...как любителю "Изящной арифметики"
______________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
О друг!
Кое-кто из читателей моих открытых(!) писем (в первую очередь, эти письма тебе, мой друг, конечно же!) в своих откликах на некоторые из них сетует: мол, плохо знает математику. И вот, стало быть, мне надо предполагать, что это препятствует пониманию моего изложения того или иного доказательства (обоснования) некоторых арифметических утверждений (какой-нибудь леммы, или теоремы).
Возможно, и ты кое-чего не понимаешь (может быть, из-за плохого преподавания в школе?...), но я стараюсь, как могу, пробудить в тебе желание найти и открыть, ну, хотя бы какой-нибудь школьный учебник по арифметике. Какой именно учебник желателен для тебя - это большой и больной вопрос уж по крайней мере для меня! В мои школьные годы обязательные учебники меня всецело не удовлетворяли. Они были лишь неким трамплином к восприятию других учебных пособий, которые не были обязательными для чтения по школьной программе. Однако многие мои тогдашние вопросы оставались, всё ж таки, безответными... Лишь после окончания средней школы мне самому кое-что удалось понять из того, чего мне не хватало для получения ответа на какой-нибудь необычный вопрос.
Вот к примеру, пусть некий ученик усвоил переместительный закон умножения ab=ba как очевидный для натуральных чисел a,b. Вслед за ним, да к тому же весьма поверхностно, ознакомился и с так называемым сочетательным законом (ab)c=a(bc). (Другая запись его без круглых скобок имеет вид ab·c=a·bc, по нашему соглашению в 1-ом письме о первоочередных умножениях ab,bc при слитном расположении букв или каких-нибудь других символических выражений, не вызывающих недоразумений.) У него, пожалуй, и такая задачка: вычислить число 20·(39·5), избавляясь от произведений, может вызвать затруднение, если потребуется скрупулёзное педантичное применение второго закона к её решению. Например: 20·(39·5)=20·(5·39)=(20·5)·39=100·39=39·100=3900 - здесь вдруг да и встанет вопрос: а применимо ли "обратное" равенство a(bc)=(ab)c (без скобок: a·bc=ab·c)? С подобными вопросами, увы, однажды пришлось мне иметь дело во время моего же преподавания! Принимая такие "тревожные" вопросы, можно озадачить себя и по-другому. Что означает здесь знак "="?... Он используется здесь для ПЕРЕобозначения или для ПЕРЕопределения одного и того же числа?... Или же этот знак равенства по существу обозначает СОВПАДЕНИЕ результатов двух произведений чисел, расположенных слева и справа от знака, что и является некоторым одним и тем же числом?... Однако для того, чтобы самому себе дать правильный ответ, достаточно иметь в виду именно то, что здесь перед нами сочетательный закон, который требует лишь понимания роли круглых скобок или других принятых обозначений. По причине таких весьма неожиданных недоразумений, всегда возникает желание (у меня уж точно!) доводить рассуждения до такого состояния, чтобы они стали неизбежно ясными каждому (как будто бы!) внимающему их. Однако приходится частенько по многим причинам жертвовать некоторыми деталями, надеясь на понимание, утешая себя мысленно: не сейчас, так после... возможно, это будет всем понятно... (Да к тому же, мелкие детали в доказательствах иной раз могут лишь обременить восприятие нити рассуждений и затруднить понимание самого важного, а кое-кого могут и неприятно раздражать помимо...)
Возвращаясь к нашим "баранам," здесь хочется спросить тебя: Всё ли было понятным в доказательстве Леммы о двух простых делителях из 10-го письма? Они там обозначались через s и t. Если тебе был понятен даже такой момент "m=n/s > 1 (при m=1 оказалось бы n=s и s//t)" в том доказательстве, тогда ты сможешь запросто убедиться точно также и в том, что справедливо и обобщённое утверждение из постскриптума предыдущего письма:
Лемма (о двух делителях одного числа как обобщение Леммы о двух простых делителях).
____ Пусть два натуральных числа s,t делят некое натуральное n, и при этом, t - простое, но такое, которое не делит число s (s[/]t). Тогда имеет место делимость n//st.
Я надеюсь на то, что мне уже не нужно повторять буквально(!) те же рассуждения из 10-го письма, которые и здесь годятся для обоснования. (В другом письме будет дано объяснение тому, почему я сразу не начинал с этого утверждения!) Вместо этого, теперь будет лучше и гораздо полезнее вновь сформулировать Основную теорему арифметики (ОТА), оставаясь в рамках традиционного стиля изложения, как и в том письме:
Теорема (ОТА, в области натуральных чисел).
______ Каждый простой делитель какого-нибудь заданного числа n входит в любое полное разложение данного числа как некий множитель; более того, всякий множитель, обнаруженный в каком-нибудь разложении числа n, является делителем его. При этом, количество экземпляров (появлений) какого-нибудь одного и того же числа в качестве множителя является одной и той же величиной для всех полных(!) разложений числа n.
Я полагаю, что ты ещё при чтении 10-го письма узнал или догадался, о каких таких полных разложениях (и способах достижения их) идёт и должна идти речь. Например, если некоторое произведение n=uv (n>1) является правильным разложением числа n, но не является полным, тогда либо число u, либо v является составным, и его тоже можно было бы каким-то (случайным) образом разложить в произведение двух множителей подобно первоначальному. И так далее... Более того, мне кажется, что у тебя не должно быть сомнений в существовании(!) полного (конечного) разложения. У того, кто хорошо понимает, что такое (возможно, некий случайный) способ разложения числа в произведение натуральных чисел, обычно не бывает сомнений! Если некий множитель оказался в виде простого числа z, тогда возможны лишь два разложения z=z·1=1·z, причём оба - не правильные, и на этом по существу можно и нужно заканчивать (повторять одно и то же разложение (1·z)·1=1·(z·1)=1·(1·z)... уже не имеет смысла). Можно оставить какое-нибудь неправильное разложение, но лишь в качестве указания на то, что "разложенное" число оказалось простым, и переходить к разложению другого множителя, который обнаружился, возможно, в виде составного числа. При таких условиях, когда не повторяются неправильные разложения одного и того же простого числа, по индукции можно легко обосновать, что любой процесс разложения данного числа в произведение множителей обязательно закончится тем, что каждый множитель, наконец-то, будет являться простым числом, за исключением "соседних" единиц по случаю. К тому же, с учётом переместительного и сочетательного законов ab=ba и a·bc=ab·c (см. постскриптум в 10-ом письме) по индукции относительно числа множителей, тебе нетрудно будет убедиться и в том, что каждый множитель любого (пусть и не полного!) разложения данного числа n является его делителем. Стало быть, каждый простой множитель разложения (или любое число, кроме случайно оказавшейся единицы, из полного разложения) числа n, являясь его простым делителем, входит в так называемый prima-спектр числа n (о prima-спектре - в 10-ом письме).
Как бы ни было, далее я предлагаю упрощённое доказательство первой (главной) части утверждения Основной теоремы арифметики, по сравнению с предыдущим оным из 10-ого письма, той части, которая касается вложения prima-спектра числа n, всех его простых делителей, в любое полное разложение. При этом, отмеченные (уже в 10-ом письме) части утверждения (основной) Теоремы целесообразно и желательно здесь представить в виде соответствующих лемм (с доказательствами в порядке их важности и неочевидности). Ну, а доказательство самой очевидной части утверждения в виде некой леммы: "каждый множитель (и простой, и какой-нибудь другой) любого разложения некоторого данного числа является его делителем" - можно предлагать в качестве самостоятельного упражнения.
Наконец, ещё отметим: всякое появление "случайной" единицы в процессе какого-нибудь разложения некоторого числа в произведение не влияет и не может влиять, естественно, на количественный результат относительно появления одного и того же простого множителя. Более того, Теорема (основная) утверждает, по существу, единственность наличия простых множителей (делителей) в любом полном разложении заданного числа без учёта порядка расположения их. Под влиянием переместительного и сочетательного законов этого и следовало ожидать, в связи с единственностью так называемого канонического разложения (см. 7-ое и 8-ое письма).
Лемма 1 (о наличии prima-спектра в разложениях - первая часть ОТА).
_______ Весь prima-спектр произвольно заданного числа n содержится в любом его полном (конечном) разложении.
Примечания:
1. Поскольку prima-спектр единицы не содержит ни одного простого числа - пустой, и к тому же, любое разложение единицы тоже не имеет простых чисел, получается, что в качестве отправного (пограничного) случая справедливость Леммы 1 для единицы имеет место;
2. Лемма 1 очевидно верна и для любого простого числа, которое разлагается в произведение лишь вкупе с единицей;
3. Заодно, по ходу дела, также легко, как в 10-ом письме, можно будет ещё раз убедиться в Основном свойсте простого числа под названием "альтернативная делимость". Такое свойство обнаруживается здесь как побочный результат в связи с доказательством Леммы 1.
Действительно. Пусть Лемма 1 (первая и главная часть утверждения Основной теоремы) не верна. При таком предположении, среди тех возможных чисел, для которых она не верна, сушествует некоторое наименьшее число n. Оно является составным, согласно Примечаниям 1 и 2, поэтому найдётся такое полное разложение составного числа n, которое начиналось с некоторого произведения n=uv, где u>1 и v>1, и в котором не обнаружилось некое число r из prima-спектра числа n (n//r). Однако, поскольку u < n, Лемма 1 верна для числа u, по нашему предположению о минимальном числе n, и следовательно: u[/]r - число r не принадлежит prima-спектру числа u. Иначе, в том случае, когда u//r, получилось бы, что в любом(!) полном разложении числа u нашлось бы число r. В итоге, мы пришли бы к противоречию с нашим предположением о том, что Лемма 1 не верна для числа n. И те же самые рассуждения справедливы и для v, из которых получается v[/]r.
Итак, мы имеем: u[/]r и v[/]r. Тогда в силу здешней (обобщённой) Леммы "о двух делителях..." обнаруживается, в частности, делимость n//(vr). Пусть n/(vr)=m, где m - некое натуральное число. Поскольку имеют место равенства n=vr·m=v·rm и n=v·u, после сокращения на число v появляется вновь противоречие rm=u (вопиющее!). Круг противоречий замкнулся, и мы можем сделать вывод: первая (главная) часть утверждения Основной теоремы арифметики справедлива, т.е.
Лемма 1 доказана.
И более того, мы заодно обнаруживаем побочный результат: если uv//r, тогда либо u//r, либо v//r, что и является обоснованием "альтернативной делимости" простого числа!
Теперь осталось завершить доказательство Основной теоремы, обосновывая вторую (среднюю) часть утверждения, которая оставалась недоказанной в 10-ом письме. Сформулируем эту часть в виде следующей леммы (почти очевидной для тех, кто хорошо изучил азы арифметики).
Лемма 2 (вторая часть ОТА: о количестве одинаковых множителей).
______ Количество экземляров какого-либо одного и того же числа (неоднократных появлений в качестве какого-нибудь простого множителя) во всех полных разложениях заданного числа n - постоянное (неизменное при разных способах достижения какого-либо полного разложения).
Сначала желательно доказать Лемму 2 для степеней n=p^j простого числа p (здесь число j - показатель степени). Мы уже знаем, и можем легко обосновать с помощью Леммы 1, что у каждого числа в виде степени и только у такого числа его prima-спектр содержит лишь один-единственный простой делитель - свой для каждого степенного. Такие числа мы назвали метапростыми. Здесь, в конкретном случае, n=P - метапростое от p. Для них по индукции относительно их величин или их порядков - показателей степени, нетрудно найти обоснование Леммы 2. При этом порядок метапростого числа или показатель степени будут именно тем самым (как вполне ожидаемый факт) числом появлений (повторных, когда j>1), одного и того же множителя p в любом полном разложении данного P.
Совершенно ясно, что числа p=p^1 и pp=p^2 в качестве степеней с простым основанием p и показателями 1 и 2 удовлетворяют Лемме 2. Здесь показатель каждого из данных степеней равен числу экземпляров (появлений) множителя p в полном разложении каждого из них, соответственно.
Пусть все степени какого-нибудь простого p с показателями меньше некоторого числа j (j>1) удовлетворяют Лемме 2. К тому же, пусть оказалось, что их показатели равны числу возможных повторных появлений одного и того же множителя p в любых полных разложениях каждого из них.
Рассмотрим число P=p^j и некоторое его разложение на два множителя P=p^j=uv с условием u>1 и v>1. Тогда мы имеем u<P и v<P, причём эти числа тоже являются метапростыми от p - стало быть, и степенями одного и того же постого p, но уже с какими-нибудь своими показателями, которые мы обозначим здесь соответственно через k и m: u=p^k v=p^m. Очевидно, будут иметь место неравенства k<j, m<j, и по нашему предположению о справедливости Леммы 2 для u и v количество появлений множителя p в любом полном разложении каждого из них равно соответствующему его показателю: k и m. Однако, в силу определения степени числа, имеют место равенства P/p=p^(j-1), u/p=p^(k-1). К ним можно добавить ещё одно: P/p=(u/p)v, в силу сочетательного закона. В самом деле, поскольку справедливы, например, такие равенства p·(u/p)v=p(u/p)·v=uv=P=p(P/p), мы имеем p·(u/p)v=p·(P/p), и вслед за ним - желаемое: (u/p)v=P/p, после сокращения на p. Таким образом, с учётом показателей степеней получаем p^(j-1)=P/p=(u/p)v=(p^(k-1))p^m. Теперь, ещё раз учитывая наше предположение, мы будем иметь j-1=k-1+m. Отсюда выходит j=k+m. Вот так, мы и убеждаемся в том, что количество возможных повторных появлений одного и того же множителя p равно числу j в любом полном разложении числа P=p^j. Стало быть, по индукции доказано, что Лемма 2 справедлива для всех метапростых чисел, т.е. для любой степени своего простого числа.
Далее, если prima-спектр числа n содержит как минимум два разных простых, скажем: кроме p имеется ещё и некоторое q, тогда снова нетрудно по индукции относительно чисел, которые делятся, например, на p, обосновать, что количество экземляров простых p в каком-нибудь полном разложении числа n равно количеству тех же самых и в любом полном разложении числа n/q. Следовательно, оно постоянное (одно и то же) при при любых полных разложениях как числа n, так и n/q. И обоснование этого, пожалуй, уже можно оставить в качестве упражнения и тебе, и кому-нибудь ещё как любознательным и внимательным читателям. Однако, может быть, здесь понадобится некая подсказка. В связи с правильным(!) разложением n=uv, можно предполагать, что u//q, тогда n/q=(u/q)v - разложение числа n/q. Остаётся рассмотреть два случая: u/q[/]p и (u/q)//p. В силу Леммы о двух делителях, первый случай означает, что u[/]p (иначе, получилось бы u//qp и противоречивое следствие (u/q)//p). Во втором случае мы, очевидно, имеем u//p. Тогда согласно методу доказательства по индукции относительно чисел, делящихся на p, можно предполагать, что в полных разложениях чисел u и u/q количество экземпляров числа p одно и то же! Наконец, ещё отметим: в силу Леммы о двух делителях, число Pq (здесь P - метапростое от p) является минимальным среди всех тех, которые делятся как на P, так и на q. При этом, числа P и Pq, очевидно, удовлетворяют Лемме 2.
Итак, нашу (главную) Лемму "о двух делителях одного числа..." можно было бы назвать "Основной леммой арифметики", не правда ли?...
Мой друг, если какое-нибудь упражнение (или что-нибудь ещё) для тебя окажется трудным - напиши мне, и я помогу разобраться во всём в следующих моих письмах.
Всего доброго!
PS: Доказательство Леммы 2 для метапростого числа (для степеней) можно было бы упростить, но тогда нам пришлось бы как-то особо отмечать справедливость формулы p^j = (p^k)(p^m), где j=k+m, которая здесь обнаруживается по ходу дела как побочный, но естественный и ожидаемый результат.