его брил кто-то другой. Рассмотрим случай, когда правило применяется после распределения мужчин по классам: 1) бреются сами, 2) бреются не сами: а) у местного парикмахера, б) у другого человека. Исходя из этого, а, также приняв во внимание, что парикмахер и после введения правила бреется (что соответствует вопросу в настоящем времени), следует однозначный вывод, что он должен брить теперь и тех, кто бреется не у него, а другого человека. То есть он должен себя теперь побрить, так как относится к классу мужчин, кто бреются не сами. Но, побрив себя один раз, он становится принадлежащим сразу к двум классам: бреются сами и бреются не сами (у парикмахера). И уже теперь он не сможет брить себя сам. И теперь ему суждено стать бородатым, создав третий класс не бреющихся мужчин. То есть всё равно вывод остался тем же: парикмахер после введения правила не бреет себя и не должен это делать.
Что даёт моё решение парадокса о парикмахере? Рассел придумал эту умозрительную ситуацию для иллюстрации следствия теории множеств, то есть для облечения абстракции в конкретную форму, чтобы показать, что противоречивое внутренне условие не может быть основанием каких-либо истинных выводов и что элемент, стоящий на границе двух множеств, входящий в объёмы обоих, не может быть элементом лишь одного из них. Но, фактически, Рассел не добился своей цели, как мной доказано, ведь этот элемент в именно такой формулировке («Парикмахер») может вообще не входить ни в одно множество из данных, и тем самым устраняет противоречие. Нужно просто вникнуть в суть ситуации: в определения, время действия, умозаключения – и тогда всё станет на свои места.
фото - Международный чемпионат бород и усов в Баварии, Etoday,